Modelos.diagramabloques

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Modelos.diagramabloques

  1. 1. Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión Maturín Esc. Ing. Electrónica y Eléctrica <ul><li>Modelos matemáticos. Diagramas de bloques </li></ul>Maturín, mayo de 2011 Facilitadora: Ing. Mariángela Pollonais
  2. 2. Aplicaciones transformada de Laplace Las ecuaciones de la malla, de acuerdo a la ley de voltajes de Kirchhoff <ul><li>Circuito RLC serie </li></ul>
  3. 3. Aplicaciones Transformada de Laplace <ul><li>Obteniendo la Transformada de Laplace, con condiciones iniciales igual a cero se obtiene : </li></ul>
  4. 4. Aplicaciones Transformada de Laplace <ul><li>Haciendo el cociente de la señal de salida con respecto a la entrada se tiene: </li></ul><ul><li>Con esta relación, se puede obtener la respuesta a diferentes señales de entrada típicas y saber el comportamiento del sistema. </li></ul>
  5. 5. Aplicaciones Transformada de Laplace <ul><li>Sistema Masa Resorte </li></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>Utilizando las leyes de Newton, se obtiene: </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa, k es la constante del resorte, y(t) es el desplazamiento y r(t) es la fuerza aplicada. </li></ul></ul></ul></ul></ul>m b k y(t) r(t)
  6. 6. Aplicaciones Transformada de Laplace <ul><li>Su transformada de Laplace es: </li></ul>considerando:
  7. 7. Función de Transferencia <ul><li>La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero. </li></ul>
  8. 8. Función de Transferencia <ul><li>Observaciones </li></ul><ul><li>Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema. </li></ul><ul><li>Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada. </li></ul><ul><li>No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema. </li></ul>
  9. 9. Función de Transferencia <ul><li>Para el sistema: </li></ul><ul><li>donde y(t)=entrada y u(t)= salida n≥m </li></ul><ul><li>Aplicando Transformada de Laplace en ambos miembros queda: </li></ul>
  10. 10. Función de Transferencia <ul><li>A la potencia más alta del denominador de G(s) (ecuación característica) se le denomina orden del sistema. </li></ul><ul><li>A las raíces de la ecuación característica se les denominan polos del sistema, mientras que a las raíces del numerador se le llaman ceros del sistema. </li></ul>
  11. 11. Diagrama de polos y ceros <ul><li>El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema es una gráfica en el plano complejo s donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’ y los polos con un símbolo ‘x’ . </li></ul><ul><li>POLOS: p es un polo de un sistema si G(p)   </li></ul><ul><li>CEROS: c es un cero de un sistema si G(c)  0 </li></ul>“
  12. 12. Diagrama de polos y ceros
  13. 13. Diagrama de polos y ceros <ul><li>Representación en el plano complejo </li></ul>Re(s) =  j Imag(s) =  j  X X X X 1 4 -4 -2 -3 -5
  14. 14. Modelo Matemático <ul><li>En líneas generales, por modelo de un proceso se entiende una representación de los aspectos esenciales del mismo. Los modelos han probado su utilidad en diferentes aspectos del diseño, operación y desarrollo de procesos. </li></ul>
  15. 15. Modelo Matemático <ul><li>Representan el proceso en términos matemáticos (símbolos), en cuanto a sus propiedades, características, y relaciones internas y externas. Son extensivamente usados en una gran cantidad de campos. </li></ul><ul><li>Ventajas de los modelos matemáticos: </li></ul><ul><li>Lenguaje preciso, sin ambiguedades. </li></ul><ul><li>Facilidad de manipulación analítica e implementación </li></ul><ul><li>computacional </li></ul>
  16. 16. Diagramas de Bloque <ul><li>Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés. </li></ul><ul><li>Ventajas: </li></ul><ul><li>Representan en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema. </li></ul><ul><li>Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. </li></ul><ul><li>No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace). </li></ul>
  17. 17. Diagramas de Bloque <ul><li>Elementos de un diagrama de bloques </li></ul>Función de transferencia Variable de entrada Variable de salida
  18. 18. Diagramas de Bloque <ul><li>Bloque: </li></ul><ul><li> Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia. </li></ul><ul><li>Flecha: </li></ul><ul><li>Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la dirección del flujo de señales. </li></ul>
  19. 19. Diagramas de Bloque <ul><li>Forma general </li></ul>G(s) P(s) R(s) E(s) H(s) C(s) + B(s) Bifurcación. Sumador
  20. 20. Diagramas de Bloque <ul><li>R(s) Entrada de referencia: Es la señal de entrada al sistema de control. </li></ul><ul><li>C(s) Salida del sistema: Es la cantidad física que debe mantenerse en un valor predeterminado. </li></ul><ul><li>P(s) Perturbaciones: Son señales que afectan la salida del sistema. </li></ul>
  21. 21. Diagramas de Bloque <ul><li>E(s) Señal activa de error: Esta señal es la diferencia entre la señal de entrada de referencia y la salida del sistema, actúa sobre el bloque de control para mantener la salida de un valor deseado. </li></ul><ul><li>B(s) Señal de retroalimentación: Es la señal de salida despues que pasa por el elemento H(s). </li></ul>
  22. 22. Diagramas de Bloque <ul><li>Sumadores: Representan operaciones de adición o sustracción de las señales que intervienen. También se les llama comparadores. (La adición o sustracción depende del signo con que las señales entran) </li></ul>
  23. 23. Diagramas de Bloque <ul><li>Bifurcación: Un punto de toma es aquel a partir del cual la señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos de suma. </li></ul>
  24. 24. Diagramas de Bloque
  25. 25. Diagrama de bloques <ul><li>El diagrama de bloques se obtiene a partir de las ecuaciones dinámicas que describen el comportamiento de cada componente a las que previamente se las aplica la Transformada de Laplace, conectando finalmente los componentes del diagrama de bloques completo. </li></ul><ul><li>A partir del diagrama de bloques de un sistema se pueden realizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir el diagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente. </li></ul><ul><li>Reducción del diagrama de bloques original por aplicación de las reglas del algebra de bloques. </li></ul>
  26. 26. <ul><li>Funciones de transferencia </li></ul><ul><ul><li>De trayectoria directa. </li></ul></ul><ul><ul><li>De lazo abierto. </li></ul></ul><ul><ul><li>De lazo Cerrado. </li></ul></ul>Diagramas de bloques
  27. 27. <ul><li>Función de transferencia trayectoria directa </li></ul>Diagramas de bloques G(s) E(s) H(s) C(s) R(s) B(s)
  28. 28. <ul><li>Función de transferencia de lazo abierto </li></ul>G(s) E(s) H(s) + B(s) C(s) R(s) Diagramas de bloques
  29. 29. <ul><li>Función de transferencia de lazo cerrado </li></ul>Diagramas de bloques G(s) R(s) C(s) H(s) - +
  30. 30. Álgebra de bloques <ul><li>Representa las equivalencia que existen entre un conjunto de elementos de un diagrama de bloques agrupados en una forma específica. </li></ul>
  31. 31. <ul><li>Bloques en serie </li></ul>Álgebra de bloques
  32. 32. Álgebra de Bloques <ul><li>Bloques en paralelo </li></ul>G 1 (s) G 2 (s) R(s) C(s)
  33. 33. <ul><li>Adelantar punto de bifurcación </li></ul>Álgebra de Bloques
  34. 34. <ul><li>Atrasar un punto de bifurcación </li></ul>G 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) Álgebra de bloques
  35. 35. <ul><li>Adelantar un punto de suma </li></ul>G 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) Álgebra de bloques
  36. 36. <ul><li>Atrasar un punto de suma </li></ul>Álgebra de bloques G 1 (s) X 2 (s) X 1 (s)
  37. 37. <ul><li>Propiedad asociativa de la suma </li></ul>X 4 X 1 X 2 X 3 X 4 X 1 X 2 X 3 - - - Álgebra de bloques - + +
  38. 38. <ul><li>Retroalimentación </li></ul>G(s) H(s) C(s) + _ R(s) Álgebra de bloques R(s) C(s)
  39. 39. <ul><li>Tablas… </li></ul>Álgebra de bloques
  40. 40. <ul><li>Continuación… </li></ul>Álgebra de bloques
  41. 41. Simplificación de Diagramas de Bloques <ul><li>Se basa en el uso del “álgebra de bloques“ para agrupar y sustituir partes de un diagrama inicial por equivalentes reducidos. Realizando esto en forma sucesiva, se logra llevar el problema inicial a un sólo resultado o bloque, el cual representará la función de transferencia entre las señales involucradas. </li></ul>
  42. 42. <ul><li>Ejemplos </li></ul>C(s) 5 10 H R(S) C(S) 5 10 H R(S) 1/10 1/5 + + _ _ _ _ Simplificación de Diagramas de Bloques
  43. 43. <ul><li>Continuación… </li></ul>C(S) 5 10 H R(S) 1/10 1/5 C(S) 50 R(S) H/5 1/10 _ _ _ + + Simplificación de Diagramas de Bloques
  44. 44. <ul><li>Continuación… </li></ul>C(S) 50 R(S) (10H+5)/50 R(s) C(s) _ + Simplificación de Diagramas de Bloques
  45. 45. <ul><li>Ejemplo </li></ul>R(s) Ha Gc Gb Ga Hb C(s) R(s) Ha Gc Gb Ga Hb C(s) + + _ _ _ _ + + 1/Ga 1/Gc Simplificación de Diagramas de Bloques
  46. 46. <ul><li>Continuación.. </li></ul>R(s) Ha Gc Gb Ga Hb C(s) + _ _ + 1/Ga 1/Gc R(s) GaGbGc C(s) + _ (Ha/Ga)+(Hb/Gc) Simplificación de Diagramas de Bloques

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