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1. ECUACIONES
DE SEGUNDO
GRADO
Carácter de las
Raíces

2. CLASIFICACIÓN ECUACIONES DE
:
SEGUNDO GRADO
Completa: Tiene la Incompleta pura: Es de la Incompleta mixta:
forma canónica: forma: Es de la forma:
donde los valores de a y
donde los tres de c son distintos de cero. donde los valores
coeficientes a, b y c son Se resuelve despejando x de a y de b son
distintos de cero. con operaciones inversas y distintos de cero.
Esta ecuación admite su solución son dos raíces Se resuelve por
tres posibilidades para reales que difieren en el
las soluciones: dos factorización de x y
signo si los valores
números reales y siempre tiene la
diferentes, dos de a yc tienen signo
contrario o bien dos
solución trivial x1
números reales e = 0. No tiene
iguales (un número números imaginarios
real doble), o dos puros que difieren en el solución en
números complejos signo si los valores números complejos.
conjugados, de a y c tienen el mismo
dependiendo del valor
que tome el signo.
discriminante

3. DEFINICIONES
Si b y c son
distintos de cero, la
La ecuación: ecuación se llama
completa o
afectada; incomplet
donde a, b y c son a, en caso contrario.
números reales y Así, las ecuaciones: y
a ¹ 0, se son cuadráticas
llama ecuación completas, mientras
cuadrática o ecua que las ecuaciones: y
ción de segundo son cuadráticas
grado en la incompletas.
variable x .

4. DEFINICIONES
En la ecuación
cuadrática: , la
cantidad: es
llamada discriminante de
la ecuación y su signo
determina la naturaleza
de las raíces, como lo
afirma el siguiente
teorema.

5. Teorema
Considere la ecuación
cuadrática: ; a 0.
Si , entonces, las raíces
son reales y diferentes.
Si , entonces, las raíces
son reales e iguales.
Si , entonces, las raíces
son complejas conjugadas.

6. SOLUCIÓN DE ECUACIONES
CUADRÁTICAS
Método 1. Solución por factorización
Ejemplo.
Si , , entonces,
la ecuación
es equivalente a:
Método 2. Solución por completación de
cuadrados.
Se supone que la ecuación:
,con a 0 ,es equivalente a la ecuación
cuadrática:

7. Sumando en ambos miembros de la ecuación (1), se
obtiene:
.
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de
la última igualdad (lo cual tiene sentido solo si
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una
para cada signo) de la ecuación cuadrática (1), que
es equivalente a la ecuación :

8. Método 3 solución por la formula
general
Usando el método de completación de
cuadrados, demuestre que la solución de la
.
ecuación cuadrática : , con a 0 viene dada
por :
(1).
Solución :
La ecuación: con a
0 viene dada por :
Sumando ,en ambos miembros de la igualdad anterior,
se obtiene:

9. .
O equaivlentemente,zx
:
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos
miembros de la última igualdad(si
b2-4ac >= 0), se obtiene:

10. :
De donde :
.
:

11. :
.
: