Transformada de Laplace

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Transformada de Laplace

  1. 1. Instituto Universitario Politecnico Santiago Mariño Extensión Maturín Esc.Ing. Electrónica y Eléctrica TRANSFORMADA DE LAPLACE Maturín, 2011 Facilitadora: Ing. Mariángela Pollonais
  2. 2. Transformada de Laplace <ul><li>Definición. </li></ul><ul><li>Transformada de Laplace de funciones elementales. </li></ul><ul><li>Teoremas fundamentales. </li></ul><ul><li>Transformada inversa de Laplace. </li></ul><ul><li>Aplicaciones. </li></ul>
  3. 3. Transformada de Laplace <ul><li>La transformada de Laplace, L, es un operador lineal que cambia una función de un dominio a otro: </li></ul>T L Función en el dominio de t Función en el dominio de s
  4. 4. Transformada de Laplace <ul><li>¿Por qué estudiar a TL? El cambiar una ecuación diferencial al dominio de s simplifica el proceso de solución porque la ED en el dominio de s es una ecuación algebraica </li></ul>Ecuación diferencial (dominio de t) TL Ecuación diferencial (dominio de s ) Solución de la ecuación diferencial (dominio de t )
  5. 5. Transformada de Laplace. Definición <ul><li>Sea f(t) una función definida en el intervalo [0,  ). La Transformada de Laplace de f(t) es la función F(s) definida por la integral: </li></ul><ul><li>donde s es una variable compleja s= σ +j ω </li></ul><ul><li>Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge. </li></ul>
  6. 6. Transformada de Laplace. Definición <ul><li>Condiciones suficientes para la existencia de la Transformada de Laplace </li></ul><ul><li>Si una función f(t) es continua por partes en [0,  ) y de orden exponencial a, entonces su transformada de Laplace L{f(t)} existe para s > a </li></ul>Notación:
  7. 7. Transformada de Laplace de funciones elementales <ul><li>Transformada de Laplace de f(t) = 1: </li></ul>
  8. 8. Transformada de Laplace de funciones elementales <ul><li>Transformada de Laplace de f(t) = t: </li></ul>
  9. 9. Transformada de Laplace de funciones elementales <ul><li>Transformada de Laplace de f(t) = e -t : </li></ul>
  10. 10. Transformada de Laplace de funciones elementales <ul><li>Transformada de Laplace de f(t) = Ae at : </li></ul>
  11. 11. Transformada de Laplace de funciones elementales <ul><li>Transformada de Laplace de f(t) = sen(at): </li></ul>
  12. 12. Tabla de Transformada de Laplace   a s e s n t t s t at n n    1 ! s 1 1 1 1 1 2 
  13. 13. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales <ul><li>LINEALIDAD: Si c 1 es constante, f 1 (t) es una función cuya transformada de Laplace es F 1 (s) entonces: </li></ul><ul><li>SUMA Y RESTA. Sean F 1 (s) y F 2 (s) las transformadas de Laplace de las funciones f 1 (t) y f 2 (t), y c 1 y c 2 constantes respectivamente; entonces: </li></ul>
  14. 14. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales <ul><li>PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN. (Traslación compleja) </li></ul><ul><li>Si y a es cualquier número real, entonces: </li></ul><ul><li>Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento </li></ul>Ejemplo:
  15. 15. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales <ul><li>EJEMPLO 2: evalúe la siguiente transformada de Laplace. </li></ul><ul><li>SOLUCIÓN a) </li></ul><ul><li>SOLUCIÓN b) </li></ul>
  16. 16. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales <ul><li>SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN </li></ul><ul><li>Si y , entonces: </li></ul><ul><li>Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo teorema de desplazamiento </li></ul>
  17. 17. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales <ul><li>FORMA ALTERNATIVA DEL SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN. </li></ul><ul><li>Usando la definición de la transformada de Laplace y haciendo la sustitución u = t – a , se obtiene la fórmula siguiente: </li></ul><ul><li>EJEMPLO : Evalúe la siguiente transformada de Laplace. </li></ul><ul><li>SOLUCIÓN: </li></ul><ul><li>Con g(t) = cos t y a = , entonces </li></ul><ul><li>fórmula de adición de la función coseno. </li></ul>
  18. 18. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales <ul><li>TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN </li></ul><ul><li>La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por: </li></ul><ul><li>donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0. </li></ul>
  19. 19. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales <ul><li>La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por : </li></ul><ul><li>Generalizando </li></ul>
  20. 20. Transformada de una derivada. Teoremas fundamentales
  21. 21. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales <ul><li>TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN </li></ul>
  22. 22. Transformada de Laplace. Teoremas fundamentales <ul><li>TEOREMA DEL VALOR FINAL </li></ul><ul><li>Si existe, entonces: </li></ul><ul><li>TEOREMA DEL VALOR INICIAL </li></ul><ul><li>El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya Transformada de Laplace es F(s), es: </li></ul>
  23. 23. Transformada inversa de Laplace <ul><li>Sea la función f(t) tal que </li></ul><ul><li>Entonces la transformada inversa de Laplace, ,de F(s) se define como: </li></ul>.
  24. 24. Transformada inversa de Laplace <ul><li>Forma inversa del primer teorema de traslación </li></ul><ul><li>Pasos para obtener la inversa de F(s-a): </li></ul><ul><li>Identificar a F(s) </li></ul><ul><li>Calcular </li></ul><ul><li>Multiplicar a f(t) por e at </li></ul>
  25. 25. Transformada inversa de Laplace <ul><li>Forma inversa del segundo teorema de traslación </li></ul><ul><li>donde U(t - a) es la función escalón trasladada </li></ul>
  26. 26. Transformada inversa de Laplace
  27. 27. Transformada inversa de Laplace <ul><li>Raíces del denominador D(s) o polos de F(s): </li></ul>Caso I – Polos reales simples Caso II – Polos reales múltiples Caso III – Polos complejos conjugados Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples
  28. 28. Transformada inversa de Laplace <ul><li>Caso I – Polos reales simples </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>
  29. 29. Transformada inversa de Laplace <ul><li>y resolviendo queda </li></ul>
  30. 30. Transformada inversa de Laplace <ul><li>La transformada inversa de Laplace es: </li></ul>
  31. 31. Transformada inversa de Laplace <ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>Transformada inversa de Laplace </li></ul>
  32. 32. Transformada inversa de Laplace <ul><li>Caso II – Polos reales múltiples </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>Polos reales simples Polos reales múltiples
  33. 33. Transformada inversa de Laplace Transformada inversa de Laplace
  34. 34. Transformada inversa de Laplace <ul><li>Caso III – Polos complejos conjugados </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul>
  35. 35. Transformada inversa de Laplace <ul><li>Transformada inversa de Laplace </li></ul>
  36. 36. Transformada inversa de Laplace <ul><li>Caso IV – factores complejos conjugados múltiples </li></ul><ul><li>Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III, </li></ul><ul><li>teniendo en cuenta que se trabajas con complejos </li></ul>
  37. 37. Transformada de Laplace. Aplicaciones <ul><li>Ejemplo: Obtener la solución del problema de valores iniciales siguiente, mediante el método operacional de Laplace. </li></ul>
  38. 38. Transformada de Laplace. Aplicaciones
  39. 39. Transformada de Laplace. Aplicaciones
  40. 40. Transformada de Laplace. Aplicaciones <ul><li>Resolver </li></ul>

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