Kurzy-Fido.cz: řešení úloh z kvantitativního oddílu OSP NSZ 2007. Příprava na Národní srovnávací zkoušky z OSP Scio

1. OSP
Kvantitativní oddíl
sada NSZ 2007
Test NS–SP–03
hlavní myšlenky řešení úloh č.:
69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78
Materiál pro
Kurzy-Fido.cz
Nejkratší cesta na VŠ

2. Test NS–SP–03, úloha č. 69
• Zahřívací úloha...
• 10 % z X je stejné jako 0,1 • X
• 40 % z Y je 0,4Y
• 20 % ze 40 % z Y je tedy 0,2 • 0,4Y =
0,08Y
• Nyní vytvoříme rovnici:
0,1X = 0,08Y, tedy X = 0,8Y
• Protože obě čísla X, Y jsou kladná, musí
být X < Y.

3. Test NS–SP–03, úloha č. 69
• Názorná pomůcka: kdyby bylo X = 0,5 Y,
čili X je polovina Y, muselo by být X menší
než Y a číslo 0,8 se chová stejně jako
jedna polovina (a stejně jako všechna čísla
mezi nulou a jedničkou)
• Správná odpověď je tedy A).
• Rozmyslete si, proč je pro řešení úlohy
nutný předpoklad, že obě čísla jsou kladná
– jak by se řešení změnilo, kdyby X, Y
mohla být libovolná (i záporná nebo nulová)

4. Test NS–SP–03, úloha č. 70
• Jedna možnost spočívá v prostém výpočtu,
druhá v úvaze, kterou si předvedeme:
• 1 na třetí je jedna, 3 na druhou devět, číslo
vlevo tedy bude končit devítkou
• Vpravo budeme mít 0,2 na pátou, protože
při násobení mocnin se stejnými základy
se mocnitelé sčítají
• Dvě na pátou je 32, číslo v pravo tedy bude
končit třicet dvojkou

5. Test NS–SP–03, úloha č. 70
• Obě čísla musí mít pět desetinných míst
• Vlevo tedy bude 0,00009
• Vpravo 0,00032
• Správná odpověď je tedy B).
• (kratší úvaha: obě čísla mají pět
desetinných míst, stačí tedy porovnat
devítku a číslo 32)

6. Test NS–SP–03, úloha č. 71
• Víme, že x je záporné číslo
• Třetí mocnina záporného čísla je vždy
záporná, druhá mocnina vždy kladná
• Správná odpověď je tedy A).
• Zkuste si rozmyslet, jaké by bylo řešení,
kdyby místo třetí mocniny se použila v
zadání čtvrtá a jak by potom vypadalo
zdůvodnění správné odpovědi.

7. Test NS–SP–03, úloha č. 72
• Nejprve si uděláme
orientační náčrtek...
• Obsah čtverce
ABCD vypočteme
jednoduše, je to 36
cm čtverečních
• Jak je to s obsahem
čtverce KLMN?

8. Test NS–SP–03, úloha č. 72
• Stranu čtverce KLMN můžeme spočítat
pomocí Pythagorovy věty, délka strany KL
spočítáme je délka přepony v pravoúhlém
trohúhelníku KBL.
• |KB| = 2 cm (třetina délky strany velkého
čtverce), |BL| = 4 cm (dvě třetiny délky...)
• Uvědomíme si, že |KL| na druhou je rovno
obsahu čtverce KLMN.
• Podle Pythagorovy věty je |KL| na druhou
rovno 4 + 16 = 20 cm čtverečních.

9. Test NS–SP–03, úloha č. 72
• Porovnáváme tedy 20
a 2/3 ze 36 (= 24)
• Správná odpověď je tedy B).

10. Test NS–SP–03, úloha č. 73
• Oba výrazy, které máme porovnat, si
vyjádříme jen pomocí proměnné B.
• Z první rovnice tedy dosadíme do druhé
(za A) a dostaneme rovnici
C = 2B – (5 – B), čili
C = 3B – 5
• A následně si vyjádříme výraz na levé
straně:
• 2C = 6B - 10

11. Test NS–SP–03, úloha č. 73
• Na pravé straně máme výraz 5A, o něm
víme, že 5A = 25 – 5B (z první rovnice)
• Porovnáváme tedy:
6B – 10 a 25 – 5B
• Na B ovšem nejsou kladeny žádné
podmínky, B tedy může být libovolné.
Zvolíme-li si za B nulu, je výraz v pravém
sloupci větší než v levém, zvolíme-li za B
číslo 10, je tomu naopak.
• Správná odpověď je tedy D).

12. Test NS–SP–03, úloha č. 74
• Poměrně jednoduchá úloha:
• Označme si X cenu košile před zdražením
cenu po zdražení Y.
• Ze zadání víme, že 3Y = 4X, čili X = ¾ Y
• Porovnáváme tedy vlevo: ¾ Y a 75 % z Y
• ...ale ¾ není nic jiného, než 75 %
• Oba výrazy se tedy rovnají
• Správná odpověď je tedy C).

13. Test NS–SP–03, úloha č. 75
• Označme Z hodnotu zlatky, S stříbrného, M
měďáku a zadání převeďme do podoby
rovnic:
• 3Z = 8S, 5S = 12M
• Máme porovnat hodnotu jedné zlatky a
deseti měďáků. Budeme postupovat tak,
obě hodnoty převedeme na stříbrné:
• 1Z = 8/3 S
• 1 M = 5/12 S, tedy 10M = 50/12 S

14. Test NS–SP–03, úloha č. 75
• Jde tedy vlastně o porovnání dvou zlomků:
8/3 a 50/12.
• Oba převedeme na společného
jmenovatele:
• 32/12 a 50/12. Je zřejmé, že větší hodnota
je vpravo.
• Správná odpověď je B.

15. Test NS–SP–03, úloha č. 76
• Lze řešit jednak užitím vzorečků pro
výpočet pravděpodobnosti, ale i
jednoduchou úvahou: pravděpodobnost, že
padne dvakrát za sebou dvojka je tatáž,
jako pravděpodobnost, že dvakrát za sebou
padne jednička (nebo jakékoliv jiné
konkrétní číslo).
• Pravděpodobnost toho, že padne čtyřikrát
za sebou jednička je zjevně menší, než
pravděpodobnost, že padne jednička jen
dvakrát za sebou.

16. Test NS–SP–03, úloha č. 76
• Větší hodnota je tedy vpravo
• Správná odpověď je B).
• Pozn. Uvedené úvahy jsou možné díky tomu, že jde o
nezávislé jevy, že se nejedná ani o jevy nemožné ani o
jevy jisté, atd.

17. Test NS–SP–03, úloha č. 77
• Úloha zaměřená na převody jednotek
• Objemy vlevo a vpravo budeme počítat v
metrech krychlových, podle vzorečku v
zadání snadno zjistíme, že objem vlevo je
roven 4/3 Pi metrů krychlových
• Protože 1 000 litrů = 1 m krychlový, je
4 000 litrů totéž, jako 4 m krychlové
• Jelikož Pi > 3, je i 4/3 Pi více než 4
• Správná odpověď je tedy A).

18. Test NS–SP–03, úloha č. 77
• Uvědomíme si, že symetrické trojciferné
číslo vypadá tak, že jeho první a poslední
cifra je stejná
• Je-li prostřední cifrou např. jednička, máme
celkem devět symetrických trojciferných
čísel: 111, 212, 313, 414, 515, ..., 919
– stejné je to v případě ostatních čísel
uprostřed
• Pozor, čísla nemohou začínat nulou,
uprostřed ale nula být může.

19. Test NS–SP–03, úloha č. 77
• Uprostřed tedy může být libovolná číslice
0–9, čili pro výběr prostředního čísla máme
deset možností, ke každé této možnosti
můžeme zvolit devíti způsoby první (a tím
pádem automaticky i poslední) číslo
• Celkově máme 10 • 9 = 90 takových čísel.
• Správná odpověď je C).