Integral

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1

1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan
masalah.

1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral
tertentu .
1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral
tertentu dari fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri yang sederhana.
1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas
daerah di bawah kurva dan volume benda putar.

INTEGRAL TAK TENTU

DEFINISI

Diketahui fungsi F ( x ) dengan F’ ( x ) = f ( x ) , maka :  f (x)d x  F( x)C

Bentuk  f (x)dx dinamakan integral tak tentu karena hasilnya masih mengandung suatu
konstanta C .

A . TEOREMA INTEGRAL TAK TENTU

Teorema-teorema integral tak tentu adalah sebagai berikut :

1.  d x  x C
2. k d x  k d x  C  k x  C , dengan k bilangan riil

x a 1
3.  xa d x 
a 1
C

4. [ f ( x )  g ( x ) ] d x   f ( x ) d x   g ( x ) d x
dx
5.  x
 ln x  C

1.  4 dx  4 x  C
x 61 x7
2.  x 6 dx 
6 1
C 
7
C
1
1 1 3 3
x2

2 20 2
3.  10 x 2 dx   10  C   10 x 2 .  C   x C
1 3 3
1
2
2 5

 
3 3 3 3 3 2
x dx  dx  x C  x5  C  x x C
3 3
4. 2
x3
5 5 5
1 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com


 (3x
3 6
5. 5
 2 x  10 ) dx  x  x 2  10 x  C
6
6.  1  2xx  6
2
  
dx   1  2 x  x 2  12 x  36 dx   36  84 x  25x 2  2 x 3 dx 
25 3 1 4
 36 x  42 x 2  x  x C
3 2
1

 x3  x   x3 x  3  2 2
 x  x2
2
 dx  x  x  C  x  2  C
7.  
 x2 

 dx 

 

 2  dx 
 x2 x 

   2 1 2 x
 
2

Selesaikan integral berikut :
1.   8 dx 9.  x ( x  12 ) dx
2.  x dx 10.  ( x  1 ) ( x  2 ) ( 1  2 x ) dx
16

 x
dx 11.  ( x  3 ) ( x  4 ) dx
2
3. 6

 ( x  x ) ( x  x ) dx
1 1
12.
4.  x dx 5 2

(
1 1
 x
dx 13. x x
5. )( ) dx
3 x x
( x2  1)
6.  ( 2 x 3  3 x 2  x  10 ) dx 14.  dx
3
x2
 ( x  x  x ) dx
6 1 1
7.
( 2 x 1)( x  4 )

2
15. dx
x4
8.  ( 4 x  5 ) ( x  6 ) dx

B . PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU

Salah satu penerapan dari integral tak tentu adalah untuk menentukan persamaan kurva dari
suatu fungsi yang diketahui turunan atau persamaan gradient garis singgung pada kurva fungsi
tersebut.

Jika diketahui fungsi F ( x ) dengan F ‘ ( x ) = f ( x ) . F ‘ ( x ) = f ( x ) = m adalah persamaan
gradien garis singgung pada kurva fungsi F ( x ) .
Jika F ‘ ( x ) = f ( x ) diketahui , maka persamaan kurva fungsi F ( x ) dapat ditentukan sebagai
berikut :
1. Tentukan y =  f (x)d xF ( x)C. Persamaan y = F ( x ) + C adalah persamaan
himpunan kurva-kurva. Letak dari tiap kurva pada sistem koordinat kartesius berbeda- beda
tergantung dari nilai C.
2. Salah satu anggota himpunan kurva tersebut dapat ditentukan jika diketahui ada titik yang
dilalui oleh kurva tersebut. Jika koordinat titik tersebut disubstitusikan pada persamaan y = F
( x ) + C , maka akan diperoleh nilai C.
3. Substitusikan nilai C yang diperoleh pada persamaan y  F ( x)  C , sehingga diperoleh
persamaan kurva yang dimaksud.

2 | hal


dy
1 . Diketahui persamaan gradient garis singgung pada kurva fungsi y adalah  2 x  10 . Jika
dx
kurva tersebut melalui titik ( −4 , 8 ), tentukan persamaan kurva tersebut !
d2 y
2 . Turunan kedua dari fungsi y adalah  10 x  3 . Untuk x = 1 , gradien garis
d x2
singgungnya sama dengan 5. Kurva tersebut melalui titik ( 6 , 12 ). Tentukan persamaan
kurva fungsi tersebut !

dy
1. Persamaan gradien garis singgung pada kurva fungsi y adalah  2 x  10 .
dx


d y  ( 2 x  10 ) d x  y  ( 2 x  10 ) d x  y  x 2  10 x  C

Melalui ( 4 , 8 ) , jadi y  x  10 x  C  8  (4) 2  10 (4)  C  C  32
2

Jadi persamaan kurva yang dimaksud adalah : y  x 2  10 x  32

2. Persamaan kurva fungsi tersebut dapat ditentukan sebagai berikut :
dy
dx 
 ( 10 x  3 ) d x  5 x 2  3 x  C

Untuk x = 1 , gradien garis singgungnya sama dengan 5 , diperoleh :
dy
 5  5 .12  3.1  C  C  3
dx
dy
Jadi :
dx 
 5 x 2  3 x  3 , sehingga d y  ( 5 x 2  3 x  3 ) d x  y  ( 5 x 2  3 x  3 ) d x

5 3 3 2
 y x  x  3x  C .
3 2
5 3
Melalui titik ( 6 , 12 ) , sehingga :  12  . 6 3  . 6 2  3 . 6  C  C   336
3 2
5 3
Jadi persamaan kurva yang dimaksud adalah y  x 3  x 2  3 x  336 .
3 2

Tentukan persamaan kurva y = F ( x ) , jika diketahui :

1. y '  8  2 x , kurva melalui titik ( 12 , 4 )
d y 1 1
2.  4  2 , kurva melalui titik ( , 1 )
dx x 2
d y
3.  x  4 , dan F ( 9 ) = 6
dx
d y
4.  3 x 2  6 x  1 untuk x = 10 , nilai y = 3 .
dx
d2 y
5.  4 , untuk x = 2 gradien garis singgungnya sama dengan 1. Kurva melalui titik
d x2
(7,5)

3 | hal


INTEGRAL TERTENTU

b
Notasi dari integral tertentu adalah :  f (x)d x .
a
Nilai a dinamakan batas bawah integrasi , sedangkan nilai b dinamakan batas atas integrasi.

C . TEOREMA DASAR KALKULUS INTEGRAL

Jika diketahui fungsi F ( x ) dengan F ‘ ( x ) = f ( x ) , maka :

b
b
 f ( x )d x  F( x)  F(b) F(a)
a
a

D . TEOREMA INTEGRAL TERTENTU

a
1. a
f (x)d x 0

b a
2. a
f (x)dx  
b
f (x)dx

b b
3. a
k.f (x)dx k 
a
f (x)d x , dengan k  R

b b b
4.  [ f ( x)  g( x )] d x 
a a
f (x) dx   g( x )
a
dx

b c c
5. a
f (x) d x  
b
f( x ) dx  
a
f (x) d x

Hitunglah nilai integral berikut :
6 9 4
 x 1
1.  ( 2x 3) d x 2.  x (1 x ) d x 3. 

 dx
x3 
2 1 2

x 6 
6
1.  ( 2x 3) d x  3x ( 6 2  3. 6 )  ( 2 2  3. 2 )  ( 36  18 )  ( 4  6 )  18  2  20
2
2
2
9 9 9 1 3 3 5
2 2 2 2 9
2.  x (1 x ) d x   ( x x x )dx   ( .x 2  x 2 ) d x  [
3
x  x ]
5 1
1 1 1
3 5 3 5
2 2 2 2 2 2 2 2 486 2 2 1192 7
 ( .9  .9 )( .1  .1 )  18        79
3 5 3 5 5 3 5 15 15
4
 x 
4 4 4
 x 1   1 1   1 1   1 1   1 1 7
 
2
3.  3  dx   2  3  dx   x 3 dx    2            
2  x  2 x x  2  x x   4 16   2 4  16
2

4 | hal


Hitunglah integral berikut :
10 81 6
dx
1. 
6
12 d x 5. 
16
4
x
9.  ( x  10 ) ( x  3 ) d x
3
6 4 20

  (3x  7 ) d x  ( 6  x )( 5 x 1)d x
1
2. dx 6. 10.
2
x3 2 8
3 10 16

  (6x 
9
3. 2
dx 7. 2
 4 x 1)d x 11. x (3x 8)d x
5
x 6 4
32 8 64
( 12  x )
4.  8.  (1 5 x ) 12. 
2
5
x3 d x dx dx
3
1 3 8
x

PENERAPAN INTEGRAL TERTENTU

E . LUAS DAERAH

1 . Luas Daerah Yang Dibatasi Kurva y = f ( x ) dan Sumbu x

Luas daerah yang dibatasi kurva y = f ( x ) , dan sumbu
x , untuk daerah yang terletak di atas sumbu x , adalah f(x)
:

b
L  
a
f (x)dx

x

a b

a b
Luas daerah yang dibatasi kurva y = f ( x ) , dan sumbu x ,
untuk daerah yang terletak di bawah sumbu x , adalah : x

a b
L   f (x)dx f (x)dx
b a
f(x)

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh
1 . garis x  2 y  4 , garis x = 5, garis x = 7, dan sumbu x !
2 . kurva y  x 2  2 x  15 , garis x = 5 , dan garis x = 2 , dan sumbu x !
3 . kurva y  6  x  x 2 , dan sumbu x
4 . kurva y  x 2  3x  4 , sumbu y , dan garis x = 4

5 | hal


1 . Sketsa :
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir,
y persamaan garis x  2 y  4 , diubah dahulu menjadi
x4 x
bentuk : y   y  2
2 2

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah :
4 x
7
5 7 x
7
  x2 
−2 
L    2 dx    2 x 
5   4 
2  5

 49   25 
   14     10   2 SL
 4   4 

2 . Sketsa daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  2 x  15 , sumbu x , garis x = 5 , dan
garis x = 2 :
y  x 2  2 x  15  ( x  5 ) ( x  2 )
Titik potong kurva dengan sumbu x adalah ( 5 , 0 ) dan ( 2 ,
0 ).
Luas daerah :
−2 2 x
3 3
L  ( x 2  2 x  15 ) d x   (x  2 x  15 ) d x
2
−5 5
5 2
1 3 3 1 3
 [ x  x 2  15 x ]  [ x 3  x 2  15 x ]
3 5 3 2
1 1
 {[ (3) 3  (3) 2  15 (3) ]  [ (5) 3  (5) 2  15 (5) ]}
3 3
1 1
 {[ (3) 3  (3) 2  15 (3) ]  [ 2 3  2 2  15. 2 ]}
3 3
1 1 1 8
 {[ (27)  9  45 ]  [ (125)  25  75 ]}  {[ (27)  9  45 ]  [  4  30 ]}
3 3 3 3
125 8
  9  9  45   25  75  9  9  45   4  30  77 SL
3 3
3 . Sketsa :
Luas daerah yang diarsir :
y
2
 6  x  x 
2
 1 1 
L 2
dx   6 x  x 2  x 3 
 2 3 
3 3
x
−3 2
 8  9  7
 12  2      18   27   SL
 3  4  12
y

4 . Luas daerah :
4
 
4
1 3 
L x  3x  4 dx   x 3  x 2  4 x 
2

0  3 2 
0
x
 64 48  1
   16   0  61 SL 0 4
 3 2  3

6 | hal


Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva berikut :
1. y  6 , sumbu x , garis x = 2 dan garis x = 4
2. x  2 y  4 sumbu x , garis x = 1 dan garis x = 7
3. 3 x  4 y  12 sumbu x , garis x = 3 dan garis x = 6
4. y  x 2 sumbu x , dan garis x = 3
5. y  x 2  6 x  8 sumbu x dan sumbu y
6. y  6  x  x 2 dan sumbu x
7. x 2  y 2  16 , di kuadran pertama y
x2 y2
8.   1 , di atas sumbu x
16 4
7
2
9. y  2 sumbu x , garis x = 1 dan garis x = 4
x
10. y  x 3 sumbu x , dan garis x = 3 3
11. y  x 4  8 x 2 sumbu x , garis x = 1 dan garis x = 3
12. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di x
samping: −5 −2 1

2 . Luas Daerah Yang Dibatasi Kurva x = f ( y ) dan Sumbu y

y
Luas daerah yang dibatasi kurva x = f ( y ) , dan sumbu y , untuk daerah
b
yang terletak di kanan sumbu y , adalah :

b
y
L   f ( y)d y
b
a

Luas daerah yang dibatasi kurva x = f ( y ) , dan
sumbu y , untuk daerah yang terletak di kiri sumbu
a y , adalah :

a b
L   f ( y)d y f ( y)d y
a
b a

y
6

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva 3 x  y   3 ,
sumbu y , garis y = 2 , dan garis y = 6

3

2 x
y 3
Diketahui : 3 x  y   3  x −1
3

7 | hal


2 6
1  y2  1  y2 
2 6
 y3   y3 
L  d y  d y   3y    3y 
3  3  3 
3  3 2
 
3 3  2
 
3

1   22   32  1   6 2   32  5
L  2
 3 .2  
  2
 3 . 3    
 3   2
 3 .6  
  2
 3 . 3    SL
 3
3 
       

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut :

1. x  4 y  8 , sumbu x , sumbu y , garis y = 4
2. y 2   8 x , sumbu y , garis y = 2 , dan garis y = 1
x2 y2
3.   1 , sumbu x , sumbu y , dan garis y = 6
25 16
4. y  x 2 , sumbu y , garis y = 0 , garis y = 3 , di kuadran pertama.

3 . Luas Daerah Yang Dibatasi Dua Kurva

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi f ( x ) dan g ( x ) dengan f ( x ) ≥ g ( x ) , adalah :

f(x) b
L   [ f ( x) g ( x)]d x
a

Dengan a dan b adalah absis titik potong antara
kedua kurva.
g(x) x

a b

y
7
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  x  18 , dan y  6  x !

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  x  18 , dan y  6  x adalah : x
Absis titik potong : 7
 ( x  6 )( x  4 )  0
4
x 2  x  18  6  x
 x   6 atau x  4 7
 x 2  2 x  24  0
4 4 4
 x3 
L 
6
[( 6  x )  ( x 2  x  18 )] d x  
6
( 24  2 x  x 2 ) d x   24 x  x 2 

 3

6

 43  
   24 . (6)  (6) 2  (6)
3 
  166 2 SL
  24 . 4  4 2 
 3   3  3
   

8 | hal


Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut :

1. y  x 2  10 x  10 dan y  3 x  20
2. y   x  5 x  3 dan
2
y 2x 7
3. y  x  6 x  9 dan y   x 2  4 x  3
2

4. y  2 x 2  4 x  12 dan y  x 2  8 x  20
5. y  x 2 dan y 2  x
6. y  x 2  4 x  5 dan y   x 2  4 x  1
7. y  x2  6 x  2 , y   x 2  2 x  12 , x = 1 , dan x = 4
8. y  x 2  7 x  13 dan y   x 2  x  3

Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut :

9. 10.
y  x3
y y
yx
x  2 y  1

2x  y 8
x

1 3 x

F . VOLUME BENDA PUTAR

1 . Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu x

f(x)
Volume benda putar yang diperoleh jika daerah
yang dibatasi oleh kurva : y = f ( x ) , sumbu x ,
garis x = a dan x = b , diputar mengelilingi sumbu
x sejauh 360  , adalah :

x b
V   [ f ( y)]
2
dy
a b a

9 | hal


Hitunglah volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x 2  2 x  24 , sumbu x , garis x = 1 dan x = 3 , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360  !

Volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2  2 x  24 ,
sumbu x , garis x = 1 dan x = 3 , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360  , sama dengan :

   
4 2 4
V    x 2  2 x  24 d x    x 4  4 x 3  44 x 2  96 x  576 d x
1 1
 x5 44 x 3  4
  x4   48 x 2  576 x 
 5
 3  1


 4 5 44 . 4 3   (1 ) 5 44 . (1 ) 3 
    44   48 . 4 2  576 . 4     (1 ) 4   48 . (1 ) 2  576 . (1 ) 
 5
 3   5
  3 

 1024 2816 1 44   1023 2860 
   256   768  2304   1   48  576       2416 
 5 3 5 3   5 3 
 3069  14300  36240   25009  4
       1667  SV
 15   15  15

Hitunglah volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut
diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360  !
1. 4 x  3 y  12 , sumbu x , garis x = 4 , dan x = 7
2. 8 x  5 y  40 , sumbu x , dan x = 1
3. y  x 2 , sumbu x , garis x = 1 , dan x = 3
4. y  x 2  4 , sumbu x .
5. y  x 2  8 x , sumbu x , garis x = 5 , dan x = 0
6. y  x 2  4 x  3 , sumbu x , garis x = 2 , dan x = 6
Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang diarsir pada gambar
berikut diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 !
7. 8.

y y

x −7 x
3 4 7

y = 4x2 x2 y2
 1
49 16

10 | hal


2 . Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu y

Volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh
kurva : x= f ( y ) , sumbu y , garis y = a dan y = b , diputar
mengelilingi sumbu y sejauh 360  , adalah :

b
V   [ f ( y)]
2
dy
a

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis x 2y6 ,
sumbu y , garis y = 2 dan y = 6 , diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360  !

Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh
garis x  2 y  6 , sumbu y , garis y = 2 dan y = 6 , diputar y
mengelilingi sumbu y sejauh 360  , adalah :
6
x 2y6  x 2y6
2 x
 2
6
6
V    2 y  6 d y   y2  6 y 6
2 −3
  
  62  6 . 6  22  6. 2      72  16   56  SV

Hitunglah volume benda putar yang terjadi , jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
berikut
diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360  !
1. y   4 x , sumbu y , garis y = 2 dan y = 3.
2. y  12 x , sumbu y , garis y = 0 dan y = 4.
3. y  x 2  6 , sumbu y , garis y = 1 dan y = 3.
x2 y2
4.   1 , sumbu y , garis y = 0 dan y = 1.
16 4
x2 y 2
5.   1 , sumbu y , garis y = 1 dan y = 6.
25 16

11 | hal


TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI

F . DALIL RANTAI

Diketahui fungsi y   f  g  x  , turunan fungsi tersebut dapat ditentukan dengan
menggunakan dalil rantai yaitu :

d y d f du
 
d x du d x

dengan u  g  x 

Tentukan turunan dari fungsi f ( x)  sin 4 ( 8x 5  2 x ) !

Misal : u  8x 5  2 x maka y  sin 4 u
v  sin u maka y  v 4 , jadi :
d y d y dv du
    4 v 3 . cos u . ( 40 x 4  2 )  8 ( 20 x 4  1 ) . sin 3 u . cos ( 8 x 5  2 x )
d x dv du d x
 8 ( 20 x 4  1 ) . sin 3 ( 8 x 5  2 x ) . cos ( 8 x 5  2 x )  4 ( 20 x 4  1 ) . sin 2 ( 8 x 5  2 x ) . sin ( 16 x 5  4 x )

1. Tentukan turunan dari fungsi berikut :
a. 
f ( x )  2 x5  3 7

b. 
f ( x )  3 sin 2 6 x 3  2 x 
c. f ( x )  cos 4
3x7 
d. f ( x )  sin (2 x 6  1 ) . cos 2 4  x 2
3
 
e. f(x) 5
(4 x 3  1 ) 2  sin  x  1 
2

2. Hitunglah nilai turunan dari fungsi berikut :
a. f(x)4 x 2
2 
3
, untuk x  16
2
b. f(x) sin 3 2 x , untuk x  
3

12 | hal


TEKNIK PENGINTEGRALAN

F . INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI

Bentuk umum integral dengan substitusi , adalah :  f ( u ).u' d x  u  C

x 2 dx
1 . Tentukan hasil dari :  4
x3  9
4
2 . Hitunglah : x 1
2 x 2  1 d x  .....

1
1. Misal : u  x 3  9  d u  3 x 2 d x  d u  x2 d x , jadi :
3
1
du 1 3
x 2 dx 
  
3 1 1 4 4
  u 4 d u  . .u 4  C  4
x3  9  C
4
x 9
3 4 u 3 3 3 9

4
2. x
1
2 x 2  1 d x  .....

CARA I :
1
Misal : u  2 x 2 1  d u  4 x d x  du xd x
4

2 x 
1 3

  
1 1 1 2 2 1 3
x 2 x 2 1 d x  u. du  u2 du  . .u  C  2
1 C
4 4 4 3 6
4
2 x   2.4   2 .1 
4
1  1  1 

3 3 3
2 x 2 1 d x   1   1   1 
2 2 2
Jadi : x   6 
1 6 1 6   

31 1
 31 
6 6
CARA II :
1
Misal : u  2 x 2 1  d u  4 x d x  du xd x
4
Perubahan batas : untuk x  1 maka u  2 . 12  1  1
untuk x  4 maka u  2 . 4 2  1  31
Jadi :
4 31 31 1  1 2 3  31  1 
31
x  
1 1 31 1
2 x 1 d x 
2
u . du  u2 d u   . .u 2    u  3
 31 
4 4 4 3
 
 1 
6  6 6
1 1 1 1

13 | hal


Selesaikan integral-integral berikut :

  2  3x 
64

  4x  7  dx
10
1. 7. 8  4 x  3x 2 dx

1
12. dx
3 4 x7
 20 x dx
  2x  8  dx
5


8
2. 3
8. 9
x6  4
3.
2 x dx
 4 x 1 2
13.  6 x  1 dx

  6 x  3  dx
4
2 9. 4
9


0
x dx 14. 6 x  1 dx
4.  10  8 x 4

x
2
10. x  1 dx
2 4

 x  2  dx

1
5.
x2  4 x  7 3
x2
11.  dx
6.  x2 x 3  2 dx 0
x3  2

F . INTEGRAL TRIGONOMETRI

Rumus-rumus integral trigonometri :

1.  sin x dx   cos x  C 5.  cos a x  b dx  a sin a x  b  C
1

2.  cos x dx  sin x  C sin m1 x
6.  sin m x . cos x dx 
m 1
C
3.  tan x dx  ln  sec x   C cos m1 x
7.  cos m x . sin x dx   C
 sin a x  b dx   a cos a x  b  C
1
4. m 1

Selesaikan :
 3 x  4 sin 2 x d x   sin
5 2
1. 4. x dx
cos x 1

2.  1  sin x d x 5. 
0
2
sin x
dx
3
cos 2 x
3.  sin 4x . cos 2x dx

  3 x  4 sin 2 x  d x
1 6
1. 5
 x  2 cos 2 x  C
2
cos x
2.  1  sin x d x  ...
Misal : u  1  sin x  d u  cos x d x , jadi :

14 | hal


cos x du
 1  sin x d x   u
 ln u  C  ln ( 1  sin x )  C

3.  sin 4x . cos 2x d x  ...
1 1
Ingat rumus : sin  . cos   sin (    )  sin (    )
2 2
1 1 1 1
Maka : sin 4 x . cos 2 x  sin ( 4 x  2 x )  sin ( 4 x  2 x )  sin 6 x  sin 2 x
2 2 2 2
 1 
 
1 1 1
Jadi : sin 4 x . cos 2 x d x   sin 6 x  sin 2 x  d x   cos 6 x  cos 2 x  C
 2 2  12 4
4.  sin x d x  ...
2

1  cos 2  1 1
Ingat rumus : cos 2  .  1  2 sin 2   sin 2     cos 2
2 2 2
 1 1 
 sin 
1 1
2
x d x    cos 2 x  d x  x  sin 4 x  C
 2 2  2 4
1
 sin x
5. 0
2
3
cos 2 x
d x  ...

1

1 1
 
2
sin x
2

2  1 2

0
3
cos 2 x
dx  
0
cos 3 x . sin x d x  


 3 cos 3 x

 0
 0 3  3


 sin x .  1  cos x  d x
3
9. 2 
4

  x  cos x  d x  1
 cos  4   2 x  d x

3
1.   15.
  10.  3 cos 8 x . cos 4 x d x 0
 
2.  cos 3 x d x 11.  cos x  1cos x 1d x


 cos
2
16. x dx
3.  sin  4 x 1  d x 12.  x sin  5 x 1  d x
3 4 1

3
4.  cos  10  5 x  d x 1

  1  sin x  d x
cos x 
13.
 cos 
3

 sin x . cos x d x
3
5. 5
17. 2
x  sin 2 x d x
1 0

 6 cos 2 x . sin 2 x d x
5
6. 2

 sin
2
14. x . cos x d x
2 cos x
7.  sin x d x 5
1
6


 sin x d x
3
8.

18. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  sin 2 x , sumbu x , garis x  0 ,
dan x  
19. Hitunglah luasdaerah yang dibatasi oleh kurva y  sin x , y  cos x , garis x  0
1
dan x  
4
20. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y  cos x
,
1 3
sumbu x , garis x   dan x   , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360  !
2 2

15 | hal


F . INTEGRAL PARSIAL

Rumus integral parsial :  u d v  u .v   v d u

Selesaikan :
x x 1 d x x
2
1. 2. cos x d x

1. x x  1 d x  ...
Misal : ux  dud x
1
3

  x 1   x  1 2
2
d v  x 1 d x  v  x 1 d x  2 dx C
3
3 3
Jadi : x x 1 d x  x .
2
 x 1 2  
2
 x 1 2 . dx
3 3

u v v du

5
x  x 1  .  x 1 2  C
2 2 2
 x 1 
3 3 5

x  x 1   x  1 2 x  1  C
2 4
 x 1 
3 15
2. x cos x d x  ...
2

CARA I :
Misal : u  x2  du  2xd x


d v  cos x d x  v  cos x d x  sin x  C

Jadi : x cos x d x  sin x  
2
x2 . sin x . 2 x d x

u v v du


 x 2 sin x  2 x sin x d x

 x sin x d x  ...
Misal : ux  du d x


d v  sin x d x  v  sin x d x   cos x  C

Jadi :  x sin x dx  x .   cos x     cos x dx

u v v du

16 | hal


  x cos x   cos x d x   x cos x  sin x  C
Kesimpulan : x cos x d x  .x 2 sin x  2 (  x cos x  sin x )  C
2

 .x 2 sin x  2 x cos x  2 sin x  C
CARA II :

x
2
cos x d x  x
2
d  sin x 


 x 2 sin x  sin x d x 2  
 x 2 sin x   2 x sin x d x  x 2 sin x  2 x d   cos x 
 
 x 2 sin x  2  x cos x   cos x d x 
 x 2 sin x  2 x cos x  2 sin x  C


 x 1 x  d x
16
1. 2 2


x
4. dx
x 1
 x 1 d x
x 4
2. 1
3 
4

 x sin 2 x d x 5.  sin
2
3. 2
x dx
0

17 | hal

Integral

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (19)

Similar a Integral

Similar a Integral (20)

Integral