Řešení úloh z kvantitativního oddílu testu č. 3 ze sady OSP Faktum

1. Kvantitativní oddíl OSP Scio
Sada Faktum
Test FA–SP–03
Základní myšlenky řešení úloh č.:
71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78
Materiál pro Kurzy-Fido.cz
nejkratší cesta na vysokou školu
© 2008 Martin Víta

2. FA–SP–03, úloha č. 71
● Zahřívací, triviální úloha... ;-)
● V případě krychle jsou horní a dolní podstava
čtverce, tedy na každé z nich jsou čtyři hrany,
● K těmto osmi hranám zbývá ještě připočítat hrany
spojující obě podstavy: ty musí být rovněž čtyři,
neboť každá vede „z jednoho vrcholu čtverce do
druhého“. Celkem máme tedy 3 . 4 = 12 hran.
● Hodnoty výrazů vlevo a vpravo se sobě rovnají.
Správná odpověď je tedy (C).

3. FA–SP–03, úloha č. 72
● Úloha zaměřená na elementární kombinatorické
dovednosti: jde o variace s opakováním.
● Můžeme si buď vzpomenout na vzoreček, anebo
řešit úvahou.
● Na každou ze tří pozic třípísmenného slova totiž
můžeme dát libovolné písmeno naší čtyřpísmenné
abecedy, na každou pozici máme tedy 4 možnosti.
(na kurzu velmi názorná ukázka pomocí
rozhodovacího stromu).
● Hodnota vlevo tedy je 4 . 4 . 4 = 64, správná
odpověď je tedy (A).

4. FA–SP–03, úloha č. 73
● Vcelku jednoduchá úloha na počítání s procenty –
jde jen o to, jak jí vyřešit s nejmenší námahou...
● ...čísla v zadání jsou totiž čímsi velmi nápadná...
● 144 = 12 . 12, a z tohoto čísla máme udělat „méně
než polovinu (přesně 48 %)“, výsledek na levé
straně tedy bude menší než 6 . 12
● Podívejme se na pravou stranu: tam máme 12 %
ze 600, čili (12/100) . 600. Sto ve jmenovateli nyní
zkrátíme s číslem 600 a na pravé straně mi tedy
vyjde přesně 6 . 12.
● Složením zmiňovaných úvah tedy dostáváme, že
výraz vpravo je větší, správná odpověď je (B).

5. FA–SP–03, úloha 74
● Klíčem k řešení je vzoreček pro výpočet obsahu
(libovolného) trojúhelníku: „základna krát výška
lomeno dvěma“.
● ...udělejte si náčrtek...
● Za základny v našich výpočtech si zvolíme úsečky
AB a CD (ty mají stejnou délku).
● Výšky obou trojúhelníků jsou ovšem také shodné,
protože jsou rovné vzdálenosti přímky p a bodu S.
● Oba trojúhelníky tedy mají stejný obsah, správná
odpověď je (C).

6. FA–SP–03, úloha č. 75
● Nejprve zvolme vhodné označení: I...poč.
vlaštovek vyrobených Ivanem, J...Jakubem,
M...Matoušem.
● Ze zadání víme, že I = 2J, a dále, že I + 10 = M
(pozor, kam se ta desítka přičítá!), složením obou
rovnic dostaneme M = 2J + 10. Máme tedy
porovnat na levé straně 2J + 10, na pravé 3J.
● Výsledek porovnávání ovšem na první pohled
závisí na tom, kolik je hodnota J. Pokud je J např.
rovno 2, dostaneme jiný výsledek porovnání než v
případě J = 10, resp. J = 11.
Správná odpověď je tedy (D).

7. FA–SP–03, úloha č. 76
● První rovnice mi říká, že alespoň jedno z čísel
„a“, „b“ bude rovné nule (možná i obě)
● Z druhé rovnice ovšem zjistíme, že „a“ to být
nemůže (kdyby to „a“ bylo, nemohl by součin
„a . c“ být rovný deseti)
● V první rovnici tedy nulovým činitelem musí být
„b“
V obou sloupcích jsou tedy výrazy se stejnou
hodnotou, správná odpověď je tedy (C).

8. FA–SP–03, úloha č. 77
● ...na první pohled komplikovaná úloha, která
ovšem není tak náročná, jak se zdá...
● Nejprve otázka: jak bychom vyplňovali tiket v
Ultrašanci? Vybereme si 3 čísla, která (podle nás)
nebudou tažená, zbytek vyplníme. Vyhrajeme
tehdy a jen tehdy, když se tato 3 čísla budou
shodovat se třemi, které v Ultrašanci nepadnou,
čili...
● ...pravděpodobnost toho, že vyhrajeme v
Ultrašanci je tedy stejná jako při hádání 3 čísel ze
40. Ta je samozřejmě větší, než v případě 6 čísel
ze 40. Správná odpověď je tedy (B).

9. FA–SP–03, úloha č. 78
● Čísla x, y jsou reálná, první z nich je větší než
druhé, nic dalšího o nich nevíme: můžou být tedy
obě záporná, první kladné, druhé nula, ...
● Zkusme nejprve dosadit, např. x = 2, y =1, dále
třeba x = 1, y = 0 (v obou příp. platí, že x > y)
● V prvním případě jsou s výrazy nalevo a napravo
rovny, v druhém je výraz napravo větší, správná
odpověď je tedy (D) – to bylo „zkusmé řešení“.
● Zkuste si rozmyslet, jak tato úloha souvisí s
řešením rovnice: x + 3y = 2x + y a jak by se toho
dalo při řešení této úlohy využít.