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Estática

  1. 1. ESTÁTICA Introducción La Estática constituye una de las ramas más antiguas de la ciencia, se sabe que algunos de sus principios fundamentales datan de la época de los egipcios y babilonios, quienes los utilizaron en las soluciones de los problemas que se originaron con motivo de la construcción de las famosas pirámides y de sus admirables templos. Entre los escritos más antiguos referentes a este tema, son dignos de mención los que nos dejo Arquímedes (287-212 A.C.) quien formulo las leyes del equilibrio de las fuerzas que actúan sobre una palanca. Sin embargo, los principios en base a los cuales se ha desarrollado esta materia hasta alcanzar su forma actual se deben principalmente a Stevinus(1548 – 1620), quien fue el primero que empleo el principio del paralelogramo de las fuerzas. Es evidente que el equilibrio de los cuerpos se utilizo desde la aparición del hombre en la tierra (ó quizás mucho antes); el buscar una posición para que una persona se sienta o para que estè de pie, es por ejemplo, la búsqueda del equilibrio. Ahora; para encontrar con mayor facilidad el equilibrio de los cuerpos, existen leyes, gracias a las cuales podemos hacer la vida hasta cierto punto mucho más fácil que antes. Concepto de la estática La estática es obviamente una rama de la mecánica cuyo objetivo es estudiar las condiciones que deben de cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que este se encuentre en equilibrio. Equilibrio.- Un cuerpo cualquiera se encuentra en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración . Existen dos tipos de equilibrio: Equilibrio Estático.- Cuando un cuerpo no se mueve Equilibrio Cinético.- Cuando un cuerpo se mueve en línea recta a velocidad constante ¿Existe realmente el equilibrio absoluto? La respuesta queda para el lector. PREGUNTA
  2. 2. Concepto Intuitivo de Fuerza Si se quisiera mover un cuerpo que inicialmente se encuentra en reposo y equilibrio: se tendría que aplicar a dicho cuerpo por lo menos una fuerza. Fig. a Si se quisiera detener a un cuerpo que inicialmente esta en movimiento, se requiere de por lo menos una fuerza. Fig. b La acción de una fuerza produce la deformación de un cuerpo. Fig. c Se observa de las figuras(a, b y c): Para la presencia de una fuerza, deben existir por lo menos dos cuerpos que se encuentren interactuando entre si, lo cual no significa que estos estén en contacto, por ejemplo el sol y la tierra se atraen; pero no están en contacto, más si interactuando. Así pues, en síntesis y por ahora, podemos decir que una fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro que cambia o tiende a cambiar su movimiento o forma. Unidades de Fuerza en el S.I.: Otras unidades: Newton (N) Dina Kilogramos fuerza ( ) gramos fuerza ( ) Libra fuerza ( ) Cabe recordar al alumno que si un cuerpo tiene velocidad cero, su aceleración no necesariamente es nula, es decir un cuerpo puede estar en reposo; pero no necesariamente en equilibrio. PREGUNTA
  3. 3. Fuerzas Concurrentes en el Plano Primera Condición de Equilibrio Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, entonces dicho cuerpo se encuentran en equilibrio, siempre y cuando todas las fuerzas sean concurrentes y coplanares. Condición Algebraica Condición grafica Se sabe que si la resultante de un sistema de vectores es nula, el polígono que se forma será cerrado. Teorema de Lamy.- Si un solido se encontrase en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares y concurrentes, el valor de cada una de las fuerzas es directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone. Leyes de Newton Las leyes de Newton constituyen verdaderos pilares de la mecánica, fueron enunciadas en las famosas Obras de Newton “Principios Matemáticos de la Filosofa Natural”, publicada en 1686. Ellas son conocidas como la ley de Newton, de acuerdo con el orden en que aparecen en la obra citada. En este capitulo, estudiaremos la y la ley, que nos permitirán analizar el equilibrio del cuerpo, esto es el estudio de la Estática, la ley será estudiada en el capitulo: “DINAMICA”. Primera Ley (Ley de inercia).- “Un cuerpo de masa constante permanece en estado de reposo o de movimiento con una velocidad constante en línea resta, a menos que sobre ella actué una fuerza”. Ilustraciones: Para los ejemplos, idealizaremos varios casos: R = 0
  4. 4. Ejemplo (1).-Supondremos un caballo que no tenga porosidades en su cuerpo, esto para evitar el rozamiento. En la figura (izquierda) se observa una persona y un caballo en reposo. En la figura (derecha) se observa al caballo que se mueve bruscamente hacia la izquierda y la persona que aparentemente se mueve hacia atrás. ¿Por que? Inicialmente la persona y el caballo estaban en reposo, luego el caballo se movió (por efecto que no lo estudiaremos); pero ¿Quién o que detuvo a la persona? Nadie a nada, motivo por el cual queda en su lugar es decir en el punto “A”. Ejemplo (2).- En este caso también supondremos que los cubiertos y el mantel son perfectamente lizo, esto para evitar el rozamiento. La explicación es la misma que el ejemplo anterior. Ejemplo (3).- Consideramos un móvil cuya base interior sea liso, así como la suela de los zapatos de la persona. Inicialmente el móvil se mueve con velocidad “v”, como la persona es encuentra dentro del móvil, también estará moviéndose con la misma velocidad “v”, de pronto el móvil se detiene; pero la persona sigue moviéndose en línea recta y con velocidad “v” hasta que algo lo detenga. ¿Por que?, porque el móvil se detuvo por acción de los frenos; pero ¿Quién o que detuvo a la persona? Nadie o nada, motivo por el cual la persona segura moviéndose. Tercera Ley (Ley de la acción y Reacción).- “Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (Acción); entonces el otro le aplica una fuerza igual y en sentido contrario al primero (Reacción)”. Tener en cuenta que la acción y la reacción no se anulan porque no actúan en el mismo cuerpo. Ilustraciones: Ejemplo (1).- La tierra atrae a la personacon una fuerza . La persona reacciona y atrae también a la tierra con una fuerza - ,(en sentido contrario).
  5. 5. Ejemplo (2).-La tierra atrae a la Luna con una fuerza . La Luna atrae también a la tierra con una fuerza - ,(en Sentido contrario). Fuerzas Internas.- Son las que mantienen juntas a las partículas que forman un solido rígido. Si el solido rígido esta compuesto estructuralmente de varias partes, las fuerzas que mantienen juntas a las partes componentes se definen también como fuerzas internas; entre las fuerzas internas más conocidas, tenemos: La tensión y la comprensión. Tensión (T).- Es aquella fuerzas que aparece en el interior de un cuerpo flexible (cuerda, cable) debido a fuerzas extremas que tratan de alargarlo. Cabe mencionar que a nivel de Ingeniería la tensión o tracción como también se le llama, aparece también en cuerpos rígidos como en algunas columnas de una estructura. Comprensión (C).- Es aquella fuerza que aparece en el interior de un solido rígido cuando fuerzas externas tratan de comprimirlo. Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L) Hacer el D.C.L. de un cuerpo es representar gráficamente las fuerzas que actúan en el. Para esto siguen los siguientes pasos. 1. Se aísla al cuerpo, de todo el sistema. 2. Se representa al peso del cuerpo mediante un vector dirigido siempre hacia el centro de la tierra. 3. Si existiesen superficies en contacto, se representa a la reacción mediante un vector perpendicular a dichas superficies y empujando siempre al cuerpo. La acción y reacción no necesariamente producen los mismos efectos. Nota
  6. 6. 4. Si hubiesen cuerdas o cables, se representa a la tensión mediante un vector que esta siempre jalando al cuerpo, previo corte imaginario. 5. Si existen barras comprimidas, se representa a la compresión mediante un vector que esta siempre empujando al cuerpo, previo corte imaginario. Ilustraciones: Tipos de Apoyo.- Existen diversos tipos de apoyos, los más importantes son los siguientes: A. En contacto B. Apoyo fijo.- En este caso existen dos reacciones perpendiculares entre si.
  7. 7. C. Apoyo móvil.- En este caso existe solo una reacción que es perpendicular a las superficies en contacto. D. Empotramiento.- En este caso existen dos reacciones semejantes al apoya fijo mas un torque llamado: momento de empotramiento (dicho termino se vera mas adelante). PROBLEMAS PROPUESTOS
  8. 8. 1. En la figura, el peso de la esferita es 100 N. Determinar la tensión en la cuerda. a) 80 N 110 N b) 90 N c) 100 N d) 110 N e) 120 N 2. En la figura mostrada, el peso de la esfera es 200 N; despreciando todo tipo de rozamiento. Hallar la tensión del cable. a) 40 N b) 60 N c) 80 N d) 100 N e) 120 N 3. Se levanta la carga de 50 N, como se muestra. La polea pesa 20 N y la cuerda es de peso despreciable. Si la carga sube con velocidad constante. De terminar la tensión del cable que sostiene la polea. a) 120 N b) 120 N c) 360 N d) 50 N e) 20 N 4. Calcule la tensión de las cuerdas A y B. W = 200 N a) b) c) d) e) N.A. 5. En la figura mostrada se tiene una cuerda elástica que inicialmente estaba vertical; a dicha cuerda se le aplica una fuerza de 60 N y adopta la posición indicada de la figura. Determinar la tensión de la cuerda. a) 100 n b) 120 N c) 60 N
  9. 9. d) 50 N e) 40 N 6. Hallar el mínimo valor de la figura F que hace que el bloque de 120 N de peso este deslizando con velocidad constante sobre la pared lisa. a) 100 N b) 150 N c) 200 N d) 250 N e) 500 N 7. Una pequeña polea de masa despreciable esta sujeta al extremo de una cuerda también de masa despreciable que rodea una tubería de radio R = 30 cm y peso W = 60 N. Hallar para el equilibrio del tubo y la tensión en la cuerda. a) 120º, 30 N b) 120º, 40 N c) 120º, 20 N d) 120º, 80 N e) 120º, 100 N 8. Una cadena pequeña de masa 2m esta suspendida por los extremos. La tensión de la cadena en el punto inferior es “T”. Determínese la tensión en los puntos de suspensión. La cadena es homogénea. a) d) b) e) c) 9. Una lancha rápida arrastra a un esquiador con cometa como se muestra con la figura. El cable que remolca al cometa tiene una tensión de 80 Kg–f. ¿Cuál es el empuje vertical sobre el cometa para una altura constante del esquiador? El peso del esquiador es de 72 Kg-f. a) 10 Kg-f d) 100 Kg-f b) 60 Kg-f e) 120 Kg-f c) 80 Kg-f 10. Una cuerda de 10 m de longitud de dos soportes situados en los puntos A y B distantes 6 m. En punto “A” se encuentra 3 m más alto que “B”. Se ata un peso de una pequeña polea que desliza sobre la cuerda. Determinar la posición del peso respecto a los soportes cuando el sistema se encuentra en equilibrio.
  10. 10. a) 1.465 m b) 1.932 m c) 2.472 m d) 1.875 m e) 2.732 m 11. Calcular la reacción de la superficie, barra se encuentra en equilibrio y pesa 100 N. a) 75 N b) 120 N c) 50 N d) 80 N e) 60 N 12. El sistema esta en equilibrio, determinar el valor de x que define dicho equilibrio. a) b) c) d) e) 13. Una barra pesada y homogénea de 2m de longitud se apoya en una pared vertical y una superficie cilíndrica. Si no hay rozamiento, calcular el valor de para el equilibrio. a) 30º b) 45º c) 53º d) 15º e) N.A. 14. El collarín “A” de 150 N puede resbalar sobre una barra vertical sin friccionar y esta conectada, como se indica a un contrapeso “C” de 170 N. Hallar la medida de h para la posición de equilibrio. a) 25 cm b) 30 cm c) 34 cm d) 12 cm
  11. 11. e) 32 cm 15. Un bloque de peso W se encuentra sostenido como indica la figura. Determinar el ángulo para el cual la tensión “T” resulta ser mínima. a) 0º b) 30º c) 45º d) 60º e) 90º 16. Un bloque de peso “W” se encuentra sostenido por dos cuerdas, tal como muestra la figura ¿para que valor de “ ” es mínima la tensión en el cable? a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60 17. La barra AC y BC están articuladas entre si a una pared vertical. Sobre el perno de articulación “C” actual la fuerza vertical P = 1000 N. Determinar las reacciones de estas barras sobre el perno de articulación C si forman con la pared son iguales a: a) 866 N, 500 N b) 500 N, 866 N c) 400 N, 745 N d) 433 N, 250 N e) 250 N, 433 18. Dos esferas de pesos G y , pueden moverse sobre dos barras lisas OA y BO, perpendiculares entre si y situadas en un plano vertical. Además están enlazadas mediante una barra de peso despreciable. Determinar la tangente del ángulo de equilibrio.
  12. 12. a) d) b) e) c) 19. En el sistema mostrado los cuerpos A y B pueden deslizarse por los lados del ángulo K = 40º; uno de los lados es vertical y el otro forma un ángulo de 20º con el horizonte. El plano inclinado de contacto de ambos cuerpo constituye el ángulo de 40º con la vertical. Un resorte comprimido presiona sobre el cuerpo A hacia abajo con la fuerza P = 100 N. Despreciando el peso de los cuerpos y que las superficies en contacto son linsas, encontrar la fuerza horizontal Q que mantiene en equilibrio el sistema. a) 41; 10 N d) 82; 72 N b) 36; 46 N e) 10; 1 N c) 72; 83 N 20. Cuatro esferas de radio iguales R, forman una pirámide que se apoya sobre una superficie horizontal liso y plana. Las tres esferas inferiores tan solo tiene contacto mediante una cuerda que la circunda. Determinar la tensión T en esta cuerda, si el peso de cada esfera es Q y las superficies de las mismas son perfectamente lisas (T inmuto). No se tendrá en cuenta ninguna tensión inicial que pueda existir en la cuerda antes de colocar la cuarta esfera encima de las demás. a) b) c) d) e) 1. B 6. C 11. E 16. E 2. D 7. A 12. A 17. A 3. A 8. B 13. A 18. D 4. A 9. E 14. B 19. D CLAVE DE RESPUESTAS
  13. 13. Equilibrio de los cuerpos Rígido en un plano Solido Rígido.- Es aquel cuerpo (solido) que no se deforma. Sin embargo esto es hasta cierto punto ideal, puesto que todo cuerpo se deforma bajo las cargas a las que están sometidas, pero estas deformaciones ordinariamente son
  14. 14. pequeñas y no afectan las condiciones de equilibrio o movimiento de la estructura que se estudia. Por este motivo la mayor parte de los sólidos estudiados en mecánica generalmente van a ser considerados como sólidos rígidos. Momento de una Fuerza (Torque) Alrededor de un punto Es una magnitud vectorial que mide el efecto de giro que se produce sobre un cuerpo alrededor de un punto. Unidades de Momento en S.I.: Otras unidades: Representación Grafica del Momento de una Fuerza. En la fig. se muestra un cuerpo rígido, al cual se le aplica dos fuerzas del mismo, valor, claro esta que estas fuerzas se anulan, pero realmente producen sobre el un efecto de giro. Newton – metro (N – m) Dina – centímetros (dina – cm) Kilogramos fuerza - metro ( ) Libra fuerza - pie ( ) ¿De que depende el movimiento de una fuerza? A esta pregunta se le dará repuesta mediante un ejemplo. De la figura; se tiene una puerta que puede girar por la acción de una fuerza. Si la fuerza F aumenta, la puerta gira con mayor intensidad, es decir el torque aumentara, si “d” (brazo de palanca) aumenta, también el torque aumenta. Es decir, el momento de una fuerza depende del valor de la fuerza aplicada y de la distancia perpendicular del punto o eje de giro a la línea que contiene a la fuerza. PREGUNTA
  15. 15. Se representa mediante un valor perpendicular al plano de rotación, cuyo sentido se determina aplicando la regla de la mano derecha a del sacacorchos. Momento de la Fuerza “F” respecto al punto “o”. Casos Prácticos a) b) c) Convención de signos.- Asumiremos signo al torque (momento de una fuerza). Valido para fuerzas coplanares. Teorema de Varignon Si la línea recta que contiene a la fuerza pasa por el punto de rotación, el momento de esas fuerzas es cero. Nota
  16. 16. “El momento de la resultante de dos fuerzas concurrentes, con respecto a un centro en su plano, es igual a la suma algebraica de los momentos de las componentes con respecto al mismo centro”. Segunda Condición de Equilibrio (Equilibrio de un Cuerpo Rígido en un Plano) Si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se encuentran en un plano XY, entonces la condición para que dicho solido permanezca en equilibrio es: La fuerza resultante y el momento resultante respecto a un mismo punto, deben ser cero. Esto asegura que no hay movimiento acelerado de traslación. Esto asegura que no hay movimiento de rotación A : Es cualquier punto en el plano XY Resultante de un Sistema de Fuerzas Concentradas y Paralelas Si tenemos varias fuerzas concurrentes : , que actúen en un plano, puede demostrase mediante sucesivas aplicaciones del teorema de Varignon, que el momento de su resultante R, con respecto a un centro dado en el plano de las fuerzas, es igual a la suma algebraica de los momentos de las componentes con respecto al mismo centro; así: Nota
  17. 17. Para determinar la resultante de dos o más fuerzas paralelas, se suma algebraicamente sus módulos, su punto de aplicación se halla aplicado el teorema de Varignon. Ejemplo de Aplicación.- Se tiene una barra ingrávida en la cual se aplican varias fuerzas, como se muestra en la figura. Determinar la fuerza resultante y su posición. Solución: El origen de coordenadas rectangulares puede encontrarse en cualquier punto conveniente. R = + 10 + 12 – 2 – 4 – 8 R = +8 (hacia arriba) Calculando el punto de aplicación 8(x) = -4(1) – 8(10) + 10(2) + 12(6) 8x = 8 (a la derecha del punto 0) Cupla o Par de Fuerzas Se denomina así a un sistema de dos fuerzas, que tienen el mismo modula, rectas de acción paralelas y sentidos opuestos. Evidentemente la suma de sus componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es creo. Momento de un Par de Fuerzas Se creerá que la suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto dado es cero, sin embargo, no lo es. Aunque las fuerzas no producen la traslación del solido, tienden a hacerlo girar. R = 8 N X= 1m
  18. 18. M = - Fx + (+F)(x + d) M = - Fx + Fx + Fd M = Momento del par Representación Descomposición de una Fuerza en una Fuerza y un Par (Cupla) Algunas veces es recomendable trabajar con cuplas que con fuerzas, para esto se hace necesario transformar una fuerza en una culpa más otra fuerza en un punto de conveniente. Métodos gráficos para determinar la resultante de dos fuerzas paralelas M = Fd El momento de un par de fuerzas no depende de un punto fijo, por lo tanto es un vector libre y puede ubicarse en cualquier punto o línea de acción paralela. Los momentos de varios pares, son vectores, por lo tanto para determinar la resultante de varios momentos, solo habrá que aplicar la metodología de adición de vectores OBSERVACIONES
  19. 19. R = Para calcular el valor de la fuerza resultante, solo se suman algebraicamente los valores de las fuerzas paralelas. Para determinar la posición de estas fuerzas se procede del siguiente modo. Se construye un segmento igual a la fuerza mayor en sentido opuesto a la fuerza menor y un segmento igual a la fuerza menor sobre la fuerza mayor. Se unen los extremos D y E de estos segmentos y el punto C; donde esta recta corta a la recta AB, que une los puntos de aplicación de las fuerzas dadas, es por donde pasa la línea de acción de la resultante. Metodo Para determinar el punto de aplicación de dos fuerzas paralelas, se construyen dos vecto contrarios de cualquier magnitud, como se muestra. Se determina las resultantes d formadas, se prolongan estas resultantes cortándose en “O”; por este punto se traza una p mención, cortando a la recta AB en “O”, el cual será el punto de aplicación de la fuerza res metorregkh nfrdkgnfdgj knmeMeto do
  20. 20. R = R = PROBLEMAS PROPUESTOS
  21. 21. 1. Una barra homogénea AB de 1 m de longitud y 20 de N de peso, esta suspendida horizontalmente con ayuda de dos cuerdas paralelas AC y BD. En el punto “E” de barra, a la distancia AE = 0.25 m esta suspendida la carga P = 120 N. Hallar las tensiones de las cuerdas. a) b) c) d) e) 2. En una barra homogénea de 3 m de longitud y 6 N de peso, están suspendidas 4 cargas a distancias iguales entre si, dos de estas cargas se encuentran en los extremos de la barra. La primera carga de la izquierda pesa 2 N, cada carga siguiente es 1 N más pesada que la anterior. ¿A que distancia del extremo izquierdo, hay que suspender la barra para que esta permanezca horizontal? a) 1.00 m d) 2.00 m b) 1.50 m e) 2.25 m c) 1.75 m 3. Dos fuerzas paralelas y del mismo sentido, están separadas por una distancia de 0.2 m. Si una de las fuerzas es de 13 N y la línea de acción de la resultante esta a 0.08 m de la otra, encontrar (a) la magnitud de la resultante y (b) la magnitud de la otra fuerza. a) 30 N; 17.2 N b) 19.4 N; 27.8 N c) 26.8 N; 19.73 N d) 32.5 N; 19.5 N e) 10.0 N; 10.0 N 4. Hallar la suma de momentos de las fuerzas que actúan sobre la barra AB, con respecto al punto A. a) 431 .m b) 200 c) 31 d) 231 e) N.A. 5. Se tiene una barra de 1000 Newton y por su extremo superior estas amarrada a una cuerda vertical, por su parte inferior esta articulada al piso. ¿Cuánto vale la tensión del cable? a) 100 N b) 200 N c) 300 N d) 400 N e) 500 N
  22. 22. 6. Se tiene una barra de 500 N de peso apoyada sobre una pared y un piso sin rozamiento; determinar la tensión del cable. a. 187.5 N b. 150.1 N c. 235.0 N d. 86.3 N e. 230.5 N 7. Se tiene una barra homogénea de 1000 N de peso y 10 m de longitud, esta colocada como se muestra en la figura. ¿Que distancia “x” podrá avanzar el muchacho de 800 N de peso antes que la barra se vuelve? a) 1.75 m d) 2.70 m b) 2.00 m e) 2.10 m c) 2.50 m 8. En la figura mostrada, la barra y el bloque pesan 600 y 250 N respectivamente. Si el sistema se halla en equilibrio, determinar el valor del ángulo “ ”. a) 30º b) 37º c) 53º d) 60º e) 16º 9. Una bobina esta suspendida en el techo mediante un hilo, enrollado en el radio menor “r”. En el radio mayor “R” se enrolla un hilo, en cuyo extremo se cuelga un peso “Q” ¿Cual debe ser el valor del peso “Q” para que el sistema se encuentre en equilibrio? El peso de la bobina es “P”. a) d) b) e) c) 10. En la figura, hallar x, si la barra es de peso despreciable y 3 m de longitud. El sistema esta en equilibrio. a) 1.5 m d) 0.6 m b) 2 m e) N.A. c) 1 m
  23. 23. 11. Determine el valor del bloque “Q”, para que la barra homogénea de 60 N se mantenga en la posición mostrada. a) 30 N b) 18 N c) 72 N d) 90 N e) N.A. 12. El sistema mostrado esta en equilibrio. Calcule el peso del bloque “P”. Peso de la = 60 N. a) 30 N b) 40 N c) 50 N d) 60 N e) 70 N 13. Se tiene tres ladrillos iguales cuyas dimensiones son 18 x 6 cm, si las colocamos tal como se muestra en la figura. ¿Cuál será la máxima distancia “x” para mantener el equilibrio? a) 4.5 cm d) 18.0 cm b) 9.0 cm e) 10.0 cm c) 1.50 cm 14. La barra no tiene peso. Hallar la fuerza de reaccion en el punto B (en Newton). a) 360 d) 900 b) 1700 e) 180 c) 2700 15. Determinar la fuerza P (en Newton) necesaria para que la polea que pueda girar alrededor de 0 se encuentre en equilibrio. a) 300 d) 600 b) 400 e) N.A. c) 500
  24. 24. 16. El sistema esta en equilibrio en la posición mostrada. Hallar el ángulo“ ”. a) 53º d) 60º b) 37º e) N.A. c) 30 17. En la balanza de la figura, el punto de apoyo no coincide con el centro de gravedad de la barra. Cuando se coloca un objeto en A, la balanza se equilibra con 4 , cuando se coloca el objeto en B, la balanza se equilibra con 9 , en A. ¿Cuánto pesa el objeto? a) 5 d) 10 b) 6 e) 13 c) 6.5 18. Al pesar en una balanza de brazos diferentes un cierto cuerpo en un platillo, resulto ser de 3 y en el otro, de 3.4 . ¿Cuál es la verdadera masa del cuerpo? a) 3.194 kg d) 3.00 kg b) 6.22 kg e) 6.832 kg c) 1.75 kg 19. Si la barra AB, esta bajo el efecto de una fuerza vertical de 300 y de una horizontal de 150 , aplicadas como se muestra en la figura, encontrar el ángulo “ ” para lo cual hay equilibrio. Considérese el peso de la barra despreciable y que las superficies de los planos son lisos. a) 45º d) 53º b) 16º e) 60º c) 30º
  25. 25. 20. A y B son cilindros rectos que pesan 48 N y 67 N respectivamente, hallar las reacciones en las paredes. a) b) c) d) e) N.A. 1. B 6. A 11. A 16. C 2. C 7. C 12. A 17. B 3. D 8. B 13. B 18. A 4. C 9. C 14. E 19. A 5. E 10. D 15. C 20. A CALVE DE RESPUESTAS
  26. 26. Estática General A continuación se estudiara la estática teniendo en cuenta los tres ejes de coordenadas conocidas(X, Y, Z) así como también la aplicación directa del producto escalar y vectorial de vectores. Primera Condición de Equilibrio Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, entonces dicha partícula se encuentra en equilibrio. Momento de una Fuerza alrededor de un Punto El momento de una fuerza es una magnitud vectorial que mide el efecto de giro que se produce sobre un cuerpo alrededor de un punto. El momento depende del radio vector y de la fuerza aplicada. Se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación, cuyo sentido se determina aplicando la regla de la mona derecha. Si: : Momento de la fuerza F respecto al punto “O” El modulo de dicho momento será: = El momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes con respecto a un centro en su plano es igual a la suma de los momentos de las distancias fuerzas aplicadas sobre el mismo centro. Teorema de Varignon
  27. 27. Equilibrio de un Cuerpo Rígido Para que un cuerpo rígido permanezca en equilibrio, la fuerza resultante y el momento resultante respecto a un mismo punto, deben ser cero. Lo cual equivale a: Solo así estaríamos asegurando que un cuerpo no tiene movimiento de traslación, ni de rotación. Momento de una fuerza con respecto a un eje Sea la fuerza , cuyo momento con respecto a un punto “O” es . Se define el momento de la fuerza con respecto al eje “OL” como la proyección de sobre “OL”. : Momento de la fuerza F respecto al eje “OL” : Momento de la fuerza F respecto al punto “O” : Vector unitario en la dirección del eje “OL” De donde se deduce que el momento de una fuerza respecto a un eje es un escalar. Casos Particulares a) Si la fuerza es paralela al eje: = Ahora: el ángulo que forma y es 90º.
  28. 28. Luego: . = . cos90º ………… demostrado b) Si la línea que contiene a la fuerza se corta con el eje: = 0 Como = 0…… demostrado c) Si el momento es paralela al eje: …… demostrado
  29. 29. 1. Un globo esta sujeto 3 cables de amarre, como muestra la figura. Si la fuerza resultante desarrollada por el globo hacia arriba es 18000 N. Calcule la tensión en el cable AB. a) 20 000 N b) 30 000 N c) 40 000 N d) 50 000 N e) 60 000 N 2. Una carga “E” de 100 N esta colgado en in trípode ABCD. Los pies tiene una misma longitud, están sujetos en el piso horizontal y forma entre si ángulos iguales. Determinar el esfuerzo en cada pie, si se sabe que estos forman ángulos de 30º con la vertical BE. a) 37.2 N d) 42.7 N b) 36.4 N e) 32.7 N c) 38.5 N 3. Determinar los esfuerzos en la barra AB y en las cuerdas AC y AD que sostiene una carga Q de 42 kgf de peso. Si AB = 145 cm, AC = 80 cm, AD = 60 cm. El plano del rectángulo CADE es horizontal y los planos “V” y “W” son verticales. La unión en el punto “B” es articulada, (dar su respuesta en kgf) a) b) c) d) e) N.A. 4. Hallar el momento respecto al punto “O” de la fuerza de 100 (coplanar al plano inclinado). PROBLEMAS PROUESTOS
  30. 30. a) b) c) d) e) 20 000 N 5. La puerta pesa 600 N, si no hay fricción entre la cuerda y la rama del árbol. ¿Cuál es el peso de la persona para el equilibrio? a) 350 N d) 380 N b) 360 N e) 390 N c) 370 N 6. Una fuerza de 240 N, actúa como se indica en la figura. Calcule el valor del momento producido por la fuerza con respecto al eje Z (en N-m) a) 300 d) 240 b) 40 e) 240 c) 80 7. Una placa homogénea rectangular ABCD, de peso “P”, se mantiene horizontal sobre tres apoyos puntiformes, dos de los cuales están situados en los vértices “A” y “B” del rectángulo y el tercero en cierto punto “E”. las presiones sobres los apoyos “A” y “B” son respectivamente 0.25º y 0.2P. hallar la presión sobre el apoyo en el punto, “E” y las coordenadas de este punto, si las longitudes de los lados de la placa son “a” y “b”. a) b) c) d) e) 8. La tapa de un cajón rectangular ABCD esta sostenida por un lado mediante un palo “DE”. El peso de la tapa es de 24 N, AD = AG; el ángulo DAE = 60º. Determinar las reacciones de las articulaciones “A” y “B”, así como el esfuerzo “S” en el palo. Se desprecia al peso del palo (en N).
  31. 31. a) S = 4 b) S = 3 c) S = 4 d) S = 8 e) N.A. 9. Una placa rectangular ABCD, de ancho a, longitud b y peso Q, esta sostenida horizontalmente mediante tres barras verticales articuladas, en la forma indicada en la figura. Determinar las tensiones , y en las tres barras. a) = ; = 0 b) = Q ; = c) = = Q d) = ; = 0 e) N.A. 10. Un disco circular de radio r = 3 cm, esta fijado por su centro “O” a un eje AB, siendo su plano perpendicular a dicho eje, el cual esta guiado por sus extremos A y B mediante do cojines y forma con la vertical un ángulo = 20º, tal como indica la figura. Determinar el momento M, con respecto al eje AB, de una fuerza vertical P = 40 kg aplicada al disco en el extremo del radio horizontal OD. a) 41 kg – cm b) 42 kg – cm c) 43 kg – cm d) 44 kg – cm e) 45 kg - cm
  32. 32. 1. A 6. E 2. C 7. D 3. A 8. C 4. B 9. A 5. A 10. A CLAVE DE RESPUESTAS

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