Contenido de tu libro
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Observa la tabla y responde las preguntas.
Operaciones entre conjuntos.
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según corresponda.
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Teniendo en cuenta la anterior información, contesta las preguntas.
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Teniendo en cuenta el valor numérico asignado a cada letra, ubícalas en la semirrecta y en-
contrarás el nombre de un mate...
S 5. Utiliza los datos de la tabla para responder las preguntas.
Algunos inventos tecnológicos
de los siglos XIX y XX
A*0
...
Pensamiento numérico - varíacional
Adición y sustracción de números naturales
¿Cuántos años han pasado
desde la invención ...
1. Con la información anterior, contesta las preguntas.
a . ¿Cuál es la diferencia entre el invento m á s reciente y el m ...
El valor de la factura incluye cinco servicios: 1) el consumo de agua a $ 1 951 cada metro
cúbico, 2) servicio de alcantar...
»«•• Pensamiento numérico - variaciona!
Propiedades de la adición de números naturales
¿eré igual..."
... ¿Un carro con ra...
Escribe las propiedades) utilizada(s) para resolver cada uno de los siguientes ejercicios,
o, 98 565 + 28 569 762 + 5 256
...
f 4. Resuelve las siguientes situaciones.
a. De la lista de útiles escolares, Sergio compra cinco cuadernos cua-
driculado...
Multiplicación y división de números naturales
Con el paso de los años los artefactos tecnológicos bajan de precio
debido ...
Completa la tabla.
b a-b
264 132 34 848
216 27
768 3
1 170 24
26 568 324
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2
Exacta Inexacta
Exacta Inexacta
Exacta Inex...
f 6, La distribuidora de carcasas para celular recibió $ 1 766 730 por concepto de las
ventas de abril.
a . Si se vendiero...
»»*• Pensamiento numérico - variacional
Propiedades de la multiplicación
Para todo número natural la multiplicación cumple...
C. Al multiplicar un número natural por el el producto es cero.
d. Al agrupar de diferentes formas tres o más factores, el...
b. 34 x 421 x 11 x 10
34 x 11 x 421 x 10
(34 x 11) x (421 x 10)
374 x 4 210
157 454
Federico el lunes compró cinco cuadern...
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= (8 • 12) +(| | • 12) + ( 5
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= 324
8. Cada n ú m e r o del sistema...
i»* Pensamiento numérico - variacional
Situaciones problema
Uno de los carros más veloces del mun-
do es el BUGATTI V E Y ...
c. Lupita tiene ahorrados $ 430 000. Ella quiere comprar dos muñecas, cada una vale
$ 185 500.
y 2. Plantea y resuelve una...
y 4. Encuentra la cantidad de población que le falta a cada continente para obtener la po-
blación total.
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• Conceptos básicos de geometría
El museo Vitro Design, en Suiza, es una de las maravillas
de la arquitectura m á s import...
Clave matemática
En cuanto a las rectas encontramos las siguientes definiciones.
Nombre Definición Dibujo y notación
Segme...
O TALLER Conceptos básicos de geometría O o °
1» Traza rectas que pasan por los puntos que se nombran con letras mayúscula...
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a . Una antena de televisión es un ejemplo de rectas intersecante...
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nales.
9 . Dibuja con reg...
««• Pensamiento métrico - geométrico
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XX fu...
2, Observa la clasificación de ángulos. Mide los ángulos y luego clasifícalos según su
medida.
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y "i. Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas es 90° y dos ángulos son
suplementarios si la suma de sus ...
Pensamiento métrico - geométrico
Unidades de tiempo y longitud
El 21 de julio de 1969, Neil Armstrong realizó el primer pa...
c. Los periodos académicos en una universidad están dados por semestres. Una carrera
profesional tiene una duración de 10 ...
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««• Pensamiento métrico - geométrico
Existen algunas longitudes que se miden en unidades diferentes a las del Sistema de M...
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Bolivia
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y 5 . A 50 km de Bogotá se encuentra una de las maravillas del mundo, la "Catedral de Sal" de
Zipaquirá, en la que se encu...
>«• Pensamiento aleatorio
Recolección de datosl población, muestra y variables estadísticas
Para llegar a una conclusión a...
I» 2 Teniendo en cuenta las siguientes poblaciones, escribe una muestra para cada una de ellas,
a. Género musical preferid...
a . ¿Qué población escogiste?
b. ¿Cuál es la variable cualitativa en la encuesta y cuál la cuantitativa?
c. Según la encue...
Matemática
Internet sano
El mundo de hoy nos ha llevado a estar más cerca unos de otros y
tener información inmediata de l...
Matemática ciudadana
Actividades
1, Reúnete con tres compañeros del curso:
o. Realicen una cartelera en la que expongan ot...
Conversión de números arábigos a números romanos
con ayuda del computador
Excel es una hoja de cálculo muy útil, en la
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Para copiar la fórmula
ubicamos el cursor en
el recuadro y con click
sostenido la desplaza-
mos hasta la celda B9,
se obse...
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  1. 1. Contenido de tu libro 12 Pensom/enro L Ó G I C A Y C O N J U N T O S Estándar: Reconozco las principales características de un conjunto y una proposición. numérico - Lógica: Proposiciones, conectivos lógicos y cuantificadores 13 variaáonal Conjuntos 16variaáonal Rincón de la historia: John V e n n 16 Pensamiento numérico - variacional SISTEAAAS DE N U M E R A C I O N Estándar: C o m p r e n d o los diferentes sistemas de numeración. Pensamiento numérico - variacional Sistemas antiguos de numeración 21 Pensamiento numérico - variacional Sistema de numeración binario 2 4 Pensamiento numérico - variacional Sistema de numeración decimal 2 6 Pensamiento numérico- variacional N U M E R O S NATURALES Estándar: Resuelvo y formulo problemas con los números naturales y sus operaciones. Pensamiento numérico- variacional O r d e n de los naturales 3 0 Pensamiento numérico- variacional Adición y sustracción de números naturales 3 3Pensamiento numérico- variacional Propiedades de la adición de números naturales 36 Pensamiento numérico- variacional Multiplicación y división de números naturales 3 9 Pensamiento numérico- variacional Propiedades de la multiplicación 4 2 Pensamiento numérico- variacional Situación problema 4 6 E L E M E N T O S DE G E O M E T R Í A Y M E D I C I Ó N Estándar: Reconozco los términos básicos de la geometría y las relaciones entre unidades de longitud. Pensamiento métrico - geométrico Conceptos básicos de geometría 4 9 Pensamiento métrico - geométrico Ángulos 54Pensamiento métrico - geométrico Unidades de tiempo y longitud 5 7 Pensamiento métrico - geométrico Sistema de medición inglés 60 Pensamiento aleatorio DATOS E S T A D Í S T I C O S Estándar: Resuelvo situaciones problema usando recolección de datos. Recolección de datos: población, muestra y variables estadísticas. 6 3 Páginas especiales Proyecto: Conversión de números arábigos a números romanos con ayuda del computador 66 Páginas especiales Matemática recreativa: Internet sano 68 Páginas especiales Prueba de unidad 70 Pág. Pensamiento numérico - T E O R Í A DE N Ú M E R O S Estándar: Reconozco y utilizo algunos conceptos de la teoría de números. Pensamiento numérico - Múltiplos y divisores 73Pensamiento numérico - Criterios de divisibilidad 7 6 variacional Descomposición de números en factores primos 79variacional Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 82 P O T E N C I A C I Ó N , RADICACIÓN Y L O G A R I T M A C I Ó N Estándar: Resuelvo y formulo problemas con potenciación, radicación y logaritmación. Pensamiento Potenciación de números naturales 8 5 numérico - variacional Propiedades de la potenciación 8 7numérico - variacional Radicación de números naturales y propiedades 9 0 numérico - variacional Logaritmación de números naturales 94 Pensamiento numérico - variacional E C U A C I O N E S Estándar: Utilizo todas las estrategias para resolver ecuaciones.Pensamiento numérico - variacional Igualdades y ecuaciones 9 7 Pensamiento métrico - geométrico P O L I G O N O S Estándar: Clasifico polígonos según sus propiedades. Pensamiento métrico - geométrico Polígonos 100Pensamiento métrico - geométrico Triángulos 104 Pensamiento métrico - geométrico Cuadriláteros 108 Pensamiento aleatorio D I S T R I B U C I Ó N DE F R E C U E N C I A S Y DIAGRAMAS E S T A D Í S T I C O S Estándar: Utilizo diferentes representaciones gráficas para mostrar un conjunto de datos. Pensamiento aleatorio Frecuencias 1 1 0 Diagramas y gráficos estadísticos 113 Páginas especiales : Proyecto: Salida pedagógica (Recorramos el barrio) 116 Páginas especiales Matemática recreativa: La magia del origami 118Páginas especiales Prueba de unidad 1 2 0
  2. 2. Pág. , HBHHMHMHBHHHiHfflHIHBHHMHMHBHHHiHfflHI 1 F R A C C I O N E S Estándar: Emplea las fracciones y sus operaciones. Pensamiento numérico - variacional Representación de fracciones 123Pensamiento numérico - variacional Clasificación de fracciones y números mixtos 126 Pensamiento numérico - variacional Fracciones equivalentes. Complificación y simplificación 130 Pensamiento numérico - variacional Representación de fracciones en la recta numérica y orden 134 Pensamiento numérico - variacional Adición y sustracción de fracciones 137 Pensamiento numérico - variacional Multiplicación y división de fracciones 141 Pensamiento numérico - variacional Potenciación y radicación de fracciones 144 Pensamiento métrico - SUPERFICIE Estándar: Calculo áreas por medio de la composición y descomposición de figuras. Pensamiento métrico - Unidades de superficie 148Pensamiento métrico - Área de políqonos 151 geométrico Perímetro de la circunferencia y área del círculo 154 geométrico Área de figuras sombreadas 157 Pensamiento aleatorio Diagrama circular 160 Pensamiento aleatorio Medidas de tendencia central 164 Páginas especiales Proyecto: Maqueta galería de arte 167 Páginas especiales Matemática ciudadana: Propiedad intelectual 168Páginas especiales Prueba de unidad 170 Pág. Grandes inventos de la historia Pensamiento N Ú M E R O S DECIMALES Estándar: Reconozco y utilizo los números decimales. Pensamiento Fracciones decimales y números decimales 173 Pensamiento Clasificación de números decimales y conversiones 176 Pensamiento Rincón de la historia: J o h n N a p i e r 1 8 0 numérico - variacional O r d e n entre números decimales 181numérico - variacional Adición y sustracción de números decimales 184 numérico - variacional Multiplicación y división de números decimales 187 Pensamiento numérico - variacional R A Z O N E S Y P R O P O R C I O N E S Estándar: Explico con gráficas situaciones de proporcionalidad directa e inversa. Pensamiento numérico - variacional Razón y proporción 192Pensamiento numérico - variacional Proporcionalidad directa y regla de tres 195 Pensamiento numérico - variacional Proporcionalidad inversa 199 Pensamiento numérico - variacional Porcentajes 2 0 2 Pensamiento numérico - variacional • N Ú M E R O S E N T E R O S Estándar: Identifico y reconozco los números enteros en diferentes situaciones. Pensamiento numérico - variacional Números relativos opuestos e inversos aditivos de un número 205Pensamiento numérico - variacional Rincón de la historia: origen del calendario gregoriano 2 1 0 Pensamiento numérico - variacional O r d e n entre números enteros y valor absoluto 2 1 1 Pensamiento numérico - variacional Adición y sustracción de enteros 2 1 4 Pensamiento métrico - geométrico V O L U M E N Y C A P A C I D A D Estándar: Identifico relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes. Pensamiento métrico - geométrico Volumen 2 1 7 Pensamiento métrico - geométrico Unidades de capacidad 2 2 0 Pensamiento métrico - geométrico Traslaciones, reflexiones, rotaciones 2 2 2 Pensamiento aleatorio «• PROBABILIDAD Y C O N T E O Estándar: Utilizo las técnicas de conteo y las reglas básicas de probabilidad.Pensamiento aleatorio Combinaciones y permutaciones Conceptos básicos de probabilidad ^ 2 2 7 2 2 9 Páginas especiales Proyecto: Cálculo de combinaciones y permutaciones con ayuda del computador 231 Páginas especiales Matemática recreativa: dominó y sudo/cu 2 3 4 Páginas especiales Prueba de unidad 2 3 8
  3. 3. Lógica y conjuntos • Sistemas de numeración Números naturales • Propiedades y operaciones • Elementos de geometría • Ángulos • Recolección de datos Las tecnologías del siglo XX y XXI "¡Tan+o hemos cambiado!" Los aparatos tecnológicos son las soluciones dadas por el ser humano para mejorar la calidad de vida. El siglo XX fue el escenario para grandes inventos y cambios tecnológicos, los cuales han marcado el desarrollo de nuestra sociedad; por ejemplo, el telégrafo, aparato eléctrico que emite y recibe señales según un código de impulsos eléctricos (clave Morse); el primer telégrafo fue inventado en 1 8 3 3 por Samuel Morse. O t r o cambio tecnológico significativo fue la evolución de instrumentos para guardar informa- ción de audio o video. Hoy en día contamos con medios de audío y video ópticos c o m o el C D y digitales como, el ¡Pod, los cuales funcionan con códigos internos. Una nueva herramienta tecnológica creada en el siglo XIX y desarrollada en los siglos XX y XXI es el computador. En 1 9 4 3 se crea el computador ENIAC, construido con tubos al vacío, con- densadores, interruptores, resistencias, entre otros, por lo que requería de un espacio amplio equivalente al de un salón de clase para su funcionamiento y pesaba aproximadamente 3 0 toneladas. En 1 9 6 0 , se diseñó el primer computador totalmente automático, que funcionaba en su componente aritmético con ceros y unos, c o m o los actuales sistemas digitales emplea- dos por computadores, celulares, sistemas de grabación de audio y video, entre otros. Responde en tu cuaderno. ¿Qué nombre recibe la clave utilizada por el telégrafo? 2 . ¿Cuáles números utilizaba el computador creado en- 1 9 6 0 para procesar la' in- formación? 3 . Hoy en día, ¿en qué formatos se graba la información de texto, audio y video? ¿Cómo se podrían clasificar los diferentes aparatos mencionados en la lectura? ¿Cuáles conjuntos se podrían formar con los elementos de audio y video? 6. ¿Qué beneficios nos ha traído la evolución tecnológica? Justifica tu respuesta. ¿Qué características de las antiguas tecnologías le aportaríasv a las actuales y por qué? C o n estas características, ¿qué invento tecnológico crearías?
  4. 4. «•»• Pensamiento numérico - variacional * Lógica: Proposiciones, conectivos lógicos y cuantificadores Clave matemática Las proposiciones son oraciones a las cuales se les puede asignar un valor de verdad. Las proposiciones se nombran con letras minúsculas, ejemplo: q : un CD guarda información (V) r ; el XBOX es un animal (F) Las anteriores proposiciones se denominan proposiciones simples. Al agregar la palabra NO en una proposición, el valor de verdad cambia; es decir, se niega la proposición. Esta negación se representa con el símbolo ~ . P : el cuadrado NO tiene cuatro ladosp : el cuadrado tiene cuatro lados Verdadero Falso Dos o más proposiciones simples se pueden unir por medio de los conectivos lógicos: A ( y ) , v (o), ~~* (entonces), (si y solo si), formando proposiciones compuestas con las que se pueden construir tablas de verdad. P<-><J Si en el long play la información es producida de forma análoga, si y solo si, el long play guarda la vibración producida por el sonido de la cinta. V F F V p p A q Escuchó músi- Escuchó mú- Escuchó música en ca en cásete. V V F F sica en CD. V F V F cásete y en CD. V F F F <Í pvq Escuchó músi- Escuchó mú- Escuchó música en ca en cásete. V V sica en CD. V F cásete o en CD. V V F F V F V F P q Si los im- pulsos del iPod y el CD Si los im- pulsos del iPod y el CDEl ¡Pod y el Si los im- pulsos del iPod y el CD Los impulsos CD transfor- producen ce- del ¡Pod y el man los ce- ros y unos, CD producen ros y unos entonces, el ceros y unos. en audio o iPod y el CD imagen. los transfor- ma en audio o imagen. los transfor- ma en audio o imagen. V V V V • F F F V F F V V En el long play la informa- ción es producida de forma análoga. El long play guarda la vibración producida por el sonido en la cinta. O TALLER Lógica O o ° P 1 . En los enunciados escribe si corresponde a una proposición o no. En caso de que sí corresponda, escribe su valor de verdad. á. 5 x 4 = 20 Nos vemos mañana_ C. El CD no es.circular d. Todos los celulares son de color neg ro e. El computador tiene más de un tecla- do i/f. ¿Cuántos ¡Pods tienes? g. El triple de cinco es quince h. 3 + 3 + 3 = 3 x 3 13
  5. 5. Completa la tabla. P 15 x 10 = 150 El Sol es un planeta. Valor de verdad V P Valor de verdad 15 X 10^150 F Un dólares igual a un peso colombiano. En las siguientes proposiciones resal- ta con rojo las que son simples, y con azul, las que son compuestas. En las proposiciones compuestas subraya el conectivo lógico. a . Los cuadriláteros tienen cuatro la- dos. b. La fiesta estuvo tranquila o yo estu- ve aburrido. c Febrero tiene 28 días. d . 2 + 3 ^ 6 0 3 x 2 = 6. e. Roma es la capital de Italia. f. Vamos a ir al cine y comeremos palomitas. g. El mar es azul y el planeta Tierra es redondo. h. Si está lloviendo, entonces, me voy a mojar. ¡« El vallenato no es un género mu- sical. Í. 5 x ó = 30 si y solo si 6 + ó + ó + 6 + ó = 30. k« La Luna es redonda o el Sol es amarillo. Escribe proposiciones simples de tal manera que el valor de verdad de las proposiciones compuestas sea verda- dero. 246 es par, si y solo si, V c. La palabra " c a f é " es aguda, si y solo si, d. El círculo es un sólido o e. Si 48 es múltiplo de ó , entonces, f, Los caballos no tienen alas y _ g, El domingo voy al parque o b. El gato toma leche y h. Si la música es un deporte, en- tonces, Y 5. Teniendo en cuenta las siguientes proposiciones simples: P: El primer telégrafo se utilizó en 1833. q: Los computadores no han evolucio- nado. r: El CD es un medio óptico de audio y video. Encuentra el valor de verdad de las pro- posiciones compuestas. En las propo- siciones con paréntesis, primero se en- cuentra el valor de verdad de ellos. a . p A r b. ~ r V q c. ?v p — » ~ (q *-* r) ú, ~ (~ q) —> q
  6. 6. e» ~ (p A q ) v ( ~ q A p ) 9» ~ (~ p r) f. ~ (~ (p A q) —>~ r) : 6. Sean p y q dos proposiciones simples. Escribe falso o verdadero según corresponda y justifica tu respuesta. a. p A q = q A p d. p—> q = ~ p q b. p V q = q V p e. p ^ q = q<-^p C. p—>q = q - + p f. p — > q = ~ q — > ~ p /../; 7. Completa las proposiciones con los cuantificadores correspondientes para que la proposi- ción sea verdadera. V: Cuantificador universal (para todo, todos, cualquiera) 3 : Cuantificador existencial (existen, algunos, unos) ci. ¡Pods son rectangulares d . días llueve b. los números son primos e. letra pertenece al abecedario c. computadores son negros f. los peces viven en el agua Durante las vacaciones de diciembre del año pasado, la familia de Juanita decidió viajar por cinco días a la isla de San Andrés. Durante el vuelo, ellos planearon sus actividades de la siguiente forma. DÍA HORA ACTIVIDAD PRIMERO 2:00-3:00 p.m. Llegada al aeropuerto, registro e instalación en el hotel. PRIMERO 3:00-5:30 p.m. Recorrido por los alrededores del hotel y observar el mar. 5:30 - 9:00 p.m. Descanso en el hotel y cena. SEGUNDO 7:30-9:00 a.m. Desayuno, alquilar lancha y dirigirse hacia Johnny Cay. SEGUNDO 9:00 a.m.- 5:00 p.m. Entrar al mar, almorzar y disfrutar los cocteles. 5:00-8:30 p.m. Regreso al hotel, descanso, cena y dormir. TERCERO 8:00-8:30 a.m. Desayuno. TERCERO 8:30 a.m.-5:30 p.m.' Alquilar automóvil y recorrido por la Isla, almorzar. 5:30-8:30 p.m. Devolver el automóvil, caminar por la playa, cenar y dormir. CUARTO 9:00-3:30 a.m. Desayuno, disfrutar de las olas del mar y almorzar. CUARTO 3:30-6:00 p.m. Disfrutar de la piscina del hotel. 6:00-9:00 p.m. Organizar maletas, cenar y dormir. QUINTO 7:00- 10:30 a.m. Desayuno e ir de compras. QUINTO 10:30 a.m.-1:00 p.m. Almorzar y dirigirse al aeropuerto. 4:00 p.m. Llegada al aeropuerto de Bogotá. y 8. Teniendo en cuenta la información anterior, escribe falso (F) o verdadero (V), según corresponda. a. La familia de Juanita todos los días observará el mar. b. La familia de Juanita todos los días entrará al mar. c. Todo el tiempo de la estadía, la familia permanecerá en el hotel. d. El tercer día, la familia alquilará el carro por algunas horas. e. Todas las vacaciones, la familia de Juanita visita San Andrés. f. Todas las horas de permanencia en la isla estarán fuera del hotel. Descriptor de desempeño: / Identificar proposiciones simples y compuestas y establecer su valor de verdad.
  7. 7. Pensamiento numérico - variacional ( ¿ , Conjuntos A Máquina de hilar Ferrocarril Bombilla Telégrafo Las herramientas -tecnológicas creadas en el siglo XVIII y principios del siglo XIX, forman el conjunte A" y las herramien+as creadas en el siglo XX determinan el conjunte B. B Radio Teléfono Automóvil Televisor Computadores Electrodomésticos C l a v e matemática Un conjunto es una colección de elementos que tienen por lo menos una característica o propiedad c o m ú n . Usualmente los conjuntos se nombran con letras mayúsculas, ejemplo C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Un conjunto se determina cuando se sabe si un elemento pertenece o no al conjunto, el s í m b o l o utilizado para indicar la relación de pertenencia es e y el de no pertenencia es £ . Si el conjunto C = { l , 2 > 3 , 4 , 5 } , entonces, 4 6 C y 9 ^ C Si todos los elementos de un conjunto D están contenidos en otro conjunto C, entonces se dice que D es subconjunto de C. El símbolo de contenencia es C y el de no contenencia es (¡L . Ejemplo: ' • Dados los conjuntos C = { l , 2 f 3 , 4 , 5 } y D = { 1 , 2 } , entonces D C CY C (t D. O TALLER Conjuntos H 1 . Completa la tabla. Escritura de los conjuntos Comprensión Para determinar un conjunto por comprensión se enuncia una pro- piedad que cumplen todos los elementos del conjunto antecediendo la expresión x/x. Extensión Para determinar un conjunto por extensión se nom- bran todos los elementos del conjunto, si un conjun- to es infinito se utiliza puntos suspensivos. A = { x / x es un dígito par} A = {2,4,6,8} / = { x / x es un dígito impar} ,P = {13,1 7,19,23,29} 1 x / x es un elemento empleado para 1 [grabar i n f o r m a c i ó n de audio y videoj Q = { x / x es un invento del siglo XIX} R = { x / x es un invento del siglo XX} Rincón de ta historia John Venn (1834-1923) Matemático y filósofo británico, que intro- dujo el sistema de representación que hoy conocemos como "diagrama de Venn".
  8. 8. Observa la tabla y responde las preguntas. Operaciones entre conjuntos. Dados los conjuntos U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, C = {l,2,3,4,5}, D = {2,4,7} Unión u Intersección D Diferencia Complemento' Producto cartesiano X La unión de los conjun- tos C y 0 es el conjunto formado por todos los elementos que pertene- cen al conjunto C, o al conjunto D. C u D = { x / x e C v x e ü } C „ D = {1,2,3,4,5,7} La Intersección entre La diferencia de C y Si C está conteni- El producto cartesiano de los conjuntos C y D, D, es el 'conjunto for- es el conjunto forma- mado por los elemen- do por los elementos tos que pertenecen al que pertenecen al conjunto C y no perte- conjunto C y al con- • junto D. C n D = { X / X € C A X 6 D } necen al conjunto D. - D = { x / x e C A x ¿ D } - D = {l,3,5} do en un conjunto CxD es un conjunto for- referencial U, el mado por todas las parejas complemento del ordenadas, cuyos primeros ele- conjunto C son los . mentas pertenecen al conjunto elementos que le C y los segundos elementos hacen falta a C para pertenecen al oonjunto-D. ser el conjunto refe- ' (1.2){UH1,7) C u D C n D C-D 2, Lee la información y represéntala en el diagrama de Venn. Las letras H, A/1 y C son los nombres de los conjuntos formados por las pizzas hawaiana, mexicana y carnes, respecti- vamente. Ana María invitó a su fiesta de cum- pleaños a Camilo, Andrés, María Paula, Jennifer, Federico, César y Daniel. En la fiesta comieron pízza según el gusto de cada uno. Camilo dijo que quería hawaiana y mexicana, María Paula es- cogió de carnes y hawaiana; Jennifer, al igual que César, solamente seleccio- nó hawaiana, Federico pidió mexicana y carnes, Daniel y Ana María comieron una pízza de cada sabor. H ^ M C x D (2,2¡(2,4)(2,7 (3,2)(3,4)(3,7 (4,2)(4,4)(4,7) (5,2)(5,4)(5,7) El producto cartesiano" se pue- de representar en un plano cartesiano. Observa el diagrama y escribe el símbolo e o í , según corresponda. a . Federico 0 H porque Federico no pertenece al conjunto H. b. María Paula _ C c. Camilo H d . Jennifer M e. Daniel _ C 3. Dados los conjuntos: L — {x/x es un dígito impar} ,.»•. D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ' T = {3,6,9} Completa las proposiciones con el sím- bolo e, ÍÉ, <z o ce para que cada afir- mación sea verdadera. Ejemplo: 3 G T porque 3 pertenece al con- junto T; L(£T porque no todos los elemen- tos del conjunto L están contenidos en. el conjunto T. a . 5 L b . T D c . 4 T
  9. 9. d. L D 4. Dados los conjuntos: U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9 , 2 0 } , , , .. , , í x / x es un número menor de 20 D = {x/x es un divisor de 2 0 } , C = {3,6,9,1 2,1 5 } , y V = y la suma de sus dígitos es Realiza las operaciones en el cuaderno y escribe el resultado por extensión. a. D U C b. Vn D c. D - C d. C x V i 10 9 - 8 - 7 - 6 5 - 4 - 3 - 2 - 1 e. O f. V g. VxD h. (VUD)' 1 ¡. (VnD) ¡. (C-D) n V k.(CuV)'U C . í. (Cuv)n(C-D) 2 10¥ 9 - 8«» » • - O - 1 2 3 4 5 6 7 i 8 i 1 9 i > 4 3 • 5 7 0 1 2 3 4 5. Escribe las coordenadas de los vértices de cada figura. a. P ( , ) c. P3 ( , ) e . P5 ( , ) g . P7 ( , ) i. P9 ( , ) b. P2( , ) d.P4( , ) f. P ( , ) h. P8( , ) j . PIO ( , ) 3 5 6 i 7 i 8 i 9 10
  10. 10. 6. Ubica las coordenadas en el plano cartesiano y une los puntos correspondientes a cada parte en el orden que se presentan. 10 - 9 - 8 7 6 5 - 4 - 3 - 2 1 Menú "i 1 1 1 1 1 1 1 - 1 2 3 4 5 6 7 8 10 1 .a Parte 2.a Parte 3.a Parte 4.a Parte a . Pl (2,10) b. P2 (2,1) c. P3 (7,1) d. P4 (7,10) P5 (6,9) i P6 (3,9) g . P7 (3,7) h. P8 (6,7) i. P9 (5,5) m . P13 (4,2) |. PIO (4,5) n. P14 (5,2) k. Pl 1 (3,4) n. P15 (6,3) I. P12 (3,3) o. PIÓ (6,4) p. P17 (5,4) q. P18 (4,4) r. P19 (4,3) s. P20 (5,3) Ubica las coordenadas en el plano cartesiano y une los puntos correspondientes a cada parte en el orden que se presentan. 1 .a Parte 2.a Parte 3.a Parte 4.a Parte a . Pl (10,2) b. P2 (1,2) c. P 3 ( l , 7 ) el. P4 (10, 7) e. P5 (9, 6) f. P6 (9, 3) g . P7 (7, 3) h. P8 (7, 6) i. P9 (5, 5) m. P13 (2, 4) j. PIO (5, 4) n. P14 (2, 5) k. Pl 1 (4, 3) ñ. P15 (3, 6) I. P12 (3, 3) o, PIÓ (4, ó) p. P17 (4, 5) q . P18 (4, 4) r. P19 (3, 4) s. P20 (3, 5)
  11. 11. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y 8. Johanna, Sergio, Juan, William, An- drés, Viviana, Mónica, Kevin, Gisel y Paula son estudiantes de grado sexto. El diagrama muestra sus preferencias al seleccionar un programa de televi- sión. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 o ¿Qué relación existe entre las figu- ras obtenidas? Al comparar las coordenadas de las dos figuras anteriores, ¿qué concluyes? 7, Sombrea la operación indicada en cada diagrama de Venn. (HnC)U(L-C) H Videos musicales Novelas Muñecos animados Películas Seriados Juan William Sergio Mónica Viviana Paula Viviana Gisel Kevin Mónica Andrés Kevin Mónica William Sergio Viviana • Andrés Juan Gisel Paula William Juan Andrés Johanna Gisel Mónica Gisel Kevin Viviana Johanna Sergio Johanna Paula Andrés Juan Si el conjunto referencial es: U Johanna, Sergio, Juan, William, Andrés, Viviana, Mónica, Kevin, Gisel y Paula Determina por extensión: o. N = { x / x prefieren ver novelas} x / x prefieren ver muñecos b . M = • animados c. S = { x / x prefieren ver seriados} x / x prefieren ver videos y j películas x / x prefieren ver novelas o películas d. R = C i N' g. M ' h . ( N n M ) u S i. D - N Descriptor de desempeño: / Reconocer las principales características de un conjunto, realizar, representar e interpretar operaciones entre ellos.
  12. 12. Pensamiento numérico - variacional Sistemas antiguos de numeración mm - • : Sistema de numeración romano: es un sistema de numeración aditivo en el cual los símbolos: I, X, C y M aparecen máximo tres veces; V, L y D no se repiten; I, X y C suman cuando están a la derecha de un símbolo y restan cuando están a la izquierda. Número arábigo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 30 40 50 60 90 Número romano I II III IV V VI VII VIII IX X XI XX XXX XL L LX XC 100 101 110 200 300 400 500 600 900 1 000 4 000 1'000 000 c Cl ex ce CCC CD D DC CM M V / 1 689: MDCLXXXIX 957: CMLVII 2 007: MMVII 394: CCCXCIV Sistema de numeración egipcio: es un sistema de numeración aditivo que utiliza jeroglíficos para representar las unidades con su respectivo orden. Número arábigo 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 Número egipcio I A 9 2 4 5 3 6 : 2 0 0 0 0 SLSLSÍSL, 99999 AAAJ mm 4 0 0 0 5 0 0 3 0 Sistema de numeración maya: es un sistema de numeración posicional de base 2 0 , los números se colocan verticalmente de abajo hacia arriba, multiplicando el primer nivel por uno, el segundo por 2 0 y el tercero por 3 6 0 . Número arábigo 0 1 2 3 4 5 6 10 15 20 Número maya < ^ > • • • • • • • • • • • < É > 1 x 2 0 = 2 0 6 x 1 = 6 2 0 x 3 6 0 = 7 2 0 0 6 x 2 0 = 1 2 0 6 x 1 = 6 < É > 2 0 x 2 0 = 4 0 0 < D 0 x i = 0 21
  13. 13. O TALLER Sistemas antiguos de numeración O r o Q,,,) 1. Escribe en el paréntesis la letra correspondiente teniendo en cuenta los números equivalentes en los tres sistemas de numeración. CL ( ) 2 536 ( A A A A A b. MMMDXCIII ( ) 739 ( ) 99 ni c. MMDXXXVI ) 150 00009000 ) A A A A d . DCCCXLII ( ) 203 ) 09099 A A A A A A A A A J7 e . can ( ) 3593 ( ) A A A INIIINI f. DCCXXXIX ( ) 842 SLSL <p <p <p C) (p A A A nnn ? 2. Escribe en tu cuaderno cada enunciado con su correspondiente número en el sistema de numeración decimal. | a . En el año A A A A A A A A A s e reformó la Constitución Política de Colombia. 1 b. La selección de fútbol de Colombia fue campeona de la Copa América en el año MMII. c. El papa Juan Pablo II falleció en el año ,f,^, d. El nimin de abril de MCMXLVIII fue asesinado Jorge Eliécer Garrón. e. En el año MCDLXVII un emperador chino puso cerdas en un mango de hueso. f. En 9999999 William Adis inventó nuestro cepillo actual. A A A A A A A A g. Galileo inventó el termómetro en el año 99999 *7 3. Completar la tabla convirtiendo cada número romano y maya en número decimal.
  14. 14. Número romano Número decimal Número maya Número decimal CDXLIV • • • • • MMMCCXLI • • • • DCCCXXIV • • MML • • • • L Encuentra la solución en el sistema de numeración decimal de los siguientes problemas. a . En el año ¿ > ¿ ) ¿ ) £ ) ¿ ) C ) S e menciona por primera vez la pólvora en China y en el año J*?*?*?*?*? rr^ realiza la primera producción de porcelana en este mismo país. ¿Cuánto más antigua es la pólvora que la producción de porcelana? b. En Europa aparece la carretilla en el año MCCCXI y en MDCXVIII el primer microsco- pio. ¿Cuánto más reciente es el microscopio que la carretilla? c. La balanza de dos platillos es inventada en el año MDCCXX y el manómetro en MDCCV. ¿Cuál es la diferencia de años entre estos dos inventos? d . El transbordador espacial Challenger explotó en MCMLXXXV y el transbordador Columbio en 41 H 111. ¿Cuántos años han transcurrido entre los dos inventos? e. En MCMLVII viaja el primer ser vivo al espacio: una perrito llamada Laika, en Q**? 9 9 9 f f f í f f " e 9 a e ' primer hombre al espa- cio; el ruso Yury Gagarín. ¿Cuántos años transcurrieron entre el viaje de la perrito Laika y el viaje del hombre al espacio? f. En MDCCLXXXIX se produce la Revolución francesa. ¿Hace cuántos años se conme- moró el centenario de la Revolución francesa? Descriptor de desempeño: / Identificar los sistemas antiguos de numeración y representar números del sistema de numeración decimal utilizando la simbologia de estos sistemas.
  15. 15. *» Pensamiento numérico - variacional Sistema de numeración binario El sistema de numeración bjnario se utiliza en sistemas electrónicos, por ejemplo, un b o m - billo encendido ® representa el número 1, porque hay un paso de corriente, mientras que un bombillo a p a g a d o © representa el 0 , por no tener corriente. © © © © © © representa el número 100100( 2 ) © © © © © © representa el número 101010( 2 ) © © © © © © representa el número 100110( 2 ) m a t e m á t i c a El sistema d e numeración binario es posicional, por lo tanto, el valor de un número depende de su ubicación. Ejemplo: en el número binario 1 1001 1 ( 2 ) cada uno tiene un valor específico, el pri- mero de derecha a izquierda equivale a u n o , el siguiente a dos, el quinto a dieciséis y el sexto a treinta y dos, al sumar estos números se obtiene 5 1 , por tanto, el número 1 1001 1 „. eauivale a 51 en el sistema de numeración decimal. 1 0 | 0 1 | 1 to to ' 1 to 1 ero do 6 5 4 3 2 (2 x 1) + (2 x 1) + ( 2 x 0 ) + ( 2 x 0 ) + (2 x 1) + (2 x 1) Orden posicional Orden posicional 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5) (en base 10) Valor representado en cada posición 2 e 1 254 27 i 128 24 i 64 25 i 32 2a l 16 1 8 22 1 4 2' i 2 2o l 1 O TALLER Sistema de numeración binario €> ® • / , „ ) 1 , Escribe el valor posicional de 1 en cada caso. a . 1 0 0 ( 2 ) = 4 porque el número 1 en 100(2) está en la tercera ubicación. 2 2 = 4 b . 1000(2) c. 10000(2) d . 1 0 0 0 0 0 0 ( 2 ) -,)) 2 . En el arreglo se pueden encontrar de manera horizontal y vertical números binarios de cinco cifras. Escribe todos los números binarios que aparecen en el arreglo. V 2 4 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 a . 1 1 0 0 1 ,
  16. 16. b . Escribe en decimal los números-binarios del ejercicio anterior. 19_, El número natural equivalente al número 1 001 1( 2 ) es 1 9, porque el primer uno de derecha a izquierda es 1, el segundo equivale a dos y el quinto a 1 ó. Al sumar estos valores se obtiene el número diecinueve. 3 . Escribe en el sistema binario los siguientes números del sistema decimal. Ejemplo: 27 b. 76 19=10011 c. 120 (2) d . 45 e. 37 ? 4 . La suma de los números binarios se realiza teniendo en cuenta el valor posicional de las cifras. Ejemplo: 1 1 0 0 ( 2 ) + 1 1 1 ( 2 ) = + 1 o 1 1 + 1 = 2. 2 en base 2 es ICL, Por eso se escribe 0 y se lleva I. 1 (2) 1 0 0 1 1 Calcula la suma de los siguientes números binarios. o. 11011( 2 ) + 1100( 2 ) b. 1 0 1 1 0 ( 2 ) + 1111( 2 ) y 5. La calculadora internamente convierte los números del sistema decimal a números bi- narios, los opera como binarios y, finalmente, entrega el resultado como un número en base diez. Felipe realiza las cuentas de los dulces recogidos el día de los niños con la calculadora. El 31 de octubre recibe 1 7 dulces en el colegio y 45 en su barrio. a . Felipe dígita primero la cantidad de dulces que le entregaron en el colegio. Para la calculadora este número es: . b. ¿Cuántos dulces más recibe en el barrio que en el colegio? Escribe el resultado en número binario. . c. Si la abuela de Felipe le regala 1100( 2 ) dulces, ¿cuántos dulces tiene ahora Felipe? Escribe la respuesta en el sistema de numeración binaria y en el sistema de numera- ción decimal Descriptor de desempeño: / Solucionar situaciones usando la conversión de un número binario a número decimal y viceversa.
  17. 17. <»*• Pensamiento numérico - variacional • Sistema de numeración decimal Clave matemática Unidades de billón Centenas de mil de millón Decenas demude millón Unidades de mil de millón Centenas de millón Decenas de millón Unidades de millón Centenas de mil Decenas de mil Unidades de mil Centenas Decenas Unidades u.b. c.m.M. d.m.M. u.m.M. C.M. d.M. u.M. c.m. d.m. u.m. c d U 1012 10" 10'° 10' 108 107 10" 105 10" 103 102 10 10» 10 c.m. = 1 u.m. 1 0 c.M. = 1 u.m.M. 1 u.b. = 1 0 c.m.M. Cada dígito recibe su nombre de acuerdo con la posición que ocupa, por esto el sis- t e m a d e n u m e r a c i ó n d e c i m a l es un sistema posicional. Ejemplo: para octubre de 2 0 0 7 el número de usuarios de internet en Colombia era de 9 6 8 1 5 8 3 (1 de cada 4 colombianos es usuario de internet), con un crecimiento del 2 3 % , porcentaje considerado de los más altos de América Latina. Descompongamos esta cifra en forma polinomial, según la posición de cada una de sus cifras. 9 6 8 1 5 8 3 = 9 x 1 0 0 0 0 0 0 + 6 x 1 0 0 0 0 0 + 8 x 10 0 0 0 + 1 x 1 0 0 0 + 5 x 1 0 0 + 8 x 10 + 3 x 1 = 9 x l 0 6 + 6 x l 0 5 + 8 x l 0 4 + 1 x l 0 3 + 5 x l 0 2 + 8 x 1 0 + 3 x 1 0 ° = 9 0 0 0 0 0 0 + 6 0 0 0 0 0 + 8 0 0 0 0 + 1 0 0 0 + 5 0 0 + 8 0 + 3 "Nueve millones seiscientos ochenta y un mil quinientos ochenta y tres" O TALLER Sistema de numeración decimal O o 1. Escribe la lectura correspondiente con los siguientes números. a. 1 7 8 b. ó 4 7 8 3 6 7 c. 1 2 0 0 0 0 5 d . 3 8 4 0 0 2 0 . e. 8 9 0 0 0 2 5 3 6 1 0 0 2 i 2 4 5 1 3 6 5 7 8 4 0 2, Escribe con dígitos los siguientes números. a . Dos millones cuatrocientos ocho mil nueve b. Un billón doce mil millones trescientos quince mil c. Tres mil millones ocho mil novecientos once
  18. 18. d . e . f . Ciento catorce mil millones quinientos diecinueve Setenta y tres millones ciento noventa y seis mil trescientos doce Cincuenta mil millones nueve mil diecisiete Realiza una correspondencia entre la letra y la descomposición polinomial, escribiendo en el paréntesis la letra respectiva. a. 8 c.m. b . 2 u.b. c . 7 d d . 2 u.M. e. 9 c.m.M. f. 1 1 d.m. g . 3 c.m. Completa la tabla. ) 3 x 100 000 = 300 000 ) 8 x 100 000 = 800 000 ) 11 x 10 000 = 11 000 ) 9 x 100 000 000 000 - 900 000 000 000 ) 7 x 10 = 70 ) 2 x 1 000 000 000 000 = 2 000 000 000 000 ) 2 x 1 000 000 = 2 000 000 Número Más 3 u.m Menos 2 d Más 1 c Más 1 u.M. Menos 2 d.m 3427 865 7 843 510 507 437 687 143 278 409 3 430 865 3 427 845 3 427 965 4 427 865 3 407 865 Encuentra los números correspondientes a las descomposiciones decimales en la siguien- te sopa de números. Ten en cuenta que los números aparecen de forma horizontal o vertical y algunos están invertidos. a. 3 u.m. + 3 c.m. + 2 u + 7 d.m. b . 4 c + 5 c.m. + 7 d.m. + 2 u.M. + 1 u c . 8 d + 4 c.m. + 4 u + 8 d.m. d . 2 u.m. + ó d.m. + 7 c.m. + 7 u.M. + ó d.M. + 2 u.m.M. e. 2 u.b. + ó c.m. + 7 d.m. f. 8 u + l d + 2 c + 4 u.m. + 1 c.M. + 2 d.M. + 3 c.m. g . 3 c.M. + 4 d.M. + 8 u.M. + 3 u + 2 u.m.M. h . 3 u.m.M. + 4 c.M. + 5 d.M. + 7 d.m. + ó u.m. i. 2 d + l c + 3 u j . 5 d + 8 c + 7 u.m. + 3 u • 2 4 6 0 0 0 6 7 0 0 5 4 3 8 0 1 3 5 7 9 0 2 4 6 8 0 1 3 5 2 0 6 7 7 6 2 0 0 0 7 9 0 2 3 6 8 0 1 3 5 7 9 3 0 2 4 0 8 0 1 3 5 7 9 1 2 0 0 0 0 0 0 6 7 0 0 0 0 1 0 2 4 0 6 8 0 1 3 5 7 4 9 3 0 2 0 4 6 8 7 8 5 3 0 1 7 3 5 0 7 9 0 2 4 6 8 7 3 3 2 4 8 1 3 6 4 7 0 4 5 2 0 1 0 4 8 0 0 8 4 5 8 2 0 0 5 9 3 1 5 7 3 0 8 5 7 9 2 7 1 2 0 3 0 4 2 1 8 0
  19. 19. ' 6 . Teniendo en cuenta las equivalencias entre cada valor de posición, une con una línea según corresponda. 3 c 8 u.m. 370 d.m.M. 70 d.M.i 1 u.b. 7 c.M. 80 c 410 u.M. 5 d.m.M. 10 c.m.M. 30 d 37 c.m.M. 50 u.m.M. 7. Encuentra la cifra correspondiente al valor posicional dado. En cada línea escribe la letra que acompaña al número donde encontraste la cifra. Descubrirás otro nombre empleado para los símbolos de nuestro sistema de numeración decimal. &29120 B736593 0 * 3 7 5 3 3 2 G1008602400 1818130758 N15128 R4932191 S2390087970 l 9 9 3 1 9 3 9 l 0 l 2 3 9 A03893167 03987 R38101 S7127 1 d.m. 9 u 4u.m. 3 c.m. 9 c.m. 0 c O.u.M. 9 u.M. l u 8 c.m. óu.m. 7c 0 c.M. 8d 7u.M. A continuación se muestra el nombre de la montaña más alta de cada continente. Continente Montaña Longitud América Aconcagua 6 959 m Europa Elbrus 5 633 m Asia Everest 8 848 m África Kilimanjaro 5 895m Oceanía Jaya 5 029 m Antártida Monte Vinson 4 897 m
  20. 20. Teniendo en cuenta la anterior información, contesta las preguntas. a . ¿Cuáles son las montañas que tienen ocho en la posición de las centenas? b. ¿Cuántas centenas tiene más el Aconcagua que el Elbrus? c. ¿Cuántas unidades de mil tiene menos la montaña más alta de la Antártida que la de Oceanía? d . ¿En cuál continente se encuentra la montaña de mayor longitud? e. ¿Cuál es el nombre de la montaña de menor longitud que aparece en la tabla? * 9. Compara y escribe la diferencia entre las unidades de mil de las longitudes de las montañas. Unidades de mil a . Everest-Aconcagua. b. Everest-Kilimanjaro- c. Everest-Elbrus d . Everest-Jaya S 10. Compara y escribe la diferencia entre las decenas y centenas, de las longitudes de las montañas. a . Everest-Monte Vinson b. Elbrus-Kilimanjaro — c . Aconcagua-Elbrus - d . Kilimanjaro-Jaya decenas centenas 11. Completa la tabla. Montaña Descomposición decimal Lectura Aconcagua 6 x 103 + 9 x 102 + 5 x 10 + 9 x 10° Seis mil novecientos cincuenta y nueve Elbrus Everest Kilimanjaro Jaya Monte Vinson Descriptor de desempeño: / Realizar la descomposición de números en el sistema de numeración decimal y aplicarlos en la solución de problemas. 2 9
  21. 21. i»* Pensamiento numérico - variacional • Orden de los naturales La línea d e l t i e m p o m u e s t r a a l g u n o s d e los a d e l a n t o s tecnológicos o c u r r i d o s e n los siglos XIX y XX. Alexonder Guglielmo Se lanza el: Graham Beli y Marconí John Logíe Se lanza el Se pone en Thomas transmite Baírd transmite primer satélite órbita la Watson señales de la primero Sputnik 1 al Estación exhiben un radio desde señal de espacio. Espacial teléfono Cornualles a televisión. Internacional. eléctrico en Terra nova. Boston. O LO I co O CN LO CN co O O CN o •— 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1800 2 0 0 0 Al o r g a n i z a r cronológicamente los diferentes a d e l a n t o s tecnológicos, d e l más a n t i g u o a l r e c i e n t e , se o b t i e n e el s i g u i e n t e o r d e n : Teléfono, t r a n s m i s i ó n d e señales d e r a d i o , p r i m e r a t r a n s m i s i ó n d e señales d e televisión, p r i m e r satélite, se p o n e e n órbita la Estación E s p a c i a l I n t e r n a c i o n a l . Orden de los naturales Si a y b r e p r e s e n t a n c u a l q u i e r p a r e j a d e n ú m e r o s n a t u r a l e s , a l c o m p a r a r l o s es v e r d a d e r a u n a y s o l a m e n t e u n a d e las s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s . a > b , a < b , a = b a es mayor que b, a es menor que b, a es igual a b E j e m p l o : Si a = 5 y b = 8 La proposición v e r d a d e r a es 5 < 8 5 > 8 , 5 < 8 , 5 = 8 i i i F V F O TALLER Orden de los naturales O o ° S 1 , En la s e m i r r e c t a numérica se p u e d e n u b i c a r los n ú m e r o s n a t u r a l e s . El número m a y o r es a q u e l q u e se e n c u e n t r e a la d e r e c h a d e l o t r o y m e n o r el q u e se e n c u e n t r e a la izquier- d a . Por e j e m p l o : 8 3 está a la i z q u i e r d a d e 6, l u e g o 3 < ó. 8 está a la d e r e c h a d e ó, l u e g o 8 > 6. 30
  22. 22. Teniendo en cuenta el valor numérico asignado a cada letra, ubícalas en la semirrecta y en- contrarás el nombre de un matemático. • • • • • /A • • • • 100 000 A 200 000 300 000 1 000 000 2 000 000 3 000 000 R = 380 000 T = 1 750 000 R = 350 000 1 = 1 200 000 A = 150 000 H = 100 000 O = 1 500 000 a. Consulta quién fue este matemático y qué aportes realizó. b. Compara el valor numérico asignado a cada letra y completa las proposiciones con el símbolo < , > , = correspondiente. I T, A H, O I, O A, A A, T + A _ I, O + H A Encuentra el menor valor con el cual la proposición es verdadera. a. 315 + < 635 b. 1 635 012 + = 3 265 124 c. 89 + 12 + 36 = 1 4 0 - | d . 8 256 987 - < 5 456 345 e. 7 + 2 > 4 + f. 1 458 000 + 6 859 000 < 1 265 x Escribe el mayor número posible que hace verdadera cada desigualdad. a. 5 + _ < 9 d . 45 x 12 - < 36 b. 7 + 8 + < 18 e . 36 + 6 5 - > 100 c. 9 + 12 - 3 + < 30 f. 5 x 45 - < 1 70 4. Crucinúmero. Menor número posible de nueve dí- gitos. Menor que 406 943 022 y mayor que 406 943 020. El número que es una unidad de diez mil mayor que 220 429. Mayor número posible formado con los dígitos 9, 4, 3, 2, 3, 1. Menor número posible formado por tres dígitos ¡guales.
  23. 23. S 5. Utiliza los datos de la tabla para responder las preguntas. Algunos inventos tecnológicos de los siglos XIX y XX A*0 Cásete compacto 1963 IPod 2001 Telégrafo 1833 Celular 1939 Computador ENIAC 1943 o . En orden c r o n o l ó g i c o , ¿cuáles inventos tecnológicos surgieron en el siglo XX? b. ¿Cuál fue el primer invento t e c n o l ó g i c o del siglo XIX? c. Si se traza la línea del tiempo, ¿cuál es el orden de los inventos, del m á s antiguo al más reciente? ; Y~ 6. El costo de una c á m a r a de video en febrero es de $ 1 245 000, en ¡ulio el costo ha dis- minuido en $ 60 000, pero en diciembre ha aumentado $ 50 000 con respecto al costo de ¡ulio. ¿En cuál mes la c á m a r a es m á s costosa? S 7. El precio de un celular es $ 80 000 en agosto, en la semana de p r o m o c i ó n en diciembre el valor es de $ 23 000 menos, pero en enero disminuye en $ 20 000 con respecto a agosto. ¿En cuál mes el celulares más e c o n ó m i c o ? 8. Escribe los números telefónicos de cuatro c o m p a ñ e r o s . ¿Cuál es el menor y el mayor número?_ Y* 9, Ordena cada conjunto de números de mayor a menor. a. 6 304 ó 034 634 4 603 4 630 b. 95 600 956 000 956 9 560 90 500 c. 28 533 25 633 26 000 25 000 25 533 d. 6 071 7 601 1 650 6 701 1 607 Descriptor de desempeño: / Establecer el orden entre los números naturales y aplicarlos en situaciones problema.
  24. 24. Pensamiento numérico - varíacional Adición y sustracción de números naturales ¿Cuántos años han pasado desde la invención del telégrafo en 1833 hasta el 2007? ¿Cuántos años transcurrieron desde el nacimiento de la Pas- calina en 1642 hasta la creación del computador ENIAC en 1943? C l a v e m a t e m á t i c a r5m 6*0* íf |W> 5rc«o Lll IIIIBI m M i - i J ^ t)í » J i- • i a : I - 1 1 J A B C 1 2007 174 2 1883 3 4 Andrés decidió utilizarla calcu- ladora del computador, dígito la operación 1 9 4 3 - 1 6 4 2 y obtuvo como resultado 3 0 1 . Para contestar la primera pregunta, Luisa decidió utili- zar la hoja de cálculo de Ex- cel y obtuvo como respuesta 1 74 años. HG3CD S amfZDHE] B E S s a r u m a s H E3EDGJ H ruQaaaE] HGJJEDG] Para sumar y restar números naturales es importante sumar o restar cifras que se encuen- tren en la misma posición, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, etc. 143 784 + 63 782 =207 566 V V „ „ J i Sumandos i Total 34 504-1 356 = 33 148 v y '^-v-^ i i i Minuendo Sustraendo Diferencia La adición y la sustracción de números naturales son operaciones inversas. Es decir, para encontrar un sumando en una adición utilizo la sustracción y para encontrar el minuendo o sustraendo en una sustracción empleo la adición. Ejemplos: 3 590 + X = 46 789 X = 46 7 8 9 - 3 590 X = 43 199 Prueba: 43 199 + 3 590 = 46 789 Y - 1 905 = 43 Y = 432 + 1 905 Y = 2 337 Prueba: 2 337 - 1 905 432 ) TALLER Adición ysustracción denúmeros naturales 0 €>0 La tabla muestra el año de creación de algunos inventos. Invento Reloj de bolsillo Aparición de la bicicleta Primera máquina de escribir con memoria Primera máquina de vapor Técnica de cinematografía en color Aparición de los juegos artificiales 1458 1869 1964 1705 1951 1378 Primeros robots láser Primer cronómetro de Marina 1986 1736 Primeros teléfonos públicos de tarjeta .1980 Descubrimiento de los vasos capilares 1661
  25. 25. 1. Con la información anterior, contesta las preguntas. a . ¿Cuál es la diferencia entre el invento m á s reciente y el m á s antiguo? b. ¿Cuántos años es m á s antiguo el reloj de bolsillo que el c r o n ó m e t r o de Mari- na? C. ¿ Q u é inventos tienen una a n t i g ü e d a d mayor a ocho centenas de años? d. ¿ Q u é inventos se realizaron entre los años 1 700 y 1 710? e. ¿ C u á n t o m á s reciente es la aparición de la bicicleta que el descubrimiento de los vasos capilares? 2. La siguiente información corresponde a la superficie de cada una de las regiones colombianas. Región Superficie (km2 ) Amazónica 403 348 Andina 305 000 Caribe 132 218 Orinoquia 310 000 Pacifica 83170 De acuerdo con la tabJa, escribe falso o verdadero según corresponda. a . Colombia tiene una superficie de 1 233 736 km2 b. La región Andina es mayor que la región de la Orinoquia c. La región A m a z ó n i c a excede en 98 348 km2 a la región Andina d. La región del Caribe excede en 1 77 782 km2 a la región de la Orinoquia e. La región Pacífica y la región Andina tienen una diferencia de superficie entre 220 000 km2 y 223 000 km2 f. El total de la superficie de la región Andina y la región Pacífica es igual al total de la superficie de la región Pacífica y la región Andina * Responde las preguntas 3,(4 y 5 de acuerdo con la siguiente información. El gráfico corresponde al consumo de agua de la familia González durante los últimos cinco periodos. Consumo familia González 9 T Febrero Abril Junio Agosto Septiembre Abril Junio Agosto Septiembre Noviembre MESES
  26. 26. El valor de la factura incluye cinco servicios: 1) el consumo de agua a $ 1 951 cada metro cúbico, 2) servicio de alcantarillado por un valor de $ 1 1 96 por metro cúbico, 3) cargo fijo de acueducto con un valor de $ 1 1 492, 4) cargo fijo de alcantarillado con un valor de $ 5 855 y, finalmente, el valor del servicio de aseo por $ 1 9 600. f 3, Calcula el valor que la familia González pagó en cada periodo facturado. a . Febrero - Abril d. Agosto - Septiembre b. Junio-Agosto e. Septiembre - Noviembre c. Abril-Junio ^ 4. Si la factura no incluyera el servicio de aseo, calcula el total por pagar en los periodos facturados. a . Febrero - Abril d. Agosto - Septiembre b. Junio-Agosto e. Septiembre - Noviembre c. Abril - Junio S 5, La cantidad de metros cúbicos en los cinco periodos facturados es 32, ¿cuál es la canti- dad de consumo en el último periodo facturado? . }•>)> 6. En 1 947 se postuló el concepto de una red de radio celular y en 1 983 se fabricaron los primeros equipos. En los siguientes enunciados escribe falso o verdadero, según corres- ponda. Justifica tu respuesta. a . Transcurrieron 36 años desde la postulación de la red hasta la creación de los pri- meros equipos. b. Han pasado más de 61 años desde la postulación de la red hasta el año 2008. C. Han transcurrido 25 años desde la creación del primer equipo hasta el año 2008. d. Para contestar el literal a, debo sumar 1 947 y 1 983. 7. Completa el siguiente crucigrama. En 1 877 se inventó el primer tocadiscos y en 1 895 se descubrieron las radiografías. c j Años transcurridos desde el inven- to de tocadiscos hasta el descubrí- b| miento de las radioqrafías. Años que han pasado desde el a invento del tocadiscos hasta el 2008. Años transcurridos desde el descu- brimiento de las radiografías hasta . el 2008. Descriptor de desempeño: / Aplicar la adición y la sustracción de números naturales en el análisis y solución de situaciones problema.
  27. 27. »«•• Pensamiento numérico - variaciona! Propiedades de la adición de números naturales ¿eré igual..." ... ¿Un carro con radio que un radio con carro? ... ¿Un televisor con antena que una antena con televisor? Los casos anteriores no son conmutativos, porque no se obtiene el mismo artefacto. Propiedad Ejemplo Elemento neutro o módulo E! número que sumado con cualquier número natural 1 542 310 + 0 = 1 542 310 da como resultado el mismo número natural es el 0, por tanto, el cero es el módulo de la adición. Propiedad clausurativa La suma de dos números naturales es otro número natural. 165 e N y 1 583 e N Luego 165 + 1 583 = 1 748 y 1 748 e N Propiedad conmutativa El orden de los sumandos no altera la suma. 1 345 + 3 478 = 4 823 3 478 + 1 345 = 4 823 Propiedad asociativa (1 356 + 1 256) + 2 568 = 2 612 + 2 568 = 5 180 Al agrupar los sumandos de diferente manera la suma ^ + M 256 + 2 568 ) = 1 356 + 3 824 = 5 180 no se altera. O TALLER Resuelve cada suma en la forma convencional y luego realiza una correspondencia con la propiedad empleada para su solución. a. 24 562 321 + 6 536 321= 6 536 321 + 24 562 321 = 5 436 235 + 0 = c. 32 565 + (26 569 652 + 125ó)=_ 32 565 + ( ) Propiedad asociativa ( ) Propiedad conmutativa ( ) Elemento neutro
  28. 28. Escribe las propiedades) utilizada(s) para resolver cada uno de los siguientes ejercicios, o, 98 565 + 28 569 762 + 5 256 = 98 565 + 5 256 + 28 569 762 Propiedad conmutativa = (98 565 + 5 256) + 28 569 762 Propiedad asociativa = 103 821 + 28 569 762 = 2 8 673 583 b. 56 325 + 59 321 + 9 658 + 658 123 = (56 325 + 59 321) + (9 658 + 658 123) = + 12 325 + 0 + 568 235 0) + 568 2 .+ 568 235 y = (12 325 + 0) + 568 235 Propiedad d. 163 587 + 385 126 + 123 987 = (163 587 + 123 987) + 385 126 Propiedad _ + 385 126 Aplica las propiedades mencionadas para resolver cada ejercicio. o, 35 325 697 + 2 358 + 12 698 = Propiedad conmutativa = Propiedad asociativa b. 56 328 369 + 23 956 123 + 0 + Propiedad asociativa y elemento neutro c. 2 358 265 + 123 1 68 + 45 698 256 + 21 859 569 + Propiedad asociativa d. 5 456 865 + 1 35 685 + 0 + 6 987 364 = + Propiedad asociativa y = elemento neutro
  29. 29. f 4. Resuelve las siguientes situaciones. a. De la lista de útiles escolares, Sergio compra cinco cuadernos cua- driculados, tres rayados y uno pentagramado. Su hermana M ó n i c a le dice que compre primero los tres rayados, luego el pentagramado y, por último, los cinco cuadriculados. ¿ C a m b i a la cantidad de cuader- nos comprados por Sergio? . Justifica la respuesta. b, María Camila tiene 21 muñecas de trapo. Para su c u m p l e a ñ o s quiere otra, pero se agotaron. ¿Cuántas muñecas de trapo tiene María Ca- mila después de su c u m p l e a ñ o s ? ¿Cuál fue la propiedad de la adición utilizada? Felipe tiene un tarro con canicas y para contarlas organiza tres grupos. El primero con 56, el segundo con 63 y el tercero con 45. Para saber la cantidad de canicas suma primero 56 y 63. Al resultado le agrega 45, ¿obtiene el mismo resultado si pri- mero suma 63 con 45 y al resultado le adiciona 56? Justifica la respuesta. •JÍJ Tatiana tiene doce insignias scout, en el cam- pamento Kevin le regala seis, Alejandro le ob- sequia nueve y Gloria ninguna. ¿Cuántas insig- nias recopila entre Alejandro y Gloria? ¿Cuál fue la propiedad de la adición utiliza- da? 5. Un vendedor de celulares compra el lunes tres decenas de carcasas amarillas, 15 decenas de color rosado y 27 carcasas azules. a . Si el s á b a d o compra 150 carcasas de color rosado, 30 amarillas y 27 azules, ¿cambia la cantidad de carcasas compradas entre el lunes y el s á b a d o ? . Justifica la respuesta. b. ¿Cuál fue la cantidad de carcasas compradas? c. Al colocar las carcasas en la vitrina mezcla los colores y organiza tres grupos: uno de 50, otro de 80 y el último de 77. Para verificar que están todas las carcasas, primero suma las del grupo dos y tres y, por último, las del primer grupo. El hijo del vendedor rectifica el conteo y primero suma los grupos uno, dos y finalmente el grupo tres. ¿El vendedor y su hijo obtienen el mismo n ú m e r o de carcasas? . Justifica tu respuesta. Descriptor de desempeño: / Identificar y aplicar las propiedades de la adición de números naturales en la solución de situaciones problema.
  30. 30. Multiplicación y división de números naturales Con el paso de los años los artefactos tecnológicos bajan de precio debido a su mayor demanda. A finales de los noventa el costo de un r minuto a celular era de ? I 500, hoy el valor es cercano a la quinta parte, es decir, 1 500 -s- 5 = 300, de igual manera, un televisor plasma de 42 pulgadas en el 2 0 0 0 costaba unos $ 8 500 0 0 0 , hoy su valor es de aproximadamente la mitad. Clave matemática0 AHHHHBHHHHHHHHHHHBHHHHHHHHBHHHB El valor de un minuto a celular en una cabina telefónica es de $ 300, ¿cuánto valen 1 4 minutos? 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 = 14 x 3 0 0 = 4 2 0 0 1 4 sumandos La adición de sumandos ¡guales puede representarse por medio de una multiplicación o producto de dos números naturales. El primer número representará la cantidad de veces o sumandos de la operación, el segundo indica el sumando repetido. • Multiplicación De manera general la multiplicación se define así: Si c,b € N, entonces c x b = b + b + b + b+ ... + b _ ^ c y ¿, s e denominan factores c veces y a producto. En la multiplicación se puede emplear el símbolo • o x • División La división es la operación inversa de la multiplicación, porque se conoce un factor y el producto, se debe encontrar el otro factor. La multiplicación 14- = 252; puede reescribirse en forma de una división, así: 252 14 = 18, en este caso 252 es el di- videndo, 1 4 el divisor y 1 8 el cociente. TAUL6SR Multiplicación y división de números naturales O 1 1. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica la respuesta. a. 5 4 - 1 2 8 = 6 912 b. La mitad de 1 568 986 es 786 493 c. 407 904 ^ 28 = 1 4 568 d. El triple de 156 894 es 478 682
  31. 31. Completa la tabla. b a-b 264 132 34 848 216 27 768 3 1 170 24 26 568 324 a*b 2 Exacta Inexacta Exacta Inexacta Exacta Inexacta Exacta Inexacta Exacta Inexacta Mitad de a El doble de b Tercera parte de b 132 264 44 Encuentra el número desconocido. ó - = 72 b. 12 • = 6 0 c. -100 =1 200 d . 1 2 0 - = 1 2 e . 68 i = 34 i 3 6 0 - = 1 2 0 Completa los dígitos en las operaciones. a . 3 2 x 3 c. 8 7 x 2 ti. • 0 1 1 3 • 1 8 2 7 6 7 3 7 1 0 1 4 8 8 3 4 6 0 7 3 1 8 0 2 1 3 Plantea multiplicaciones o divisiones según el caso y completa las proposiciones. a , La tercera parte de 156 es b. La mitad de 250 es C. El doble de 52 aumentado en 4 es d . La mitad del doble de 50 e, El triple de la mitad de 8
  32. 32. f 6, La distribuidora de carcasas para celular recibió $ 1 766 730 por concepto de las ventas de abril. a . Si se vendieron 987 unidades, ¿cuál es el precio unitario? b. En el mes de julio el valor de cada carcasa aumentó $ 50. La venta en este mes fue de 235 unidades, ¿cuánto dinero se recaudó en ¡ulio? El cuadro representa la venta promedio de algunos artículos electrónicos en un día de lunes a viernes. Responde. r 7. a. b. c. d. é. f. g. Cantidad Cada A representa 8 unidades Costo de una unidad Xbox Cámaras de vídeo A A A A A $ 800 000 « 1 258 000JA 1 luí U J J w V l * J ^ / U Celulares A A A A $ 250 000 La mitad del costo de cada artículo equivale a la inversión y la otra mitad es la ga- nancia. ¿Cuál es la ganancia diaria por las cámaras de video? ¿Cuánto dinero se recibe por ventas de Xbox en un día? Los fines de semana se vende en promedio el triple de un día entre semana, ¿cuán- tos celulares se venden un sábado? Si la mitad del costo de cada celular equivale a la inversión y la otra mitad es la ganancia. ¿Cuál es la ganancia por las ventas de celulares el fin de semana? En un día de promoción la ganancia es la cuarta parte del costo del artículo. ¿Cuál es la ganancia por la venta de tres Xbox en un día de promoción? ¿Cuántos artículos se venden un día de lunes a viernes? ¿Cuánto dinero se recauda en un día de ventas? Y 8. Observa las listas de precios en tres restaurantes y responde las preguntas. f i e s t a uran te , 5 a n t a n d e r e a n o Chivo $ 12 000 Tamales $ 5 600 santandereanos Hormigas culonas $ 2 500 Chivo y tamal para niños a mitad de precio O ra x¡o raO <D C ra>_ 3 ra M CU 0 ¿ Ajiaco $ 9 500 Chocolate $ 3 500 santafereño Hormigas culonas $ 2 500 Ajiaco para niños $ 5 300 Restaurante A n t i o q u e ñ o Bandeja paisa $ 10 200 Mazamorra . .. $ 7 800 Arepa de Chócolo Arepa de Chócolo ...$ 2 800 Bandeja Paisa para niños a mitad de precio / a . Mauricio fue ayer con sus dos hijos a uno de los restaurantes y pagó $ 24 000, ¿a cuál restaurante fue? b. Sandra pidió cuatro bandejas paisas y dos arepas de chócolo, ¿cuánto pagó? c. Felipe fue al Restaurante Antioqueño con 23 compañeros del colegio y cada uno ordenó una arepa, si la cuenta se paga entre 1 ó de ellos, ¿cuánto paga cada uno? T Descriptor de desempeño: / Analizar y solucionar problemas utilizando la multiplicación y división de números naturales.
  33. 33. »»*• Pensamiento numérico - variacional Propiedades de la multiplicación Para todo número natural la multiplicación cumple con las siguientes propieda- des. V a , b, c e N , s e tiene: • Propiedad conmutativa: a x b = b x a El orden de los factores no altera el producto, ejemplo: 15 x 30 = 30 x 450 = 450 • Existencia de elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a Al multiplicar un número natural por 1, el producto es el mismo número. El número 1 recibe el nombre de ele- mento neutro o módulo de la multi- plicación, ejemplo: 5 320 • 1 = 1 • 5 320 = 5 320 • Propiedad asociativa: a x (b x c) = (a x b) x c Al agrupar de diferentes formas tres o más factores, el producto no cambia, ejemplo: 12 x (3 x 10) = (12 x 3) x 10 12 x 30 = 36 x 10 360 = 360 • Propiedad anulativa: o x 0 = 0 x o = 0 Al multiplicar un número natu- ral por cero, el producto es cero, ejemplo: 3 7 8 5 - 0 = - 3 7 8 5 = 0 • Propiedad distributiva de la multiplicación o división con res- pecto a la suma o resta a x ( b + c) = a x b + a x c Al multiplicar un número por una suma, da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar cada pro- ducto, ejemplo: 6 • ( 4 + 3 ) = ( 6 • 4 ) + ( 6 • 3 ) = 24 + 18 = 42 (18 + 6 ) - 3 = ( 1 8 - 3 ) + ( 6 - 3 ) = 6 + 2 = 8 O TALL6R Propiedades de la multiplicación O o ° %>> 1. Completa el espacio. a. El elemento neutro o módulo de la multiplicación es el . b. En la propiedad al cambiar el orden de los factores el producto no cambia.
  34. 34. C. Al multiplicar un número natural por el el producto es cero. d. Al agrupar de diferentes formas tres o más factores, el producto no cambia, hace referencia a la propiedad . e. Al multiplicar un número natural por el el producto es el mismo número. 7 2. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta con ayuda de las propiedades estudiadas. a. 3 452 x 0 = 3 452 e. i x 0 = 0 b. 56 253 x 1 = 56 253 i 9 038 x 1 = 9 038 c. (25 x 15) x 10 = 25 x (15 xlO) 9- 0 x 65 378 = 0 d . 563 x 48 = 48 x 563 h. 0 x 1 = 0 fh») 3. Determina la propiedad que se aplicó y escríbela en el espacio. a- 264 x 35 x 10 x 20 x 1 = 264 x 10 x 35 x 20 x 1 = (264 x 10) x (35 x 20) x 1 = 2 640 x 700 x 1 = (2 640 x 700) x 1 = 1 848 000 x 1 -1 848 000 b. 1 245 x 6 473 x 0 x 1 564 x 1 546 = 1 245 x 6 473 x 1 564 x 1 546 x 0 = (1 245 x 6 473 x 1 564 x 1 546) x 0 = 0 c. 1 x 0 = 0 x 1 = 0 f„» 4. En las siguientes multiplicaciones se ha cometido un error. ¿Cuál es? Corrígelo. a. 4 352 x 962 x 10 x 0 = 4 352 x 0 x 962 x 10 = (4 352 x 0) x (962 x 10) = 0 x 962 = 0
  35. 35. b. 34 x 421 x 11 x 10 34 x 11 x 421 x 10 (34 x 11) x (421 x 10) 374 x 4 210 157 454 Federico el lunes compró cinco cuadernos a $ 2 000 cada uno, y el martes, tres lápices a $ 300 cada uno. Su hermana tenía que realizar una compra igual: ella compró pri- mero la misma cantidad de lápices al mismo precio y luego los cuadernos en la misma cantidad e igual precio. o . ¿Cuál fue el valor de los artículos comprados por Federico? b. ¿Cuál fuel el valor de los artículos comprados- por la hermana de Federi- co? c. ¿Federico y su hermana gastaron igual cantidad de dinero? Justifica tu repuesta. Marcela para su café internet ordena cinco pedidos de tarjetas prepago de $ 1 0 000 cada una, un pedido es de 20 tarjetas. a . Completa la multiplicación para calcular el valor de los pedidos. 5 • ( • ) b. Escribe otra forma de calcular el valor del pedido usando la propiedad modulati- va. c. Escribe otra forma de calcular el valor del pedido utilizando la propiedad asociativa. Encuentra los números desconocidos aplicando la propiedad distributiva y resuelve las divisiones o multiplicaciones. a . 1 000 + (1 000 H- 2) + + 80 + 2) - 2 = | -s- 2) + ( 8 0 H - 2 ) + (2 + 2) 200 + 1 I + 1 = ( + 2 4 + 9 * 3) + ( 10 + ) * 3 = 3) + (9 + 3 ) + (3 + 3) = + 3 + 1 c. 5 - f ( 5 - ; + 8 + i + (5-; + 3) + .(5- + (5-3) 10 + + 15 + = 80
  36. 36. d . (8 + | | +1 | + 4) • 12 = = (8 • 12) +(| | • 12) + ( 5 = I + 120 + 6 0 + + 12) = = 324 8. Cada n ú m e r o del sistema decimal tiene una descomposición según su valor posicional; por ejemplo, 4 596 = 4 000 + 500 + 90 + 6. Utiliza la propiedad distributiva para calcular la mitad y el doble de cada n ú m e r o , en lo posible realiza el proceso empleando cálculo mental. Mitad 4 596 +• 2 = ( 4 000 + 500 + 90 + 6 ) - 2 = ( 4 000 - 2 ) + ( 500 - 2 ) + ( 90 * 2 ) + ( 6 - 2 ) = 2 000 + 250 + 45 + 3 = 2 298 Doble 4 596 x 2 = ( 4 000 + 500 + 90 + ó ) x 2 ( 4 000 x 2 ) + ( 500 x 2 ) + ( 90 x 2 ) + ( 6 x 2 ) 8000 + 1 000 + 180 + 12 = 9 192 a. 840 c. 930 e. 456 g. 1 560 b. 650 d . 658 i 328 h. 2 458 Y 9. Hoy asistimos al museo Siglo XIX y XX. Cada niño p a g ó $ 8 000 y cada adulto el doble de lo que p a g ó cada niño. En la taquilla había la siguiente tabla de precios, complétala. Aplica la propiedad distributiva y responde: Cantidad de boletos para adulto 1 2 3 10 20 50 Precio Cantidad de boletos para niño 1 2 3 10 20 50 Precio o. ¿ C u á n t o dinero se paga por los boletos de trece adultos y veintidós niños? b. Si se paga con $ 150 000, ¿es posible comprar las entradas de doce niños? Justifica tu respuesta. c. Teniendo en cuenta la situación, inventa una pregunta cuya solución sea posible em- pleando la propiedad distributiva. Descriptor de desempeño: / Identificar y aplicar las propiedades de la multiplicación en la solución de situaciones problema.
  37. 37. i»* Pensamiento numérico - variacional Situaciones problema Uno de los carros más veloces del mun- do es el BUGATTI V E Y R O N 16.4, que desarrolla una velocidad de 4 0 7 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre en cuatro horas? Datos: (información útil para resolver el problema) 4 0 7 kilómetros en una hora. Pregunta: (¿Sabes a qué quieres llegar? ¿Hay suficientes datos? ¿Hay informa- ción extraña?) ¿Cuántos kilómetros recorre en cuatro horas? Estrategia y ejecución: (una estrategia se entiende c o m o los pasos para llegar a una meta; en la solución de situaciones pueden ser un diagrama, resolver una o varias operaciones, usar coordenadas, etc.) En este caso la estrategia es multiplicar 4 0 7 por 4. 4 0 7 • 4 = 1 6 2 8 Respuesta: recorre 1 6 2 8 km en cuatro horas. Examine la solución obtenida ¿Puedes comprobar la respuesta, es acorde con la pregunta planteada?, ¿puedes obtener el resultado por un camino diferente?, ¿puedes usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema? Para solucionar una situación p r o b l e m a se debe tener en cuenta los datos y la pregunta, con esta información se decide la estrategia para resolver la pregunta planteada, no siem- pre es una operación, en algunos casos puede servir una representación gráfica, dibujo, un esquema u otra herramienta. TAULGR Situaciones profcl Y 1, Escribe una pregunta para cada enunciado y luego plantea, en tu cuaderno, el procedi- miento requerido para resolver las situaciones. a . Alba compró 17 paquetes de dulces para la salida de c a m p o de gra- do sexto. Cada paquete tenía 12 unidades. Al final del día quedaron 8 dul- ces. b. Clarita tiene una fábrica de cuentos en la que se producen al año 1 70 cuentos clá- sicos, 6 4 0 de Bob Esponja y 2 5 0 de los padrinos mágicos. El costo de cada libro es $ 5 0 0 0 . 46
  38. 38. c. Lupita tiene ahorrados $ 430 000. Ella quiere comprar dos muñecas, cada una vale $ 185 500. y 2. Plantea y resuelve una operación acorde con la información dada. El número descono- cido represéntalo por una incógnita. La suma de dos números es 45 386; si uno de los sumandos es 1 2 456, calcula el otro sumando. La suma de tres números naturales diferentes es 8. ¿Cuál puede ser su producto? ¿Cuál es el menor número de tres cifras, cuya suma digital es 27? ¿Cuál es el número cuyo triple es 60? El producto de dos numerases 1 28. Si uno de los factores es 32, encuentra el otro factor. Mario tiene el triple de la edad de su hijo. Si la edad de Mario es 45 años, la edad del hijo es: La diferencia de la edad de Carolina y Ana María son dos años. Si Carolina es la mayor y tiene 1 6, la edad de Ana María es: La tabla muestra el área y la población aproximada de los continentes. Responde las preguntas 3 a 6 con base en ella. Continente Área (km2 ) Población África 30 370 000 890 000 000 América 42 330 000 890 000 000 Asia CTi irrtrto 43 810 000 1 n 1finnnn 3 800 000 000 71 n nnn nnn turupd Oceanía I U ! OU UUU 9 010 000 I ÍU UUU UUU 33 552 994 y 3. ¿Cuál es el área total y la población total de los cinco continentes? a . Área total b . Población total
  39. 39. y 4. Encuentra la cantidad de población que le falta a cada continente para obtener la po- blación total. a . África d . Europa b. Asia e. Oceanía c. América y 5. Teniendo en cuenta la información registrada en la tabla anterior, responde las preguntas. a . ¿Cuál es la cantidad de kilómetros cuadrados que le debo sumar al área de Oceanía para igualar el área de Asia? b. ¿Cuántos kilómetros cuadrados debo restar al área de África para igualar el área de Europa c. ¿Qué cantidad debo restar de la población de América para igualar la población de Europa? d . ¿Qué cantidad debo restar de la población de Asia para igualar la población de Europa y Oceanía juntas? e. ¿Qué población debo sumar a la población de Asia para igualar la población de África y América ¡untas? f. ¿Cuántos kilómetros cuadrados debo restar del continente con mayor área para igualar al continente con menor área? 6. Escribe la letra correspondiente. En 1 945, el norteamericano Percy Le Barón Spencer patentó el microondas y en 1967 salieron los prime- ros de uso doméstico. En 1901 apareció la primera lavadora creada por Alva Fisher. a. Años transcurridos desde la patente del microondas hasta la aparición del primer uso doméstico. b. Años transcurridos desde la patente hasta el 2009. c. Años transcurridos desde la aparición del primer uso doméstico hasta el 2009. d . Años transcurridos desde la aparición de la lavadora hasta el 2009. ( ) 42 años ( ) 108 años ( ) 64 años ( ) 22 años Descriptor de desempeño: / Analizar y solucionar situaciones problema aplicando las operaciones básicas entre números naturales.
  40. 40. • Conceptos básicos de geometría El museo Vitro Design, en Suiza, es una de las maravillas de la arquitectura m á s importantes del siglo XX y XXI. El museo se construyó con modernas técnicas de ingeniería, lo que permite al espectador apreciar muchos elementos fundamentales de geometría y diseño. Clave matemática En geometría encontramos algunos conceptos básicos que no tienen definición, por esta razón reciben el nombre de ¡deas primitivas; sin embargo, podemos tener una noción de ellos a partir de las formas de nuestro entorno. Concepto Idea Dibujo Notación El punto no tiene longitud, Un punto se denota con una ni ancho, ni grosor. La idea igy letra mayúscula. Punto de un punto es la marca que deja un lápiz en un V .Bpapel. .B Una recta se denota con una letra minúscula o una línea con flechas en sus extremos sobre el nombre de dos puntos por los cuales pasa. Recta La recta no tiene ancho, ni grosor, ni extremos. La idea de recta es la línea que pasa por dos puntos. A < > m B > > Recta m Se lee recta m IB Se lee recta que pasa por los puntos A y 8 Los puntos que se encuen- tran en la misma recta se llaman puntos colineales. Plano El plano no tiene ancho, ni grosor. La idea de un plano es una hoja de papel lisa. Tres puntos que no están en la misma recta determi- nan un plano. .A C Se denota nombrando los puntos que están conteni- dos en él.
  41. 41. Clave matemática En cuanto a las rectas encontramos las siguientes definiciones. Nombre Definición Dibujo y notación Segmento de Es un trozo de recta que recta tiene principio y fin. Un segmento se denota con una línea sin flechas en sus extremos sobre el nombre de dos puntos de sus bordes. B Se lee segmento AB Semirrecta o rayo E s u n t r o z o d e r e c t a ^ u e tiene principio, pero no tiene fin. Una semirrecta se denota con una línea con una flecha sobre el punto por el cual comienza la recta y un punto por donde pasa. C D CD Se lee semirrecta que empieza en C y pasa por D Rectas interse- cantes Rectas perpendi- culares Son dos rectas que tie- nen un punto en común, es decir, se unen en un punto. Son dos rectas interse- cantes que forman un ángulo recto (90°). Se lee rectas p y q intersecantes Y a-Lb Son aquellas rectas que no tienen puntos en co- Rectas paralelas , . , . . ^ mun. Las rectas paralelas nunca se cruzan. m m II n Se lee recta m paralela a recta n
  42. 42. O TALLER Conceptos básicos de geometría O o ° 1» Traza rectas que pasan por los puntos que se nombran con letras mayúsculas. a . . p b. • A c. . Ñ . Q . 8 . N . M f..)) 2. En las imágenes, nombra y retiñe con verde los segmentos que forman el contorno y con rojo los puntos de intersección de los segmentos. fw>* 3. En los enunciados escribe falso o verdadero, según corresponda. ci, La pantalla de un computador es un ejemplo de plano. b. Un mouse no es un ejemplo de una figura plana. c. Una canica es un ejemplo de una figura plana. d. La unión de dos puntos determina un plano. e. La unión de tres puntos determina un plano. f. Tres rectas que se cortan entre sí determinan un plano. 1 4. Dibuja en tu cuaderno utilizando los instrumentos adecuados. a. Traza y denota la recta que pasa por dos puntos: C y D. b. Traza y denota el segmento que comienza en un punto O y finaliza en un punto P. c. Traza y denota la semirrecta que comienza en un punto C y pasa por un punto 8. d. Traza dos semirrectas que comiencen en un punto M. e. Traza tres rectas que pasen por un punto Z. f. Construye una figura con tres segmentos. g. Construye una figura con cinco segmentos.
  43. 43. ; ,i)í 5 . Escribe falso o verdadero, según corresponda. a . Una antena de televisión es un ejemplo de rectas intersecantes. b. Una cruceta es un ejemplo de rectas intersecantes. c. Los lados opuestos de un iPod no son intersecantes. d . En un asterisco se encuentran rectas intersecantes. i- El número cinco en el Sistema de Numeración Romana es un ejemplo de rectas intersecantes. f. En el número diez en el Sistema de Numeración Romana no se observan rectas paralelas. y 6. Observa la figura y luego soluciona los ejercicios. Ten en cuenta que puntos colineales son los que se encuentran en una misma recta. a . Menciona tres rectas. b. Menciona cuatro grupos de puntos colineales c. Menciona dos grupos de puntos no colineales d . Menciona tres segmentos. e . Menciona tres semirrectas. f. Menciona los pares de rectas parale- las que se encuentran en la figura g . Menciona dos parejas de rectas intersecantes. ? 7. Da dos ejemplos de cada definición. a . Rectas paralelas b. Rectas intersecantes . c. Puntos colineales d . Puntos no colineales e . Semirrecta f. Segmento I H
  44. 44. }.,» 8 . Determina si las rectas de cada imagen son paralelas, horizontales, verticales o diago- nales. 9 . Dibuja con regla tres rectas paralelas a la recta dada de tal forma que pasen por tres países y una recta perpendicular. Descriptor de desempeño: / Identificar y establecer conceptos básicos de geometría relacionándolos con mi entorno. 5 3
  45. 45. ««• Pensamiento métrico - geométrico Ángulos wmmmmmmmmmKmmmmmmmmmmmamm Uno de los inventos más importantes del siglo XX fueron los robots, algunas de estas máqui- nas simulan la estructura humana. El robot de la imagen fue fabricado por Toyota, para que este alcance la corneta con el brazo derecho, debe girarlo un cuarto de vuejta. Si el brazo se encuen- tra en posición vertical y gira un cuarto de vuelta contrario a la forma como giran las manecillas del reloj, el brazo robótico habrá realizado una rotación de 90 grados. El codo es el vértice y los lados son los brazos. Empleando los ángulos se programa internamente el robot para que realice giros en sus extremidades. Clave matemática Para nombrar un ángulo se marca y nombra sobre cada lado un punto. El ángulo se puede nombrar como <ABC o <CBA, se lee ángulo ABC o ángulo CBA, respectivamente, es decir, que la letra que nombra el vértice quede en el cen- tro. Algunas veces se puede nombrar mediante la letra que corresponde al vértice o a un número. .La medida de la amplitud de un ángulo se realiza empleando como unidad el grado sexagesimal, que equivale a la trescientos sesentava parte de un giro. La medida del <A8C se escribe m<ABC = 45°. O TALLGR Ángulos O o JQfP^ El reloj de cristal de cuarzo se desarrolló en 1929. w ¿, Estefanía y su primo Fernando tienen una cita en el centro comercial a las ip 3:00 p.m. A las 4:1 0 p.m. quieren ir a la heladería y a las 5:55 p.m. a cine, pero, a las 8:10 p.m. deben estaren casa. Ellos llevan un reloj de cuarzo. a, ¿Qué horas aparecen en la situación anterior?, represéntalas en un reloj de cuarzo. b. ¿Cuál es la medida de los ángulos formados por el horario y el minutero a las horas mencionadas en la situación? El lado inicial del ángulo será el horario y recuerda que la medida de un ángulo se realiza al contrario de las manecillas del reloj.
  46. 46. 2, Observa la clasificación de ángulos. Mide los ángulos y luego clasifícalos según su medida. Los ángulos se clasifican e n : Ángulo a g u d o menor de 9 0 ° Ángulo recto de 9 0 ° Ángulo obtuso mayor de 9 0 ° Ángulo llano de 1 8 0 ° Ángulo completo de 3 6 0 ° a. c. 3. Construye los ángulos en el cuaderno y clasifícalos según su medida. m<MFR = 35 , m<AGP = 128*, m<JNR = 47 , m<MPR = 53 , m<GJR = 27* 4. Completa las expresiones usando las palabras recto, a g u d o u obtuso, a. Un ángulo de 5 3 ° es: b. El ángulo que corresponde a la mitad de un ángulo llano es:_ c. Un ángulo de 1 2 8 ° es:
  47. 47. y "i. Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas es 90° y dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas esl 80°. Completa la tabla: Ángulo 57° 123° 12° 39° Complemento 48° 27° 25° Suplemento 63° ' 153° •f El día 1 7 de diciembre de 1903 se realizó el primer vuelo propulsado por motor. Ar- tefacto elaborado y probado por los hermanos Wright La estética de los aviones ha cambiado con el paso del tiempo, para ganar velocidad y seguridad en el vuelo. Nombra por lo menos diez de los ángulos que se encuentran en la figura. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos ¿AM., ¿GFJ, ¿CDF, ¿JKLy ¿KJL . ¿Cuáles ángulos de la figura son obtusos? d . ¿Cuáles ángulos de la imagen son rectos? 6 . En la figura hay cuatro parejas de ángulos suplementarios, ¿cuáles son? Los ángulos que tienen un lado en común se denominan adyacentes. Ejemplo: <A8C es adyacente a <C8D, encuentra otras cuatro parejas de ángulos adyacentes. 7, Mide con el transportador los ángulos. Escribe en cada | °| la respuesta. G
  48. 48. Pensamiento métrico - geométrico Unidades de tiempo y longitud El 21 de julio de 1969, Neil Armstrong realizó el primer pa- seo a la Luna, la duración fue de 9 100 segundos. Como vehículo de lanzamiento se utilizó el Saturno V que tenía 1 1 dam de altura. Teniendo en cuenta que una hora tiene 60 minutos y un minuto 60 segundos y que 1 dam = 10 m, determina las horas y minutos que demoró el astronauta en la Luna y halla la altura del Saturno V en metros. Realiza las operaciones indicadas. Las operaciones son: (9 1 00 + 60) + 60 y 1 1 x 1 0 Tiempo caminata lunar : Altura Saturno V J71. El tiempo y la longitud son magnitudes, es decir, son cualidades que se pueden me- dir. Las principales unidades que se utilizan para medir el tiempo son años, días, ho- ras, minutos y segundos; y para medir longitudes se emplean kilómetros', hectómetros, decámetros, metros, decímetros, centímetros y milímetros. Existen algunas relaciones entre las unidades de tiempo y longitud. TIEMPO 1 minuto = 60 segundos 1 bimestre = 2 meses 1 hora = 60 minutos 1 día = 24 horas 1 mes = 30 días L O N G I T U D 1 trimestre = 3 meses 1 semestre = 6 meses 1 año = 12 meses 1 lustro = 5 años 1 década = 10 años 1 siglo = 1 00 años 1 milenio = 1 000 años Kilómetro km Hectómetro hm Decámetro dam Metro m Decímetro dm Centímetro cm Milímetro mm 1 000 m 100 m 10m 1 — = 0,1 m 10 l = 0,01 m 100 —-1 — = 0,001 m 1000 O TALLGR Unidades de tiempo y longitud O o ° 1. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta. o. El periodo de gestación de un bebé es de dos trimestres. b. El movimiento de rotación de la Tierra tiene una duración de 24 horas, es decir, 86 400 segundos. 57
  49. 49. c. Los periodos académicos en una universidad están dados por semestres. Una carrera profesional tiene una duración de 10 semestres, es decir, 30 trimestres. d. En Colombia la mayoría de edad se adquiere a los 240 meses. e. Un partido de fútbol se juega en 5 400 segundos. 2, Soluciona el siguiente crucinúmero. a. Cantidad de lustros en un siglo. b. Cantidad de horas en un bimestre. C. Cantidad de décadas en un milenio. d. Cantidad de milenios en 1 2 000 años. e. Cantidad de siglos en tres milenios. f. Cantidad de minutos en tres días. g . Cantidad de meses en una década. h. Cantidad de días en cuatro meses. i. Cantidad de horas en 86 400 segundos, j. Cantidad de semestres en veinticinco años, k. Cantidad de horas en un mes. I. Cantidad de horas en 1 4 400 segundos. !»» 3, En los siguientes acontecimientos históricos de Bogotá, calcula los años transcurridos hasta el 2009 y exprésalos en décadas y meses. a. En 1959 se inauguró el Aeropuerto Internacional El Dorado. b. El edificio de Avianca se inauguró en 1 969 y se incendió el 23 de ¡ulio de 1 973. c. En 1979 se inauguró el edificio más alto de Colombia, la Torre Colpatria con 198 m. d. En 1 984 se inició la era de los cajeros electrónicos. e. En 1 995 se inauguró el Parque Simón Bolívar y el primer festival de Rock al Parque. I. En 1 998 se inauguró el centro interactivo Maloka. g . En el 2000 se inauguró el sistema de transporte masivo TransMilenio. 4. Ordena, de mayor a menor, los siguientes años que se encuentran separados por un guión. a , Cuatro siglos, dos décadas, tres lustros y dos años - un milenio, dos siglos, una dé- cada y dos años. b. Dos milenios, ocho décadas y once años - veinte siglos, trece lustros y cuatro años. hl "a _b WSBSmm 91 _c f WBBBtm s&mmmm HMH *~~
  50. 50. c. Cuarenta décadas, veinticuatro lustros y nueve años - quince si- glos, dos décadas, tres lustros y seis años d. Dos milenios, tres siglos, siete lustros y un año - veinte siglos, ocho décadas y doce años |,)¡) 5. Completa los enunciados con la uni- dad de medida apropiada (kilóme- tro, decímetro, metro, centímetro o milímetro) para medir cada longitud. a . La altura de una montaña: b. El ancho de un cuaderno: c. El largo de una cancha de fútbol: d. La altura de una persona: e. La altura de una hormiga: ? 6. Responde. a . ¿Cuántos centímetros hay en tres decímetros? b. ¿Cuántos metros hay en cinco kilómetros? c ¿Cuántos decímetros hay en un metro? d. ¿Cuántos kilómetros hay en un metro? e. ¿Cuántos milímetros hay en 3 kilómetros? *f 7 . Realiza una correspondencia entre unidades de medida equivalentes. a . 12,3 dam b. 1,23 km c. 12,3 cm d. 123 hm e. 1 2 3 0 hm ) 1 2 3 0 m ) 123 m ) 123 000 m ) 12 3 0 0 m ) 0,123 m 8. Completa la equivalencia con la uni- dad de medida en cada caso. a . 3 5 0 km = 35 0 0 0 b. 324 hm = 324 0 0 0 c. 13,56 m = 0,1356 d . 154, 9 dam = 1 549 0 0 0 9. Escribe < , > o = , según corresponda. a . 25 m b. 38 dam c. 32,1 km d . 124 cm 3 dm 380 cm 32 145,7 hm 12,4 dm 1 0 . De acuerdo con la tabla, contesta las preguntas. Medio de transporte Velocidad máxima Moto Kawasaki ZZR 1400 312 kilómetros por hora El carro más potente, costoso y veloz del mundo El BUGATTI VEYRON 16.4 407 kilómetros por hora Tren bala 360 kilómetros por hora Avión Lockheed L-1011 970 kilómetros por hora I I . a . ¿Cuál es la máxima velocidad del carro expresada en decímetros por hora? ¿Cuál es la máxima velocidad del tren bala expresada en metros por hora? ¿Cuál es la diferencia en metros por hora, entre la velocidad del avión y la del tren bala? Transforma las siguientes unidades a la unidad solicitada. 53 m = b. a . b. 2 4 8 km = m = mm lam = mm c. 843 hm = m— dam cm d . 459 dam cm = m mm Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones problema usando conversiones entre las unidades de longitud.
  51. 51. ««• Pensamiento métrico - geométrico Existen algunas longitudes que se miden en unidades diferentes a las del Sistema de M e d i c i ó n Internacional (metro, kilómetro, centímetro, etc.); por ejemplo, las pantallas de los televisores y de los computadores se miden en pulgadas (televisores de 20", 25", etc.), la altura de los aviones y la profundidad de los pozos petroleros se miden en pies, las distancias de nave- gación marítima se mide en millas; estas unidades son universales, es decir, son iguales en cualquier lugar del mundo. La principal unidad de longitud en el sistema de medición internacional es el metro; sin embargo, algunos países utilizan otras unidades, como las que conforman el Sistema de M e d i c i ó n Inglés. Las equivalencias entre las unidades del Sistema de M e d i c i ó n Internacional y el Sistema de M e d i c i ó n Inglés son: 1 yarda (yd) = 91,44 cm 1 milla (mile) = 1,61 km 1 milla = 1 760 yardas (mile = 1 760 yd) 1 pulgada (in) = 2,54 cm 1 pie (ft) = 30,48 cm Otras equivalencias son: 1 pie = 12 pulgadas (ft = 1 2 in) 1 yarda = 3 pies (yd = 3ft) TALL6R Sistema de medición inglés O o ° 1, La tabla muestra las principales montañas de América con su respectiva altitud en me- tros. C o m p l é t a l a realizando las respectivas conversiones. Montaña Monte Aconcagua Ojos del Salado Monte Pissis Nevado de Huascarán Volcán Llullaillaco Cerro Mercedario Cerro Yerupajá Altitud (metros) Países Altitud Altitud (centímetros) (kilómetros) Pulgadas Pies Yardas Millas 6 959 Argentina 6 893 6 795 6 746 6 739 Chile Argentina Argentina Perú Chile Argentina 6 720 Argentina 6 617 Perú 60
  52. 52. Nevado e c p . 6 542 Sajama Bolivia V 0 , C á n 6 440 Antofalla Argentina y*? 6 438 llimani Bolivia y 2, En el municipio de Guatapé (Antioquia) se encuentra un lugar turístico llamado "Piedra del Peñol", cuya altura máxima es de 200 m, su perímetro es de 770 m y la altura sobre el nivel del mar es de 2 137 m. ¿Cuántas pulgadas de diferencia hay entre la a tura máxima y el perímetro? ¿A cuántas millas se encuentra la "Piedra del Pe- ñol" sobre el nivel del mar? C. ¿A cuántos pies de perímetro tiene la "Piedra del Peñol"? d . ¿cuántas yardas equivale la altura máxima de la Piedra? y 3. Un atractivo natural llamado "Las piedras del Tunjo" se encuentra ubicado en el muni- cipio de Facatativá (Cundinamarca). Consiste en un conjunto de rocas de arenisca de más de 1 5 m de altura que forman grutas o socavones de 50 o más metros de profun- didad. Este atractivo se ubica a 2 585 m de altitud. a . ¿Cuántas yardas mínimas de altura tienen las ro- c a s dfi a r e n i s c o ? b. ¿Cuántas millas de altitud tiene "Las piedras del Ti mjr>"2 c, ¿Cuántas pulgadas mínimas de profundidad tienen Ins s o c a v o n e s ? d . ¿Cuántos pies en total se tienen entre la altura de las rocas y la profundidad de los socavones? c, ¿Cuántas pulgadas mínimas de profundidad tienen Ins s o c a v o n e s ? d . ¿Cuántos pies en total se tienen entre la altura de las rocas y la profundidad de los socavones? y 4, En la ciudad de San Gil, Santander, se encuentra ubicado "El Parque Gallinera!" a 98 km al sur de Bucaramanga; el parque está en una isla formada por el río Fonce y la quebrada Curití. a, ¿A cuántas millas se encuentra ubicado "El Parque Gallinera!" HÉ* CI ir n p n i i r n r n n n n n n n c J : : U t i l o U I U C U U L U I U l 1 I U l í y U V ; . b. ¿A cuántas pulgadas?, ¿a cuántos pies? 61
  53. 53. y 5 . A 50 km de Bogotá se encuentra una de las maravillas del mundo, la "Catedral de Sal" de Zipaquirá, en la que se encuentra una cúpula desde donde se observa a 145 metros de distancia una cruz mayor de 1 6 metros de altura. b. c. ¿A cuántas pulgadas de distancia se encuentra la "Cate- dral de Sal" de la ciudad de Bogotá? ¿A cuántos pies de distancia se observa una cruz mayor de 1 ó metros de altura? ¿Cuántas yardas como mínimo tiene la cruz que se ob- serva desde la cúpula? y 6. En el departamento de Cundinamarca, a 30 km al suroeste de Bogotá, se encuentra una cascada natural que recibe el nombre del "Salto de'Tequendama"; este salto cae desde una altura de 2 467 m sobre el nivel del mar ya 1 57 m forma la cascada sobre un abismo rocoso. ¿A cuántas millas del suroeste de Bogotá se encuentra el "Salto de Tequendama"? ¿A cuántos pies de altura cae el salto? ¿A cuántas pulgadas se forma la cascada sobre el abismo rocoso? y 7 . En Bogotá se encuentra un cerro en el que descansa una imagen de Cristo que represen- ta una de las etapas del vía crucis, este cerro recibe el nombre de "Monserrate" y tiene una altitud de 3 210 m sobre el nivel del mar. Desde allí es posible observar El Parque de los Nevados, que está ubicado a más de 300 km de este lugar. a. ¿Cuántas yardas de altitud tiene el cerro de "Monserrate"? b. ¿A cuántas millas de distancia se encuentra El Parque de los Nevados de "Monserrate"? y 8. A 1 1 0 km de Bogotá ya 14 km de Tunja encontramos el "Puente de Boyacá", que tiene una altura de 2 820 m sobre el nivel del mar; en este lugar se realizó una de las batallas de la campaña libertadora de Colombia. a. ¿A cuántas millas se encuentra el "Puente de Boyacá" de la ciudad de Bogotá? b. ¿Cuántos pies de altura tiene el "Puente de Boyacá"? c. ¿A cuántas pulgadas se encuentra el "Puente de Boyacá" de la ciudad de Tunja? • M B a ^ ^ e a ^ - .uriHM» - «k. . . xm&m Descriptor de desempeño: / Identificar y establecer relaciones y diferencias entre las unidades de medición del Sistema Internacional y el Sistema Inglés en la solución de situaciones problema.
  54. 54. >«• Pensamiento aleatorio Recolección de datosl población, muestra y variables estadísticas Para llegar a una conclusión acerca de un grupo o situación, es necesario realizar un estudio estadístico a partir de la recolección, análisis e interpretación de los datos o variables. Población: es un conjunto de individuos, objetos o medidas del cual se van a obtener los datos para ser analizados. C u a n d o la población es muy grande, se toma un sub- conjunto de esta llamado muestra. Por ejemplo, si la población son los celulares que se encuentran en C o l o m b i a , la mues- tra son los celulares de una ciudad de C o l o m b i a . Variable: es una característica q u e , c o m o su nombre lo indica, cambia de una situa- ción o persona a otra. Estas características algunas veces son magnitudes, es decir, son atributos o cualidades que pueden ser medidos, en este caso se denominan variables cuantitativas; por ejemplo, la edad, el peso. Contrario a las cuantitativas están las variables cualitativas, que no aparecen en nú- meros y expresan una cualidad o gusto; por ejemplo, el color de los ojos, profesión, sexo, programa de televisión favorito, etc. TALL6R Recolección de datos O o ° 1, Completa el siguiente crucigrama, a . Subconjunto de una población. tí, Cualidad de los ojos que corresponde a una variable cualitativa. Nombre que reciben las variables que no se pueden medir. Conjunto de individuos, objetos o medidas del cual se obtienen los datos. Nombre que reciben las variables que se pueden medir. Cualidad de los pantalones que corresponde a una variable cuantitativa. Nombre que recibe la característica de una situación o persona. di If 9t 63
  55. 55. I» 2 Teniendo en cuenta las siguientes poblaciones, escribe una muestra para cada una de ellas, a. Género musical preferido por los estudiantes de tu colegio. b, Enfermedades que más se presentan a nivel mundial. c. Cantidad de niños menores de 1 2 años que acceden a grado sexto en Colombia. d. Cantidad de adolescentes que en tu departamento ingresan a la universidad. Preferencia de las mujeres de Cartagena por una celebración. Escribe si es necesario tomar una muestra de las siguientes poblaciones. a . Cantidad de niños de tu barrio que tienen Xbox b. Cantidad de empresas de celulares en Colombia c. Color preferido por los niños de un jardín infantil el Equipo de fútbol que prefieren los hombres colombianos e. Cantidad de vehículos particulares en un barrio del lugar donde vives. f. Cantidad de familias de Medellín que tienen computador en su c a s a - Escribe falso o verdadero, según corresponda, a . Una muestra es igual a su población b. La población es mayor que la muestra C. Todos los conjuntos requieren de una muestra — eí. La muestra es un subconjunto de una población, e. La población es un subconjunto de la muestra Subraya las variables cualitativas en la siguiente lista: Edad, peso, sabor de la gaseosa, color de los ojos, número de hermanos, talla, marca de celular, consumo de agua en litros, sabor del postre. S 6. En tu cuaderno realiza la siguiente encuesta a diez personas que correspondan a una muestra de una población que elijas, empleando variables cualitativas y cuantitativas. Nombre de la persona Edad ¿Qué postre prefiere? c. Helado Gelatina Dulce de fruta Otro No le gustan los postres
  56. 56. a . ¿Qué población escogiste? b. ¿Cuál es la variable cualitativa en la encuesta y cuál la cuantitativa? c. Según la encuesta realizada y al comparar los datos con tus compañeros, ¿las per- sonas de qué edad prefieren helado, gelatina y dulce de fruta? d . ¿Influye la edad en el gusto de los postres? e. En todas las poblaciones encuestadas en tu salón, ¿se obtuvieron las mismas res- puestas? y 7. La siguiente información corresponde al consumo de teléfono de la familia Romero. Contesta las preguntas de acuerdo con la gráfica. 350 O 300 | 250 ¿o 200 O 1 5 0 <-> 100 50 0 133 A CONSUMO DE TELEFONO 2 9 4 •O 259 264 276 L i l i MESES 4 O voz | INTERNET a . ¿Qué tipo de variables corresponden a voz e internet?, b. ¿El mayor consumo durante los últimos seis meses corresponde a voz o internet? Justifica tu respuesta c. ¿En cuál mes el menor consumo semestral supera al mayor consumo? d . ¿En cuál mes se presenta un consumo mayor a 290? e. ¿Cuál es la diferencia entre el menor mes de consumo de voz y el mes de mayo? f. Elabora una tabla que muestre el consumo total de voz e internet. Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones problema usando recolección de datos relacionados con el entorno.
  57. 57. Matemática Internet sano El mundo de hoy nos ha llevado a estar más cerca unos de otros y tener información inmediata de lo que deseamos por medio de las nuevas tecnologías. En internet tenemos muchas herramientas como: el correo electró- nico, el messenger, facebook para hablar, compartir videos, tareas y documentos con nuestros amigos y amigas. Internet es como una ciudad en la que puedes transitar por las calles, conocer monumen- tos y ¡ugar en un parque con tus amigos. Pero, así como hay peligros en la calle, gente que te inspira desconfianza, lugares sospechosos, t a m b i é n en internet hay grandes peli- gros que debes saber identificar. Debes saber que es muy fácil publicar una página en internet, por eso mismo, hay muchas páginas creadas por delincuentes, cuyo contenido atenta contra la dignidad infantil y ju- venil. Esas páginas son ¡legales, porque su contenido es d a ñ i n o ; por eso debemos estar atentos, y si encuentras una página de estas, lo único que debes hacer es denunciarla en internet sano. ¿Cómo se denuncia? Es muy fácil, debes copiar la dirección o URL de la página sospechosa y entrar a www.internetsano.gov.co, o llamara la línea gratuita 018000 912667. Estas denuncias llegan al DAS o a la Policía Nacional, que luego envían al Ministerio de Comunicaciones el listado de direcciones de páginas ilegales. De esta forma, el Ministerio exige el bloqueo de estas páginas en Colombia para que no se puedan ver. (fuente: http://www.colombiaaprende.edu.co/html/estudiantes/1 599/article-73581 .html) Veamos algunas recomendaciones que nos da el Estado colombiano a través de su pro- yecto Internet sano, para viajar seguros en el ciberespacio. Estos consejos son para protegerte en el ciberespacio, pero uno que nunca debes olvidar es dialogar con tus padres sobre las páginas que visitas, las personas con las que entras en contacto y, sobre todo, cuando te sientas amenazado u ofendido por alguien a través de internet. Nunca aceptes citas a ciegas o entables amis- tades con gente que has conocido por internet. Nunca aceptes regalos en línea, podrían estar cargados de virus o ma- terial indeseable. Competencias ciudadanas ( onvivencia v paz * Comprendo los riesgos y el cuidado que debo tener al manejar internet y las nuevas tecnologías de c o m u n i c a c i ó n .
  58. 58. Matemática ciudadana Actividades 1, Reúnete con tres compañeros del curso: o. Realicen una cartelera en la que expongan otras recomendaciones para ma- nejar de manera segura la red de internet. b, ¿Por qué es importante saber algunas normas para navegar de manera segura en internet? 2, Comparte en clase la cartelera y comenta las respuestas dadas a la pregunta anterior. 3, Pregúntale a tus padres, ¿por qué es importante saber navegar de manera segura en internet? Anota estas respuestas y compárala con las de tus compañeros. ¿Qué elementos nuevos encontraste? 4, Datos estadísticos sobre internet. (jPoblación mundial: I 6 4 9 0 697 060 Cantidad de usuarios en 1994: 3 000 000 Cantidad de usuarios en el 2000: 330 000 000 Cantidad de usuarios en el 2002: 560 000 000 Cantidad de usuarios en el 2006: 1 038 057 389 El buscador AlltheWeb.com tenía en el 2002 más de doscientos mil millones de páginas registradas. Unos 69 millones de personas visitan semanalmente sitios porno- gráficos de la red, la tercera parte de ellos se encuentran en Esta- dos Unidos y Canadá. De acuerdo con un estudio, uno de cada cinco niños que utilizan internet han recibido proposiciones sexuales. El 30% de los usuarios de internet en Colombia están entre los 12 y los 19 años. Con base en los anteriores datos, responde: o. Escribe en el sistema de numeración egipcio y romano, el número de usuarios de internet en 1994 y en 2006. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de usuarios de internet entre 1 994 y 2006? b. ¿Cuáles de los anteriores datos tienen un 3 en la posición de decenas de mi- llón? c. Escribe en cifras el número de páginas registradas que tenía el buscador AlltheWeb.com en el 2002. d . ¿Cuántas personas en Estados Unidos y Canadá visitan semanalmente sitios pornográficos?
  59. 59. Conversión de números arábigos a números romanos con ayuda del computador Excel es una hoja de cálculo muy útil, en la cual se puede realizar cualquier tipo de cál- culo, conversiones, gráficas, conteos, etc. Es importante tener en cuenta que la hoja de cálculo cuenta con columnas numeradas con letras mayúsculas y las filas con núme- ros; observa que en el cuadro de nombres se encuentra la celda que está selecciona- da, en la gráfica corresponde a B3. O Microsoft Excel - Librol : ¿ ] firthivo Bidón £er Insertar Eormato <•« A •B C 1 2 3 l I; 4 5 6 7 , , . „ 8 Vamos a escri- bir en la celda Al el primer número forma- do por dos ci- fras iguales, el 11 y en A2 el segundo, 22. C Microsoft Excel -Librol ^MP lrtswt<v : _J w A _i •i -* « 1 : m — 3f ái C? A . B [ _ X 3 11 22 K X 3 11 22 K 5 E Microsoft Excel Libn i VJ ftrchwo £duán *• IA! A B 1 11 2 22 3 Para continuar con los números hasta el 99, se seleccionan las celdas Al y A2 y se ubica el cursor sobre el cuadrado negro que se encuentra en la parte inferior dere- cha de la selección. Con el cursor en esta ubicación, se des- plaza manteniendo el click sostenido hasta completar el 99, al soltar el click, los nú- meros ya se habrán copiado. C Microsoft Ixccl 1 inrol E3 Microsoft íxcel Librol i 2] Sr**« t * w i s«r i r » I J • J > J J < ~ : l ^ L J i J * |- * ÉJ A1 1 * 11 Al A 11 A ' B _ L A B 1 11 1 11 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 • • 44 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10 aJ 10 B 11 aJ 11 i f l-1 12 Vamos a calcular el cuádruple de los ante- riores números. En la celda Bl escribimos la siguiente fórmula: =A1 *4 y oprimimos enter, automáticamente nos aparecerá el cuádruple del valor digitado en A l , es de- cir, 44. Si se quiere, en lugar de digitar el nombre de las celdas, se da click en ellas. Observa que en la barra de fórmulas se muestra la fórmula dada. fÜ? Microsoft Excel - l i b r o l : á j frchrVO £dkson insertar £ i A 2Mi TA- "*Á 1 i A B c 1 111=A1*4 2 22 3 33 4 44 5 55 6 86 7 77 8 88 9 99 10 II 12 Excel Librol £cki6o i » - Insertar formato A =A1*4 1 111 44Í 2 22 33 4 44 5 55 6 66 * 8 88 9 99 10 h i 6 6
  60. 60. Para copiar la fórmula ubicamos el cursor en el recuadro y con click sostenido la desplaza- mos hasta la celda B9, se observará el cuádru- ple de los números co- piados anteriormente. Para calcular la suma de los últimos re- sultados, ubicamos el cursor en la celda llamado en Excel 1 11 44 2 22 96 3 35 132 4 44 176 5 55 220 6 $6 2S4 7 77 306 e N 352 9 99 396 10 Bl 0 y oprimimos autosuma; así obtendremos la suma de las celdas Bl a la B9; oprimimos enter y se nos mostrará el resultado. B Microsoft Excel - Librol £ j archivo EcWon ¡¿er Insertar fiomwto Herramientas SUMA fi. =SUMA(B1:D16B9) A B C 0 1 I T 44; 2 22 88 3 33 132 4 44 176 5 55 220 6 66 264 ¡ 7 77 308 8 88 352 • 9 99 396 1D |=suMA¡gflgJHS3! 11 | SUMA(númerol; [número2]¡ ,..) | 12 13 ! Microsoft Excel - Librol archivo £o5ctón 5¡er Insertar Eormato B10 fit =SUMA(B1:B9) A B c 1 11 44 2 22 88 3 33 132 4 44 176 5 55 220 6 66 264 7 77 308 8 88 352 9 99 396 .10 I 1980 11 IÍ2l I 1 De esta forma se procede a realizar cualqui- er operación con ayuda de la hoja de cál- culo de Excel. Ahora, para convertir este resultado en número romano, nos ubicamos en la cel- da en la cual queremos ver la conversión y digitamos la siguiente fórmula: =NUMERO, ROMANO(B10;0) y oprimimos enter; esto quiere decir, que el valor encontrado en la celda Bl 0, en nuestro caso, la suma realiza- da, lo convertirá en número romano; el cero indica el estilo clásico para Excel. Es necesa- rio conservar la escritura en mayúscula. [ A .1 B 1 1 11 44 22 88 X 33 132 3 ML_ 176 55 220 6 SE 264 7 77 308 e 86 352 11 99 396 en 1960 mra MCMLWX l _ l Al oprimir enter, se mostrará el número romano. Ahora, realiza el procedimiento anterior para los dígitos. No es necesario realizar todo de nuevo, únicamente digitar en la celda Al el número 1 y enter, en la celda A2 el 2 y arrastrar la serie como se realizó inicial- mente, observa cómo cambian automática- mente los resultados y la conversión. ET Microsoft Excel librol Ü t* IPMrtw • J ^ A 4 J J X *' *. :- - » JÉ A.' * * 22 í A l B 1 1 •2 el • 3 8' 132 4 44 176 5 66 220 6 66 264 7 77 308 e 69 362 9 99 396 10 1940 ' i 12 13 ' i 12 13 F Microsoft fxcel Librol S* tmut 1 : 1 * A ; . .j ~ t* ... i - . " n 1 A3 * : A 1 B 1 i 1 4 2 1 11 •3 55' 132 X ! 44 176 66 220 fi 77 264 306 J 66 363 J 9) 396 !! 1660 !! M0CCCIX jfi [ 1

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