1. Aplicación de la derivada
en la Economía
Un problema de optimización de la utilidad
en la producción de un articulo en una
empresa

2. Habilidades
• Saber aplicar la primera derivada para obtener
puntos críticos y de la segunda derivada para
obtener los puntos máximos y mínimos locales de
una función en cuestión.
Objetivo
• Resolver problemas de optimización en la
economía de una empresa.

3. La Derivada
Definición 1 :Dada una función f, se llama
derivada de f en el punto a ( donde a
pertenece al dominio de f) , al valor
denotada como f ’(a); se define como:
f a h f a
f ' a lim
h 0 h
Observación respecto a la definición:
1. La derivada de una función depende del
límite.
2. Si existe f ’(a); se dirá que f es derivable en
a.
3. Si f es derivable en a, entonces f es
continua en a.

4. Punto critico de una función
Definición 2 : Un punto crítico de una función f
es un número “c” en el dominio de f tal que
f ’(c) = 0 o f ’(c) no existe.
Criterio de la segunda derivada
Sea f una función continua en un entorno
de c.
(i) Si c es un punto critico y f “ (c) < 0,
entonces f tiene un máximo local en c.
(ii) Si c es un punto critico y f “ (c) > 0,
entonces f tiene un mínimo local en c.

5. :
Función Ingreso
Cuando una empresa pone en venta un producto a p
(unidades monetarias); el ingreso obtenido por la
producción de “x” unidades es:
Pero con frecuencia , el precio depende del número de
unidades producidas de manera lineal:
de forma que lo anterior se convierte en :
Esta última es un ejemplo de “Función Ingreso”.

6. Función Costo
, denotara la “Función Costo” de producir “x”
unidades de un producto o articulo
En general una función “Costo típica ”consiste en
C(x)=costos variables + costos fijos
Así por ejemplo:
Las constantes 600 y 950 son los costos fijos (rentas ,primas de
seguro).
Función Utilidad
La “Función Utilidad” para una empresa de
producción se define como:

7. “Una empresa naturalmente le interesa en
maximizar sus
utilidades en la producción de un articulo”

8. Aplicación
En una empresa se determina que en la
producción de “ x ” unidades de un
artículo, sus funciones de ingreso y de
costo esta dado por las siguientes
funciones cuadráticas :
Encontrar la utilidad máxima en la
producción.

9. Solución : (maximización de la utilidad)
La utilidad para x≥ 0 es:
Aplicando la derivada primera y segunda se
obtiene:
Haciendo , se puede ver que para x=97
es un punto critico y que
Así que con el criterio de la segunda derivada
implica
es un máximo .

10. Interpretación Económica
 Esto significa que para 97 artículos
producidos, se obtendrá la máxima utilidad
o ganancia de 46545 (unidades monetarias
) para la empresa.

11. Maximización de la función Utilidad
>> x=-100:.01:200;
>> y=-5.*x.^2+970.*x-500;
>> plot(x , y)

12. BIBLIOGRAFÍA
“Cálculo de una variable” James Stewart.
Pág. 85-87 ; 277-280
“Economía para la toma de decisiones”
Héctor Viscencio Brambila. Pág. 81 - 85

13. “GRACIAS POR SU ATENCIÓN”

14.  Una ejecutiva de una aerolínea ha calculado
que el costo de vuelo por pasajeros desde
Perú hasta Chile es . El ingreso
total para ese número de pasajeros es
. Ella tiene normalmente
reservaciones para 220 pasajeros por vuelo.
Determine si ella debería vender más o
menos pasajes para maximizar el beneficio
(utilidad) .

15.  Un pedazo de alambre de 20 cm de largo
se corta en dos partes; una parte se dobla
para formar un cuadrado y con la otra se
forma una circunferencia. ¿Dónde se
deberá hacer el corte para que la suma de
las áreas del cuadrado y del círculo sea
un mínimo?

16. Con el primer segmento se construye el
cuadrado cuyo lado medirá x/4, con el resto
se construye la circunferencia en que el radio
medirá: 2π r = L – x .
Las áreas, por lo tanto, medirán:
Acuadrado = y Acírculo =
El área total será: Atotal = +

17. La primera derivada del área total respecto de x,
resulta:
Igualando a 0 y despejando el valor de x, queda:
La segunda derivada del área total respecto de x
queda:
lo que nos indica que es positiva x, en
consecuencia, el valor del área es un mínimo.
Reemplazando en x el valor de la longitud del
alambre: 20 cm x = 11,2 cm.