Limites aula 1 a aula3

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

Ot CÊNCAS SOCIAIS E EDU
--..~RO C,.qç_
C~~ ~O

,

Prof. Dr. Pedro Franco de Sá
Prof. DT. Fábio José da Costa Alves
Prof. Esp. Everaldo Raiol da Silva

BELÉM-PA-2008

SUMÁRIO

Aula 1 LIMITES 01
Aula 2 LIMITES INFINITOS E NO INFINITO 14
Aula 3 LIMITES FUNDAMENTAIS 24
Aula4 VARIAÇÃO INSTANTÂNEA 32
Aula 5 RETA TANGENTE A UMA CURVA 35
Aula 6 A DERIVADA E SUAS PROPRIEDADES 40
Aula 7 ESTUDO DAS FUNÇÕES 49
Aula8 OTIMIZAÇÃO 54
Aula 9 REGRA DE L'HOSPITAL 58
Aula 10 INTEGRAL DEFINIDA 61
Aula 11 TÉCNICA E INTEGRAÇÃO - MUDANÇA DE VARIÁVEL 66
Aula 12 TÉCNICA E INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTE 71
Aula 13 TÉCNICA E INTEGRAÇÃO -INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES 77
PARCIAIS
Aula 14 ÁREA ENTRE CURVAS 84
Aula 15 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 89
Aula 16 FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 96
Aula 17 LIMITE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 105
Aula 18 DERIVADAS PARCIAIS 113

UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite 1

AULA 1: LIMITES
Objetivos:
• Calcular limites de função por meio de gráfico;
• Conceituar função continua;
• Estudar as propriedades operatórias dos limites de funções contínuas;
• Calcular limites de funções contínuas

Agora para iniciarmos nosso estudo do conceito de limite, realize a atividade
proposta a seguir, respondendo as questões e no fim de cada seqüência de
questões confira sua resposta, no final do texto da aula.

ATIVIDADE

o gráfico abaixo representa uma função y= f(x)

Observe o gráfico e responda as questões a seguir.
y

6

x

1 ~

I
I
-3
I
-4 I
-5 I
I
01. Qual o valor da função quando x é igual a 8 ?
02. Qual o valor da função quando x é igual a 5?
04. Qual o valor da função quando x é igual a -7?
11. Qual o valor da função quando x igual a 2? é
12. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de 8 pela
direita?
esquerda?


direita?
esquerda?
direita?
esquerda?
18. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de -3 pela
direita?
19. Para que valor a função se aproxima quando x se aproxima muito de -3 pela
esquerda?
direita?
esquerda?

Em Matemática a pergunta: Para que valor a função se aproxima quando x se
aproxima muito de 7 pela esquerda? É equivalente a pergunta: Para que valor a
função tende quando x tende a 7 pela esquerda?

22. Para que valor a função tende quando x tende a 7pela direita?
24. Para que valor a função tende quando x tende a 5pela esquerda?
26. Para que valor a função tende quando x tende a -3 pela direita?
27. Para que valor a função tende quando x tende a -3 pela esquerda?
28. Para que valor a função tende quando x tende a -6 pela esquerda?
29. Para que valor a função tende quando x tende a 9 pela direita?
30. Para que valor a função tende quando x tende a 9 pela esquerda?

Em Matemática a pergunta: Para que valor a função tende quando x tende a -6 pela
esquerda? Equivale a pergunta: Qual é o limite da função quando x tende a -6 pela
esquerda?

31. Qual é o limite da função quando x tende a -3 pela esquerda?
32. Qual é o limite da função quando x tende a -3 pela direita?
33. Qual é o limite da função quando x tende a -1 pela esquerda?
35. Qual é o limite da função quando x tende a 7 pela esquerda?
36. Qual é o limite da função quando x tende a 7 pela direita?
37. Qual é o limite da função quando x tende a -5 pela esquerda? ,


Quando os limites laterais de uma função num ponto são iguais dizemos que o limite
existe no ponto e o valor é o dos limites laterais.

43. Qual éo limite de f(x) quando x tende a 9?
47. Qual éo limite de f(x) quando x tende a -3?
52. Qual éo limite de f(x) quando x tende a zero?

Em a pergunta: qual é o limite da função quando x tende a 6 pela esquerda? É
representado por Lim f(x). Qual é o limite da função quando x tende a 6 pela direita?
x-eô

É Limf(x)
x~6+

Calcule:
53. Limf(x) 63. Lim f(x)
x~9+ X~ -1-
54. Lirnf(x) 64. Lim f(x)
x~9-
X~ -I

55. Lirn f(x) 65. Lim f(x)
x~9 X~ -3+
56. Lirn f(x)
x~5+
66. Lim f(x)
x~-3-
57. Lim f(x)
x~5- 67. Lim f(x)
x~-3
58. Lirn f(x)
x~5 68. Lim f(x)
x~ 2+
59. Lirnf(x)
x~7+ 69. Lim f(x)
x~2-
60. Limf(x)
c-vt: Lirn f(x)
61. Limf(x) 70. H2

x~7

62. Lirn f(x)
X~ -1 +

Quando limite de uma função num ponto existe e é igual a imagem da função no
ponto dizemos que a função é continua no ponto.

71. A função f(x) é continua no ponto x = 7? Por que?
72. A função f(x) é continua no ponto x = 9 ? Por que?
74. A função f(x) é continua no ponto x = -1 ? Por que?


79. A função f(x) é continua no ponto x = o ? Por que?

Podemos operar com o limite da mesma forma que manipulamos as
expressões algébricas, por isto apresentaremos agora algumas propriedades de
operações com limite.
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LIMITES:
Sejam as funções f(x) e g(x) continuas tais que lim f(x) = ~, lirn g(x) = L;
X---7X X---7X
o o

e k uma constante então valem as seguintes propriedades operatórias:

1) Limite de uma constante:
O limite de uma constante é a própria constante.
Em símbolos podemos representar a propriedade acima por:

~ Lirnk=k
X-7x •...•
I
c
Exemplos:
a) Lirn 5 = 5 b) Lirn 7 = 7
x --> 2 x-->o

2) Limite da soma:
O limite da soma é a soma dos limites.
Lirn [f(x) + g(x)] = Lirn f (x) + Lirn g(x)
X---7Xo X---7Xo X---7Xo

Exemplos:
a) Lirn (x2 + 3x) = Lirn x2 + Lirn 3x = 22 + 3 x 2 = 10
x-->2 x-->2 x-->2

b) Lirn (2x3 + 3x2 +5x + 3) = Lirn 2X3 + Lim Sx' + Lim 5x + Lirn 3
x-->l x-->l x-->l x-->l x-->l

3 2 3
Lim (2x + 3x +5x + 3)= 2x1 + 3xe + 5xl + 3 = 13
x--> I

3) Limite da diferença:
O limite da diferença é a diferença dos limites.

Lim [f(x) - g(x)] = Lim f(x) - Lirn g(x)
X-7Xo X---7Xo X--Lro

Exemplos:
a) Lim (x2 - 3x) = Lim x2 - Lirn 3x = 22 - 3 x 2 = -2
x-->2 x-->2 x-->2

b) Lirn (2x3 - 3x2 - 5x - 3) = Lirn 2X3 - Lim Sx' - Lirn 5x - Lirn 3
x-s l x-e l x-->l x-e l x-->l

3 2 3 2
Lim (2x - 3x -5x - 3)= 2x1 - 3x1 -5xl-3 =-9
x--> I

4) Limite do produto:


o limite
do produto é o produto dos limites.

- Lim [f(x)xg(x)] = Lim f(x)xLim g(x)
x~xo x~xo x---?xo
1

Exemplos: Lim (x2 x3x) = Lim x2 xLirn 3x = 22 x(3x2) = 4x6 = 24
x->2 x->2 x->2

5) Limite do quociente:
O limite do quociente é o quociente dos limites.

Limf(x)
L · f()
1m -- x = --"---
X->Xo
com Limg(x)::;t O
x->xo g(x) Limg(x)' x---?xo

X->Xo

Exemplos: Lim~= ~~~X2 =~=i
H2 x-t-I Limlx+I] 2+1 3
x->2

O limite da potência é a potência do limite.

rI Lim[f(x)]1I
x->xo
= [Lirnf(x)JII
x->xo

Exemplo: Lim x ' = [LimxJ3 = [2r =8
x->2 x->2

Agora vejamos um resultado muito importante:

Proposição 1: Toda função polinomial é contínua.
Este resultado garante que o cálculo do limites de funções da forma como
f( x ) = a x + an_, x + a"_2x ,,-2 + .....+ a2x 2 + a,x + ao sao con ti
ll
11 11-' -
muas.
Desse modo o cálculo do limite de funções polinomiais é realizado, por meio do
calculo da imagem no ponto.

Exemplo:
Dado f(x) =X3 +2X2 +1 calcule o Lirnf(x)
x->2

Solução
Como f(x) = x3 + 2X2 + 1 é uma função polinomial então Lirnf(x) = f(2)
x->2

Assi . Limftx =f(2)=23+2x22+1=17

=


RESUMO
• A pergunta: Para que valor a função tende quando x tende a -6 pela
esquerda? Equivale a pergunta: Qual é o limite da função quando x tende a -6
pela esquerda?
• Quando os limites laterais de uma função num ponto são iguais dizemos que
o limite existe no ponto e o valor é o dos limites laterais.
• Em a pergunta: qual é o limite da função quando x tende a 6 pela esquerda?
É representado por Lim f(x). Qual é o limite da função quando x tende a 6
x-->6 -

pela direita? É Lim f(x)
x -->6 +

• Quando limite de uma função num ponto existe e é igual a imagem da função
no ponto dizemos que a função é continua no ponto.
• O limite de uma constante é a própria constante.
• O limite da soma é a soma dos limites.
• O limite da diferença é a diferença dos limites.
• O limite do produto é o produto dos limites.
• O limite do quociente é o quociente dos limites.
• O limite da potência é a potência do limite.
• O cálculo do limite de funções polinomiais é realizado, por meio do calculo da,
imagem no ponto.

Resposta das atividades
1. f(B) = o
2. f(5) =-3
3. [(9) = 1
4. f(-7) = 3
5. f(-5) = t9
6. f(-1) =~
7. 1(7) =1
8. f(-3) =4
9. f(-2) = tl
10.f(-6) = 5
11.f(2) = ~
12. ta função se aproxima de zero
13. a funçã.o se aproxima de zero
14. a funçâo se apro xíma de 1
15. a função se aproxima de 1
17. a função se apro xima de 3


18. não é possível x se aproximar de 3pela dire ita, não é defínida em ] - 3,-2[
20. a função se aproxima de - 2
21. a função se aproxima de - <1
22. a funçâo se aproxima de 3
23. a função se aproxima de zero
24. a função se aproxima de - 2
25. a função se aproxíma de - 4
26. não é possível x se aproximar de 3pela dire ita, não é definida em ] - 3,-2(
27. a função se aproxima de 4-
28. a função se aproxima. de 5
29. a funçao se aproxima de 1
31. o limite peta esquerda e'm- 3 não existe
32. o limite pela direita em - 3 é 4-
33. o limite pela esquerda e'm-l é4
34. o limite pela direita em - 1 é 4'
35. o limize pela esquerda em 7 é 3
36. o limite pela direita em 7 é 3
37. o limite pela esquerda em - 5 é 3
38. o limite pela direita em - 5 é 2
39. o limiz« pela esquerda em 9 é 1
40. o limite pela direita em 9 é 1
41. o limite pela direita em 5 é - 2
42. o limite pela esquerda em 5 é - 4
43. o limite de f(x) quando a x tende 9 é 1
44. o limite de f(x) quando a x tende 9 é 3
45. o limite de f(x) quando a x tende 5 não existe.os Iimizes laterais são diferentes

46. O limite de fCx) quando a x tende 8 é zero
47. o limite de f(x) quando a x tende - 3 não existe, não existe o limite pela direita
48. o limite de f{x) quando a x tende - 2 não existe, não existe o limite a esquerda
49. limite de t(x) quando a x tende - 2 não existe
(1

50. o limite de f(x) quando a x tende - 2 é <1
51. o limite de f(x) quando a x tende - 6 éS
52. o limite de f(x) quando a x tende zero é:5
53. Lirn f(x)
x....,9+
=1
54. Lirn f(x) = 1
x....,9-

55. Lirnf(x)
x....,9
=1
56. Lirnf(x) =-2
x---t5 +

57. Lirnf(x) =-4
x....,5 -


58. Lim f(x)
X--75
= não existe
59. Lim f(x) = 3
x-:;7 +

60. Limf(x) = 3
X--77-

61. Lim f(x) = 3
X--77

62. Lim f(x)
X--7 -) +
=4
63. Lim f(x)
X--7 -1-
=4
64. Lim f(x)
X--7 -I
=4
65. Lim f(x)
X--7 ·3 +
= não existe
66. Lim f(x) = 4
X--7 -3-

67. Lim f(x) = não existe
X--7 -3

68. Lim f(x)
X--72+
= +00, não existe

69. Lim f(x) = -00, não existe
X--72-

70. Lim f(x)
X--72
= não existe
71. f(x) não é continuo em x = 7
72. f(x) é continuo em x =9
74. f(x) não é continuo em x =-1
75. f(x) não é continuo em x = - 3
77. f(x) é continuo em x = - 6
79. f(x) é continuo em x = O

QUESTÕES

(01) A partir da observação do gráfico responda as questões abaixo


y

6 -------------------~-------~
I
I
I
I
I
I
~ f(x)
I
I
I
.--
x

5 7 9 10

a) f(5) = j) Lim f(x) =
b) f(7) = x~7
k) Lim f(x)=
c) f(9) = x~9+
d) f(10) = I) Lim f(x)=
e) Lim f(x) = x~9-
x~5+ m) Lim f(x) =
f) Lim f(x)= x~9
x~5- n) Lim f(x) =
g) Lim f(x) = x~lO+
x~5 o) Lim f(x) =
h) Lim f(x) = x~lO-
x~7+ p) Lim f(x)=
i) Lim f(x) = x~lO
x~7-

(02) Calcule os limites
a) LimlO=
x~5
e) Lim xtx '
X---72
-2i =
2
f) Lim x -2 =
b) Lim(2x-l) = X---72 x'
X---72

2
c) Lim (x + 2x-l) =
X---7-]

d) Lim (x ' -7x2
X---7-]
- 3x- 9) =

(03) Calcule os seguintes limites

3X-2, x~l
(a) f(x) =
{ 4x-3, x x I (i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)
X~ 1+ X~ 1- X~ 1

2
(b) f(x) = {x + 1, x ~ O (i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)
x+l, x <O X~ 0+ X~ 0- X~ O


2+X2, x<2
(c) f(x) = O, x=2 (i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)

! 3x, x> 2
x~2+ x~T x~2

x2, X <2
(d) f(x) = O, X =2 (i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)
{ x~2+ x~T x~2
3x, x> 2

x2 + x, X <-1
(e) f(x) = 3, X = -1 (i) lim f(x) (ii) lim f(x) (iii) lim f(x)
{ x~ -1+ x~ -1- x~ -1
x+ 2, x>-l

(04) Verifique quais das funções abaixo são continuas

3X-2, x~l
f(x) =
{ 4-x, x<l

(a) a função f(x) a cima é continua em x = 1.

2
f(X)={X +1, x~O
x+ 1, x < O

(b) a função f(x) a cima é continua em x = 1.

(05) Verifique se as funções são contínuas nos valores de x especificados

x
2
x<2
{SX - 2, x > 2
(a) f(x) =' em x = 2 (b) f(x) = 8, x =2 em x = 2
{
2x, x ~ 2 2x+ 4 , x< 2

2X' x>-2
2X-S, x ~ 3
(c) f(x)=
{
-4,x=-2 em x=-2 (d) f(x)=
{ 3-x, x <3
em x=3
-2+x, x<-2


(06) O gráfico a seguir mostra a variação da taxa de crescimento R (T) com
temperatura T para uma colônia de bactérias.
(a) Qual o intervalo de temperaturas no qual a taxa de crescimento dobra de valor?
(b) O que se pode dizer a respeito da taxa de crescimento para 25 < T < 45?
(c) O que acontece quando a temperatura atinge aproximadamente 45 "C? Faz
sentido calcular lim R(T) ?
x--->50

R: (a) 10 < T < 15 (as respostas podem variar).

(b) A taxa de crescimento se mantém aproximadamente constante.

(c) A taxa de crescimento diminui para T > 45; lim R(T)
x--->50-
= O.

(07) No correio, a "função de porte" p(x) pode ser descrita da seguinte forma:
33 se O < x :s; 1
55 se 1< x:s; 2
p(x) = 77 se 2 < x:s; 3

275 se 11 < x :s; 12
onde x é o peso de uma carta em onças e p(x) é o preço correspondente do porte,

em reais. Faça o gráfico de p(x) para O < x :s; 6. Para que os valores de x a função

p(x) é descontínua, dentro do intervalo O < x:s; 6?

R: p(x)é descontínua em x=1, 2, 3, 4 e 5:

50

.
2 3 6

(08) O gráfico a seguir mostra o volume de gasolina no tanque do carro de Sue
durante o período de 30 dias. Em que pontos o gráfico é descontínuo? O que
acontece nessas ocasiões?

Q (litros}

40" ,


R: O gráfico é descontínuo nos pontos x = 10 e x = 24. Nessas ocasiões, Sue está

provavelmente no posto de gasolina, enchendo o tanque. Sue, você se lembrou de desligar a

ignição e o telefone celular?

(09) O diagrama esquemático em anexo representa um circuito elétrico, o qua
consiste de uma força eletromotriz que produz uma voltagem V, um resistor co
resistência R, e um indutor com indutância L. a teoria dos circuitos elétricos mostr
que se uma voltagem for aplicada no instante t = 0, então a corrente I que percorre

o circuito no instante t é dado por 1= V. (1- e-RI/L). Qual o efeito sobre a corrente
R

num dado tempo t fixo, se a resistência tender a zero(isto é, R ~ 0+) R: Vt
L

(10) A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após
introdução de uma toxina é dada pela função: 2
t +7 se t < 5
f(t) =
{
R: (a) Depois de 9 minutos -8t+72 se t?:.5
(b) Porque fel) -10 < O e f(7) -10 > O e f(x) -10 é contínua no intervalo [1,7].
(11) O raio da Terra tem o raio de aproximadamente 6.400 km e um corpo situado a
x Km do centro da Terra pesa p(x) Kg, onde:

se x::; 6.400
P(X)={; se x > 6.400
x2
R: B = A(6.400)3
(12) Se uma esfera oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade
estática, a intensidade do campo elétrico E (x) em um ponto P situado a uma
distância de x unidade do centro da esfera é dada por:

O se 0< x < R
1
E(x) = 2X2
se x=R

1
se x s R
x2


Faça um gráfico de E(x). A função E(x) é contínua para x> O?

R : E() nao e continua no ponto x = R .ja que lim -2 = -2
x
-" ., 1 1 -2
1
"* 2R .
HR+ X R

(13) Se R$ 1.000,00 são investidos a juros de 9% capitalizados n vezes por ano, o
I
montante após 1 ano será 1.000· (1+ 0, 09x F, onde x = 1/ n é o período de
capitalização. Assim, por exemplo, se n = 4, o período de capitalização é 1/4 de
ano, ou seja, 3 meses. No caso da chamada capitalização contínua dos juros, o
montante após 1 ano é dado pelo limite:
I
B= liq1.000·(1+0,09F
X---70

Estime o valor desse limite completando a segunda linha da tabela a seguir:
X 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
I
lim 1.000·(1+0,09F
X---7O+

R:
X 1 0,1 0,01 0,001 0,0001
I
lim 1.000· (1 + 0, 09F 1.090 1.093,73 1.094,13 1.094,17 1.094,17
x---*o+

RESPOSTA
(01) A partir da observação do gráfico responda as questões abaixo
a) 6 j) 6
b) Não existe k) Não existe
c) Não existe I) 6
d) 6
e) 6 m) Não existe
f) 4 n) 6
g) Não existe o) Não existe
h) 6 p) Não existe
i) 6

a) 10
b) 3
c) -2
d) -14
e) 64
f) 1/4
g) não existe
(03) Calcule os seguintes limites
(a) (i) 1 (ii) 1 (iii) 1

UEPA - Universidade do Estado do Pará Aula 01 - Limite

(b) (i) 1 (ii) 1 (iii) 1
(c) (i) 6 (ii) 6 (iii) 6
(d) (i) 6 (ii) 4 (iii) não existe
(e) (i) 1 (ii) 3 (iii) não existe
(04) Verifique quais das funções abaixo são continuas
(a) a função f(x) não é continua em x = 1.
(b) a função f(x) é continua em x = 1.

Aula 02 - Limite

AULA 2: LIMITES INFINITOS E NOINFINITO
Objetivos:
• Calcular limites no infinito;
• Calcular limite que tendem para o infinito;
• Estudar as propriedades dos limites no infinito;
• Estudar as propriedades dos limites que tendem para o infinito.

Iniciaremos nosso estudo de limite infinito estudando o gráfico da função

f (x) =..!. , cuja representação gráfica esta na figura abaixo.
x

Observe o gráfico de f (x) =..!. responda as seguintes questões:
x

(01) Qual o valor do limite de f(x) =..!. quando x cresce indefinidamente?
x

(02) Qual o valor do limite de f (x) =..!. quando x decresce indefinidamente?
x

Quando calculamos o limite de uma função f (x) com x
crescendo ou decrescendo indefinidamente dizemos que
estamos calculando o limite no infinito.

Representamos o limite de uma função f(x) com x crescendo indefinidamente por

Lim f(x)
X--++OO

e representamos o limite de uma função f (x) com x decrescendo indefinidamente

por
Um f(x)
x--+-oo


Observando o gráfico da função f(x) =.!. , mostrado na figura anterior, temos qu
x

Lim ..!. = O e Lim ..!. = O
x->+oo X x->-oo X

Usando o mesmo procedimento usado no cálculo de limites de funções contínuas
teremos:

Lim..!. =_1_ = O
x->+oo X + 00

A expressão _1_ não tem nenhum significado de número
+00

fracionário, é somente uma representação do
comportamento da função quando x tende para o infinito, e

convencionamos por zero (_1_ = O).
+00

Podemos estender o raciocínio apresentado e afirmar que funções da fo
k
f(x) = -xn , com n *O e k constante, o valor do limite no infinito sempre resul

em zero, simbolicamente pode ser expresso por:

I Lim~=O
X--7+ x
OO

Observe os exemplos a seguir:

Exemplo 1 - Determine o valor do limite Lim ~
X--7+OO X"

Solução: Lim-1
X--7+OO x'
=
(+
1
De r =0

Exemplo 2 - Determine o valor do limite Lim ~
X--7-oo x'

Solução: L· -3
im
1
= (-
1
)2 =
O
x->-oo X 00

Para aprofundarmos o estudo de limite no infinito responda as questões:
1) Determine o limite de f(x) = x2 quando x cresce indefinidamente.
2) Determine o limite de f(x) =x 2
quando x decresce indefinidamente.
3) Determine o limite de f(x) = x3 quando x cresce indefinidamente.


5) Determine o limite de f(x) = x' quando x decresce indefinidamente.

o gráfico e a tabela abaixo ilustra a função f{x) = x2
16 I 16 16 16
,
i - -
14 I 14 14 14 I
12 i 12 12 12 !

10 I 10 10 10

Y B
6 I
4 I
2 i
~
o 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 9 16 25 36 49 64

Quando x cresce indefinidamente o valor da função f(x) = x2 também cresce
indefinidamente, simbolicamente podemos representar por
Lim x2 =+00

o gráfico e a tabela abaixo ilustra a função f{x) = x2
16 16

14 14

12 12

10 10

Y B B

o - o _. ------
-4 -3 -2 -1 o

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
1 4 9 16 25 36 49 64

Quando x decresce indefinidamente o valor da função f(x) =x 2
também cresce
Lim x2 = +00
x~-oo

o gráfico abaixo ilustra a função f(x) = x3

Quando x cresce indefinidamente o valor da função f(x) = x3 também cresce
Lim x3 = +00
X-7+OO

---------------- Aula 02 - Limite 1

Quando X decresce indefinidamente o valor da função f(x) = x' também decresc
Lim x3 =-ro
X-+ -00

Usando o mesmo procedimento usado no cálculo de limites de funções contínuas
teremos:

Lim x2 = _(ro)2=+00
x -+ -00

A expressão (-ror não tem nenhum significado de número,
é somente uma representação do comportamento da
função quando x tende para o infinito.

Podemos estender o raciocínio apresentado e afirmar:

1) quando x cresce indefinidamente o limite da função f (x) = x" sempre crescer,

indefinidamente, não irrportando se n for par ou ímpar, em símbolo temos:

00

2) quando x decresce indefinidamente, o limite da função f(x) x" sempre cresce I

indefinidamente, se n for par, em símbolo temos:

r Lim x" =+00 ,se n for par
x~ -00

3) quando x decresce indefinidamente, o limite da função f(x) =x" sernpi

decrescerá indefinidamente, se n for ímpar, em símbolo temos:

I Lim x" = +co ,se n for ímpar
x~ --00

lL- ~
~- --- -

Observe os exemplos a seguir:

Exemplo 1- Determine o valor do limite Lim x5
X-+ + 00

Solução: Li1m x 5 = (+ ro) = +ro
5
x-++oo

Exemplo 2 - Determine o valor do limite Lim x6
X-fo +00

6 6
Solução: L1m x
o

= (+ ro) = +ro
x~ co


Exemplo 3 - Determine o valor do limite Lim x'
X~-(X)

Solução: Lim x5 =(_00)5 =-00
x~-oo

Exemplo 4 - Determine o valor do limite Lim x"
X---7- OO

Solução: Lim x 6 = (- 00)6= +00
x,-oo

Dando prosseguimento ao nosso estudo, abordaremos agora um procedimento para
determinar o limite de polinômios quando x cresce ou decresce indefinidamente,
para tal, responda a seguinte questão:

(01) Determine o limite Lim (4x 5 + 2x4 - 3x3 - X + 7)
x-++«>

Solução
Primeiramente vamos colocar o monômio de maior grau em evidência

Lim (4x 5 + 2 x 4 - 3x 3 -x+7
" )"= LIm x 5 ( 4+--2 -4+5 1
2
3 7)
X-7+~ X-7+~ x X X x
Lembre-se que na primeira aula você aprendeu a seguinte propriedade
Lim [f(x) X g(x)] = Lim f(x)xLim g(x)
X---7Xo X---7Xo X---7Xo

de onde temos que

Lim (4x5 +2x4 -3x3 -x+ 7)= Lim x5 " Lim(4+~-~-~+2.) 4
X-7~ X-7+~ X-7+= X x2 x x5
Lembre-se também que
.-----------------------------~
Lim [f(x) + g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
X--7Xo X---7Xo X---7Xo

De onde temos
L" (4 +---2 3 -4+5
1m 2 1 7) = L" 4 + L" 2
1m 1m-- L" 3
1m--2 L" 1
lm-+4 L" 7
lm- 5
X-7~ X X X X X-7~ X-7+= X x
X-7+= X-7~x X-7~x

como

Lim~=O Lim~=O
X-7~x X-7~ x

Lim~=O Lim~=O
X-7~x x
X-7+=

temos que

Lim(4+ 2 -~-~+2-) = Lim4
X-7~ x x2 X x) X-7+=

Com isto podemos afirmar que
Lim (4x 5 + 2x4 - 3x3 - X + 7) = Lim x 5 " Lim 4
X---7+oo X--7 +00 X---7+oo

Que equivale dizer que
Lim (4x5 + 2x4 - 3x3 - x+ 7)= Lim 4x5 = +00
X---7+OO X---?+OO


Podemos estender o raciocínio apresentado na questão anterior e afirmar qu
limite de um polinômio de grau n, quando x cresce ou decresce indefinidament
igual limite do monômio de grau n que está contido neste polinômio, e pode s
representado simbolicamente por:

Exemplo 1 - Determine o valor do limite Lim (x5 + x4 - x3)
X~+(X)

Solução: ' (5
LIffl x + x - x 4 3) = L'LIl] x 5 = +=
X4+oo x---?+oo

Exemplo 2 - Determine o valor do limite Lim (x - 3x4 - 2x3)
X~+OO

Solução: Lim (x - 3x4 - 2x3)= Lim (- 3x4)=-00
.~+- X~+-

, x5 -3x4 -2x3
Exemplo 3 - Determine o valor do limite L1m 4 3
x~+- 3x -2x
Solução:
, x5 -3x4 -2x3 Lim (x5 - 3x4 - 2x3) ,x5 ,x
x---?+oo

Lim 4 3 4 3
X~+- = Llm-= 4 L1m-=+=
X~+- 3x - 2x Lim (3x - 2x ) Lim 3x4 x~+- 3x X~+- 3
X-7+OO

' 3X4 -2x3
Exemplo 4 - Determine o valor do limite Lím 5 4 3
x~+- X -x -x
Solução:
3 4_ 2 3 Lim (3x4 - 2x3) Lim 3x4 3 4 3
Lim _x 4 X 3 = X~+-( 5 4 3) = X~+- = Lim ~ = Lim - = O
x ~ +- x~ - X - x Lim x - x - x Lim x5, x ~ +- x~ x ~ +- X
X~+OO x---?+<Xl

Exemplo 5 - Determine o valor do limite

Solução:
, 2X5 - 3x 4 - 2X3 Lim (2x5 - 3x4 - 2x3)
X---7+OO
Llm------,-
x~+- 3x5 - 4x4 + x3 Lim (3x5 - 4x4 + x3)
x---?+oo

' 3X4+X
Exemplo 6 - Determine o valor do limite Lim 2 3
x~-- 3-4x +x
Solução:
4 4

Lim
4
3x + x = !dr::
(3x + x) = 3x = Lim 3x = !dr:: -00

2 3 2 3
H-- 3 - 4x + x Lim (3- 4x + x ) Lim x3 x~--
X-7- OO x---?-oo


Vamos estudar agora o limite no infinito, isto é, estudar situações onde
algumas funções f(x) crescem ou decrescem indefinidamente quando o valor de x

se aproxima de um determinado valor. Para isto, tomemos a função f(x) = ~, e
x
vamos responder a questão a seguir com base no gráfico da função que esta
ilustrado na figura a seguir.

1
1) Determine o limite de f(x) = -2 quando x se aproxima indefinidamente de zero
x
pela direita.
1
2) Determine o limite de f(x) =-2 quando x se aproxima indefinidamente de zero
x
pela esquerda.
3) Determine o limite de f(x) = _1_ quando x se aproxima indefinidamente de dois
x-2
pela direita.
4) Determine o limite de f(x) =_1_ quando x se aproxima indefinidamente de dois
x-2
pela esquerda.

A figura a seguir apresenta o gráfico da função f(x) =~
x

Antes de responder a questão (1) e (2) devemos fazer o estudo do sinal da

função f(x) = ~, que é:
x

• o
Podemos observar tanto no gráfico quanto no estudo do sinal da função que quando
o valor de x se aproxima indefinidamente de zero pela direita, o valor da função

. f(x) =~ aumenta indefinidamente, simbolicamente podemos representar por:
x

Um~=~
X~O+ x2
I +
.111--
O


1
Usando o gráfico e o estudo do sinal da função f(x) =2 podemos observar que
x
quando x se aproxima indefinidamente de zero pela esquerda, o valor da função

f(x) =~ aumenta indefinidamente, simbolicamente podemos representar por:
x-
o

L lm-=+oo
1
x....,o- X 2
---+-.~I----
o
Se substituirmos o zero na função f(x) =~ teremos f(O) =.!. que representa
x O
uma situação impossível, logo quando o valor de x se aproxima de zero função

f(x) =~ tende para o infinito.
x

Antes de responder a questão (3) e (4) devemos fazer o estudo do sinal da
função f(x)=_l_, que é:
x-2
I
I
I
I
I
1
1
1
1
+
I
1
1

•
1
111
I'
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Podemos observar tanto no gráfico quanto no estudo do sinal da função f(x) = _1_
x-2
que quando o valor de x se aproxima indefinidamente de dois pela direita, o valor da

função f(x) = _1_ aumenta indefinidamente, simbolicamente podemos representar
x-2
por:
---I~-+-- 111

2

Usando o gráfico e o estudo do sinal da função f(x) =_1_ podemos observar que
x-2
quando x se aproxima indefinidamente de dois pela esquerda, o valor da função

f(x) = _1_
x-2
diminui indefinidamente, simbolicamente podemos representar por:
_

Lim-1- = -00
x....,T X - 2
•
2
I
1 1
Se substituirmos o dois na função f(x) = -- teremos
que f(O) =-
x-2 O
representa uma situação impossível, logo quando o valor de x se aproxima de dois


função =_1_
f(x) tende para o infinito, que será +00 ou -00 dependendo do
x-2
estudo do sinal da função.
RESUMO

• Quando calculamos o limite de uma função f(x) com x crescendo ou
decrescendo indefinidamente dizemos que estam os calculando o limite no
infinito.

• A expressão _1_ não tem nenhum significado de número fracionário, é somente
+00

uma representação do comportamento da função quando x tende para o infinito,

e convencionamos por zero (_1_ = O).
+00

• Lim _1_ = O , n:;t-1
x~+~ xn
• A expressão (- 00)" não tem nenhum significado de número, é somente uma
representação do comportamento da função quando x tende para o infinito.
• Lim x"
X~~
= +00

• Lim x n = +00 , se n for par
x~-oo

• Lim xn = -00 , se n for ímpar

•

QUESTÕES

3
(a) lim-_
x~+~ x~
-1
(b) lim-4
x~+~ X

-1
(e) lim-3
x~-~ x
-5
(d) lim-8
x~-= X

(a) lim (4x2 -7x+3)
x~+oo

(b) lim (-3x3 + 2x2 - 5x + 3)
x~+oo

(e) lim (5x3 - 4x2 - 3x + 2)
x~-oo


(d) lim (3x4 -7x3 +2x2 -Sx-4)
x--4 -00

(e) lim 2x~ + x + 3
x~+=5x +x+3
. 2X2 +x-7
(f) 1 ----::----
im
5
x~ += x - 2x + 9

. 2X5 +x
(g) 11m - 4
x~ += 3x) - 2x + 9

2
(h) lim 2X3 X + 3x
X~-= Sx-x
. x2 +x=']
(i) 11m ---=4--
x~-= x -2x
5
(j) lim x 5+ x
x~ -= 3x -9


(a) 11m--
· 2 e 1·1ffi--
2
x~ 3+ X - 3 x~ r x - 3
. 6
(b) lim _6_ e 11m--
x~5+ x-s x~ 5- x-S

(c) lim-;- 6
e lim--
x~2+ x -4 X~r x2-4
. x
(d) lim _x_ e 11ffi--
-3+ x -9
2
x~ X~-r x -9
2

Resposta da atividade
(a) O (b) O (e) O (d) O

(a) +00 (b) - 00 (e) - 00

(d) +00 (e) +00 (f) O
(g) 2/3 (h) -00 (i) O
(j) 1/3

(a) +00 e -00

(b) +00 e -00

(c) +00 e -00

(d) +00 e -00


AULA 3: LIMITES FUNDAMENTAIS

Objetivos:
• Apresentar o limite exponencial fundamental;
• Apresentar o limite fundamental trigonométrico;
• Calcular limites envolvendo o limite exponencial fundamental;
• Calcular limites envolvendo o limite fundamental trigonométrico.

Introdução
Vejamos a seguinte situação-problema!
Como cresceria um depósito bancário ao longo do tempo se os juros, ao
invés de serem creditados anualmente ou semestralmente, o fossem em
intervalos de tempos cada vez menores, até que os acréscimos pudessem ser
considerados instantâneos e sobre eles, imediatamente incidissem as mesmas
taxas de juros?

Este problema foi proposto por Jacques Bernoulli, matemático suíço, no século XVII.

A resolução do problema levou a necessidade de calcular o seguinte limite

( 1)"
Lim1+--;;
n.~oo

Vejamos alguns valores de 1)"
( 1+ n !
Para n = 10 temos que 1)"
( 1+--;; = 2.59374246010000
1)1!
Para n = 100 temos que ( 1+ n = 2.70481382942153
Para n = 1000 temos que (1 + ~J = 2.71692393223559

Para n = 10000 temos que ( 1+ n1)" = 2.71814592682493
1)"
Para n = 100000 temos que ( 1+--;; = 2.71826823719230

Como podemos observar que à medida que n aumenta o valor (1 + ~ J converge

para um valor próximo de 2,7182818284.

UEPA- Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite

o
matemático suíço Leonardo Euler (pronuncia-se Oiler) dedicou-se ao
problema proposto por Jacques Bernoulli e concluiu que o valor do limite

Lim(l+ ~)' é um número que converge para próximo 2,7182818284.

r
n~oo

Anos depois outro matemático provou que o valor de Lim (1 + ~ éu
n~oo

número irracional.

Hoje o número resultante do cálculo de Lim(l + ~ )' é representado pela letra
n~oo

~r
e em homenagem ao matemático Euler.

Assim, podemos chegar ao seguinte resultado Lim~+ = e.
n-eco

( 1)'
O limite Lim 1+-;;-
n~oo
=e

Vejamos um teorema, sem sua demonstração que amplia dos naturais para os reai
a variável n.

Teorema:

Seja f a função definida em { XER x< -1 ou x > O} por f(x) = (1 + ~ ) , então
Lim (1 + :) =e .

O limite de f a função definida em

{xER x<-1 ou x> O}porf(x) ( 1)'
= 1+~ queé Lim 1+ x (l)X =e

é denominado limite exponencial fundamental.

Agora vejamos as seguintes proposições que são conseqüências do limite
exponencial fundamental!

,

Proposição X

Seja f a função definida em { XE R I x-, -1 ou x > O} por f(x) = (1 + ~ J' então

Lim(l+
X->-OO
~J = e,

Demonstração:

,Seja f a função definida em {XE R I x-e -1 ou x > O} por f(x) = (1 + ~ J
Fazendo x = - (w+
1) e notando que se x tende a -00então w tende a +00,
Assim, temos que
l)X (' 1 )-<W+I)
Lim ( + x1 = Lim 1- w+ 1
X---7-OO

. ( w )-<10+1)
= Llm--
w+1

<IV+I)
' w+ 1
= L lm-- )
( w

= Lim ( 1+
1
w
)'"+1
w-+too

= Lim[(l + !)IV • (1 + !)]
w w
= Lim (1 + !)IV • Lim (1 +!)
w->_ W IV->_ vV

Desse modo, fica demonstrado que se f é uma função definida em
{ XE R I x < -1 ou x > O} por

f(x)
l)X
= ( 1+ x ' então Lim 1 + x
( l)X = e '

Proposição X
1
Seja f a função definida em { XE R I -1< x :f. O} por f(x) = (1 + x):;, então
1
Lime + x)-; = e ,
x->o

Demonstração:
1
Seja f a função definida em { XE R I -1< x :f. O} por f(x) = (1 + x)-; ,
1 1
Fazendo x =- temos que y = - ,
y x


Assim, temos que
• quando x tende a 0+ , Y tende a +CXl;
• quando x tende a 0- , y tende a - CXl.

Desse modo, obtemos:

1) Lim(1+x)~ = Lim(1+~)Y
X~O+ Y y~-
=e;

2) Lim(1+x)~= Lim(1+~)Y
X~O- Y y~~
= e.
I I
Como Lim (1+ x)-; = Lim (1+ x)~ = e então
I
Lim (1+ x)~ = e , como queríamos demonstrar.
x~o

Agora vejamos a aplicação do limite exponencial e suas conseqüências no cál
de alguns limites.

Exemplo 1:

1)3X
Calcular l:J'!! ( 1+ x
Solução:

Como (1+ ~r :JJ
=[(1+ então

LiJn(1 + !)3X
x~_ X
= Lim[(1
x~_ + !)X]3
X
= [Lim(1
X~_ + !)X]3
X
=e 3.

Exemplo 2:
4)X
Calcu lar
x~_
Lim ( 1+-
x

Solução:
x
Fazendo w= - temos que x = 4w .
4
Assim, quando x tende a +00, w também tende a +00.
Desse modo,

Lim(l+
X~_ 4)X
X
= Lim(1+!)4W = Lim[(1+!)W]4 = [Lim(1+!)W]4
IV~_ W IV~_ w~_ W W
= e4


• O limite trigonométrico fundamental
Agora vamos ver um resultado importante no cálculo devido, entre outros
motivos, o mesmo possibilitar a determinação do valor de outros limites.
Teorema:

Seja f a função definida em R - {O} por f(x) = senx então Lim senx = 1.
X .(--H-oo X

Demonstração:

Seja f a função definida em R - {O} por f(x) = senx.
x
Consideremos a figura abaixo

+ -

/
/

Suponhamos que o raio da circunferência é 1.
Seja x a medida em radianos do arco AÔM .

Limitando a variação de x ao intervalo (O, Te ) podemos da observação da
2
figura acima concluir que:

área do triângulo MOA < a área do setor MOA < área do triângulo AOT.

OAxMM' OAxAM OAxAT
Que equivale a afirmar que < < ---
2 2 2

Multiplicando a desigualdade acima por 2 temos que

- --- - ,....,..-.. -
AO xMM'< OA xAM < OA xAT

Como o raio AO é 1 então a ultima desigualdade é equivalente a

MM'< AM<AT

Da figura podemos concluir que MM' = senx , AM= x e AT = tgx.

Assim, a desigualdade MM'< AM< ATse torna equivalente a

UEPA- Universidade do Estado do Pará Aula 03 - Limite

senx < X < tgx .

Como senx > O para X em (O, 7r ), dividindo a desigualdade acima por
2
obtemos a seguinte desigualdade
x 1
1<--<--
senx cosx
Invertendo os termos da desigualdade teremos a inversão da desiguald
que nos dá a seguinte relação que é equivalente a ultima desigualdade
senx
1 > -- > cosx
x
- senx
C omo as f unçoes -- - t
e cosx sao pares emos que
x
sen C-x) _ senx
-~~ --- e cos(-x)= cosx.
C-x) x
Assim, podemos concluir que a desigualdade
senx
1 > -- > cosx
x
é válida para todo X ~ O.

Calculando o limite de cada termo da desigualdade quando x tende a zero
obtemos a seguintes desigualdade

Lx~o 1 < Lx~o senx Lx~o COSX
.
tm .
im==:" zm
x
.
Como Lim 1= 1 e Lim=» = 1então pelo teorema do confronto
x~o x~o
. senx
podemos afirmar que Lim -- = 1.
x~o x

A SSlm, d emons t ramos que
. L zm-- = 1.
. senx
x~o X

· .
O Iimite L tmr=::
. senx l' e con hecid o como
eCI
x~o X
limite trigonométrico fundamental!

Agora vejamos algumas aplicações do limite trigonométrico fundamental
cálculo de outros limites.

Exemplo 3
. sen3x
Calcular zm--·
Lx~o x


Solução:

C 0mo L tmr=r: = L lm
' sen3x ' sen3x = 3 .1= 3 , en t-
' 3sen3x = L lm X L lm--
' 3 ao
x~o x x~o 3x x~o x~o 3x
.
po d emos conc Iurr que L lm--
' sen3x = 3 .
x~o X

Exemplo 4
, sen3x
Calcular Llm--.
x~o sen7x
Solução:
sen3x ' sen3x ' 3sen3x
L tm==r: L im
C omo L' lm--=
sen3x L' -x- x = x~o 3x
im = x~o ' 7sen7x
x~o sen7 x x~o sen7 x ' sen7x
L tm=:r: L tm
x x~o x x~o 7x

L'tm 3 - L'tm=:":
sen3x
3-1 3
x~o 3x x~o
= = =
L'im 7 - L'tm=z=:
sen7x 7 -I 7
x~o x~o 7x

A·ssirn po di'
emos conc uir que Ltm==z: = -.
' sen3x 3
x~o sen7x 7

RESUMO

- Lim(l+
11-700
~J é um número irracional aproximadamente igual a 2,7182818284;

- O número Lim 1 1)"
( +-;; é representado por e em homenagem ao matemático

suíço Leonardo Euler;

- Se f é a função definida em { XE R I x-e -1 ou x > O} por f(x) = (1 + ~ J' então

Lim(l+ ~J =e;

- O Lim(l+~J = e é denominado limite exponencial fundamental.

X-7-OO

I
- Lim(1+x):;: = e;
x~o

- O limite Lim senx =1 é conhecido como limite trigonométrico fundamental!
x~o x


QUESTÕES

Calcule os limites abaixo
1)7X 3)X
01) Lim ( 1+- = 02) Lim ( 1+- =
x-H"" X x-Hoo x
x

03) Lim(l
X---7+oo
+ ~)4
x
= 04) Lim(l
X---7-<><>
+ a)bX=
x

05) Lim(_X_)X = 06) Lim(l- !)3X =
x +1
X--4+oo X---7-<><> x

3)2X
07) l:J'Z! ( 1- x = 08) Lim(X+4)X =
x--4+oo x- 3

09) Lim(x + 2)X = 10) Lim(X-4)X+3 =
X--4-<><> X +1 X---7+oo x-I

11) Lim sen5x = 12) Lim sen5x =
X---70 X X--40 3x
" sen(x2 + x) 14) Lim senSx2- 3x + 2) =
13) L
im (2 + X ) =
X--40 X H2 (x- - 3x + 2)
2
15) Lim senx = 16) Lim se~x =
X---70 X X--40 X

2
17) Lim sen;x -1) = 18) Lim sen(x -4) .,
X---70 x-I X--40 x- 2
2 2
19) Lim sen x = 20) L" sen 4x
X--40 X
zm
X--40 2x
2

21) Lim senx· sen~x • sm5x = 22) Lim senx + sen3x + s
X---70 X X--40 X

RESPOSTAS
3

01) e7 02) e3 03) e4 04) eab 05) e-1 06) e-3 07) e-6 08) e7 09) e 1

11) 5 12)1 13) 1 14) 1 15)0 16) Não existe 17) 1/2 18) 4 19) O
3
21) 15 22)9

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