9             DERIVADAS.                                     TÉCNICAS DE DERIVACIÓNPágina 255REFLEXIONA Y RESUELVETangente...
Función derivada    ■   Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo com-        portamiento ...
UNIDAD   9Página 2611. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:              1–x                      ...
e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d):                                                            2         – (1 + tg 2 ...
UNIDAD   9                                                                       1 + 2(3 – x) · (–1)                      ...
5. Calcula f (0) siendo:                                                1               2x + 1                    f (x) = ...
UNIDAD   92. Calcula m y n para que f (x) sea derivable en Á:                        ° x 2 – mx + 5, x Ì 0                ...
( )       Necesitamos obtener el valor de f  2, π . Hallamos previamente f  (x, y):                                       ...
UNIDAD   9    b) Dy = y (2,1) – y (2) = 1,8466 – 1,7321 = 0,1145                                  x       dy = y  · dx =  ...
4. Procediendo como en el ejercicio anterior, halla, aproximadamente:       a) 1,014       b) √15,8          3       c) √6...
UNIDAD   9Página 275EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS        PARA PRACTICAR        Reglas de derivación        Calcula las...
1      5 a) y =                                          b) y = ln (x 2 + 1)                    sen x         a) y  = – co...
UNIDAD   9               3                                                              x2  12 a) y = √(5x – 3)2          ...
x+1     18 a) y = 2x                                                       b) y = arc sen                                 ...
UNIDAD   9                              1–x  1        a) y = ln                      √       1+x                          ...
2(x – 1)   2(y + 3)y         d)            –            =0                 8           14              x – 1 (y + 3)y     ...
UNIDAD   9           Despejamos y:                                   (                y = x x + 1 ln x + 1 +              ...
Derivamos como función implícita:                  y                                  1                     = (1 + tg 2 x)...
UNIDAD   9        c) I) y = 3sen 2 x cos x · cos 2 x + sen 3 x · 2cos x (–sen x) =                 = 3sen 2 x cos 3 x – 2c...
c) Aplicamos la regla de la cadena:                         D [ln f (x)]       f  (x)   1             j  (x) =            ...
UNIDAD   9           Derivabilidad en x = 1:             lím    f (x) = lím 3 = 3 = f (1 –)      °           x 8 1–       ...
29 Estudia la continuidad y la derivabilidad de estas funciones:                    °ex             si x Ì 0              ...
UNIDAD   9           Continuidad en x = 2:             lím f (x) = lím (2x + 2) = 6     °           x 8 2–            x82 ...
Derivabilidad:       • Si x ? 0 y x ? 1 8 La función es derivable. Su derivada es, en esos         puntos:                ...
UNIDAD   9        Definición de derivada  31 Utiliza la definición de derivada para hallar f  (2) en los siguientes casos:...
1            f (x + h) = x + h +         8 f (x + h) – f (x) =                                    x+h                     ...
UNIDAD   9        b) Definimos la función por intervalos. Para ello, calculamos los puntos en los que           y = 0:    ...
Derivamos:                            ° 2x – 1 si x < 0                  f  (x) = ¢                            £ 2x + 1 si...
UNIDAD   9        d) y = e x (x – 1) + e x = e x (x – 1 + 1) = xe x           y = 0 8 x = 0 8 y = –1           Se anula en...
• En x = 1:            f (1–) = –3     °                             ¢            f (1+) = –2 + n £            Para que se...
UNIDAD   9        • En x = 2 debe cumplirse que f  (2–) = f  (2+):           f (2–) = 4a + 3 °                            ...
Página 277     s39 Calcula a y b para que f sea continua y derivable.                              ° x3 – x     si x Ì 0  ...
UNIDAD   9s41 Calcula la derivada de orden n de la función f (x) = e 2x.                f (x) = 2e 2x                f (x)...
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  1. 1. 9 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓNPágina 255REFLEXIONA Y RESUELVETangentes a una curva y = f (x ) 5 3 –5 3 9 14■ Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f (3), f (9) y f (14). –3 f (3) = 0; f (9) = ; f (14) = 1 4■ Di otros tres puntos en los que la derivada es positiva. La derivada también es positiva en x = – 4, x = –2, x = 0…■ Di otro punto en el que la derivada es cero. La derivada también es cero en x = 11.■ Di otros dos puntos en los que la derivada es negativa. La derivada también es negativa en x = 4, x = 5…■ Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que “si x é [a, b ], entonces f (x) > 0”. Por ejemplo, en el intervalo [–5, 2] se cumple que, si x é [–5, 2], entonces f (x) > 0.Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 1
  2. 2. Función derivada ■ Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo com- portamiento responde al de la derivada de f (x). • En el intervalo (a, b), f (x) es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo y = f (x ) que le pasa a g (x) en (a, b). • La derivada de f en b es 0: f (b) = 0. Y también es b g(b) = 0. a • En general: g (x) = f (x) = 0 donde f (x) tiene tangente horizontal. y = g (x ) = f (x ) g (x) = f (x) > 0 donde f (x) b es creciente. a g (x) = f (x) < 0 donde f (x) es decreciente. ■ Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas de arriba, 1, 2 y 3, pero en otro orden. Explica razonadamente cuál es la de cada una. 1 2 3 1) B 2) A 3) C La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa donde A B C la función decrece. Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación2
  3. 3. UNIDAD 9Página 2611. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: 1–x 1–x a) f (x) = 1+x b) f (x) = 1+x √ 1–x 1 – tg x c) f (x) = ln d) f (x) = 1+x 1 + tg x 1 – tg x e) f (x) = √ 1 + tg x f ) f (x) = ln √e tg x g) f (x) = √3 x + 1 h) f (x) = log (sen x · cos x)2 i ) f (x) = sen2 x + cos2 x + x j ) f (x) = sen √x + 1 · cos √x – 1 3 k) f (x) = arc sen √x l) f (x) = sen (3x5 – 2√x + √2x ) 3 m) f (x) = √sen x + x 2 + 1 n) f (x) = cos2 √x + (3 – x)2 a) f (x) = –1 · (1 + x) – (1 – x) · 1 = –1 – x – 1 + x = –2 (1 + x) 2 (1 + x) 2 (1 + x) 2 b) Utilizamos el resultado obtenido en a): 1 –2 –1 f (x) = · = 1–x (1 + x) 2 √ (1 – x)(1 + x) 3 2 √ 1+x c) Utilizamos el resultado obtenido en a): f (x) = 1 · –2 = –2(1 + x) = –2 1 – x (1 + x) 2 (1 – x)(1 + x) 2 1 – x2 1+x De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f (x) = ln (1 – x) – ln (1 + x). Derivamos: –1 1 f (x) = – = –1 – x – 1 + x = –2 1–x 1+x 1 – x2 1 – x2 2 2 d) f (x) = – (1 + tg x)(1 + tg x) – (1 – tg x) · (1 + tg x) = (1 + tg x) 2 2 2 = (1 + tg x)[–1 – tg x – 1 + tg x] = – 2(1 + tg x) (1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2 De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a): 2 f (x) = –2 · D [tg x] = –2 · (1 + tg 2 x) = – 2(1 + tg x) (1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2 (1 + tg x) 2Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 3
  4. 4. e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d): 2 – (1 + tg 2 x) f (x) = 1 · – 2(1 + tg x) = 1 – tg x (1 + tg x) 2 √ (1 – tg x)(1 + tg x) 3 2 √ 1 + tg x También podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b). tg x f) f (x) = ln √e tg x = ln e (tg x) / 2 = 2 1 + tg 2 x f (x) = 2 g) f (x) = √3 x + 1 = 3 (x + 1) / 2 1 ln 3 √3 x + 1 f (x) = 3 (x + 1) / 2 · · ln 3 = · 2 2 h) f (x) = log (sen x · cos x)2 = 2 [log (sen x + log (cos x)] f (x) = 2 [ cos x · 1 sen x ln 10 + –sen x cos x · 1 ln 10 = 2 ln 10 ·]cos 2 x – sen 2 x sen x · cos x = 4 cos 2 x – sen 2 x 4 cos 2x 4 = · = · = ln 10 2sen x · cos x ln 10 sen 2x ln 10 · tg 2x De otra forma: f (x) = log (sen x · cos x) 2 = 2 log ( sen 2x 2 ) 1 4 f (x) = 2 · · cos 2x = ln 10 sen 2x ln 10 · tg 2x 2 i) f (x) = sen 2 x + cos 2 x + x = 1 + x f (x) = 1 — — — — cos √ x + 1 · cos √ x – 1 sen √ x + 1 · (– sen √ x – 1 ) j) f (x) = + = 2 √x + 1 2 √x – 1 — — — — cos √ x + 1 · cos √ x – 1 sen √ x + 1 · sen √ x – 1 = – 2 √x + 1 2 √x – 1 1 1 1 k) f (x) = · = √1 – x 2√x 2 √ x – x2 3 l) 3 f (x) = cos (3x 5 – 2 √x + √2x ) · 15x 4 – ( 1 √2 + 3 √ x 3√ x2 ) 1 cos x + 2x m) f (x) = · (cos x + 2x) = 2 √ sen x + x 2 +1 2 √ sen x + x 2 + 1 Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación4
  5. 5. UNIDAD 9 1 + 2(3 – x) · (–1) 3 [ 3 n) f (x) = 2cos √x + (3 – x) 2 · –sen √x + (3 – x) 2 · ] 3 √ (x + (3 – x) 2 )2 = 3 — — 3 — — –2 cos √ x + ( 3 – x) 2 sen √ x + ( 3 – x) 2 · (2x – 5) = 3 = 3 √x + (3 – x)2 )2 3 (5 – 2x) · sen (2 √x + (3 – x) 2) = 3 3 √(x + (3 – x)2 )22. Halla las derivadas 1.a, 2.a y 3.a de las siguientes funciones: a) y = x 5 b) y = x cos x c) y = sen2 x + cos2 x + x a) y = x 5 y = 5x 4; y = 20x 3; y = 60x 2 b) y = x cos x y = cos x – x sen x y = –sen x – sen x – x cos x = –2sen x – x cos x y = –2cos x – cos x + x sen x = –3cos x + x sen x c) y = sen 2 x + cos 2 x + x = 1 + x y = 1; y = 0; y = 0 — 3—3. Calcula f (1) siendo: f (x) = √x √3x · e 4 5 2 √ 3x 2 —3— 15 1/2 1/3 1/3 f (x) = √x √3x · e 4 = x · 3 · x · e = 4 3 2/15 · e 4 · x 13/30 = √ 9 · e 4 · x 13/30 5 1/5 · x 2/5 2 √ 3x 2 2·3 2 2 15 15 f (x) = √ 9 · e 4 · 13 x –17/30 = 13 √ 9 · e 4 30 x 17 √ 3 30 60 15 13 √ 9 · e 4 Por tanto: f (1) = 604. Calcula f (π/6) siendo: f (x) = (cos2 3x – sen2 3x) · sen 6x sen 12x f (x) = (cos 2 3x – sen 2 3x) · sen 6x = cos 6x · sen 6x = 2 12cos 12x f (x) = = 6cos 12x 2 6 ( ) Por tanto: f π = 6 · cos 12π = 6 · cos(2π) = 6 · 1 = 6 6Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 5
  6. 6. 5. Calcula f (0) siendo: 1 2x + 1 f (x) = ln √x 2 + x + 1 – · arc tg √3 √3 1 2x + 1 1 1 2x + 1 f (x) = ln √x 2 + x + 1 – arc tg = ln (x 2 + x + 1) – arc tg √3 √3 2 √3 √3 — f (x) = 1 · 2x + 1 – 1 · 2/ √ 3 = 2 x2 + x + 1 √3 1 + —2x + 1 √3 — ( )2 2x + 1 2 1 = – · = 2x 2+ 2x + 2 4x 2 + — 3 1 + —4x + 1 3 2x + 1 2 3 = – · = 2x 2 + 2x + 2 3 3 + 4x 2 + 4x + 1 = 2x + 1 – 2 = 2x + 1 – 1 = 2x 2 + 2x + 2 4x 2 + 4x + 4 2x 2 + 2x + 2 2x 2 + 2x + 2 = 2x = x 2x 2 + 2x + 2 x2 + x + 1 Por tanto: f (0) = 0 Página 262 1. Estudia la derivabilidad en x0 = 3 de la función: ° x 2 – 3x, x Ì 3 f (x) = ¢ £ 3x – 9, x > 3 • Continuidad en x0 = 3: lím f (x) = lím (x 2 – 3x) = 0 ° lím f (x) = f (3) = 0 § x83 x 8 3– x83 § ¢ lím + f (x) = lím (3x – 9) = 0 § Por tanto, f (x) es continua en x0 = 3. x83 x83 § £ • Derivabilidad en x0 = 3: lím f (x) = lím – (2x – 3) = 3 = f (3 –) ° § x 8 3– x83 § Las derivadas laterales existen ¢ y coinciden. lím + f (x) = lím + (3) = 3 = f (3 +) § x83 x83 § £ Por tanto, f (x) es derivable en x0 = 3. Además, f (3) = 3. Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación6
  7. 7. UNIDAD 92. Calcula m y n para que f (x) sea derivable en Á: ° x 2 – mx + 5, x Ì 0 f (x) = ¢ 2 £ –x + n, x>0 • Si x ? 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polino- mios. • Continuidad en x = 0: lím f (x) = lím (x 2 – mx + 5) = 5 ° x 8 0– x80 § § 2 + n) = n § Para que f (x) sea continua en x = 0, lím + f (x) = lím (–x ¢ ha de ser: n = 5 x80 x80 § § § f (0) = 5 £ • Derivabilidad en x = 0: lím f (x) = lím – (2x – m) = – m = f (0–) ° x 8 0– x80 § § Para que sea derivable en x = 0, ha ¢ de ser: – m = 0 8 m = 0 lím + f (x) = lím + (–2x) = 0 = f (0+) § x80 x80 § £ Por tanto, f (x) es derivable en Á para m = 0 y n = 5.Página 2631. Sabemos que la derivada de la función f (x) = x 3 es f (x) = 3x 2. Teniendo en cuenta este resultado, halla la derivada de su función inversa: 3 f –1 (x) = √x . 1 (f –1 ) (x) = 3 3 √x 2Página 2641. Comprueba que sen (x 2 y) – y 2 + x = 2 – π2 16 pasa por el punto 2, π 4 ( ) y halla la ecuación de la recta tangente en ese punto. Sustituimos x = 2, y = π en la expresión: 4 ( sen 4 · π – 4 )π2 16 +2=0+2– π2 16 =2– π2 16 ( ) Se cumple la igualdad. Luego la curva dada pasa por el punto 2, π . 4Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 7
  8. 8. ( ) Necesitamos obtener el valor de f 2, π . Hallamos previamente f (x, y): 4 π2 Derivamos sen (x 2 y) – y 2 + x = 2 – : 16 cos (x 2 y) · (2xy + x 2 · y ) – 2y · y + 1 = 0 2xy cos (x 2 y) + y · x 2 · cos (x 2 y) – 2y y + 1 = 0 y (x 2 · cos (x 2 y) – 2y) = –1 – 2xy cos (x 2 y) 2 f (x, y) = –1 – 2xy cos (x y) x 2 · cos (x 2y) – 2y Por tanto: ( ) f 2, π = –1 – π · cos π = –1 + π = –2 + 2π = 2 – 2π 4 4 cos π – π/2 – 4 – π/2 –8 – π 8+π La ecuación de la recta tangente es: y = π + 2 – 2π (x – 2) 4 8+π 2. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: a) f (x) = (sen x)x b) g (x) = x sen x a) f (x) = (sen x) x 8 ln f (x) = x ln (sen x) f (x) f (x) = ln (sen x) + x · cos x sen x [ 8 f (x) = (sen x) x ln (sen x) + x cos x sen x ] b) g (x) = x sen x 8 ln g (x) = sen x · ln x g (x) 1 = cos x · ln x + sen x · g (x) x [ g (x) = x sen x · cos x · ln x + sen x x ] Página 270 1. Calcula Dy, dy, Dy – dy: a) y = x 2 – x para x0 = 3, dx0 = 0,01 b) y = √x 2 – 1 para x0 = 2, dx0 = 0,1 3 c) y = √x para x0 = 125, dx0 = 1 a) Dy = y (3,01) – y (3) = 6,0501 – 6 = 0,0501 dy = y · dx = (2x – 1) · dx, que evaluado en x0 = 3 y dx0 = 0,01 es: 5 · 0,01 = 0,05 Dy – dy = 0,0001 Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación8
  9. 9. UNIDAD 9 b) Dy = y (2,1) – y (2) = 1,8466 – 1,7321 = 0,1145 x dy = y · dx = · dx, que evaluado en x0 = 2 y dx0 = 0,1 es: √x 2 – 1 2 · 0,1 = 0,1155 √3 Dy – dy = – 0,001 c) Dy = y (126) – y (125) = 5,01330 – 5 = 0,01330 1 dy = y · dx = 3 · dx, que evaluado en x0 = 125 y dx0 = 1 es: 3 √x 2 1 · 1 = 0,01333 75 Dy – dy = – 0,000032. A una bola de bronce de 7 cm de radio se le da un baño de plata de 0,2 mm de grosor. Calcula la cantidad de plata empleada (aproximadamente, a partir de la dife- rencial). 4 3 V= πr 3 dV = 4πr 2 · h = 4π · 72 · 0,02 = 12,3088 Se emplean, aproximadamente, 12,3 cm3 de plata. 33. Calcula una aproximación de √126 dando los siguientes pasos: 3 • Llama f (x) = √x . • Obtén df para x0 = 125 y dx0 = 1. • Obtén f (126) ≈ f (125) + df (125) para dx0 = 1. 3 f (x) = √x 1 df = f (x) · dx = 3 · dx 3 √x 2 Evaluando en x0 = 125 y dx0 = 1: 1 df (125) = = 0,0133 75 Así: f (126) ≈ f (125) + df (125) = 5 + 0,0133 = 5,0133Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 9
  10. 10. 4. Procediendo como en el ejercicio anterior, halla, aproximadamente: a) 1,014 b) √15,8 3 c) √66 a) f (x) = x 4; x0 = 1; dx0 = 0,01 df = f (x) · dx = 4x 3 · dx = 4 · 13 · 0,01 = 0,04 f (1,01) ≈ f (1) + df (1) = 1 + 0,04 = 1,04 b) f (x) = √x ; x0 = 16; dx0 = – 0,2 1 1 df = f (x) · dx = · dx = · (–0,2) = –0,025 2 √x 2 √16 f (15,8) ≈ f (16) + df (16) = √16 – 0,025 = 3,975 3 c) f (x) = √x ; x0 = 64; dx0 = 2 1 1 df = f (x) · dx = 3 · dx = 3 · 2 = 0,0417 3 √x 2 3 √642 f (66) ≈ f (64) + df (64) = 4 + 0,0417 = 4,0417 Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación10
  11. 11. UNIDAD 9Página 275EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Reglas de derivación Calcula las derivadas de las siguientes funciones: x2 – 3 3 1 a) y = b) y = √3x 2 x2 + 3 2 2 3 3 a) y = 2x (x + 3) – (x – 3) 2x = 2x + 6x – 2x + 6x = 12x (x 2 + 3) 2 (x 2 + 3) 2 (x 2 + 3) 2 2 b) y = 3 √9x 2 x2 2 a) y = ( 1–x 1+x ) 2/3 b) y = x + 2 a) y = 2 3 ( ) 1–x 1+x –1/3 · –1 · (1 + x) – (1 – x) = (1 + x) 2 2 3 ( ) 1+x 1–x –1/3 · –1 – x – 1 + x = (1 + x) 2 2 –2 –4 = = 3 3 (1 – x) 1/3 · (1 + x) 5/3 3 √ (1 – x)(1 + x) 5 ( ) b) y = 2 · – 1 + x2 1 2 · 2x = – 2 + x x2 ln x 3 a) y = b) y = 7e –x x a) y = (1/x) · x – ln x = 1 – ln x x2 x2 b) y = –7e –x e x + e –x 4 a) y = b) y = sen x cos x e x – e –x x –x 2 x –x 2 2x –2x – 2 – e 2x – e –2x – 2 a) y = (e – e ) – (e + e ) = e + e = –4 (e x – e –x ) 2 (e x – e –x ) 2 (e x – e –x ) 2 b) y = cos x · cos x + (–sen x) · sen x = cos 2 x – sen 2 x = cos 2xUnidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 11
  12. 12. 1 5 a) y = b) y = ln (x 2 + 1) sen x a) y = – cos x b) y = 2x sen 2 x x2 +1 x 6 a) y = arc tg b) y = cos2 (2x – π) 3 1 1 1/3 3 a) y = · = = 1 + (x/3) 2 3 1 + x 2/9 9 + x2 b) y = 2cos (2x – π) · (–sen (2x – π)) · 2 = – 4cos (2x – π) · sen (2x – π) = = –2cos (4x – 4π) 7 a) y = sen2 x b) y = √tg x 1 1 + tg 2 x a) y = 2sen x · cos x = sen 2x b) y = · (1 + tg 2 x) = 2√ tg x 2√ tg x 8 a) y = sen x 2 b) y = arc tg (x 2 + 1) a) y = cos x 2 · 2x = 2x cos x 2 b) y = 1 · 2x = 2x 1 + (x 2 + 1) 2 x 4 + 2x 2 + 2 9 a) y = (2√x – 3)7 b) y = log2 √x 1 7 a) y = 7(2 √x – 3)6 · 2 · = (2 √x – 3)6 2√ x √x 1 1 b) y = · 1 · = 1 √ x ln 2 2√ x 2x ln 2 1 10 a) y = sen2 x 2 b) y = arc tg x a) y = 2 sen x 2 · cos x 2 · 2x = 4x sen x 2 cos x 2 = 2x sen (2x 2 ) b) y = 1 1 + (1/x) 2 ( ) · – 1 = –1/x x 2 2 1 + 1/x 2 =– 1 x2 + 1 11 a) y = cos5 (7x 2) b) y = 3x + 1 a) y = 5cos 4 (7x 2 ) · (–sen (7x 2 )) · 14x = –70x cos 4 (7x 2 ) sen (7x 2 ) b) y = 3 x ln 3 Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación12
  13. 13. UNIDAD 9 3 x2 12 a) y = √(5x – 3)2 b) y = arc sen 3 2 10 a) y = (5x – 3) –1/3 · 5 = 3 3 3 √5x – 3 1 2x 2x/3 2x b) y = · = — = 3 √ ( ) 1– x2 2 √9 – x 4 √ 9 – x4 3 3 x2 13 a) y = ln (2x – 1) b) y = tg 2 2 a) y = 2x – 1 ( b) y = 1 + tg 2 x2 2 ·)2x 2 = x + x tg 2 x2 2 14 a) y = ln (x 2 – 1) b) y = arc cos √2x a) y = 2x x2 – 1 –1 2 –1 1 b) y = — 2 · = — — =– √1 – (√2x) 2 √ 2x √2x · √ 1 – 2x √ 2x – 4x 2 15 a) y = ln √1 – x b) y = (arc tg x)2 1 a) y = ln √1 – x = ln (1 – x) 1/2 = ln (1 – x) 2 1 –1 –1 y = · = 2 (1 – x) 2 – 2x b) y = 2(arc tg x) · 1 = 2 arc tg x 1+x 2 1 + x2 3 16 a) y = log3 (7x + 2) b) y = ln tg x 1 7 7 a) y = · = ln 3 (7x + 2) (7x + 2) ln 3 ( )( ) 1 3 2 b) y = · 1 + tg 2 · – 3 = – 3 (1 + tg 3/x) tg 3/x x x2 x 2 tg 3/x 17 a) y = e 4x b) y = ln ln( ) 1 x a) y = 4e 4x b) y = 1 · 1 ln 1/x 1/x ( ) · – 1 =– x 2 1 x ln (1/x)Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 13
  14. 14. x+1 18 a) y = 2x b) y = arc sen x–1 a) y = 2 x · ln 2 b) y = 1 · (x – 1) – (x + 1) = 1 · –2 = (x – 1) 2 (x – 1) 2 √ ( ) 2 √ (x – 1)2 – (x + 1)2 1– x+1 x–1 x–1 2/(x – 1) 2 =– = = √ (x – 1) 2 – (x + 1)2 (x – 1) √ x 2 + 1 – 2x – x 2 – 1 – 2x 2 =– (x – 1) √ –4x — 19 a) y = 5 tg3 (3x 2 + 1) b) y = √ x + √x a) y = 15 tg 2 (3x 2 + 1) · [1 + tg 2 (3x 2 + 1)] · 6x = 90x [tg 2 (3x 2 + 1) + tg 4 (3x 2 + 1)] 2√x + 1 2√x + 1 b) y = 1 — 1+ 2 √ x + √x 1 2√x = ( — — = 4 √ x √ x + √x ) — 4 √ x2 + x √x 3 x–2 20 a) y = √tg x 2 b) y = √ x+2 1 x (1 + tg 2 x 2 ) a) y = (1 + tg 2 x 2 ) · 2x = 2√ tg x 2 √ tg x 2 ( ) 1 x–2 –2/3 1 b) y = · x + 2 – (x – 2) = · 4 = 3 x+2 (x + 2) 2 (x + 2) 2 √( ) 3 x–2 2 3 x+2 4 4 4 = 3 = 3 = 3 = √ (x – 2)2 3(x + 2) 4/3 · √ (x – 2) 2 3 √ (x + 2) 4 (x – 2) 2 3· (x + 2)2 · (x + 2)2/3 4 = 3 3(x + 2) √ (x + 2)(x – 2) 2 Otras técnicas de derivación 21 Calcula la derivada de las siguientes funciones, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos: 1–x a) y = ln √ 1+x b) y = ln (x tg x)2 ( ) 3 √x 2 – 1 c) y = ln d) y = ln (2x sen 2 x ) x2 Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación14
  15. 15. UNIDAD 9 1–x 1 a) y = ln √ 1+x = [ln (1 – x) – ln (1 + x)] 2 y = 1 –1 2 1–x [ – 1 1+x = 1 –1 – x – 1 + x 2 1 – x2 ] [ = –1 1 – x2 ] b) y = ln (x tg x) 2 = 2[ln x + ln (tg x)] 1 + tg 2 x y = 2 [ 1 x + tg x ] [ =2 1 + 1 x tg x ] 2 + tg x = + 2 cotg x + 2 tg x x ( ) 3 √x 2 – 1 3 1 c) y = ln = ln √x 2 – 1 – ln x 2 = ln (x 2 – 1) – 2ln x x2 3 1 2x 1 2x 2 y = · –2· = – 3 (x 2 – 1) x 3(x 2 – 1) x d) y = ln (2x sen 2 x) = ln 2x + ln sen 2 x = x ln 2 + 2 ln sen x cos x 2 y = ln 2 + 2 · = ln 2 + sen x tg x 22 Calcula la derivada de estas funciones implícitas: a) x 2 + y 2 = 9 b) x 2 + y 2 – 4x – 6y = –9 x2 y2 (x – 1)2 (y + 3)2 c) + =1 d) – =1 16 9 8 14 e) x 3 + y 3 = –2xy f) xy 2 = x 2 + y a) 2x + 2y · y = 0 –2x –x y = = 2y y b) 2x + 2y y – 4 – 6y = 0 y (2y – 6) = 4 – 2x 4 – 2x 2–x y = = 2y – 6 y–3 2x 2yy c) + =0 16 9 x 2yy + =0 8 9 2yy x –9x –9x =– 8 2y y = 8 y = 9 8 8 16yUnidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 15
  16. 16. 2(x – 1) 2(y + 3)y d) – =0 8 14 x – 1 (y + 3)y – =0 4 7 7(x – 1) y = 4(y + 3) e) 3x 2 + 3y 2y + 2y + 2xy = 0 y (3y 2 + 2x) = –3x 2 – 2y –3x 2 – 2y y = 3y 2 + 2x f) xy 2 = x 2 + y y 2 + x · 2y y = 2x + y 2x y y – y = 2x – y 2 y (2x y – 1) = 2x – y 2 2x – y 2 y = 2x y – 1 23 Aplica la derivación logarítmica para derivar: a) y = x 3x b) y = x x + 1 x c) y = x e d) y = (ln x)x + 1 e) y = ( sen x x ) x f ) y = x tg x a) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x : y = x 3x 8 ln y = 3x ln x Derivamos como función implícita: y 1 = 3 ln x + 3x · = 3 ln x + 3 y x Despejamos y: y = x 3x (3ln x + 3) b) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x : y = x x + 1 8 ln y = (x + 1) ln x Derivamos como función implícita: y 1 1 = ln x + (x + 1) · = ln x + 1 + y x x Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación16
  17. 17. UNIDAD 9 Despejamos y: ( y = x x + 1 ln x + 1 + 1 x ) c) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x: x y = xe 8 ln y = e x · ln x Derivamos como función implícita: y y 1 = e x · ln x + e x · = e x ln x + x 1 x ( ) Despejamos y: x y = x e · e x ln x + ( 1 x ) d) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x: y = (ln x) x + 1 8 ln y = (x + 1) · ln (ln x) Derivamos como función implícita: y 1 1 x+1 = ln (ln x) + (x + 1) · · = ln (ln x) + y ln x x x ln x Despejamos y: y = (ln x) x + 1 · ln (ln x) + [ x+1 x ln x ] e) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x y que el logaritmo de un cociente es ln a b()= ln a – ln b: ( ) ( ) sen x x sen x y= 8 ln y = x ln = x (ln (sen x) – ln x) x x Derivamos como función implícita: y y = ln (sen x) – ln x + x cos x sen x – 1 x = ln sen x x + ( x cos x sen x –1 ) ( ) Despejamos y: ( ) [ ( ) ] sen x x sen x x cos x y = · ln + –1 x x sen x f) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos que el logaritmo de una potencia es ln x n = n ln x : y = x tg x 8 ln y = tg x · ln xUnidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 17
  18. 18. Derivamos como función implícita: y 1 = (1 + tg 2 x) · ln x + (tg x) · y x Despejamos y: [ y = x tg x · (1 + tg 2 x) ln x + tg x x ] 24 Obtén la derivada de las siguientes funciones de dos maneras y comprueba, operando, que llegas al mismo resultado: I) Utilizando las reglas de derivación que conoces. II)Aplicando la derivación logarítmica. x2 + 1 a) y = ( x ) 3 1+x b) y = √ 1–x c) y = sen3 x cos2 x 3 d) y = √x 2 + 1 √x 2 a) I) y = 3 ( x2 + 1 x ) ( 2 · 1– ) 1 = 3 · (x 2 + 1) 2 (x 2 – 1) x2 x4 II) ln y = 3 (ln (x 2 + 1) – ln x) y y =3 x2 + 1 x ( 2x – 1 = 3 2x 2 – x 2 – 1 = 3(x 2 – 1) x(x 2 + 1) x(x 2 + 1) ) ( ) y = ( x2 + 1 x ) 3 · 3(x 2 – 1) = 3 · (x 2 + 1) 2 (x 2 – 1) x(x 2 + 1) x4 1 1 b) I) y = · 1–x+1+x = 2) 1+x (1 – x √ (1 + x) (1 – x) 3 2 √ 1–x 1 II) ln y = [ln (1 + x) – ln (1 – x)] 2 y y = 1 2 [ 1 1+x – –1 1–x = 1 2 ] [ 1–x+1+x (1 + x) (1 – x) = ] 1 (1 + x) (1 – x) 1+x y = √ 1 1 1 – x · (1 + x) (1 – x) = √ (1 + x) (1 – x) 3 Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación18
  19. 19. UNIDAD 9 c) I) y = 3sen 2 x cos x · cos 2 x + sen 3 x · 2cos x (–sen x) = = 3sen 2 x cos 3 x – 2cos x sen 4 x II) ln y = 3ln (sen x) + 2ln (cos x) y cos x –sen x 3cos 2 x – 2sen 2 x =3 +2· = y sen x cos x sen x cos x 3cos 2 x – 2sen 2 x y = sen 3 x cos 2 x · = sen 2 x cos x (3cos 2 x – 2sen 2 x) = sen x cos x = 3 sen 2 x cos 3 x – 2cos x sen 4 x 3 2x 3 2 1 x √ x2 2 √ x2 + 1 d) I) y = · √x 2 + √x 2 + 1 · · 3 = + 3 = 2√ x 2 + 1 3 √x √ x2 + 1 3 √x 3x 2 + 2(x 2 + 1) 3x 2 + 2x 2 + 2 5x 2 + 2 = – = 2 + 1 3 x – = 2 + 1 3 x 3 – 3 √x √ 3 √x √ 3 √ x 2 + 1 √x 1 2 II) ln y = ln (x 2 + 1) + ln x 2 3 y 1 2 1 2 2 2 2 = · 2x + · = x + = 3x + 2x + 2 = 5x + 2 y 2 x 2 +1 3 x x 2 +1 3x 3x (x 2 + 1) 3x (x 2 + 1) 3 5x 2 + 2 = 5x 2 + 2 y = √x 2 + 1 · √x 2 · 3 – 3x (x 2 + 1) 3 √ x 2 + 1 √x 25 Calcula el valor de la derivada de cada una de las siguientes funciones en x = 0: a) g (x) = e sen f (x) si f (0) = 0 y f (0) = 1 π b) h (x) = [sen f (x)]3 si f (0) = y f (0) = 1 4 c) j (x) = √ln f (x) si f (0) = e y f (0) = 1 a) Aplicamos la regla de la cadena: g (x) = D [sen f (x)] · e sen f (x) = f (x) cos f (x) e sen f (x) g (0) = f (0) cos f (0) e sen f (0) = 1 · cos 0 · e sen 0 = 1 · 1 · 1 = 1 b) Aplicamos la regla de la cadena: h (x) = 3 [sen f (x)]2 D [sen f (x)] = 3 [sen f (x)]2 f (x) cos f (x) h (0) = 3[sen f (0)]2 f (0) cos f (0) = [ = 3 sen π 4 ] 2 · 1 · cos π 4 =3( ) 1 √2 2 ·1· 1 √2 = 2√ 2 3 — = 3√2 4Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 19
  20. 20. c) Aplicamos la regla de la cadena: D [ln f (x)] f (x) 1 j (x) = = · 2 √ln f (x) f (x) 2 √ln f (x) f (0) 1 1 1 j (0) = = = = 2f (0) √ln f (0) 2e √ln e 2e √1 2e 26 Dadas f (x) = x 2 y g (x) = 3x + 1, halla: a) ( f ° g ) (x) b) ( g ° f ) (x) a) (f ° g ) (x) = f [g (x)] g (x) Como f (x) = x 2 y g (x) = 3x + 1 8 f (x) = 2x; g (x) = 3 (f ° g ) (x) = 2 · (3x + 1) · 3 = 6 (3x + 1) = 18x + 6 También podemos hacer: (f ° g ) (x) = f [g (x)] = f (3x + 1) = (3x + 1)2 (f ° g ) (x) = 2 · 3(3x + 1) = 18x + 6 b) (g ° f ) (x) = g [f (x)] f (x) = 3 · 2x = 6x O bien: (g ° f ) (x) = g [f (x)] = 3x 2 + 1 8 (g ° f ) (x) = 6x Página 276 Derivabilidad y continuidad 27 a) Comprueba que la siguiente función es continua y derivable y halla f (0), f (3) y f (1) : ° 3x – 1 si x < 1 f (x) = ¢ £ x 2 + x si x Ó 1 b) ¿Cuál es su función derivada? c) ¿En qué punto se cumple f (x) = 5? a) Si x ? 1, la función es continua y derivable, pues está formada por dos poli- nomios. Continuidad en x = 1: lím f (x) = lím (3x – 1) = 2 ° § x 8 1– x81 § lím f (x) = lím (x 2 + x) = 2 § f (x) es continua en x = 1. ¢ x 8 1+ x81 § § f (1) = 2 § £ Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación20
  21. 21. UNIDAD 9 Derivabilidad en x = 1: lím f (x) = lím 3 = 3 = f (1 –) ° x 8 1– x81 § Las derivadas laterales existen ¢ lím + f (x) = lím (2x + 1) = 3 = f (1 +) § y coinciden. x81 x81 £ Luego, f (x) es derivable en x = 1. Además, f (1) = 3. Así f (x) es continua y derivable en todo Á. f (0) = 3 f (3) = 2 · 3 + 1 = 7 ° 3 x<1 b) f (x) = ¢ £ 2x + 1 xÓ1 c) Si f (x) = 5, entonces x Ó 1. Es decir: 4 f (x) = 2x + 1 = 5 8 x = =2>1 2 f (2) = 5 28 Comprueba que f (x) es continua pero no derivable en x = 2: ° ln (x – 1) si x < 2 f (x) = ¢ £ 3x – 6 si x Ó 2 • Si x ? 2, la función es continua y derivable. • Continuidad en x = 2: lím f (x) = lím ln (x – 1) = ln 1 = 0 ° x 8 2– x82 § § lím + f (x) = lím (3x – 6) = 0 § ¢ f es continua en x = 2. x82 x82 § § f (2) = 0 § £ • Derivabilidad en x = 2: 1 ° lím – f (x) = lím = 1 = f (2 –) § x82 x82 x–1 § Las derivadas laterales existen ¢ pero no coinciden. lím + f (x) = lím 3 = 3 = f (2 +) § x82 x82 § £ f (x) no es derivable en x = 2.Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 21
  22. 22. 29 Estudia la continuidad y la derivabilidad de estas funciones: °ex si x Ì 0 § a) f (x) = ¢ 1 si 0 < x < 3 § 2 + 3x + 2 si x Ó 3 £ –x ° x 2 + 2x + 1 si x < –1 § b) f (x) = ¢ 2x + 2 si –1 Ì x Ì 2 § £ – x 2 + 8x si x > 2 a) Si x ? 0 y x ? 3, la función es continua y derivable. Continuidad en x = 0: lím f (x) = lím e x = 1 ° x 8 0– x80 § § § lím + f (x) = lím 1 = 1 ¢ f (x) es continua en x = 0. x80 x80 § § f (0) = 1 § £ Continuidad en x = 3: lím f (x) = lím 1 = 1 ° x 8 3– x83 § § Los límites por la derecha y por la § 2 + 3x + 2) = 2 ¢ izquierda no coinciden. La función lím + f (x) = lím (–x x83 x83 § no es continua en x = 3. § f (3) = 2 § £ Derivabilidad en x = 0: ° lím f (x) =lím e x = 1 = f (0–) § x 8 0– x 8 0– § Las derivadas laterales existen, ¢ pero no coinciden. lím + f (x) = lím 0 = 0 = f (0+) § x80 x 8 0+ § £ f (x) no es derivable en x = 0. Derivabilidad en x = 3: Como f (x) no es continua en x = 3, f (x) no es derivable en x = 3. b) Si x ? –1 y x ? 2, f (x) es continua y derivable. Continuidad en x = –1: lím lím (x 2 + 2x + 1) = 0 ° f (x) = x 8 –1 – x 8 –1 § § lím f (x) = lím (2x + 2) = 0 § x 8 –1+ x 8 –1 ¢ f (x) es continua en x = –1. § § f (–1) = 0 § £ Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación22
  23. 23. UNIDAD 9 Continuidad en x = 2: lím f (x) = lím (2x + 2) = 6 ° x 8 2– x82 § § § Los límites por la derecha y por la lím f (x) = lím (–x 2 + 8x) = 12 ¢ x 8 2+ x82 § izquierda no coinciden. § f (2) = 12 § £ f (x) no es continua en x = 2. Derivabilidad en x = –1: ° lím lím (2x + 2) = 0 = f (2 –) § f (x) = x 8 –1 – x 8 –1 § Las derivadas laterales existen, ¢ pero no coinciden. lím f (x) = lím 2 = 2 = f (2+) § x 8 –1+ x 8 –1 § £ f (x) no es derivable en x = –1. Derivabilidad en x = 2: f (x) no es continua en x = 2 8 f (x) no es derivable en x = 2.s30 Estudia la continuidad y la derivabilidad de estas funciones: °0 si x < 0 § 2 ° e –x si x Ì 0 a) f (x) = ¢ x si 0 Ì x < 1 b) f (x) = ¢ § £ 1 – x si x > 0 £ x si x Ó 1 a) Continuidad: • Si x ? 0 y x ? 1 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas. • En x = 0: ° lím f (x) = lím 0 = 0 § x 8 0– x80 § § lím f (x) = f (0). Por tanto, la función es ¢ 2 = 0§ x80 lím + f (x) = lím x continua en x = 0. x80 x80 § § £ f (0) = 0 • En x = 1: lím f (x) = lím x 2 = 1 ° § x 8 1– x81 § § lím f (x) = f (1). Por tanto, la función es lím + f (x) = lím x = 1 ¢ § x81 continua en x = 1. x81 x81 § § f (1) = 1 £ La función es continua en Á.Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 23
  24. 24. Derivabilidad: • Si x ? 0 y x ? 1 8 La función es derivable. Su derivada es, en esos puntos: ° 0 si x < 0 § f (x) = ¢ 2x si 0 < x < 1 § £ 1 si x > 1 • En x = 0: f (0 –) = 0 = f (0+). Por tanto, f (x) es derivable en x = 0; y f (0) = 0. • En x = 1: f (1–) = 2 ? f (1+) = 1. Por tanto, f (x) no es derivable en x = 1. La función es derivable en Á – {1}. Su derivada es: ° 0 si x < 0 § f (x) = ¢ 2x si 0 ≤ x < 1 § £ 1 si x > 1 b) Continuidad: • En x ? 0 8 La función es continua, pues está formada por dos funciones continuas. • En x = 0: lím f (x) = lím e –x = 1 ° x 8 0– x80 § § § lím f (x) = f (0). Por tanto, la función es lím + f (x) = lím (1 – x) = 1 ¢ x80 x80 x80 § continua en x = 0. § § f (0) = 1 £ La función es continua en todo Á. Derivabilidad: • Si x ? 0 8 La función es derivable. Además: ° –e –x si x < 0 f (x) = ¢ £ –1 si x > 0 • En x = 0: f (0 –) = –1 = f (0+) Por tanto, f (x) es derivable en x = 0 y f (0) = –1. La función es derivable en todo Á. Su derivada sería: ° –e –x si x < 0 f (x) = ¢ £ –1 si x Ó 0 Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación24
  25. 25. UNIDAD 9 Definición de derivada 31 Utiliza la definición de derivada para hallar f (2) en los siguientes casos: x–1 a) f (x) = x+1 b) f (x) = √x + 2 x–1 f (2 + h) – f (2) a) f (x) = 8 f (2) = lím x+1 h80 h 2 + h – 1 h + 1° f (2 + h) = — = — § 2+h +1 h +3 ¢ 2–1 1 § f (2) = — = — 2+1 3 £ h +1 1 3h + 3 – h – 3 2h f (2 + h) – f (2) = – = = h +3 3 3(h + 3) 3(h + 3) f (2 + h) – f (2) 2h 2 = :h = h 3(h + 3) 3(h + 3) 2h 2 f (2) = lím = h80 3(h + 3) 9 f (2 + h) – f (2) b) f (x) = √x + 2 8 f (2) = lím h80 h — f (2) = √4 = 2 ° — ¢ f (2 + h) – f (2) = √h + 4 – 2 f (2 + h) = √2 + h + 2 = √ h + 4 £ f (2 + h) – f (2) √h + 4 – 2 = h h √h + 4 – 2 (√h + 4)2 – 22 f (2) = lím = lím = h80 h h80 (√h + 4 + 2) h h+4–4 1 1 = lím = lím = h80 h (√h + 4 + 2) h80 √h + 4 + 2 4 32 Aplica la definición de derivada para hallar f (x) en cada caso: 1 a) f (x) = x + x b) f (x) = √x 2 + 1 1 f (x + h) – f (x) a) f (x) = x + 8 f (x) = lím x h80 hUnidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 25
  26. 26. 1 f (x + h) = x + h + 8 f (x + h) – f (x) = x+h 1 1 x–x–h =x+h+ –x– =h+ x+h x x (x + h) f (x + h) – f (x) h =1+ –1 x (x + h) 8 f (x) = lím 1 – h80 1 x (x + h) [ 1 =1– 2 x ] f (x + h) – f (x) b) f (x) = √x 2 + 1 8 f (x) = lím h80 h f (x + h) = √(x + h)2 + 1 8 f (x + h) – f (x) = √(x + h)2 + 1 – √x 2 + 1 — — √(x + h)2 + 1 – √x 2 + 1 (√(x + h) 2 + 1 )2 – (√ x 2 + 1 )2 f (x) = lím = lím — = h80 h h80 h(√(x + h) 2 + 1 + √ x 2 + 1 ) x 2 + 2xh + h2 + 1 – x 2 – 1 = lím — = h80 h(√(x + h) 2 + 1 + √ x 2 + 1 ) h(2x + h) 2x x = lím — = = h80 h(√(x + h) 2 +1 + √x 2 + 1 ) 2√x 2 +1 √x 2 +1 PARA RESOLVER 33 Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones: a) y = | x – 2 | b) y = | x 2 + 6x + 8 | c) y = x + | x – 3 | d) y = x 2 + | x | ☛ Mira el ejercicio resuelto 3 . a) Definimos la función por intervalos: ° –x + 2 si x < 2 f (x) = ¢ £ x – 2 si x Ó 2 Derivamos: ° –1 si x < 2 f (x) = ¢ £1 si x > 2 f (2–) = –1 ° ¢ f (2–) ? f (2+) 8 No existe f (2) f (2+) = 1 £ La función es derivable en Á – {2}. Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación26
  27. 27. UNIDAD 9 b) Definimos la función por intervalos. Para ello, calculamos los puntos en los que y = 0: –6 ± √36 – 32 –6 ± 2 x = –4 x 2 + 6x + 8 = 0 8 x = = 2 2 x = –2 ° x 2 + 6x + 8 si x < –4 § f (x) = ¢ –x 2 – 6x – 8 si –4 Ì x Ì –2 § 2 £ x + 6x + 8 si x > –2 Derivamos: ° 2x + 6 si x < –4 § f (x) = ¢ –2x – 6 si –4 < x < –2 § £ 2x + 6 si x > –2 f (–4–) = 2(–4) + 6 = –2 ° ¢ f (–4–) ? f (–4+) 8 No existe f (–4) f (–4+) = –2(–4) – 6 = 2 £ f (–2–) = –2(–2) – 6 = –2 ° ¢ f (–2–) ? f (–2+) 8 No existe f (–2) f (–2+) = 2(–2) + 6 = 2 £ La función es derivable en Á – {–4, –2}. c) Analizamos el signo de x – 3 para definir la función por intervalos: –x + 3 x–3 x + (–x + 3) = 3 x + x – 3 = 2x – 3 x 3 x Así: °3 si x < 3 f (x) = ¢ £ 2x – 3 si x Ó 3 Derivamos: °0 si x < 3 f (x) = ¢ £2 si x > 3 f (3–) = 0 ° ¢ f (3–) ? f (3+) 8 No existe f (3) f (3+) = 2 £ La función es derivable en Á – {3}. ° –x si x < 0 d) Definimos la función por intervalos. Recordamos que | x | = ¢ . £x si x Ó 0 Así: ° x 2 – x si x < 0 f (x) = ¢ 2 £ x + x si x Ó 0Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 27
  28. 28. Derivamos: ° 2x – 1 si x < 0 f (x) = ¢ £ 2x + 1 si x > 0 f (0–) = 2 · 0 – 1 = –1 ° ¢ f (0–) ? f (0+) 8 No existe f (0). f (0+) = 2 · 0 + 1 = 1 £ La función es derivable en Á – {0}. 34 Calcula los puntos de derivada nula de las siguientes funciones: x 16 a) y = b) y = (x + 3)2 x 2(x – 4) x2 – x + 1 c) y = d) y = e x (x – 1) x2 + x + 1 e) y = x 2 e x f ) y = sen x + cos x 2 a) y = (x + 3) – 2(x + 3)x = (x + 3) – 2x = 3 – x (x + 3) 4 (x + 3) 3 (x + 3) 3 1 y = 0 8 3 – x = 0 8 x = 3 8 y = 12 Se anula en el punto 3, ( 1 12 ) . 2 b) y = 16 8 y = –16(3x – 8x) x3 – 4x 2 (x 3 – 4x 2) 2 x = 0 (no vale) y = 0 8 3x 2 – 8x = 0 8 x (3x – 8) = 0 8 –27 x = — 8 y = —— 3 16 x = 0 no está en el dominio. La derivada se anula en el punto ( 8 –27 , 3 16 .) 2 2 c) y = (2x – 1)(x + x + 1) – (x – x + 1)(2x + 1) = (x 2 + x + 1) 2 3 2 2 3 2 2 2x 2 – 2 = 2x + 2x + 2x – x – x – 1 – 2x – x + 2x + x – 2x – 1 = (x 2 + x + 1) 2 (x 2 + x + 1) 2 1 x=1 8 y=— y = 0 8 2x 2 –2=0 8 x2 =1 3 x = –1 8 y = 3 Se anula en los puntos (–1, 3) y 1, ( ) 1 3 . Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación28
  29. 29. UNIDAD 9 d) y = e x (x – 1) + e x = e x (x – 1 + 1) = xe x y = 0 8 x = 0 8 y = –1 Se anula en el punto (0, –1). e) y = 2x e x + x 2 e x = e x (2x + x 2 ) x=0 8 y=0 y = 0 8 2x + x 2 = 0 8 x (2 + x) = 0 x = –2 8 y = 4e –2 Se anula en los puntos (0, 0) y (–2, 4e –2 ). f) y = cos x – sen x π – x = — + 2πk 8 y = √ 2 y = 0 8 cos x = sen x 8 tg x = 1 4 5π – x = — + 2πk 8 y = –√ 2 4 Se anula en los puntos ( π 4 )( + 2πk, √2 , 5π 4 ) + 2πk, – √2 , con k é Z.s35 a) Calcula m y n para que f sea derivable en todo Á. ° x 2 – 5x + m si x Ì 1 f (x) = ¢ 2 £ –x + nx si x > 1 b) ¿En qué puntos es f (x) = 0? a) Para que sea derivable, en primer lugar ha de ser continua. • Si x ? 1, la función es continua, pues está formada por dos polinomios. • En x = 1: lím f (x) = lím (x 2 – 5x + m) = – 4 + m ° x 8 1– x81 § § lím + f (x) = lím (–x 2 + nx) = –1 + n § ¢ x81 x81 § § f (1) = – 4 + m § £ Para que sea continua en x = 1, ha de ser: – 4 + m = –1 + n; es decir: m = n + 3. Derivabilidad: • Si x ? 1, la función es derivable. Además: ° 2x – 5 si x < 1 f (x) = ¢ £ –2x + n si x > 1Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 29
  30. 30. • En x = 1: f (1–) = –3 ° ¢ f (1+) = –2 + n £ Para que sea derivable en x = 1, ha de ser –3 = –2 + n, es decir, n = –1. Por tanto, la función será derivable en todo Á si m = 2 y n = –1. En este caso, la derivada sería: ° 2x – 5 si x < 1 f (x) = ¢ £ –2x – 1 si x Ó 1 b) f (x) = 2x – 5 si x < 1 5 5 2x – 5 = 0 8 x = ; pero >1 2 2 f (x) = –2x – 1 si x Ó 1 1 1 –2x – 1 = 0 8 x = – ; pero – < 1 2 2 Por tanto, f (x) no se anula en ningún punto. s36 Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo Á: ° ax 2 + 3x si x Ì 2 f (x) = ¢ 2 £ x – bx – 4 si x > 2 Para que sea derivable, en primer lugar, ha de ser continua. • Si x ? 2 8 la función es continua, pues está formada por dos polinomios. • En x = 2 debe cumplirse que lím f (x) = f (2): x82 lím f (x) = lím (ax 2 + 3x) = 4a + 6 ° x 8 2– x82 § § § lím f (x) = lím (x 2 – bx – 4) = –2b ¢ x 8 2+ x82 § § § f (2) = 4a + 6 £ Para que sea continua, ha de ser 4a + 6 = –2b ; es decir, 2a + 3 = –b o bien b = –2a – 3. Derivabilidad: • Si x ? 2 8 la función es derivable. Además: ° 2ax + 3 si x < 2 f (x) = ¢ £ 2x – b si x > 2 Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación30
  31. 31. UNIDAD 9 • En x = 2 debe cumplirse que f (2–) = f (2+): f (2–) = 4a + 3 ° ¢ f (2+) = 4 – b £ Para que sea derivable, ha de ser 4a + 3 = 4 – b; es decir, b = – 4a + 1. Teniendo en cuenta las dos condiciones obtenidas: b = –2a – 3 ° –2a – 3 = – 4a + 1 8 2a = 4 8 a = 2 ¢ b = – 4a + 1 £ b = –7 Por tanto, para que f (x) sea derivable en todo Á, ha de ser a = 2 y b = –7. 37 Esta es la gráfica de una función y = f (x). Calcula, observándola: 2 f (–1), f (1) y f (3) –2 2 4 ¿En qué puntos no es derivable? • En x = –1, la recta tangente a f es horizontal; su pendiente es 0. Por tanto, f (–1) = 0. • En x = 1, f es una función constante. Luego f (1) = 0. • En x = 3, f es una recta que pasa por los puntos (2, 1) y (4, 5). Calculamos su pendiente: 5–1 m= = 2. Por tanto, f (3) = 2. 4–2 • No es derivable en x = 0 ni en x = 2, porque en ellos observamos que f (0–) ? f (0+) y f (2–) ? f (2+).s38 Observa las gráficas de las siguientes funciones e indica en qué puntos no son derivables. ¿Alguna de ellas es derivable en todo Á? a) b) c) 2 2 1 1 –2 2 –2 2 –2 –2 a) No es derivable en x = –1 porque f (–1–) ? f (–1+) (tiene un punto “angulo- so”) ni en x = 2 (no está definida la función). b) Es derivable en todo Á. c) No es derivable en x = 0 porque f (0–) ? f (0+) (tiene un punto “anguloso”).Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 31
  32. 32. Página 277 s39 Calcula a y b para que f sea continua y derivable. ° x3 – x si x Ì 0 f (x) = ¢ £ ax + b si x > 0 Continuidad: • En x ? 0 8 La función es continua, pues está formada por dos polinomios. • En x = 0: lím f (x) = lím (x 3 – x) = 0 ° x 8 0– x80 § § § lím + f (x) = lím (ax + b) = b ¢ Para que sea continua ha de ser b = 0. x80 x80 § § f (0) = 0 § £ Derivabilidad: • Si x ? 0 8 La función es derivable. Además: ° 3x 2 – 1 si x < 0 f (x) = ¢ £a si x > 0 • En x = 0: f (0 –) = –1 ° ¢ Para que sea derivable, ha de ser a = –1. f (0+) = a £ Por tanto, f (x) será continua y derivable si a = –1 y b = 0. 40 Halla el valor de la derivada de la función cos (x + y) + sen (x – y) = 0 en el punto ,( ) π π 4 4 . Derivamos: –sen (x + y) · (1 + y ) + cos (x – y) · (1 – y ) = 0 –sen (x + y) – y sen (x + y) + cos (x – y) – y cos (x – y) = 0 –sen (x + y) + cos (x – y) = y (sen (x + y) + cos (x – y)) –sen (x + y) + cos (x – y) y = sen (x + y) + cos (x – y) Calculamos la derivada en el punto ( ) π, π : 4 4 4 4( y π , π = ) –1 + 1 1+1 = 0 2 =0 Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación32
  33. 33. UNIDAD 9s41 Calcula la derivada de orden n de la función f (x) = e 2x. f (x) = 2e 2x f (x) = 4e 2x = 2 2e 2x f (x) = 8e 2x = 2 3e 2x … f n (x) = 2 ne 2x Lo demostramos por inducción: Para n = 1, n = 2 y n = 3, vemos que se cumple. Supongamos que es cierto para n – 1; es decir, que f n – 1(x) = 2 n – 1 e 2x; enton- ces, derivando, tenemos que: f n (x) = 2 · 2 n – 1 e 2x = 2 n e 2x. Por tanto, la expre- sión obtenida es cierta para todo n.s42 Estas gráficas representan las funciones derivadas de las funciones f, g, h y j: f 2 2 2 –2 2 –2 g h j 2 2 2 2 4 a) ¿Cuáles de estas funciones tienen puntos de tangente horizontal? b) ¿Cuál de estas gráficas es la función derivada de una función polinómica de primer grado? c) ¿Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado? a) Los puntos de tangente horizontal son los puntos en los que se anula la derivada. f tiene un punto de tangente horizontal en x = –2, pues f (–2) = 0. j tiene dos puntos de tangente horizontal en x = 1 y en x = 3, pues j (1) = j (3) = 0. g y h no tienen ningún punto de tangente horizontal. b) La derivada de una función polinómica de primer grado es una función cons- tante. Por tanto, es g. c) La derivada de una función polinómica de segunda grado es una función poli- nómica de primer grado. Por tanto, es f .Unidad 9. Derivadas. Técnicas de derivación 33

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