Matemática para todos                        “La matemática es la reina de las                                            ...
Descubriendo el mundo de los números                                                   ¿Qué tienen en común               ...
N ú m e r o s                                                      e n                      e l                      t i e...
Descubriendo los números                         Si quisiéramos contar el número de granos que hay sobre esta             ...
Descubriendo operaciones: la adiciónConteo de unidades sucesivas                                 0        1     2      3  ...
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Números y códigos                                                                                  Número clave Un código ...
Números y deportes¿Cómo sería la práctica de deportes si no tuviéramos números?¿Qué perderíamos?      •     ¿Cómo podríamo...
Ventana didáctica      Estrategias sugeridas al docente Tres juegos con la calculadora La calculadora, lejos de ser solame...
Tengo que pensarlo                                             El número de la casa de Yolanda                            ...
¡A jugar! Materiales •          Dos juegos de cartas como los siguientes:         1             2             3           ...
Información actualizadaBibliografíaDe Guzmán, Miguel (1994). Para pensar mejor. EditorialPirámide. Madrid, España.Díaz, Go...
Ernesto Medina Dagger                                              La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*Naci...
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  1. 1. Matemática para todos “La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de Fascículo las matemáticas”El mundo de los números Carl Friedrich GaussNúmeros I Matemático alemán (1777-1855) Una flor en forma de espiral. En la corola de un girasol se forman dos grupos opuestos de espirales. Hay 34 espirales en el sentido de las agujas del reloj y 55 en sentido opuesto. Estos números pertenecen a la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89... Fotografía: Rogelio Chovet
  2. 2. Descubriendo el mundo de los números ¿Qué tienen en común estos objetos? Todos presentan números que llevan implícita una información. En la cédula aparece el número que identifica a cada ciudadano mayor de una cierta edad. En un billete se expresa la cantidad de bolívares que representa (bolívares 500) y la serie a la que pertenece (149838217).La etiqueta de cualquier producto en el mercadopresenta en números la capacidad del envase, lafecha de expedición y la de vencimiento, así comoun código de barras que identifica al producto.Podríamos continuar revisando diversas situaciones de nuestra vida cotidianaen las cuales los números están presentes.En todas estas situaciones los números utilizados responden a los principios delSISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.En este sistema de numeración se utilizan diez símbolosdenominados dígitos o cifras que representan ideas decantidad. 0123456789 23 32Cada cifra tiene un valor diferente según su posición. Es y se utilizandecir, la misma cifra colocada en diferente lugar representa es diferente de las mismascantidades distintas. cifras Centenas Decenas UnidadesEl valor de una cifra depende de la posición que ocupa en 100 10 1 3 3 2el número. Cada posición a la izquierda es diez vecesmayor que la que le precede. 3 centenas 3 decenas 2 unidades Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
  3. 3. N ú m e r o s e n e l t i e m p oPrehistoria ca 15000 años a.C. ca 3400 años a.C. ca 2000 años a.C. s. V d.C. s. XII d.C.Las ideas se comunican Paleolítico superior. La Invención de los símbolos Símbolos escritos, sistema Sistema posicional. Sistema Sistema de numeraciónverbalmente invención de marcas para escritos representan ideas de numeración posicional de numeración maya de decimal en Europa contar: las muescas de cantidades. Sistema babilónico base 20. Sistema de nume- egipcio aditivo ración Inca, base 10 verbal y representación en quipúEl actual sistema decimal de numeración o sistema hindú-arábigo, que utiliza el valor de posición, es la culminaciónde muchos siglos de contribuciones de varios sistemas de numeración. Los babilonios al principio de 2000 a.C., loschinos en el siglo I a.C. y los Mayas en el siglo V d.C. ya habían desarrollado sistemas de numeración posicionales.Para escribir números, las cifras cumplen la misma función que las letras del alfabeto para escribir palabras. Observalos diferentes símbolos que en el transcurso de la historia se utilizaron para escribir números.Maya Hindú Griego Árabe Egipcio Babilónico Binario (base 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 Interesante Al tiempo que en Europa se adoptaba el sistema de numeración hindú-arábigo, considerado como uno de los más importantes inventos de la humanidad, los incas en Sudamérica usaban el quipú: tiras de algodón con nudos que representaban la notación posicional como un sistema decimal de numeración, es decir, un sistema de 215 31 102 348 base 10. Observa la representación de cantidades en un quipú. La introducción de un símbolo que representara la ausencia de cantidad encontró grandes obstáculos. Se decía: “si los números se inventaron para contar, es absurdo inventar un símbolo para contar nada”. Los waraos en Venezuela poseen un sistema fonético muy vinculado con sus manos 1 Isaka, 2 Manamo . . . . . 5 Mojobasi, 6 Mojo matama isaka (uno de otra mano). En los sistemas de numeración de los babilonios, griegos, egipcios, romanos, chinos y mayas, no se puede reconocer la magnitud de los números por la longitud de su escritura. Esta es una de las ventajas del sistema decimal de numeración posicional: con una sola mirada, sin leer los números, se puede comparar con la longitud de su escritura. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
  4. 4. Descubriendo los números Si quisiéramos contar el número de granos que hay sobre esta mesa, buscaríamos una manera de organizarlos sin tener que contarlos uno por uno. Una forma de contarlos es agrupándolos de 10 en 10 y pegar cada grupo de 10 en una paleta. Luego se agrupan en cuadros de exactamente 10 paletas. Centenas 100 100 Observa que cada cuadro tiene 10 paletas y cada paleta 10 granos. Decenas Unidades Obtenemos finalmente: 10 7 2 cuadros 10 3 paletas 10 7 granos sueltos 2 Centenas ¡Tenemos en total 237 granos! 3 Decenas 7 UnidadesYendo más allá Agrupamos 1 724 granos así:En caso de poder agrupar 1 724 granos10 cuadros de 10 paletas 172 paletas y 4 granosen cada pila, obtenemos 17 cuadros y 2 paletas y 4 granosunidades de mil. 1 pila y 7 cuadros y 2 paletas y 4 granos Unidades de mil Centenas Decenas unidades 1 7 2 4 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
  5. 5. Descubriendo operaciones: la adiciónConteo de unidades sucesivas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4+3=7“Sumando” con paletas y granos5 5+ +77 12Reúno paletas y granos 165+ 72 y 165 + 72 237 Reto Cuadrado Mágico Coloca los números del 1 al 9 de manera tal que todas las columnas,Números triangulares filas y diagonales mayores sumen 15. Representa y escribe el próximo número triangular 1 3 6 10 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
  6. 6. Descubriendo operaciones: la sustracción 8-5=3Quitando Completando ComparandoTengo 8 caramelos y Tengo 5 caramelos y Víctor tiene 8 caramelosregalo 5 necesito 8 y María tiene 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8La sustracción ... o “pido prestado”¿Alguna vez te has preguntado qué quiere decir “pido prestado” cuando estás efectuandouna sustracción?Fíjate en el ejemplo.Usaremos monedas, las cuales nos resultan familiares. La única limitación en estasituación es que tenemos sólo monedas de 1, 10 y 100 bolívares.Tenemos 245 bolívares así representados y necesitamos pagar 72 bolívares. ¿Qué podemos hacer? • Quitamos 2 bolívares. • Ahora para pagar los 70 restantes, sólo tengo 4 monedas de 10. • Para poder tener las 7 que necesito, cambiamos una moneda de 100 en 10 monedas de 10.Ahora puedo sacar las 7 monedas de 10 que necesito de las 14 que tengo, y dos monedas de uno para pagar los72 bolívares, por lo que me quedan 173 Bolívares. “Pido prestado” al 2 una centena 245 Minuendo -72 Sustraendo 173 Diferencia Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
  7. 7. Descubriendo operaciones: la multiplicación 3 x 5 = 15 Área de 3 veces 5 Suma abreviada 3 filas de 5 fichas rectángulos 3x5 5+5+5 3 filas de 5 Área de fichas rectángulosPropiedad distributiva 3(3 + 5) x 4 = (3 x 4) + (5 x 4) 3 8x4 = 12 + 20 y 5 32 = 32 5 4 4 4La propiedad distributiva ayuda a comprender el procedimiento que se usa para multiplicar números devarias cifras. Reto Usando la propiedad distributiva lo podemos explicar. • Completa lo que falta de la tabla. 325 x 42 = • Sombrea los resultados 1x1, 2x2, 3x3, 325 x (40 + 2) = 4x4... (325 x 40) + (325 x 2) = • Sombrea en otro color los múltiplos de 5 (325 x 4 x 10) + 650 = que están entre 20 y 50. (1 300 x 10) + 650 = • ¿Qué observas? 13 000 + 650 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 650 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 9 12 15 18 21 24 27 30Números rectangulares 4 16 20 24 28 32 36 40 Representa y 5 25 30 35 40 45 50 escribe el próximo número rectangular 6 12 36 42 48 54 60 7 49 56 63 70 8 32 64 72 80 2 6 12 20 9 10 30 81 90 100 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
  8. 8. Descubriendo operaciones: la división Dividendo 17 3 Divisor 17 = 3 x 5 + 2 Residuo 2 5 Cociente Repartiendo Agrupando Se quiere repartir 17 caramelos entre tres ¿Cuántos paquetes de tres caramelos niños de manera que cada niño reciba la se pueden hacer con 17 caramelos? misma cantidad. ¿Cuántos caramelos le tocan a cada niño? ¡5 paquetes! ... y sobran 2 ¡5 caramelos caramelos. a cada niño! ... y sobran 2 caramelos. Cálculo mental 2 436 : 12 152 : 8 2 436 = 2 400 + 36 152 = 160 - 8 (2 400 + 36) : 12 = (160 - 8) : 8 = 2 400 : 12 + 36 : 12 = 160 : 8 - 8 : 8 = 200 + 3 = 20 - 1 = 203 19 Compruebo Compruebo 203 x 12 = 2 436 19 x 8 = 152 Retos • ¿Qué número dividido por 2, luego por 3, luego por 5 y finalmente por 7 da como resultado 10? • ¿Qué número dividido 5 veces por la mitad es igual a 100? Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Leonardo Pisano Apodado Fibonacci (1180-alrededor de 1250) Gauss dio señales de ser un genio antes de cumplir tres años. A esa edad aprendió a Fibonacci era hijo de un mercader de Pisa, Bonaccio leer y a hacer cálculos aritméticos con tanta habilidad que descubrió un error en los (de aquí se origina el sobrenombre, “figlio di Bonaccio”). cálculos realizados por su padre para cancelar salarios. Nacido en una modesta cabaña Viajó al África septentrional, a Egipto, Siria y Grecia, de Alemania e hijo de padres muy pobres, sus contribuciones a la matemática, la física donde aprendió los métodos algebraicos árabes y el y otras ramas de la ciencia, como la astronomía, fueron de una importancia extraordinaria. sistema de numeración hindú-arábigo. Con su obra A Gauss, en su vejez, le encantaba contar la siguiente anécdota: A los diez años de Liber Abaci, difundió en Europa la notación árabe de edad, su maestro le propuso en clase el cálculo de una suma complicada para su edad. los números, la cual usa nueve cifras y el cero, y Apenas el maestro había terminado de dictar el problema, Gauss puso en la mesa del también la barra horizontal para escribir fracciones. maestro su pizarra con el resultado de la suma. Se reconocen como números de Fibonacci los números Observa el problema que el maestro propuso: de la sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... en los que Calcular la suma de los números enteros consecutivos desde 1 hasta 100 cada número es la suma de los dos términos que lo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +..........+ 100 preceden.120 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
  9. 9. Fascículo Matemática para todos El mundo de los números Algoritmo de la división Queremos dividir Bs. 1 353 entre 12• Un billete de Bs. 1 000 no lo puedo repartir entre 12.• Cambio el billete de Bs. 1 000 1’353 12 en 10 monedas de 100.• Ahora tengo 13 monedas de Bs. 100. Bs. 100 a 13’53 12• Reparto entre 12. cada uno - 12• Le toca una moneda de Bs. 100 a cada 1 1 uno y sobra una moneda de Bs. 100.• Cambio la moneda de Bs. 100 en 10 135’3 12 monedas de Bs. 10. Bs. 10 a - 12 cada uno 11• Ahora tengo 15 monedas de Bs. 10. 15• Las reparto entre 12. - 12• Le toca una moneda de Bs. 10 a cada uno y sobran 3 monedas de Bs. 10. 3• Cambio las 3 monedas de Bs. 10 en 1353’ 12 monedas de Bs. 1. - 12• Ahora tengo 33 monedas de Bs. 1 112 15• Las reparto entre 12. - 12• Tocan 2 monedas de Bs. 1 a cada uno y sobran 9 monedas de Bs. 1. 33 - 24 9 Bs. 2 a cada uno A cada uno le toca un total de Bs. 112 y sobran 9 monedas de Bs. 1 1 353 = 112 x 12 + 9 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1 121
  10. 10. Números y códigos Número clave Un código es un grupo de símbolos que relacionados representan información. Los códigos existen hace miles de años, tal como se aprecia en los jeroglíficos, el alfabeto griego, números romanos, el código Morse. Actualmente hablamos del código genético (ADN), código de barras, código bidimensional, etc. En esta sección hablaremos del código de barras. El código de barras es un elemento identificador que se visualiza como una combinación de 30 o más rayas negras de diferente grosor y de cifras que pueden ser leídas por un lector óptico (scanner) que reconoce caracteres. Este código proporciona información individual de cada producto o servicio y facilita el manejo de la información por su precisión ya que cada artículo tiene una identificación única en cualquier parte del mundo. Por ejemplo: 3 representa el país de origen 065890 características del fabricante 000643 características del producto Para verificar si el código corresponde a ese producto la computadora realiza las siguientes operaciones: 1) Suma las cifras colocadas en los lugares pares a partir de la derecha. 2) Multiplica esta suma por la primera cifra a la izquierda. 3) Se suman las cifras de lugar impar comenzando por la tercera cifra de la derecha. 4) Se suman los resultados de los pasos 2 y 3, la diferencia entre este resultado y la decena superior debe coincidir con el número clave. De no ser así hay algún error en el código o en la lectura que amerita ser revisado. Su uso ha sido principalmente en el área comercial, pero también se está utilizando en control de acceso de personas, en inventarios, en centros asistenciales, entre otros. Por ejemplo, cuando usted paga en la caja de un supermercado, ésta, además de cobrarle recoge la información del tipo de producto, el tamaño, ubicación, fecha de expedición, etc. Todo el código responde a normas aprobadas por el “Código Universal de Productos” (UPC). La utilización del código de barras en la vida cotidiana ha simplificado y automatizado el proceso de recolección de datos en los comercios e industrias.122 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
  11. 11. Números y deportes¿Cómo sería la práctica de deportes si no tuviéramos números?¿Qué perderíamos? • ¿Cómo podríamos determinar el ganador de un partido? • ¿Cuándo decimos que un partido se terminó? • ¿Cómo mediríamos la cancha para cada deporte? • ¿Cuántos jugadores tendría cada equipo? • ¿Qué tamaño y peso tendrían las pelotas para cada deporte? • ¿Cómo podríamos saber qué equipo gana un campeonato? • ¿Cómo podríamos determinar el mejor jugador de un campeonato?Sin números, la práctica deportiva perdería gran parte de su interés. Eso sin contar con elhecho de que en algunos casos sería imposible de llevarse a cabo, ya que careceríamosde cosas tan elementales como medida de la cancha, de la pelota con que se juega y elnúmero de jugadores, entre otras cosas.Además, ¿qué sería de la afición al béisbol, por ejemplo, si no pudiéramos saber qué equipova ganando el campeonato, o qué jugador va punteando en número de hits conectados?A veces nos parece que un jugador de fútbol corre muchísimo durante un partido completopero, ¿podríamos saber cuánto corre realmente si no pudiéramos contar con números?A continuación te ofrecemos información numérica fundamental para la práctica de dosdeportes que gozan de una gran popularidad: el baloncesto y el fútbol. 7,32 m 15 m altura del arco: 2,44 m 5,05 m 5,8 m 11,1 m altura del tablero: 2,75 m 100 a 110 m 1,8 m 28 m 64 a 75 mEl balón de fútbol debe tener una circunferencia máxima entre 69 y 70 cm. Debe estar auna presión de 1,1 atmósferas.El balón del baloncesto debe tener una circunferencia máxima de 75 a 78 cm y un pesode 600 a 650 gramos. Se infla a una presión de aire tal, que cuando se deje caer de unaaltura aproximada de 1,80 m, debe rebotar hasta una altura mínima de 1,20 m y máximade 1,40 m. Interesante: Un jugador de fútbol puedecorrer entre 11 y 13 kilómetrosdurante un partido completo. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1 123
  12. 12. Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente Tres juegos con la calculadora La calculadora, lejos de ser solamente un instrumento para sacar cuentas engorrosas, puede utilizarse, entre otras cosas, para desarrollar habilidades de estimación, para reforzar concepciones básicas en el manejo de números y para desarrollar estrategias de resolución de problemas. Lo increíble es que esto podemos lograrlo tan sólo jugando con ella. A continuación proponemos tres juegos que se pueden realizar en cualquier sitio. El cero en no más de cinco pasos • Se juega entre dos personas. • El jugador A introduce en la calculadora un número de tres cifras menor o igual a 900. • El jugador B debe reducir el número a cero en no más de cinco pasos. • Para reducir al cero, solamente puede usar operaciones básicas, en las cuales sólo use números de una cifra. Ejemplo: • El jugador A introduce el número 703 en la calculadora. • El jugador B puede seguir el siguiente procedimiento. -3= :7= :5= :5= -4= Eliminando cifras Gana el que acumule 10 puntos • Cada participante trabaja con su propia calculadora. • Se propone un número de siete cifras, ninguna de las cuales se repite. • Se pide eliminar un dígito del número, aplicando solamente una operación. • Se pide el relato de lo realizado y se califica según el siguiente ejemplo. Ejemplo: • Se introduce 5382749. • Se pide eliminar el 7. El participante reporta sólo la El participante reporta sólo la operación sobre el dígito que debe operación y los dígitos con los que El participante reporta la operación ser eliminado la hizo y el número que resta menos siete. menos siete, cero, cero. menos setecientos. Pierde un punto Ni gana ni pierde el punto Gana un punto Los factores morochos Gana el que acumule 10 puntos • Cada participante trabaja con su propia calculadora. • Se propone un número que sea un cuadrado perfecto. • Se pide estimar qué número multiplicado por sí mismo dé el número propuesto. • Se pide que se efectúe la multiplicación. • Se califican los resultados de acuerdo al siguiente ejemplo. Ejemplo: • Se propone 3969. • Se puede seguir el siguiente procedimiento: - El participante reporta 631, que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades (1) al elevarlo al cuadrado no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto (9). Pierde dos puntos. - El participante reporta 633, un número que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Pierde un punto. - El participante reporta 75, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Ni gana ni pierde puntos. - El participante reporta 67, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Gana un punto. - El participante reporta 63, la raíz cuadrada del número propuesto. Gana dos puntos.124 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
  13. 13. Tengo que pensarlo El número de la casa de Yolanda Si el número de la casa de Yolanda es múltiplo de tres, se trata de un número comprendido entre el 50 y el 59. Si el número de la casa no es múltiplo de 4, entonces es un número comprendido entre 60 y 69. Si el número no es múltiplo de 6, entonces se trata de un número comprendido entre el 70 y el 79. ¿Cuál es el número de la casa de Yolanda?1 2 58 _ _ _ 1 3 Sumas iguales En la figura cada letra representaFibonacci una cifra.La sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8.... Recibe elnombre de sucesión de Fibonacci.Escribe los números que corresponden C B A Todas las cifras (1 al 9) están representadas por una letra distinta. Se sabe que la suma de cada 13al noveno y duodécimo lugar. columna o fila es igual a 13. D ¿Cuál cifra representa la letra E? G F E 13 13123456789 = 2 000 HDos milUtilizando la cifras del 1 al 9, coloca entre ellas los Isignos + - x : de tal manera que obtengas 2 000. 13 El cubo Coloca las cifras del 1 al 8 en cada vértice del cubo de tal forma que la suma de las cifras de los vértices de cada cara sea 18. Edificio en Tokio, Japón Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1 125
  14. 14. ¡A jugar! Materiales • Dos juegos de cartas como los siguientes: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Versión 1 • Dos jugadores Versión 2 • Hasta 4 jugadores 1 El jugador Nº 1 selecciona cuatro cartas verdes. 1 Hasta cuatro jugadores pueden jugar. En este caso, se necesitarían dos juegos de cartas ver- 2 El jugador Nº 2 selecciona una carta amarilla. des. 3 El jugador Nº 1 debe combinar los números de 2 Cada jugador toma cuatro cartas verdes y una sus cuatro cartas verdes con operaciones aritmé- amarilla. ticas básicas (+, -, x, :) hasta obtener el número escrito en la carta amarilla. 3 Cada uno trata de resolver el problema plantea- do en la versión 1. 4 Si resuelve el problema, gana un punto. 4 Cuando un jugador falla, el jugador a su derecha 5 Si el jugador Nº 1 no puede resolver el problema, tiene la oportunidad de resolverlo y ganar un punto el jugador Nº 2 tiene la oportunidad de resolverlo adicional. De fallar este también, le toca el turno al y gana un punto si lo logra. jugador de la derecha y así sucesivamente. 6 Se inicia el juego siguiente barajando las cartas 5 El juego termina cuando se agotan las posibilida- y cambiando los roles de los jugadores. des de resolución para todos los problemas. Gana quien primero complete 10 puntos Ejemplo: 3 4 5 9 2 4 : [5 - (9:3)] = 2126 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
  15. 15. Información actualizadaBibliografíaDe Guzmán, Miguel (1994). Para pensar mejor. EditorialPirámide. Madrid, España.Díaz, Godino J. y otros (1999). Didáctica de lamatemática. Editorial Síntesis. Madrid España.Jiménez, Douglas (1999). La aventura de la matemática.Editorial CEC (Libros de El Nacional). Caracas, Venezuela.Marcano, Gisela (2001). La multiplicación (mimeografía).Fondo Editorial Cenamec, Caracas, Venezuela.Marcano, Gisela (2000). A jugar con los dedos(mimeografía). Fondo Editorial Cenamec, Caracas,Venezuela.Rico, L., Castro, E. y Castro, E. (1987). Números yoperaciones. Editorial Síntesis. Madrid, España. VideosTheoni, Pappas (2000). More joy of mathematics. World Donald en el país de las matemágicas. Walt Disney, EE.UU.Publishing Tetra. EE.UU. Sistemas de numeración. Video de la Universidad Nacional Abierta. Caracas, Venezuela.Páginas web RevistasMath resources inc : http://www.mathresources.com Boletines de la Enseñanza de la Matemática. ASOVEMAT.Teacher created materials. http://www.teachercreated.com VenezuelaEditorial Síntesis. http://www.sintesis.com Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica. Serapio Rendón 125, Col. San Rafael 06470, México, DF. For the Learning of Mathematics. F.L.M. Pibl. Co. 4336 Marcil Avenue. Montreal, Canadá. Petit X. IREM de Grenoble. BP 41 38402. S. Martin D’Heres (Francia). Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá, Colombia. Un corro alrededor del mundo Si todos los muchachos del mundo quisieran darse las manos, podrían hacer un corro todos alrededor del mar. Si todos los muchachos del mundo quisieran ser marineros, Resultados harían con sus barcas un hermoso puente sobre las olas. Se podría hacer un corro alrededor del mundo, si toda la gente del mundo quisiera darse la mano. Paúl FortEl número de la casa de Yolanda: Es el 76.Fibonacci: El noveno es 34 y el duodécimo es 144.Sumas iguales: E vale 4.Dos mil: tiene múltiples respuestas.El cubo: 6 3 4 5 Suponiendo que somos, aproximadamente, 6 millardos de habitantes y sabiendo que la circunferencia máxima de la Tierra es de 1 8 aproximadamente 40 000 km y consideramos que cada uno de nosotros sería un eslabón de 1 m, entonces tendríamos una cadena que podría rodear 150 veces la Tierra. Dios quiera que algún día, 7 2 todos los habitantes de la Tierra nos diéramos las manos. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1 127
  16. 16. Ernesto Medina Dagger La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*Nació en Caracas en 1961. Realizó sus Durante los siglos XIX y XX se le dio un gran impulso a la Física cuando se empezó a estudios de Física en la UniversidadCentral de Venezuela, graduándose con pensar en términos de simetrías. Una simetría se expresa matemáticamente como una honores (summa cum laude) en 1985. invariancia (ausencia de cambios) bajo una operación como la de traslación espacial, Obtuvo el título de PhD en 1991 en elInstituto Tecnológico de Massachusetts. temporal o, por ejemplo, una rotación. Si tomamos la figura de un cuadrado y la rotamos Actualmente es investigador asociado alrededor de su centro en 90 grados no podemos distinguir la orientación final de la del IVIC, profesor titular de la UCV ypertenece al Sistema de Promoción del original, el cuadrado es entonces invariante bajo una rotación de 90 grados. En la Física,Investigador (Nivel IV). Obtuvo el Premio“Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación las operaciones mencionadas dan origen respectivamente a la ley de conservación de Polar en el año 1993. energía (invariancia temporal), la ley de conservación de momentum (invariancia Fotografía: F. Fernández traslacional) y la de conservación de momento angular (invariancia rotacional). La presencia de todas estas invariancias juntas resulta en un mundo que no cambia en el tiempo, que es igual en todos los puntos del espacio y en todas las direcciones. Sin embargo, el mundo se pone interesante cuando ocurre el rompimiento de algunas de estas simetrías, lo cual da lugar a la formación de patrones o formas que varían de múltiples maneras en el espacio y el tiempo, lo que reconocemos intuitivamente como “orden” en la naturaleza. Los rompimientos de simetría dan lugar a muchos fenómenos con que convivimos, como la formación de cristales, los populares imanes o magnetos y la misma estructura que observamos del universo hoy en día. Sin el rompimiento de simetría no existirían los electrones, protones y neutrones que componen los átomos y por lo tanto los átomos mismos. No existiría la vida. Un fenómeno supremamente importante, asociado al rompimiento de la simetría, es el surgimiento, paradójico, de una simetría exótica, la asociada a la invariancia de escalas. Formas y objetos que vemos a una escala de magnificación particular, se repiten a cualquier otra magnificación por encima o por debajo de la primera dando origen a patrones que son construidos en base a sí mismos. Esto es lo que conocemos como fractales y son las estructuras más ricas y bellas al ojo humano que ofrece la naturaleza. El estudio de simetrías y su rompimiento está hoy en el corazón de todos los campos de la física: la teoría de campos, la cosmología, la física de partículas, la física del estado sólido y fenómenos críticos. * El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

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