Curso de Biofisica unidad 2

CURSO DE BIOFISICA
BASICA
Para Biología y ciencias de la salud

Capitulo II: Mecánica de fluidos y
Hemodinámica

Ms.C Miguel A. Rengifo M
Departamento de Física
Facultad de Ciencias
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

Curso de Biofísica Básica. Capitulo2: HEMODINAMICA
1. Presión Hidrostática
La hidrostática estudia los fluidos en estado de equilibrio o reposo. La presión es un
concepto que esta íntimamente relacionado con la densidad. Una cantidad
determinada de fluido posee una masa y ocupa una cantidad de volumen en el espacio.
La densidad media se define como:
 Kg 
  mV  3
m 
Donde m es la masa del fluido y V es el volumen. Al cociente entre la densidad de un
fluido y la densidad del agua (referencia) se conoce como gravedad especifica. La
densidad puede verse como el grado de empaquetamiento o el número de átomos por
unidad de volumen, a mayor numero de partículas en el mismo volumen más densidad.
El concepto de densidad se relaciona con la cantidad de
materia que hay dentro de una unidad de volumen. A mayor
grado de empaquetamiento o cantidad de masa en el mismo
volumen mayor es la densidad. Por tanto B posee mas
densidad que A.

La densidad depende de la temperatura de una manera inversa, es decir que a mayor
temperatura menos densidad. La presión es la medida de la fuerza que actúa dentro de
un fluido. Las unidades de presión en el sistema internacional son los pascales (Pa), en
donde:

Miguel A. Rengifo M. Universidad del Tolima 2012. marengifom@unal.edu.co 2


1N
1Pa 
m2
Pero existen otras unidades de presión en otros sistemas, cuyas conversiones de una a
otra se muestran en la siguiente tabla.
Nombre Equivalencia
Libra por pulgada cuadrada (psi) 1 psi = 6.895x103 Pa
Atmósfera (Atm) 1 Atm = 1.01x105 Pa
Bar (bar) 1 bar = 105 Pa
Milímetro de mercurio (mm Hg) Hg = 133.3 Pa
Torriceli 1Tor = 133.3Pa

Bajo la influencia de la gravedad, la presión varía con la profundidad.

La presión experimentada dentro de un fluido (gas o liquido)
depende de la profundidad. A mayor profundidad mayor nivel
de presión. En la atmosfera compuesta de aire hay menor
presión (presión atmosférica) a mayores alturas (B), puesto
que la cantidad de aire que hay encima es mucho menor
comparada a la que hay a nivel de mar (A).

Miguel A. Rengifo M. Universidad del Tolima 2012 3

En base a la figura podemos ver que la presión que experimenta A comparada con la de
B es mucho mayor, ya que este posee una columna de fluido muchos más larga y por lo
tanto más pesada que B. La formula básica que relaciona la presión dentro de un fluido
con la profundidad es la siguiente:
P  P0  gh

En donde P es la presión buscada o total, P0 es la presión atmosférica, ρ la densidad del
fluido, g la gravedad y h la profundidad dentro del fluido. Para un fluido en reposo la
presión en cualquier punto determinado es la misma en todas direcciones (si esto no
fuera así la región en cuestión fluiría o se movería como respuesta a la diferencia de
presión). La presión en una interface estática entre dos fluidos (inmiscibles) es la misma
en ambos lados. Cualquier variación de presión dentro de un fluido se transmite
igualmente en todas las direcciones de todas las partes del fluido, este es el principio de
pascal.
(a) Cualquier variación de presión dentro de un
fluido se trasmite igualmente en todas partes. Al
aumentar la presión por medio del pistón esta
aumenta de igual forma dentro de todo el
volumen de fluido. (b) La presión sobre la misma
línea es igual independientemente de la forma
del recipiente mostrado. Toda la presión al nivel
A es la misma, así como para B. Para A es menor
(a) (b) que en B, ¿Por que?


En la región de separación de dos fluidos que son inmiscibles, las
fuerzas a uno y otro lado están equilibradas sobre dicha zona de
separación.

Para los tres recipientes mostrados, los valores
de presión en cada uno de fondos es igual. La
presión no depende de la forma del recipiente,
si no del nivel en cuestión.

Cuando un objeto esta sumergido en un fluido, sobre el actúan dos fuerzas a saber:
el peso producido por la aceleración de la gravedad y la fuerza de empuje que
ejerce el liquido sobre el. El peso siempre apunta directamente hacia abajo y la
fuerza de empuje hacia arriba. Dependiendo de cómo sean estas dos el cuerpo
puede flotar, hundirse o mantenerse suspendido dentro de el liquido.


Cuando un objeto se sumerge dentro de un fluido este cambia su peso debido al
empuje que ejerce este sobre el agua y el agua sobre el, este es el llamado principio de
Arquímedes. Otra forma de resumirlo es diciendo que la perdida de peso de un objeto
sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado.

FE  liq gV

La fuerza de empuje producido por el fluido es igual al peso de fluido desplazado o a la
variación de peso del objeto sumergido.

La fuerza de empuje (FE) corresponde al peso
(W=mg) del liquido desplazado, que
corresponde al mismo volumen (ΔV) del
objeto. Si el objeto esta en equilibrio (ni flota
ni se hunde) el peso y dicha fuerza de empuje
han de estar equilibradas (mg=FE).


Ejemplo: Se requiere medir con cierta exactitud el volumen de un animal. Para ello se
introduce dentro de un tanque con volumen suficiente de agua para que este quede
completamente sumergido. El tanque posee forma cilíndrica como se muestra en la
figura y se llena hasta un nivel de 2m. Cuando se introduce el animal el nivel llega a
2.15m. Determine el volumen del animal. Si la masa del animal es de 1400Kg determine
también el peso aparente de este dentro del agua y su densidad media.

R// El volumen original de agua es de.
Vi  Ahi   r 2 hi   (1.5m)2 (2m)  14.1m3
El volumen final de
V f  Ah f   r 2 h f   (1.5m)2 (2.15m)  15.2m3
Por lo que la diferencia de estos me dará el volumen
del animal.
V f  Vi  15.2m3  14.1m3  1.1m3
Para calcular el peso aparente debemos primero de calcular la fuerza de empuje
que siente dentro del tanque y que es producida por el agua. Como ya se tiene el
volumen de agua desplazado (que el mismo del animal) se tiene.
Fe  H 2O gV  (1x103 Kg / m3 )(9.8m / s 2 )(1.1m3 )  1.07 x104 N
Si se le resta esta fuerza al peso normal del animal, se obtiene el peso aparente.
Wap  W  Fe  mg  Fe  (1400Kg )(9.8m / s 2 )  1.07 x104 N  3020 N

Como la fuerza de empuje es menor que el peso, se concluye de una vez que el animal
se hunde en el agua. Finalmente la densidad será de
m 1400 Kg
 3
 1.27 x103 Kg / m3
V 1.1m
Como habría de esperar, debe ser más denso que el agua. En la práctica ningún animal
es más denso que el agua. Los chimpancés son muy malos nadadores, debido a que su
porcentaje de grasa corporal es menor que en los humanos y por ello son más
susceptibles a hundirse.

Ejemplo: Un buzo se prepara a sumergirse en el océano para extraer una muestra de
coral. Para mas facilidad, es necesario que tenga un peso neutro dentro del agua. Esto
implica que una vez este sumergido ni flote ni se hunda. Si la persona posee una
densidad media de 0,86g/cm3 y una masa de 80Kg, que cantidad de masa de plomo
debe adicionada para cumplir este requisito. Considere una densidad de 1,025g/cm3
para el agua de mar.

R// Para que el buzo tenga la condición de no hundirse ni flotar, su densidad debe ser
igual a la del agua, es decir…

 H 2O   buzo


Y como
  mV
Se tiene
 buzo  (mHombre  mPb ) V
Es decir que la masa para poderse sumergir debe ser la del el, mas la del lastre de
plomo. Aquí se supone que el volumen no va a cambiar. Con los datos dados
originalmente puede hallar el volumen de la persona.

  mV V m  80 Kg  0,093m 3
 860Kg / m  3

En donde se hizo la conversión
(100cm) 3 1Kg
1,025 g 3   1025 Kg / m 3
cm (1m) 3 1000 g
(100cm) 3 1Kg
0,86 g 3   860 Kg / m 3
cm (1m) 3 1000 g
Despejando mPb en la ecuación.



mPb  buzoV  mbuzo mPb  (1025 Kg / m 3 )(0,093m 3 )  80 Kg  15,3Kg

Con esta cantidad de lastre la densidad del buzo es igual a la del agua. En la realidad la
densidad del agua varia con la profundidad. En las partes mas profundas es mas densa
debido a que mayores profundidades esta mas comprimida que con respecto a la del
exterior.

2. Manómetros
Un dispositivo corriente para medir presión en líquidos es el manómetro.
Manómetro convencional de líquido
(izquierda). La lectura de presión (P) dentro de
un manómetro depende de la diferencia de
alturas (h) a uno y otro. Nótese que la presión
en los puntos A y B son iguales (¿Por qué?),
siendo en B igual a la presión buscada y en A a
la presión atmosférica Po y a la que produce el
liquido de altura h.


Consiste en un tubo en forma de U que contiene dentro de el a menudo agua o
mercurio. Una de las ramas del tubo esta abierta a la atmósfera y la otra conectada a un
recipiente cuya presión se quiere medir. La presión en los puntos A y B es la misma al
estar a las mismas alturas. La presión en B es la producida por la del recipiente en
cuestión. Valiéndonos con la ecuación de variación de presión con la profundidad:

p  p A  gh

Podemos saber la presión en el punto A que esta a la profundidad h. La presión
manométrica es aquella que es expresa como un exceso de la presión atmosférica. En la
medicina moderna se utilizan manómetros electromagnéticos. Estos se basan en un
transductor de presión que convierte una señal mecánica en una señal eléctrica, para
ser después procesada mediante electrónica.

Ejemplo: Un manómetro primitivo que se utiliza para determinar la presión sanguínea
de un animal, se conecta directamente a la vena principal de este. Dicho animal posee
un valor de presión sanguínea de 110mm Hg. La diferencia de niveles dentro del
manómetro es tan solo de 7m. Determine el valor de la densidad del líquido del
manómetro si se supone que en el extremo abierto actúa la presión atmosférica.


R// Primero convertimos las unidades de presión en mm de Hg a pascales, para que
todo este en unidades MKS.
133.3Pa
110mmHg   1.47 x104 Pa
1mmHg
Ahora observando la figura podemos ver que la presión en el punto A es igual a la B
(tienen el mismo nivel). La primera esta determinada por la presión media del
espécimen y la segunda por la presión atmosférica y la presión que ejerce el liquido.
Entonces:
PA  PB  P0   gh
Despejamos la incógnita que en este caso es la
densidad ρ del líquido.
PA  P0
PA  P0   gh 
gh
Reemplazando los valores respectivos se tiene:
(1.01x105 Pa)  (1.47 x104 Pa)
  1.26 x103 Kg / m3
(9.8ms 2 )(7m)
En la práctica los niveles que se logran alcanzar con este tipo de manómetros son de
este orden de altura. Dicha practica ya es obsoleta y solo se utilizo en los inicios de este
campo, ya hace bastante tiempo.

Ejemplo: Un manómetro de tubo con sección transversal uniforme contiene mercurio
originalmente. Después en ambos lados del manómetro se depositan cantidades
diferentes de agua y el sistema adquiere la condición mostrada en la figura. Si h2=1cm,
determine el valor de h1. Suponga que la densidad del mercurio es 13g/cm3.
R//: Tomando la línea AB como referencia, podemos
ver que en la rama de la izquierda la presión ejercida
en ese punto es igual a la de la columna de agua
entera, cuya altura es igual a
hizq  h1  x  h2

Donde x es la parte entre h1 y h2 que tampoco se
A B conoce. Esta columna ejerce una presión igual a

PA  P0   H 2O ghizq

Serway. Physics for Scientists and Para el punto B la situación es ahora diferente,
Engineers. 6 Edicion. Pagina 442 debido a que allí la presión la ejerce una porción de
agua y otra de mercurio. Por lo que
PB  P0  PH 2O  PHg  P0   H 2O ghH 2O   Hg ghHg
Vemos que las alturas respectivas son


hH 2O  x hHg  h2

Ahora al igualar PA y PB, y sustituir sus alturas se tiene
PA  PB
P0   H 2O g (h1  x  h2 )  P0   H 2O gx   Hg gh2
P0   H 2O gh1   H 2O gx   H 2O gh2  P0   H 2O gx   Hg gh2
 H 2O gh1   H 2O gx   H 2O gh2   H 2O gx   Hg gh2
 H 2O gh1   H 2O gh2   Hg gh2
Despejamos h1 que es lo que no se conoce

 Hg gh2   H 2O gh2 h2 (  Hg   H 2O )
 H 2O gh1   Hg gh2   H 2O gh2 h1  
 H 2O g  H 2O
Remplazamos

(0,01m)((13000 Kg / m 3 )  (1000 Kg / m 3 ))
h1  3
 0,03m
(1000 Kg / m )


3. Dinámica de fluidos

Es el estudio del movimiento de los fluidos. Un fluido ideal es aquel que es
incompresible y posee fuerzas internas de rozamiento. Los fluidos reales poseen fuerzas
internas conocidas como fuerzas de viscosidad. Las trayectorias de los diversos
elementos de un fluido se representan por líneas de corriente.

Las líneas de corriente se suponen paralelas y
sin ningún tipo de vórtices. Además se asume
que no existen perdidas de masa dentro de la
sección trasversal de tubería. El principio de
conservación de la masa implica que la
cantidad de masa que entra por la izquierda
es la misma que sale por la derecha.

Cuando las líneas de corriente son siempre paralelas, se dice que el flujo es laminar o
ideal, pero cuando estas líneas de corriente se curvan o tienen cambios de dirección
bruscos, se dice entonces que el flujo es turbulento. Si consideramos que no existen
perdidas de masa dentro de la corriente de fluido y además de que la densidad no sea
la misma dentro de este, podemos escribir:

1v1 A1  v2 A2  2



Que es la ecuación de continuidad de importancia fundamental en lo referente al flujo
de fluidos ideales, en donde ρ es la densidad del liquido, ν la velocidad en un punto y A
el área de la sección transversal. Esta ecuación es también aplicada a los gases siempre
y cuando la velocidad de sus componentes sea pequeña. La cantidad de fluido que
atraviesa una sección transversal grande o estrecha es la misma (conservación de
masa).
Si consideramos ahora que la densidad dentro de todo el fluido es constante, entonces
el producto de la velocidad por el área de la sección transversal dentro de un fluido
ideal es constante, por lo que para dos puntos cualquiera dentro de este se cumple
que:
v1 A1  v2 A2

De esto podemos ver también que a medida que la sección transversal se reduce su
velocidad aumenta. Nos muestra también que el flujo se conserva. Al producto de la
velocidad por el área de la sección transversal se le conoce también con el nombre de
flujo o caudal.

  Av


Todo lo anterior se puede resumir en el principio de Bernoulli, que afirma que la presión
ejercida por un fluido disminuye a medida que la velocidad de este aumenta.
De acuerdo al principio de Bernoulli, en las secciones mas
angostas el fluido circula con mayor velocidad, pero así
mismo la presión media sobre las paredes disminuye. En la
ultima región la presión es la menor posible, ya que el
liquido circula con mayor velocidad para conservar el flujo
de entrada (el flujo siempre se conserva)

1 2 1 2
P  gh1 
1 v1  P2  gh2  v2 Ecuacion de Bernoulli
2 2
Ejemplo: Por cierto vaso sanguíneo con diámetro de 0.5cm circula sangre a razón de
1ml/s. Dicho vaso en cierta zona del cuerpo sufre un ensanchamiento de 10% en su
diámetro. Determine la velocidad del flujo sanguíneo en dicha zona.
R// Se calcula el 10% del diámetro inicial:
10
0.5cm 
 0.05cm
100
Que al sumársele al diámetro inicial dará por supuesto el nuevo diámetro.
0.5cm  0.05cm  0.55cm

Cuya conversión a metros dará 5.5x10-3m. Para calcular el área de la sección transversal
del vaso utilizaremos la formula que da el área de un circulo.

A   r2
Al dividir por dos el diámetro final de 5.5x10-3m, obtendremos el radio respectivo igual
a 2.75x10-3m. Reemplazando tenemos:

A   r 2   (2.75x103 m)2  2.37 x105 m2

El flujo de 1mL/s hay que ser convertido a las unidades convenientes (en este caso) de
m3/s. Entonces:
1m   1x106 m3 / s
3
1mL 1L 1000cm3
  
100cm 
3
s 1000mL 1L

Ya el área y el flujo están en unidades MKS. Ahora con la ecuación de flujo o
continuidad podremos hallar la velocidad requerida.

 1x106 m3 / s
  Av v   4.2 x102 m / s
A 2.37 x105 m2

Que es la velocidad en la nueva sección del vaso.

Ejemplo: Una arteria de 1cm de diámetro lleva sangre a una presión de 120mmHg y a
un flujo de 5L/min. Calcule la velocidad de la sangre y la presión producida si la arteria
se ha elevado 10cm de su altura original y su diámetro ha disminuido a 0,5cm. Suponga
que la velocidad no cambia y su densidad es de 1,05Kg/m3.
R// Primero convertimos los datos a unidades SI y hallamos el área original de la
arteria.
133,3Pa
120mmHg   1,6 x10 4 Pa
1mmHg

1000cm3 1m 3 1 min
5 L / min    8,33 x10 5 m 3 / s
1L 100cm 60s
3

A1  r12   (5 x10 3 m) 2  7,85 x10 5 m 2

Con estas dos ultimas calculamos su velocidad
 8,33 x10 5 m 3 / s
  Av v   1,06m / s
A 7,85 x10 5 m 2
Ahora suponiendo que el flujo se va a conservar, hallamos la nueva velocidad.

 8,33 x10 5 m 3 / s
A2  r 2   (2,5 x10 3 m) 2  1,96 x10 5 m 2 v2   5 2
 4,25m / s
A2 1,96 x10 m


Utilizando la ecuación de Bernoulli, vemos que podemos tomar la altura h1 como la
referencia igual a cero, por lo que dicho termino se puede anular. Entonces la altura h2
es la que se tiene en cuenta.

1 2 1 2
P  gh1 
1 v1  P2  gh2  v2 , despejando P2
2 2
1
P2  P 
1  (v12  v2 )  gh2
2

2
1
P2  (1,6 x10 4 Pa)   ((1,06m / s ) 2  (4,25m / s ) 2 )  g (0,1m)
2
P2 

Como podríamos esperar la presión disminuye por efecto de la altura y de la reducción
del área de sección transversal.

Ejemplo. Una aguja hipodérmica tiene un área de sección transversal de 2,5x10-5m2 en
la parte mas ancha o cuerpo y de 1x10-8m2 en la salida. Si se aplica una fuerza de 2N en
el embolo, determine la velocidad con la cual saldrá la medicina



Serway. Physics_for_Scientists_and_Engineers. 445

Utilizando la ecuación de Bernoulli, vemos que podemos tomar la altura h1 como la
referencia igual a cero, por lo que dicho termino se puede anular. Entonces la altura h2
es la que se tiene en cuenta.

Como podríamos esperar la presión disminuye por efecto de la altura y de la reducción
del área de sección transversal.


4. Viscosidad

Para los fluidos reales, la velocidad dentro de ellos no es uniforme. La velocidad es
menor en las zonas cercanas a las paredes.
La viscosidad dentro de un fluido es la causante de que
dentro de él, las líneas de corriente posean velocidades
diferentes. Lejos de las paredes el liquido se mueve con
mayor velocidad. Este tipo de líquidos ya no son ideales y
por tanto no son Newtonianos. John D. Cutnell. Physics 8th
Edit. Pagina 344.

Esto comportamiento es debido a fuerzas internas dentro del fluido o su viscosidad. A
este se le denomina flujo de Poiseville. Los líquidos que obedecen esta ley también se
les denominada líquidos Newtonianos. El modelo mas simple para explicar este
comportamiento esta en imaginarse al fluido como un conjunto de laminas que se
mueven entre si a velocidades distintas.

Dos placas que se deslizan entre si poseen una
velocidad relativa que depende básicamente de la
viscosidad del liquido entre ellas. Hay que aplicar
mayor cantidad de fuerza para que mantenga
cierta velocidad para los líquidos con mayor
viscosidad.


Algunas de las moléculas de las láminas mas lentas infiernen en el movimiento de las
mas rápidas, retardando el movimiento de estas, es decir las mas lentas desaceleran a
las mas rápidas, interpretándose esto como una fuerza interna retardadora.
Tómense dos placas de vidrio y entre ellas colóquese una película de algún líquido. Si se
hace la experiencia con miel y agua, se podrá observar fácilmente que deslizar una
placa sobre otra es más difícil cuando la película es de miel. La dificultad de producir
este movimiento esta relacionado con la viscosidad del líquido entre las dos placas. La
cantidad de fuerza que ha de aplicarse para mover un placa sobre, depende del área de
las placas, de la velocidad relativa entre ellas, de la distancia de separación (ancho de la
película de liquido) y de la viscosidad este.
vA
F 
h
En donde η es la constante de proporcionalidad y es el coeficiente de viscosidad del
líquido. La unidad de este coeficiente es el poise.

1 poise = 1g/cm*s

Para el agua a una temperatura de 200C es de 0.01poise o 0.01P. A 370C la viscosidad es
de 0.007P. Para ciertos fluidos conocidos los coeficientes de viscosidad respectivos son:



Fluido η (cp.)
Sangre 2-4
Plasma 2
Suero 1,7-1,9
Liq. Cefalorraquídeo 1,024
Orina 1,00 - 1,14
Aceite de oliva 84
En el sistema internacional, la unidad de viscosidad es de Pa*s (pascal por segundo), en
donde 1Pa*s = 10Poise. Para el caso de líquidos del organismo es habitual expresar la
viscosidad relativa con respecto a la del agua. La viscosidad es un parámetro que
depende de la temperatura y desciende al aumentar la temperatura. La sangre es un
líquido complejo cuyo comportamiento es anómalo. La viscosidad disminuye al
aumentar el gradiente de presión. Tampoco es un líquido newtoniano y la explicación a
este comportamiento radica en la geometría de las moléculas en suspensión dentro de
ella.
El liquido sinovial que ayuda a la lubricación de las articulaciones se comporta también
de manera anómala. En casos de hipotermia y shock la temperatura del cuerpo
desciende bruscamente y la viscosidad de los líquidos corporales aumenta y el ritmo
sanguíneo disminuye (se vuelve lenta y espesa la sangre).


Ejemplo: Entre dos placas de vidrio con dimensiones de 3x1cm, se deposita sangre para
hacer una prueba de laboratorio. La separación entre las dos placas es de 100µm. En
cierto momento por un movimiento involuntario por parte del operario le da un ligero
golpe a la placa superior que se estima en unos 0.01N. Determine la velocidad que
existirá entre las dos placas como producto de este ligero golpe.

R// Primero se determina el área de la placa.

A  Lh  (0.03m)(0.01m)  3x104 m2
Como la muestra es de sangre, los 3cP de viscosidad
se pasan a unidades MKS.
1P 1g / cm * s 1Kg 100cm
3cP      3x103 Kg / m * s
100cP 1P 1000 g 1m
Y lo mismo con la separación entre las placas
1x106 m
100m   1x104 m
1m
Despejando la velocidad y reemplazando

F 
vA Fh (0.01N )(1x104 m)
v v  1.11m / s
h A (3x103 Kg / m * s)(3x104 m 2 )

5. Resistencia
La resistencia R presente en la circulación de un liquido es el cociente entre la diferencia
de presión ΔP y caudal φ.
R  P


La resistencia representa la dificultad con la que un fluido circula por un conducto sea
este un tubo o una vena por ejemplo. Para el caso de un fluido de viscosidad η, en un
tubo cilíndrico de radio r y longitud L la resistencia esta dada por
8L
R
 *r4
Que al combinarsen dan la ley de Poiseuille
P 8L

  *r4
Ejemplo: En la aorta cuyo radio medio es de 1.2cm circula sangre hacia el resto de
cuerpo. Determine la resistencia hemodinámica en una sección de 5cm de longitud.
Calcule la diferencia de presión existente en este tramo si el flujo es de 83cm3/s. Asuma
que la viscosidad de la sangre es de 3cPoise.
R// El radio de 1.2cm y la longitud de 5cm en metros son respectivamente de 0.012m y
0.05m. Como la viscosidad esta en unidades Poise, hay que llevarla a unidades MKS.


1Poise 1g / cm * s 1kg 100cm
3cPoise      3x103 Kg / m * s
100cPoise 1Poise 1000 g 1m

Ahora ya es posible calcular directamente la resistencia hemodinámica.

8 L 8(3x103 Kg / m * s)(0.05m)
R   1.84 x104 Kg / m4 * s
 *r 4
 (0.012m) 4

Como ya se tiene la resistencia hemodinámica es posible calcular la diferencia de
presión ΔP. Pero antes las unidades del flujo las convertiremos a MKS.

(1m)3
83cm / s 
3
 8.3x105 m3 / s
100cm 
3

Finalmente.

R  P P  R  (1.84 x104 Kg / m4 * s)(8.3x105 m3 / s)  1.53Pa


Es la presión que existe en el tramo de 5cm de la vena.


Ejemplo: Un cardiólogo le reporta a su paciente que su arteria derecha se ha
estrechado en un 10%. En que porcentaje debe incrementarse su presión sanguínea
para que el flujo de sangre permanezca constante?

R// Como el flujo se mantiene constante entre el antes y el después, tenemos.

 *r4
1  2 y como  P , que al remplazar
8L

P * r12 P2 * r22
1

8L 8L
Al cancelar términos
P r12  P2 r22
1

Despejando la relación de presiones

P2 r24 (1) 4
 4   1,52
P r1
1 (0,9) 4

Vemos que se requiere que la nueva ha de ser 1,52 veces la presión original o un 52%
mas.


5. Flujo o caudal laminar

El flujo laminar es un tipo de movimiento ideal dentro de los fluidos en donde los
diferentes planos o líneas de corriente que forman el fluido, se mueven entre ellos unos
sobre otros como cuando se deslizan las cartas de un mazo completo sobre una mesa
de juego. Cada elemento del fluido viaja a lo largo de una trayectoria uniforme y bien
definida.

Para los fluidos Newtonianos o laminares, las
líneas de corriente siempre son paralelas y bien
definidas. En la figura de abajo se muestra un caso
real que se comporta de esta forma. Solo bajo
ciertas condiciones el fluido se comporta en
régimen laminar.

Cuando un fluido se mueve con esas características, se dice que se encuentra en
régimen laminar. En estas condiciones es fácil estudiar el fluido y puede ser descrito por
las diferentes ecuaciones a vistas. En la mayoría de las regiones largas y delgadas del
torrente sanguíneo la sangre se mueve en estas condiciones y la presión sanguínea es
casi constante.


6. Flujo turbulento

Es aquel que presenta fluctuaciones en su corriente y la trayectoria no es suave ni
definida. Se caracteriza por la presencia de turbulencias y remolinos dentro de el. El
estudio de este tipo de fluidos es un tema muy extenso y complicado.

Para los fluidos en régimen turbulento, las línea de
corriente no son paralelas y el comportamiento es muy
complicado de predecir. Las ecuaciones anteriormente
vistas no sirven en absoluto bajo estas condiciones.
PAUL DAVIDOVITS (2008). Physics in Biology and
Medicine. 3 Edit. Elsevier Inc. Pag 105.

Cuando se superan ciertos límites de la velocidad del fluido se presenta este tipo de
fluido. Esta velocidad se conoce como velocidad critica. Cuando un fluido supera esta
velocidad cambia del régimen laminar al turbulento. Esta velocidad depende de la
viscosidad, de la densidad y de las características del conducto por donde viaja.

vc  N R
r
Donde η es la viscosidad del líquido, ρ la densidad, r el radio del conducto y NR una
constante de proporcionalidad llamada numero de Reynolds y es adimensional. De
acuerdo a esto es muy fácil lograr una velocidad critica, cambiando el diámetro del
tubo.

El numero de Reynolds que oscila alrededor de 1200 y sirve para saber si el flujo es
turbulento o laminar. Cuando aumenta más allá de 3000, el flujo se dice que es
turbulento y laminar cuando es menor a 2000. Aunque no existe un acuerdo mundial
acerca de estos rangos.
Es posible pasar del régimen laminar al turbulento.
Dentro de un vaso sanguíneo por ejemplo el fluido
de comporta de forma turbulenta al rodear
obstrucciones y en la zonas de ramificación. Esto
puede traer consecuencias hemodinámicas que en
los casos mas graves aumentan o reducen la
presión sanguínea a niveles peligrosos.

En el régimen turbulento la resistencia resulta mucho más apreciable que en el régimen
laminar.

Ejemplo: Dentro de un capilar en donde su diámetro medio es de 1.2x10-2m y velocidad
de circulación de 0.07cm/s, determine si bajo estas condiciones la sangre esta en
régimen laminar o turbulento.

R// El objetivo es determinar el numero de Reynolds bajo esta condiciones y ver si esta
por encima o por debajo del valor limite de 2000. Para ello se asume un valor de
viscosidad de la sangre de 3cP con lo cual



1Poise 1g / cm * s 1kg 100cm
3cPoise      3x103 Kg / m * s
100cPoise 1Poise 1000 g 1m
En unidades MKS. La densidad media de la sangre es de 1.05g/cm3 que en unidades
MKS es respectivamente.
1Kg (100cm)3
1.05 g / cm 
3
 3
 1.05 x103 Kg / m3
1000 g (1m)
Entonces:
 r v
(6 x103 m)(1.05 x103 Kg / m3 )(0.07m / s)
v  NR NR    147
r  3x103 Kg / m * s

Dicho valor es menor a los 2000, por lo en esta parte la sangre se encuentra en régimen
laminar.

5. Hemodinámica

Es la parte de la fisiología que aplica las leyes de la hidrostática y la hidrodinámica en el
estudio y compresión de cómo se lleva a cabo la circulación de la sangre en el aparato
cardiovascular. El aparato cardiovascular se le puede representar mediante un circuito
o sistema de tuberías con una bomba hidráulica de cuatro cámaras o llamada corazón.
La tubería se encuentra compuesta de venas y arterias.


Las venas son las encargadas de devolver la sangre hasta el corazón, para que la
impulse hasta los pulmones para ser recargada de nuevo con oxigeno. En un momento
cualquiera las venas transportan casi el 70% de la sangre que circula por el cuerpo. Las
arterias actúan como un sistema de suministro que lleva la sangre rica en oxigeno
desde el corazón hasta los tejidos del cuerpo que requieren el oxigeno.
El sistema circulatorio es a menudo comparado con un sistema hidráulico en el cual el
corazón es la bomba y las venas, arterias y capilares son los conductos por los que
circula la sangre. Esta analogía no es propiamente correcta, ya que la sangre no es un
fluido simple debido a su composición y las venas y las arterias no son elementos
rígidos. La sangre en el sistema circulatorio transporta oxigeno, nutrientes y varias
sustancias vitales a las células y remueve los desechos producidos por estas. La sangre
es bombeada a través de las arterias y retorna por las venas.

El flujo o caudal sanguíneo que llega a los órganos se traslada desde el corazón a través
de las arterias que se ramifican de la aorta y así cada órgano recibe lo necesario para su
funcionamiento. Las presiones sanguíneas pertenecientes a los lados arterial y venoso
so muy diferentes. El flujo sanguíneo se expresa en términos del volumen por unidad de
tiempo.
V
s 
t



Por ejemplo el gasto cardiaco es un flujo y se define como la cantidad de sangre que sale
del corazón en 1 minuto. Se calcula aproximadamente en 5L/min para el ser humano.

El corazón

Es un órgano interno completamente
musculado que se compone de músculo
cardiaco. Desempeña la función de
bombear la sangre hacia los pulmones y el
cuerpo. Consta de cuatro recamaras
internas llamadas aurículas (2) y
ventrículos (2). A cada aurícula se asocia
un ventrículo, pero cada par es
independiente entre si, al encargarse de
sangre de diferentes características. El El corazón representa el centro motor del sistema
corazón posee dos estados: la sístole circulatorio. Al contraerse bombea sangre sobre todo el
cuerpo y al relajarse se llena de sangre rica en oxigeno
momento en el cual el corazón se contrae e para ser nuevamente enviada. Sus dos recamaras
impulsa la sangre hacia los pulmones y el independientes, que a su vez están divididas en dos,
cuerpo, y la diástole momento en el cual se bombear sangre en todo momento. BRUCE J. WEST
relaja y llena de sangre sus recamaras. (2004). Biodynamics : why the wirewalker doesn’t fall.
John Wiley & Sons, Inc. Pag 255.

Como se aprecia entonces, el corazón es una bomba doble. Una de ellas se encarga de
poner en movimiento la sangre pobre en oxigeno hacia los pulmones y la otra la sangre
rica en oxigeno hacia todo el cuerpo. Durante la sístole los dos ventrículos s contraen
impulsando la sangre. En la diástole las aurículas se llenan y el corazón se relaja. Todo el
proceso está controlado por las válvulas cardiacas.

El numero de cavidades, así como de las aurículas y ventrículos varia de una especie a
otra, estando esta determinada principalmente por el grado evolutivo.

ANIMAL CORAZON

Peces 2 cavidades 1 aurícula, 1 ventrículo
Anfibios 3 cavidades 2 aurícula, 1 ventrículo
Reptiles 4 cavidades 2 aurícula, 2 ventrículo
Aves 4 cavidades 2 aurícula, 2 ventrículo
Mamíferos 4 cavidades 2 aurícula, 2 ventrículo

La cantidad de recamaras dentro de cada corazón depende básicamente del grado evolutivo
que presenta y de la especie.


Presión Arterial

La presión arterial es la fuerza que ejerce la sangre sobre las paredes arteriales, y para
esta existen dos momentos importantes que han de ser considerados: cuando la fuerza
se ve incrementada por la contracción del ventrículo, es decir con la sístole o en el
momento en que el corazón impulsa la sangre por las arterias y las consideraciones
hidrodinámicas son mas importantes y cuando la fuerza de contracción del ventrículo
ya no ejerce sobre la sangre, en el momento de reposo del corazón o diástole. En este
ultimo la presión sobre las arterias solo depende del volumen de sangre presente en las
arterias. Esta presión es más hidrostática que hidrodinámica. En medicina la presión
arterial se mide mediante un instrumento llamado esfigmomanómetro o tensiómetro.
Existen varios modelos, pero los mas difundidos son el denominado aneroide (de reloj)
cuyo manómetro tiene forma circular y es accionado por presión de aire, y el de
mercurio que es mas exacto rara vez se descalibra.

Tipos de presión arterial

Presión arterial sistólica (PAS): Es la que depende de la sístole (momento fisiológico de
la contracción del corazón) y es la presión mas alta medida en las arterias. En una
persona adulta promedio el valor es de 120mm Hg. Se le denomina también presión
máxima.


Presión arterial diastólica (PAD): Es aquella que depende del volumen sanguíneo y del
estado de las paredes arteriales. Es la presión mas baja que se mide en el proceso de
relajación del corazón. Se establece durante el intervalo en que el corazón descansa
(fase de diástole). El valor promedio en un adulto es de 80mm Hg aproximadamente.

Presión arterial media: Es la presión promedio con la que transita la sangre por todo el
sistema arterial. Se define como:
PAS  PAD
PAM  PAD 
3

La formula anterior no es demostrable, solo es una aproximación empírica.

Presión de pulso (PP): También se denomina diferencial y se calcula mediante:
PP  PAS  PAD
Normalmente la presión sanguínea es un numero que se expresa de manera abreviada
indicando primero la presión sistólica. Así por ejemplo para un humano se expresa
como 120/80. Entre las presiones sanguíneas que se han medido en los vertebrados,
una de las mayores es la de la jirafa, que en estado de reposo es de 260/180. Para
medir la presión arterial existen dos maneras:



1. Método directo: Se hace acoplando mediante una aguja catéter una arteria a un
tubo en forma de U que contenga mercurio. Esta práctica no es común por el alto
riesgo que se corre. A menudo también se utilizan sensores especiales que detectan
los movimientos de los líquidos y los convierten en señales eléctricas.

2. Método indirecto: Es el método común, ya que se realiza mediante el tensiómetro.
Se infla la bomba que ya ha sido colocada alrededor del brazo. Al inflarse transmite
presión de manera indirecta a la arteria branquial comprimiéndola. En este
momento la circulación en la arteria disminuye al mínimo. Mediante un
estetoscopio cerca a la región cercana al codo. La clave consiste en escuchar los
ruidos de Korotkov. La presione sistólica y diastólica se determinan a partir de los
momentos en que se producen y cesan estos ruidos de una manera determinada
(consultar de manera independiente como es este proceso).

En la gran mayoría de los vertebrados la presión sanguínea disminuye a medida que la
sangre se va alejando del corazón. Este hecho se debe al rozamiento de la sangre con
las paredes y al aumento del área total de los vasos sanguíneos.



SISTOLICA DIASTOLICA PULSO MEDIA
ESPECIE
(mm Hg) (mm Hg) (mm Hg) (mm Hg)
Gato 140 90 50 107
Vaca 140 95 45 110
Perro 120 70 40 87
Rata 100 70 30 83
Canario 225 150 75 175

Dependiendo de los niveles de presión arterial en las especies se puede hacer un
diagnostico de las condiciones de salud. Para el caso de los seres humanos se aceptan
en general los valores mostrados en la siguiente tabla.

Categoría Sistólica (mm Hg) Diastólica (mm Hg)
Optima <120 <80
Normal <130 <85
Anormal 130 - 139 85 – 89
Etapa 1 Hipertensión (leve) 140 - 159 90 – 99
Etapa 2 Hipertensión 160 – 179 100 – 109
(moderada)
Etapa 3 Hipertensión (severa) 180 – 209 110 – 119
Maligna >210 >120



Velocidad de flujo o caudal sanguíneo

La velocidad del flujo sanguíneo es el desplazamiento que realiza una partícula de
sangre por unidad de tiempo. Esta velocidad promedio de flujo multiplicada por el área
de la sección transversal nos da el flujo total.

s  Av
Para el caso de fluidos ideales, este flujo se mantendrá siempre constante,
independientemente de los cambios del área de la sección transversal. A medida que se
aleja del tubo principal o de la aorta el diámetro de los conductos disminuye,
constituyéndose en arterias, arteriolas y capilares. El caudal sanguíneo puede ser
medido varios métodos, dos de los cuales son el método de Fick y el método de
Stewart-Hamilton (Termodilución).

Relación de la presión con el diámetro y la velocidad

Debido a que la sección transversal de las venas, arterias y demás varia de forma
considerable a través de todo el cuerpo, la presión en cada uno de estos elementos
circulatorios se puede apreciar de manera general en la siguiente figura.



Diagrama de velocidad y sección
transversal total para cada uno de
las vías circulatorias. Pude verse una
aparente violación de la relación
entre área de sección transversal y
velocidad sanguínea. Los capilares
son los elementos mas pequeños,
pero todo su conjunto producen un
área de sección transversal mayor
que cualquier elemento. Esto ocurre
con los elementos mas pequeños en
general. Por tanto el flujo se divide
tantas veces en ellos que su
velocidad final es muy pequeña. Esta
baja velocidad es optima para los
procesos de intercambio de
sustancias de la sangre.

La velocidad del flujo sanguíneo es el desplazamiento que realiza una partícula de
sangre por unidad de tiempo. Esta velocidad promedio de flujo multiplicada por el área
de la sección transversal nos da el flujo total.


La velocidad del a sangre es mas alta en la vena cava y en la aorta, con respecto a las
secciones mas delgadas como los capilares y la vénulas. Esto en principio viola la
relación entre área de sección transversal y velocidad, pero la velocidad presenta una
reducción considerable al pasar a los elementos más pequeños debido a que el área
conjunta de sección transversal es unas ochocientas veces mayor. Así el numero de
ramificaciones es tan elevado que produce en conjunto una reducción considerable de
la velocidad (0.4mm/s para el caso humano aproximadamente). Esta velocidad es
adecuada para que los procesos de oxigenación de la sangre sean óptimos.

Representación esquemática de la
división a nivel de la aorta hasta los
capilares. El numero medio de
capilares se encuentra por el orden
de 109. Konstantin Bogdanov (2000).
Biology in Physics, Is life matter?.
Pagina 44.



Cuando una persona se encuentra acostada presenta una presión igual en cualquier parte
del cuerpo (alrededor de 120mm Hg). En situación erguida, la presión arterial a nivel del
cerebro es muy inferior a la que se presenta a la altura del corazón.

La presión arterial para una persona en
posición horizontal es casi la misma en
cualquier parte. Para situación vertical, el
valor de la presión arterial depende de
donde se mida. Por esta razón se
acostumbra hacerlo a la altura del pecho
para esta condición. PAUL DAVIDOVITS
(2008). Physics in Biology and Medicine. 3
Edit. Elsevier Inc. Pag 108.

Las presiones en el cuerpo pueden cambiar de acuerdo a las condiciones a las que esta
siendo sometido el individuo.


Aspectos generales e importantes de la sangre
La sangre esta constituida por una porción más fluida, denominada plasma sanguíneo,
dentro del cual se hallan en suspensión los eritrocitos, leucocitos y plaquetas, de los
cuales los glóbulos rojos son los más abundantes dentro de la sangre. Al porcentaje de
glóbulos rojos se le denomina hematócrito.
Vgr
H
V
Donde Vgr es el volumen de glóbulos rojos y V es el volumen total de sangre. Para una
persona promedio tiene un valor de 45%. La concentración de estos elementos esta
directamente relacionado con la viscosidad de la sangre.

Separación de la sangre en condición de reposo en dos fases. Composición global de la sangre para una
persona en condición normal. C. Ross Ethier. Introductory Biomechanics From Cells to Organisms. 122.



La sangre no es fluido ideal y por lo tanto su viscosidad no es homogénea. Se dice
también que es un sistema heterogéneo, aunque a nivel microscópico sea un líquido
real. Dependiendo de donde se estudie la sangre (venas, arterias, capilares, etc)
cambian algunos aspectos particulares de ella, como su viscosidad y composición.
Particularmente en los capilares su comportamiento es muy diferente en donde la
presencia de sus diferentes fases se manifiesta más. Mientras el vaso sanguíneo tenga
un diámetro 50 veces superior al diámetro de los glóbulos rojos, la sangre se
comportara de una manera casi newtoniana.
Proporciones aproximadas para un glóbulo rojo,
con su depresión a nivel central en ambas caras.
Los glóbulos rojos poseen la propiedad de
deformarse y asociarse entre si (coagulación). C.
Ross Ethier. Introductory Biomechanics From Cells
to Organisms. 125.

Los glóbulos rojos tienen también la propiedad de asociarse entre si cuando la
velocidad de circulación es muy lenta, contribuyendo a el aumento de la viscosidad.
Una persona con alto contenido de glóbulos rojos (como los habitantes de las alturas)
presentara una sangre mas espesa, mientras que una persona con un valor bajo
hematócrito presenta una sangre una menos espesa.


La onda pulsátil

Cuando la sangre sale del corazón hacia las distintas partes del cuerpo, produce una
presión sobre las paredes de las arterias produciendo una deformación que se propaga
a lo largo de ella, como cuando se produce una onda sobre una cuerda. Como la sangre
entra a las arterias de una manera regular y periódica determinada por la actividad del
corazón, dichas deformaciones adquieren también este carácter periódico.

Producción de la onda de rebote o reflejada al llegar el pulso cardiaco original a una región de separación. La
onda reflejada es de menor intensidad que la incidente y además va a dirección opuesta. Konstantin Bogdanov
(2000). Biology in Physics, Is life matter?. Pagina 43.

Esta onda generada es a lo que menudo se le conoce como pulso cardiaco y puede ser
percibida al hacer cierta presión sobre las zonas mas anchas. La onda pulsátil produce
una onda de rebote que al llegar ciertas zonas, tal como la ramificación de una arteria,
pero dicha onda de rebote es más débil que la original.


Circulación simple y doble

Se conocen dos tipos básicos de circulación. La mayor parte de los peces tiene una
circulación simple, en la que cada circuito completo, la sangre pasa solamente una vez
por el corazón. Cuando la sangre sale del corazón se dirige hacia las branquias, desde
esta hacia los tejidos y vuelve al corazón. En los vertebrados hay circulación doble, en la
que cada circuito completo, la sangre pasa dos veces por el corazón, ya que viaja desde
el hasta los pulmones, vuelve al corazón y de ahí pasa a los tejidos. Los pulmones y el
corazón tienen su propio circuito. Existen formas intermedias de circulación para
algunas especies que presentan combinaciones de las anteriores (peces pulmonados,
anfibios y reptiles). Estas diferencias están determinadas básicamente por puras
condiciones adaptativas.

Circulacion simple y doble. Para la primera se produce un solo paso de la sangre por el corazón por cada ciclo
completo. Para la segunda se pasa dos veces por cada ciclo.



Fin de la Unidad II
Muchas Gracias


Curso de Biofisica unidad 2

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