Ecuaciones diferenciales isabel carmona jover

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Ecuaciones diferenciales isabel carmona jover

  1. 1. QA 371996ISABEL CARMONA JOVERECUACIONES DIFERENCIALES111111111111111111111111111 111111111111111 11111 11111 1111 1111 0233007133
  2. 2. http://carlos2524.jimdo.com/
  3. 3. http://carlos2524.jimdo.com/ Q/ 3::; 1916" 02""3 :506 1- 35 ECUACIONES DIFERENCIALES QA 371996 ISABEL CARMONA JOVER ECUACIONES DIFERENCIALES 1111111l1li1 IlIiI 11111 11111 111111111111111 11111 11111 1111 IUI 0233007133
  4. 4. http://carlos2524.jimdo.com/
  5. 5. http://carlos2524.jimdo.com/ ECUACIONES DIFERENCIALES Isabel Carmona Jover Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey PEARSON Educación ® México • Argentina • Brasil· Colombia • Costa Rica • Chile • EcuadorEspaña· Guatemala· Panamá· Perú· Puerto Rico • Uruguay· Venezuela
  6. 6. http://carlos2524.jimdo.com/CUARTA EDICiÓN, 1992Primera reimpresión, 1994Segunda reimpresión , 1996Tercera reimpresión, 1997Cuarta reimpresión , 1998© Longman de México Editores, SA de C.V.D.R. © 1998 por Addison Wesley Longman de Mélico, S.A. de C.v. Atlacomulco Núm . 500-5° Piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de MéxicoCNIEM 1031Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicaciónpueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema derecuperación de información, ninguna forma o por nungún medio, seaelectrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia,grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de esteejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.ISBN 968-444-150-9Impreso en México. Printed in Mexico.
  7. 7. http://carlos2524.jimdo.com/ Para mis padres ISABEL y JESÚS
  8. 8. http://carlos2524.jimdo.com/
  9. 9. http://carlos2524.jimdo.com/"Cuando cojo este libro,súbitamente se me pone limpioel corazón, lo mismoque un pomo cristalino.-Me da luz en mi espíritu,luz pasada por mirtos vespertinos,sin ver yo sol alguno ... - ¡Qué rico me lo siento! Como un niñoque no ha gastado nada de su vivotesoro, y aún lo espera todo de sus lirios-la muerte es siempre para los vecinos-todo lo que es sol: gloria,aurora, amor, domingo." Juan Ramón Jiménez Así te lo deseo, lector amIgo.
  10. 10. http://carlos2524.jimdo.com/
  11. 11. " http://carlos2524.jimdo.com/ Prólogo El mundo es, en todas sus partes, una arit- mética viviente en su desarrollo, y una geo- metría realizada en su reposo. Platón: Timeo. Desde tiempo inmemorial, la matemática ha ejercido una fascinación especialsobre la mente humana. Casi todo ser que se enfrenta a ella, toma partido afavor o en contra; a favor, por lo sugerente de su eficacia y la hermosura de su constitución; en contra, por sentirse, quizá, ante una tarea superior a las pro- pias fuerzas. Voy a decir algo a aquellas personas que piensan .que la matemática no es para ellas: el cerebro del hombre trabaja exactamente como una estructura matemática, pues obtiene conclusiones acerca de hechos o suposiciones lógicas, compara, infiere, calcula, acopia datos, proyecta, mide, la mayor parte de las veces usando las leyes lógicas, algebraicas, topológicas y otras que constituyen la base de esta formidable ciencia. La matemática posee a su vez tal armonía, tal proporción, exactitud y belleza que se identifica con la "música de las esfe- ras", citando libremente a Piíágoras. El libro que está en sus manos en este momento pretende presentarle una introducción, a nivel elemental y básico, de una parte de la matemática suma- mente útil y ap li cable a casi todas las ramas del saber: las ecuaciones diferen- ciales. El texto contiene la exposición y desarrollo de las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, enfatizando las aplicaciones de las primeras. También se estudian ecuaciones de orden superior a dos y se desarrollan los métodos de series y transformadas de Laplace. El libro contiene problemas resueltos y ejercicios para que el estudiante ponga a• prueba su aptitud, y cuando resuelva los de opción múltiple podrá aquilatar la precisión del resultado evitando caer en errores bastante comunes. Cada capítulo contiene un resumen y un examen de auto evaluación, este último con un nivel de conocimiento medio, suficiente para detectar una clara comprensión del texto. Se ha procurado rodear a cada capítulo de un ambiente humanís!ico, me- diante biografías, comentarios, curiosidades y pasatiempos. El requisito para leer este libro es conocer el cálculo diferencial e integ!:ll. [9]
  12. 12. http://carlos2524.jimdo.com/10 PRóLOGO Este libro nació, creció y salió a la luz gracias a la colaboración de mismaestros, colegas y alumnos, de mis amigos y de mi familia, cada uno de ellosaportó lo que a su área competía. Especialmente agradezco al Lic. Juan ManuelSilva Ochoa, maestro, colega y amigo, su apoyo en todo momento y al Lic.Christian Garrigoux Michel su participación en la redacción de las biografías. Espero del amable lector todas las sugerencias que mejoren esta obra quedeseo disfrute y le sea útil en su formación profesional y en su trabajo.
  13. 13. http://carlos2524.jimdo.com/ PRóLOGOón de misno de ellosan Manuel y al Lic. Estructura lógica de los capítulos biografías. obra que jo. 1 Ecuaciones diferenciales en general . •.. 2 3 Ecuaciones diferenciales Aplicaciones de las de primer orden H ecuaciones diferenciales de primer orden ... r 4 5 Ecuaciones lineales Aplicaciones de las de segundo orden ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden ... r 6 7 Solución mediante Transformadas de series de potencias Laplace r 8 9 Series de Fourier Métodos numéricos [11]
  14. 14. http://carlos2524.jimdo.com/
  15. 15. http://carlos2524.jimdo.com/Gottfried Wilhelm, Barón von Leibniz (1646-1716) [13]
  16. 16. http://carlos2524.jimdo.com/Gottfried-Wilhelm, Barón von Leibniz "Este sabio geómetra empezó donde los de- más habían acabado. Su cálculo lo llevó a países hasta entonces desconocidos donde hizo descubrimientos que son una sorpresa para los matemáticos más hábiles de Eu- ropa" . G. de LHópitalGottfried-Whilhelm Leibniz nació el 21 de junio de 1646 en Leipzig, en laactual AIemania del Este, donde su padre fue profesor en la universidad. En1663 obtuvo su bachillerato y luego su maestría en filosofía y jurisprudenciaen 1664. A los 20 años fue doctor en leyes, después de superar algunas difi-cultades administrativas debidas a su edad. Empezó entonces a trabajar como diplomático, lo que le permitió trabajaren Europa e indirectamente lo llevó a la creación del cálculo. En efecto,durante una estancia en París conoció al gran científico holandés Huygensquien lo inició seriamente en el conocimiento de las matemáticas . . En 1676, después de varios años de ·e studio autodidáctico, inventó un nuevométodo matemático que publicó en 1684 bajo el título: Un m étodo nuevo paramáximos, mínimos y tangentes. Esta publicación desató la más famosa contro~versia en cuanto a la prioridad de la Grea-Gión de una obra oientífíca, puestoque Newton, si bien no lo había manifestado públicamente, era ya poseedor delcálculo. Hoy en día, se considera que Newton se adelantó a Leibniz, peroque éste último inventó independientemente el cálculo y usó un simbolismomás apropiado, de hecho vigente hasta la fecha. A la clásica comparación entre ellos, a favor de la mente más rigurosa yprofunda de Newton, cabe agregar la universalidad del genio de Leibniz quienfue, además, uno de los mayores filósofos de su siglo, así como un pionero enel estudio sistemático de las leng>ua~. A pesar de que no logró satisfacer su deseo de crear una lógica simbólicase adelantó a su época más de un siglo y con su muerte, acaecida en 1716,desapareció probablemente el último de los sabios con conocimientos univer-sales. [14]
  17. 17. http://carlos2524.jimdo.com/ , Indice PáginaPrólogo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o9Estructura lógica de los capítulos o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 11 oLeibniz o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 13 oSimbología o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 20 o ¿ Qué son las ecuaciones diferenciales?¿Cómo resolver una ecuación diferencial? o o o o o o o • o o o o o o o o o o • o o o o o o o o 21Definiciones básicas o o • o o • o o o o o •• o • o o • o • o o o o o o o • o o •••••••••••• o • o • o • 23Clasificación dp. las ecuaciones diferenciales o •• o • o • o • o • o o o o •• • o •••• o 23Solución de una ecuación diferencial ... ..... o ••••• o • • ••••••••••• • ••• 25SoluCión general, solución particular .... . ..... o o •• •••• o o •• ••• •••• o • •• 25Solución singular o •••• • o o •••• o o • ••• o o • • o • •• • o ••• o o .. ... .. .. . . o ... . ... . 29Interpretación geométrica . . .. . .. . o ••• ••• o ••• o o ••• o o o • o o o o • o o • o •• o o •• 35Campo direccional . . o •••••• • o • o •••••• • •••••••• o • •••• o • • o • o o o ••• o •• o • 36Isoclinas ." o o ••• o •• o •• •• • o • • o • •• o • o • o • o • • •• • •• ••••• o • ••••••• ••• •• o o 37Ortogonalidad .... . o • • o o • • o • ••••• • • ••••• o • o •• • o o o o • •• o ••••• • •• o •••• 43Trayectorias ortogonales " o •• o o o • • • • o o • o • ••••• • o • o o • o o ••• •• •• • o o •••• 45Existencia y unicidad de las soluciones o • • •• o o • o • o •• •• • • o o •• o o • o •• o o o 49Resumen o •• o o ••• o •• • o o" o •••• •••• ••• o • •• o • •• • o o o • ••• o •••• o •• • o . o. 53Autoevaluación 1 .. o • o • •• • o ••• • o o o ••• o • • •• o o • o • • o •• o ••• o •••• o o o •• o •• 54Riemann 59Comentarios 612 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer ordenVariables separables o •• o o o • •• o o • o ••••• o ••• •• o • o • • • o • o • • o ••• o •••••••• 67Homogéneas . . , o o o • • • • o •• o o •• o o • • o o ••••• o o ••• o • ••••••••••• o • • ••• o •• 75Exactas .. o o o • o o • • o • o ••• o ••• o o ••• o o o ••• • o •••• o • o ••• o o • o • o o • •• •• • o • 82Factores integrantes .. o • o ••• o •• o ••• o • o • • o o o • • • o • • ••• o • o o • • ••• o ••• • o • 94Lineales o o • o • o •• o o o • o • o o o o o ••• o o o o •• o o o o o • • o o • o o • o •• ••• o • o o o • o •• o •• 103Resumen o. o o ••• o o •••• o. o o o o •• o ••••• o •• •• o o o o •• o . o " o • • • o o o o o o . o 116Autoevaluación 2 " o o • o • o •• o • o o o o o • • ••• • o o o • o • • •• o • •• • o o o • o o o o o o o o o o 118Cauchy . o o. o o . o o. o o o o o o o o • •• o •• o o o . o o o o . o. o . o o o o" o o o o o o " o o. o 124Comentarios lZú3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenGeometría . .. ... o o ••• o • • o • •• •• • • • •• ••• o ••• o ••• o •••• • •• o •• o • • o ••••• , 129Ecuación de Bernoulli o • • o ••• o • o • o o o • • o o • o • o o •••• • o • o • o o • • • • • • • • • • • • 150 [15]
  18. 18. http://carlos2524.jimdo.com/16 íNDICE PáginaEcuación de Lagrange . . .. . .. .. .. .. .. ........ . . . ......... . . . ... . . . . 152Ecuación de Clairaut . . . . .. ... . ................. . .. .. ... . ... . . . . . . . 156Química ... . .. . ... .. ..... . . ....... . . . ..... . ... . ... . . .. . .. . .... . .... 159Biología . . . .. . ... . ... . . .. . . . . . ..... . . . . . .... .. ... .. .... .. .. .. .. . ... 166Física . . ......... .. ....... . .. . .. . . .. . ... . .. . . .......... . ...... . .... 171Otras aplicaciones . . . .... . .. . . . ....... . . . .. . . ... . . .. . .... . ... . . . . ... 182Familia Bernoulli .. . .. . . . ......... .. .... . ...... . .. . .. ... . . . ..... . . . . 185Comentarios . . ..... . .. . . ... . .. . . . . ... . ........ . ... . . . ...... . .... . .. 1874 Ecuaciones diferenciales de orden superiorEcuaciones reducibles a primer orden .. ... . .. . .... . ........... .. ... . 196Ecuaciones lineales .. . ............. .. . ... .. . . . , .... . ... ... ... .. . . .. . 202Principio de superposición o linealidad . .. , . . . . . .. . . .. ... . ...... . . .. . 205Dependencia e independencia lineal . .... . .. . .. . . .... , . ........ . ... . . 206Wronskiano .. . .............. , .... . ........................... . . . .. . 208Ecuaciones lineales homogéneas . ..... ... .. .... , .... ... ... . .. . .. .... . 218 Ecuaciones con coeficientes constantes ... ..... ... ... . . . . . . . . ...... . 219 Ecuación de Cauchy-Euler . .. ... , ..... . .. . .... . . .. . .. . . .. .. . . . .. . 222 Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes . .. ..... . 234Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden . ..... ..... ..... . 241 Método de coeficientes indeterminados ... ....... ... . . . . . .. . .. . . . . . 242 Método de variación de parámetros ... . .. .. .. .. ... . .. . .. .. .. . . . . . . 255Resumen ... . ... . ... . .. . .. .. . , . . . .. ... . .... . .. , ............ . . . . ... , 267Autoevaluación 4 ....... .. ..... . .. ... . .. . . .. ... ......... .... ....... . 270Euler 277Comentarios 2795 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo order¡Geométrica:. . . . . . .. . . . .... .. . .. . . . . ..... , . ..... . . .. .. . ...... , .. ... . 283Osciladores .. . ............. . . , . . .......... . .. , .. . ...... . , ... . . . .. . 287Caída libre y leyes del movimiento . .. , .. . ... . ... . .. . . . .. .. .. .. . .. . . 293Circuitos eléctricos ..... . ...... . : . .. . ........... , . . .... ... . . .. .. .... . 298Flexión de vigas .............. . . . . . .. . .. .... . ....... . ... ... . , ..... . 302Otras aplicaciones , . . . ....... . ...... , .... . . .. . . .. ...... .. .. . ... . . . . . 31?Gauss . . . ..... . ...... . ..... .. . ... , ... .. . . . ... . ... . .. . ... . .... . . . . . , 316Comentarios 3186 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante seriesPruebas de convergencia de series . ... .. . ..... . .... . ... .... . . . . .... . 322Series de potendas ... . .... .. . . . .......... . . . .. , . .. . . ... .. .. . 32b
  19. 19. http://carlos2524.jimdo.com/ÍNDICE 17 PáginaDesarrollo de una función en series .. . . . . ................. . ......... 339Función analítica en un punto . . ............. . .......... . .. . . . ... . ... 346Operaciones con series de potencias .. . . . .. . ... . . . . . .. . . .. .. ....... .. . 347Puntos notables .. . ....... . ... . ... . .... .. ... . . .... ......... ...... . . .. 352 Punto ordinario ..... ... . .. . . ...... ..... . ............ . . ....... .. . 352 Punto singular ................. . . . .... . ... . .......... . ... . . ... . . 353 Punto singular regular ............ ...... ....... . ....... . ......... 354Solución de ecuac ion es diferenciales alred edor de puntos ordin arios, me- diante series de potencias . ........ .. . .. . . . ........ ....... ... . . . . .. 3.::;8 ·Solución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares .. . . 372Ecuación de Bessel .. ........... . .. . ... ....... .... . . .... . ...... . .. . . 401 Ecuaciones reducibles a la ecuación de Bessel .. . ..... . .... . .. .. .. 401 Función Gamma . .. ... .. . . ... . ..... . . .. ........... . .. . ... . .... . . 402Resumen ... ... ... . . ...... .. ..... . . . .. . ..... .. . . ... .. ... . .... . .. .. . 412Autoevaluación 6 . .. ... . ..... . ........... . ... . . . . .... . ... . .. . . .. . . .. 417Bessel ... ..... .. . .. .. .. . . . . ... ......... . .. .. . ....... . .. . ........... 423Comentarios 425 7 Transformadas de LaplaceDefinición . . . ... .. .... . .... .. . . ............ . . . . . . . . .. .. . . .... . .. . .. 430Transformada inversa de Laplace . .. .. .. ... . . .. . ....... . ... . .... .... . 436Traslación sobre el eje s ... . .. .. .. ... . .. ..... .. . . ..... . .. . . .. ...... . 437Existencia de la transformada . . . .... ..... . ..... .. .. .. . .. . .. . . .. .. ... 442Propiedades de la transformada de Laplace ... .. . .. ... . ... ...... ... .. 451Resolución de ecuaciones mediante transformadas ...... ... .. . ......... 463 Factores lineales no repetidos ... .. ... . . .. . . .. . . . .. . .. . .. . ....... . 463 Factores con:plejos no repetidos . ...... . ........ . . . ... .. ... . ... .. 467 Factores lineales repetidos .. . ... . .. .. .... . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . .... 470 Factores complejos repetidos .. .... . . .... .... ... . . . ..... . .. . .... .. 474Derivación de las transformadas ... . ..... .. . ... . . . .. . . . .. . ...... . .. . . 477Integración de las transformadas .. . .. ... .. . ... .. .... . .... . . ...... ... 479Función escalón unitario . .. ... . .. .. . ...... . .. . . . ... . ..... . . . .. . ..... 491Traslación sobre el eje t .. . . . .. ... .. ... ... .. ...... . ... ... . . ...... . .. 496Funciones periódicas .. . .. ... . .. . ..... . . .. . . . . ......... . . . . .. .... . .. 514Convolución . ............. . . . .. . .. . . . . .. . . ... . . . ..... .. . ... .. . . .. .. 518Aplicaciones de la transformada de Laplace ... . .. . . .... . . .... .. . . .. .. 527Resumen . . .. . ...... . . .. ... ... . ..... . ..... . . . .. .. . .. . . .. . . ....... . . 531Autoevaluación 7 ... .. ..... . . . .. . ..... . . . . . . . . . ... . . .. . .. .... . .. . .. . 536Laplace .. . .. ....... . .. . . . ..... . . ..... . .. . . . .............. . . . . . . ... 541Comentarios . .. . . .. . . .... ... .. . . ....... ... . .... . . ..... .. . .. .. . . ... .. 543
  20. 20. http://carlos2524.jimdo.com/18 íNDICE Página8 Series de F ourierSeries trigonométricas y funciones periódicas ... . .................. . .. 548Fórmulas de Euler ...... . ........... . ... .. ... ,... . . . .. . .. . ...... . .. 560Convergencia . .. . .......... . . .. ............. ,.. ..................... 572Funciones pares e impares . . ...... : .............. . ..... . . . .. . . ~ ... " 587Series de Fourier para las funciones pares e impares ..... . ............ 594Funciones de periodo arbitrario ................ . ... . .... . ........... 605Desarrollo de funciones no periódicas en series de Fourier . . .......... 615Resumen . ..... .. ............. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 625Autoevaluación 8 .. . ...... . ..... . .... . .... . ...... . ......... . ..... . .. 627F ourier .. . .............. .. ..... . .............. . .................... 633Comentarios ........................ . ............ .. ................ 6359 Métodos numéricos para resolver Ecuaciones diferenciales Método de Euler .. .... .. ... . . . ....... . ... .. . ... .. . .. . . . ......... 639 Método de Euler mejorado ................ . . . .. .. ............. .. .642 Método de TayJor .. ..................... .. ... . .. ... ....... . ..... . 643 Método de Runge-Kutta ... . .. . ..... . ..... . ... . . . .............. . . 645Resumen ... .. ........ . . . ..... . . . ....... .. ........... . . .. ....... . . . 650Autoevaluación 9 .... .. .. . .... .. .... . ... . ......... ... ....... . .. . . . . 651Abel ...... . .................. .. ...... . ........... ~ ........... ..... 653Comentarios .. . .. . ........................... . .................. . ..655Bibliografía ... . .................................................... 659Indice anaIitico ......................................... . ........... 6,61Soluciones de los crucigramas ................ . ................... . ... 663
  21. 21. http://carlos2524.jimdo.com/ Simbología R Conjunto de números reales. C Conjunto de números complejos. E Elemento de .(a, b) Intervalo abierto (no contiene a los extremos del mismo).[a, b] Intervalo cerrado.(a, b] Intervalo semiabierto por la izquierda.[a, b) Intervalo semiabierto por la derecha. o "Quedó demostrado" . .~ Es el símbolo de implicación usado en el texto, las más de las veces, como entonces. Doble implicación, se lee "si y sólo si". Equivalencia o idénticamente igual. Semejante o aproximadamente igual. Por lo tanto, en conclusión. fx Significa derivada parcial de la función f(x) con respecto a x. [19]
  22. 22. http://carlos2524.jimdo.com/
  23. 23. http://carlos2524.jimdo.com/ 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales?Lo que precede, en Morse, es la frase que tarde o temprano decimos y la quetodos queremos oír. Es un lenguaje. Para representar la realidad en movimiento usamos también una clave espe-cial, una simbología sintética que nos informa acerca de una velocidad, de undescenso de temperatura, de un aumento de población, de un monto de inte-reses, hasta del menor cambio, en cualquier aspecto, de nuestro planeta. Lasrealidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en común que son variacionesa través del tiempo, esa dimensión inmutable (en el sentido de una cuartadimensión) en la cual se mueven la materia y la conciencia. Así pues, en matemáticas usamos el lenguaje de las ecuaciones diferencialespara los hechos y los datos cambiantes.¿Cómo resolver una ecuación diferencial?Hay dos maneras de aprender a patinar sobre ruelo. Primera: En una libreríase compra uno los siguientes manuales: Cómo dominar el patinaje en 15 leccio-nes, Patinar y rascar, todo es empezar, Historia del patinaje sobre hielo en el [21 ]
  24. 24. http://carlos2524.jimdo.com/22 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?Paleolítico y sus repercusiones en el mundo moderno, Agarre su patín, El patín,su constitucián, ,desarrollo y reforzamiento, con bibliografía e ilustraciones atodo coloT; se va uno a su casa, se instala en su lugar favorito y se sumergeen la lectura, sin olvidar tomar apuntes, hacer análisis comparativos y aplicar elcálculo de probabilidades hasta agotar todos los aspectos del tema. Llegará unmomento en el que ya está uno totalmente capacitado para estrenar los patines- regalo de la abuelita-, momento, repito, en el que quizá ya sufrió uno suprimer reuma. Segunda: Se toma el par de patines y amparándose en el instin-to de conservación se lanza uno a la pista helada con los consiguientes riesgosy posibles huesos ro,l:os. Así se aprenden muchas cosas : haciéndolas. Para resolver una ecuación diferencial lo mejor es arriesgarse : intentemosintegrarla, y si eso no resulta un procedimiento inmediato, apliquemos cambiosde variable o transformaciones que lleven a integrales más o menos familiares.Si tenemosla llamamos ecuación diferencial de segundo orden. Integrando: dy x! -- = - + Cl dx 2Si volvemos a integrar :obtenemos un1 función-solución que podemos comprobar al instante :derivando:derivando de nuevo con respecto a x:el resultado nos convence de la exactitud del método empleado . Así, en estecapítulo se exponen las nociones generales acerca de las ecuaciones diferen-ciales y el método geométrico para obtener soluciones.
  25. 25. http://carlos2524.jimdo.com/¿CóMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? 23Definiciones básicas Definición 1.1. Una ecuación ,diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales. Definición 1.2. Orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más alta contenida en ella. Definición 1.3. Grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferen- cial esté dada en forma polinomial. CLASIFICACIóN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La ecuación diferencial contiene de- rivadas de una o más variables depen- Ordinarias dientes con respecto a una sola va- riable independiente. Tipo La ecuación diferencial contiene de- rivadas parciales de una o más varia- Parciales bles dependieiites con respecto a dos o más variables independientes. Primer orden F(x, y, y) = O Segundo orden F(x, y, y, y") = O Orden Tercer orden F(x, y, y, y", y") =O Orden n F(x, y, y, ... , yen)) = O a) La variable dependiÉmte y y todas sus derivadas son de 1er. grado. b) Cada coeficiente de y y sus deri- J neales vadas depende solamente de la va- . riable independiente x (puede ser Grado constante) . Las ~ue no cumplen las propiedades No lineales { antenores.
  26. 26. http://carlos2524.jimdo.com/24 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? ¿CóMO REjemplo de ecuaciones diferenciales: 3. x3yy" A. Tipo Orden Grado Lineal dy = 2e-x Ordinaria 1 1 Sí B. dx C. oy ox 0Y. ,-- = -- + kx - -- Parcial 1 1 SI O. ot ot Os 4.x2y" + xy + y =O Ordinaria 2 1 Sí A.uv" + ry =x Ordinaria 2 1 No (porque el coef. de y" no depende B. Parcia de x exclusiva- lineal. mente) oy 02y C. Ordin-- + --OS2=: C ot Parcial 2 1 Sí lineal. 2 dy dyx2 -- dr + x-- + (r-v )y dx 2 =O Ordinaria 2 1 Sí --- Definici no conti 04V (02m) 2 tuir la-4- = kv -2- Parcial 4 1 No ot on identida --(yVl- y" + y" - y2 = O Ordinaria 5 3 No -- Definiciy +y = x/y Ordinaria lINo que con integraesen y +y =O Ordinaria 1? No -- -- DefiniciEjercicios 1.1 eión eu ---Escoger la opción que da la clasificación correcta de las siguientes ecuaciones ---diferenciales: EJEMP 05X 02y La fune1. y" + xyy = sen x 2. e __ + -- 2 = cte.A. Ordinaria, orden 2, grado 1, lineal. ot5 orB. Parcial, orden 2, grado 1, lineal. A. Ordinaria, orden 2, grado 2, lineal.C. Ordinaria, orden 2, grado 1, no B. Parcial, orden 5, grado 1, lineal. lineal. C. Parcial, orden 2, grado 2, no PorqueD. Ordinaria, orden 3, grado - 1, no lineal. lineal. en otra D. Parcial, orden 2, grado 1, lineal.
  27. 27. http://carlos2524.jimdo.com/ NCIALES? ¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? 25 3. ryy" _ x2yy" + y =O D. Parcial, orden 3, grado 1, lineal. É. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal. A. Ordinaria, orden 2, grado 1, noineal lineal.Sí B. P.arcial, orden 2, grado - 1, no lineal. C. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal. A. Ordinaria, orden 2, grado 2, noSí D. Parcial, orden 1, grado 1, lineal. lineal. B. Parcial, orden 1, grado 2, lineal.Sí 4. y" + 2x3y - (x - 1)y = xy3/2 C. Ordinaria, orden 1, grado 2, lineal. A. Ordinaria, orden 2, grado 1, no D. Parcial, orden 2, grado 1, noNo lineal. lineal. el coef. 3 B. Parcial, orden 2, grado noo depende 2 exclusiva- lineal.ente) C. Ordinaria, 3 orden 3, grado -, noSí 2 Respuestas. 1. C; 2. B; 3. C; 4. A; lineal. 5. D.Sí Definición 1.4. Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al susti- tuir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta unaNo identidad. No Definición 1.5. Solución general de una ecuación diferencial es la función No que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones) .No Definición 1.6. Solución particular de una ecuación diferencial es la fun- ción cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico. cuaciones EJEMPLO 1 La función x + y2 = C es la solución general de la ecuación diferencial: dy 1 ----o 2, lineal. dx 2y 1, lineal. dy Porque derivándola implícitamente tenemos: 1 + 2y -- = O, o expresadodo 2, no nx en otra forma: 2yy =-1 1, lineal.
  28. 28. http://carlos2524.jimdo.com/26 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Sustituyendo y y y obtenemos una identidad: 2.yc=x(- 1 J=-1 :.-1=-1; 2-/c-x} donde y = -vc=x. EJEMPLO 2 La función y = e-X + 8 es solución particular de la ecuación diferencial y + e-X = O, porque derivando la solución y sustituyéndola en la ecua- ción dada, obtenemos: y = _ e-X _ e- x + e-X = O :. O = O EJEMPLO 3 La función y = 3:x! + C¡X + C2 es solución general de la ecuación diferen- cial y" = 6, porque: y = 6x + C¡ y y" = 6 :.6 = 6 EJEMPLO 4 La función t = 2xy2 + 3:x!y + g(y) + f(x.) es la solución general de la ecuación diferencial parcial: (it - -=4y +6x oy ox . Porque: ~ = 2y2 + 6xy + f(x) ox 02t y -~-- ay ox = 4y + 6x; sustituyendo: 4y + 6x = 4y + 6x. EJEMPLO 5 La función y = c¡e- x + C2eX + C3e-2X + C4e2X es solución general de la ecuación diferencial: y/V _ 5y" + 4y = O
  29. 29. http://carlos2524.jimdo.com/¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? 27 Porque: y = - cle - X + C2eX - 2c3e-2X + 2c4 e 2X y" = + cle - x + C2eX + 4c3e-2X + 4c e2X 4 Sustituyendo: -------------- y/v - 5cle-X - 5C2 ex - 20c3e- 2X - 20c4e 2X ---- -.............. - 5y" - + -~---- .. 4c le- x + 4c2ex -----~----- + 4y .._-- + 4c3e- 2X + 4c e2 x = 4 O :. O =O EJEMPLO 6 La función y = e X cos 2x + sen 2x) es solución particular de la ecuación (3 diferencial: y" - 2y + 5y = O, porque: y = e X - 6 sen 2x + 2 cas 2x) + e X cas 2x + sen 2x) ( (3 y" = e X _ 12 cas 2x - 4 sen 2x) + e:r(_ 6 sen 2x + 2 cas 2x) ( + e X 6 sen 2x (_ +2 cos 2x) + e X cas 2x (3 + sen 2x); Sustituyendo: eX _ 12 cas 2x - ( 4 sen 2x) + 2e X 6 sen 2x + 2 cos 2x) (_ + e (3 cas 2x + X X sen 2x) + e (12 sen 2x - 4 cas 2x) + e X 6 oas 2x - 2 sen 2x) (_ + e (15 cas X 2x +5 sen 2x) = eX[- 12 cas 2x - 4 sen 2x - 12 sen 2x + 4 cas 2x + 3 cas 2x + sen 2x + 12 sen 2x - 4 cas 2x - 6 cas 2x _ 2 sen 2x + 5 sen 2x + 15 cos 2x] = eX(O) = O. :.0=0.
  30. 30. http://carlos2524.jimdo.com/28 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?Ejercicios 1.2Averiguar si las siguientes funciones son solución de la correspondiente ecua-ción diferencial. l. Y = Ge X de y - y =O 1 2. Y = 2e - 2x + - eX de y ~- 2y = pX 3 3. Y = B In x + G de y = / 64x V x3 4. y = G,e - x + G2e2X de y" - y - 2!J =O y = Be + xe + Y =O X X 5. de y" - 2y 6. sen x de xy +y= Gas x Y - -- - 3x 1 7. y - - - = O de y - y tan x = O Gas x 3 8. y = - de y = 3y2 3x +2 9. y = 1 + G .j 1 - X2 de (1 - X2)y + xy =x10. y = 2x VT=7 de yy = 4x - RX311. y = e-X Gas -1 x 2 de 4y" + By + 5y = O 112. y = e-X Gas -X 2 de y " +y = e-x Gas -1 2 x13. x = Gas t} dey y O y =e t + ~= 1 - X2 x14. y= - - Gas x de xy - y =r tan x seG x15. x = G t } as de yy + 4x = O y=.2 sen t _116. y =e sen 2x de xy - y tan in y = O
  31. 31. http://carlos2524.jimdo.com/¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIóN DIFERENCIAL! 29Respuestas: Sí son solución, excepto las de los ejercicios 6, 8 Y 12.NOTA. Usando este triángulo: ~~SiX cos t sen t xy la regla de la cadena, se pueden verificar algunas soluciones anteriores. Definición 1.7. Solución singular de una ecuaClOn diferencial es una fun- ción cuya tangente a su gráfica en cualquier punto (X¡¡, Yo) coincide con la tangente de otra solución, pero ya no coincide con esta última tangente en ninguna vecindad del punto (xo, Yo), por pequeña que ésta sea. Estas soluciones no se obtienen a partir de la solución general. Un métodopara encontrar dichas soluciones es derivar la ecuación diferencial dada conrespecto a y, con lo cual formamos un sistema de ecuaciones: F(x, y, y) = ° oF(x, y, y) - - - - - = 0, oydel cual, eliminando y, se obtienen una o más soluciones singulares. EJEMPLO Hallar las soluciones singulares, si las hay, de la ecuación diferencial: y2 = 16x2 Derivando con respecto a y, tenemos: :?y =° De donde y = O; sustituyendo en la ecuación, obtenemos x = 0, qu e es l a solución singular. En efecto, las soluciones generales de dicha ecuación son: y = 2 X2 + c, Y =- 2x2 "+ c, y para el punto (0,0) su gráfica es y = ± 2 X2
  32. 32. http://carlos2524.jimdo.com/30 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? y ------~E---------- ..... x Figura 1.1 YX =° es el punto de contacto con las pendientes de y I = + 2r en el punto (0,0). Definición 1.8. Problema con valor inicial es la ecuación diferencial acom- pañada de condiciones iniciales. EJEMPLO 1 Resolver la ecuación diferencial: y -4xy = ° 1 Para la condición inicial: Y = - cuando x = 0, o bien, brevemente: 5 1 y(O) = - 5 La ecuación puede escribirse como: dy dy = 4xy dx o -- y = 4x dx, integrando ambos lados de la igualdad, tenemos: -In y = 2X2 +c 2 Y = ce2x .
  33. 33. http://carlos2524.jimdo.com/¿C6MO RESOLVER UNA ECUACI6N DIFERENCIAL? 31 1 1 1 Sustituyendo los valores del punto (O, - ), tenemos que: - 5 5 5 cel ~ C = = -. Entonces la solución particular es: 1 2 y =_ e2X • 5 EJEMPLO 2 Resolver la siguiente ecuación diferencial: y" = x, para y(-2) =4 y(O) = 1 Integrando ambos lados de la ecuación tenemos: , r y =- + Cl 2 Volviendo a integrar: 3 X Y= - + C1X + C2 es solución general. 6 Aplicando las condiciones iniciales dadas: para y 1 = O+ Cl ~ C l = 1 para y -8 4 = -- - 2Cl + C2 6 -4 4 = 3 - 2(1) + C2 22 C2 = - - 3 3 22 . . y = 6 + x + 3 es X solución particular. Comprobación : derivando la solución particular y sustituyéndola en la ecuación, debe satisfacerla: y = r +1 2 y" = x.
  34. 34. http://carlos2524.jimdo.com/32 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?OBSERVACIóN. Se necesita igual número de condiciones iniciales que el delorden de la ecuación diferencial. EJEMPLO 3 Dada la siguiente función: como solución (la forma de obtenerla se estudiará más adelante) de la ecuación diferencial: y" - 4y" + y -i- 6y = O Encontraremos la solución particular para las siguientes condiciones ini- ciales: y(O) =4, y(O) = -1 , y"(O)=O y"(O) = 4c l + C2 + 9C3 .~ 4c l + C2 + 9C3 = O Resolviendo el sistema de ecuaciones: Cl + C2 + C3 = 4 Obtenemos: Cl = 10/ 3, C2 = 29/ 12, C3 = -7/ 4 . ••y = 10 e 2x + 29 e - x - _ _ - 7 e 3x .,. . . es la soluclOn particular para las condIcIones 3 12 4 dadas.
  35. 35. http://carlos2524.jimdo.com/FERENCIALES? ¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? 33les que e¡ del Ejercicios 1.3 Dada la ecuación diferencial, su solución y las condiciones iniciales, determinar el valor de las constantes arbitrarias. Respuestas: 1. yy + 6x = O y(O) =4 e = 16 2. y2y - 4x = O 1 3 y(-) = O e=-- 2 2ante) de la 3. y = 1 + y2 y = tan(x + e) tan x +e 1t y(-) =1 e=O 1- e tan x 4 4. y = 1 _ y2 tanh-ly =x + e y(O) =O e=Odiciones ini- Donde - 1 <y <1 1 3 5. yy = e 2X + 1 y2 =e 2x + 2x + e y(O) =- 2 e=-- 4 6. 2y" + y - y =O { y(O) =O el=- 2 3 2 y(O) =1 e2=-- 3 7. y" +y = eos x + 4 {"(O) =4 el =1 y(~) =1 e2 =4 2 . Escoger la opción correcta. 8. Ecuación Condición inicial y = 12x y(.j2) =-1 Solución general Valor de las constantes condiciones A. 24y = r +e e = -22 B. y = 6x + e 2 e = -13 c. y =r + e e= -3 D. x = -1 .,,¡:¡¡=c e =-4 6
  36. 36. http://carlos2524.jimdo.com/34 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? 9. Ecuación Condición inicial xy = 7 y(l) = 7 Solución general Valor de las constantes A. y = 7 In x + C c=7 7 7 B. y=-r+c c=- 2 2 C. y = In x +C c=7 D. y = In cx 710. Ecuación Condición inicial y" = 2x +1 y(O) =1 y(l)=- Z Solución general Valor de las constantes A. 6y = 2X3 + 3r + Clx + C 2 Cl = 1 . { C2 = - 12 {~~ =;- 1 1 B. y=-x 3 +-r+cx+c2 3 2 1 3 C. Y =r + CIX + C 2 CI =- 3 { C2 = 1 1 1 13 D. y=-r+-x+c l X+C 2 3 2 611. Ecuaoión Condiciones iniciales y(O) = In 2 y(ln 2) = O Solución general Valor de las constantes A. y = eX + clx + C 2 CI = In 2 - 1 { C2 = - 2 + (In 2) (ln 2 - 1) CI =O { C2 = In 2 C. y = Cl + c x + e 2 2x CI = In 2 -1 { C2 =O D. y = eX + clx + C2 CI = - 2 { C2 = In 2 - 1
  37. 37. http://carlos2524.jimdo.com/ENCIALES? ¿CóMO RESOLVER UNA ECUACIóN DIFERENCIAL? 35 12. Ecuación Condición inicial yy I = Gas x y(-) 1t =3 2 Solución general Valor de las constantes A. y2 = 2 Gas x + G G=9 B. In y = Gas x + G G = In 3 y2 C. -= sen x + G G = 7/2 2 D. In y = sen x + G G = In 3 -1 Respuestas: 8. B, Sol. particular y = 6x 13 2 - 9, A, Sol. particular y = 7 ln x + 7 1 1 y = - x + - x + 3 10. B, Sol. particular 2 - 3x 1 . 3 2 11. D, Sol. particular y = eX - 2x + In 2 - 1 1/ 7 12. C, Sol. particular - = sen x +- 2 2 o 1/ = 2 sen x+-7 Geométricamente, la solución general representa una familia de curvas. Así: r + y2 = G2 representa una familia de circunferencias (figura 1.2). y y1) x y = Xl -4 ------~--~~-7----------X Figura 1.2 Figura 1.3
  38. 38. http://carlos2524.jimdo.com/36 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? ¿CÓMO La solución general y = x2 + c es una familia de parábolas (figura 1.3). La El cosolución particular es una de las curvas de la familia, precisamente la que se con unaobtiene cuando las constantes arbitrarias toman un valor específico a causa propiedade las condiciones iniciales. Así, en las figuras 1.2 y 1.3 la forma que tienela solución particular para c = 1 Y e =- 4, es r + if 1 Y Y x2 - 4, res- = = Definipectivamente. tes id Definición 1.9. La terna (x, y, y) determina la dirección de una recta que pasa por el punto (x,y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es la representación geométrica del campo direccional; Se puede resolver una ecuación diferencial trazando el campo direccional,en donde, para cada curva de la familia solución, la tangente en cada uno desus puntos tiene la misma dirección que el campo en ese punto. EJEMPLO t El campo direccional de la ecuación diferencial: y = (y -1)x Podemos dibujarlo dando valores enteros para x y y y calcular las pendien- tes correspondientes: Así, v familia d -3 -2 -,1 O 1 2 3 4~ -3 12 8 4 O -4 -8 - 12 -16 y dando -2 9 6 3 O -3 -6 - 9 - 12 =k -1 6 4 (2) O 8) -4 - 6 - 8 Si y O 3 0 1 O -1 E-~ - 3 - 4 o bien: 1 O O O O O O O O - 2 -3 @ -1 O 1 0 0) G) para k = 3 -6 -4 @ O 0 G) 6 8 4 -9 -6 -3 O (3) 6 9 12 k= k= Figura 1.4
  39. 39. ---_._-_._-- - - - -- -- - - - - -- ---- http://carlos2524.jimdo.com/¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? 37 El conjunto de los trazos ese! campo direccional (figura 1.5). Cruzandocon una curva los segmentos de igual pendiente, se obtienen curvas con lapropiedad de atravesar segmentos con idéntica pendiente; entonces : Definición 1.10. Isoclinas son curvas que atraviesan segmentos de pendien- tes idénticas. Figura 1.5 Así, vemos que las isoclinas de la ecuación diferencial y = (y - I)x son unafamilia de hipérbolas. Para obtener las isoclinas, se iguala y a una constante, y = k,y dando valores a k se pueden graficar.Si y = k ~ (y - l)x = ko bien: k y = - +1 es la familia de hipérbolas, xpara k = 0, y = 1, asíntota horizontal 1 k = 1, y=-+ 1 x 1 k=-l Y =- - x + 1, etc.
  40. 40. http://carlos2524.jimdo.com/38 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? ¿CóMO Observamos que en los cuadrantes 1 y 3, y > O (las soluciones crecen) yen los cuadrantes 2 y 4, y < O (las soluciones decrecen). Ya podemos trazaraproximadamente las curvas solución: una familia de parábolas. Ejercicio Figura 1.6 Identifica 1. Y - - 2. y = EJEMPLO 2 3. y = Obtener la solución aproximada de la ecuación diferencial: y = x, por el 4. y = método de las isoclinas 5. y = y =k o sea x=k 6. y = k =O y =O donde y >O para X> O 7. y = k =1 y =1 k=-l y=-l y y <O para x <O 8. y = k =2 y =2 9. y = etc. 10. y = Las isoclinas son rectas paralelas al eje y y las curvas solución forman una familia de parábolas.
  41. 41. http://carlos2524.jimdo.com/NCIALES? ¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? 39crecen) y k =-1 y k =1 os trazar x Figura 1.7 Ejercicios 1.4 Identificar las isoclinas de las siguientes ecuaciones diferenciales. Familia de isoclinas: , l. Y =x-y y=x-k , 2. y =x+3 x=k-3 , 3. y =y+x y =k- x ,, por el 4. y = ye X y = ke=" 5. y = y_ x3 y=k+X3 ,- x x 6. y - -- y=-- y ko , k 7. y = y(x + 2) y=x+2 ,o 8. y = 2y(x + y) k = y2 +- xy ,- 1 1 9. Y - - y=- Y k , 10. Y = GOS (x - y) k=1 x = Znr: forman { k =- 1 x = (2n + 1)7t (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... )
  42. 42. http://carlos2524.jimdo.com/40 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Figura 1.8 Familia de isoclinas:11. y = y2 -r y2=k+r12. y=-JX2 +y2 r + y2 = k213. y = -J X2 + 2x + 1 + y2 k2 = (x + 1l + y214. y = -J X2 + 11 - 4x - 6y + 13 k 2 = (x - 2l + (y - 3l 1-k15. y = 1 - yx y=-- x16. y = y +r En los siguientes ejercicios, trazar el campo direccional y algunas curvassolución.17. y = ~ y
  43. 43. http://carlos2524.jimdo.com/¿CóMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? 41 k =- % Figura 1.9 y- x18 . y = -- y+x x Figura 1.10
  44. 44. http://carlos2524.jimdo.com/42 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?19. y = xy Respuesta: El campo direccional es semejante al de la figura 1.6 obser- var que la asíntota horizontal está en y = o.20. y = 3x-y x Figura 1.11 Además del método de isoclinas para obtener soluciones de las ecuacionesdiferenciales, también existen otros: el de Euler y el de aproximaciones suce-sivas, aparte de los métodos numéricos iterativos tan rápidamente elaboradospor una computadora.
  45. 45. http://carlos2524.jimdo.com/¿cóMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? 43 Definición 1.11. Dos curvas son ortogonales en un punto ~ sus tangentes son perpendiculares en el punto de intersección. y x Figura 1.12 Recordamos que las pendientes de estas tangentes son recíprocas y de signocontrario, excepto en el caso en que las tangentes sean paralelas a los ejes decoordenadas. EJEMPLo 1 1 Dadas las funciones y = - y Y x = "13 x 3 , averiguar si son ortogonales en los puntos de intersección. x= 1 Y - - -if3 - -- ~ los puntos de intersección en los reales son : Derivando las fu n ciones para obtener su pendiente, tenemos: dy 1 ml= - - =- dx r dy 1 m2 = - - = X2 dx
  46. 46. http://carlos2524.jimdo.com/44 ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? ¿CÓ 1 y m¡(P I) = - -J3 mlPI) = ..j3 1 m¡(P2) =- -J3 m2(P2) = ..J3 1 En ambos puntos se cumple que mI = - --o m2 y 1 Y =_x3 3 De for F( ell mI = .¡s 1 Y=3 1 x rna =- .,,¡s P Figura 1.13 toma: EJEMPLO 2 ~m Sean las funciones y = e" y y = e-x, su punto de intersección es (0,1). y y = e-X I I I ¡--- EJ mI I Ha Su En die I I x m2 Figura 1.14 I I Qu
  47. 47. http://carlos2524.jimdo.com/¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? 45 dy dy m¡=--=e x m2=--=-e- X dx dx m¡(O) = 1 mz(O) =-1 1 .·.m¡=- Definición 1.12. Trayectorias ortogonales son las curvas que se intersectan formando ángulo recto. Si una familia de curvas tiene la ecuación F(x, y, y) = O, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a ella, es otra familia de la forma: 1 F(x, y, - - ,)=0 y Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuación diferencial, setoma: m¡ = -dy = d .x f(x, y), y como m2 = 1 dy 1-+ m2 = -- = dx - f(x,y) da la trayectoria ortogonal a la primera ecuación EJEMPLO 1 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas y = ex. . ~ ~ y Su pendIente es: m¡ = - - = e; o sea: - - =- dx dx x Entonces una familia ortogonal a estas rectas será la que tenga como pen- diente: dy 1 dy x m2 = -- = o sea dx e dx y Que también se puede expresar como:

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