Matemática Financeira: Fórmulas e Nomenclaturas

MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fórmulas e Nomenclaturas

Prof. Esp. Mário Ferreira Neto1

10/AGOSTO/2011

1
Professor Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – Minas Gerais.

1

Fator multiplicativo ou fator matemático:

i
Fm 
100

Fm→ fator matemático
i→ taxa de juros

Fórmula da capitalização simples ou juros simples:

J = PV . i. n ou J = C . i . n

J→ juros
PV→ valor presente
i→ taxa de juros
n→ número de períodos (período de tempo)
C→ capital

FV = PV + J ou M = C +J

FV→ valor futuro
M→ montante
C→ capital
J→ juros
J = FV – PV ou J = M - C

J→ juros
FV→ valor futuro
M→ montante
C→ capital

Fórmulas auxiliares de juros simples:

2

1- Valor presente ou capital:
J
PV 
i.n

J→ juros
i→ taxa de juros

2- taxa:
J
i
PV .n
i→ taxa de juros
J→ juros

3- número de períodos ou período de tempo:

J
n
PV .i

J→ juros
i→ taxa de juros

Fórmula da capitalização composta ou juros
compostos:
J = PV . [(1 + i)n - 1] ou J = C . [(1 + i)n – 1])

J→ juros

3

i→ taxa de juros
C→ capital

FV = PV . (1 + i)n ou M = C . (1 + i)n

FV→ valor futuro
i→ taxa de juros
M→ montante
C→ capital
J = FV – PV ou J = M – C

J→ juros
FV→ valor futuro
M→ montante
C→ capital

Fórmulas auxiliares de juros compostos:

1- Valor presente ou capital:

J
PV 
1  i n  1

i→ taxa de juros

2- taxa:

4

FV
in 1
PV

i→ taxa de juros
FV→ valor futuro

3- número de períodos ou período de tempo:

FV
log
n PV
log 1  i 

FV→ valor futuro
i→ taxa de juros
log→ logaritmo

Fórmula de financiamento (coeficiente de
financiamento):

i
CF 
1  1  i 
n

ou

i
CF 
1
1
1  i n

5

CF→ coeficiente de financiamento
i→ taxa de juros

Fórmula de financiamento (valor da prestação):

PMT = PV . CF ou VP = C . CF

PMT→ valor da prestação
Vp→ valor da prestação
C→ capital

Fórmula de financiamento (valor da prestação com
um valor de entrada):

PMT = (PV – PMT) CF ou VP = (C – Vpe). CF

Vp→ valor da prestação
C→ capital
Vpe→ valor da prestação de entrada

Fórmula de financiamento (valor da prestação igual
ao valor da entrada):

PV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto)

6


PMT
PV 
CF

PV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto)

Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um
capital para a realização de alguma operação financeira.

Fórmula de taxa proporcional:

i1 t
 1
i2 t2

i1→ taxa inicial (taxa que tenho)
i2→ taxa final (taxa que quero)
t1→ tempo inicial (tempo que tenho em mês)
t1→ tempo final (tempo que tenho convertido para o
número de capitalizações)

Fórmula de taxa equivalente:

ie = (1 + ik)k – 1

ie→ taxa equivalente (taxa que quero)
ik→ taxa equivalente qualquer (taxa que tenho)
k→ número de capitalizações convertido para a unidade
padrão ou unidade apropriada

Fórmula de situações possíveis com taxa equivalente:

7

Número de
Fórmula Taxa Período
capitalizações
1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2
1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3
1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4
1+ia = (1+imes)12 imes mês 12
1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 24
1+ia = (1+isemana)24 isemana semana 52
1+ia = (1+idias)365 idias Dia 365

Taxa Nominal é quando o período de formação e
incorporação dos juros ao capital não coincide com
aquele a que a taxa está referida.

iN = n x i

in→ taxa nominal
i→ taxa de juros
n→ número de capitalizações ou número de períodos

Taxa Efetiva é quando o período de formação e
incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a
que a taxa está referida.

ie = (1 + ie)1/n – 1

in→ taxa nominal
i→ taxa de juros

Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa
inflacionária do período da operação.

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Taxa acumulada de juros com taxas variáveis é
normalmente utilizada em situações de correções de
contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis,
saldo devedor da casa própria e contratos em geral.

Taxa aparente é a taxa que se obtém em uma operação
financeira sem se considerar os efeitos da inflação.

Taxa over é uma taxa usada pelo mercado financeiro
para determinar a rentabilidade por dia útil,
normalmente é multiplicada por 30 (conversão do
mercado financeiro).

Taxa média é a taxa de juros que tem como base teórica
o conceito estatístico da média geométrica.

Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: a
taxa real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da
inflação. Na realidade existe uma ligação íntima entre as
três taxas dadas por:

1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)
Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um
valor aplicado no início do mês produziu um rendimento
global de 32,6% sobre o valor aplicado então o resultado
é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada.
A variação real no final deste mês será definida por:

vreal = 1 + ireal
pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflação)
isto é:

9

vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02
o que significa que a taxa real no período foi de:

ireal = 2%

Capitalização em períodos fracionários:

CONVENÇÃO LINEAR por esta convenção calcula-se o
montante ou valor futuro a juros compostos do
número de períodos inteiros. Ao valor futuro
(montante) obtido adicionam-se os juros simples
correspondentes no período fracionário.

FV = PV . (1 + i)n + PV (1 + i)n . i . p/q

Juros compostos Juros simples
Nos períodos inteiros Nas frações de períodos (taxa
proporcional)

FV→ valor futuro
i→ taxa de juros
n + p/q→ prazo total
p/q→ fração do período total

n + p/q: prazo total de n: número de períodos inteiros
e p/q: fração desse período para calcular o montante
ou valor futuro atingido pelo capital ou valor presente
na taxa: i no fim de n + p/q períodos:

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FV = PV (1 + i)n . [1 + i . (p/q)]

FV→ valor futuro
i→ taxa de juros

CONVENÇÃO EXPONENCIAL na convenção
exponencial o capital ou valor presente renderá juros
compostos durante todo o período de aplicação, ou
seja, nos períodos inteiros e fracionários. É
conveniente notar que, nos períodos fracionários, o
cálculo é efetuado pela taxa equivalente.

FV = PV (1 + i)n . (+ p/q)
FV→ valor futuro
i→ taxa de juros

ATENÇÃO: ao se resolverem problemas de capitalização
com períodos fracionários, o primeiro passo é definir
claramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, se
vai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial.
Se definido que a capitalização é LINEAR deve-se
trabalhar com taxas proporcionais para o cálculo da
capitallização no período fracionário. Se definido que será
empregada a EXPONENCIAL será utilizada a taxa
equivalente.

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DESCONTO COMERCIAL (POR FORA)

ATENÇÃO: O desconto comercial difere do desconto
racional principalmente por que se trata de uma taxa
aplicada ao valor nominal do título. Não é uma
descapitalização, como no caso do desconto racional e as
equações do desconto comercial, são diferentes das
equações dos descontos racionais. O desconto comercial
simples é o tipo de desconto aplicado no comércio e a
taxa de desconto é única para cada prazo determinado.
Assim, um título pago com um mês de antecedência deve
ser descontado a uma taxa diferente de um título pago
com três meses de antecedência.

O valor do desconto é obtido diretamente do produto da
taxa de desconto ao valor nominal do título. O valor atual
ou valor a ser pago pelo título é o valor nominal
descontado

Equação ou Formula do Desconto Comercial Simples:

Dc = N – Ac
Dc→ Desconto
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face
Ac→ Valor atual = valor líquido
i→ taxa de juros
n→ número de períodos de antecipação

Equação ou Formula do Desconto Comercial Simples:

Dc = N . i . n
Dc→ Desconto
i→ taxa de juros
n→ número de períodos antecipação

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Fórmulas auxiliares do desconto comercial:

1- taxa:

D
i
N .n
i→ taxa de juros
D→ Desconto

2- valor nominal:

D
N
i.n
D→ Desconto
i→ taxa de juros
n→ número de períodos antecipação

Equação ou Formula do Valor Atual Comercial
Simples:

A = N . (1 – i.n)

A→ Valor atual = valor líquido
i→ taxa de juros

Fórmulas auxiliares do valor atual:

1- taxa:

13

D
1
i N
n
i→ taxa de juros
D→ Desconto

Equação ou Formula do Desconto Comercial
Composto:

Dc = N – Ac
Dc→ Desconto
i→ taxa de juros

N
Ac = N . (1 + i) –n ou Ac 
(1  i ) n
i→ taxa de juros

DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) COMPOSTO

Dr = N – Ar
Dr→ Desconto Racional
Ar→ Valor atual = valor líquido
i→ taxa de juros

Equação ou Formula do Desconto Racional Composto:

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N
Ar 
(1  i ) n

i→ taxa de juros

Equivalência de taxas de descontos:

(1 + ic . (1 + ir) = 1

i→ taxa de juros

ATENÇÃO: O desconto racional é juro. Ele é obtido
exatamente da mesma forma que o juro, com a diferença
que o desconto corresponde a uma descapitalização. Para
obter o valor D do desconto racional simples a ser
concedido sobre o valor nominal N de um título que vence
em n períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros i,
utiliza-se como taxa de desconto a taxa de juros e
calcula-se o valor do desconto.

Se o desconto racional a ser aplicado é o composto,
utiliza-se a mesma equação da descapitalização no juro
composto (chamando de o valor a ser pago). O valor do
desconto pode ser obtido com a equação equivalente do
montante:

N=A+D

O desconto racional também é chamado de desconto
verdadeiro, desconto justo e desconto real.

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