ALGEBRA DE BOOLE
“El álgebra booleana, como cualquier otro sistema matemático
deductivo, puede definirse con un conjunto d...
Postulados de Huntington

1
a) B es un conjunto cerrado respecto al operador +
b) B es un conjunto cerrado respecto al ope...
Postulados de Huntington

2
a) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador +
b) Existe un elemento iden...
Postulados de Huntington

3
a) B es un conjunto conmutativo respecto al operador +
b) B es un conjunto conmutativo respect...
Postulados de Huntington

4
a)  es distributivo sobre +
b) + es distributivo sobre a 
Si * y  son dos operadores binari...
Postulados de Huntington

5
Para cada elemento x  B, existe un elemento x’  B (llamado
complemento de x) tal que:
a) x +...
Postulados de Huntington

6
Existen al menos 2 elementos x, y  B tales que x z y.
B = {0,1]
Postulados de Huntington
El álgebra booleana se parece en algunos
aspectos al álgebra ordinaria. Sin embargo, se
debe tene...
Teoremas del Álgebra de Boole

1a

x+x=x

Deducción:
x + x = (x + x)  1
= (x + x)  (x + x’)
= x + (x  x’)
=x+0
=x

por ...
Teoremas del Álgebra de Boole

1b

xx=x

Deducción:
xx
= (x  x) + 0
= (x  x) + (x  x’)
= x  (x + x’)
=x1
=x

por el...
Teoremas del Álgebra de Boole

2a

x+1=1

Deducción:
x + 1 = 1  (x + 1)
= (x + x’)  (x + 1)
= x + (x’  1)
= x + x’
=1

...
Teoremas del Álgebra de Boole

2b

x0=0

Deducción:
x  0 = 0 + (x  0)
= (x  x’) + (x  0)
= x  (x’ + 0)
= x  x’
=0

...
Teoremas del Álgebra de Boole

3

(x’)’=x

Deducción:
Si x = 1
x' 0 por el postulado 5
=
5(a) x + x’ = 1
o
1+0=1
5(b) x  ...
Teoremas del Álgebra de Boole

4a

x + (x  y) = x

Deducción:
x+xy=x1+xy=x
= x  (1 + y)
= x  (y + 1)
=x1
=x

por el...
Teoremas del Álgebra de Boole

4b

x  ( x + y) = x

Deducción:
x  ( x + y) = (x + 0)  ( x + y)
= x + (0  y)
= x + (y ...
Teoremas del Álgebra de Boole
Otros teoremas válidos para la álgebra boleana:
5. Teorema asociativo.
x + (y + z) = (x + y)...
Funciones Booleanas
Una función booleana es una expresión formada
por variables binarias, los operadores OR, AND,
NOT y el...
Funciones Booleanas
La Operación OR se define así:
z0 + 0 = 0
z0 + 1 = 1
z1 + 0 = 1
z1 + 1 = 1
Funciones Booleanas
La función AND se define de la siguiente manera:
z0  0 = 0
z0  1 = 0
z1  0 = 0
z1  1 = 1
Funciones Booleanas
La función NOT (negación) se define como se
muestra a continuación:
z 0’ = 1
z 1’ = 0
Funciones Booleanas
Un ejemplo de función boleana seria:
S = x  y’ + z
Para conocer el valor de S para diferentes valores...
Funciones Booleanas
x
0
0
0
0
1
1
1
1

y
0
0
1
1
0
0
1
1

z
0
1
0
1
0
1
0
1

y’
1
1
0
0
1
1
0
0

x  y’
0
0
0
0
1
1
0
0

T...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

06 algebra booleana

623 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
623
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
3
Acciones
Compartido
0
Descargas
10
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

06 algebra booleana

  1. 1. ALGEBRA DE BOOLE “El álgebra booleana, como cualquier otro sistema matemático deductivo, puede definirse con un conjunto de elementos, un conjunto de operadores y un número de axiomas no probados o postulados. En 1854 George Boole presentó un tratamiento sistemático de la lógica, y desarrolló para este propósito un sistema algebraico que ahora se conoce como álgebra booleana. En 1938 C. E. Shannon introdujo un álgebra booleana de dos valores denominada álgebra de interruptores, en la cual demostró que las propiedades de los circuitos eléctricos y estables con interruptores, pueden representarse con esta álgebra. Para la definición formal del álgebra booleana, se emplean los postulados formulados por E. V. Hungtington en 1904. Estos postulados o axiomas no son únicos para definir el álgebra booleana. Se han usado otros conjuntos de postulados.” [6] El álgebra booleana es una estructura algebraica definida en un conjunto de elementos B junto con dos operadores binarios + y  siempre y cuando se cumpla con 6 postulados de Huntington
  2. 2. Postulados de Huntington 1 a) B es un conjunto cerrado respecto al operador + b) B es un conjunto cerrado respecto al operador  Un conjunto B esta cerrado respecto a un operador binario si, para cada par de elementos de B, el operador binario especifica una regla para obtener un número único de B. Por lo tanto: x, y  B 1(a) x + y  B 1(b) x  y  B
  3. 3. Postulados de Huntington 2 a) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador + b) Existe un elemento identidad en el conjunto B para el operador  Un conjunto B tiene un elemento identidad respecto a una operación binaria * en B si existe un elemento Z  B con la propiedad: Z * x = x * Z = x para cualquier x  B. Por lo tanto en el álgebra boolena los elementos identidad son: 0 para la operación + y 1 para la operación  x, Z  B 2(a) x + Z = Z + x = x 2(b) x  Z = Z  x = x
  4. 4. Postulados de Huntington 3 a) B es un conjunto conmutativo respecto al operador + b) B es un conjunto conmutativo respecto al operador  Un operador binario * en un conjunto B se dice que es conmutativo siempre que: x * y = y * x para x, y  B. Por lo tanto: x, y  B 3(a) x + y = y + x 3(b) x  y = y  x
  5. 5. Postulados de Huntington 4 a)  es distributivo sobre + b) + es distributivo sobre a  Si * y  son dos operadores binarios en un conjunto B , se dice que * es distributivo sobre  siempre que: x*(y  z) = (x * y)  (x * z). Por lo tanto: x, y, z  B 4(a) x  (y + z) = (x  y) + (x  z) 4(b) x + (y  z) = (x + y)  (x + z)
  6. 6. Postulados de Huntington 5 Para cada elemento x  B, existe un elemento x’  B (llamado complemento de x) tal que: a) x + x’ = 1 b) x  x’ = 0
  7. 7. Postulados de Huntington 6 Existen al menos 2 elementos x, y  B tales que x z y. B = {0,1]
  8. 8. Postulados de Huntington El álgebra booleana se parece en algunos aspectos al álgebra ordinaria. Sin embargo, se debe tener cuidado de no sustituir las reglas del álgebra boleana por las reglas de el álgebra tradicional cuando no son aplicables.
  9. 9. Teoremas del Álgebra de Boole 1a x+x=x Deducción: x + x = (x + x)  1 = (x + x)  (x + x’) = x + (x  x’) =x+0 =x por el postulado 2(b) de Huntington 5(a) 4(b) 5(b) 2(a)
  10. 10. Teoremas del Álgebra de Boole 1b xx=x Deducción: xx = (x  x) + 0 = (x  x) + (x  x’) = x  (x + x’) =x1 =x por el postulado 2(a) de Huntington 5(b) 4(a) 5(a) 2(b)
  11. 11. Teoremas del Álgebra de Boole 2a x+1=1 Deducción: x + 1 = 1  (x + 1) = (x + x’)  (x + 1) = x + (x’  1) = x + x’ =1 por el postulado 2(b) de Huntington 5(a) 4(b) 2(b) 5(a)
  12. 12. Teoremas del Álgebra de Boole 2b x0=0 Deducción: x  0 = 0 + (x  0) = (x  x’) + (x  0) = x  (x’ + 0) = x  x’ =0 por el postulado 2(a) de Huntington 5(b) 4(a) 2(a) 5(b)
  13. 13. Teoremas del Álgebra de Boole 3 (x’)’=x Deducción: Si x = 1 x' 0 por el postulado 5 = 5(a) x + x’ = 1 o 1+0=1 5(b) x  x’ = 0 o 10=0 Entonces el complemento de 0 es 1 por lo tanto: x' 0 o = (x’)’ = 1 = x
  14. 14. Teoremas del Álgebra de Boole 4a x + (x  y) = x Deducción: x+xy=x1+xy=x = x  (1 + y) = x  (y + 1) =x1 =x por el postulado 2(b) de Huntington 4(a) 3(a) 2(a) 2(b)
  15. 15. Teoremas del Álgebra de Boole 4b x  ( x + y) = x Deducción: x  ( x + y) = (x + 0)  ( x + y) = x + (0  y) = x + (y  0) =x+0 =x por el postulado 2(a) de Huntington 4(b) 3(b) 2(b) 2(a)
  16. 16. Teoremas del Álgebra de Boole Otros teoremas válidos para la álgebra boleana: 5. Teorema asociativo. x + (y + z) = (x + y) + z x  (y  z)= (x  y)  z 6. Teorema de Morgan (x + y)’ = x’  y’ (x  y)’ = x’ + y’ 7. Teorema de Adyacencia Lógica x  y + x  y’ = x (x + y)  (x + y’) = x
  17. 17. Funciones Booleanas Una función booleana es una expresión formada por variables binarias, los operadores OR, AND, NOT y el signo de igual. También puede estar presente el paréntesis y el símbolo de negación.
  18. 18. Funciones Booleanas La Operación OR se define así: z0 + 0 = 0 z0 + 1 = 1 z1 + 0 = 1 z1 + 1 = 1
  19. 19. Funciones Booleanas La función AND se define de la siguiente manera: z0  0 = 0 z0  1 = 0 z1  0 = 0 z1  1 = 1
  20. 20. Funciones Booleanas La función NOT (negación) se define como se muestra a continuación: z 0’ = 1 z 1’ = 0
  21. 21. Funciones Booleanas Un ejemplo de función boleana seria: S = x  y’ + z Para conocer el valor de S para diferentes valores de las variables x, y, z se genera la tabla de verdad de la función.
  22. 22. Funciones Booleanas x 0 0 0 0 1 1 1 1 y 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 1 0 1 0 1 0 1 y’ 1 1 0 0 1 1 0 0 x  y’ 0 0 0 0 1 1 0 0 Tabla de verdad de la función S = x  y’ + z S 0 1 0 1 1 1 0 1

×