Emaitzak 3. dbh

DBHko lehen mailarako Matematika 3
Erantzunak Zubia / Santillanaren
Hezkuntza-argitalpenetarako Sailean
Joseba Santxo Uriarteren
eta Enric Juan Redalen
zuzendaritzapean sortu, taxutu
eta gauzaturiko talde-lana da.
Proiektu honetan egile-talde honek
esku hartu du:
Ana María Gaztelu
Augusto González
EDIZIOA
Rafael Nevado
Carlos Pérez
PROIEKTU-ZUZENDARITZA
Domingo Sánchez Figueroa
Ainhoa Basterretxea Llona
Matematika 3DBH
Irakaslearentzako baliabideak
ERANTZUNAK
Zubia
Santillana
908272 _ 0001-0003.qxd 27/9/07 17:16 Página 1

Aurkezpena
2
138
Ekuazio-sistemak5
BI EZEZAGUNEKO
EKUAZIO LINEALA
SISTEMA MOTAK GRAFIKO BIDEZ EBAZTEA
BI EZEZAGUNEKO
BI EKUAZIOREN SISTEMAK
ORDEZKATZEA BERDINTZEA LABURTZEA
EBAZPEN-METODOAK
PROBLEMAK EBAZTEA
BI EZEZAGUNEKO
BI EKUAZIOREN SISTEMEN BIDEZ
Bat-bateko ikasbidea
Udaberriko jaialdia urtean behin ospatzen zen, maharajaren jauregian.
Festa hartara gonbidatua izatea itzal handiko pertsonei
mugaturiko ohorea zen.
Elefantearen gainera igotzean, Brahmagupta jakintsua eta Serhane, haren
laguntzaile gaztea, bat etorri ziren maharajaren eskuzabaltasuna
goraipatzean, segizioa bidali baitzien, jauregira lagun ziezaieten.
Laguntzaile gazteak bidearen erdia eman zuen ikasi
behar zituen jakintzagaiez kexatzen:
–Maisu, zergatik ikasi behar dut aljebra? Ez dauka inolako
erabilgarritasunik; bost txanpon baditut bost txanpon ditut,
eta ez bost ezezagun... Eta ezezaguna edozer izan
ahal izatea naturaren aurkakoa da.
Brahmaguptak hitza hartu zuen, eta
geratzen zitzaien bidearen erdian, aljebraren
baliagarritasuna azaldu zion ikasleari:
–Mundu honetako gauza guztiek dute bere esanahia:
elefantearen bekokiko izarra ez da izarra soilik: elefantea
maharajarena dela esan nahi du. Era berean, lau zirkuluz
koroatutako gurutzea ez da marrazkia soilik, hiriaren
sinboloa ere bada. Matematikan, sinpleena gauzei
esanahia kentzea da, zenbakiekin eragiketak
egitea eta, ondoren, emaitza interpretatzea.
Hitz horien ostean, maisuak eta ikasleak isilean
egin zuten jauregira iristeko geratzen zitzaien
kilometroa.
Ekuazio baten laguntzaz, kalkulatu
elefantearen gainean egin zuten distantzia.
x = distantzia
→ 2x + x + 4 = 4x → x = 4
4 km-ko distantzia egin zuten.
1
2
1
4
1x x x++ ++ ==
Sailaren izenak (Jakintzaren Etxea) planteamendu jakin bati erantzuten
dio: ikasleek eguneroko bizitzan moldatzeko beharrezko ezagutzak lortzea
helburu duten Matematikako proiektu bat aurkezteko planteamenduari.
Irakaskuntzaren derrigorrezko etapan, matematika-jakintzak, errealitatea
interpretatzen eta deskribatzen ez ezik, hartan jarduten lagundu behar die
ikasleei.
Ildo horretan, eta kontuan izanda Matematika, maila hauetan, prozedu-
razko irakasgai hutsa dela, ikaslearen liburuan egindako ariketa eta pro-
blema guztiak ebatzita daude material honetan. Gure helburua ez da eba-
tzitako ariketak tresna hutsa izatea, proposamen didaktikoa baizik, ikas-
leei liburuan aurkezten diren kontzeptu eta prozedura guztiak beregana-
tzen laguntzeko.
73
2
c) Lurretik Neptunorainoko distantzia:
4,5 ⋅ 109
− 1,496 ⋅ 108
= 4,5 ⋅ 109
− 0,1496 ⋅ 109
= 4,3504 ⋅ 109
km
Abiadura: 360.000 km/h = 3,6 ⋅ 105
km/h.
Lurretik Neptunora behar den denbora:
(4,3504 ⋅ 109
) : (3,6 ⋅ 105
) = 1,2084 ⋅ 104
= 12.084 horas = 503,5 egun
Joan-etorria egiteko denbora bikoitza; hau da, 1.006 egun, 2 urte eta 9 hilabete,
gutxi gorabehera; beraz, joan-etorria egin daiteke.
Kontuan hartu behar da suposatu dugula hasieratik gehienezko abiadura
harrapatu dugula: 360.000 km/h.
Mikel Londresera iritsi berri da. Bidaian abiatu baino lehen 200 libera aldatu
zituen banketxean. Hau da eman zioten agiria:
Euro batek 0,649900 libera balio
ditu; hortaz, aldatu zituen 200
liberak 307,74 € ordaindu zituen.
Mikelek 48,5 libera balio duen
galtza parea erosi nahi du, eta
eurotara pasa nahi du prezio hori,
kostuaz jabetzeko.
a) Iritzirako kalkulua zuzen egin al
du? Zenbateko errorea egin du?
b) Hoteleko bost gauek 467 liberako
kostua badute, zenbat izango da
kostu hori eurotan, Mikelen
zenbatespenei jarraiki? Eta zein
da benetako kostua?
a) 48,5 : 0,649900 = 74,63 €; beraz, zenbatespena okerra da. Mikelek
egindako errore absolutua 14,63 €-koa da, eta errore erlatiboa, 0,196 €-koa.
b) Benetako kostua 718,57 €-koa da eta egindako errorea: 718,57 ⋅ 0,196 =
= 140,84 €. Beraz, zenbatespena: 718,57 − 140,84 = 577,73 €.
ATZERRIKO BILLETEAK ETA
BIDAIA TXEKEAK DIBISATAN EROSTEA ETA
TXEKEAK KONTUAN SARTZEA DIBISATAN
MIKEL AGIRRE BADIOLA J.
Helbidea ARGIAREN ETORBIDEA, Z/G
Herria MUNGIA
K.P. 28082 N.A.N/I.K. 978687623
Kontzeptua: EZKUTUKO ERAGIKETA
REF. 6036786
BBAANNKKUUAAERAKUNDEA - BULEGOA - KONTUA
2038 - 5538948273647783 EUR
DOKUMENTUA DIBISA ZENBATEKOA KANBIO-TASA KONTRABALIOA
BILLETEAK GBP 200,0 0,649900 307,74 EUR
307,74 EUR
ERAGIKETA-DATA: 2007/7/31 BALIO-DATA: 2007/7/31 GUZTIRA 307,74 EUR
Komisioak eta gastuak
(Doakionaren sinadura)
BANK
UA
BANK
UA
(sinadura eta zigilua)
BBAANNKKUUAA
106
GGG
60 € inguru
balio ditu...
ERANTZUNAK
72
EGUNEROKOAN
Internet sarean nabigatzen genbiltzala, web orri hau aurkitu dugu.
a) Zenbateko distantzia dago Merkurio eta Saturnoren artean?
b) Zein da handiena Lurretik Uranorako distantzia ala Martetik Neptunorakoa?
c) Bigarren web orriko espazio-ontziaz, zenbat denbora behar da Neptunora
iristeko? Gai izango ginateke Neptuno eta Lurra arteko joan-etorria egiteko?
a) Merkuriotik Saturnorainoko distantzia:
1,429 ⋅ 109
− 5,791 ⋅ 107
= 1,429 ⋅ 109
− 0,05791 ⋅ 109
=
= 1,37109 ⋅ 109
km
b) Lurretik Uranorainoko distantzia:
2,87 ⋅ 109
− 1,496 ⋅ 108
= 2,87 ⋅ 109
− 0,1496 ⋅ 109
= 2,7204 ⋅ 109
km
Martetik Neptunorainokoa:
4,5 ⋅ 109
− 2,2794 ⋅ 108
= 4,5 ⋅ 109
− 0,22794 ⋅ 109
= 4,27206 ⋅ 109
km
Martetik Neptunora distantzia handiagoa dago Lurretik Uranora baino.
105
GGG
Zenbaki errealak
Planeten sorrera
Planetak duela 4.500 milioi urte inguru eratu ziren, Eguzkiarekin batera.
Oro har, Eguzkian geratu ez ziren material arinak astunak baino gehiago urrundu ziren.
Hasierako gas- eta hauts-hodeia kiribilka zebilen, eta zona trinkoagoak zituen, planeten hastapenak zirenak.
Grabitateak eta talkek materia gehiago eraman zuten zona horietara, eta errotazio-higidurak biribildu egin zituen.
Planetak
Ekuatore-
erradioa
Distantzia
Eguzkiraino
(km)
Ilargiak
Errotazio
periodoa
Orbita
Merkurio 2.440 km 5,791 ⋅ 107 0 58,6 egun 87,97 egun
Artizarra 6.052 km 1,082 ⋅ 108 0 –243 egun 224,7 egun
Lurra 6.378 km 1,496 ⋅ 108 1 23,93 ordu 365,256 egun
Marte 3.397 km 2,2794 ⋅ 108 2 24,62 ordu 686,98 egun
Jupiter 71.492 km 7,7833 ⋅ 108 16 9,84 ordu 11,86 urte
Saturno 60.268 km 1,429 ⋅ 109 18* 10,23 ordu 29,46 urte
Urano 25.559 km 2,87 ⋅ 109 15 17,9 ordu 84,01 urte
Neptuno 24.746 km 4,5 ⋅ 109 8 16,11 ordu 164,8 urte
*Zenbait astronomoren esanetan, Saturno planetari 23 satelite dagozkio
Astronautak
Espazioan bizi
Esplorazioan
Bakarrik al gaude?
Esplorazioan
ExoMars
Etorkizunean
Marten egingo
diren esplorazioak
Garraiobide
berriak
Espazioan zehar nabigatzea
Orain arte, ia misio espazial
guztiek erregai eta erregarri bidez
elikatutako kohete-motorrak
erabili izan dituzte. Tamalez,
motor horiek ez dira oso
eraginkorrak; adibidez, abiarazi zuten unean,
ESAren Rosetta espazio-zundaren pisuaren
erditik gora erregaia zen.
Egun, ontziek garraiatzen duten erregai kantitatea murrizteko moduak ikertzenari da ESA. Abiapuntuetako bat ioizko motorra da, gasa espaziorantz ‘jaurtitzen’duen ‘pistola’ elektrikoa erabiliko duena.
Ioizko kohete-motor elektrikoak bultzada-indar oso txikia duen arren, gero etaabiadura handiagoa hartzen du, harik eta, unea heltzean, espazio-ontziariabiadura handiz lekualdatzeko aukera ematen dion arte.
SMART 1 zundak ioizko motorra probatu du, arrakastaz probatu ere, LurretikIlargira egindako bidaian. Erabilitako erregai kilogramo bakoitzeko, ontziarenabiadura-igoera 10 aldiz handiagoa da ioizko motorrarekin kohete-motorarruntarekin baino.
Orobat, kohete-motorren ordez ‘eguzki-belak’ baliatuko dituzten espazio-ontziakerabiltzea aztertzen ari da ESA. Eguzkiaren argiak tamaina handiko bela batengainean ‘jo’ eta beste planetetaraino bultza dezake espazio-ontzia. Eguzki-haizetan hilabete askotan egindako bidaiaren ostean, mota horretako espazio-ontziak orduko 360.000 km-ko abiadura lor dezake.
Espazioko
estazioak
EsplorazioanLaborategia
Jolasa
Berriak
908272 _ 0001-0003.qxd 20/9/07 15:48 Página 2

3
Aurkibidea
0. unitatea Berrikusketa 4-13
1. unitatea Zenbaki arrazionalak 14-43
2. unitatea Zenbaki errealak 44-73
3. unitatea Polinomioak 74-79
4. unitatea Lehen eta bigarren
mailako ekuazioak 100-137
5. unitatea Ekuazio-sistemak 138-177
6. unitatea Zenbakizko proportzionaltasuna 178-207
7. unitatea Progresioak 208-241
8. unitatea Leku geometrikoak.
Irudi lauak 242-273
9. unitatea Gorputz geometrikoak 274-309
10. unitatea Higidurak eta antzekotasunak 310-337
11. unitatea Funtzioak 338-365
12. unitatea Funtzio linealak eta afinak 366-393
13. unitatea Estatistika 394-421
14. unitatea Probabilitatea 422-447
908272 _ 0001-0003.qxd 20/9/07 15:48 Página 3

4
ZENBAKIAK
Kalkulatu zenbaki bakoitzaren sei multiplo.
a) 5 b) 10 c) 50 d) 72 e) 100 f) 450 g) 600 h) 723
a) 10, 15, 20, 25, 30, 35
b) 20, 30, 40, 50, 60, 70
c) 100, 150, 200, 250, 300, 350
d) 144, 216, 288, 360, 432, 504
e) 200, 300, 400, 500, 600, 700
f) 900, 1.350, 1.800, 2.250, 2.700, 3.150
g) 1.200, 1.800, 2.400, 3.000, 3.600, 4.200
h) 1.446, 2.169, 2.892, 3.615, 4.338, 5.061
Kalkulatu zenbaki bakoitzaren bi zatitzaile.
a) 25 b) 15 c) 150 d) 190 e) 320 f) 450 g) 600 h) 725
a) 1 eta 5 c) 3 eta 50 e) 20 eta 80 g) 6 eta 100
b) 3 eta 5 d) 10 eta 19 f) 5 eta 9 h) 5 eta 25
Idatzi dagokion hitza hutsuneetan (multiploa edo zatitzailea).
a) 6ren ... da 24 c) 25en … da 125
b) 24ren … da 12 d) 17ren … da 51
a) 6ren multiploa da 24 c) 25en multiploa da 125
b) 24ren zatitzailea da 12 d) 17ren multiploa da 51
Adierazi zein zenbaki diren lehenak, eta zein, konposatuak:
79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 eta 6.723.
Lehenak: 79, 239, 313
Konposatuak: 93 = 3 ⋅ 31 117 = 32
⋅ 13 585 = 32
⋅ 5 ⋅ 13
1.001 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 6.723 = 34
⋅ 83
Aurkitu 100etik 120ra arteko zenbaki lehenak.
100etik 120ra arteko zenbaki lehenak: 101, 103, 107, 109 eta 113.
Bete hutsuneak.
a) Zt (30) = {1, 2, 3, , , , 15, }
b) Zt (100) = {1, 2, , , 10, , 25, , 100}
c) Zt (97) = { , 97}
d) Zt (48) = { , 2, 3, 4, 6, , , , , }
a) Zt (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
b) Zt (100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}
c) Zt (97) = {1, 97}
d) Zt (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
006
005
004
003
002
001
Berrikusketa0
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 4

5
0
Kalkulatu zenbaki pare hauen z.k.h.
a) 2 c) 5 e) 1 g) 20
b) 1 d) 2 f) 2 h) 1
Kalkulatu zenbaki hauen m.k.t.
a) 14 c) 144 e) 2.989 g) 12.450
b) 84 d) 200 f) 14.560 h) 15.984
Kalkulatu zenbaki multzo bakoitzaren z.k.h. eta m.k.t.
a) 25, 50 eta 100 c) 40, 42 eta 48 e) 8, 10, 12 eta 14
b) 6, 7 eta 8 d) 12, 18 eta 20 f) 2, 4, 6, 8 eta 10
a) m.k.t. (25, 50, 100) = 100 z.k.h. (25, 50, 100) = 25
b) m.k.t. (6, 7, 8) = 168 z.k.h. (6, 7, 8) = 1
c) m.k.t. (40, 42, 48) = 1.680 z.k.h. (40, 42, 48) = 2
d) m.k.t. (12, 18, 20) = 180 z.k.h. (12, 18, 20) = 2
e) m.k.t. (8, 10, 12, 14) = 840 z.k.h. (8, 10, 12, 14) = 2
f) m.k.t. (2, 4, 6, 8, 10) = 120 z.k.h. (2, 4, 6, 8, 10) = 2
Bi salgai-ontzi portutik atera ziren
urtarrilaren 1ean. Lehenengoa handik
26 egunera itzuli zen, eta
bigarrena, 30 egunera. Etengabe
joan-etorrian dabiltza biak. Zenbat
egun pasatuko dira bi salgai-ontziek
berriro ere portuan topo egin arte?
m.k.t. (26, 30) = 390.
Itsasontziek 390 egun barru egingo dute topo portuan, hau da, hurrengo
urteko urtarrilaren 25ean egingo dute topo.
Bi soka-biribilki ditugu, 144 eta 120 m-ko luzerakoak, hurrenez
hurren. Ahalik eta neurri handieneko zenbat zati berdin egin daitezke
soka-biribilkiekin?
z.k.h. (144, 120) = 24.
Soka zatien neurri maximoa 24 m-koa da, eta beraz, egin daitekeen
zati kopurua hau da:
= 6 + 5 = 11 zati.
144
24
120
24
+
011
010
009
008
007
ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 5

6
Idatzi baldintza betetzen duten zenbaki oso guztiak.
a) −4 baino handiagoak eta +2 baino txikiagoak.
b) +3 baino txikiagoak eta −5 baino handiagoak.
c) +1 baino txikiagoak eta −2 baino handiagoak.
d) −5 baino handiagoak eta +6 baino txikiagoak.
a) −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2
b) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3
c) −2 < −1 < 0 < 1
d) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6
Adierazi zenbakizko zuzenean zenbaki hauek: −6, 0, −8, +3, −5 eta +4.
Adierazi zenbakizko zuzenean markatutako puntu bakoitzari dagokion zenbaki osoa.
a)
b)
a) A = −5, B = −3, C = 2, D = 5
b) A = −6, B = −4, C = −1, D = 3
Osatu, zenbaki osoak idatziz.
a) −3 < < < +1 c) −9 < < < −6
b) +3 > > > −1 d) −15 < < < −10
Jar al daiteke zenbaki bat baino gehiago hutsune bakoitzean?
a) −3 < −2 < −1 < +1 c) −9 < −8 < −7 < −6
b) +3 > +2 > +1 > −1 d) −15 < −14 < −13 < −10
Ebazpena ez da bakarra, c) atalerako izan ezik.
Kalkulatu.
a) ⏐+3⏐ b) ⏐−3⏐ c) ⏐−7⏐ d) ⏐−4⏐ e) ⏐+5⏐ f) ⏐−9⏐
a) ⏐+3⏐ = 3 c) ⏐−7⏐ = 7 e) ⏐+5⏐ = 5
b) ⏐−3⏐ = 3 d) ⏐−4⏐ = 4 f) ⏐−9⏐ = 9
Kalkulatu zenbaki hauen aurkakoak.
a) −5 b) +8 c) −15 d) −40 e) +125 f) −134
a) aur (−5) = +5 c) aur (−15) = +15 e) aur (+125) = −125
b) aur (+8) = −8 d) aur (−40) = +40 f) aur (−134) = +134
017
016
015
0
A B C D
A B C D
0
014
−8 −6 −5 +3 +40
013
012
Berrikusketa
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 6

7
0
Kalkulatu.
a) (−11) + (+4) c) (−20) + (−12)
b) (+13) + (+12) d) (+11) + (−15)
a) (−11) + (+4) = −7 c) (−20) + (−12) = −32
b) (+13) + (+12) = 25 d) (+11) + (−15) = −4
Egin kenketa hauek.
a) (−5) − (+5) c) (−15) − (−17)
b) (+3) − (−7) d) (+8) − (+7)
a) (−5) − (+5) = −10 c) (−15) − (−17) = 2
b) (+3) − (−7) = 10 d) (+8) − (+7) = 1
Kalkulatu.
a) (−4) + (+5) − (−18) c) (+20) − (−5) − (+5)
b) (+30) − (+7) + (−18) d) (−12) − (+3) − (−7)
a) (−4) + (+5) − (−18) = 19 c) (+20) − (−5) − (+5) = 20
b) (+30) − (+7) + (−18) = 5 d) (−12) − (+3) − (−7) = −8
Bete hutsuneak, berdintzak zuzenak izan daitezen.
a) (+13) + = (+12) c) (−15) − = (+9)
b) + (−20) = (−12) d) − (+8) = (+7)
a) −1 b) 8 c) −24 d) 15
Kalkulatu.
a) (+4) ⋅ (−5) c) (−40) ⋅ (−10)
b) (−40) ⋅ (+8) d) (+2) ⋅ (+15)
a) (+4) ⋅ (−5) = −20 c) (−40) ⋅ (−10) = 400
b) (−40) ⋅ (+8) = −320 d) (+2) ⋅ (+15) = 30
Egin zatiketa hauek.
a) (+35) : (−7) b) (−21) : (+3) c) (−18) : (−2) d) (+40) : (−10)
a) (+35) : (−7) = −5 c) (−18) : (−2) = 9
b) (−21) : (+3) = −7 d) (+40) : (−10) = −4
a) (+13) ⋅ = (+39) c) (−15) : = (+5)
b) ⋅ (−6) = (−42) d) : (+8) = (+2)
a) 3 b) 7 c) −3 d) 16
024
023
022
021
020
019
018
ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 7

8
Egin eragiketa hauek.
a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3)
b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5)
c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4)
d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7)
a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) = 6 + (−2) − (−4) = 8
b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) = 7 − (+1) + (−3) = 3
c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) = 3 + (−1) − (−11) = 13
d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) = −8 + (+5) + (−16) = −19
e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3) = 10 − (+1) + (−12) = −3
f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5) = 1 − (−1) + (−9) = −7
g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4) = −1 − (0) = −1
h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7) = 3 + (−4) − (−5) = 4
Kalkulatu adierazpenen balioak.
a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 d) 100 − 22 ⋅ 5
b) (−12) ⋅ 7 : 3 e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4
c) 9 − 12 : 4 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2
a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 = 5
b) (−12) ⋅ 7 : 3 = −28
c) 9 − 12 : 4 = 6
d) 100 − 22 ⋅ 5 = −10
e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4 = −13 − 2 + 4 = −11
f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2 = −135 + 21 = −114
Egin eragiketak.
a) (−4) − (−6) : (+3)
b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2)
c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9)
d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5)
e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6)
f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)]
a) (−4) − (−6) : (+3) = (−4) − (−2) = −2
b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) = −1 − (−14) = 13
c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9) = (−11) − (+2) − (−9) = −4
d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) = (−18) − (−1) + (+5) = −12
e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) = (−5) − (−9) − (−1) = 5
f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)] = (+3) − (−3) = 0
027
026
025
Berrikusketa
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 8

Kalkulatu.
a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3)
b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7
c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)]
d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1]
a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) = 30 − 12 = 18
b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7 = [(−1) + 9] ⋅ 7 = 56
c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] = 2 ⋅ (−2) = −4
d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1] = (−6) − (−143) = 137
a) (−6) ⋅ [(−1) + ] = −18 c) 3 − [ ⋅ 5] = 18
b) 8 ⋅ [4 − ] = 32 d) 1 + [3 : ] = −2
a) 4 b) 0 c) −3 d) −1
Adierazi arrazoi banaren bidez.
a) Testaren 55 galderetatik 36 asmatu ditut.
b) 68 arrautza genituen eta 12 hautsi dira.
c) Lehen txandan 94 ikaslek bazkaltzen dute, eta bigarrenean, 65ek.
d) Fruitu-denda batean, 7 kutxa tomate eta 3 kutxa piper daude.
a) b) c) d)
Ikastetxeko jangelan, 3 ogi jartzen dituzte 8 ikasleko. Gaur
124 ikaslek bazkaldu dugu eta 50 ogi jarri dituzte. Eutsi al diote
proportzioari?
eta arrazoiek proportzioa osatzen duten ala ez aztertuko dugu.
3 ⋅ 124 8 ⋅ 50
Beraz, ez diote eutsi proportzioari.
Bereizi zer arrazoik osatzen duten proportzioa.
a) b) c)
a) Proportzioa osatzen dutenak: .
b) Proportzioa osatzen dutenak: .
c) Proportzioa osatzen dutenak: .
7 5
3
10
4
,
=
10
2
50
10
=
2
1
6
3
=
7 5
3
4
6
3
2
10
4
,
, , ,
10
2
50
10
30
8
20
5
, , ,
2
1
8
2
6
3
9
5
, , ,
032
50
124
3
8
031
3
7
65
94
12
68
36
55
030
029
028
9
0ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 9

10
«MENDIBIDE: GALDETUTAKOEN %8K SOILIK KRITIKATU DU UDALAREN LANA.»
Mendibidek 7.000 biztanle baditu, zenbat biztanlek onartzen dute, gutxi
gorabehera, udalaren lana?
7.000ren % 8 = 560 biztanlek kritikatzen dute udalaren lana.
Beraz, 7.000 − 560 = 6.440k onartzen dute udalaren lana.
Eskuinean jogurt baten konposizioa ageri da:
Kalkulatu osagaien pisua, jogurta 125 g-koa bada.
125 g jogurtean osagai hauek daude:
125en % 3,5 = 4,375 g proteina
125en % 13,4 = 16,75 g karbohidrato
125en % 1,9 = 2,375 g koipe
GEOMETRIA
Marraztu poligono hau koadernoan, eta adierazi aldeak, erpinak
eta angeluak. Marraztu diagonalak. Zenbat diagonal ditu?
5 diagonal ditu.
Marraztu erregularrak ez diren oktogono, eneagono eta dekagono
bana, eta haien diagonalak.
036
035
034
033
Berrikusketa
NUTRIZIO-BALIOA
Proteinak: % 3,5
Karbohidratoak: % 13,4
Koipeak: % 1,9
G
G
G
G
Erpina
Diagonala
Aldea
Angelua
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 10

11
0
Adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldiak.
a) Poligono batek erpin gehiago izan ditzake alde baino.
b) Poligono batek erpin gehiago izan ditzake angelu baino.
c) Poligono batek erpin gehiago izan ditzake diagonal baino.
a) Okerra. c) Zuzena; esate baterako,
b) Okerra. triangeluak eta karratuak.
Marraztu zirkunferentzia bat, konpasa erabiliz. Ondoren, marraztu korda bat eta
dagozkion bi arkuak.
Alboko zirkunferentzian, adierazi zer zuzenki diren kordak, erradioak eta diametroak.
Erantzun galdera hauei.
a) Izan al daiteke aldeberdina triangelu angeluzuzen bat?
b) Zenbatekoak dira triangelu angeluzuzen isoszele baten angeluak?
c) Triangelu angeluzuzen baten angelu zorrotz bat beste angelu
zorrotza halako hiru da. Zer neurri dute angeluek?
a) Ez, triangelu aldeberdinaren hiru angeluak 60°-koak direlako.
b) Angelu bat 90°-koa da, eta beste biak, 45°-koak.
c) Angelu bat 90°-koa da; beste bat, 22,5°-koa; eta hirugarrena, 67,5°-koa.
Triangelu isoszele baten angelu desberdina 50°-koa da. Zenbatekoak dira angelu
berdinak?
Angelu berdinak:
.
180 50
2
65
−
= °
C
A B
041
040
Kordak
Diametroa
Erradioak
F
F
G
G
G
G
039
G
FBA arkua
Korda
G AB arkua
B
A
038
037
ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 11

12
Triangelu angeluzuzen, isoszele eta eskaleno bana marraztu, eta oinarriarekiko
paraleloa den zuzen batez ebakitzen baditugu, zer poligono lortuko dugu kasu
bakoitzean?
Triangelu angeluzuzenaren kasuan, oinarria kateto bat bada, beste triangelu
angeluzuzen bat eta trapezio angeluzuzen bat lortuko ditugu. Oinarria
hipotenusa bada, triangelu angeluzuzen bat eta trapezio bat lortuko ditugu.
Triangelu isoszelearen kasuan, oinarria alde desberdina bada, triangelu
isoszele bat eta trapezio isoszele bat lortuko ditugu. Oinarria alde berdin bat
bada, triangelu isoszele bat eta trapezio bat lortuko ditugu.
Kalkulatu zenbatekoa den C$ alboko trapezio
angeluzuzenean, jakinik B$ = 45°dela.
A$ = 90°, D$ = 90° eta B$ = 45° → C$ = 360 − 90 − 90 − 45 = 135°
FUNTZIOAK
Idatzi puntu bakoitzaren koordenatuak.
A(3, 2) C(0, 4) E(5, −3) A(3, 6) C(−4, 5) E(−5, 0)
B(−4, 2) D(1, −3) F(−2, −2) B(6, 1) D(0, −1) F(4, −3)
AB
C
D E
F
Y
X
A
B
C
D
E
F
1
1
1
1
G
Y
X
044
043
042
Berrikusketa
Triangelua eskalenoa bada, jatorrizkoaren
antzeko triangelu eskaleno bat eta trapezio
bat lortuko ditugu.
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 12

13
0
Puntu hauek ditugu: A(4, −1), B(3, 4), C(−3, 2) eta D(−2, -3):
a) Adierazi planoan.
b) Elkartu ordena alfabetikoan, eta gero, elkartu D eta A. Zer irudi lortu duzu?
Erronboide bat.
Egin gauza bera puntu hauekin: A(5, 0), B(3, 4), C(−3, 4), D(−5, 0) eta E(0, −4).
Pentagono bat
lortzen da.
Adierazi grafikoki puntu hauek: A(−5, 2), B(4, 0), C(−5, −1), D(8, 2) eta E(−1, 2).
a) Esan zein diren ordenatu bera duten puntuak.
b) Zenbat puntuk dute abzisa bera? Zein dira?
a) Ordenatu bera: A, D eta E.
b) Abzisa bera: A eta C.
Marraztu koordenatu-ardatzak,
puntua A(2, -1) izan dadin.
A
Y
X
2
−1
048
A
E
B
C
D
Y
X0
5
3
1
−1
−3
−5
047
A
E
BC
D
Y
X1
1
046
A
B
C
D
Y
X1
1
045
3−3 5 7
ERANTZUNAK
908272 _ 0004-0013.qxd 20/9/07 16:09 Página 13

14
Zenbaki arrazionalak1
ZEHATZAK PERIODIKOAK
EZ-ZEHATZAK ETA
EZ-PERIODIKOAK
SOILAK
ZATIKIAK
MISTOAK
ZENBAKI
HAMARTARRAK
ZATIKI
BALIOKIDEA
ERAGIKETAK
ZATIKI
LABURTEZINA
ZENBAKI
ARRAZIONALAK
ZATIKETABATUKETA KENKETA BIDERKETA
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 14

Egunari:
Gauari:
6
9
2
3
=
3
9
1
3
=
Oroitzapenen bidezidorra
Aita santuaren tronuaren egoitza zabal eta huts ageri zen Silvestre II.aren aurrean. Antzina
hain boteretsua izandako Erromako aita santuak galdua zuen jada bere botere politiko
guztia. Haatik, haren presentzia hutsa nahikoa zen edonoren baitan errespetu ia
mistikoa sorrarazteko.
Zahartzarora helduta, bere iraganeko bideetan zehar paseatzea atsegin zuen. Inork ezin
ziezaiokeen haraino jarraitu, eta aske sentitzen zen. Atseginez oroitzen zuen Ripolleko
kataluniar monasterioan egindako egonaldia, hango liburutegi izugarrira egindako
bisitaldi sarriak, eta Hegoaldetik etorritako zientzia.
Oroimenera etortzen zitzaizkion zenbait pasadizok aurpegia
alaitzen zioten. Adibidez, fitxetan arabiar zenbakiak idatzita
zituen abako hura oroitu zuen. Berak egin zuen, eta xehetasun
handiz azaldu zuen haren erabilera. Oroitu zuen, orobat,
denbora zatikatzeko makina haren proiektua, fraideen kanpaiak
ordeztu behar zituena: matutiak, laudeak, primak, tertziak...
Liburua ireki zuen eta, ausaz, denbora neurtzeko
makinaren proiektua agertu zitzaion. Honela zioten
proiektu haren lehenengo lerroek:
Eguna eta gaua dira eguna osatzen duten bi zatiak;
ez dira berdinak, ordea. Abenduaren lehenean
3 kandela erre dira egunez; gauez, berriz,
6 kandela…
Bat-batean, kandeletako kea haize-laster baten ostean bezala,
denboran atzera marraztutako balizko bidea desagertu egin
zitzaion, idazkariaren ahotsa entzutean; jakinarazten zion,
apur bat urrunetik, hurrengo audientzia hastear zegoela.
Egunaren zer zati emango zenizkioke egunari eta gauari?
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 15

16
ARIKETAK
Kalkulatu.
a) 450en b) 350en
a) b)
Aztertu zatiki hauek baliokideak diren ala ez.
a) eta b) eta
a) Baliokideak dira; izan ere: 7 ⋅ 6 = 42 = 2 ⋅ 21.
b) Ez dira baliokideak; izan ere: 12 ⋅ 25 = 300 600 = 60 ⋅ 10.
Adierazi zatiki hauek batekoaren zati gisa, grafiko baten bidez.
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Idatzi zenbakizko balio hauek dituzten zatikiak:
a) 2 b) −2 c) 0,5 d) 1,5
a) c)
b) d)
Idatzi, beheko zatiki hauetako bakoitzerako, lau zatiki baliokide:
bi anplifikazioz eta bi sinplifikazioz.
a) b) c)
ANPLIFIKAZIOZ SINPLIFIKAZIOZ
a)
b)
c)
12
28
6
14
3
7
= =
12
28
24
56
36
84
= =
690
360
230
120
69
36
= =
690
360
1 380
720
2 070
1 080
= =
. .
.
120
60
60
30
40
20
= =
120
60
240
120
360
180
= =
12
28
690
360
120
60
005
3
2
1 5= ,
−
= −
6
3
2
1
2
0 5= ,
14
7
2=
004
6
3
5
5
7
4
4
10
003
10
25
12
60
21
6
7
2
002
3
7
350 150⋅ =
4
5
450 360⋅ =
3
7
4
5
001
Zenbaki arrazionalak
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 16

17
1
Kalkulatu zatiki hauen zatiki laburtezinak.
a) b) c)
a) z.k.h. (18, 40) = 2 ⎯→
b) z.k.h. (60, 75) = 15 →
c) z.k.h. (42, 56) = 14 →
Aurkitu, izendatzailea 100 izanik, zatiki hauen baliokideak diren zatikiak:
, eta .
zatikia laburtezina da. Laburtezina izaten jarraituko al du zenbakitzailea
eta izendatzailea 7z biderkatzen baditugu?
Ez da izango laburtezina, zenbakitzaileak eta izendatzaileak
7 biderkagai komuna izango baitute.
Ordenatu txikienetik handienera.
a)
b)
a) m.k.t. (9, 3, 5, 30) = 90;
b) m.k.t. (5, 4, 7, 9) = 1.260;
3
7
4
9
3
5
3
4
< < <
4
9
560
1 260
=
.
3
5
756
1 260
3
4
945
1 260
3
7
540
1 260
= = =
.
,
.
,
.
,
1
3
11
30
2
5
4
9
< < <
4
9
40
90
1
3
30
90
2
5
36
90
11
30
33
90
= = = =, , ,
3
5
3
4
3
7
4
9
, , ,
4
9
1
3
2
5
11
30
, , ,
009
a
b
008
11
20
55
100
=
39
50
78
100
=
13
25
52
100
=
11
20
39
50
13
25
007
42
56
3
4
=
60
75
4
5
=
18
40
9
20
=
42
56
60
75
18
40
006
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 17

18
Ordenatu txikitik handira: .
m.k.t. (9, 3, 4, 5 ,7) = 1.260;
Zenbat balio behar du a-k izan dadin?
a-k 7 baino handiagoa izan behar du: a > 7.
Kalkulatu.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Egin biderketa hauek.
a) b)
a)
b)
a) b)
a)
b) − − − = − − − =5
9
4
3
14
140
28
63
28
6
28
209
28
− + − = − + − =
−7
2
9
4
5
8
28
8
18
8
5
8
15
8
− − −5
9
4
3
14
− + −
7
2
9
4
5
8
014
( )− ⋅ =
−
= −4
11
2
44
2
22
12
5
7
3
84
15
28
5
⋅ = =
( )− ⋅4
11
2
12
5
7
3
⋅
013
4
8
3
12
3
8
3
4
3
− = − =
5
3
4
3
1
3
− =
5
7
8
40
8
7
8
47
8
+ = + =
7
8
3
8
10
8
5
4
+ = =
4
8
3
−5
7
8
+
5
3
4
3
−
7
8
3
8
+
012
a
5
7
5
>011
−
<
−
< < <
3
4
2
3
5
9
6
7
8
5
8
5
2 016
1 260
6
7
1 080
1 260
= =
.
.
,
.
.
5
9
700
1 260
2
3
840
1 260
3
4
945
1 260
=
−
=
− −
=
−
.
,
.
,
.
,
5
9
2
3
3
4
8
5
6
7
, , , ,
− −
010
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 18

19
1
Osatu zatiki banarekin.
a) b)
a)
b)
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Kalkulatu.
a) b)
a)
b)
Egin eragiketak.
a) b)
a)
b)
Osatu zatiki banarekin, berdintza horiek zuzenak izan daitezen.
a) b)
a) b)
6
5
3
5
30
15
6
3
: = =
3
5
21
20
60
105
4
7
: = =
:
3
5
6
3
==
21
20
3
5
:
019
9
4
5
6
8
9
6
5
83
36
6
5
− +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−
: :
⎛⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−415
216
−
⋅ + −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−
⋅ =
7
3
3
5
5
6
7
12
7
3
51
60
357
180
9
4
5
6
8
9
6
5
− +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟:
−
⋅ + −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
7
3
3
5
5
6
7
12
018
4
25
8
2
7
20
4
25
73
20
349
100
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= − =
5
9
7
5
4
15
5
9
17
15
76
45
+ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= + =
4
25
8
2
7
20
− −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
5
9
7
5
4
15
+ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
017
( ) :− =
−
=
−
5
10
9
45
10
9
2
8
11
3
5
40
33
: =
4
7
2
8
7
: =
9
5
4
7
63
20
: =
( ) :−5
10
9
8
11
3
5
:
4
7
2
:
9
5
4
7
:
016
3
7
1
21
10
21
3
7
10
21
1
21
+ = − =
−
→
1
4
1
3
1
12
1
3
1
12
1
4
− =
−
+
−
=→
=
−1
21
3
7
−=
1
4
1
3
+
015
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 19

20
Adierazi zati osoa, zati hamartarra, periodoa eta aurreperiodoa.
a) 0,333… c) 3,37888…
b) 234,4562525… d) 0,012333…
a) Zati osoa: 0. c) Zati osoa: 3.
Periodoa: 3. Aurreperiodoa: 37.
Periodoa: 8.
b) Zati osoa: 234. d) Zati osoa: 0.
Aurreperiodoa: 456. Aurreperiodoa: 012.
Periodoa: 25. Periodoa: 3.
Sailkatu zenbaki hauek.
a) 0,333… b) 34,45666… c) 125,6
a) Periodiko soila.
b) Periodiko mistoa.
c) Hamartar zehatza.
Osatu hamarna zifra hamartar izan arte.
a) 1,347347… c) 3,2666…
b) 2,7474… d) 0,253737…
a) 1,3473473473 c) 3,2666666666
b) 2,7474747474 d) 0,2537373737
Idatzi bi zenbaki hamartar ez-zehatz eta ez-periodiko.
2,12345678… eta 56,12112111211112…
Zatiketa egin gabe, sailkatu zatiki hauek adierazpen modua kontuan hartuz:
zenbaki osoa, hamartar zehatza ala periodikoa. Azaldu nola egin duzun.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) Periodikoa. f) Periodikoa.
b) Periodikoa. g) Osoa.
c) Hamartar zehatza.
h) Hamartar zehatza.
d) Osoa.
e) Hamartar zehatza. i) Periodikoa.
−
−
=
−
−
346
222
173
111
→
111
240
37
80
= →
−
=
−84
210
2
5
→
−
−
346
222
17
6
9
5
−84
210
111
240
7
6
−85
17
175
25
5
3
024
023
022
021
020
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 20

Idatzi zenbaki hauek adierazteko bina zatiki:
a) Zenbaki osoa.
b) Zenbaki hamartar zehatza.
c) Zenbaki hamartar periodikoa.
a) b) c)
Zatiki batean zenbakitzailea izendatzailearen multiploa ez bada, eta izendatzaileak
2 eta 5 ez diren biderkagaiak baditu, zer zenbaki hamartar mota adierazten du?
Hamartar periodiko soila adierazten du, ez delako osoa eta izendatzaileko
biderkagaiak ez direlako ez 2 eta ez 5.
Lortu zenbaki hamartar hauen zatiki sortzaileak.
a) 3,54 f) 0,8
)
b) 9,87 g) 0,77
)
c) 0,000004 h) 5,211
)
d) 24,75 i) 37,111
)
e) −7,002 j) −2,02
)
a) f)
b) g)
c) h)
d) i)
e) j)
Adierazi zatiki gisa.
a) 3,9
)
b) 1,79
)
c) 15,9
)
Zeren baliokide da 9z osatutako periodoa?
a) b) c)
9z osatutako periodoa ondorengo zenbaki oso handiagoaren
baliokidea da.
Osatu: a) b)
a) b) 5 6
28
5
, =5 33
533
100
, =
5 6
5
, =5 33
533
, =029
144
9
16=
162
9
18=
36
9
4=
028
−200
99
−
=
−7 002
1 000
3 501
500
.
.
.
4 120
111
.2 475
100
99
4
.
=
5 206
999
.4
1 000 000
1
250 000. . .
=
7
9
987
100
8
9
354
100
177
50
=
027
026
5
3
8
35
eta
3
5
7
2
eta
4
2
20
4
eta
025
21
1ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 21

22
Lortu zenbaki hauen zatiki sortzaileak.
a) 3,24
)
b) 11,87
)
c) 5,925
)
a) b) c)
Kalkulatu, zatiki sortzaileak erabiliz.
a) 2,75 + 3,8 b) 5,06
)
− 2,95
)
a)
b)
Arrazoitu, zatiki sortzaileak lortu gabe, zergatik diren okerrak berdintza hauek.
a) c)
b) d)
a) Okerra da, izendatzaileak 990 izan behar duelako: 99 periodoarengatik
eta 0 aurreperiodoarengatik.
b) Okerra da, izendatzaileak ezin duelako zati osoa, periodoa eta
aurreperiodoa elkartuta baino handiagoa izan; kasu honetan, 23.
c) Okerra da, zatidura 2 baino txikiagoa delako (55 < 2 ⋅ 45) eta zenbakia
12 baino handiagoa.
d) Okerra da, izendatzaileak 900en zatitzailea izan behar duelako; eta ez da.
Osatu taula hau, kontuan izanik zenbaki bat lauki batean baino gehiagotan egon
daitekeela.
−0,224466881010… −1,897897897…− 24
0,67543 −3,0878787… −1,5
Idatzi baldintzak betetzen dituzten zk. arrazionalak adierazten dituzten 4na zatiki:
a) 1 baino txik. eta −1 baino handiagoak. b) −1 baino hand. eta 0 baino txik.
a) b)
− − − −5
9
1
3
2
5
51
65
, , ,
− −7
9
2
3
2
5
48
65
, , ,
034
Zenbaki
arrunta
Zenbaki
osoa
Hamartar
zehatza
Hamartar
periodikoa
Hamartar ez-zehatza
eta ez-periodikoa
Zenbaki
arrazionala
24 24 0,67543 −1,897897897… −0,224466881010… 0,67543
−1,5 −3,0878787… −1,897897897…
−3,0878787…
24
−1,5
033
0124
56
495
, =0 023
321
990
, =
12 37
55
45
, =0 243
241
999
, =
032
456
90
266
90
190
90
2− = = ,1
275
100
38
10
275 380
100
655
100
6 55+ =
+
= = ,
031
5 866
990
.1 069
90
.292
90
030
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 22

23
1
Idatzi arrazionalak ez diren eta tarte hauetan dauden launa zenbaki:
a) −1etik 1era bitartean b) −1etik 0ra bitartean
a) −0,01001000100001…; −0,12345678…; 0,122333444455555…;
0,135791113…
b) −0,01001000100001…; −0,12345678…; −0,122333444455555…;
−0,135791113…
ARIKETAK
Adierazi enuntziatu hauek zatiki bana erabiliz.
a) Pizza bat zortzi zatitan banatu dute, eta Jonek bi jan ditu.
b) 20 ikasleko ikasgela batetik, 15 ikasle txango bat egitera joan dira.
c) 7 neskaz osatutako lagun talde batetik 3 ilegorriak dira.
d) 5 pertsonatik batek bizkarreko arazoak ditu.
a) b) c) d)
Idatzi irudi bakoitzean zati koloreztatuak adierazten duen zatikia.
a) c)
b) d)
a) b) c) d)
Adierazi zatiki hauek, irudi geometrikoak erabiliz.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
4
9
7
6
5
2
3
7
038
●
3
5
2
8
1
4
=
11
8
1
3
037
●
1
5
3
7
15
20
3
4
=
2
8
1
4
=
036
●
035
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 23

24
Koloreztatu irudi honen .
Kalkulatu.
a) 180ren c) 40ren e) 320ren
b) 420ren d) 540ren f) 1.342ren
a) 90 b) 350 c) −16 d) 240 e) 200 f) −366
041
−3
11
4
9
5
6
5
8
−2
5
1
2
040
●
2
3
039
●
EGIN HONELA
NOLA ADIERAZTEN DIRA ZATIKI INPROPIOAK ZENBAKIZKO ZUZENEAN?
Adierazi zatiki hau zenbakizko zuzenean: .
LEHENA. Zenbaki oso batez gehi zatiki propio batez adierazten da zatikia.
→ →
Zatikia 5etik 6ra bitartean dago.
BIGARRENA. 5etik 6ra bitartean dagoen zuzenaren zatia izendatzaileak adierazitako
zatitan banatu (3) eta zenbakitzaileak adierazten duen adina zati hartzen dira (1).
Zuzen zati hori zatitzeko, jatorria 5en duen zuzenerdia marrazten da, nahi den
maldarekin; eta hiru zuzenki berdin marrazten dira.
Azken zuzenkiaren muturra 6 adierazten duen puntuarekin lotzen da, eta beste
bietatik zuzen horrekiko paraleloak diren bi zuzen marrazten dira.
5 6
5 16
3
6
5 6
16
3
5
1
3
= +
16 3
1 5
16
3
16
3
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 24

25
1
Adierazi zenbaki arrazional hauek.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Zer zatiki adierazten du letra bakoitzak?
a)
b)
c)
a) b) c)
Adierazi zatiki pare hauek baliokideak diren ala ez.
a) d)
b) e)
c) f)
a) 3 ⋅ 7 10 ⋅ 21. Ez dira baliokideak.
b) −1 ⋅ 30 7 ⋅ (−14). Ez dira baliokideak.
c) 6 ⋅ 8 10 ⋅ 3. Ez dira baliokideak.
d) −2 ⋅ 5 3 ⋅ (−4). Ez dira baliokideak.
e) 2 ⋅ 20 = 5 ⋅ 8. Baliokideak dira.
f) 20 ⋅ 450 50 ⋅ 120. Ez dira baliokideak.
20
50
120
450
eta
6
10
3
8
eta
2
5
8
20
eta
− −1
7
14
30
eta
− −2
3
4
5
eta
3
10
21
7
eta
044
●
6
2
6
38
6
+ =1
1
5
6
5
+ =− − =
−
2
2
3
8
3
C
6 7
B
1 2
A
−3 −2 −1
043
●
28
8
3 4
−
−
= = +
28
8
28
8
3
4
8
13
3
4 5
13
3
4
1
3
= +
−7
5
−2 −1
−
= − −
7
5
1
2
5
2
9
0 1
−
−
28
8
−7
5
13
3
2
9
042
●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 25

26
Kalkulatu x-ren balioa, zatikiak baliokideak izan daitezen.
a) b) c) d)
a) x = = 15 c) x = = 8
b) x = = 6 d) x = = 3
Osatu.
Jarri batera baliokideak diren zatikiak.
Lortu zatiki hauetako bakoitzaren lau zatiki baliokide; bi anplifikazio bidez, eta
beste bi sinplifikazio bidez.
Anplifikazioa: . Anplifikazioa: .
Sinplifikazioa: . Sinplifikazioa: .
Anplifikazioa: . Anplifikazioa: .
Sinplifikazioa: . Sinplifikazioa: .
Anplifikatu zatiki hauek, kontuan hartuz zatikien izendatzaileek 300 baino
handiagoak eta 400 baino txikiagoak izan behar dutela.
a) b) c) d) e) f)
a) c) e)
b) d) f)
−770
350
−30
370
162
312
120
320
900
330
100
360
−11
5
3
8
−3
37
3
11
27
52
5
18
049
●●
504
72
252
36
126
18
= =
60
36
30
18
10
6
= =
504
72
1 008
144
1 512
216
= =
. .60
36
300
180
600
360
= =
30
45
6
9
2
3
= =
8
100
4
50
2
25
= =
30
45
300
450
600
900
= =
8
100
16
200
24
300
= =
504
72
30
45
60
36
8
100
048
●
− −1
2
3
6
eta
4
2
10
5
eta
−
−
20
40
2
4
eta
20
40
4
2
1
2
10
5
2
4
3
6
, , , , ,
− −
−
−
047
●
2
3
4
6
4
6
20
30
30
45
= = = =
2
3
4
6 30
30
= = = =
046
●
14 9
42
⋅9 4
6
⋅
12 6
9
⋅10 6
4
⋅
14
42 9
=
xx
12
6
9
=
9 6
4x
=
10
4 6
=
x
045
●
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 26

27
1
Sinplifikatu zatiki hauetako bakoitza, zatiki laburtezina lortu arte.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
Adierazi zatikien sinplifikazio hauen artean zein dauden gaizki eginda, eta
argudiatu zergatia.
a) c)
b) d)
a) Gaizki, zenbakitzaileko eta izendatzaileko batugaiak ezin direlako
sinplifikatu.
b) Ongi.
c) Gaizki, zenbakitzaileko eta izendatzaileko batugaiak ezin direlako
sinplifikatu.
d) Ongi; hala ere, gehiago sinplifika daiteke.
Idatzi eta , zatikien zatiki baliokide bana. Izendatzaile bera izan behar
dute.
m.k.t. (5, 6) = 30
Ordenatu handienetik txikienera.
a) d)
b) e)
c) f)
2
5
4
7
8
35
1
2
, , ,
3
8
10
24
20
48
, ,
− −43
60
10
40
8
10
, ,
− −11
8
7
8
,
− − −4
6
21
6
5
12
, ,
4
9
7
8
,
−
053
●
→
1
5
6
30
4
6
20
30
= =eta
4
6
1
5
052
●●
40
80
40 20
80 20
2
4
= =
:
:
22
14
2 11
2 7
11
7
=
⋅
⋅
=
20
18
15 5
15 3
5
3
=
+
+
=
22
13
11 11
11 2
11
2
=
+
+
=
051
●●
1
3
2
3
4
9
10
7
8
9
105
4
5
1
5=
5
4
1
2
6
18
40
60
8
18
30
21
16
18
210
8
55
11
15
12
20
40
050
●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 27

28
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Idatzi pare hauen artean dagoen zatiki bana:
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
−
+
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−5
9
6
9
2
11
18
:
7
6
8
6
2
15
12
5
4
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= =:
−
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
1
6
1
5
2
1
60
:
9
7
11
9
2
158
126
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=:
−
+
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−3
7
2
5
2
29
70
:
4
5
7
8
2
67
80
+
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=:
− −5
9
6
9
eta
− −3
7
2
5
eta
9
7
11
9
eta
−1
6
1
5
eta
7
6
8
6
eta
4
5
7
8
eta
055
●●
054
2
5
28
70
4
7
40
70
8
35
16
70
1
2
35
70
4
7
1
2
2
= = = = > >, , , →
55
8
35
>
10
40
15
60
8
10
48
60
10
40
43
60
8
10
=
−
=
−
>
−
>
−
, →
−
=
− −
=
− −
>
−
>
−4
6
8
12
21
6
42
12
5
12
4
6
21
6
, →
3
8
18
48
10
24
20
48
10
24
20
48
3
8
= = = >, →
−
>
−7
8
11
8
4
9
7
8
>
−
EGIN HONELA
NOLA LORTZEN DA BI ZATIKIREN ARTEAN DAGOEN ZATIKI BAT?
Bilatu eta idatzi bi zatiki hauen artean dagoen zatiki bat: eta .
LEHENA. Bi zatikiak batu egin behar dira.
BIGARRENA. Sortutako zatikia 2z zatitu behar da.
zatikia eta zatikien artean dago.
7
6
4
9
29
36
29
18
2
29
36
: =
4
9
7
6
8
18
21
18
29
18
+ = + =
7
6
4
9
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 28

29
1
Kalkulatu.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Egin kenketa hauek.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Kalkulatu.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Egin eragiketak.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
−
− − =
−18
21
63
21
49
21
130
21
−
+ − =
−8
20
15
20
20
20
13
20
18
24
15
24
192
24
159
24
+ − =
−10
12
20
12
15
12
45
12
15
4
+ + = =
14
30
20
30
5
30
11
30
− − =
−24
16
5
16
6
16
23
16
+ − =
− − −
6
7
3
7
3
7
15
2
3
1
6
− −
5
6
5
3
5
4
+ +
9
12
5
8
8+ −
−
+ −
2
5
3
4
1
3
2
5
16
3
8
+ −
059
●
189
63
3
63
9
63
14
63
191
63
− − + =
70
77
110
77
84
77
96
77
+ − =
156
156
13
156
60
156
109
156
+ − =
150
210
21
210
70
210
199
210
− + =
24
6
1
6
7
6
30
6
5− + = =
34
7
3
1
21
1
7
2
9
− − +4
1
6
7
6
− +
5
7
1
10
1
3
− +
1
1
12
5
13
+ −
10
11
10
7
12
11
+ −
25
7
11
7
2
7
+ −
058
●
154
66
33
66
6
66
115
66
− − =
15
30
2
30
13
30
− =
126
84
12
84
14
84
100
84
− − =
23
11
7
3
1
2
1
11
− −
3
2
1
7
2
12
− −
5
10
1
15
−
33
11
10
11
−
057
●
63
7
5
7
6
7
62
7
+ − =
21
6
12
6
8
6
41
6
+ + =
−7
2
8
4
9
5
7
6
7
+ −
5
2
3
2
9
2
− −
7
2
2
8
6
+ +
3
4
5
4
1
4
+ +
056
●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 29

30
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Osatu hutsuneak.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Egin biderketa hauek.
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Egin eragiketa.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
9 3 11
4 11 3
9
4
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
27
42
9
14
=
162
35
− = −
14
36
7
18
3
24
1
8
=
36
30
6
5
=
9
4
3
11
11
3
⋅ ⋅
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
4
3
6
2
9
7
4
⋅
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
9
7
6
5
3⋅ ⋅
9
6
3
7
⋅
12
5
3
6
⋅
063
●●
84
9
28
3
=
70
6
35
3
=
40
14
20
7
=
12
15
4
5
=
21
4
9
⋅
7
2
10
3
⋅
5
14
8⋅
2
3
6
5
⋅
062
●
= − − =
−1
4
1
6
1
5
7
60
= − =
4
5
4
6
2
15
= − − =
−3
9
3
7
3
8
79
504
= − =
1
2
1
3
1
6
=
1
6
1
4
1
5
− −=
4
6
4
5
−
=
3
9
3
7
3
8
+=
1
2
1
3
+
061
●●
1 521
1 287
99
1 287
1 573
1 287
3 193
1 287
.
. .
.
.
.
.
+ + =
9
18
2
18
2
18
9
18
1
2
+
−
+ = =
588
924
77
924
330
924
995
924
+ + =
50
70
7
70
43
70
+
−
=
385
77
70
77
110
77
565
77
+ + =
−7
16
13
11
1
13
11
9
+ +5
10
11
10
7
+ +
5
7
1
10
+
−
7
11
1
12
5
14
+ +
1
2
1
9
2
18
+
−
+
−
+
−5
16
2
16
060
●
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 30

31
1
Kalkulatu.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Osatu hutsuneak.
a) d)
b) e) (−5) ⋅
c) f) =−2
a)
b)
c)
d)
e)
f) = − =
−4
5
2
2
5
: ( )
=
−
− =
10
3
5
2
3
: ( )
= = =
1
4
1
5
1
6
30
4
15
2
: :
= =
3
9
3
7
3
8
56
27
: :
=
−
=
−4
5
4
6
6
5
:
= =
1
4
1
3
3
4
:
4
5
:=
3
9
3
7
3
8
⋅ ⋅
= −
10
3
=
−4
6
4
5
:
=
1
6
1
4
1
5
: :=
1
4
1
3
⋅
066
●●
− =
−15
60
1
4
64
3
11
21
14
105
2
15
=
5
6
10
3
:
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟8
3
8
:
11
3
7:
7
5
21
2
:
065
●
−
=
−40
90
4
9
20
84
5
21
=
63
30
21
10
=
10
24
5
12
=
8
15
6
5
:
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
5
12
7
4
:
9
5
6
7
:
5
8
3
2
:
064
●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 31

32
Kalkulatu.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Egin eragiketak.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Adierazi zenbaki bakoitzaren zati osoa eta zati hamartarra.
a) 0,75 c) 1,8989… e) 2,161820…
b) 274,369 d) 127,4555… f) −7,0222…
a) Zati osoa: 0. Zati hamartarra: 75.
b) Zati osoa: 274. Zati hamartarra: 369.
c) Zati osoa: 1. Zati hamartarra: 8989…
d) Zati osoa: 127. Zati hamartarra: 4555…
e) Zati osoa: 2. Zati hamartarra: 161820…
f) Zati osoa: −7. Zati hamartarra: 0222…
069
●
3
5
21
20
33
20
+ =
72
15
13
15
72
13
: =
2
7
5
37
7
+ =
8
5
7
30
48
7
: =
4
3
7
18
17
18
− =
4
5
17
72
17
90
⋅
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−
3
10
5
4
19
20
− =
−7
6
21
60
49
60
− =
2
5
3
10
7
18
: −
8
5
3
5
11
30
: +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
2
6
5
7
5
4
3
⋅ + :
2
5
3
4
5
4
⋅ −
4
5
5
24
4
9
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
2
7
3
21
35
+ :
8
3
5
9
6
5
1
3
: :
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
7
6
3
20
8
15
− +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
068
●●●
8
3
7
15
33
15
− =
7
5
1
2
5
− =
35
36
7
3
2
5
245
108
2
5
1 441
540
⋅ + = + =
.6
5
16
21
46
105
− =
9
1
4
41
15
9
41
60
499
60
− ⋅ = − =
11
20
7
3
77
60
⋅ =
9
7
12
2
5
529
60
− + =
4
5
7
12
48 35
60
13
60
− =
−
=
9
1
4
7
3
2
5
− ⋅ +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟2
3
5
4
7
3
4
⋅ − :
2
3
3
4
1
5
3
7
: − ⋅9
1
4
7
3
2
5
− ⋅ +
4
5
1
4
7
3
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅
9
1
4
7
3
2
5
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
3
5
4
7
3
4
1: : −
4
5
1
4
7
3
− ⋅
067
●●
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 32

33
1
Adierazi, zatiki batez eta zenbaki hamartar batez, irudi hauetako bakoitzaren
zati koloreztatua.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Adierazi zenbaki hauen artean zein diren periodikoak, eta zein, ez.
Periodikoak direnetan, adierazi periodoa.
a) 1,333… d) 6,987654…
b) 2,6565… e) 0,010101…
c) 3,02333… f) 1,001002003…
a) Periodikoa; periodoa, 3.
b) Periodikoa; periodoa, 65.
c) Periodikoa; periodoa, 3.
d) Ez-periodikoa.
e) Periodikoa; periodoa, 01.
f) Ez-periodikoa.
Sailkatu beheko zenbaki hamartarrak mota hauetan: zehatzak, periodiko soilak,
periodiko mistoak, eta ez-zehatzak eta ez-periodikoak.
a) 1,052929… f) 13,12345666…
b) 0,89555… g) −1.001,034034…
c) −7,606162… h) 0,0000111…
d) 120,8 i) −1,732
e) −98,99100101… j) 0,123456777…
a) Periodiko mistoa. f) Periodiko mistoa.
b) Periodiko mistoa. g) Periodiko soila.
c) Ez-zehatza eta ez-periodikoa. h) Periodiko mistoa.
d) Zehatza. i) Zehatza.
e) Ez-zehatza eta ez-periodikoa. j) Periodiko mistoa.
072
●●
071
●●
1
6
01666= , ...
3
4
0 75= ,
1
2
0 5= ,
1
2
0 5= ,
070
●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 33

34
Arrazoitu zer zenbaki mota adierazten duen zatiki bakoitzak:
osoa, hamartar zehatza ala periodikoa.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) Zehatza, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagai
bakarra 2 delako.
b) Osoa, zenbakitzailea izendatzailearen multiploa delako.
c) Periodiko mistoa, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagaiak
2 eta 3 direlako.
d) Zehatza, izendatzaileko biderkagai bakarrak 2 eta 5 direlako.
e) Periodiko mistoa, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagaiak
5 eta 3 direlako.
f) Periodiko soila, izendatzaileko biderkagaiak ez direlako 2 eta 5.
g) Osoa, zenbakitzailea izendatzailearen multiploa delako.
h) Zehatza, zatiki laburtezinaren izendatzaileko biderkagai bakarrak
2 eta 5 direlako.
i) Periodiko mistoa, izendatzaileko biderkagaiak 2, 3 eta 5 direlako.
Lortu zatiki sortzaileak.
a) 5,24 c) 3,7
)
e) 5,12
)
b) 1,735 d) 5,43
)
f) 0,235
)
a) c) e)
b) d) f)
Adierazi zenbaki hauek zatiki gisa.
a) −7 d) 9,6
)
g) 9,54
)
b) 6,05 e) 4,07
)
h) 0,315
)
c) −0,00182 f) −14,413
)
i) 0,0123
)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
122
9 900
61
4 950. .
=−
14 399
999
.
− = −
182
100 000
91
50 000. .
312
990
52
165
=
403
99
605
100
121
20
=
859
90
87
9
29
3
=
−7
1
075
●
233
990
538
99
1 735
1 000
347
200
.
.
=
461
90
34
9
524
100
131
25
=
074
●
19
90
15
21
4
24
21
420
−34
30
−
44
11
22
1−
51
20
27
36
073
●
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 34

35
1
Adierazi zenbaki hamartarrak zatiki gisa, eta zatikiak zenbaki
hamartar gisa.
a) f) k)
b) 7,35 g) 0,278 l) 1,0435
c) 13,7
)
h) 6,16
)
m) 1,274
)
d) 8,91
)
i) 18,57
)
n) 0,315
)
e) j) 2,265
)
ñ) 0,0123
)
a) 1,125 f) 0,81
)
k) 1,12
)
b) g) l)
c) h) m)
d) i) n)
e) 4,8 j) ñ)
Kalkulatu, zatiki sortzaileak erabiliz.
a) 0,2777… + 2,333… c) 0,44… ⋅ 2,5151…
b) 3,5666… −2,2727… d) 1,13888… : 0,9393…
a) c)
b) d)
Adierazi baieztapen hauek zuzenak ala okerrak diren, eta arrazoitu
erantzuna.
a) Zenbaki hamartar oro adieraz daiteke zatiki gisa.
b) Zenbaki oso bat zatiki gisa adieraz daiteke.
c) Zenbaki hamartar periodikoek infinitu zifra hamartar dituzte
komaren ostean.
d) Zenbaki hamartar baten periodoa 0 bada, zenbaki zehatza da.
a) Okerra, hamartar ez-zehatzak eta ez-periodikoak ezin dira adierazi
zatiki gisa.
b) Zuzena, zatikia zenbakia zati bat izango da.
c) Zuzena periodiko soilen kasuan, baina okerra periodiko
mistoen kasuan.
d) Zuzena, zifra hamartarren kopuru zehatza duelako.
078
●●
1 025
900
93
99
451
372
.
: =
321
90
225
99
1 281
990
− =
.
44
100
249
99
913
825
⋅ =
25
90
21
9
235
90
47
18
+ = =
077
●●
12
990
2
165
=
2 039
900
.
284
900
71
225
=
1 839
99
613
33
.
=
802
90
401
45
=
1 273
999
.555
90
37
6
=
124
9
10 435
10 000
2 087
2 000
.
.
.
.
=
278
1 000
139
500.
=
735
100
147
20
=
48
10
101
90
9
11
9
8
076
●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 35

36
30 metro oihal ditugu. Kalkulatu zenbat metro diren:
a) oihalaren b) oihalaren c) oihalaren
a)
b)
c)
Enpresa batek aste honetan 12.300 €-ren bi bosten irabazi ditu.
Kalkulatu zenbat diru irabazi duen enpresa horrek.
Irabazitakoa: €.
Aita batek alabari 30 € eman dizkio, eta semeari, arrebak jasotakoaren herena.
Zenbat diru jaso du semeak?
Semeak jasotakoa: €.
Urtebetetze-egunean, amari kutxa bat bonboi oparitu diogu.
Dagoeneko jan ditugu kutxaren . Kutxak 40 bonboi bazituen, zenbat bonboi
geratzen dira?
Kutxaren geratzen da; hau da: bonboi.
1
4
40 10⋅ =
1
4
3
4
083
●●
082
1
3
30 10⋅ =
081
●
2
5
12 300 4 920⋅ =. .
080
●
5
6
30 25⋅ = m
7
30
30 7⋅ = m
3
5
30 18⋅ = m
5
6
7
30
3
5
079
●
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA PROBLEMAK GUZTIZKOAREN ZATI BAT ZENBATEKOA DEN JAKINDA?
Ikasgelan, mutilak dira. Zenbat neska daude, guztira 25 ikasle
badaude?
LEHENA. Ezaguna den zatia, , kenduko diogu guztizkoari, 1, zati ezezaguna kalkulatzeko.
neskak dira.
BIGARRENA. Zati horrek guztizkoan, 25, adierazten duen proportzioa kalkulatzen da.
15 neska25
3
5
3
5
25
3 25
5
75
5
en = ⋅ =
⋅
= =
1
2
5
5
5
2
5
3
5
− = − =
2
5
2
5
908272_0014-0043.qxd 27/9/07 17:34 Página 36

37
1
BHI bateko ikasle guztien hiru zortziren betaurrekodunak dira. 129 ikaslek
badituzte betaurrekoak, zenbat ikasle dira guztira?
ikasle dira guztira.
Baserritar batek 2.275 m-ko lur-saila hesiz inguratu nahi du. Lehen egunean
lanaren egin du, eta bigarrenean, . Zenbat metrotan falta zaio hesia jartzea?
→ -tan falta zaio.
Lagun batzuek 105 km egin dituzte bizikletaz. Lehen egunean bidearen egin
dute; bigarrenean, ; eta gainerakoa hirugarrenerako utzi dute.
Zenbat km egin dituzte egun bakoitzean?
1. eguna→ 3. eguna → 105 − (28 + 35) = 42 km
2. eguna→
Familia batek bere diru-sarreren etxebizitzaren alokairuan erabiltzen du,
telefonoan, eta garraioan eta arropan.
Nola banatzen dira gastuak, hileroko diru-sarrerak 3.000 € badira?
Alokairua ⎯→ € Garraioa, arropa → €
Telefonoa → €
Kanpamendu batean, gazteen europarrak dira; , asiarrak; eta gainerakoak,
afrikarrak.
Guztira 800 gazte badaude:
a) Zenbat europar gazte daude?
b) Asiarren erdiak neskak badira, zenbat asiar neska daude?
c) Gazte horien artean zenbat dira afrikarrak?
a) Europarrak→
b) Asiarrak →
c) Afrikarrak → 800 − 300 − 160 = 340
1
5
800 2 160 2 80⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟ = =: :
3
8
800 300⋅ =
1
5
3
8
088
●●
1
60
3 000 50⋅ =.
1
8
3 000 375⋅ =.
1
15
3 000 200⋅ =.
1
8
1
60
1
15
087
●●
4
15
105 28⋅ = km
1
3
105 35⋅ = km
4
15
1
3
086
●●
16
35
2 275 1 040⋅ =. . m1
3
7
2
5
1
29
35
16
35
− +
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= − =
2
5
3
7
085
●●
3
8
129 129 8
3
344= =
⋅
=
x
x→
084
●●
ERANTZUNAK
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 37

38
90 m luze den burdin haria daukagu. saldu ditugu 3 €/m-an; gainerakoaren,
4 €/m-an; eta geratzen diren metroak, 2 € m-an. Metroa 2 €-an erosi badugu,
zenbateko irabazia izan dugu?
, 3 €/m-tan, 180 € dira.
, 4 €/m-tan, 20 € dira.
90 − 60 − 5 = 25 m, 2 €/m-tan, 50 € dira.
Burdin hariak 90 ⋅ 2 = 180 € balio zuen eta 180 + 20 + 50 = 250 €
kobratu dugu. Beraz, 250 − 180 = 70 € irabazi dugu.
Honela banatu dute hiru lagunek kinielan irabazi dituzten 90 €-ak:
lehenengoak bostena eskuratu du; bigarrenak, berriz, lehenengoak jasotakoaren
herena; eta hirugarrenak, azkenik, bigarrenak jasotakoaren
erdia.
a) Zer zatikik adierazten du bakoitzak jaso duena?
b) Zenbat diru eskuratu du lagun bakoitzak?
c) Zenbat diru utzi dute funtserako?
a) 1.a → 2.a → 3.a →
b) 1.a → € 2.a → € 3.a → €
c) 90 − (18 + 6 + 3) = 63 € utzi dute funtserako.
1
30
90 3⋅ =
1
15
90 6⋅ =
1
5
90 18⋅ =
1
2
1
15
1
30
⋅ =
1
3
1
5
1
15
⋅ =
1
5
091
●●
1
6
90 60 5⋅ − =( ) m
2
3
90 60⋅ = m
1
6
2
3
090
●●
089
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA ZATIKI BATEN ZATI BAT?
Ainhoak liburu bat irakurri behar du eskolarako. Lehen egunean laurdena iraku-
rri du, eta bigarrenean, geratzen zitzaionaren erdia. Zer zatikik adierazten du bi-
garren egunean irakurritakoa?
LEHENA. Bila gabiltzan zatia adierazten duen zatikia kalkulatuko dugu.
Lehen egunekoa: , eta bigarrenekoa: .
BIGARRENA. Zatikiaren zatia kalkulatuko dugu.
Bigarren egunean irakurri du: .
Hortaz, bigarren egunean liburuaren irakurri ditu.
3
8
3
4
2
3
8
: =
1
1
4
3
4
− =
1
4
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 38

39
1
Berogailu batean, lehenik uraren erdia gastatu da; eta gero, geratzen zenaren
laurdena. Oraindik ere 12 litro geratzen badira, zenbatekoa da berogailuaren
edukiera?
Lehenik: .
Gero: .
Geratzen dena: .
¬-koa da berogailuaren edukiera.
Lagun batzuek mendiko ibilaldi bat antolatu dute: lehen egunean ibilbide
osoaren laurdena egin dute; bigarren egunean, herena egin dute; eta gainerakoa
(25 km) hirugarren egunerako utzi dute. Zer zatiki adierazten dute hirugarren
egunean egindako kilometroek? Guztira, zenbat kilometro egin dituzte?
Hirugarren egunean egindakoa: .
Guztira egindako kilometroak: .x = =25
5
12
60: km
1
1
4
1
3
5
12
− − =
094
●●●
x = =12
3
8
32:
1
1
2
1
8
3
8
− − =
1
4
1
1
2
1
8
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
1
2
093
●●●
092
ERANTZUNAK
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA GUZTIZKOA, ZATI BAT ZENBATEKOA DEN JAKINDA?
Igerileku bat guztizko edukieraren osatzeraino dago beteta. Oraindik ere
880 litro behar dira erabat betetzeko. Zein da igerilekuaren guztizko edukiera?
LEHENA. Igerilekuaren zati hutsa adierazten duen zatikia kalkulatuko dugu.
BIGARRENA. x etraz izendatuko dugu igerilekuaren guztizko edukiera.
x bakanduz:
Igerilekuaren edukiera 3.960 litrokoa da.
x = =
⋅
= =880
2
9
880 9
2
7 920
2
3 960:
.
.
x x-ren
2
9
2
9
880= ⋅ =
1
7
9
9
9
7
9
2
9
− = − =
7
9
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 39

40
Kalkulatu kenketa
hauek.
a) Lortutako emaitzekin, egin batuketa hau.
b) Aurreko emaitza kontuan hartuz, zein izango da, zure ustez, batuketa honen
emaitza?
a)
b)
Bi ontzi hauek pitxer
batean husten
aditugu, zein izango
da pitxarreko ur- eta
ozpin-proportzioa?
Nahasteak 5 zati ur eta 2 zati ozpin izango ditu.
Uraren proportzioa da, eta ozpinarena, .
2
7
5
7
096
●●●
= − =1
1
1 001
1 000
1 001.
.
.
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
1 001 000
+ + + + + + + =…
. .
1
1 001 000
1
1 000
1
1 001. . . .
= −
= − + − + − + − + − = − =1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
4
1
5
1
5
1
6
1
1
6
5
6
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
+ + + + =
1
4
1
5
1
20
− =
1
2
1
3
1
6
− =
1
5
1
6
1
30
− =
1
3
1
4
1
12
− =1
1
2
1
2
− =
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
1 001 000
+ + + + + + … +
. .
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
+ + + +
1
2
1
3
1
3
1
4
1
4
1
5
1
5
1
6
1
1
2
- -
- -
-
095
●●●
NAHASTEA
2 zati ur
1 zati ozpin
NAHASTEA
3 zati ur
1 zati ozpin
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 40

41
1
Irudiak bederatzi karratu ditu, aldearen
luzera 1 dutenak. Adierazi puntuek hau
betetzen dute:
PQ = QR = RS = ST =
Zuzen batek puntu horietako batekin
lotzen du X,eta azalera bereko bi zatitan
banatzen du irudia. Zein da zuzen hori?
XQ zuzena da; triangelu eta karratu bana osatzen ditu. Triangeluaren oinarria
4 da, eta altuera, . Beraz, azalera: .
Bestalde, karratuaren azalera 1 da.
Azalera 3,5 + 1 = 4,5 da, azalera osoaren erdia: .
EGUNEROKOAN
Auzo-komunitate batek eguzki-plakak instalatu nahi ditu, eraikinean
kontsumitzen den energiaren zati bat haien bidez eskuratzeko. Enpresa
instalatzaile bati galdetuta, behean ageri diren datuak jaso dituzte.
098
●●●
9
2
4 5= ,
4
7
4
2 3 5⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=: ,1
3
4
7
4
+ =
1
4
X
T S
R
Q
P
097
●●
X
ERANTZUNAK
EGUZKI-PLAKAK JARTZEKO
AURREKONTUA
Auzo-komunitatea: Eguzki kalea, 23
Eguzki-plakak
eta instalazioa.
Guztira: 22.000 €
Gure txostenaren arabera,
eguzki-plakak jartzeak orain
kontsumitzen dugun energiaren
aurrezteko aukera emango liguke.
2
7
Q
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 41

42
Enpresa instalatzaileak auzo-komunitateari jakinarazi dio zenbait erakunde
ofizialek diru-laguntzak ematen dituztela eguzki-plakak jartzeko.
Auzo-komunitatea argindarrez hornitzen duen enpresa elektrikoak 8,6726
zentimo kobratzen ditu kilowatteko. Bi hileko azken ordainagirian 48 auzoetako
bakoitzak 46,34 € ordaindu ditu.
Zenbateko epean amortizatuko dituzte eguzki-plakak eta instalazioa,
komunitatearen kontsumoa jarraitua bada?
Plaken kostua eta instalazioa: 22.000 €.
Diru-laguntza: ⋅ 22.000 = 11.000 €.
Hileko gastua: (48 ⋅ 46,34) : 2 = 1.112,16 €.
Gastuan aurreztutakoa: €.
Amortizazio-epea: (22.000 − 11.000) : 317,76 = 34,62 hil.
Beraz, hiru urte baino gutxiago beharko dute gastua amortizatzeko.
Aste Santuan gertatutako auto-istripuei buruzko berriek agerian utzi dute
ezbehar kopuruak gora egin duela nabarmen.
099
●●●
2
7
1 11216 317 76⋅ =. , ,
1
2
ENERGIAREN DIBERTSIFIKAZIORAKO
ETA AURREZTEKO ERAKUNDEA
Jakinarazten dizugu zure auzo-komunitateak Eguzki kaleko
23ko eraikinean eguzki-plakak jartzeko egin zuen diru-
laguntzaren eskaria onartua izan dela. Diru-laguntza hori
eguzki-plaken eta instalazioaren kostuaren erdia izango da.
Aste Santuan errepidean izandako ezbeharren kopurua
108 pertsona hil dira
auto-istripuetan
Autoan hildakoen erdiek ez ze-
ramaten segurtasun-uhala lotuta.
Motoan hildakoen hirutik ba-
tek ez zuen kaskoa jarrita.
Hildakoen erdiek 35 urte bai-
no gutxiago zituzten. Haien arte-
an lautik batek, berriz, 25 urte
baino gutxiago zituen
Bost istriputik bitan arreta gal-
tzea ageri da arrazoi nagusi gisa;
bide-arauak haustea, berriz, bost
istriputik batean; eta gehiegizko
abiaduran joatea, hamarretik hi-
rutan.
Ibilgailua Hildakoak
Autoak 91
Motoak 17
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 42

43
1
Azken paragrafoa istripuei buruzkoa da, baina guk hildakoei buruzkoa balitz
bezala ebatziko dugu problema; beraz, paragrafoa hau izango litzateke:
Arreta galtzea faktore nagusia izan da bost hildakotik bitan;
bide-arauak haustea, hirutik batean; eta gehiegizko abiadura,
hamarretik hirutan.
Horrela ez eginez gero, ezingo litzateke hildakoen kopurua
finkatu; izan ere, istripu batean hildako bat baino gehiago egon daiteke edo
bakar bat ere ez.
ERANTZUNAK
Hildakoak
Segurtasun-neurriak
Uhala lotu gabe zihoan
1
2
91 45 5 46⋅ = ≈,
Ez zuen kaskoa jarrita
1
3
17 5 6 6⋅ = ≈,
Segurtasun-neurriak
betetzen zituen 108 − 46 − 6 = 56
Adin-tarteak
35 urtetik beherakoak
1
2
108 54⋅ =
35 urtetik gorakoak
1
2
108 54⋅ =
25 urtetik beherakoak
1
4
54 13 5 14⋅ = ≈,
Istripuaren arrazoi nagusia
Arreta galtzea
2
5
108 43 2 43⋅ = ≈,
Bide-arauak haustea
1
3
108 36⋅ =
Gehiegizko abiadura
3
10
108 32 4 32⋅ = ≈,
Aurreko arrazoietatik bat
ere ez
Gehiegizko abiadura bide-arauak haustea da;
beraz, 108 − 36 − 43 = 29. 29 pertsona hil ziren
horren ondorioz.
Istripuaren arrazoi nagusia arrazoi bakar bat dela ari
gara suposatzen; hau da, ez da kontuan hartu istripuak
arrazoi nagusi bat baino gehiago izan dezakeela.
908272_0014-0043.qxd 20/9/07 15:55 Página 43

44
Zenbaki errealak2
ADIERAZPENA
ZENBAKI
ARRAZIONALAK
ZENBAKI
IRRAZIONALAK
BERREKETA HURBILKETAK
ERROREAK
ZENBAKI
ERREALAK
BERRETZAILE
POSITIBOA
BERRETZAILE
NEGATIBOA
IDAZKERA
ZIENTIFIKOA
ERAGIKETAK
BATUKETA KENKETA BIDERKETA ZATIKETA
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 44

Arrazoi irrazionala
Kristo aurreko V. mendearen hasieran, bizitzaren ilunabarrean zegoen Pitagoras
handiak, mundua eta hark zenbakiekin duen harremana ikertu zituenak, kreazioko
gauza guztien edertasun arrazionala aurkitu zuenak, hau aitortu zion ikasleetako bati,
arranguraz beteta:
–Entzun –esan zion Hipaso Metapontokoari–; bizitza osoa igaro dut egia zenbakietan
bilatzen; haietan, edo haien arrazoietan, zegoen gizatiartasunaren eta jainkotiartasunaren
azalpena; dena zen perfektua eta azalgarria, arrazoizkoa...
Hipasok miretsita begiratzen zion maisuari, buruarekin baiezkoa eginez.
Bitartean, Pitagorasek aurrera egin zuen:
–Nire bizitza bukatzear dagoen honetan, egia lazgarri bat aitortu behar dizut:
aspaldi aurkitu nituen; beste batzuk daude.
–Beste batzuk? –galdetu zuen Hipasok.
–Bai, hor daude, baina neurtezinak dira:
edonork egin dezake aldeen luzera 1 duen
karratu bat; haatik, ez da haren diagonala
neurtzeko gai izango. Pentalfaren arrazoia ere,
ez da arrazoizkoa; beste horietako
bat baizik, antzaldatuta.
Sinesten ez baduzu, saiatu 3 urrats zabal eta
5 urrats luze den gela honen
diagonala neurtzen.
Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:
Gelaren zabalera eta luzera
zenbaki osoen bidez neur daitezkeen
arren, diagonala zenbaki irrazional
bat da; hau da, ez da
neurgarria.
3 5 9 25
34 5 830951
2 2
++ ++= =
= = , …
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 45

46
ARIKETAK
Kalkulatu berreketa hauek.
a) 32
d) (−5)3
g) (4,25)4
b) 74
e) (−2,02)4
h)
c) (−9)2
f) i) (−14,32)8
a) 9 d) −125 g) 326,25390625
b) 2.401 e) 16,64966416 h)
c) 81 f) i) 8.622.994,474905370624
Kalkulatu (−0,8)2
, (−0,8)3
eta (−0,8)4
. Zein da handiena?
(−0,8)2
= 0,64 (−0,8)3
= −0,512 (−0,8)4
= 0,4096
Handiena (−0,8)2
da.
Adierazi berreketa gisa.
a) 3 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 3 b)
a) 36
b)
a) 7−3
d) (−5)−2
g) j)
b) 71
e) (−5)0
h) k)
c) 7−1
f) (−5)−1
i) l)
a) e) 1 i)
b) 7 f) j)
c) g) k) 1
d) h) l) −
5
8
8
5
1
5
1
252
( )−
=
5
8
625
4 096
4
4
=
.
1
7
− = −
5
8
5
5
3.125
32.768
1
5
1
51
( )−
= −
5
8
1
7
1
3433
=
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
8
5
1
8
5
1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
8
5
0
8
5
1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
8
5
5
8
5
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
004
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
7
3
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ ⋅
1
7
1
7
1
7
003
002
−
3.125
32.768
−
1
27
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
5
8
5
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
3
3
001
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 46

47
2
Esan zuzena ala okerra den.
a) Berretzaile negatiboko berreketak beti dira positiboak.
b) 0 berretzaileko berreketak beti dira positiboak.
a) Okerra, berretzailea bikoitia bada soilik izango da positiboa.
b) Zuzena, 1 da beti.
Nola kalkulatuko zenuke (0,2)−3
?
Kalkulatu.
a) (8 ⋅ 4)3
d) [6 ⋅ 5]−2
b) [(−1) ⋅ (−4)]3
e) [(−3) ⋅ 5]−2
c) f)
a) 83
⋅ 43
= 512 ⋅ 64 = 32.768 d)
b) (−1)3
⋅ (−4)3
= (−1) ⋅ (−64) = 64 e)
c) f)
Ebatzi:
a) b)
a)
b) (−6)5
= 65
= 7.776
Esan desberdintza hauetatik zein den zuzena.
a) b)
a) Zuzena da: .
b) Okerra da: .[ ( )]2 1 2 164 4
⋅ − = = >
1
2
1
2
1
8
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= <
1
4
[ ( )]2 1
1
2
4
⋅ − <
1
2
1
4
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
<
009
14
3
14
3
5 5
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= =
537.824
243
3
5
10
2
⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
( )2
7
3
5
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
008
3
5
2
2
=
9
25
4
5
3
3
=
64
125
1
3 5
1
9 25
1
2252 2
( )− ⋅
=
⋅
=
1
6 5
1
36 25
1
9002 2
⋅
=
⋅
=
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
5
3
2
4
5
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
007
0 2
1
5
0 2
1
5
5 125
3
3
3
, ,= ( ) =
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= =
−
−
→
006
005
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 47

48
Adierazi berreketa bakar baten bidez.
a) 54
⋅ 56
e) [22
]3
b) (−9)6
: (−9)2
f) [(−2)2
]3
c) g)
d) h)
a) 54+6
= 510
e) 22⋅3
= 26
b) (−9)6−2
= 94
f) (−2)2⋅3
= 26
c) g)
d) h)
Sinplifikatu berreketen eragiketa hauek.
a) (43
⋅ 42
)3
d) (711
: 75
)2
b) [(−5)3
: (−5)2
]2
e) (72
⋅ 94
)2
c) [(4,2)4
⋅ (4,2)3
]4
f) [(−3)5
⋅ 45
]2
a) 4(3+2)⋅3
= 415
d) 7(11−5)⋅2
= 712
b) (−5)(3−2)⋅2
= 52
e) 74
⋅ 98
c) (4,2)(4+3)⋅4
= (4,2)28
f) 310
⋅ 410
a) 25
⋅ 43
b) (3−5
⋅ 93
)−2
a) 25
⋅ 43
= 25
⋅ 26
= 211
b) (3−5
⋅ 93
)−2
= (3−5
⋅ 36
)−2
= 3−2
Idatzi, idazkera zientifikoa erabiliz.
a) 493.000.000 c) 0,0004464 e) 253
b) 315.000.000.000 d) 12,00056 f) 256,256
a) 4,93 ⋅ 108
c) 4,464 ⋅ 10−4
e) 2,53 ⋅ 102
b) 3,15 ⋅ 1011
d) 1,200056 ⋅ 101
f) 2,56256 ⋅ 102
Idatzi idazkera zientifikoz emandako zenbaki hauek, zifra guzti-guztiak
jarriz.
a) 2,51 ⋅ 106
b) 9,32 ⋅ 10−8
c) 3,76 ⋅ 1012
a) 2.510.000 b) 0,0000000932 c) 3.760.000.000.000
014
013
012
011
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−
4
3
4
3
1
3 3 0
3
5
3
5
4 2 8
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
·
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
+
4
3
4
3
3 3 6
5
6
5
6
10 6 4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
3
4
3
3 3
:
3
5
4
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
3
4
3
3 3
5
6
5
6
10 6
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
:
010
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 48

49
2
Idazkera zientifikoari jarraiki, zenbaki hauek ez daude zuzen idatzita.
Zuzendu.
a) 0,247 ⋅ 108
b) 24,7 ⋅ 108
c) 0,247 ⋅ 10−8
a) 2,47 ⋅ 107
b) 2,47 ⋅ 109
c) 2,47 ⋅ 10−9
Banketxe baten finantza-aktiboak 52 bilioi euro dira, gutxi gorabehera. Adierazi
kopuru hori idazkera zientifikoa erabiliz.
5,2 ⋅ 1013
Ebatzi eragiketa hauek, idazkera zientifikoa erabiliz.
a) 7,77 ⋅ 109
− 6,5 ⋅ 107
d) (34 ⋅ 103
) ⋅ (25,2 ⋅ 10−2
)
b) 0,05 ⋅ 102
+ 1,3 ⋅ 103
e) (0,75 ⋅ 107
) : (0,3 ⋅ 103
)
c) 37,3 ⋅ 10−2
+ 0,01 ⋅ 102
f) (8,06 ⋅ 109
) ⋅ (0,65 ⋅ 107
)
Ez ahaztu emaitza idazkera zientifikoan adierazi behar dela beti.
a) 777 ⋅ 107
− 6,5 ⋅ 107
= 770,5 ⋅ 107
= 7,705 ⋅ 109
b) 0,005 ⋅ 103
+ 1,3 ⋅ 103
= 1,305 ⋅ 103
c) 0,373 ⋅ 100
+ 1 ⋅ 100
= 1,373 ⋅ 100
d) 3,4 ⋅ 104
⋅ 2,52 ⋅ 10−1
= 8,568 ⋅ 103
e) (7,5 ⋅ 106
) : (3 ⋅ 102
) = 2,5 ⋅ 104
f) (8,06 ⋅ 109
) ⋅ (6,5 ⋅ 106
) = 52,39 ⋅ 1015
= 5,239 ⋅ 1016
Kalkulatu kasu bakoitzean falta den gaia.
a) 2,5 ⋅ 106
− = 8,4 ⋅ 105
c) (2,5 ⋅ 106
) ⋅ = 8,4 ⋅ 105
b) 9,32 ⋅ 10−3
+ = 5,6 ⋅ 10−2
d) (9,52 ⋅ 10−3
) : = 5,6 ⋅ 10−2
a) = 1,66 ⋅ 106
c) = 3,36 ⋅ 101
b) = 4,668 ⋅ 10−2
d) = 11,7 ⋅ 10−1
Ebatzi batuketa hau: 7,8 ⋅ 1099
+ 5 ⋅ 1099
. Ondoren, egin batuketa
kalkulagailuz. Zer gertatzen da? Zergatik gertatzen da hori?
7,8 ⋅ 1099
+ 5 ⋅ 1099
= 1,28 ⋅ 10100
. Kalkulagailuz ∃ lortzen da,
magnitude ordena 100 baita, 3 zifrakoa, eta kalkulagailuak 2 zifra
bakarrik erabiltzen ditu.
Adierazi zenbaki hamartar hauek arrazionalak ala irrazionalak diren.
a) 4,325325325…
b) 4,330300300030000300000…
c) 1,23233233323333233333...
d) 3,12359474747…
a) Arrazionala. c) Irrazionala.
b) Irrazionala. d) Arrazionala.
020
019
018
017
016
015
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 49

50
Idatzi bost zenbaki arrazional eta bost irrazional.
Arrazionalak →1,16
)
; 1,6
)
; 8; 2,83
)
; 0,4625
Irrazionalak → 2,123456789101112...; 6,111213141516171819...;
0,010010001...; π;
Eman al dezakezu komaren ostean hamartar bakarra duen zenbaki irrazionalik?
Eta bi dituenik?
Ez, infinitu digitu behar baitira komaren ostean.
Eten ehunenetan eta milarenetan, eta biribildu ehunenetara eta milarenetara.
a) 1,234564668 g)
b) 2,7
)
h) 3,222464
c) 4,51
)
i)
d) 1,43643625 j) 1,6467538
e) 2,222 k) 1,1234…
f) 3,127
)
l) 5,5
)
a) Etendura: 1,23 eta 1,234. Biribilketa: 1,23 eta 1,235.
b) Etendura: 2,77 eta 2,777. Biribilketa: 2,78 eta 2,778.
c) Etendura: 4,51 eta 4,515. Biribilketa: 4,52 eta 4,515.
d) Etendura: 1,43 eta 1,436. Biribilketa: 1,44 eta 1,436.
e) Etendura: 2,22 eta 2,222. Biribilketa: 2,22 eta 2,222.
f) Etendura: 3,12 eta 3,127. Biribilketa: 3,13 eta 3,128.
g) Etendura: 2,23 eta 2,236. Biribilketa: 2,24 eta 2,236.
h) Etendura: 3,22 eta 3,222. Biribilketa: 3,22 eta 3,222.
i) Etendura: 1,73 eta 1,732. Biribilketa: 1,73 eta 1,732.
j) Etendura: 1,64 eta 1,646. Biribilketa: 1,65 eta 1,647.
k) Etendura: 1,12 eta 1,123. Biribilketa: 1,12 eta 1,123.
l) Etendura: 5,55 eta 5,555. Biribilketa: 5,56 eta 5,556.
Kalkulatu aurreko ariketako atal bakoitzean egindako errore absolutua eta
errore erlatiboa.
a)
b)
c) Hurbilketa 4,51 4,515 4,52
Errore absolutua 0,005151515 0,000151515 0,004848485
Errore erlatiboa 0,00114094 3,3557E−05 0,001073826
Hurbilketa 2,77 2,777 2,78 2,778
Errore absolutua 0,007777778 0,000777778 0,002222222 0,000222222
Errore erlatiboa 0,0028 0,00028 0,0008 0,00008
Hurbilketa 1,23 1,234 1,235
Errore erlatiboa 0,003697391 0,000457382 0,00035262
024
3
5
023
022
2
021
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 50

d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
2,1236 g-ko zizare baten pisua hurbiltzerakoan 0,0236 g-ko errore absolutua
egin dugu. 824,36 kg-ko idi batena hurbiltzerakoan, berriz, 4,36 kg-ko errorea.
Zein kasutan egin dugu errore handiena?
Zizarearen kasuan, errore erlatiboa 0,01111 da.
Idiaren kasuan, errore erlatiboa 0,00528 da.
Zizarearen kasuan egin dugu errore handiena.
Adierazi zenbakia zuzen errealean, modu
zehatzean. Horretarako, egin1 cm eta
cm-ko katetoak dituen triangelu
angeluzuzena.
2
3026
025
Hurbilketa 5,55 5,555 5,56 5,556
Hurbilketa 1,12 1,123
Errore absolutua 0,003456789 0,000456789
Errore erlatiboa 0,003076922 0,000406592
Hurbilketa 1,64 1,646 1,65 1,647
Hurbilketa 2,23 2,236 2,24
Hurbilketa 3,12 3,127 3,13 3,128
Errore absolutua 0,002 0
Errore erlatiboa 0,00090009 0
Hurbilketa 1,43 1,436 1,44
51
2ERANTZUNAK
1
1
1
0
3
3
2
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 51

52
Adierazi zenbakia, bai modu zehatzean, bai hamarrenetara hurbilduta.
Erabili 1 cm eta 2 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzena.
Zer zenbakiren adierazpena da irudi hau?
OP2
= 22
+ 22
= 4 + 4 = 8 → OP =
Adierazi grafikoki modu zehatzean. Nola egin duzu?
Ardatz horizontalean 3 bateko hartu behar
dira, eta bertikalean, 2.
Hipotenusaren luzera:
Adierazi grafikoki tarte hauek.
a) [1, 4] b) (2, 5) c) (3, 6] d) [3, 7)
a)
b)
c)
d)
Zer tarteren adierazpena da hau?
(−7, −1) tartearena.
Zer zenbaki hartzen ditu (-1, 4] tarteak?
a) 0 b) 3,98 c) d) −0,3
)
Zenbaki guztiak tartekoak dira.
2
032
−7 −1
031
3 7
3 6
2 5
1 4
030
3 2 132 2
+ =
13
13
2
2 310
13029
82
210
P
028
5 2 236067= …,
5027
Zenbaki errealak
0
2,2 2,4 2,7
1 2
1
5
5
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 52

53
2
Zenbat puntu daude [1, 2] tartean? Eta [1,1; 1,2] tartean? Eta [1,11; 1,12]
tartean?
Hutsa ez den edozein tartetan infinitu puntu daude.
ARIKETAK
Idatzi biderketa hauek berreketa gisa eta kalkulatu emaitzak.
a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
b) (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5)
c)
a) 24
= 16
b) (−5)6
= 15.625
c)
Adierazi behekoak biderketa gisa eta kalkulatu emaitzak.
a) (−3)4
c) 56
e) (2,5)3
b) d) f) (−2,3)4
a) (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81
b)
c) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 15.625
d)
e) (2,5) ⋅ (2,5) ⋅ (2,5) = 15,625
f) (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) ⋅ (−2,3) = 27,9841
Idatzi adierazpen hauek berreketa gisa, ahal bada.
a) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 e) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3)
b) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 f) (6 + 6 + 6 + 6) ⋅ 6
c) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 4 g) 23 + 23 + 23 + 23
d) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 h) 5 + 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
a) 95
e) 63
b) Ezin da. f) Ezin da.
c) Ezin da. g) Ezin da.
d) Ezin da. h) Ezin da.
036
●●
10
3
10
3
100
9
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
1
2
1
2
1
2 ⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
1
2
1
2
1
2
⎟⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −
1
2
1
128
10
3
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
2
7
035
●
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
−2
5
8
125
3
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
2
5
2
5
2
5 ⎟⎟
034
●
033
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 53

54
Kalkulatu berreketa hauen emaitzak, kalkulagailua erabiliz.
a) 25
d) g) (0,7)2
j) (−2)5
b) 64
e) h) (0,04)6
k) (−6)4
c) 123
f) i) (1,32)8
l) (−12)3
a) 64 e) 5,0625 i) 9,2170395205042176
b) 1.296 f) 0,027 j) −32
c) 1.728 g) 0,49 k) 1.296
d) 0,000244140625 h) 0,000000004096 l) −1.728
Adierazi zenbaki hauetako bakoitza zenbaki positibo baten berreketa gisa.
a) 8 b) 27 c) 16 d) 81 e) 64 f) 125 g) 49 h) 121
a) 23
b) 33
c) 24
d) 34
e) 26
f) 53
g) 72
h) 112
Idatzi zenbaki hauetako bakoitza zenbaki negatibo baten berreketa gisa.
a) 16 c) 49 e) 121 g) −27 i) 64
b) −125 d) −128 f) 144 h) −216
a) (−4)2
c) (−7)2
e) (−11)2
g) (−3)3
i) (−8)2
b) (−5)3
d) (−2)7
f) (−12)2
h) (−6)3
a) (−2)2
b) (−3)3
c) −(−82
) d) −(−2)3
a) 4 b) −27 c) −64 d) 8
Esan berdintza hauek zuzenak diren ala ez.
a) Okerra. d) Okerra.
b) Zuzena. e) Zuzena.
c) Okerra. f) Zuzena.
041
●●
040
●●
039
●●
038
●●
3
10
3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
2
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
4
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
037
●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 54

55
2
Idatzi zenbaki bakoitza zenbaki oso baten berreketa gisa.
a) −81 d) −1.000 g) −49
b) −8 e) −25 h) −2.187
c) −16 f) −512 i) −7.776
a) −34
d) (−10)3
g) −72
b) (−2)3
e) −52
h) (−3)7
c) −24
f) (−2)9
i) (−6)5
Kalkulatu a-ren balioa berdintza hauetan.
a) 2a
= 32 c) a4
= 2.401
b) 3a
= 729 d) a3
= 216
a) a = 5 c) a = 7
b) a = 6 d) a = 6
a) 2−3
d) 4−2
g) (−5,02)−3
b) (1,3)−2
e) (−3)−2
h) (−2)−4
c) f) i)
a)
b)
c) 22
= 4
d)
e) 0,1
)
f)
g)
h)
i) (−6)2
= 36
1
2
1
16
0 06254
( )−
= = ,
1
5 02
1
00790476293
( )−
= =
, 126,506008
0,
5
3
125
27
3
3
( )−
= −
1
3
1
92
( )−
= =
1
4
1
16
0 06252
= = ,
1
13
1
169
0 59171592
( ), ,
,= =
1
2
1
8
01253
= = ,
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
1
6
2
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
3
5
3
1
2
2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
044
●
043
●●●
042
●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 55

56
Kalkulatu berreketen emaitzak, kalkulagailua erabiliz.
a) 7−4
c) (−0,07)−4
e) (0,12)−7
b) (−4)−7
d) f)
a) 0,0004164931 d) 0,19753086419753
b) −0,00006103515625 e) 2.790.816,47233653
c) 41.649,312786339 f) −0,064
2−2
, 2−3
eta 2−5
berreketak ditugu.
a) Zein da handiena?
b) Nolakoa da berreketa, berretzaile negatiboaren balio absolutua handitzen
doan heinean?
c) Erantzun aurreko galderei, baina 0,7−3
, 0,7−4
eta 0,7−5
berreketak dituzula.
a) Berreketa handiena 2−2
da.
b) Berretzailearen balio absolutua handiagoa den heinean, berreketa orduan
eta txikiagoa da.
c) Handiena 0,7−5
da. Zenbat eta handiagoa berretzailearen balio absolutua
orduan eta handiagoa da berreketa. Kasu honetan, berrekizuna bata baino
txikiagoa da; horregatik da aurreko kasuaren desberdina.
Kalkulatu berreketa hauen balioak.
a) 25
⋅ 23
d) (−4)9
⋅ (−4)5
⋅ (−4)
b) 25
: 23
e) (−4)9
: (−4)5
: (−4)
c) 37
⋅ 32
⋅ 34
f) (7 ⋅ 4)0
a) 28
= 256 d) (−4)15
= −1.073.741.824
b) 22
= 4 e) (−4)3
= −64
c) 313
= 1.594.323 f) 1
Kalkulatu berreketen eragiketa hauen emaitzak, kalkulagailua
erabiliz.
a) (0,03)2
⋅ (0,03)4
b) (4,1)6
⋅ (4,1)4
c) (1,2)2
⋅ (1,2)5
⋅ (1,2)8
d) (0,6)2
⋅ (0,6)4
⋅ (0,6)12
e) (0,7)6
⋅ (0,7)13
⋅ (0,7)11
a) 7,29 ⋅ 10−10
b) 1.342.265,931
c) 15,40702157
d) 1,015599567 ⋅ 10−4
e) 2,25393403 ⋅ 10−5
048
●
047
●
046
●●●
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
5
2
3
3
2
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
045
●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 56

57
2
Adierazi emaitzak, berreketa bakar baten bidez.
a) (33
⋅ 34
⋅ 38
) : 39
b) (−2)4
⋅ (−2)6
⋅ (−2)5
c) (−7)8
: (−7)4
⋅ (−7)2
d)
e)
f) (−5)8
: [(−5)3
: (−5)3
]
g) [69
⋅ 65
] : [64
⋅ 62
]
a) 36
b) (−2)15 e)
c) (−7)6
= 76
f) (−5)8
d)
g) 68
Ebatzi adierazpen hauek, berreketen propietateak aplikatuz.
a) 74
⋅ 34
= 2.401 ⋅ 81 = 194.481
b) (−5)5
⋅ 35
= −3.125 ⋅ 243 = −759.375
c)
d) (−8)3
: 53
= −512 : 125
e)
f)
g) (−6)18
h) (0,3)6
i) (−0,5)30
j) −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
6
5
4
6
7
3
4
5 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= −:
55 5
5 5
5
5
3
6 7
2
7
⋅
⋅
= −
( )
( )
016
3
0 0256
9
2
2
, ,
−
=
64
27
512
216
4 096
729
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −
.
050
●●
5
2
1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
9
1
9
2 2
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−1
9
1
9
2 3
:
11
9
1
9
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
:
5
2
5
2
5
2
4 3
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
:
66
049
●●
ERANTZUNAK
a) (7 ⋅ 3)4
b) [(−5) ⋅ 3]5
c)
d) [(−8) : 5]3
e) [(0,16) : (−3)]2
f)
g) (−6)2
⋅ (−6)4
⋅ (−6)12
h) (0,3)2
⋅ (0,3)4
i) (−0,5)6
⋅ (−0,5)13
⋅ (−0,5)11
j) −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
6
3
6
3 2
4
6
7
3
5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
:
4
3
8
6
3
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 57

58
Adierazi zatiketa bakoitzaren emaitza, berreketa bakar baten bidez.
a) 38
: 34
d) 3140
: (−31)4
: (−31)
b) (−9)12
: (−9)4
e) (0,5)30
: (0,5)5
: (0,5)3
c) (−12)15
: 123
: 125
a) 34
d) −3135
b) (−9)8
e) (0,5)22
c) −127
Osatu.
a) 23
⋅ = 25
d) (−3)12
: = (−3)6
b) (−4)5
⋅ = (−4)10
e) : 56
= 5
c) ⋅ = f) :
a) 23
⋅ 22
= 25
b) (−4)5
⋅ (−4)5
= (−4)10
c)
d) (−3)12
: (−3)6
= (−3)6
e) 57
: 56
= 5
f)
Bilatu a-ren balioa berdintza hauetan.
a) 5a
⋅ 53
= 56
c) (−6)a
: (−6)8
= (−6)0
b) (−2)5a
: (−2)2a
= (−2)6
d)
a) a = 3 c) a = 8
b) a = 2 d) a = 3
5
3
5
3
5
3
3 2
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
a
⎟⎟
9
054
●●●
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟1
3
1
3
1
3
3 0
: ⎟⎟⎟⎟
3
7
2
7
2
7
2
6 1
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
77
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
= −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
1
3
1
3
0 3
7
2
7
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
7
2
6
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
053
●●
052
●●
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA AURKAKO BERREKIZUNAK DITUZTEN BERREKETEN BIDERKETAK?
Adierazi berreketa bakar batez: (−3)4
⋅ 32
.
LEHENA. Berrekizun negatiboa deskonposatuko dugu; ondoren, biderketaren
berreketa-propietatea aplikatuko dugu.
(−3)4
⋅ 32
= (−1 ⋅ 3)4
⋅ 32
= (−1)4
⋅ 34
⋅ 32
BIGARRENA. Berrekizun bereko berreketen eragiketak egin, eta ebatzi egingo dugu.
(−1)4
⋅ 34
⋅ 32
= (−1)4
⋅ 34+2
= 1 ⋅ 36
= 36
051
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 58

59
2
Ebatzi eragiketa hauek.
a) 25
b) 2−6
⋅ 2−4
= 2−10
c) (−3)−3
d) (−3)8
: (−3)5
= (−3)3
e)
f)
g) 33
h) (−5)11
i) (−6)−15
⋅ (−6)−20
= (−6)−35
Adierazi eta zuzendu berdintza hauen akatsak.
a) 32
+ 33
+ 35
= 32+3+5
= 310
b) 32
⋅ 33
− 35
= 32+3
− 35
= 35
− 35
= 30
= 1
c) 49
: 42
⋅ 44
= 49
: 42+4
= 49
: 46
= 49−6
= 43
d) (−2)6
⋅ (−2)3
= [(−2) ⋅ (−2)]6+3
= 49
e) −32
⋅ 32
= (−3)2+2
= (−3)4
= 34
f) 2 ⋅ (−3)2
= [2 ⋅ (−3)]2
= (−6)2
= 62
g) 85
⋅ 87
= (8 + 8)5+7
= 1612
h) 31
⋅ 30
= 31⋅0
= 30
= 1
a) 32
⋅ 33
⋅ 35
= 32+3+5
= 310
b) 32
⋅ 33
− 35
= 32+3
− 35
= 35
− 35
= 0
c) 49
: 42
⋅ 44
= 49−2
⋅ 44
= 47
⋅ 44
= 47+4
= 411
d) (−2)6
⋅ (−2)3
= (−2)6+3
= (−2)9
e) −32
⋅ 32
= −32+2
= −34
f) 2 ⋅ (−3)2
g) 85
⋅ 87
= 812
h) 31
⋅ 30
= 31+0
= 31
056
●●
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟
− −
1
4
1
4
1
4
6 6
: ⎟⎟⎟⎟
=
0
1
1
3
9
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
055
●●
ERANTZUNAK
a) 24
⋅ 2−2
⋅ 23
b) (2−2
)3
⋅ 2−4
c) (−3)−5
: (−3)2
⋅ (−3)4
d) [(−3)−2
]−4
: (−3)5
e)
f)
g) 3−6
: 3−7
⋅ 32
h) (−5)8
: (−5)−2
: (−5)−1
i) [(−6)3
]−5
⋅ [(−6)−5
]4
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−
−
1
4
1
4
6 2
:
33
1
3
1
3
1
3
2 5
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
−
:
⎟⎟
−6
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 59

60
Argudiatu berdintza hauek zuzenak diren ala ez.
a) 9−1
= −9
b) (−2)−4
= 24
c) (−3)−6
= 3−6
d) (−3)−3
= (−3)−2
⋅ 3−1
e) 4−3
= (−4)−1
⋅ (−4)4
f) (2−5
)−1
= 2−6
a) Okerra: .
b) Okerra: .
c) Zuzena: .
d) Okerra: (−3)3
= (−3)2
⋅ (−3)−1
(−3)2
⋅ 3−1
.
e) Okerra: (−4)−1
⋅ (−4)4
= (−4)3
4−3
.
f) Okerra: (2−5
)−1
= 25
.
a) (23
)4
b) [(−3)3
]2
c) [−64
]3
d)
e)
f) [−52
]4
a) 212
c) −612
e)
b) (−3)6
d) f) 58
Kalkulatu berreketa hauen balioak.
a) [(−3)2
]2
⋅ [(−3)3
]3
b) [(5)8
]2
: [(−5)4
]3
a) (−3)4
⋅ (−3)9
= (−3)13
= 1.594.323
b) 516
: (−5)12
= 516
: 512
= 54
= 625
059
●●
1
3
8
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
3
5
15
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3
5
3
5
1
3
2
4
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
058
●
( )
( )
− =
−
= =− −
3
1
3
1
3
36
6 6
6
( )− = =− −
2 2
1
2
4 4
4
9
1
9
1−
=
057
●●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 60

61
2
Ebatzi.
a) (−2)−4
⋅ [(−2)2
]3
e) −2−3
⋅ (−2−4
)
b) 34
⋅ [(−3)2
]−2
f) (−26
) ⋅ (−2−6
)
c) (−8)3
⋅ 2−4
g) (−3)4
⋅ (−34
)
d) (−2)−3
⋅ 2−3
h) 4−3
⋅ 2−2
a) (−2)−4
⋅ (−2)6
= (−2)2
e) 2−7
b) 34
⋅ 3−4
= 30
= 1 f) 20
= 1
c) (−2)9
⋅ 2−4
= (−2)5
g) −38
d) −2−3
⋅ 2−3
= −2−6
h) 2−6
⋅ 2−2
= 2−8
Osatu berdintza hauek.
a) [(−5)3
] : (−5)7
= (−5)5
c) [73
]5
: 7 = 1
b) [ 2
]5
⋅ 4
= (−3)14
d) 119
⋅ [112
]3
= 11
a) [(−5)3
]4
: (−5)7
= (−5)5
b) [(−3)2
]5
⋅ (−3)4
= (−3)14
c) [73
]5
: 715
= 1
d) 119
⋅ [112
]3
= 1115
Sinplifikatu berreketen biderketa hauek.
a) 54
⋅ 253
e) −123
⋅ 185
b) 84
⋅ 162
f) (−63)5
⋅ 212
c) 63
⋅ 125
g) −723
⋅ (−4)7
d) 47
⋅ 32 h) 322
⋅ (−24)3
a) 54
⋅ 56
= 510
e) −26
⋅ 33
⋅ 25
⋅ 310
= −211
⋅ 313
b) 212
⋅ 28
= 220
f) −310
⋅ 75
⋅ 32
⋅ 72
= −312
⋅ 77
c) 23
⋅ 33
⋅ 210
⋅ 35
= 213
⋅ 38
g) −36
⋅ 29
⋅ (−214
) = 36
⋅ 223
d) 214
⋅ 25
= 219
h) 210
⋅ (−2)9
⋅ 33
= (−2)19
⋅ 33
063
●●●
EGIN HONELA
NOLA EBAZTEN DIRA BERREKETEN BIDERKETAK, BERREKIZUNEK BIDERKAGAI BERAK
DITUZTENEAN?
Ebatzi 162
⋅ 32−2
.
LEHENA. Biderkagai lehenetan deskonposatzen dira.
162
⋅ 32−2
= (24
)2
⋅ (25
)−2
BIGARRENA. Eragiketak egiten dira: berreketen berreketa eta berrekizun bereko
berreketen biderketa.
(24
)2
⋅ (25
)−2
= 28
⋅ 2−10
= 2(8−10)
= 2−2
062
061
●●
060
●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 61

62
Kalkulatu eta adierazi emaitzak berreketa bakar baten bidez.
a) (52
⋅ 252
)3
c) ((−2)12
)3
⋅ 85
e) ((3)12
)3
⋅ ((−27)5
)2
b) (92
: (−27)4
)4
d) (63
⋅ 362
)6
f) (162
: 643
)5
⋅ 44
a) (56
)3
= 518
d) (67
)6
= 642
b) (−34
: 312
)4
= 3−32
e) 336
⋅ 330
= 366
c) 236
⋅ 215
= 241
f) (44
: 49
)5
⋅ 44
= 4−25
⋅ 44
= 4−21
Egin berreketen eragiketa hauek eta sinplifikatu lortutako emaitzak ahal duzun
gehiena.
a) 4012
: ((−4)6
)−6
b) (−45)15
⋅ ((−15)3
)−6
c) (92
: 274
)−4
⋅ (6−3
⋅ 36−2
)
d)
a) 512
⋅ 236
: 2−72
= 512
⋅ 2108
b) −330
⋅ 515
⋅ 3−18
⋅ 5−18
= −312
⋅ 5−3
c) (3−8
)−4
⋅ (2−7
⋅ 3−7
) = 2−7
⋅ 3−39
d) [1−3
: (−2 ⋅ 3)]−1
= −2 ⋅ 3
Adierazi eragiketa hauen emaitzak 10 berrekizuneko berreketa gisa.
a) 0,000000001 ⋅ 1.000.000 c) 0,00000000001 : 1.000.000.000
b) 0,0000000010 ⋅ 10.000.000 d) 0,000001 : 1.000
a) 10−3
b) 10−2
c) 10−20
d) 10−9
Adierazi idazkera zientifikoan.
a) Hiru bilioi eta erdi. c) Hamar milioiren.
b) Berrehun milaren. d) Ehun mila milioi eta erdi.
a) 3,5 ⋅ 1012
b) 2 ⋅ 10−1
c) 1 ⋅ 10−5
d) 1,000005 ⋅ 1011
Idatzi, zifra guztiak jarriz, idazkera zientifikoan adierazitako zenbaki hauek.
a) 3,432 ⋅ 104
c) 3,124 ⋅ 10−7
b) 1,3232 ⋅ 10−3
d) 5,3732 ⋅ 107
a) 34.320 c) 0,0000003124
b) 0,0013232 d) 53.732.000
Eragiketak aurrez egin gabe, jakingo al zenuke esaten eragiketa hauen
emaitzak zer magnitude-ordenatakoak diren?
a) 6,3 ⋅ 102
+ 4,5 ⋅ 102
c) (2,6 ⋅ 103
) ⋅ (3,1 ⋅ 104
)
b) 7,7 ⋅ 104
− 7,2 ⋅ 104
d) (5 ⋅ 107
) : (2,5 ⋅ 106
)
a) 3 b) 3 c) 7 d) 1
069
●●
068
●
067
●
066
●
3
4
4
3
3
2
4
3
⋅
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⋅ −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤−
: ( )
⎦⎦
⎥
⎥
⎥
−1
065
●●●
064
●●●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 62

63
2
Egin eragiketa hauek eta adierazi emaitzak idazkera zientifikoa erabiliz.
a) 113,5 ⋅ 10−6
+ 0,0001 ⋅ 104
b) 7.693,57 ⋅ 10−2
+ 0,7861 ⋅ 106
c) 3.023.500 ⋅ 10 − 0,0317 ⋅ 1012
d) 4.023 ⋅ 104
− 1.234,57 ⋅ 1011
e) (20.100 ⋅ 103
) : (2,7 ⋅ 105
)
f) 0,35 ⋅ (1,24 ⋅ 10−8
)
g) (1.435 ⋅ 103
) ⋅ (6,7 ⋅ 107
)
h) (32,130 ⋅ 10−6
) : (3,7 ⋅ 107
)
i) (54,3 ⋅ 10−7
) : (6,7 ⋅ 105
)
a) 1,0001135 ⋅ 100
d) −1,2345695977 ⋅ 1014
g) 9,6145 ⋅ 1013
b) 7,861769357 ⋅ 105
e) 7,444444444 ⋅ 101
h) 8,683783784 ⋅ 10−13
c) −3,1669765 ⋅ 1010
f) 4,34 ⋅ 10−9
i) 8,104477612 ⋅ 10−12
Kalkulatu kasu bakoitzean falta den gaia.
a) 15 ⋅ 104
+ = 13 ⋅ 103
b) 4,6 ⋅ 1011
+ = 2,1 ⋅ 104
c) (32,15 ⋅ 104
) ⋅ = 65,53 ⋅ 104
d) (3,6 ⋅ 102
) : = 6,12 ⋅ 1012
a) 1,37 ⋅ 105
c) 2,038258165 ⋅ 100
b) −4,59999979 ⋅ 1011
d) 5,882352941 ⋅ 10−11
Adierazi zer zenbaki multzo zehatzi dagokion zenbaki edo adierazpen bakoitza.
a) 7,65444… e) π− e i)
b) −11,2 f) 1,010222… j) 1
c) 999 g) 300,301302… k) 6,585959…
d) 9,88777… h) l) 1,00111…
a) 7,654
)
→ Hamartar periodiko mistoa; Q multzoa.
b) −11,2 → Hamartar zehatza; Q multzoa.
c) 999 → Arrunta; N multzoa.
d) 9,887
)
e) π − e → Irrazionala; I multzoa.
f) 1,0102
)
g) 300,301302… → Irrazionala; I multzoa.
h) → Arrunta; N multzoa.
i) → Irrazionala; I multzoa.
j) 1 → Arrunta; N multzoa.
k) 6,5859
)
l) 1,001
)
99 9 94987e = …,
169 13=
169
99e
072
●
071
●●
070
●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 63

64
Ordenatu zenbaki hauek handienetik txikienera.
a)
b)
a)
−1,73
)
< −1,73206 < −1,7320508… < −1,4
−1,73
)
< −1,73206
b) →
Aztertu zenbaki hauek, eta esan zein diren arrazionalak eta zein irrazionalak.
a) 0,444444… c) 0,151155111555…
b) 0,323232… d) 0,234432234432…
Eman, ahal den kasuetan, zenbakiaren zatikizko adierazpena.
a) Arrazionala, . c) Irrazionala.
b) Arrazionala, . d) Arrazionala, .
075
234 432
999 999
2 368
10 101
.
.
.
.
=
32
99
4
9
074
●
1 1001 1 089 11
10
9
< < < =, ,,
10
9
11= ,
< − < −3
7
5
− = − − = −3 17320508
7
5
14, …; ,
1 1 00111
10
9
1111 1 08999; , ; ; , ; ,… … …
− − − −3
7
5
1 7333 1 73206; ; , ; ,…
073
●
Zenbaki errealak
EGIN HONELA
NOLA ADIERAZTEN DIRA ERROAK, ERROKIZUNAK BERBIDURA PERFEKTUEN BATURA EZ DIRENEAN?
Erregela eta konpasa erabiliz, marraztu zenbakia zuzen errealean.
LEHENA. Errokizuna berbiduren batuketa gisa deskonposatu behar da, berbidura
perfektuak izatera iritsi arte.
BIGARRENA. Alderantzizko ordenan, kalkulatu-
tako erlazioak adierazten dituzten triangelu an-
geluzuzenak marraztu behar dira.
Hau da lehenengo erlazioa: .
HIRUGARRENA. Triangelu angeluzuzenak eraiki
behar dira, bakoitza aurrekoaren hipotenusaren
gainean. Gero, zentrotzat 0 eta erradiotzat azken
triangeluaren hipotenusa dituen arkua eraikiko
dugu, zuzena P' puntuan ebakiko duena. Puntu
horren abzisa izango da bila gabiltzan erroa.
erlazioa adierazten duen
triangelua eraikiko dugu.
( ) ( ) .2 1 3
2 2 2
+ =
1 1 22 2 2
+ = ( )
3 1 2 1 1 12 2 2 2 2 2
= + = + +( ) ( )
3
10
1
1
3
3
2
P
1
10
P'
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 64

65
2
Adierazi grafikoki zenbaki erreal hauek, goiko prozedura erabiliz.
a) b) c) d)
a), b) eta c)
d)
Adierazi grafikoki, erregelaz eta konpasez, zenbaki erreal hauek.
a) b) c) d)
a) 26 = 52
+ 12
b) 40 = 62
+ 22
c) 161 = 122
+ 17
17 = 42
+ 12
d) 187 = 132
+ 18
118 = 42
+ 2
112 = 12
+ 12
4
13 14
187
187
F
4
1
12 13
161
161
F
0 1
2
2 3 4 5 6 7
40
40
F
1
26
F
26
0 1 2 3 4 5 6
1871614026
077
●
11 10 1
2 2
2( ) = ( ) +
10 3 1
2
2 2( ) = +
0 1
1
2 3 4
11
F
10
11
8 7 1
2 2
( ) = ( ) +
7 6 1
2 2
( ) = ( ) +
6 5 1
2 2
( ) = ( ) +
5 2 1
2
2 2( ) = +
0 1
1
2
5
6
7
8
6
7
8
F
F
F
3
11786
076
●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 65

66
Azaldu, arrazoi bidez, zenbaki erreal hauek grafikoki adierazteko modua.
a) c)
b) d)
a) adieraziko dugu 1 × 1 neurriko karratuaren diagonaletik abiatu,
erdibitzailea marraztu eta zuzenkiaren erdiko puntua lortuko dugu: .
b) 0 puntuan elkar ebakitzen duten bi zuzen egingo ditugu. eta
adieraziko ditugu zuzen batean, eta 1 zenbakia, bestean. Ondoren,
eta 1 elkartzen dituen zuzena marraztuko dugu eta -tik igarotzen
den zuzen paraleloa. Bigarren zuzenarekiko ebakidura-puntua: .
c) adieraziko dugu, 1 × 1 neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta.
adieraziko dugu, 1 × neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta,
erdibitzailea marraztu eta zuzenkiaren erdiko puntua lortuko dugu: .
d) adieraziko dugu, 1 × 1 neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta.
adieraziko dugu, 1 × neurriko karratuaren diagonaletik abiatuta
eta -ren luzera -ren ondoren jarriko dugu.
Zer zenbaki adierazten du P puntuak kasu bakoitzean?
a)
b)
a) . Beraz, P-k zenbakia adierazten du.
b) . Beraz, P-k zenbakia 5 adierazten du.16 9 5+ =
2016 4 20+ =
P
0 4
3
P
0 4
2
079
●●
32
23
2
3
2
23
2
3
2
32
32
2
2
2
2 3+
3
2
3
2
2
2
078
●●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 28/9/07 12:58 Página 66

67
2
1 + zenbakia:
a) Arrazionala ala irrazionala da?
b) Adierazi, zuzen errealean, modu zehatzean.
a) Irrazionala.
b)
Adierazi zenbaki hauek zuzen errealean, hurbilketa bidez.
a) 0,9
)
b) 1,202202220… c)
a)
b)
c)
Idatzi hiru zenbaki irrazional, zati hamartarrean 0 eta 1 digituak erabiliz.
Arrazoitu zenbaki bakoitzaren sortze-prozesua
Zati hamartarra 1ekin hasi eta ondoz ondoko bi batekoaren artean aurrekoen
artean baino 0 bat gehiago sartuko dugu: 1,1101001000100001…
Hasteko 1 eta 0 bana idatziko dugu, eta ondoren bi 1 eta bi 0:
1,10110011100011110000…
Zenbaki lehenei dagozkien lekuetan 1 idatziko dugu, eta gainerakoetan, 0:
1,01101010001010001000001…
Idatzi bi zenbaki erreal eta bi irrazional, adierazitako zenbakien artean daudenak:
a) 7,1 eta 7,11
b) eta 1
c) 0,63
)
eta 0,636633666333…
d) ␲ eta
a) Errealak: 7,102 eta 7,109. Irrazionalak: eta 7,10110111011110...
b) Errealak: 0,9
)
eta 0,95. Irrazionalak: eta 0,919293949596...
c) Errealak: 0,634 eta 0,635. Irrazionalak: 0,636465666768... eta 0,636261605958...
d) Errealak: 3,15 eta 3,16. Irrazionalak: 3,15012384… eta 3,162122334489…
0 9,
50 5,
10
8
9
083
●●
082
●●
−3
− 15
F
−4
1 2
1,202202220…
F
0 1
0,9
)
F
− 15
081
●●
0 1 2 3 4
1 2+
F
2080
●●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 67

68
Biribildu zenbaki hauek milarenetara eta eten milarenetan. Ondoren, kalkulatu
egindako errore absolutua.
a) 1,2468 d) 0,67
)
g)
b) 5,3
)
e) 3,28
)
h) 9,12
)
c) 21,9673 f) i) 6,54
)
a) Biribilketa: 1,247. Errorea: 0,0002.
Etendura: 1,246. Errorea: 0,0008.
b) Biribilketa: 5,333. Errorea: 0,0003
)
.
Etendura: 5,333. Errorea: 0,0003
)
.
c) Biribilketa: 21,967. Errorea: 0,0003.
Etendura: 21,967. Errorea: 0,0003.
d) Biribilketa: 0,677. Errorea: 0,00032
)
.
)
.
e) Biribilketa: 3,283. Errorea: 0,00017
)
.
)
.
f) Biribilketa: 4,123. Errorea: 0,000105626...
Etendura: 4,123. Errorea: 0,000105626...
g) Biribilketa: 4,359. Errorea: 0,000101056...
Etendura: 4,358. Errorea: 0,000898944...
h) Biribilketa: 9,121. Errorea: 0,00021
)
.
)
.
i) Biribilketa: 6,545. Errorea: 0,00045
)
.
)
.
Kalkulatu zenbaki hauek hamarrenetara hurbiltzean egin daitekeen errorerik
handiena.
a) 5,697 b) 0,28
)
c)
Zer emaitza lortu duzu? Hurbildu duzun zenbakiaren araberakoa al da?
a) 0,097 b) 0,088888 c) 0,0852575695...
Hiru kasuetan, zenbakiak etetean egiten da errorea, bigarren
hamartarra 5 baino handiagoa baita.
Idatzi hauek betetzen dituen zenbaki bana:
a) Hamarrenetara biribiltzean eta hamarrenetan etetean zenbaki bera ematea.
b) Ehunenetara biribiltzean 5,87 zenbakia ematea.
c) Ehunenetara biribiltzean 11,56 ematea, eta hurbilketan egindako errore
absolutua 0,003 izatea.
d) Hamarrenetan etetean 0,7 ematea, eta hurbilketan egindako errore absolutua
0,025 izatea.
a) 1,23 b) 5,8685 c) 11,563 d) 0,675
086
●●
21
085
●
17
19
084
●
Zenbaki errealak
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 68

69
2
Adierazi grafikoki tarte hauek.
a) [−2, 3] c) (−5, 1]
b) (−1, 0) d) [6, 9)
a) c)
b) d)
Zer tarte daude hemen adierazita?
[−5, 1) eta (−2, 4).
Adierazi zuzen errealean tarte hauek, eta seinalatu aldi berean lau tarteetakoak
diren bi zenbaki.
a) [1, 5] b) (4, 6] c) (3,5; 9) d) [0, 6)
a) c)
b) d)
Lau tarteetakoak diren zenbakiak: 5 eta 4,5.
Behatu adibideari eta adierazi tarte bakoitza, desberdintzak erabiliz.
(2, 5] honen baliokide da: 2 < x ≤ 5
a) [−1, 2] c) [0, π] e) (11, 15]
b) (1, 5) d) (6, 7) f) [0, 11)
a) −1 ≤ x ≤ 2 c) 0 ≤ x ≤ π e) 11 < x ≤ 15
b) 1 < x < 5 d) 6 < x < 7 f) 0 ≤ x < 11
Idatzi −0,8
)
zenbakia barnean duten bi tarte.
[−5, 0) eta (−0,9; −0,8)
Tarte hauetatik zein erabiliko zenuke −3 baino handiagoak eta 5 edo txikiagoak
diren zenbaki errealen multzoa adierazteko?
a) (−3, 5) b) [−3, 5) c) (−3, 5] d) [−3, 5]
c) aukera: (−3, 5].
Adierazi berreketa gisa aitona-amonak, birraitona-amonak eta herenaitona-amonak.
Aitona-amonak: 22
; birraitona-birramonak: 23
; herenaitona-amonak: 24
.
093
●●
092
●
091
●
090
●●
0 64 6
3,5 91 5
089
●
−2 4
−5 1
088
●
6 9−1 0
−5 1−2 3
087
●
ERANTZUNAK
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 69

70
Arku-tiroko lehiaketa bat antolatu dute. Lehiakideak hautatu ondoren,
bosna kideko bost talde eratu dituzte. Taldekide bakoitzak bost
gezi ditu itura tiratzeko. Zenbat gezi beharko dira,
orotara?
53
= 125. 125 gezi behar dira.
Ikasgelako liburutegiak hiru apalategi ditu. Apalategi bakoitza hiru apalek osatzen
dute, eta apal bakoitzak hiruna liburu dituzten hiru atal ditu. Zenbat apal, atal eta
liburu ditu liburutegiak? Adierazi emaitza berreketa gisa.iiiiii
Apalak: 32
= 9 Atalak: 33
= 27 Liburuak: 34
= 81
Jonek 32 €-ko ordainsaria izaten du astero. Gurasoek zigorra jarri diote, eta
asterik aste erdira murriztu diote.
a) Adierazi prozesu hori, berreketak erabiliz.
b) Zenbat asteren buruan izango da Jonen ordainsaria 25 zentimokoa
soilik?
a) 25
, 24
, 23
, 22
, 2, 1, b) 7 asteren buruan.
Etxebizitza baten azalera 117,13 m2
-koa da, eta beste batena, 73,65 m2
-koa.
Biribildu metro koadroetara eta eten metro koadroetan etxebizitza bakoitzaren
azalera. Zein hurbilketa da zehatzena.
Lehenengoan, biribilketa 117 m2
da eta etendura ere bai; beraz, errorea
bera da: 0,13 m2
.
Bigarrenean, biribilketa 74 m2
da, eta errorea, 0,35 m2
. Etendura
73 m2
da, eta errorea, 0,65 m2
. Beraz, biribilketa da zehatzena.
Tren-geltokirik hurbilenerako distantzia 16,74 km da.
Koldok dio distantzia hori 16 km dela eta Eiderrek, berriz, 17 km dela.
Nork egin du hurbilketarik zehatzena?
Eider gehiago hurbildu da eta 0,26 km-ko errorea egin du; Koldok, berriz,
0,74 km-ko errorea egin du.
DBH 3ko ikasleek Hizkuntzako lehen ebaluazioan lortu dituzten notak hauek
izan dira:
Hurbileneko zenbaki osoan etetean
lortzen den nota jartzen du irakasleak
buletinean.
a) Zer nota egokituko zaie?
b) Zer nota izango lukete, eten ordez
biribilduta?
a) 2, 6, 8, 6, 7, 9, 3, 4, 5, 3, 6, 9, 4, 5, 9, 9, 6, 3, 8, 2, 7, 4, 9, 1, 5
b) 3, 6, 9, 6, 8, 9, 3, 5, 5, 4, 6, 10, 4, 6, 10, 9, 7, 4, 8, 3, 7, 5, 9, 2, 5
099
●●
098
●●
097
●●
1
2
1
22
,
, , …
096
●●●
095
●●
094
●●
Zenbaki errealak
2,5
6,4
8,6
6,1
7,6
9
3,2
4,5
5,2
3,8
6,4
9,7
4,3
5,8
9,7
9,3
6,8
3,7
8,4
2,6
7,2
4,7
9,1
1,6
5
908272 _ 0044-0073.qxd 20/9/07 14:44 Página 70

Emaitzak 3. dbh

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Emaitzak 3. dbh