HISTORIA DE LOS LOGARITMOS
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Definición
 El Logarítmo de un número real positivo (x) en una base (b)
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EJEMPLOS
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De la definición de logaritmo podemos deducir:
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SISTEMAS DE LOGARITMOS
Logaritmos Decimales :
 Se llaman logaritmos
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logaritmos que tienen por...
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
 Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales
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PROPIEDADES GENERALES
 Los números negativos no tienen logaritmo en el
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Identidades Logarítmicas
 El logaritmo de un producto en una base dada, es
igual a la suma de los logaritmos de los facto...
LOGARITMO DE UN COCIENTE
 El logaritmo de un cociente en una base dada, es
igual a la diferencia entre el logaritmo del
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LOGARITMO DE UNA POTENCIA
 El logaritmo de una potencia es igual al producto
del exponente por el logaritmo de la base.
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Logaritmo de una raíz
 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el
logaritmo del radicando y el índice de la r...
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Origen, definición de los Logaritmos

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LOGAITMOS

  1. 1. HISTORIA DE LOS LOGARITMOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 4 8 16 32 64 128 25 6 512 1024 204 8 409 6 •Los orígenes del descubrimiento, o invención, de los logaritmos se remontan hasta los estudios de Arquímedes referidos a la comparación de las sucesiones aritméticas con las geométricas. •Para comprender tal comparación veamos, por ejemplo, las siguientes dos sucesiones: •Esta comparación de dos sucesiones vuelve a aparecer en el siglo XVI en los trabajos de un matemático alemán, el suavo Miguel Stifel (1487-1567), •Stífel entrega también la primera tabla de sucesiones (aún no se llamaban logaritmos) que existe, aunque en forma muy rudimentaria Miguel (Michel) Stifel (1487-1567),
  2. 2. John Napier (1550-1617)  La invención de los logaritmos se debe al escocés John Napier o Neper (1550-1617), que no era matemático de profesión, sino aficionado a esta materia. Es en su obra Mirifici logarithmorum canonis descriptio cuando aparece por primera vez este concepto. En la época de Neper, y hasta la invención de las calculadoras, los logaritmos se obtenían mediante cálculos complejos y los resultados se registraban en tablas. Las primeras tablas de logaritmos decimales fueron confeccionadas por Henry Briggs y tenían una precisión de 10 cifras decimales, mucho mayor que la necesaria para la mayoría de los problemas reales. Los logaritmos se hallan presentes en numerosas situaciones de la vida real y son una herramienta muy utilizada en contextos científicos. Veamos unos ejemplos:  Los astrónomos dividen las estrellas, según su grado de luminosidad, en astros de primera magnitud, de segunda, de tercera, etc., asociándoles los términos de una progresión aritmética: 1, 2, 3... Ahora bien, la luminosidad física de las estrellas (no la adjudicada por los astrónomos) varía siguiendo una progresión geométrica, de razón 2,5: 2,5, 2,52, 2,53... Observamos que la magnitud asociada a cada estrella por los astrónomos coincide con el logaritmo de su luminosidad física en base 2,5.  En el testamento de Benjamin Franklin, famoso científico, éste donaba 1.000 libras a los habitantes de Boston, a condición de que se prestasen al 5% a artesanos jóvenes. Según Franklin, al cabo de 100 años, se habrían convertido en 131.000 libras.
  3. 3. Definición  El Logarítmo de un número real positivo (x) en una base (b) positivo y diferente de la unidad es el exponente real (y) al que se debe elevar la base (b) para obtener una potencia igual al número dado.Simbólicamente. Donde:  La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 .  x tiene que ser un número positivo (x > 0).  n puede ser cualquier número
  4. 4. EJEMPLOS  Siendo b la base, x el número e y el logarítmo. De la definición de logaritmo podemos deducir:  log2 8 = 3 pues 2 3= 8.  log √ 10 = 1/2 pues 10 1/2 = √ 10  log1/216 = - 4 pues (1/2)-4 = 2 4 = 16  log 121 = 0 pues (12)0 = 1  log71/49 = -2 pues (7)- 2 = 1/49  log10 = 1 pues (10)1= 10
  5. 5. SISTEMAS DE LOGARITMOS Logaritmos Decimales :  Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.  Se representan por log (x). Logaritmos Neperianos :  Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.  Se representan por ln (x) o L(x). 
  6. 6. PROPIEDAD FUNDAMENTAL  Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :   .
  7. 7. PROPIEDADES GENERALES  Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales  El logaritmo de su base es 1. Así logbb = 1 ya que b1 = b.  El logaritmo de 1 es cero independientemente de la base). Así logb1 = 0 ya que b0 = 1.  Si 0<A<1 entonces logbA es un logaritmo negativo
  8. 8. Identidades Logarítmicas  El logaritmo de un producto en una base dada, es igual a la suma de los logaritmos de los factores en esa misma base.  Ejemplo:  log5 (25 . 5) = log525 + log55 =log5 (25 . 5) = 2 + 1 = 3  log5125 = 3 pues53= 125
  9. 9. LOGARITMO DE UN COCIENTE  El logaritmo de un cociente en una base dada, es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.  log2(64: 16) = log264 - log216 = 6 - 4 = 2 log2 4 = 2 loga( m : n) = loga m – logan
  10. 10. LOGARITMO DE UNA POTENCIA  El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.  Ejemplos:  a) log2 8 4 = 4 . log 2 8 =  a) log2 4096 = 12 pues 212 = 4096 loga b n = n. log a b
  11. 11. Logaritmo de una raíz  El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.  Ejemplos:  a) log2 √16
  12. 12. CAMBIO DE BASE  Ejemplo: 

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