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16 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
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  1. 1. dy1 dy2 − t t t Tema 7 Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 7.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Nuestro prop´osito no es resolver sistemas de ecuaciones diferenciales cualesquiera: dx = f1(x, y1, y2, . . . , yn) dx = f2(x, y1, y2, . . . , yn) . . . . dyn dx = fn(x, y1, y2, . . . , yn) ni tampoco resolver una ecuaci´on diferencial cualquiera de orden n F(x, y, yt , . . . , yn) ) = 0. S´olo nos plantearemos resolver una ecuaci´on diferencial de orden n lineal yn) + a1(x)yn−1) + a2(x)yn−2) + . . . + an 1(x)yt + an(x)y = f(x) y sistemas de ecuaciones lineales y1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · · + a1n(x)yn + f1(x) y2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + · · · + a2n(x)yn + f2(x) . . . . . . . . . . yn = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · · + ann(x)yn + fn(x) que lo expresaremos en forma matricial como: Y t = A(x)Y + F(x) 1
  2. 2. 2 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 0 1 · · · 0 0 0 0 · · · 0 0 . . ... ... . y y y y y . . . . = y2 . + 0 . donde t 1 yt a11(x) · · · a1n(x) f1(x) Y t = 2 A(x) = a . (x) · · · a (x) y F(x) = f (x)t n1 nn n n Dada una ecuaci´on diferencial lineal de orden n yn) + a1(x)yn−1) + a2(x)yn−2) + . . . + an 1(x)yt + a (x)y = f(x),− n si hacemos llamar: y = y1 , yt = y2 , ytt = y3 , yttt = y4 , . . . , yn−1 = yn obtenemos el sistema: dy1 dx dy2 dx = yt = y2 = ytt = y3 . dyn−1 dx = yn−1) = yn dyn = yn) = −a (x)y − a (x)yt − . . . − a (x)yn−2) − −a (x)yn−1) + f(x) dx n n−1 2 1 = −an(x)y1 − an−1(x)y2 − . . . − a2(x)yn−1 − a1(x)yn + f(x) que en forma matricial quedar´ıa: t 1 t 2 y1 0 yt 0 0 · · · 0 1 y 0n−1 t n −an(x) −an−1(x) · · · −a2(x) −a1(x) n−1 yn f(x) Por lo tanto basta estudiar los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden ya que sistemas de ecuaciones de orden superior al primero se reducen a un sistema diferencial lineal de primer orden, en particular tambi´en se reduce una ecuaci´on diferencial lineal. Definici´on 7.1 Si en el sistema Y t = A(x)Y + F(x) es F(x) = 0 obtenemos el sistema de ecuaciones Y t = A(x)Y llamado sistema homogeneo. Al sistema de ecuaciones Y t = A(x)Y + F(x) se le llama sistema no homogeneo o completo.
  3. 3. 7.1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 3 . 1 . 0 . . Teorema 7.1 (de existencia y unicidad) Sea Y t (x) = A(x)Y (x)+F(x) un sistema de ecuaciones diferenciales lineal de primer orden tal que A(x) y F(x) son funciones de matrices continuas en un intervalo I ∈ IR, sea x0 ∈ I e existe una u´nica soluci´on: y¯0 ∈ IRn entonces Y¯ (x) = y1(x) y2(x) . tal que Y¯ (x0) = y¯0 yn(x) Estudiemos primero los sistemas homogeneos ya que, igual que suced´ıa en las ecua- ciones diferenciales de primer orden, toda soluci´on del sistema completo se puede expresar como suma de la soluci´on general del homogeneo m´as una soluci´on particular del sistema completo. Por lo tanto si Y (x) es una soluci´on del sistema no homogeneo y Z(x) es la soluci´on general del sistema homogeneo entonces existe una soluci´on particular Yp(x) del sistema completo tal que: Y (x) = Z(x) + Yp(x) Para probar esto basta demostrar que Y (x) − Yp(x) = Z(x) o lo que es lo mismo la diferencia de dos soluciones del sistema completo es una soluci´on del sistema homogeneo (hacerlo como ejercicio). 7.1.1 Sistema Diferencial Homogeneo Teorema 7.2 Sea S el conjunto de soluciones del sistema lineal homogeneo Y t (x) = A(x)Y (x) donde A(x) es una matriz continua de orden n. Entonces S es un espacio vectorial de dimensi´on n Demostraci´on Probar que S es un espacio vectorial es facil, basta comprobar que si Y1(x) , Y2(x) son soluciones, entonces αY1(x) + βY2(x) tambi´en lo son, (hacerlo como ejercicio). Probemos ahora que dimS = n. Para ello basta encontrar una base de n elementos; dicha base es: {Y1(x), · · · , Yn(x)} donde Yi(x) i = 1, · · · , n son soluciones de los problemas de valor inicial Y t (x) = A(x)Y (x) Y (x0) = ei i = 1, · · · , n 0 . donde ei = i) 0 • Son linealmente independientes:
  4. 4. 4 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES . . . Supongamos que λ1Y1(x) + · · · + λnYn(x) = 0 ∀x ∈ I =⇒ λ1Y1(x0) + · · · + λnYn(x0) = 0 =⇒ λ1e1 + · · · + λnen = 0 =⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0 • Forman un sistema de generadores: Sea Y (x) una soluci´on cualquiera del sistema homogeneo, sea Y (x0) = y0 y0 ∈ IRn luego ∃ λi i = 1, · · · , n tal que y0 = λ1e1 + · · · + λnen = 0 Consideremos tambi´en Z(x) = λ1Y1(x0) + · · · + λnYn(x0) = 0 es una soluci´on del problema de valor inicial Y t(x) = A(x)Y (x) Y (x0) = y0 Exactamente igual que Y (x) como la soluci´on es .n u´nica es Z(x) = Y (x) = i=1 λiYi(x) luego {Y1(x), · · · , Yn(x)} forman un sistema de generadores de S. Definici´on 7.2 A una base del espacio vectorial de soluciones de un sistema homogeneo se le llama sistema fundamental de soluciones y a la matriz M (x) cuyas colum- nas forman un sistema fundamental de soluciones se le llama matriz fundamental de soluciones. Si {Y1(x), · · · , Yn(x)} es un sistema fundamental de soluciones del sistema homogeneo Y t (x) = A(x)Y (x) entonces cualquier soluci´on se puede expresar como Y (x) = c1Y1(x)+ · · · + cnYn(x) y dejando las constantes c1, c2, · · · , cn como constantes arbitrarias se obtiene la soluci´on general Lo podemos expresar en forma matricial Y (x) = M (x)C donde M (x) es la matriz fundamental de soluciones que tiene por columnas las soluciones Yi(x) y C es el vector columna que tiene por componentes las constantes ci o sea: . . c1 . c2 Y (x) = M (x)C = Y1(x) Y2(x) · · · Yn(x) . . . . cn Nos planteamos las siguientes preguntas: 1. Dadas n soluciones del sistema homogeneo {Y1(x), · · · , Yn(x)}. ¿C´omo sabemos que forman un sistema fundamental de soluciones? 2. ¿C´omo se encuentra un sistema fundamental de soluciones? Para responder a la primera pregunta , o sea para saber si {Y1(x), · · · , Yn(x)} son un sistema fundamental de soluciones, la u´nica condici´on es que sean linealmente indepen- dientes, y el instrumento para saber si n funciones Y1(x), · · · , Yn(x) son linealmente independientes es el llamado wronskiano.
  5. 5. 7.1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 5 W(Y1(x), · · · , Yn(x)) = . . ƒ= 0 ∀x ∈ I . . . . . . . . . ... . Teorema 7.3 Sean: y11 y21 y12 y22 y1n y2n Y1(x) = . Y2(x) = . · · · Yn(x) = . yn1 yn2 ynn soluciones del sistema homogeneo Y t (x) = A(x)Y (x) en un intervalo I. Una condici´on necesaria y suficiente para que Y1(x), · · · , Yn(x) sean linealmente independientes es que el wronskiano de Y1(x), · · · , Yn(x) sea distinto de cero ∀x ∈ I . y11 y12 · · · y1n . . y21 y22 · · · y2n . . . . . . . . . . . . yn1 yn2 · · · ynn . Se puede hacer m´as facil todav´ıa utilizando el siguiente teorema que daremos sin demostraci´on. Teorema 7.4 Si Y1(x), · · · , Yn(x) son soluciones del sistema homogeneo Y t (x) = A(x)Y (x) entonces se cumplen una de las dos condiciones siguientes: W(Y1(x), · · · , Yn(x)) = 0 ∀x ∈ I o bien W(Y1(x), · · · , Yn(x)) ƒ= 0 ∀x ∈ I Luego para saber si {Y1(x), · · · , Yn(x)} es un sistema fundamental de soluciones basta encontrar algu´n x0 para el que W(Y1(x0), · · · , Yn(x0)) ƒ= 0 Teorema 7.5 Una matriz M (x) es una matriz fundamental de soluciones del sistema Y t(x) = A(x)Y (x) si y s´olo si M t(x) = A(x)M (x) y detM(0) ƒ= 0. (La derivada de una funci´on con valores matriciales M (x) es la matriz cuyos elementos son las derivadas de los elementos correspondientes de M (x) Demostraci´on Den´otese por Y1(x), · · · , Yn(x) las n columnas de M (x). Obs´ervese que: M t (x) = . Y t (x), · · · , Y t (x) . 1 n y A(x)M (x) = . A(x)Y1(x), · · · , A(x)Yn(x) . Por lo tanto, las n ecuaciones vectoriales Y t (x) = A(x)Y1(x), · · · ,Y t (x) = A(x)Yn(x)1 n M t son equivalentes a la ecuaci´on matricial (x) = A(x)M (x). M´as au´n, n soluciones Y1(x), · · · , Yn(x) son linealmente independientes si y s´olo si Y1(0), · · · , Yn(0) son vectores linealmente independientes en IRn . Los vectores, a su vez, son independientes si y s´olo si detM(x) ƒ= 0, con lo que queda demostrado el teorema. La respuesta a la segunda pregunta la abordaremos solo para el caso en el que A(x) sea una matriz A de coeficientes constantes
  6. 6. 6 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES An+1xn . Anxn . n! + · · · = A I + Ax + · · · + n! · · · . . . . . 7.1.2 Sistemas Homogeneos de Coeficientes Constantes Sea el sistema homogeneo de coeficientes constantes Y t (x) = AY (x) . Hallaremos la matriz fundamental de una forma muy ingeniosa. Recuerdese que y(x) = eax c es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial escalar yt (x) = ay(x), para cualquier constante c. De manera an´aloga, ser´ıa deseable poder decir que Y (x) = eAx V es una soluci´on de Y t (x) = AY (x) para cualquier vector constante V , donde: ¸ Adx = Ax Tenemos una dificultad que es definir eAx , sin embargo hay una manera muy natural de calcularlo de forma que se asemeje a la exponencial escalar eax , simplemente se define como: eAx ≡ I + Ax + En particular se cumple que: A2 x2 2! + · · · + An xn n! + · · · d eAx = A + A2 x + dx A3x2 2! + · · · + + = AeAx luego: d eAx = AeAx en particular dx d eAx V = AeAx V dx En consecuencia, M (x) = eAx = e ¸ Adx es una matriz fundamental de soluciones ya que dicha matriz verifica la ecuaci´on M t(x) = AM (x) y M (0) = eA0 = I por lo que detM (0) = 1 ƒ= 0. Ahora para calcular la matriz fundamental podemos hallar directamente la matriz eAx como se hizo en la asignatura de Algebra de primero o bien hallamos n soluciones inde- pendientes, de cualquier forma hay que hallar los autovalores, autovectores y autovectores generalizados de la matriz de los coeficientes A. Al final del cap´ıtulo damos un pequen˜o resumen de todas estas t´ecnicas. Ya conocemos una matriz fundamental de soluciones del sistema homog´eneo Y t (x) = AY (x) la matriz eAx , pero es dif´ıcil de calcular. Resolveremos el problema con el siguiente teorema: Teorema 7.6 Sean {v1, · · · , vn} los autovectores y autovectores generalizados de la ma- triz A. Entonces las funciones eAx vi i = 1, · · · , n son n soluciones independientes del sistema homog´eneo Y t(x) = AY (x). Demostraci´on Que son soluciones ya lo hemos probado, veamos que son independientes. . . . . . . W(eA0 v1, · · · , eA0 vn) = det Inv1 Inv2 · · · Invn = det v1 v2 · · · vn = detP ƒ= 0 . . . . . .
  7. 7. 7.1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 7 i i n! Comencemos a calcular las soluciones del sistema homog´eneo Y t (x) = AY (x) sepa- rando en diferentes casos, segu´n sean los autovectores y autovalores de A. A tiene n vectores propios independientes Sean v1, · · · , vn los n autovectores independientes de A asociados a autovalores λi que pueden ser iguales. Las soluciones son : eAxvi i = 1, · · · , n hallemos cada una de ellas: eAx vi = e(A−λiI)x eλiIx vi La anterior igualdad es cierta basandose en la propiedad de que eAB = eA eB ⇐⇒ AB = BA en nuestro caso es (A − λiI)(λiI) = (λiI)(A − λiI) Pero: eλiIx vi = . I + λiIx + λ2I2x2 2! . + · · · vi = . 1 + λix + λ2x2 2! . + · · · vi.I = eλix vi.I Por lo tanto: Ahora bien: eAx vi = eλix e(A−λiI)x vi xn e(A−λiI)x vi = vi + x(A − λiI)vi + · · · + (A − λiI)n vi + · · · Luego : (A − λiI)vi = · · · = (A − λiI)n vi = 0∀n ∈ N eAx vi = eλix vi A tiene autovalores complejos distintos Si λ = a + ib es un autovalor complejo de A con autovector v = v1 + iv2, entonces Y (x) = eλxv es una soluci´on con valores complejos del sistema Y t(x) = AY (x). Teorema 7.7 Sea Y (x) = U(x) + iV (x) una soluci´on del sistema Y t (x) = AY (x) con valores complejos. Entonces tanto U(x) = Re(Y (x)) como V (x) = Im(Y (x)) son soluciones reales del sistema y adem´as son independientes. En nuestro caso la soluci´on es : Y (x) = e(a+ib)x (v1 + iv2) = eax (cosbx + isenbx)(v1 + v2) = = eax [(v1cosbx − v2senbx) + i(v2cosbx + v1senbx)] Por lo que sus soluciones reales son: Y1(x) = eax (v1cosbx − v2senbx) Y2(x) = eax (v2cosbx + v1senbx) Del autovalor a − ib se obtienen las mismas soluciones.
  8. 8. 8 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES − i i−1 i−2 · · · + v − n−1 n! 2! − Caso en que la forma can´onica de Jordan de la matriz del sistema, A, sea un bloque de Jordan de orden mayor que uno, con autovalor λ ∈ IR Sean v1 el autovector asociado a λ y v2, v3, · · · , vn los autovectores generalizados. Ya conocemos la soluci´on eAx v1 = eλx v1 hallemos las restantes: eAx vi = eλx e(A−λI)x vi Ahora bien: e(A−λI)x vi = vi + x(A − λI)vi + · · · + xn (A − λI)n vi + · · · Pero vi verifica que (A − λ)i )vi = 0 y tambi´en (A − λ)m vi = 0∀m ≥ i Luego: e(A−λI)x vi = vi + x(A − λI)vi + y utilizando el hecho de que: x2 (A − λI)2 vi · · · + xi−1 (i − 1)! (A − λI)i−1 vi 1 (A−λI)vi = vi 1 (A−λI)2 v = (A−λI)v = v · · · (A−λI) obtenemos la soluci´on: i−2 vi = v2 (A−λI)i−1 vi = v1 . eAx vi = eλx v1 xi−1 + v2 xi−2 · · · + vi x2 2 + vi . 1x + v (i − 1)! (i − 2)! − 2! − i Luego las n soluciones linealmente independientes son: Y1(x) = eλx v1 Y2(x) = eλx [v1x + v2] Y3(x) = eλx . . x2 v1 2! . + v2x + v3 . xn−2 xn−3 . Yn−1(x) = eλx v1 + v2 n 2x + v (n − 2)! (n − 3)! Yn(x) = eλx . xn−1 v1 (n − 1)! + v2 xn−2 (n − 2)! x2 · · · + vn−2 2! + vn . −1x + vn A tiene autovalores complejos mu´ltiples Las mismas soluciones que en el caso de autovalores reales mu´ltiples pero por cada soluci´on compleja obtenemos dos solucines reales, la parte real y la parte imaginaria.
  9. 9. 7.2. ECUACIO´N DIFERENCIAL HOMOGENEA DE ORDEN N CON COEFICIENTES CONSTA 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 y y y y y . . − . = 3 . y . 7.2 Ecuaci´on Diferencial Homogenea de Orden n con Coeficientes Constantes Transformando la ecuaci´on diferencial: yn) + a1yn−1) + a2yn−2) + . . . + an 1yt + a y = 0− n a sistema, nos queda: t 1 t 2 t 3 ... ... ... ... y1 y2 n−2 0 0 1 n−2 yt n−1 yn−1yt t n 0 0 1 −an −an−1 · · · · · · −a2 −a1 yn Calculemos su polinomio caracter´ıstico: . . . . . . . . |A − λI| = . . . . . . . −λ 1 0 0 −λ 1 0 0 −λ 1 0 ... ... ... ... 0 −λ 1 0 −λ 1 . . . . . . . . . = 0 . . . . . . . −an −an−1 · · · · · · −a2 −a1 − λ . Desarrollando por la u´ltima fila obtenemos: λn + a1λn−1 + a2λn−2 + . . . + an 1λ + an = 0 Otra caracter´ıstica propia de los sistemas que provienen de ecuaciones diferenciales lineales de orden n es que si λ es un autovalor entonces dimker(A − λI) = 1, solo hay un u´nico autovector independiente; luego no puede ocurrir que haya 2 bloques de Jordan con el mismo autovalor, cada autovalor genera un bloque de Jordan y solo uno. Demostr´emoslo. Sea v ∈ ker(A − λI) =⇒ (A − λI)v = 0 −λv1 + v2 = 0 =⇒ v2 = λv1 −λv2 + v3 = . 0 =⇒ v3 = λv2 = λ2 v1 −λvn−12 + vn = 0 =⇒ vn = λvn−1 = λ −anv1 − an−1v2 − . . . − a2vn−2 − a1vn−1 − λvn = 0 n−1 v1
  10. 10. 10 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES = · · · + v − n−1 λ . . . . . v1 v2 v = v3 v1 λv1 λ2 v 1 2 1 = v1 λ . vn λn−1 v1 λn−1 se ve que solo depende de un par´ametro, v1, el autovalor λ es fijo. Veamos ahora los diferentes casos segu´n las raices del polinomio caracter´ıco: • Si solo tiene autovalores reales simples: λ1, λ2, · · · , λn sus soluciones son eλ1x , eλ2x , · · · , eλnx y son un sistema fundamental de soluciones. • Si tiene un autovalor complejo simple a+ib una soluci´on independiente es e(a+ib)x = eax (cosbx+isenbx) genera dos soluciones reales independientes eax cosbx y eax senbx • si tiene un autovalor real λ de multiplicidad k las soluciones que nos sal´ıan como sistema eran: Y1(x) = eλx v1 Y2(x) = eλx [v1x + v2] Y3(x) = eλx . . x2 v1 2! . + v2x + v3 . xn−2 xn−3 . Yn−1(x) = eλx v1 + v2 n 2x + v (n − 2)! (n − 3)! Yn(x) = eλx . xn−1 v1 (n − 1)! + v2 xn−2 (n − 2)! x2 · · · + vn−2 2! + vn . −1x + vn Agrupando t´erminos, la soluci´on general es: Y (x) = c1Y1(x) + c2Y2(x) + c3Y3(x) + · · · + cn−1Yn−1(x) + cnYn(x) = = eλx . . x2 v1 1 + x + 2! + · · · + xn−2 (n − 2)! xn−1 . + +(n − 1)! . xn−3 xn−2 . . x2 . . v2 1 + x + · · · + (n − 3)! + (n − 2)! + · · · + vn−2 1 + x + 2! + vn−1 (1 + x) + vn Escrito en forma de vectores quedar´ıa: y1(x) . y11(x) . yn1(x) .= c1 + · · · + cn . = yn(x) y1n(x) ynn(x)
  11. 11. 7.3. LA ECUACIO´N NO HOMOGENEA. VARIACIO´N DE PARA´METROS 11 = e + + . t t t . c λx v11 . v1n v21 . x2 c1 + c2x + c3 2! . + · · · + cn−1 xn−2 (n − 2)! + cn xn−1 . +(n − 1)! . v2n c2 + c3x + · · · + cn−1 xn−3 (n − 3)! + cn xn−2 (n − 2)! + · · · · · · + v(n−2)1 . v(n−2)n . cn 2 + c x + c x2 . v(n−1)1 . v(n−1)n (cn−1 + cn x) + vn1 . vnn nn Como de la soluci´on general Y (x) u´nicamente nos interesa la primera coordenada y1(x), las restantes son las derivadas sucesivas , en la ecuaci´on anterior basta con- siderar las primeras coordenadas, entonces si llamo y(x) = y1(x) reagrupo t´erminos y renombro las constantes nos queda y(x) = k1eax + k2xeax + k3x2 eax + · · · + knxn−1 eax Luego: eax , xeax , x2 eax , · · · , xn−1 eax es un sistema fundamental de soluciones • y por u´ltimo si tiene un autovalor complejo a + ib de multiplicidad m sus soluciones complejas son: e(a+ib)x , xe(a+ib)x , x2 e(a+ib)x , · · · , xm−1 ea+ib)x y las soluciones reales son: eax cosbx, eax senbx, xeax cosbx, xeax senbx, · · · , xm−1 eax cosbx, xm−1 eax senbx 7.3 La Ecuaci´on no Homogenea. Variaci´on de Par´ametros Para resolver la ecuaci´on no homogenea y1 = a11y1 + a12y2 + · · · + a1nyn + f1(x) y2 = a21y1 + a22y2 + · · · + a2nyn + f2(x) . . . . . yn = an1y1 + an2y2 + · · · + annyn + fn(x) que lo expresaremos en forma matricial como: Y t = AY + F(x)
  12. 12. 12 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES y y y . . . i=1 i . . . . . 2 . donde t 1 t Y t = 2 A = a11 . · · · a1n . f1(x) . . y F(x) = t n an1 · · · ann fn(x) Hay que resolver primero la ecuaci´on homogenea Y t (x) = AY (x). Sean Y1(x), · · · , Yn(x) un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on homoge- nea, entonces la soluci´on general es Y (x) = c1Y1(x) + · · · + cnYn(x) donde c1, · · · , cn son constantes arbitrarias, y se puede expresar . . c1 . c2 Y (x) = M (x)C = Y1(x) Y2(x) · · · Yn(x) . . . . cn El m´etodo de variaci´on de par´ametros se utiliza para encontrar una soluci´on particular de la no homogenea y consiste en buscar una soluci´on del tipo Y (x) = M (x)C (x) donde sustituimos el vector de constantes . c1 c2 C = cn por otro de funciones de x C(x) = c1(x) c (x) cn(x) Sea Y (x) = M (x).C (x) =⇒ Y t(x) = M t(x).C (x)+M(x).C t(x) como debe ser soluci´on de la completa cumplir´a: M t (x).C (x) + M (x).C t (x) = A.M (x).C (x) + F(x) Pero M t(x).C (x) = .n es Y t (x).ci(x) como cada Yi(x) es una soluci´on de la homogenea n n Y t t . . i (x) = A.Yi(x) =⇒ M (x).C (x) = Luego la ecuaci´on queda: i=1 A.Yi(x).ci(x) = A i=1 Yi(x).ci(x) = A.M (x).C (x) AM (x).C (x) + M (x).C t (x) = AM (x).C (x) + F(x) =⇒ M (x).C t (x) = F(x) Por ser M (x) matriz fundamental es M (x) ∀x ∈ IR regular, de esta forma ∃M−1 (x) =⇒ Ct (x) = M −1 (x).F(x). Luego: ¸ C(x) = M −1 (x).F(x)dx
  13. 13. 7.3. LA ECUACIO´N NO HOMOGENEA. VARIACIO´N DE PARA´METROS 13 . . . . . . eAx v1 eAx v2 · · · eAx vn = eA x v1 v2 · · · vn . . = eAx .P − As´ı la soluci´on particular de la ecuaci´on completa ser´a: ¸ Y (x) = M (x). M −1 (x).F(x)dx Entonces la soluci´on general de la ecuaci´on completa es la suma de la soluci´on general de la homogenea m´as una soluci´on particular de la completa. ¸ Y (x) = M (x).C + M (x). M −1 (x).F(x)dx Si tomo como matriz fundamental de soluciones M (x) = eAx entonces la ecuaci´on anterior se simplifica bastante ya que, su principal escollo es el c´alculo de M −1 (x) que en nuestro caso vale e−Ax y asi tenemos: Y (x) = eAx .C + eAx . ¸ e−Ax .F(x)dx Cambiando la variable dentro de la integral se simplica la expresi´on: Y (x) = eAx .C + eAx . ¸ e−At .F(t)dt y metiendo la exponencial dentro de la integral queda: Y (x) = eAx .C + ¸ eAx .e−At .F(t)dt = eAx .C + ¸ eA(x−t) .F(t)dt ATENCION.- Nosotros no hemos calculado en este tema la matriz fundamental eAx sino la matriz fundamental cuyas solucines son eAx v1, · · · , eAx vn le llamar´e B(x) donde v1, · · · , vn son los autovectores y autovectores generalizados, estos vectores son las colum- nas de la matriz P de paso para el c´alculo de la forma can´onica de Jordan de la matriz A o sea: B(x) = . . . . . . Luego eAx = B(x).P −1 y eA(x−t) = B(x − t).P−1 y la soluci´on quedar´a: Y (x) = B(x).P −1 .C + ¸ B(x t).P−1 .F(t)dt renombrando la matriz P−1 .C como una matriz C queda: ¸ Y (x) = B(x).C + B(x − t).P−1 .F(t)dt
  14. 14. 14 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Si queremos resolver un problema de valor inicial: . Y t (x) = AY (x) + F(x) Y (X0) = Y0 La soluci´on ser´a: Y (x) = B(x).C + ¸ x B(x − t).P−1 .F(t)dt x0 Como Y (x0) = B(x0).C = Y0 =⇒ C = B−1 (x0).Y0 y as´ı la soluci´on es: ¸ x Y (x) = B(x).B−1 (x0).Y0 + B(x − t).P−1 .F(t)dt x0 7.4 Resumen sobre formas can´onicas de Jordan • Sea A una matriz de orden n, un escalar λ ∈ IR se llama autovalor (valor propio) de A si existe un vector v ∈ IRn llamado autovector (vector propio) asociado al autovalor λ tal que: Av = λv ⇐⇒ (A − λI)v = 0 La condici´on para que exista v ƒ= 0 es que det(A − λI) = 0 es el llamado polinomio caracter´ıstico que nos proporciona todos los autovalores de A • Si λ es un autovalor de A, al conjunto de todas las soluciones del sistema (A−λI)x = 0 es el K er(A − λI), es el espacio vectorial de todos los autovectores asociado al autovalor λ • Si λ es un autovalor complejo de A, λ¯ tambi´en es autovalor de A y si x es un autovector complejo del autovalor λ entonces tambi´en es x¯ autovector de λ¯ • Si λ1, λ2, · · · , λn son autovalores de A distintos y x1, x2, · · · , xn son sus autovectores asociados, entonces x1, x2, · · · , xn son independientes. • Si denotamos por ma(λ) la multiplicidad de λ como raiz del polinomio caracter´ıstico (se llama multiplicidad algebraica) y por mg(λ) a la dimK er(A − λI) (llamada multiplicidad geom´etrica entonces: 1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ) • teorema. (Forma can´onica de Jordan) Sea A una matriz cuadrada. Sean λ1, λ2, . . . , λr los autovalores de A con multi- plicidades ma(λi) = mi i = 1, · · · r. Entonces existe P ∈ Mn×n(IR) regular, tal
  15. 15. 7.4. RESUMEN SOBRE FORMAS CANO´NICAS DE JORDAN 15 P−1 AP = J = J J i i i J i que: (m1 ) λ1 (m2 ) λ2 ... (mr) λr λi 1 0 0 λ 1 0 Donde J (mi)) = 0 λi 1 0 ... ... ... ...λi 0 λi 1 0 0 λi 1 0 λi es el bloque de Jordan de orden mi con λi en la diagonal y unos en la sobrediagonal. • Hay tantos bloques de Jordan en la diagonal como autovectores independientes. Por lo tanto el nu´mero de bloques de Jordan coincide no con el nu´mero de autovalores, sino con el nu´mero de autovectores independientes. • Las columnas de la matriz P son precisamente los autovectores independientes, por eso P es regular. • Si mg(λi) = ma(λi) ∀i = 1, · · · , r tendr´ıamos n autovectores independientes y podr´ıamos calcular la matriz P y consecuentemente la forma can´onica de Jordan, que en este caso es diagonal • ¿Y si para algu´n i es mg(λi) < ma(λi)?. Hay que encontrar otros vectores llamados autovectores generalizados que suplan a los autovectores que faltan. Veamos como se hallan. • Si vi es un autovector asociado al autovalor λi entonces (A − λiI)vi = 0 Para encontrar un autovector generalizado asociado a λi buscamos un vector V 1 tal que: (A − λiI)v1 = vi ⇐⇒ (A − λiI)2 v1 = 0i i Seguimos buscando otro v2 tal que: (A − λiI)v2 = v1 ⇐⇒ (A − λiI)3 v2 = 0i i i y otro v3 tal que : (A − λiI)v3 = v2 ⇐⇒ (A − λiI)4 v3 = 0i i i y asi hasta que no sea posible encontrar m´as.
  16. 16. 16 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES i En general los autovectores generalizados cumplen la condici´on de que: vr r r−1 o lo que es lo mismo: i ∈ ker((A − λi) ) − ker((A − λi) ) (A − λi)r )vr = 0 y (A − λi)r−1 vr ƒ= 0i i De esta forma la matriz de P estar´a formada por ejemplo por: . . . . . . . . . . . . . . . . P = v1 v1 v2 v2 v3 v1 v2 v3 · · ·1 1 . . . . . 3 3 3 . . .. . . . . . . . cuyas columnas son autovectores Vi seguidos de sus correspondientes autovectores generalizados V k de modo que a cada autovector Vi le corresponda un bloque de Jordan Ji de orden igual al nu´mero de autovectores generalizados m´as uno. 7.5 M´etodo de los coeficientes indeterminado para ecuaciones diferenciales El m´etodo de los coeficientes indeterminados aplicado a una ecuaci´on diferencial no ho- mog´enea de orden n con coeficientes constantes yn) + a1yn−1) + a2yn−2) + . . . + an 1yt + a y = g(x)− n es un procedimiento sencillo para encontrar una soluci´on particular yp(x), cuando el t´ermino no homog´eneo g(x) es de un tipo especial. A continuaci´on se presenta una tabla de la forma de una soluci´on particular yp(x) en funci´on del t´ermino no homog´eneo. g(x) yp(x) pn(x) = anxn + · · · + a1x + a0 xs Pn(x) = xs {Anxn + · · · + A1x + A0} aeαx xs Aeαx a cos(βx) + b sen(βx) xs {Acos(βx) + Bsen(βx)} pn(x)eαx xs Pn(x)eαx pn(x) cos(βx) + qm(x) sen(βx), donde qm(x) = bmxm + · · · + b1x + b0 xs {PN (x) cos(βx) + QN (x) sen(βx)} , donde QN (x) = BN xN + · · · + B1x + B0 y N = m´ax(n, m) aeαx cos(βx) + beαx sen(βx) xs {Aeαx cos(βx) + Beαx sen(βx)} pn(x)eαx cos(βx) + qm(x)eαx sen(βx) xs eαx {PN (x)cos(βx) + QN (x)sen(βx)}, donde N = m´ax(n, m) s es el menor entero no negativo tal que ningu´n t´ermino de la soluci´on particular yp(x) sea soluci´on de la ecuaci´on homog´enea correspondiente.

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