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Un mundo de negocios 12
B , , , , NUMEROS ENTEROS
Estándar: Identifico y utilizo los números en...
Pac
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3
OPERACIONES C O N N Ú M E R O S RACIONALES
Estándar: Interpreta situaciones que involucran las operaciones entre ...
UNIDAD 1 Un mundo de neaocios
Pensamientos Numérico - variacional Métrico • geométrico Aleatorio
Estándares
Identifico y r...
UNIDAD 3 Juegos de ingenio
Pensamiento
Estándares
Logros
Numérico - variacional
Formulo y resuelvo problemas en situacio-
...
dad
Números enteros • Operaciones con números
enteros • Segmentos y ángulos congruentes
• Construcciones geométricas
• Org...
Pensamiento numérico - varíacionai
• Concepto de número entero. Inverso aditivo
Las primeras monedas fueron inventadas por...
g. Un submarino de la Armada Nacional de Colombia puede navegar a una distancia
de 200 metros bajo el nivel del mar _ . — ...
3. Contesta falso (F) o verdadero (V), según corresponda:
a . El conjunto de los números enteros se encuentra formado por ...
Pensamiento numérico - variacional
Orden en el conjunto de los números enteros
• y valor absoluto
El Producto Interno Brut...
O TALLER Orden en el conjunto de los números enteros
y valor absoluto O o °
§,,)) 1. Escribe los números enteros que cumpl...
b Para realizar un balance se pide organizar los egresos en forma ascendente y los
ingresos en forma descendente. Resuelve...
9. Con base en lo trabajado, responde.
a . ¿Cuántos puntos de diferencia hubo en el PIB de Argentina y Perú en el 2002?
b....
Pensamiento numérico - variacional
• Ubicación de números enteros en el plano cartesiano
El mapa muestra la ubicación de a...
I-' 1 2. Observa el siguiente plano
cartesiano y explica por q u é
las dos coordenadas dadas
con los mismos números se
enc...
5. En el plano se definen ciertos puntos que uniendo con segmentos unos con otros mues-
tran una figura geométrica. Escrib...
Pensamiento numérico - variacional
• Adición de números enteros y propiedades
La tabla muestra las ganancias y pérdidas re...
2. R e p r e s e n t a e n c a d a recta numérica la operación i n d i c a d a ,
a. (-3) + 8 = d. - 3 + ó =
t
J _ l I I I ...
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§,,,) 5. Completa cada una de las siguientes oraciones.
a. Cuando sumo solo números enteros siempre obtendré números
en...
>f 8. En San Andrés (Colombia) la c o m p a ñ í a Coffe realiza anualmente una c a m p a ñ a de
limpieza del o c é a n o ....
Pensamiento numérico - variacional
• Sustracción de números enteros wmmmmmm
Los atentados terroristas del 1 1 de septiembr...
2. Escribe la operación representada en cada recta.
a.
-6 -4 -2 0 2 4
Inicio F i n a l
b.
« D l l t l j l l l l l l l j l ...
8. Rodrigo se dirige al cajero automático el lunes para ver su saldo:
es de $ 1 520 500 y decide retirar $ 250 300, el mar...
Pensamiento numérico - variacional
i
Multiplicación y división de números enteros
Observa la tabla de apertura de unidad (...
f„» 4. Encuentra los productos que cocientes, completa la tabla.
x - 156 -215 +210 -248 + 354 -16
+ 26
- 4 0 248 - 6 3 984...
8. En un campo de golf se realiza un campeonato a 1 8 hoyos. Si por cada hoyo existe una
distancia de 450 dm y los hoyos s...
m a n z a n a , un p o n q u é y un yogurt. Si los precios son:
Jugos $900
Sanduches $1 500
Ponqué $1 000
Yogurt $1 800
Ma...
Pensamiento numérico - variacionai
Potenciación y radicación en Z
Las acciones de una empresa se han cotizado de la siguie...
O TALLER Potenciación y radicación en Z O o °
y  . La empresa de muñecos y juegos ha importado una colección d e "muñecas ...
En el Amazonas colombiano se calcula un terreno especial de 16 000 hectáreas de
bosque nativo. Si sabemos que el terreno e...
l ó x l ó x l ó x l ó x l ó x l ó
f. - 5 3
= (-5) x (-5) x (-5)
g . - 1 1
h. Vó25 =
^ 2 4 3 =
¡. ^ 8 4 6 4 0 0
k. ^ 4 0 0 ...
Pensamiento numérico - variacional
Planteamiento de ecuaciones y solución
de problemas en Z
Las exportaciones de automóvil...
O TALLER Planteamiento de ecuaciones y solución
de problemas en Z 0 0 o
•„)> 1» C o m p l e t a la t a b l a .
Operación L...
3. Une cada ecuación con su solución.
a. x - ó = 20 -ó
b. 2y - 18 = 10 26
c. x + 15 = 10 t.6
d. 2w + 8 = 18 14
e. 3x +12 =...
Rincón de ta historia
Historia de los números enteros "relativos"
El origen de los números enteros, especialmente los núme...
13.0bserva las figuras. Plantea y resuelve una ecuación para solucionar x.
12m
X =
y 14.Las acciones de la empresa "Centro...
• Segmentos y ángulos congruentes
El Banco de China es el más importante de Asia, su edificio es un rascacielos ubicado en...
O T A L L G R Segmentos y ángulos congruentes O o °
lP 1. Observa la imagen y completa la tabla indicando otros ejemplos a...
5. Colorea con rojo los ángulos congruentes y retiñe con negro los segmentos congruentes
que observes en cada polígono.
"?...
Pensamiento métrico - geométrico
• Construcciones geométricas
Los billetes en todo el mundo son diseñados con complejos si...
/ Traza una circunferencia J , teniendo como cen-
tro el punto 8 y como radio el segmento AB .
Marca un punto C que es la ...
5 . El siguiente proceso muestra otro proceso para construir un octágono regular, tenien-
do c o m o base inicial un cuadr...
/ Traza una semirrecta de origen A. Listo, ya quedó el ángulo dividido en dos partes
iguales.
y 7 . Construye las bisectri...
Organización de datos y distribución de frecuencias
El caficultor es uno de los sectores más importantes de la
economía na...
Q TALLGR Organización de datos y distribución
de frecuencias O o °
¡¡ 1. Ordena los siguientes datos en un diagrama de tal...
Número
de clase
Clase Frecuencia
(total de datos)
Frecuencia
acumulada
Frecuencia
relativa %
Frecuencia relativa
% acumula...
b. Los diez discos más vendidos en la historia.
PUESTO VENTAS
(en millones de unidades)
DISCO ARTISTA
31 Thriller Mlchael ...
Matemática
Biocombustibles, un impacto ambiental y económico
El biocombustible es el término con el cual
se denomina a cua...
Matemática ciudadana
/ R e f l e x i o n o
1 ¿Cuál es tu posición sobre la lectura anterior?
2 , ¿Por qué la producción de...
Proyecto
Software geogebra, construcciones geométricas
y relaciones numéricas
Geogebra es un software libre, es decir que ...
La intención es que bajes el programa Geogebra de la dirección http://www.geoge-
bra.org/cms/, allí se te dan todas las in...
Prueba de unidad
Contesta las preguntas de la 1 a la 4 con base en la siguiente información.
En un juego de cartas se real...
Prueba de unidad
Contesta las preguntas 7 y 8 con base en la siguiente información.
Un corral tiene la siguiente forma:
7,...
J
Números racionales • Perímetro y área
Unidades de volumen • Capacidad y masa
• Distribución de frecuencias
y diagramas e...
JT
En los juegos olímpicos de Beijing 2008 se dis-
2
putaron 28 disciplinas, — correspondieron a
deportes acuáticos, ¿cuán...
O TALLER Operadores fraccionarios O o °
}„» Aplica el operador fraccionario sobre la magnitud indicada y represéntalo.
— d...
Completa la tabla, aplicando el operador respectivo.
7
11 7 3 29 41
4 8
BBBBHBBSBBBI
4 8 2
-128
2 600
-64
-600
240
La pobl...
¡I y Durante el a ñ o 2004 el sector educativo de Bogotá
atendió a 1 582 966 niños y jóvenes. La población
atendida con re...
Pensamiento numérico - variacional
• Fracciones equivalentes y números mixtos
En las eliminatorias al mundial de Alemania ...
O TALLER Fracciones equivalentes y números mixtos # •
7* Encuentra números equivalentes a los números dados utilizando el ...
4, La ardilla quiere atrapar una nuez, pero para llegar a ella necesita atravesar un camino
seguro, para esto deberá hacer...
Expresa las fracciones como números mixtos, utiliza el procedimiento anterior.
7
91 99 153
6 7 2
67 126 714
b. d. f.
3 16 ...
Pensamiento numérico - variacional
Concepto de número racional
En los juegos olímpicos de Beijin 2008 los cuatro prime-
ro...
O TALLER Concepto de número racional O •
'( ¿Hay más números racionales que números enteros? Justifica.
¿Por qué un número...
5. Escribe el racional que se encuentra representada de forma fraccionaria en cada caso.
(*> /
•• • n• n• •
I . 114n
•
•
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Misión matematica 7°

  1. 1. Contenido de tu libro Pág. Un mundo de negocios 12 B , , , , NUMEROS ENTEROS Estándar: Identifico y utilizo los números enteros en situaciones tanto de la matemática como de la vida real. Pensamiento numérico - variacional Concepto de número entero. Inverso aditivo 13Pensamiento numérico - variacional O r d e n en el conjunto de los números enteros y valor absoluto 16 Pensamiento numérico - variacional Ubicación de números enteros en el plano cartesiano 20 OPERACIONES C O N NUMEROS ENTEROS Estándar: Identifico y utilizo las operaciones y propiedades con números enteros en la solución de problemas. Pensamiento numérico - variacional Adición de números enteros y propiedades 23 Pensamiento numérico - variacional Sustracción de números enteros 27 Pensamiento numérico - variacional Multiplicación y división de números enteros 30 Pensamiento numérico - variacional Potenciación y radicación 34 Pensamiento numérico - variacional Planteamiento de ecuaciones y solución de problemas 38 Pensamiento numérico - variacional Rincón de la historia: historia d e los números e n t e r o s 41 Pensamiento métrico - geométrico CONGRUENCIA Y CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS Estándar: Identifico segmentos y polígonos congruentes y construyo polígonos regulares con los instrumentos adecuados. Pensamiento métrico - geométrico Segmento y ángulos congruentes 43 Pensamiento métrico - geométrico Construcciones geométricas 46 Pensamiento aleatorio DATOS ESTADÍSTICOS Estándar: Estimo y analizo frecuencias en un conjunto de datos ayudándome de herramientas como tablasjistas, diagramas de tallo y hojas, entre otros. Organización de datos y distribución de frecuencias 50 Proyecto: Sofware geogebra, construcciones geométricas y relaciones numéricas 54 Páginas especiales Matemática ciudadana: Biocombustibles, un impacto ambiental y económico 5 6Páginas especiales Prueba de unidad 58 Pensamiento numérico - variacional dentitico y utilizo los i Operadores fraccionarios Fracciones equivalentes y números mixtos Concepto de número racional NUMEROS RACIONALES úmeros enteros en situaciones tanto de la matemática o Rincón de la historia: Los r a c i o n a l e s e n la h i s t o r i a Representación decimal de los racionales y conversiones Pensamiento métrico - geométrico O r d e n de los números racionales y representación en la recta numérica POLÍGONOS Y LÍNEAS NOTABLES DE TRIÁNGULOS Estándar: Clasifico polígonos según sus propiedades (número de lados, número de ángulos, longitud de los lados...). Identifico y construyo las líneas notables de un triángulo. Polígonos 65 69 72 73 Longitud y perímetro Triángulos y líneas notables 77 82 86 90 UNIDADES DE SUPERFICIE, MASA, VOLUMEN Y CAPACIDAD. TEOREMA DE PITAGORAS. Estándar: Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. A partir del concepto de área pruebo el teorema de Pítágoras. Pensamiento métrico - geométrico Área y unidades de superficie 94 Teorema de Pítágoras Rincón de la historia; Pítágoras 99 103 Unidades de masa, volumen y capacidad 104 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y DIAGRAMAS ESTADISTICOS Estándar: Construyo distribuciones de frecuencias y diagramas estadísticos a partir de una colección de datos. I Distribución de frecuencias y diagramas estadísticos | 109 Proyecto: Conversión de números arábigos a números romanos con ayuda del computador 66 Matemática recreativa: Biocombustibles, un impacto ambiental y económico 68 Prueba de unidad 1 2 0
  2. 2. Pac •o 3 OPERACIONES C O N N Ú M E R O S RACIONALES Estándar: Interpreta situaciones que involucran las operaciones entre números racionales. Adición y sustracción de números racionales 123 Pensamiento Multiplicación y división de números raciones 128 numérico - variacional Potenciación de números racionales y propiedades 132 Radicación de números racionales y propiedades 140 Ecuaciones con números racionales 145 Situaciones problema con números racionales 148 SÓLIDOS Y V O L U M E N Estándar: Identifico y calculo el volumen de sólidos a partir de sus propiedades principales. Pensamiento métrico - Sólidos geométricos 152 geométrico Rincón de la historia: sólidos p l a t ó n i c o s 155 geométrico Volumen de sólidos 158 Pensamiento métrico - ^ . — — . . — MEDIDAS DE T E N D E N C I A CENTRAL Estándar: Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos. geométrico Medidas de tendencia central: promedio 163geométrico Medidas de tendencia central: moda y mediana 167 Proyecto: Construcción a escala de un tangram 171 Páginas especiales Matemática ciudadana: La ludopatía, una adicción al juego 174 Páginas especiales Prueba de unidad 176 Pág. Grandes inventos de la historia 178 • RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES Estándar: Argumento los procedimientos, conceptos y propiedades empleados en la solución de problemas haciendo uso de la proporcionalidad. Razones y proporciones 179 Pensamiento numérico - variacional Rincón d e la historia: P r o p o r c i o n a l i d a d 183 Pensamiento numérico - variacional Ecuaciones con proporciones 187 Pensamiento numérico - variacional Proporción directa 189 Pensamiento numérico - variacional Proporcionalidad inversa 194 Pensamiento numérico - variacional Regla de tres simple directa 199 Pensamiento numérico - variacional Regla de tres simple inversa 2 0 3 Proporción compuesta 2 0 5 Repartos proporcionales 211 Porcentaje 2 1 5 Interés simple 2 1 8 Pensamiento numérico - variacional I N T R O D U C C I Ó N AL ÁLGEBRA Estándar: Identifico y expreso términos algebraicos. Evaluación de expresiones algebraicas 2 2 0 Pensamiento numérico - variacional M O V I M I E N T O S EN EL P L A N O Estándar: Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas v en el arte. Pensamiento numérico - variacional Movimientos en el plano 2 2 5 Pensamiento numérico - variacional Homotecias 2 3 2 Pensamiento aleatorio • PROBABILIDAD Y C O N T E O Estándar: Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situaciones diversas de confeo v orobabilidad. .... .„...,-—Pensamiento aleatorio Conceptos básicos de probabilidad 2 3 5 Técnicas de conteo 2 3 9 Proyecto: Planeando mis vacaciones 2 4 2 Páginas Matemática recreativa: La proporción áurea en el entorno 2 4 4 especiales Prueba de unidad 2 4 6
  3. 3. UNIDAD 1 Un mundo de neaocios Pensamientos Numérico - variacional Métrico • geométrico Aleatorio Estándares Identifico y resuelvo situaciones que involucren los números enteros, sus operaciones y propiedades. Represento en el plano cartesiano la relación entre dos variables enteras. Reconozco ángulos y seg- mentos semejantes, utilizo sus propiedades para resolver problemas prácticos relaciona- dos con éstos. Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones, construcciones, propiedades y postulados geométricos. Estimo y analizo frecuencias en un con- junto de datos ayudán- dome de herramientas como tablas, listas, diagramas de tallo y hojas, entre otros. Logros Identificar y utilizar números enteros en la solución de diversas situaciones. Efectuar operaciones con números enteros apli- cando correctamente sus propiedades. Aplicar los números enteros para ubicaciones en el plano cartesiano. Resolver problemas utilizando operaciones, propie- dades y ecuaciones con números enteros. Identificar y utilizar definiciones y postulados de la geometría de rectas y ángulos. Realizar construcciones geométricas utilizando los instrumentos adecuados. Utilizar algunas herra- mientas estadísticas para organizar datos. Competencias Pensamientos Estándares Logros Competencias Reconoce y utiliza los números enteros contextualizados en diversas situaciones. Identifica relaciones entre lados, ángulos, rectas y planos para clasificar y resolver situaciones geométricas. Maneja y utiliza las operaciones y propiedades con números enteros en la solución de problemas. Comprende y utiliza demostraciones sencillas entre ángulos, rectas y planos con base en postulados y definiciones básicas. Resuelve problemas mediante el planteamiento y solución de ecuaciones con números enteros. Formula y resuelve situaciones que involucren el orden de datos estadísticos utilizando herramientas como tablas, diagrama de tallo y hojas y distribución de frecuencias. Numérico • variacional Identifico, represento y ordeno los números racionales de distintas maneras. Reconozco los atributos principales de los polígo- nos y establezco relaciones entre los mismos. Métrico • geométrico Identifico y construyo las alturas, bisectrices, mediatrices y medianas de un triángulo dado e identifico los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Aleatorio Construyo distribu- ciones de frecuen- cias y diagramas estadísticos a partir de una colección de datos. Identificar cómo actúa un operador fraccionario sobre una magnitud y un número. Identificar y representar fracciones equivalentes y números mixtos. Identificar el concepto de número racional. Realizar conversiones entre fracciones decimales y reconocer el tipo de expresión decimal que forma. Identificar y utilizar el orden en los números racio- nales y su representación en la recta numérica. Reconocer e identificar los atribu- tos básicos de los polígonos, su perímetro y área. Identificar las propiedades básicas de los triángulos a partir de las líneas notables. Identificar la relación pitagórica y aplicarla en la solución de problemas. Reconocer las unidades del siste- ma métrico decimal para medir la capacidad, masa y tiempo. Utilizar la distribu- ción de frecuen- cias y los diagra- mas estadísticos para interpretar y analizar datos. Utiliza diferentes representaciones de los números racionales para formular y resolver algunas situaciones. Identifica y reconoce las propiedades esenciales de los polígonos semejantes. Deduce y aplica las fórmulas para encontrar áreas y volúmenes de polígonos y cuerpos geométricos. Comprende el concepto de masa, volumen y capacidad, maneja las unidades métricas correspondientes para estas magnitudes. Formula y resuelve problemas con los números racionales. Construye y utiliza distribuciones de frecuencias y diagramas estadísticos para solucionar problemas.
  4. 4. UNIDAD 3 Juegos de ingenio Pensamiento Estándares Logros Numérico - variacional Formulo y resuelvo problemas en situacio- nes aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos. Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación de números racionales. Analizar y solucionar problemas usando los números números racionales y sus operaciones. Aplicar la potenciación y radicación con números racionales para dar solución a situaciones problema. Analizar y solucionar problemas usando de las ecuaciones entre números racionales. Métrico - geométrico Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos. Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. Identificar y clasificar los sólidos geométricos según sus características. Encontrar el volumen de cuerpos geométricos para formular y resolver algunas situaciones. Aleatorio Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el comporta- miento de un conjunto de datos. Aplicar el promedio de un conjunto de datos en el aná- lisis y solución de situaciones problema. Interpretar y analizar informa- ción por medio de la moda y la mediana de un conjunto de datos. Competencias Argumenta los procedimientos, conceptos y propiedades empleados en la solución de problemas haciendo uso de los números racionales. Interpreta situaciones que involucran las operaciones básicas, potenciación y radicación entre números racionales. Deduce las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto de los números racionales. Soluciona situaciones en donde se presentan conceptos de peso y volumen de cuerpos. Desarrolla y aplica diferentes estrategias para la solución de problemas haciendo uso de los números racionales. UNIDAD 4 Las vacaciones y el turismo Pensamientos Numérico • variacional Métrico - geométrico Aleatorio Estándares Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de propor- cionalidad directa e inversa. Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un proble- ma y lo razonable o no de las respuestas obtenidas. Predigo y comparo los resul- tados de aplicar transforma- ciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliacio- nes y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte. Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y no- ciones básicas de probabilidad. Reconozco argumentos com- binatorios como herramienta para interpretación de situacio- nes diversas de conteo. Logros Plantear y resolver algunas situaciones ha- ciendo uso de las razones y proporciones. Aplicar la proporcionalidad directajnversa y porcentajes en la solución de problemas. Utilizar la regla de tres simple, simple inversa, compuesta e interés simple en la solución de situaciones problema. Identificar expresiones algebraicas y para modelar situaciones y reducir términos semejantes. Identificar y realizar trasla- ciones, reflexiones y rotacio- nes de figuras en el plano Aplicar homotecias a diferen- tes figuras usando el factor de conversión. Aplicar el cálculo de la probabilidad en el análisis y solución de situaciones problema. Establecer diferencias entre combinaciones y permu- taciones y aplicarlas en la solución de situaciones problema. Argumenta los procedimientos, conceptos y propiedades empleadas en la solución de problemas haciendo uso de la proporcionalidad. Competencias Deduce las propiedades de las proporciones y la constante de proporcionalidad directa e inversa.Competencias Establece diferencias e identifica situaciones de proporcionalidad directa e inversa simple y compuesta. Desarrolla y aplica diferentes estrategias para la solución de problemas haciendo uso de la proporcionalidad.
  5. 5. dad Números enteros • Operaciones con números enteros • Segmentos y ángulos congruentes • Construcciones geométricas • Organización de datos Un mundo de negocios La bolsa de valores ha sido creada para fomentar el ahorro y la inversión a largo plazo e impulsar el desarrollo económico y social de los países. Esta organización de origen privado permite que sus clientes realicen negocios de compra y venta de valores, por medio de los llamados corredores, agentes o comisionistas. La primera bol- sa se creó en Amsterdam, a principios del siglo XVII, cuando era un importante centro del comercio mundial. Actualmente, existen estas instituciones en la mayoría de países,' siendo la más importante del mundo la Bolsa de Nueva York. En algunos países pequeños o de régimen comunista, como Cuba o Corea del Norte, no existen. Las bolsas de valores están sujetas a los riesgos de los ciclos econó- micos, lo que puede elevar o reducir los precios de los títulos o de las acciones. 1. ¿Qué es, cómo funciona y dónde se ubica la Bolsa de Valores de Colombia? 2. ¿Cómo se puede comprar o vender acciones en la Bolsa de Valores de Colombia? 4 . La siguiente tabla muestra las acciones negociadas de algunas empresas registradas en la Bolsa de Valores de Colombia én un día: Empresa Bancolombia Cemargos Coltejer Enka Etb Éxito Fabricato Grupo Aval Interbolsa Acciones negociadas 222 709,00 1 146 442,00 876 752,00 45 756 390,00 506 162,00 101.598,00 JL21 447 897,00 402 062,00 127 956,00 Empresa Inverargos Isa Isagen Mineros Pfbcolom Suraminv Valorem Ecopetrol Pfbcredito Acciones negociadas 830 485,00 339 057,00 64 559,00 93 119,00 126 241,00 405 230,00 154 855,00 6 430 532,00 2 406 786,00 Con base en la anterior tabla responde. a. ¿Cuál empresa negoció más acciones? b. ¿Cuál empresa negoció menos acciones? c. ¿Cuál es la diferencia entre la empresa que negoció más acciones y menos acciones? d. ¿Cuáles empresas negociaron más de un millón de acciones?
  6. 6. Pensamiento numérico - varíacionai • Concepto de número entero. Inverso aditivo Las primeras monedas fueron inventadas por los fenicios en el a ñ o 680 a.C. El dinero en papel apareció en China hacia el a ñ o 680 d.C. El emperador instauró su uso oficial en el a ñ o 812. Primeras monedas 680 a.C. 1 Primer billete 680 d.C. 1 800 600 400 200 0 200 400 600 800 V Antes de Cristo a.C. V Después de Cristo Los años 680 a.C. y 680 d.C. son opuestos en la línea de tiempo; por tanto, se puede asumir que el a ñ o de aparición de los primeros billetes 680 d.C. es un n ú m e r o entero po- sitivo, y al opuesto, el a ñ o de aparición de las primeras monedas, 680 a.C, es un entero negativo. ° Clave matemática El conjunto de los Z está formado por el conjunto de los números positivos y sus opuestos los "números negativos" ¡unto con el 0. Este conjunto suele representarse como sigue: Z = {...,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,...} ^ i i i i i i — i — | — i — i — i — i — i — i — i — _7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 Negativos - 1 0 1 2 3 4 5 6 Positivos O TALLER Concepto dé f»í) 1 . Encuentra el n ú m e r o entero que describe cada una de las situaciones: a. Tu fecha de nacimiento b. La temperatura en la sabana de Bogotá en época de invierno puede llegar a los 8 ° C bajo 0 : C. El nacimiento de Jesucristo _ d . La acción de la empresa Multivalores cotiza a 754 a la baja e . La acción de Ecopetrol cotiza a 21 6 al alza f. El índice general de la Bolsa de Valores de Colombia presenta un 1 7% al alza
  7. 7. g. Un submarino de la Armada Nacional de Colombia puede navegar a una distancia de 200 metros bajo el nivel del mar _ . — _ h. Bogotá se encuentra a una altitud de 2 600 metros sobre el nivel del mar. í. Durante un eclipse de Luna, este satélite presenta una fluctuación de temperatura que oscila entre los 1 30 ° C y los 1 00 ° C bajo cero . f. La tienda El Paisita tuvo un total de ventas por $ 256 400 en un día _ _ _ _ _ _ k. La tienda Súper Ya perdió $ 1 05 000 en un día _ _ _ _ _ — _ _ i. La empresa Multivalores presenta un balance desfavorable con un déficit e c o n ó m i c o de $ 2 000 460 al terminar el mes _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ m . La Luna puede tener una temperatura m á x i m a en la noche de 184 ° C bajo cero. 2 La mayor profundidad conocida bajo el mar es la fosa de las Marianas, solo el submari- no Trieste ha alcanzado llegar a esta zona. La mayor altura en un globo de aire caliente la alcanzó Piccard al tripular su globo a 1 5 787 m. Observa la imagen y responde. 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 -2 000 -4 000 -6 000 -8 000 _L -10 000 -12 000 -14 000 Determina un n ú m e r o entero para las profundidades y alturas que se dan. Escribe su opues- to o inverso aditivo. Elemento Número entero Inverso aditivo Nautile Titanio (hundido en 1912 en el océano Atlántico) Avión Shinkai Fosa de Java Monte Aconcagua Fosas de las Marianas Globo de aire caliente
  8. 8. 3. Contesta falso (F) o verdadero (V), según corresponda: a . El conjunto de los números enteros se encuentra formado por los números positivos juntos con los negativos, sin el cero . b . Todo número entero tiene un opuesto o inverso aditivo _ _ _ _ _ c. El inverso aditivo de un número entero hace que al operarlos su resultado sea el elemento neutro o cero _ _ _ _ _ _ _ el. El cero se toma c o m o punto de referencia para el conjunto de los enteros e, En el mundo en el que estamos todo se puede describir con números enteros f. Las altitudes y las temperaturas son espacios en donde los números enteros toman relevancia /.;)) 4. Escribe un número entero que describa la situación propuesta. a. El Monte Everest se encuentra a una altitud 8 8 4 0 metros sobre el nivel del mar. b„ Bucaramanga presenta una temperatura promedio de 2 7 °C. C. Un submarino se encuentra a una profundidad de 1 75 metros bajo el nivel del mar. el. La empresa Calza ya presenta un balance positivo con unas ganancias totales de $ 15 6 5 4 2 5 0 f. Medellín y Bogotá se encuentran separados por una distancia terrestre de 4 8 0 kiló- metros. g . María debe al señor de la tienda $ 7 5 5 0 . f 5 , Una empresa cotizó sus acciones en una semana en la bolsa de valores, en la que regis- tró ganancias y pérdidas. Observa el gráfico y determina el precio de la acción de cada día de la semana. 100 80 60 40 20 0 - 2 0 - 4 0 - 6 0 - 8 0 Valor $ Lunes Martes M¡ércotes-^_ Jueves Viernes día Descriptor de desempeño: / Reconocer la utilidad del conjunto de los números enteros en la cotidianidad. 15
  9. 9. Pensamiento numérico - variacional Orden en el conjunto de los números enteros • y valor absoluto El Producto Interno Bruto (PIB) es el valor monetario total de la producción corriente de bienes y servicios de un país durante un periodo'dado que generalmente es un" a ñ o . Este índice es muy importante a nivel mundial porque permite estimar la capacidad productiva de una e c o n o m í a , si es creciente y productiva el PIB es positivo, de lo contrario es negativo. Observa el PIB de algunos países para 2002. PAÍS Argentina Colombia Perú Uruguay Venezuela PIB -11 2 5 -11 -9 Ordenemos de mayor a menor estos países con base en el PIB, para establecer cuál fue la e c o n o m í a m á s productiva y la de menor crecimiento para 2002. Representemos el PIB en una recta entera. Venezuela Perú Argentina I Colombia i -7 - 6 - 5 •3 - 2 - 1 0 112 -1¡1 -10 -9 Uruguay / Por tanto, el orden es: Perú, Colombia, Venezuela, Argentina y Uruguay. / La e n c o n o m í a mas productiva fue la de Perú, la menos productiva es Argentina y Uruguay. PIB (2002) Se presentan tres situaciones al ordenar números enteros: • Si ambos enteros son positivos siempre será mayor el de mayor cantidad, en la recta se puede ver como el más alejado del 0, más a la derecha, por ejemplo: 5 > 2 Si ambos enteros son negativos siempre será mayor el de menor cantidad, en la recta se puede ver como el más cercano al 0, más a la derecha, por ejemplo: -11 < -9 Si un número es positivo y el otro negativo siempre será mayor el positivo, más a la derecha, por ejemplo: -1 1 < 5 Valor absoluto: Se puede interpretar como la distancia "real" que existe de un número al 0 dentro de la recta numérica, sin importar su dirección. Por ejemplo: El valor absoluto de -1 1 es 1 1, porque la distancia que hay de 0 a - 1 1 es 1 1. Se nombra con dos barras: 1-11 1 = 11. +- Y -1 1 L -10 -9 11 0 J
  10. 10. O TALLER Orden en el conjunto de los números enteros y valor absoluto O o ° §,,)) 1. Escribe los números enteros que cumplan las condiciones en cada caso. a . Mayores que - 8 y menores que 6 b. Mayores que 1 0 y menores que 1 5 c. Menores q u e - 4 y mayores q u e - 1 2 d. Mayores que - 7 y menores que 0 — e. Menores que 9 y mayores que - 2 — a. - 5 + 4 b. - 3 - 5 c. + 7 - 7 d. + 8 8 "? 2. Escribe el signo ( < , > o =) que le corresponda a cada pareja o trío de números. e. - 1 5 1 .0 f. + 7 n7 _ g. - 2 1 EZI 13 h. + 9 Ej ó C] - 5 J-7 15 3. Representa sobre la recta los siguientes números enteros y ordénalas de menor a mayor, a . - 2 , - 9 , 1 0 , 4 , - 4 , 8, 7 , - 2 , - 3 . •+- + + +•* 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h b. - 7 , - 8 , - 1 6 , 3 0 , 0 , 11, 12, 5 , - 5 . •* 1 1 1 1——i 1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 •+• c. - 1 8 , 18, 7 , - 5 , - 1 , - 3 , - 1 2 . 1 — i — i 1—i 1—i 1—h H h H 1 1 h d. 1 9 , - 1 6 , - 1 8 , 2 5 , - 3 3 , - 1 5 , 7 5 , - 3 0 1 •+ 1 1 1 1—i 1—i 1—i h - H 1 1 h-r-H 1 1 h e. 1 5 , - 2 , 8 , - 6 4 , - 3 1 , - 2 0 , 1 4 , 7 , 6 , 3 0 < 1—i 1 1 1 — i — i — i — i — h — + • H 1 1 1 1 1 1 h 4. Una empresa ha realizado un intercambio de acciones durante un mes completo, para ello ha registrado sus movimientos en la siguiente tabla, de manera que las acciones compradas son egresos de dinero efectivo (+) y las acciones vendidas son ingresos en dinero efectivo (-). Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4 + 705 200 + 3 005 801 + 1 115 203 + 235 004 - 203 201 ' -264 000 - 4 215 000 -876 351 Responde: a. ¿En cuál semana ganó más dinero en efectivo por la venta de acciones y en cuál ganó menos?
  11. 11. b Para realizar un balance se pide organizar los egresos en forma ascendente y los ingresos en forma descendente. Resuelve este proceso. c. Representa los movimientos de ingresos y egresos en la recta numérica. 5. La tabla muestra las temperaturas registradas en algunos lugares del mundo. Completa la tabla y luego construye otra ordenando en forma ascendente los lugares según las temperaturas registradas. Lugar Temperatura (Lectural) Temperatura (Lenguaje matemático) Desierto de Libia (día) Cincuenta y siete grados centígrados sobre cero 57 °C Antártida - 6 5 °C Valle de la Muerte Estados Unidos Treinta y ocho grados centígrados Dallo) (Etiopía) 34 °C Vostok (julio 1983) -89 °C Desierto del Sahara 58 °C Suiza (invierno) Dos grados centígrados bajo cero 6. Ordena los lugares del mundo desde el punto más alto del planeta hasta el punto más bajo, según el nivel del mar. Realiza una tabla como la del punto 5. a . Monte Everest: b. Mar Muerto: 2 600 metros sobre el nivel del mar 10 923 metros bajo el nivel del mar 7. Ordena los siguientes números de mayor a menor. a . - 1 1 , 5, 9 1 , - 3 3 , - 1 , 0, 42 d. 4, 98, 78, 55, - 7 7 , - 8 , - 7 , -11 b. 9 9 , 5 , - 5 , - 9 9 , - 8 4 , - 7 7 , 7 e . 1 1 2 , - 1 0 0 , - 4 5 6 , 1 0 2 , - 1 8 5 , - 1 0 9 c. - 1 , - 8 , - 8 8 , - 7 7 , - 4 5 , - 4 6 f. 8 9 4 , - 7 8 9 , - 9 8 7 , - 7 8 , 8 8 , - 5 2 8 8. Determina el valor absoluto de cada número entero. a . | - 2 1 e . |-56 582| b. | - 1 2 5 | f. | - 9 8 4 | c. 13541 g . |984| d. 101
  12. 12. 9. Con base en lo trabajado, responde. a . ¿Cuántos puntos de diferencia hubo en el PIB de Argentina y Perú en el 2002? b. ¿Cuántos años transcurrieron desde la invención de la moneda al billete? c. ¿En cuántos grados es más fría en invierno la Antártida que Suiza? d. ¿Cuántos metros de diferencia hay entre el monte Everest y el Mar Muerto? 10. Averigua por las fechas de los siguientes hechos, ubica el año en la linea del tiempo y responde las preguntas. / . Descubrimiento de América. / . Aparición del abaco. / . Año de tu nacimiento. / . Independencia de Colombia. / . Invención del papel. / . Aparición de la pólvora. ' L — — -i- — — - j - - - - - — — — — : 1 __ 1 - _o LO P . 1 — —¡ [n i T ' 1 | | - i - ^ £ o 1 | — —¡ [1 . i -O 0 M o C C ¡ í i ~T ; 1 ! 1 . i . . . . j ! O (D O L . • M • 1 — í — i ; • 1 1 • i < - KfF] -- C. i . 1 6 D Q 1 rÁt mi - i 20() 1 0 / i 200 1 40CL J | .00 i 00. }_Jooc 20C uoo : . i . ó | 00 d. — C. i . 1 — i 1 -- — — — — —- o a> -2 c . £ £ u L - — i 1 -- — — — — —- z f 1 1 - —i - - - - - - - - --z f 1 1 - —i - - - - - - - - -- ¡ ——1 L , j - - --— - — — —-— 1 . > ... — ¡ ——1 L , j - - --— - — — —-— — j. , 1 1 i |_ i ! í : 1 ! í 4T- - -- 1 í • — - - -- J Í - —-; - 4T- - -- 1 í • — - - -- J Í T - —- a . ¿Cuál hecho es el más antiguo? b. ¿Cuál fue el más reciente? C. ¿Cuántos años transcurren del acontecimiento más reciente al más antiguo? Descriptor de desempeño: / Identificar y utilizar números enteros en la solución de diversas situaciones.
  13. 13. Pensamiento numérico - variacional • Ubicación de números enteros en el plano cartesiano El mapa muestra la ubicación de algunas de las bolsas de valores más importantes en el mundo. La Bolsa de Nueva York es el mercado bursátil más importante del mundo. Cuenta con un volumen anual de transacciones de 21 billones de dólares, incluyendo los 7,1 billones de compañías no estadounidenses 6 Clave matemática0 El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas que se cortan de forma perpendicu- lar: la recta horizontal se llama "abcisas" y la vertical "ordenadas". El punto donde se cortan se denomina "origen". En el mapa de la ciudad cada punto se describe con una coordenada, que contiene dos partes: la primera perteneciente al eje de las "X" (abcisas) y la segunda coordenada al de las "Y" (ordenadas). / Observa que la Bolsa de Nueva York se ubica en ( - 6 0 , 4 0 ), abasa - 6 0 y ordenada 4 0 O TALLER Ubicación de números enteros en el plano cartesiano O o ° f 1. Determina las coordenadas de los puntos donde se localizan las siguientes bolsas de valores: a . París b. Sídney C. Tokio d. Frankfurt e. México f. Santiago de Chile_ g. Shangái h. Colombia
  14. 14. I-' 1 2. Observa el siguiente plano cartesiano y explica por q u é las dos coordenadas dadas con los mismos números se encuentran en posiciones dife- rentes. Y -21 -1 -1v (3, 2) • i J¡ _ _ _ >_ i i i i • t 1 2. 4 *? 3. Ubica las siguientes coordenadas en el plano cartesiano. A: (2, -4) B:(3, -5) C: (-4, -9) D: (-14, -11) G: (7, 9) H: (16, -8) K: (15, 21) (-7, -7) J: (7, 7) ¡ 9 ¡ ¡ S i ; • : - 5 ¡ • 4 i * 3 i , : - - - -- ... 0 „ , - - t — i — i 1 -11 ¡ -10 -8 -7 -5 -6 -4 ' -3 -2[ -1 ti 2 1 9 6 9 10 111 12 i ! -2 .3 -4 4) ; -6 -8 : 4. Encuentra a q u é coordenada corresponde cada punto del plano. < A 7 1 .• ' j : ; ! ¡ ¡ 6 ¡ ! ; B * ; 5 ; i ' f 4 1 Al ! ! í ' 3 ¿ » . , . L - - í _ - - - • í J i 1 f 1 2 K J ' _ _ J _ _ - - — 1 i i — , — i i ' o — 4 - - . . . ! éE j 0 j ) Ñ ' i i * - 8 ¡ -r -6 -51 -*J -3 i » » -1 3¡ 4 í r 6f 7 l S 8 P 1 0 ¡ f * i i i _2 ¡ 1 1 0 [ . _:. A ' 0 1 ' * 1 -3 i 1 i i c . f i í 1 I ^ S • 1 xJ í ' í ' 1 *iv «
  15. 15. 5. En el plano se definen ciertos puntos que uniendo con segmentos unos con otros mues- tran una figura geométrica. Escribe las coordenadas en las que se encuentra cada punto y responde. ¿Cuántos triángulos conforman esta figura? 6. Para llegar al supermercado desde la casa de Juana se deben caminar 2 cuadras al este y 1 hacia el norte. Para llegar a la casa de Anita se debe caminar 7 cuadras al oeste y 8 cuadras al sur. Si Juana debe llegar a cada punto que señala el mapa y solo puede caminar en el sentido que indican las flechas, responde: a. ¿Cuánto y en cuál dirección debe caminar Juana para llegar a cada sitio? b. Si la dirección de cada lugar está dada por la coordenada que se da en el plano, ¿cuál es la dirección de cada lugar? -22 -20 -18 -16 -14 -12 SUPERMERCADO 1 1B 20 22 24 26 CASA DE JUANA CASA DE ARTURO CASA DE ANITA Descriptor de desempeño: / Aplicar los números enteros para ubicaciones en el plano cartesiano.
  16. 16. Pensamiento numérico - variacional • Adición de números enteros y propiedades La tabla muestra las ganancias y pérdidas reportadas en el primer semestre del año por medio de las acciones negociadas en una empresa. ¿Cómo se encuentra la si+uación económica de la empresa al •terminar cada bimes+re? Bimestres Meses Ganancias o pérdidas reportadas Valorización de las acciones Primer Enero + 250 320 25 000 (en alza) bimestre Febrero + 8 530 920 325 000 (en alza) Segundo Marzo - 7 923 201 270 000 (a la baja) bimestre Abril - 2 800 000 180 000 (a la baja) Tercer Mayo + 6 500 000 260 000(a la alza) bimestre Junio - 3 000 000 120 000 (a la baja) / En el primer bimestre (enero y febrero) la situación económica de la empresa fue: (250 320) + (8 530 920) = 8 781 240 / En el segundo bimestre (marzo y abril) la situación económica de la empresa es: (- 7 923 201) + ( - 2 800 000) = - 10 723 201 Clave matemática Si a, b son números enteros con a > b y b > 0 , entonces a + b b I a a + b Si a, b son números enteros y si a > b , entonces a + b = b •* 1- a + b Si a, b > 0, a + b > 0 Si a, b < 0, a + b < 0 Ejemplo: 7, 8 > 0 , 7 + 8 = 15 > 0 - 2 , - 3 < 0, - 2 + 0 (-3) = -5 < 0 Si a y b son de diferente sig- no, a + b = a la resta de a y b, con el signo del número mayor Ejemplo: 7 , - 9 son de diferente signo 7 + ( - 9) - - 2 O TALLGR Adición de números enteros y propiedades O o ° 1 . Completa la tabla realizando las operaciones correspondientes, según el ejemplo mos- trado. Ten en cuenta que se realiza la suma y el resultado se ubica en la casilla donde se encuentren la fila y la columna de los números que sumaste.
  17. 17. 2. R e p r e s e n t a e n c a d a recta numérica la operación i n d i c a d a , a. (-3) + 8 = d. - 3 + ó = t J _ l I I I I I I L_* ««_] I I 1 — I — I — I — I — I — I — I — I — L-4 -3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 - 1 0 -9 - 8 - 7 - 6 -5 - 4 - 3 - 2 . - 1 0 1 2 b. - 1 0 + 7 = e. - 2 + 7 - 6 = I L - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 -4 - 2 0 2 4 6 C -12 + 9 +16-= f. -18 + 15 +9 I I I I I I I I I I I L » . I I 1 I L J I I I I 1 I I I I 1 I 1 0 - 9 - 8 - 7 - 6 -5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 -18 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 -6 - 4 - 2 0 2 4 6 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 3 . Realiza las o p e r a c i o n e s . a. (21 - 5 4 ) + ( 7 - 7 2 ) = b. ( 2 4 - 8 9 + 18) + ( - 9 1 + 2 4 ) = c. - ( - 4 1 7 - 7 8 ) + ( - 5 1 8 - 2 8 7 ) = d. 1 4 + [ 2 3 - ( 3 4 - 5 7 ) ] = e. 4 8 + [ 1 5 - ( 4 3 - 3 8 ) - 2 7 ] = f. { ( - 1 9 ) + [ ( 2 5 + ( + 15))] + ( - 1 9 ) } + [ - ( 1 8 + 3 7 0 ) + ( - 1 2 5 0 ) ] g. { - [ - ( 4 5 6 + 2 0 3 ) ] + [196 + ( - 4 0 1 ) ] } + { ( 2 7 5 ) + ( 8 4 1 ) + ( - 6 5 0 ) } + 2 2 0 h. ( - 9 8 2 ) + (-21) + [-65) + (-1 0 2 1 ) + ( - 6 5 4 ) + ( 2 5 7 + 1 5 0 0 ) + ( - 6 3 5 ) i. [ ( - 2 5 7 ) + ( - 2 5 8 ) ] + [ ( 2 0 0 ) + ( + 3 1 5 ) ] ¡. { ( + 1 9 0 ) + [ - ( 5 2 + (+51))] + ( - 1 5 6 ) } + [ - ( 5 4 + 2 5 4 5 ) + ( - 1 0 0 0 0 ) ] + ( - 6 5 4 ) k. [ ( + 2 5 7 ) + ( - 2 5 8 ) ] + [ ( - 7 8 5 ) + ( - 2 4 5 ) ] 4. La t a b l a m u e s t r a las p r o p i e d a d e s q u e c u m p l e la adición d e n ú m e r o s e n t e r o s , d o n d e a , b , c , - a , € z. Complétala. Propiedad Definición Ejemplo Clausurativa c + b = c Conmutativa 5 - 8 = 8 - 5 -3 = -3 Asociativa {a + b) + c = a + (b + c) Modulativa - 5 + 0 = -5 Invertiva a + (-a) = 0 / E l a b o r a u n a s o p a d e letras, c o n los n o m b r e s d e estas p r o p i e d a d e s .
  18. 18. •v §,,,) 5. Completa cada una de las siguientes oraciones. a. Cuando sumo solo números enteros siempre obtendré números enteros negativos, pues estoy sumando de la misma naturaleza. b. Cuando sumo obtendré siempre enteros positivos. c. En el caso en que sumo enteros _ — con enteros _ el que obtendré tendrá el signo que acompaña al número de mayor 6. Una empresa reporta en la siguiente tabla las pérdidas y ganancias semestrales. Res- ponde las preguntas: Mes Ganancias y/o pérdidas Enero $ 2 564 001 Febrero - $ 15 002 587 Marzo - $ 11 894 678 Abril $ 3 459 765 Mayo - $ 10 001 Junio $ 5 648 654 a. ¿Cuál es el total de ganancias que reporta la empresa? b. ¿Cuál es el total de pérdidas que reporta la empresa? C. La empresa reporta pérdidas o ganancias en el balance final. S 7. Luisa y su equipo de montañismo se encuentran subiendo la cumbre de los Alpes, para ello han dispuesto varios campamentos de descanso luego de cada tramo. El recorrido se dio de esta forma: / Primer tramo: 26 km cuesta arriba. / Segundo tramo: 18 km cuesta arriba. / Tercer tramo: 20 km cuesta arriba. / Cuarto tramo: 1 ó km cuesta arriba. Sin embargo, la expedición recorrió más de lo pro- puesto, pues al llevar recorridos 10 km del segundo tramo el clima se complicó y tuvieron que volver al campamento de donde iniciaron este tramo. Luego reanudaron el tramo hasta llegar a la siguiente estación. Responde: a. ¿Cuántos kilómetros se deben recorrer para subir el cerro de los Alpes en condicio- nes ideales? b. ¿Cuántos kilómetros recorrió en realidad la expedición de Luisa? ¿Porqué? c. ¿Qué tipo de expresión determina esta situación de manera más adecuada?
  19. 19. >f 8. En San Andrés (Colombia) la c o m p a ñ í a Coffe realiza anualmente una c a m p a ñ a de limpieza del o c é a n o . En ella participan grandes personalidades del país como actores, políticos y gente del c o m ú n . El registro que se llevó en un a ñ o muestra que el primer buzo llegó a 1 5 m de profun- didad. El segundo bajó 1 3 m m á s que el primero. El tercer buzo descendió 18 m m á s que el segundo. El cuarto buzo recogió la basura que que- daba 5 m más de lo que llegó el anterior. El último buzo llegó a una profundidad de 35 m más de lo que llegó el cuarto. Responde: a. ¿Cuál fue la profundidad que alcanzaron los buzos para limpiar el o c é a n o ? b. ¿ Q u é expresión matemática explica esta situación? C. Gráfica paso a paso esta situación, teniendo como referencia el plano cartesiano y como punto de referencia el nivel del mar. • 9. En esta misma c a m p a ñ a de limpieza del o c é a n o se registra el total del área que se ha limpiado cada a ñ o , la organización lleva la siguiente tabla: Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Área limpia 95 m2 100 m2 105 m2 165 m2 200 m2 210 m2 10. Puedes decir, ¿qué área del o c é a n o se ha limpiado hasta el momento del registro en la tabla? En una competencia de atletismo se conocen las posiciones relativas de tres participan- tes. El primero le lleva al segundo 20 m y el segundo le lleva al último 1 0 m. Si el último está a 90 m del punto de partida, ¿cuánto ha recorrido cada uno de ellos? Descriptor de desempeño: / Identificar y utilizar números enteros en la solución de diversas situaciones.
  20. 20. Pensamiento numérico - variacional • Sustracción de números enteros wmmmmmm Los atentados terroristas del 1 1 de septiembre de 2001 repercutieron en los mercados bursátiles del mundo. Ese día las bolsas de valores de Nueva York y México cerraron en la mañana: la de México cerró con una ganancia de 2% y la de Nueva York con una pérdida de -1 %. Al volver abrir los mercados bursátiles, ambas bolsas perdieron 7 puntos. ¿Cuál fue el porcentaje obtenido por cada bolsa de valores después de los atentados del 1 1 de septiembre? Como las bolsas perdieron 7 puntos (su representación en la recta va hacia la izquierda), debemos restar 7 a 2 y a - 1. Bolsa de México Bolsa de Nueva York 7 puntos 7 puntos . 1 0 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 2 - 7 = -5 La sustracción de números enteros puede ex- presarse como una adición. En la que a un en- tero le adicionamos el opuesto del que se resta. Así: Por ejemplo: 2 - 7 = 2 + (-7) = -5 En general: a - b = (+a) + (-b). Sustraer un número es lo mismo que sumarle su opuesto. I I 1 l i l i l í . 1 0 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 íb' ,v - 1 - 7 Después de los atentados del II de septiembre, la Bolsa de Nueva York duró seis días cerrada, sin embargo, es+a no ha sido la peor baja. / Por tanto, al abrir la Bolsa de México regitró una caída de 5 puntos y la Bolsa de Nueva York, 8 puntos. O TALLER Sustracción de números enteros O o ° i.-» 1. Resuelve y completa las siguientes tablas según corresponda. a. b. c. + +
  21. 21. 2. Escribe la operación representada en cada recta. a. -6 -4 -2 0 2 4 Inicio F i n a l b. « D l l t l j l l l l l l l j l j j j l i JL6 • 10 1 2 H 4 16 1! 3 i i m n i i II l i i m > 1 5 ' l 2 - 9 - 6 " - 3 0 3 6 9 " 12 15 18 21 Inicio F i n a l C . L J I I I I l i l l l i l T l 1-12 - 9 f 6 -3 fj II J-LL3 6 |9 12 15 18 21 Inicio Final ? d. " I l l l p" I l l l p r i i i i i i i i i n i i i i i i i i n i i i i i P - 1 5 - 1 2 - 9 - 6 B - 3 0 3 6 9 12 15118 21 ? Inicio Final 3. O l g a está reuniendo el dinero de sus onces para comprarse un nuevo IPod, en un mes ha ahorrado $ 5 9 3 2 1 . Si el IPod cuesta $ 1 5 0 5 5 0 , ¿cuánto más debe ahorrar para comprarlo? 4. Un calentador que funciona a luz al desenchufarse desciende su temperatura 2 °C cada ó minutos. Si se desenchufa a las 1 0 de la mañana y la temperatura ambiental es 3 8 ° C , responde: a . ¿A qué hora alcanza una temperatura de 0 °C? b. ¿A qué temperatura se encontrará el calentador al cabo de dos horas de desenchufarlo? Utiliza la recta numérica para mostrar esta situación. 5. En la Bolsa de Valores de Colombia el miércoles las acciones ven- didas de Bancolombia se encuentran cuatro puestos debajo de lo que estaban al empezar la semana. Si la posición que o c u p a b a n al empezar la semana era la undécima (1 1), ¿en qué posición se encuentra el miércoles? 6. Responde las siguientes afirmaciones con falso (F) o verdadero (V). a . Existe por lo menos un número que sumado con 1 0 da 7 b. Existe por lo menos un número que restado de - 8 da 2 8 C . Algunos números sumados con su opuesto no d a n 0 d . La resta 7 - 1 8 es equivalente a la expresión 7 + (-1 8) e. Existe por lo menos un número que restado de 1 5 dé 2 0 7. En Muzo, una ciudad esmeraldera de C o l o m b i a , se e n - cuentran explorando una nueva mina. Se sabe que las m e - jores esmeraldas se encuentran a - 2 5 2 0 m. En 1 0 días los obreros han logrado recorrer 1 2 2 0 m bajo la superficie de la tierra. ¿Cuántos metros más deben recorrer los obreros para llegar a las mejores esmeraldas? Establece la expre- sión matemática para esta situación.
  22. 22. 8. Rodrigo se dirige al cajero automático el lunes para ver su saldo: es de $ 1 520 500 y decide retirar $ 250 300, el martes es día de pago y le consignan a su cuenta $ 1 250 000, el miércoles saca $ 560 000 para el arriendo y el jueves retira $ 1 000 000 para la cuota del carro. Representa la situación anterior y res- ponde: a. ¿Rodrigo retiró más de lo que tenía o no? b. Si Rodrigo decide retirar el saldo que tenía, ¿cuánto dinero es? ? 9. Calcula. a. (-15) + (+18) + (-2) + (12) + ( - 2 1 ) = d. (12) - (5) - (-14) - ( + 3 ) - ( + 6 ) = b. (+1 ó) + (-12) - (-11) - 7 + (+12) - 4 = e. 8 - 5 + 4 - 9 + ó - 2 = c. 27 + (+3) + (-10) - (-4) + (5) = f. (5) + 29 + (-38) + 54 - (+ 45) - 10.Miguel debe en la panadería $ 45 000 y decide pagar pero el panadero le dice que aún queda con una deuda de $ 7 500. ¿Realmente cuánto pagó Miguel? ¿Cuál es la expre- sión matemática que mejor representa esta situación? S 1 l.La empresa "Valores de Bogotá" presenta en enero un déficit de $ 3 850 000 y recibe un aporte en efectivo por $ 2 660 500, quedando con un déficit final de $ 1 1 89 500. Describe qué pasó en esta operación y escribe la expresión general para esta situa- ción. ? 12.Crea una situación para cada una de las siguientes expresiones y resuélvelas: a. (-251 500) + (+ 467 235) - b. (+ 317 551) + (-567 850) 13. Hipatia de Alejandría fue una científica, filósofa y maestra que murió asesinada en el año 415 a la edad de 45 años. Arquímedes, en cambio, fue un matemático griego que murió a la edad de 75 años durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el año 212 a.C. ¿En qué año nació cada uno? 14. Completa las claves del siguiente crucinúmero. a. b. c. d. e. f. g- 1 = - 9 + 7 - 7 = - 2 1 = - 2 7 = -8 = - 8 = ó = 8 + 1 1 -9 6 -9 5 7 *I<D +7 10 -8 5 -3 9 15 -111 1 | < g ] 11 8 6 -6 5 - 1 9 20 - 1 3 -8 <^C~| a • 9 -9 7 -8 0 13 - 1 2 8 | < £ ] A -8 Descriptor de desempeño: . E'T::.S- ::e-3Dcnes con números enteros para solucionar situaciones en contexto.
  23. 23. Pensamiento numérico - variacional i Multiplicación y división de números enteros Observa la tabla de apertura de unidad (página 12), relacionada con las acciones negociadas y responde. Coltejer i 876 752,00 Grupo aval 402 062,00 GRUPO AVAL I. Si Coltejer negoció el mismo n ú m e r o de acciones entre 592 clientes, ¿cuántas acciones adquirió cada uno? I I . Si el Grupo Aval cierra el día con un precio de - $ 205, tendencia a la baja y saldo negativo, ¿cuánto dinero pierde la empresa? Clave matemática En general, la multiplicación y división de enteros responde a los mismos procedimientos (algoritmos) para operar con los naturales, el cambio se da en el sentido de la estructura de estos números y en el ma- nejo de reglas de tipo formal y operativo como los signos. Para responder la primera pregunta se debe hacer una división entre enteros, en la segunda debo multiplicar. / 876 752 * 592 = 1 481 • 402 062 x (- 205) = - 82 422 71 0 Para la multiplicación y la división de enteros se utiliza y necesita una regla que explicite cómo operar con los signos, es conocida como "LEY DE SIGNOS", y puede resumirse como: • Signos iguales dan positivo. + por + = + - por - = + • Signos diferentes dan negativo. + por - = - - por + = - -7 / Por tanto, cada accionista de Coltejer adquirió 1 481 acciones y el Grupo Aval perdió 82 422 710. O TALLER Multiplicación y división de números enteros O o ° §V)» 1 . Una empresa se encuentra vendiendo 2 645 acciones de su c o m p a ñ í a en la bolsa de valores, el corredor informa que cada acción presenta un valor de $ 37 5 6 1 . Si un in- versionista desea comprar todas las acciones, ¿cuánto debe invertir para ello? 2. Si el mismo inversionista se da cuenta de que tiene solo $ 56 641 500, responde: a. ¿Cuántas acciones puede comprar? b. ¿Cuántas acciones quedan para venta? C. ¿Cuántas acciones más c o m p r ó el inversionista? 3. Por falta de liquidez la empresa "Valores Unidos" solicita un préstamo bancario, que le es aprobado y diferido a un pago de seis años, mensualmente debe pagar una cuota de $ 254 000 sin los intereses incluidos. Responde: a. ¿ Q u é cantidad de dinero solicitó prestado la c o m p a ñ í a ? b. Al cabo de 36 meses, ¿cuánto ha pagado de la deuda y cuánto queda de saldo? c. Si el contador se da cuenta después de un tiempo que han pagado $ 12 1 92 000, ¿cuánto tiempo llevan pagando el crédito? d. ¿Cuántas cuotas deben pagar a lo largo de todo el crédito?
  24. 24. f„» 4. Encuentra los productos que cocientes, completa la tabla. x - 156 -215 +210 -248 + 354 -16 + 26 - 4 0 248 - 6 3 984 + 658 -235 156 000 -354 000 + 165 •s- - 1 152 360 720 -1 968 - 24 48 - 200 18 S~ 5. La empresa "Valores Unidos" realiza una campaña de venta y compra de acciones. Para ello contrata a 35 patinadores para repartir promociones y paquetes de información al respecto. Si envían 574 735 paquetes de información, ¿cuántos paquetes debe repartir cada patinador? é. Calcula. a . + 725 x - 2 1 5 + (-215) = b. - 1 9 4 x - 15 x (+18) = c. 2 71 ó x 3 150 x (-1 235) x (-1 ó 421) = d. (+165) x (+1 254) x (312) x (-13) = e. (+15) x (-6 587) + 1 ó 487 x (- 11) = f El siguiente dibujo representa el terreno de un conjunto residencial que se va a construir. Tiene una superficie de 10 000 m2 . Responde: a, ¿Cuáles son las dimensiones de cada uno de sus lados? b. ¿Cuántas calles y cuántas carreras se han formado en el conjunto? Cada cuadro está entre una calle y una carrera y allí se van a construir cuatro casas. ¿Con cuántas casas cuenta el conjunto residencial?
  25. 25. 8. En un campo de golf se realiza un campeonato a 1 8 hoyos. Si por cada hoyo existe una distancia de 450 dm y los hoyos se encuentran en línea recta, ¿cuál es la distancia total del campo de golf en metros? 9. Un alpinista desciende por una de las montañas de los Alpes suizos. Lleva un ritmo de 20 m descendidos por cada cinco minutos. Si al empezar se encontraba a 1 750 m de altura y ha pasado 1 hora y 15 minutos, ¿cuántos metros ha descendido el alpinista? ¿Cuántos le faltan por descender? 10. El esquema es el plano para la construcción de una casa de un nuevo conjunto residen- cial. El constructor desea saber el tamaño del lote para el conjunto, si pretende construir cerca de 1 9 casas. Además se debe tener en cuenta que entre casa y casa se deja un espacio de 5 m. •f 11. Si se desea enchapar el piso de cada una de las casas del conjunto residencial del punto anterior y se han dispuesto baldosas de 10 cm x 10 cm, ¿cuántas baldosas son necesarias para enchapar una casa?, ¿cuántas baldosas se requieren para en- chapar todas las casas? •f 12. En el balance mensual de gastos de un hogar se realiza teniendo en cuenta las onces de cada hijo. Al hijo mayor se le compra para toda la semana dos jugos y dos sandwiches de jamón y al menor se le compra solo los fines de semana una
  26. 26. m a n z a n a , un p o n q u é y un yogurt. Si los precios son: Jugos $900 Sanduches $1 500 Ponqué $1 000 Yogurt $1 800 Manzana $500 ¿ C u á n t o dinero se invierte mensualmente en las onces de cada hijo? ¿ C u á n t o dinero se invierte en un a ñ o ? Y" 13.Se ha generado un d é f i c i t constante en el Restaurante "Donde Rosita", diariamente se pierden $ 21 0 5 0 . Si han pasado dos meses y 8 d í a s y esta s i t u a c i ó n se ha mantenido, ¿ c u á n t o dinero ha perdido Rosita? / " 1 4 . U n a v i ó n viaja de Barcelona a B o g o t á , al llegar al aeropuerto el c a p i t á n revisa el mar- cador de gasolina y dice: "quedan 5 0 galones de gasolina". Si al salir del aeropuerto t e n í a 1 01 0 galones y se sabe que el vuelo d u r ó 1 2 horas, ¿ c u á n t o s galones de gasolina se consumieron por hora? 1 5 . C o m p l e t a el cuadro. a b c a*(b+c) -bx(-c) -c+(a*b) -(a+c)x(a-c) a * b 4 -1 0 -10 -5 1 0 7 -7 -9 -6 3 -3 3 -1 1 6 . La tabla muestra las propiedades que cumple la m u l t i p l i c a c i ó n de n ú m e r o s enteros, siendo a, b, c, € / Z . C o m p l é t a l a . Propiedad Definición Ejemplo Clausurativa axb = c Conmutativa -3 x 5 = 5 x (-3) -15 = -15 Asociativa (a x b)x c = a x(b x c) Modulativa -5 x 1 = -5 Anulativa - 9 x 0 = 0 Distributiva ax(b + c) = axb + axc / Elabora un c r u c i n ú m e r o que relacione las anteriores propiedades. Z-zit'de desempeño: • Realzar multiplicaciones y divisiones con números enteros y aplicarlas para formular y resolver algunas situaciones.
  27. 27. Pensamiento numérico - variacionai Potenciación y radicación en Z Las acciones de una empresa se han cotizado de la siguiente manera: s lililí11! r mmwm ¿±- 11 I .i - Acciones negociadas Valor de la acción Tiempo transcurrido 1 $3 Un minuto 1 $9 Dos minutos 1 $27 Tres minutos 1 1 $81 Cuatro minutos Por tanto, los corredores deciden de- tener las transacciones, pues de lo contrario las acciones tomarían un valor exorbitante en cuestión de po- cos minutos. Si un corredor observa que esta mis- ma acción lleva once minutos ne- gociada y su precio es de 1 77 147, ¿cómo puede determinar el precio de apertura de la acción? Debemos encontraren!?]1 ^ 1 77 144 147 el número desconocido el cual representa el de apertura. La anterior situación se puede escribir utilizando la radicación: Ufl 771 74 = / Por tanto, el precio de apertura fue de $ 3. El valor de las acciones se relacionan con el 3 y el crecimien+o es "exponencial" se puede expresar como: Primer minu+o: 3 = 3' = 3 Segundo minu+o: 3 X 3 = 3 ¿ = 9 Tercer minu+o: 3 x 3 x 3 = 33 = 27 Cuarto minu+o: 3 x 3 x 3 x 3 = 34 = 81 precio 3 Clave matemática Si p, n y q e Z , se define la potenciación y la radicación, así: Potenciación Radicación Exponente índice V= q —> potencia y q = p - > raíz B /•ase /cantidad subradical Si p > 0, la potencia es positiva. Si p < 0, la potencia es positiva si n es par, de lo contario es negativa. Recuerda que la radicación funciona para enteros positivos, para enteros negativos funciona si el radical es impar. Cuando el radical es par la raíz de un número negativo es entonces un número imaginario.
  28. 28. O TALLER Potenciación y radicación en Z O o ° y . La empresa de muñecos y juegos ha importado una colección d e "muñecas rusas" que vienen así: dentro de una muñeca grande vienen 8 muñecas medianas y cada muñeca mediana tiene 8 muñecas pequeñas y dentro de cada muñeca pequeña vienen 8 muñe- cas diminutas. Si la colección trae 8 muñecas grandes. Responde: a . ¿Cuántas muñecas rusas vienen en total? b. ¿Cuántas muñecas rusas medianas hay en total? c. ¿Cuántas muñecas rusas pequeñas hay en total? d. ¿Cuántas muñecas rusas diminutas hay en total? e. ¿Qué relación determinaría la cantidad de muñecas que hay en la colección? f. Gráfica esta situación. 2. La tabla muestra la relación de crecimiento exponencial que se desarrolla durante el proceso de la mitosis. Teniendo en consideración que cada nuevo crecimiento demora 2 0 segundos, averigua sobre la relación de "duplicación de la mitosis" y completa la tabla. ••w Número de nuevas células Número de células acumuladas Tiempo utilizado por cada nueva reproducción Tiempo acumulado Potencia indicada Desarrollo de la potencia 0 128 20 20 20 20 20 20 20 20 segundos 22 256 20 160 segundos 35
  29. 29. En el Amazonas colombiano se calcula un terreno especial de 16 000 hectáreas de bosque nativo. Si sabemos que el terreno es de forma cuadrada, ¿qué medidas tiene cada lado del terreno? Dibuja esta situación en el cuadro siguiente. T 4. El volumen de un cubo es de 343 cm3 . ¿ Q u é medidas tiene cada arista del cubo? 5. Se sabe que la relación que determina la me- dida de la hipotenusa de un triángulo rec- t á n g u l o es a2 + b2 = c2 donde a y b son la medida de los lados y c es la medida de la hipotenusa. Si se tiene un triángulo rectángulo cuyos lados miden ó y 8 cm, respectivamente, ¿qué medida tiene su hipotenusa? Dibuja esta situación en el siguiente cuadro. Resuelve. a. 4 5 = b. 7'—' = 7 x 7 x 7 x 7 • c, ó x ó x ó x ó x ó x ó = d. 9 ^ 43 046 721
  30. 30. l ó x l ó x l ó x l ó x l ó x l ó f. - 5 3 = (-5) x (-5) x (-5) g . - 1 1 h. Vó25 = ^ 2 4 3 = ¡. ^ 8 4 6 4 0 0 k. ^ 4 0 0 = 7, La tabla muestra las propiedades que cumple la potenciación y la radicación de núme- ros enteros, siendo a, b, m, n e Z . Complétala. mm •o o c a> -«—< o o. c •o ' o re o T3 re 0£ Propiedad a" x am = a" *m ^Qnjm — g n x m gn _¿_ gm = QX - m (a x bf -an xbn a° = 1 Ejemplo 23 x 22 = 23 + 2 = 25 (33)3= 3 3x2 _ 36 23 -í- 22 = 23 "2 = 21 (5 x 3)3 = 53 x 33 70=1 ^8^27 = ^8x^/27 =2x3 n / i - V16 </Í6 » ( 8. Construye un ejemplo que vincule cada propiedad. a . a n x on = a(n + m > b . (an )m = a n x m = Resultado 32 d . (o x b)n = a ' x br - e. ^/axb =VaxVb = a va f. p — = — = b Va Descriptor de desempeño: / Aplicar las propiedades de la potenciación y la radicación en la solución de algunas situaciones.
  31. 31. Pensamiento numérico - variacional Planteamiento de ecuaciones y solución de problemas en Z Las exportaciones de automóviles particulares, camperos, camionetas, vehículos de trans- porte público y vehículos de carga han crecido en los últimos años. Para 2 0 0 6 se exportaron 1 72 0 0 0 unidades, para 2 0 0 5 el volumen de unidades vendidas al exterior fue el doble de este número disminuido en 100 0 0 0 . ¿Cuántas unidades se exportaron en 2 0 0 5 ? Para responder es+a pregun+a tenemos que plan+ear y resolver una ecuación Antes de realizar cálculos y procedimientos, debemos leer bien la información, identificar datos conocidos, desconocidos e información que nos piden: y Unidades exportadas en 2 0 0 6 = 1 72 0 0 0 (dato mayor) </ Unidades exportadas en 2 0 0 5 = desconocida, llamemos esta cantidad x (dato menor) / Doble de las unidades exportadas en 2 0 0 5 = 2x / Doble de las unidades exportadas en 2 0 0 5 disminuido en 1 0 0 0 0 0 = 2x - 1 0 0 0 0 0 / Ecuación: 2x - 100 0 0 0 = 172 0 0 0 Debemos encontrar el valor que satisfaga x, realizando procedimientos matemáticamente correctos. Lo primero que debemos hacer es sumar a ambos lados de la igualdad por el inverso aditivo de - 1 0 0 0 0 0 . 2x 2 x - 100 0 0 0 = 172 0 0 0 100 0 0 0 + 100 0 0 0 = 1 72 0 0 0 + 100 0 0 0 2x = 2 7 2 0 0 0 Ahora, dividimos por 2 a ambos lados de la igualdad, c o m o 2-^2 = 1 2x = 2 7 2 0 0 0 2x_ 2 2 7 2 0 0 0 2 x = 1 3 6 0 0 0 Por tanto, en 2 0 0 5 se exportaron 136 0 0 0 vehículos. Clave matemática Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas con una cantidad desconocida llamada incógnita, esta cantidad se representa con letras. Solucionar o despejar una ecuación es encontrar el número desconocido que satisfaga la igualdad. 38
  32. 32. O TALLER Planteamiento de ecuaciones y solución de problemas en Z 0 0 o •„)> 1» C o m p l e t a la t a b l a . Operación Lenguaje usual B U Lenguaje matemático X Un número aumentado en 10 x + 10 i La suma de un número con 3 Suma -1 a un número La diferencia de un número y 24 y - 2 4 Un número reducido en 15 La resta de un número y 18 Un número menos 12 Resta 10 de un número x - 1 0 Quita 48 de un número El doble de un número 2w X El quíntuple de un número X El producto de un número con 9 Un número multiplicado con 21 El cociente de un número y - 10 n + (-10)o-2L -10 9 dividido entre un número La división de 12 y un número • a La tercera parte de un número n 3 n 4 2. C o m p r u e b a si los n ú m e r o s d a d o s satisfacen las e c u a c i o n e s . a. ¿X = 4 es s o l u c i ó n d e la e c u a c i ó n x + 3 = 7? b . ¿X = 1 es s o l u c i ó n d e la e c u a c i ó n 2x + 15 = 17? c. 2x = 3 es s o l u c i ó n d e 4x = 1 2? d . ¿x = - 3 es s o l u c i ó n d e x - 2 = 1 ? 6 1 2x = 2 es s o l u c i ó n d e x + 7 = 3? f. 2x = -1 es s o l u c i ó n d e 5 + x = 4? 9- ¿x = - 2 es s o l u c i ó n d e - 7 + x = 9? h . 2x = -1 2 es s o l u c i ó n d e - 2 + x = -1 4?
  33. 33. 3. Une cada ecuación con su solución. a. x - ó = 20 -ó b. 2y - 18 = 10 26 c. x + 15 = 10 t.6 d. 2w + 8 = 18 14 e. 3x +12 = -6 / -5 f. K + 4 = 10 . 5 4. Escribe una expresión matemática en cada oración. a. Número de llantas necesarias para fabricar x coches —> 4x b. Número de días de x semanas c. Número de patas de un corral de x gallinas d. Un número x menos 2 unidades igual a 3 e. El doble de un número x más el triple f. La mitad de un número y aumentado en 1 3 g. El doble de un número k menos 2 unidades igual a 48 h. La mitad de un número n menos su doble ¡. El doble de un número z menos la cuarta parte del número j. La mitad de un número m más 2 unidades es igual a -14 k . Un número menos 3 igual a -23 I. Un número más 3 veces el número es igual a 1 00 5. Resuelve las ecuaciones. a. 2x - 4 = 2 O. * = 5 b. 25x = - 25 2 c. 3x + 1 = 10 P- 15x = 60 d. 18x = 36 q- 30x = 90 e. 2x + 12 = 5 r. -x = 1 f. 3x + 23 = 5 _ x . s. — = -6 g- 4x - 7 = 5 3 h. x + 20 = 23 t. ^ = 10 • i. x + 7 = 10 / 5 i- x + 8 = 9 u. ^ = 16 k . x - 6 = -9 8 1. x - 3 0 = 70 V. — = 20 m. 2x = 10 45 4x = 80 w . x+3+4=12 n. 4x = 80 x+3+4=12 x X. x - 1-2 = 7
  34. 34. Rincón de ta historia Historia de los números enteros "relativos" El origen de los números enteros, especialmente los números negativos, es aún incierto. Algunos indicios fueron dados por los chinos, quienes utilizaban los negativos para representar deudas y pérdidas y los positi- vos como ganancias. Representaban estos números por medio de vari- llas de bambú de color rojo y color negro, los hindúes también dieron muestra del uso de estos números incluso con los signos (- y +). Uno de ellos fue Brahmagupta (628), quien operaba con estos números. Civilizaciones como la árabe negaron e desconocieron la existencia de tales núme- ros.Fue hasta la época de la Europa medieval y el renacimiento donde aparecen de nuevo estos números y su discusión los consolidó para ser usados como resultados y parte de ciertos elementos algebraicos por algunos matemáticos como Descartes. Sin embargo, es solo en el siglo XIX, conocido como el siglo de oro en las matemáticas, donde los números negativos y con ellos los enteros se legitiman como conjunto de números. 6. Camila tiene 250 canciones almacenadas en su MP4, Jorge tiene la mitad de canciones que las que tiene Andrea y Andrea tiene dos ve- ces la cantidad de canciones de Camila. ¿Cuántas canciones tiene Jorge y Andrea? ¿Qué puedes decir de la relación entre la cantidad de canciones de Camila y Jorge? ] 7. Cristóbal compró una sala por $ 1 75 000 más que la que compró Patricia, que costó $ 1 355 000. ¿Cuánto pagó por la sala Cristóbal? 8. Lucía decide ingresar a estudiar en la universidad. Ella sabe que el semestre le cuesta $3 650 000 y tiene ahorrado la mitad de este valor. Su papá le ayuda con la mitad de lo que le falta. ¿Con cuánto dinero le colabora su padre? ¿Cuánto dinero debe conseguir Lucía para completar el valor del semestre? 9. David tiene tres años menos que su hermano Pablo, Pablo tiene la mitad de la edad de su madre disminuida en cuatro. Si su madre tiene 52 años, ¿qué edad tienen los dos hermanos? 10. La empresa "Valores Unidos" presenta ganancias por $ 35 825 000 en un mes. Si al siguiente mes reporta ganancias por el doble de este dinero excedidas en $ 4 320 500 y debe pagar $ 22 465 400 a sus proveedores, ¿qué cantidad de dinero le queda a la empresa? 1 1 . El perímetro de un parque con forma rectangular es igual a 32 m. Si el largo del parque es igual a tres veces el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del parque? 12. Una mesa de forma cuadrada tiene un área de 7 225 dm2 . ¿Cuál es la dimensión del lado de la mesa?. mm
  35. 35. 13.0bserva las figuras. Plantea y resuelve una ecuación para solucionar x. 12m X = y 14.Las acciones de la empresa "Centro Bancaria" presentan un déficit diario constante de $ 215 213. Si este comportamiento se ha mantenido durante un mes completo, ¿cuál es el déficit de la empresa al terminar el mes? 15.Responde si la siguiente expresión es cierta o no, explica por qué. 17 | 18 - 1 1 ¿Cómo explicas que el residuo de esta división sea un número negativo? y 1 6 . Resuelve cada situación, planteando una ecuación. a. El doble de un número es 88. ¿Cuál es el número? b. La mitad de un número es 24. ¿Cuál es el número? C. La mitad del dinero que tengo es $ 2 000, ¿cuánto dinero tengo? d. En una bolsa hay x naranjas. La mitad de ellas es 20. ¿Cuántas naranjas hay en la cesta? e. En un bus hay x pasajeros, después de bajarse S^quedan 3 1 . ¿Cuántos pasajeros llevaba el autobús? f. La mitad de un número más 2 unidades es 4. ¿Cuál es el número? g . La tercera parte de un número es 6. ¿Cuál es el número? ti. La cuarta parte del dinero que llevo más $ 500 es $ 3 000. ¿Cuánto dinero llevo? , i. El doble de un número x es 50. ¿Cuál es el número? j. La mitad de un número x es 13. ¿Cuál es el número? k. El doble de un número menos 5 es igual a 7. ¿Cuál es el número? Descriptor de desempeño: / Resolver problemas utilizando operaciones, propiedades y ecuaciones con números enteros.
  36. 36. • Segmentos y ángulos congruentes El Banco de China es el más importante de Asia, su edificio es un rascacielos ubicado en Hong Kong, tiene una altura de 367 m y 72 pisos. En su estructura se observan elementos de geometría: / Segmento AB / Recta DE / Rayo o semirrecta CB / Plano a (vidrio de la ventana) También podemos observar algunas rectas y ángulos relacionados, con ellos podemos for- mular algunos teoremas. i MN OP Teoremas de rectas y ángulos En la anterior imagen se cumple: MN II OP , RS , es transversal a MN y OP. Definimos: S Ángulos correspondientes: á.2, ¿C 3: están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal, son congruentes, es decir, tienen la misma medida, ¿2 ^ 43 y Ángulos alternos internos: ¿. 2, ¿ 4 : están ubicados por dentro de las rectas paralelas y a distinto lado de la transversal, son congruentes, ¿. 2 = 4 4 y Ángulos opuestos por el vértice: ¿5, ¿C ó, son congruentes. ¿5 - ¿6
  37. 37. O T A L L G R Segmentos y ángulos congruentes O o ° lP 1. Observa la imagen y completa la tabla indicando otros ejemplos a los citados en la clave. Ángulos EJGmplo Correspondientes Alternos internos Opuestos por el vértice Ip 2. Observa la imagen del Banco de China y completa. q a b a> Rectas paralelas: c d b. Dos parejas de ángulos correspondientes: C . Dos parejas de ángulos altemos internos: y r -< ** "'"r e s P a r e ¡ a s de ángulos opuestos por el 9 Y1 vértice: , y Coloca una x en la imagen o imágenes correspondientes a un segmento. P 4. En el siguiente diagrama, CD || EF, AB es una transversal, m¿ DGH = 2x, m ¿ FHB = 5 x - 5 1 . Encuentra la medida, en grados, de ¿ BHE.
  38. 38. 5. Colorea con rojo los ángulos congruentes y retiñe con negro los segmentos congruentes que observes en cada polígono. "? 6. Completa la medida de los ángulos sin utilizar el transportador. a. b. Descriptor de desempeño: / Identificar y utilizar definiciones y postulados de la geometría de rectas y ángulos.
  39. 39. Pensamiento métrico - geométrico • Construcciones geométricas Los billetes en todo el mundo son diseñados con complejos sistemas y motivos para evitar su falsificación. El billete de $ 20 000 cuenta con hilos de seguridad, formas invisibles, i m á g e - nes ocultas y tintas que cambian de color. Al observarlo de frente hay un motivo hexagonal que aparece en color dorado, al variar el á n g u l o de observación cambia a verde. BANCO DE LA REPUBLICA , 16618894 WítfTE MIL.PESO^ 'COLOMBIA iiifíiit J ! Recuerda que la imagen del billete es la de Julio Gara- vito, matemático e ingeniero, uno de los más importantes científicos que ha tenido Colombia. ¿Cómo podemos construir formas geométricas, similares a este motivo del billete? Clave matemática Construcción de un triángulo equilátero, hexágono y dodecágono. / Tracemos dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán, sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4, respectivamente. / Ahora, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos de- terminarán, sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por úl- timo, con centro en 8 trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circun- ferencia dada. / Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángu- lo equilátero. Uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y ó, obtendremos el hexágono. Uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágono; para su total construcción solo tendríamos que llevar este lado, 1 2 veces sobre la circunferencia. 1 f1 L 0 i ^ 3 O TALLER Construcciones geométricas O O 0 1. Construcción de un triángulo equilátero. Sigue los pasos indicados y construye en el cuadro, con los instrumentos adecuados, un triángulo equilátero de 3 cm de lado. / Dibuja un segmento A8 de 3 cm. Construye una circunferencia H, teniendo como centro el punto A y como radio el segmento A8 . 46
  40. 40. / Traza una circunferencia J , teniendo como cen- tro el punto 8 y como radio el segmento AB . Marca un punto C que es la intersección de las dos circunferencias. Traza los segmentos AC y BC. 2. Construcción de un cuadrado. A continuación se enuncian los pasos para construir un cuadrado, si- gúelos y construye uno en el cuadro con la medida que desees. / Dibuja un segmento AB (de la medida que quieras). Sobre el punto A traza una recta A/1 que sea perpendicular al segmento AB. Construye sobre el punto 8 una recta N que sea paralela a la recta M y perpendicular al segmento A8 . Dibuja una circunferencia H tomando como centro el punto A y con radio el segmento A8. 3. La imagen presenta una construcción alternativa de un cuadrado. Obsérvala, reprodúcela en tu cuaderno y escribe en el espacio los pasos para hacerlo. — ' j j ! i — — La imagen presenta la construcción de un octágono regular con regla y co pás. Obsérvala, diséñala en tu cuaderno y escribe los pasos hechos en el espacio. Ten en cuenta que el orden de estos pasos depende del color: primero se hacen los procedimientos dibujados con negro, luego los de rojo, luego los de azul y, finalmente, los verdes. I N II N I o 8 , , j S9 1 2 J j
  41. 41. 5 . El siguiente proceso muestra otro proceso para construir un octágono regular, tenien- do c o m o base inicial un cuadrado de ó cm de lado. Realiza esta construcción en tu cuaderno y escribe los pasos en el espacio. Ten en cuenta que el orden de las construc- ciones depende del color de los dibujos, el orden es rojo, azul y verde. [ - i 1 - - 6 . Construcción de un pentágono y decágono. Observa los pasos y la imagen dada para construir un pentágono regular. Reprodúcela en tu cuaderno, al terminar numera los vértices, une pares con pares e impares con impares, observa que obtienes una es- trella de cinco puntas. Inicia trazando dos diámetros perpendiculares entre sí, que nos determinarán sobre la circunferencia dada los puntos A - 8 y 1-C respectivamente. C o n el mismo radio de la circunferencia dada traza un arco de centro en A, que nos determinará los puntos D y E sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos obtendre- mos el punto F, punto medio del radio A - O Con centro en F dibuja un arco de radio F-l, que determinará el punto G sobre la diagonal A - 8 . La distancia 1-G es el lado del pentágono inscrito, mientras que la distancia O - G es el lado del decá- g o n o regular. Para la construcción del pentágono y el decágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 1 0 veces, respec- tivamente, a lo largo de la circunferencia. Bisectriz de un ángulo: es una línea que lo divide en dos ángulos de la misma medida. Observa y analiza la construcción de esta línea en un ¿ 8AC. / C o n el mismo radio y haciendo centro en 8, traza un arco dentro del ángu- lo, repite el procedimiento haciendo centro en C, este arco debe cortar al anterior en el punto D. / B / / / A / 1 nr / Traza con centro en A un arco que corte A 8 y A C .
  42. 42. / Traza una semirrecta de origen A. Listo, ya quedó el ángulo dividido en dos partes iguales. y 7 . Construye las bisectrices de los siguientes ángulos. Descriptor de desempeño: / Realizar construcciones geométricas utilizando los instrumentos adecuados. 49
  43. 43. Organización de datos y distribución de frecuencias El caficultor es uno de los sectores más importantes de la economía nacional. Colombia es el segundo productor mundial de café, las exportaciones del grano se reali- zan en gran parte en puertos del Pacífico. Los siguientes datos muestran el porcentaje de café exportado en los últimos 21 años por el puerto de Buenaventura. 70% 72% 52% 74% 75% 62% 66% 63% 66% 46% 69% 62% 70% 65% 65% 59% 71% 44% 57% 58% 68% Observamos que el porcentaje está dado con dos cifras, ordenemos y representemos estos datos en un d i a g r a m a d e t a l l o y h o j a s . Las decenas representan los tallos y las unidades las hojas. Tallos Hojas Total hojas 4 4 6 2 5 2 7 8 9 4 6 2 2 3 5 5 6 6 8 9 9 7 0 0 1 2 4 5 6 En este diagrama | 5 | 2 representa 52%, observa que la mayoría de datos están en el tallo 6, lo que significa que la mayor parte de los años se realizaron exporta- ciones entre el 60 y 69% por el puerto de Buenaventura. Con los anteriores datos podemos construir una distribución de frecuencias, organizando cuatro clases o intervalos, de acuerdo con el número de tallos. Número de clase Clase Frecuencia (total de datos) Frecuencia acumulada Frecuencia relativa % (frecuencia-Hotal de datos) x 100 Frecuencia relativa acumulada % 1 4 0 - 4 9 2 » 2 9,52 (2 + 21) x 100 9,52 2 50-59 6 = 2 + 4 19,05 28,57 3 60-69 9 — — — 15 = 6 + 9 42,86 71,43 4 70-79 6 ^ — ^ 21 =15 + 6 28,57 •100
  44. 44. Q TALLGR Organización de datos y distribución de frecuencias O o ° ¡¡ 1. Ordena los siguientes datos en un diagrama de tallo y hojas. a. 2 1 , 25, 68, 8, 1 1 , 33, 50, 58, 25, 29, 18, 9, 47, 33, 35, 56, 38, 2 1 , 24, 27 b. 85, 89, 87, 74, 65, 60, 89, 99, 98, 89, 85, 7 1 , 73, 89, 99, 95, 79, 83, 89 c. 55, 57, 59, 4 1 , 74, 75, 44, 49, 43, 47, 49, 79, 100, 75, 79 ) J 2. Construye una distribución de frecuencias para cada diagrama de tallo y hojas, comple- ta la información que falta e inventa una situación para los datos señalados. a. b. c. Tallos Hojas Total 0 8 8 9 3 1 1 4 7 7 7 9 4 2 3 4 4 4 8 9 5 8 9 9 10 4 4 8 • Tallos Hojas • Total 3 0 0 5 5 8 8 9 4 1 2 3 4 4 5 5 3 3 4 8 8 7 0 0 3 4 9 1 8 9 Tallos Hojas Total 0 1 2 3 1 5 6 7 8 9 9 2 9 9 9 9 9 9 9 3 1 2 3 3 7 9 5 6 6 8 9 0 6 3 4 7 0 0 5 5 8 1 9 3. Completa cada distribución de frecuencias y construye un diagrama de tallo y hojas para cada una. Número de Clase Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa clase (total de datos) acumulada relativa % % acumulada 1 [40, 50] 8 2 [51, 61] 24 3 [62, 72] 15 4 [73, 83] 9 • 5 [84, 101J 3
  45. 45. Número de clase Clase Frecuencia (total de datos) Frecuencia acumulada Frecuencia relativa % Frecuencia relativa % acumulada 1 [10, 19] 5 2 [20, 29] 9 3 [30, 39] 11 4 [40, 49] 19 5 [50, 59] 25 6 [60, 69] 12 7 [70, 79] 4 c. Número de clase Clase Frecuencia (total de datos) Frecuencia acumulada Frecuencia relativa % Frecuencia relativa % acumulada 1 [10,19] 5 2 [20,29] 19 3 [30, 39] 10 4 [40, 49] 13 5 [50, 59] 4 6 [60,69] 4 7 [70, 79] 3 y 4. Con los siguientes datos, construye un diagrama de tallo y hojas, a . Esperanza de vida de algunos países de América para 2005. PAÍS Argentina Brasil Bolivia Chile Colombia Costa Rica Cuba Ecuador El Salvador Estados Unidos Guatemala EDAD 76 72 65 76 72 77 77 76 71 78 69 Honduras Jamaica México Nicaragua Panamá Paraguay Perú Trinidad Uruguay Venezuela 69 73 75 70 75 75 70 61 76 74
  46. 46. b. Los diez discos más vendidos en la historia. PUESTO VENTAS (en millones de unidades) DISCO ARTISTA 31 Thriller Mlchael Jackson 28 Their Greatest Hits (vol. 1) The Eagles 3 23 The Wall Pink Floyd 4 22 Led Zeppelin IV Led Zeppelin 5 21 Back In Black AC/DC 6 21 Greatest Hits VOL I & II Billy Joel 20 Come On Ovér Shanla Twain 8 19 The Beatles •'; The Beatles 9 19 Rumours Fleetwood Mac 10 17 Boston Boston C. Población de algunos países de América. Países Población en millones de habitantes Argentina 35 Bolivía Brasil 164 Canadá 30 Chile 14 Colombia 35 Costa Rica 3 Cuba 11 Ecuador 11 El Salvador 6 Estados Unidos 265 Guatemala 11 México 95 Nicaragua 4 Panamá 2 Paraguay 5 Perú 24 Puerto Rico 3 República Dominicana 8 Uruguay m'' 3 Venezuela 22 Descriptor de desempeño: / Utilizar algunas herramientas estadísticas para organizar datos.
  47. 47. Matemática Biocombustibles, un impacto ambiental y económico El biocombustible es el término con el cual se denomina a cualquier tipo de combustible que derive de la biomasa (organismos recien- temente vivos o sus desechos metabólicos). Los combustibles de origen biológico pueden sustituir parte del consumo de combustibles fósiles tradicionales, como el petróleo o el carbón. Los biocombustibles más usados y desarrollados son el bioetanol y el biodiésel. El uso de biocombustibles tiene impactos ambientales negativos y positivos. Los impac- tos negativos hacen que, a pesar de ser una energía renovable, no sea considerado por muchos expertos como una energía no con- taminante y, en consecuencia, tampoco una energía verde. Una de las causas es que, pese a que en las primeras producciones de biocombustibles solo se utilizaban los restos de otras activida- des agrícolas, con su generalización y fomen- to en los países desarrollados, muchos países subdesarrollados, especialmente del sureste asiático, están destruyendo sus espacios natu- rales, incluyendo selvas y bosques, para crear plantaciones para biocombustibles. Algunas fuentes afirman que el balance neto de emisiones de dióxido de carbono por el uso de biocombustibles es nulo. Sin embargo, muchas operaciones realizadas para la pro- ducción de biocombustibles, como el uso de maquinaria agrícola, la fertilización o el trans- porte de productos y materias primas, actual- mente utilizan combustibles fósiles y, en con- secuencia, el balance neto de emisiones de dióxido de carbono es positivo. Otras de las causas del impacto ambien- tal son la utilización de fertilizantes y agua necesarios para los cultivos; el transpor- te de la biomasa; el procesado del combustible y la distribución del biocombustible hasta el consumidor. Varios ti- pos de fertilizantes tienden a degradar los sue- los al acidificarlos. El consumo de agua para el cultivo supone disminuir los volúmenes de las reservas y los caudales de agua dulce. El empleo de biocombustibles de origen vege- tal produce menos emisiones nocivas de azufre por unidad de energía que el uso de productos derivados del petróleo. Por la utilización de fer- tilizantes nitrogenados, en determinadas condi- ciones el empleo de biocombustibles de origen vegetal puede producir más emisiones de óxidos de nitrógeno que el uso de productos derivados del petróleo. Al comenzar a utilizarse suelo agrícola para el cultivo directo de biocombustibles, en lugar de aprovechar exclusivamente los restos de otros cultivos (en este caso, hablamos de "biocombus- tibles de segunda generación"), se ha comenza- do a causar un efecto de competencia entre la producción de comida y la de biocombustibles, lo que en el aumento del precio de la comida. Competencias ciudadanas • Participación y responsabilidad ciudadana. • Analizo adecuadamente mi participación en situaciones en las que se vulneran el medio ambiente y los ecosistemas naturales, analizo su impacto económico y las consecuencias a mediano y largo plazo. 56
  48. 48. Matemática ciudadana / R e f l e x i o n o 1 ¿Cuál es tu posición sobre la lectura anterior? 2 , ¿Por qué la producción de biocombustibles comenzó a ser peligrosa, sobre todo en el sureste asiático? 3 , ¿ Q u é se puede hacer para utilizar adecuadamente los biocombustibles? 4 , Organiza grupos de seis personas para debatir el uso de los biocombustibles. Tres compañeros defienden los biocombustibles y los otros tres atacan la pro- ducción y uso de estos combustibles. Anota todas las conclusiones. Actividades 1. El aumento del precio del petróleo ha llevado a muchos a considerar el uso de biocombustibles. Observa el diagrama que muestra el precio del barril año por año y responde las pre- guntas. 120- 110' _ 100- I - Q Bo- fe 70- £ 50 a 30 1 , • / i i i ir } /J — /"* — y 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 A ñ o a . Completa cada distribución de fre- cuencias. (Cuenta los años teniendo en cuenta los cruces de las abscisas y ordenadas) Número de clase Clase (en dólares) Frecuencia (total de años) Frecuencia relativa % 1 [10, 19] 2 [20, 29] 3 [30, 39] 4 [40, 49] 5 [50, 59] 6 Mas de 60 2 b . Entre 1 9 7 2 y 1 982 hubo una fuerte subida del precio del petróleo, lo que generó una baja en la demanda. Observa el gráfico de demanda de petró- leo. % a. Demanda 10T 1967 1972 1997 2002 2007 Año I ¿Cuáles fueron los años con demanda - 2 , - 1 y - 4 ? ¿Cuáles años presentaron demanda ne-j gativa? c. Frente a las anteriores cifras, el aumento) desenfrenado del precio del petróleo, ¿esl necesario buscar otras fuentes de combus- tible? ¿El biocombustible sería una alterna-i tiva? Justifica. 2, Sabemos que para poder generar 41 3 litrosl de etanol promedio, es decir 109 galones de acuerdo con las densidades se necesi- ta 1 tonelada de maíz. ¿Cuánto maíz (en gramos) se requiere para generar 1 litro dej etanol? 3 Averigua en una estación de servicio, ¿cuá- les vehículos pueden funcionar con bioeta- nol y biodiésel.
  49. 49. Proyecto Software geogebra, construcciones geométricas y relaciones numéricas Geogebra es un software libre, es decir que se puede bajar por Internet sin ningún costo. En él se pueden establecer claramente las relaciones entre aspectos geométricos y aspectos numéricos o algebraicos de un determinado objeto matemático. A continuación encontrare- mos un recorrido rápido para aprender cosas básicas y las construcciones que allí se pueden realizar. La ventana inicial del programa se muestra de esta manera, la división de la izquierda es la ventana algebraica y es donde aparecen las relaciones de tipo numérico. La parte derecha es la ventana geométrica y es donde aparecen las construcciones. 1. En la parte superior de la ventana aparecen los comandos clásicos de Word y debajo de ellos aparecen los iconos de las funciones básicas de geogebra para construir de mane- ra geométrica. Cada ¡cono es deslizable y presenta nuevas funciones. £ CliMUmim WH 1 * «f w w • ^ • " • » ' i-íun»rwKii»WBJístrO' IHWt »" J C**l<MMMtMl*(«ttM"MM*n I I I I 4 1 1 1 1 I V A " 1 ~ - - . 2. Si realizamos la construcción de manera numérica nos dirigimos a la parte inferior de la ventana al cuadro ENTRADA y allí escribimos la función que queremos que aparezca. 3. En cada ¡cono desplegable se puede escoger una función y construirla de manera sencilla, por ejemplo un polígono regular de n lados. / Se va al ¡cono correspondiente y se escoge la función polígono regular. Luego se diri- ge el puntero del mouse a la ventana geométrica y se construye. Al poner dos puntos (vértices del polígono) aparece una ventana que pregunta de cuántos lados se quiere el polígono. / Se da el número de lados que se quiera y luego aplica. Aparecerá entonces el polígono que se ha construido de la siguiente manera: / Se puede notar que en las dos ventanas aparecen datos automáticamente que como se mencionó están relacionados: en la ventana algebraica aparecen la coordena- das cartesianas en las que se encuentra cada parte del polígono (lados, vértices e incluso ángulos) y en la geométrica aparece la construcción del polígono, en este caso en nonágono o eneágono. Con este programa se pueden construir desde puntos y polígonos simples hasta inte- grales y secuencias paso a paso de construcción. Su gran veracidad es el dinamismo necesario para captar de manera más clara las construcciones matemáticas.
  50. 50. La intención es que bajes el programa Geogebra de la dirección http://www.geoge- bra.org/cms/, allí se te dan todas las indicaciones y recuerda que no tiene costo. Luego de que lo tengas en tu PC puedes iniciar a explorar el programa con las he- rramientas básicas que se han mostrado anteriormente. Identifica el tipo de herramientas geométricas (en la parte superior de la ventana) que se tiene y luego el tipo de herramientas algebraicas (parte inferior de la ventana). También debes indagar los comandos correctos para ingresar funciones de tipo nu- mérico, como las integrales o derivadas, o funciones con racionales o con enteros. . • i m n I M W M '•-IB T E • l / • 1 /' •t A 4 i b i * * i i i • — '< .... Luego de tener claridad sobre el programa construye, utilizando únicamente la he- rramienta del compás (circunferencia) y segmentos, los 15 primeros polígonos regu- lares, iniciando por el triángulo. Revisa qué está pasando con la ventana algebraica cada vez que se construye un nuevo polígono. ¿Cómo se halla el área y el perímetro en este programa? ¿Qué pasa con el área de cada nuevo polígono? Si se mantiene la misma medida del lado, sea la misma ¿qué pasa con el perímetro? Analiza por qué en la ventana algebraica aparecen dos carpetas: "objetos libres" y "objetos dependientes", ¿qué significará esto dentro de la construcción geométrica? Ten en cuenta los pasos.
  51. 51. Prueba de unidad Contesta las preguntas de la 1 a la 4 con base en la siguiente información. En un juego de cartas se realizan dos partidas por ronda, cada jugador puede ganar o perder de acuerdo con las partidas. La baraja inicial de Mauricio, un jugador, es de 40 cartas y jugó 6 rondas. Al final obtuvo la siguiente información, ten en cuenta que con + se representa las cartas que ganó y con - las cartas que perdió en cada partida. Partida 1 Partida 2 R o n d a 1 -7 +6 R o n d a 2 +5 -2 R o n d a 3 +9 -5 R o n d a 4 -3 +3 R o n d a 5 -9 +5 R o n d a 6 +4 -8 1, Al final del juego es correcto decir que: A. Mauricio ganó en el juego porque quedó con más cartas que con las que comenzó. Mauricio perdió en el juego porque quedó con menos cartas que con las comenzó. Mauricio no ganó ni perdió porque quedó con la misma cantidad de cartas que al principio. li No se puede saber si Mauricio ganó o perdió porque la información es insuficiente. 2. Teniendo en cuenta las dos partidas y las seis rondas, ¿cuántas cartas ganó Mauricio durante el juego? A. 30 cartas ü 31 cartas C. 35 cartas D. 32 cartas Según las dos partidas y las seis rondas ¿cuántas cartas perdió Mauricio? A. 29 cartas 8. 31 cartas C. 34 cartas D. 33 cartas 4. Al final del juego Mauricio contó sus cartas y se dio cuenta que quedó con: A + 2 cartas 8. - 2 cartas C. 0 cartas D. - 5 cartas 5. Don José está haciendo la cuenta en su calculadora a Doña Magola, le faltaba re- gistrar el último producto cuando sonó el teléfono. Después de hablar por teléfono él olvidó la cuenta que llevaba en la calculadora, pero notó que si tecleaba el precio del último artículo que es $ 3 650 y oprimía la tecla = el resultado es $12 425. Don José para saber el precio que tenía en la calculadora antes de hablar por teléfono, tiene que plantear la siguiente ecuación, siendo x el dato que se va a encontrar: 3 650 - x = 12 425 x + 3 650 = 1 2 425 8 x + 12 425 = 3 650 D. 12 425 + 3 650 = x 6. El precio que registró la calculadora antes que don José hablara por teléfono es: C $ 1 1 235A. $ 16 075 $ 8 775 D. $ 8 875 58
  52. 52. Prueba de unidad Contesta las preguntas 7 y 8 con base en la siguiente información. Un corral tiene la siguiente forma: 7, Si el ángulo ¿ C mide 1 20°, la medida de ¿ A es: A, 120° B. 60° 180° 8. Si el ángulo ¿D mide 135°, la medida del ángulo ¿P, es P D. 100c 120° 8, 135° C, 75° D. 55° Contesta las preguntas de la 9 a 11 con base en la siguiente información. El conjunto {40, 45, 47, 50, 51, 58, 59, 63, 65, 67, 68, 69, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 84, 85, 89, 95, 96, 97, 99} son los datos correspondientes al peso de algunos padres y madres de familia de grado séptimo. 9. Al organizar los datos en un diagrama de tallo y hojas, es correcto afirmar: El 9 tiene 2 hojas C. Salen 34 tallos y 6 hojas El 5 tiene 6 hojas D. Hay 6 tallos y 26 hojas 0 Al construir una distribución de frecuencia se observa: A. El mayor peso está entre 50 y 59 kg B. El menor peso está entre 50 y 59 kg C. El mayor peso está entre 70 y 79 kg D. El mayor peso está entre 60 y 59 kg 11. La frecuencia relativa correspondiente a 26,92 % es para el intervalo: A 50 y 59 kg B. 60 y 69 kg 70 y 79 kg 80 y 89 kg IrU-lJHJAM-t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A c—^ ^••.lUHll^ o V o o o o o B /* N f—-N. (* o o f *v o o o C o O O o o o o o o D O o o o o o o o o o o
  53. 53. J Números racionales • Perímetro y área Unidades de volumen • Capacidad y masa • Distribución de frecuencias y diagramas estadísticos Deporte y matemáticas Los récords que se establecen y manejan en los diferentes deportes tienen un toque m a t e m á t i c o , pues como lo estudiaron algunos matemáticos, es posible determinar el rendimiento m á x i m o del ser humano, desde la óptica m a t e m á t i c a . Un estudio realizado en Holanda afirma que el límite m á x i m o cal- culado para los 1 00 m planos será de 9:30 segundos (actualmente la marca está en 9,72 segundos), en la jabalina llegará a 106,489 m y en el m a r a t ó n femenino en 2 horas y ó minutos. En jabalina, el checo Jan Zelezny posee una marca de 98,48 m, pero las computadoras dicen que se puede llegar hasta 106,489 m. Cu- riosamente, las mujeres están mucho más cerca del límite. Las muje- res tienen a ú n mucho margen de mejoría, mientras que los hombres están cerca del borde. El récord de Paul Tergat (2h 04:55 minutos) se podrá rebajar solo en 49 segundos, mientras que a la plusmarca de Paula Radcliffe (2hl 5:25) a ú n se le pueden quitar 8:50. Exploro los conceptos i» t>»> i 1. ¿En q u é se relaciona la matemática con el deporte? ¿Cuál es la importancia que tiene la matemática para establecer marcas y récords? El récord de los 100 m planos está en 9,72 s, el proyectado en el estudio es de Expresa este n ú m e r o como decimal. 4. Observa que en la lectura se mencionan algunos números decimales. Observa y completa la tabla. Marca Número decimal c i décimas centésimas milésimas Proyectada en jabalina 106,489 1 0 6 i 0 9 8 4 8 Marca actual de los 100 m planos La marca del m a r a t ó n femenino proyectada será de 2 horas y 6 minutos, esta can- tidad expresada como n ú m e r o mixto es: 2 — h . Recuerda que 6 minutos es una décima parte de una hora. Expresa en n ú m e r o mixto: a . Marca proyectada para los 100 m planos: b. Récord de Paul Tergat:
  54. 54. JT En los juegos olímpicos de Beijing 2008 se dis- 2 putaron 28 disciplinas, — correspondieron a deportes acuáticos, ¿cuántos deportes acuáti- cos hubo en las olimpiadas de 2008? Para responder la anterior pregunta aplicamos sobre 28, quedando: x 28 = = ^ = 8 . P o r tanto, hubo 8 7 7 disciplinas acuáticas en los juegos olímpicos de Beijing 2008. - i — i - — 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Sabías que Michael Phelps en los juegos olím- 2 picos de Beijing logró el reto de obtener — de medallas de oro de las 36 conseguidas por Estados Unidos en las pruebas de na+ación. En total ha conseguido j | £f 14 medallas de oro, llegando a ser e mejor nadador de la historia. Operadores fraccionarios 1 Sobre un número Sobre una magnitud Multiplicamos el numerador por el número, este resultado lo dividimos por el denominador. 2 x 2 8 = 2 x 28 = 5 ó = 8 7 7 7 Se representa la recta en las partes que indica el número, se dividen estas partes por el denomina- dor y se toman las que indica el numerador. Multiplicamos el numerador por el número, este resultado lo dividimos por el denominador. 2 x 2 8 = 2 x 28 = 5 ó = 8 7 7 7 1 i i i 1 1 1 — é — 1 1 1 i 1 l i — i 1 1 1 — i l i i—i 1 1 i — i — ^ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 61
  55. 55. O TALLER Operadores fraccionarios O o ° }„» Aplica el operador fraccionario sobre la magnitud indicada y represéntalo. — de 15 3 c. - de 20 4 - de 40 - de 18 8 6 Escribe el operador utilizado en cada una de las transformaciones. €1, c i : Encuentra el resultado y escribe en el espacio si el operador fraccionario pertenece a una fracción propia o impropia. a . 520 326 x - = 3 b. 325 568 x - = 5 897 000 x 25 d . 100 000 x - = 2 e. 100 000 x - = 7 —Y—
  56. 56. Completa la tabla, aplicando el operador respectivo. 7 11 7 3 29 41 4 8 BBBBHBBSBBBI 4 8 2 -128 2 600 -64 -600 240 La población de Colombia es aproximadamente 44 875 797 de habitantes, la pobla- ción de Bogotá es aproximadamente un poco más de — de la población de Colombia. 6 ¿Cuál es aproximadamente la población de Bogotá? f„o 6, Observa la recta numérica y completa las afirmaciones. — i 1 1 1 1 1 é 1 1 é é 1 1 1 • 1 1 * 1 1 # 1 1 1 1 * - -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 50 es — de _ 4 -75 es — de 4 1 25 es — de 4 -50 es — de _ 5 -275 es — de 12 o i 200 es - de 3 y 7. En la figura se muestra totalmente en verde un terreno que tiene 64 m 2 , escribe en la tabla el área de cada una de las partes sombreadas y completa el último gráfico. 1 1 1 1 1 1 Parte sombreada •BMBHBBMBBMKSMBBBHHHHBBI 1 1 8 16 32 Parte sombreada •BMBHBBMBBMKSMBBBHHHHBBI 2 4 8 16 32 Área 64 m2
  57. 57. ¡I y Durante el a ñ o 2004 el sector educativo de Bogotá atendió a 1 582 966 niños y jóvenes. La población atendida con recursos del Distrito fue de un poco me- 5 nos de — , la correspondiente a los establecimientos 8 1 privados fue de un poco más de — . ¿Cuántas per- 3 sonas atendieron aproximadamente el Distrito y los establecimientos privados? Aplica el operador sobre la unidad en cada recta. b. 3 M — x U 4 2c. — e. - 1 1 2 - 1 3 xU xU u < - i — i — i — i — i — u -7 -6 -5 -4 -I 1- -7 -6 1- _7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 u 5 -4 -3 -2 -1 0 u ! -1 0 u - « - I — I — l -7 _6 -5 -4 Identifica el operador que se ha aplicado. 24 21 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 u -I 1 1 1 u 0 22 4-*- - 6 0 -48 - 4 0 -44 36 - 1 0 0 15 -25 27 - 3 5 -10 y Determina el n ú m e r o de medallas conseguidas por Michael Phelps en los juegos olím- picos de Beijing 2008. 64 Descriptor de desempeño: / Identificar cómo actúa un operador fraccionario sobre una magnitud y un número.
  58. 58. Pensamiento numérico - variacional • Fracciones equivalentes y números mixtos En las eliminatorias al mundial de Alemania 2006, Ecuador y Paraguay clasificaron a esta copa mundo. Ecuador g a n ó 4 8 — de los partidos, Paraguay g a n ó —— de los juegos de las 9 18 eliminatorias. ¿Cuál país g a n ó m á s partidos? 4 9 _8_ 18 4 x 1 8 9 x 8 8_ 18 72 J Sabías que en el 2 0 0 6 el director técnico de la selección de Ecuador era e colombiano "Bolillo" Gómez Colombia no clasificó. 4 8 8 Observa aue las fracciones — y — son equivalentes. Si simplificamos — obtenemos 9 18 18 8 4 . 4 8 — = — , si comphticamos — por 2, resulta — 18 9 9 18 Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de la unidad. Se obtienen al rComplificar Multiplicar el numerador y denominador por un número determinado. Simplificar Dividir el numerador y denominador por un número determinado.
  59. 59. O TALLER Fracciones equivalentes y números mixtos # • 7* Encuentra números equivalentes a los números dados utilizando el procedimiento de simplificación. Ui 12 14 27 6 ' 43 3 ' 56 64 52 52 ' — : 9> — h, — "777 46 69 0_ 57 72 81 I d 20 48 60 : ^„)j En la secuencia de gráficos se encuentra uno que no es equivalente o está repetido con una fracción dada. Identifica la fracción y halla cuál no es equivalente, explica por qué. Halla por lo menos un grupo de cinco fracciones equivalentes a cada fracción irreduc- tible (recuerda que una fracción irreductible es aquella donde el M.C.D. es 1, no se puede simplificar más). Utiliza la simplificación. En caso contrario usa la complificación hasta hallar el número racional. 7 8 3 5 a. — , — , — , — = la fracción equivalente irreductible es: 49 56 21 35 . b. c. ]__ 2 " V_ 17 las fracciones equivalentes son: — las fracciones equivalentes son: 1 las fracciones equivalentes son: e. 21 27 _6_ 30 3 5 ' 4 5 ' 1 0 ' 50 la fracción irreductible es:
  60. 60. 4, La ardilla quiere atrapar una nuez, pero para llegar a ella necesita atravesar un camino seguro, para esto deberá hacer un camino solamente con fracciones equivalentes. Som- brea el camino que debe seguir. wm Une con una línea las fracciones equivalentes. CJ. 24 36 _3_ 72 27 13 b, I_l 136 46 34 2 3 105 275 35 55 1_ 11 15 360 54 26 23 17 _0_ 20 _8_ 12 0 3 162 78 0_ 15 24 Números mixtos: recuerda que toda fracción impropia necesita más de una unidad para representarla, se puede expresar como un número mixto. Observa los dos procedimientos para transformar una fracción impropia en número mixto. 5 2 2 2 5 2 1 2 t 2 Í ~ A 2 * - 67
  61. 61. Expresa las fracciones como números mixtos, utiliza el procedimiento anterior. 7 91 99 153 6 7 2 67 126 714 b. d. f. 3 16 6 Plantea un proceso para transformar un número mixto a fracción y expresa los números mixtos en fracciones y halla una equivalente. Procedimiento a. 1 1 ^ 9 - 1 4 2 - 7 - 2 7 — 13 120- e. - 5 2 1 — 19 i 350 19 En el béisbol el rendimiento al batear se compara con la fracción que vincula el número de hits con las veces que está al bate. El cuadro muestra algunos bateadores de las grandes ligas en Estados Unidos. Complétalo y determina los bateadores que tienen el mismo rendimiento. B a t e a d o r Hits Veces en el bate R e n d i m i e n t o a Edgar Rentería ^ / ^ < ^ Sami Sosa Wmmm > i k _ _ m 144 472 144 18 472 " 59 a Edgar Rentería ^ / ^ < ^ Sami Sosa Wmmm > i k _ _ m 22 74 • • • • 1 Kyle Farnsworth 132 444 • • Edgar Rentería 18 59 • • • • Reemplaza la letra por un número de tal forma que las parejas de fracciones resulten equivalentes. a. 7 105 a ~ 75 x 27 — = — 5 45 c. _ a _ = 3_ 55 ~ 11 Descriptor de desempeño: / Identificar y representar fracciones equivalentes y números mixtos.
  62. 62. Pensamiento numérico - variacional Concepto de número racional En los juegos olímpicos de Beijin 2008 los cuatro prime- ros puestos los ocuparon China, Estados Unidos, Rusia y Reino Unido. Es la primera vez que China gana estas justas. Observa la fracción del total de medallas de oro obtenidas por cada país. PaísPaís China 8 8 Estados Unidos HH Rusia _ Z.^ Reino Unido País _ Z.^ Reino Unido Puesto 1 2 . 3 4 Fracción total de medallas de oro 1 6 3 25 2 25 1 15 Observa que los números que determinan la fracción del total de medallas de oro obtenidas pertenecen a los números racionales. ¿Sabías que en los juegos olímpicos de Sídney 2000, Colombia ganó su primera medalla de oro en pesas con Ma- ría Isabel Urrutia? En Beijin 2008, Colombia ganó I medalla de pla+a y I de bronce Un número racional (Q) es un número de la forma — en donde a y b son números D enteros y b debe ser un número entero diferente a 0. El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q . Los números naturales y enteros son un subconjunto de los números racionales. Observa la jerarquía de estos conjuntos numéricos. Racionales (Q) r ( ^ ^ ^ N a t u r a l e s ( N ) Enteros (Z ) y 6 9
  63. 63. O TALLER Concepto de número racional O • '( ¿Hay más números racionales que números enteros? Justifica. ¿Por qué un número natural es también un número entero? Explica tu respuesta. ),,D Escribe.€ o g en las casillas del cuadro, según corresponda. mmHHÜ3 e e e B " 0,2 2| 7 9 IB' _12 11 24 V16 IB - 0 H 3/32 36 12 Cp 4. Responde (F) o (V), según corresponda. En caso de ser falsa la afirmación, escríbela de manera tal que sea verdadera. a. Todo número natural es también un número racional ( ) b Todo número racional es también un número entero ( ) c. Todo número entero puede escribirse como un número racional ( ) d Todo número decimal es también un número racional ( ) Toda fracción irreductible es un número entero ( ) El cero no es un número racional ( )
  64. 64. 5. Escribe el racional que se encuentra representada de forma fraccionaria en cada caso. (*> / •• • n• n• • I . 114n • • • • • • • 6. Para cada situación representa en un diagrama los números racionales y soluciónala. Un hombre cultiva— de su parcela, de esta abona —¿Qué porción de la parcela 4 8 fue abonada? Í; Un hombre vende — de su terreno, alquila — del resto y lo demás lo cultiva. ¿Qué 4 8 porción del terreno cultiva?

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