TÜREVİN UYGULAMALARI

2. GİRİŞ

4. Artan ve Azalan Fonksiyonlar:
Artan ve Azalan Fonksiyonlar:
F:(a,b)=>R tanımlı ve türevlenebilen bir fonksiyon ve ∀ x ε
(a,b)olmak üzere :
ı) f’(x) > 0 ise fonksiyon artandır.
ıı) f’ (x) < 0 ise fonksiyon azalandır.
ııı) f’(x) = 0 ise fonksiyon sabittir.
Yanı bir fonksiyonun verilen aralıkla türevinin işaretini
incelediğimizde türevi pozitif olduğu aralıkta fonksiyon artan , türevi
negatif olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.
NOT: BİR fonksiyon belli aralıklarda değildi daima artansa buna
monoton artan, daima azalansa buna da noton azalan denir.

5. F (x+1) > f (x) ise monoton artan
f (x+1) < f (x) ise monoton azalan .
x - ω X1 X2 +ω
f’(x) + - +
f(x) Y1 Y2
b
a
b a
Fonksiyon artan Fonksiyon azalan

6. Örnek :
F (x) = x2 - 3x + 2 fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıklar
bulunuz ?
??
ÇÖZÜM:
x - ω 3/2 +ω
f’ (x) = 2x-3
f’(x) - +
f’ (x) = 2x - 3 = 0
f(x) -1/4
x = 3/2

7. MAKSİMUM MİNİMUM (EKSTREMUM) NOKTALARI
F: (a,b) => R ise tanımlı ve türevlenebilen bir fonksiyon verilmiş
olsun .
I) f (x) fonksiyonu bir x=c noktasının solunda artan sağında
azalan ise x=c noktası f (x) in bir minimum noktasıdır.
y x -ω c +ω
- +
+ f’(x) - +
-
+ x f(x) f (c)
- +
- +

8. NOT: Bir fonksiyonun birinci türevinin kökleri maksimum
veya minimum noktalarının apsisleridir. Bu noktalar esas
fonksiyonda yerine yazılarak ordinatları da bulunabilir.
max
min
(x1, f (x1)) noktası maksimum
x - ω X1 X2 +ω
denir
f’(x) + - +
f(x) f (x1) f (X2) (x2, f (x2)) noktası minimum
denir

9. Ayrıca bir fonksiyonun birinci türevinin kökleri ikinci türevde
yerine yazıldığında sonuç negatifse max , pozitifse min , sıfırsa
dönüm noktası vardır.
F’ (x) = 0 için x1,x2,x3 kökleri bulunsun .
i) f’’(x1) > 0 ise (x1,f(x1)) noktası minimum noktadır.
ii) f’’(x2) < 0 ise (x2,f(x2)) noktası maksimum noktadır.
iii) f’’(x3) = 0 ise (x3,f(x3)) noktası dönüm (büküm) noktasıdır.
y C (x2,f (x2))
B (x3,f (x3))
x1 x
x3 x2
A (x1,f (x1))

10. F’(x) > 0 ise eğri yukarı yönelik
F’(x) > 0 ise eğri yukarı yönelik
F’(x) < 0 ise eğri aşağı yönelik
F’(x) < 0 ise eğri aşağı yönelik
F (x) fonksiyonun birden çok maksimum veya minimum değerleri
F (x) fonksiyonun birden çok maksimum veya minimum değerleri
bulunabilir maksimum delerlerinin en büyüğe mutlak
bulunabilir maksimum delerlerinin en büyüğe mutlak
maksimum minimum değerlerinden küçüğüne de mutlak minimum
maksimum minimum değerlerinden küçüğüne de mutlak minimum
değeri denir.
değeri denir.
Maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden EKSTREMUM
Maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden EKSTREMUM
NOT 1: Bir fonksiyonun x eksenine teğet olduğu yerde türevi
sıfırdır.

11. İkinci türevin sıfır olduğu büküm (dönüm) noktası yani bir
çukurluğun yön değiştirdiği noktaları aşağıdaki şekillerde
inceleyelim:
Dönüm
y Dönüm
noktası
noktası
x
x1 x0 x2 x1 x0 x2
F’(x1) > 0 F’(x1) > 0
F’’(x1) < 0 F’’(x1) < 0
F’’(x0) = 0 F’’(x0) = 0

12. y
F (x1) = 0
x F’(x1) = 0
NOT 2 : Bir fonksiyonun başka bir fonksiyona teğet olduğu yerde
türevleri eşit.
y F (x)
F (a) = g (a)
x F’(a) = g (a)
a

13. ÇÖZÜMLÜ SORULAR
1)
F(X) = ax3+bx2-2x-3 fonksiyonu x=-1 apsisli noktasındaki
minimum değerinin 2 olması için (a,b) ne olmalıdır.
A) (8,11) C) ( 5,8 ) E) ( 4,11 )
B) ( 7,9 ) D) ( 3,8 )
http://www.cybermaths.8m.com/flashmovies.htm

14. ÇÖZÜM:
DOGRU
DOGRU
F (x) in x= -1 noktası minimum nokta olduğundan türevi sıfırdır.
CEVAP
F (x) = ax +bx -2x-3
3 2
-a +b =3 ........2CEVAP
F ‘(x) =3ax2+2bx –2 1 ve 2 denklemlerin
F’ (-1) = 3a(-1)2+2b(-1)-2 = 0 birlikte çözdüğümüzde
3a – 2b – 2 = 0 ............1 3a –2b =2
F (-1) =2 -a + b = 3
F(-1) = a(-1)3+b(-1)2-2(-1)-3=2 3a – 2b =2
-a +b + 2 –3= 2 -2a+2b = 6
a= 8 ,, b=11

15. 2 Çarpımlar 18 olan pozitif iki gerçek sayınını toplamı en
az kaçtır?
çözüm
T’(x+y)’=0 , x,y=18 => y =18/x , t = x + y = x+18/x = x2+18/x
T’= 2x.x-1(x2+18)/x2 = x2-18/x2 = 0 => x2 = 18 => x= 3 2
Y= 18/x = 18/3 2 =3 2
t mini =(x+y)mini = 3 2 + 3 2 = 6 2

16. 3 4x2-12x+m= 0 denkleminde iki bölüm çarpımın en fazla olması
için m = ?
çözüm
T max =x1.x2 = c/a = m/4=? X1+X2 =-b/a=12/4=3=> x2=3-x1
t = x1.x2 = x1(3-x1)=3x1- x12 => t’= 3- 2x1= 0 => x1= 3/2
t’’ = -2 < 0 =>X=3/2 de yerel max vardır
x2 = 3- x1 =3-3/2= 3/2
t = x1.x2 =(3/2).(3/2) = 9/4 = m/4==>> M=9

17. 4 Y = 1/x2-8x+18 ifadesinin en büyük değeri nedir?
Y = 1/x2-8x+18 ifadesinin en büyük değeri nedir?
çözüm
Y’ = 0- (2x-8) .1/(x2-8x+18)2 = 0 =>-2x+8= 0 => x = 4
y max = 1/ 16-32+18 = 1/2

18. 5 Şekilde denklemi x2+y2=9 olan dörtle bir çemberin B
noktasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümü A’
dır.Buna göre A=B üçgenin alanı x’in hangi değeri için
y en büyüktür ?
çözüm
o x a 3 x
A=x.y/2 , y2 =9-x2 => y= 9-x2 => a= x. 9-x2 /2 = 9x2-x4/2
a’=1/2 . 18x- 4x3/2 9x2-x4=0 => 18x-4x3=0 =>2x(9-2x2)=0
X=0 X= 3/ 2

19. 6 d x c Çevresi 120m olan dikdörtgen
şeklindeki bir taranın alanı en
y y büyük değeri kaç m2dir?
a çözüm
x b
Ç:2.(x+y)=120 => x+y=60 Amax= x.y=?
Amax=x.(60-x) = 60x-x 2 => A’ = 60 - 2x = 0
x=30 , y=60-30 =30
Amax=x.y = 30.30 =900

20. 7 y c
ABCD köşesi ,Y= x2 + 1 parabolü
üzerinde bulunan en büyük alan
10-y
10 A dikdörtgen olduğuna göre B’nin
y y ordinat nedir?
x
0 x 3 x çözüm
A = x. (10-y) A’=9-3x2=0
=x.(10-x2-1) 9=3x2 y=x2+1=3+1
= x (9-x2) 3=x2 =4
=9x-x3 x= 3

21. 8d 2x c Dikdörtgen bölümündeki bir
bahçenin(AD) kenar tumu ile
(AB) kenarım yarısına duvar
y örülmüş kenarlar geriye kalan
kısmına bir sıra tel edilmiştir.
x b Kullanılan telin üz ünlüğü
A çözüm
120m olduğuna göre bahçenin
alanı en fazla kaç m2dır?
3x+y=120 y=120.3x =2x.y=a A=2x.(120-3x)
A=(240x-6x2) =>A’= 240-12x
12x = 240 => X= 20cm 2x=40cm y=60cm
2x.y = 40.60 = 2400m2

22. 9
d Koş eleri eksenler orijin ve Y=2/3 X+2
2 doğrusu üzerinde bulunan en büyük
dikdörtgenin alanı kaçtır?
-3 b c
ax
çözüm
Y= 2/3 X+2 =>X=0 ---> Y=2 Y=0 ----> X=-3
A= x.y = x (2/3 x+2)=2/3 x2+2x A’4/3 X+2 = 0 ==> 4/3 x=-2 =>
X= -3/2 Amax =2/3(-3/2)2 + 2.(-3/2) = |-3/2 | = 3/2 Br.

23. 10
A(2,4) ve 3(x,3x) noktası arasındaki mesafe uzunluğu en
kısa olması için X ne olmalıdır?
çözüm
D = |A,B | = (2-x)2+(4-3x)2 = 10x2-28x+20
D’ = 20x-28/2 10x2-28x+20 = 0 => 20x-28 = 0 ==>
X = 7/5

24. 11
y Y=-x2 üzerinde P(-3,0) noktasına en
yakın olan noktasının asisi =?
x
Y=-x2 çözüm
D= |PA|= (-3-x)2+ (0+x2)2 = x4+x2+6x+9
d’ = 4x3+2x+6/2 x4+x2+6x+9=0
=>> 4x3+2x+6=0 =>2x3+x+3=0
==> X=1 -----> Y= -1 A =(-1,-1)

25. 12 a
Yarıçapı 3 cm olan bir küre içine çizilen
maxımum hacimli kabinin hacmi kaç cam3
3 tur?
3
b c
çözüm
Vkanı=1/2 Ta.h =1/3 πr2h => 9 = r2 +(h-3)2 =>r2 = 9 - (h-3)2
V=1/3 π [9-(h-3)2] .h = π /3 (-h3+6h2) => V= π/3 (-3h2+12h)=0
=>h= 0 v hmax= 4 Vmax = π/3(-64+6.16)= 32/3 π cm3

26. 13 18 cm kenarlı karenin köşelerinden
a x x b karalar kesilerek elde edilen üstü açık
x x kutunun hacminin maxımum olması için
kesilen karelerin kenar uzunluğu =?
18-2x
x x çözüm
c x x d
V=Ta.h=(18-2x)2.x = 324x-72x2+4x3
V= 324-144xx+12x2 = 0 ==> x2-12x+27 = 0
X=9 v X=3

27. 14 a
Tabanı 4 cm ve yüksekliği 7 cm olan bir
üçgenin için alanı maksimum ele bir
7-x m dikdörtgen çizildiğinde bu dikdörtgenini
n
alanı kaç cm2 olur .
x x
çözüm
b c
4cm
A max= x.y =? 7-x/7 = y/4 => y=28-4x/7 = 4- 4/7 x
A= x.y = x. (4-4/7 x) = 4x - 4x2/7 ===> A = 4- 8/7 x =0 => X=7/2
=> Amax = 4 7/2 - 4/7 . 49/4 = 7 cm2

28. 15 F(x)= x3-3x2+5 fonksiyonun ekstremum(max,min)
noktaları bulunuz?
çözüm
F’(x) = 3x2-6x
x -& 0 2 +&
3x2-6x=0
Y’ + - +
3x(x-2)=0
y 5 1
x1=0 , X2 =2
F (0)=5 (0,5) max noktadır
f (2)= 1 (2,1) min noktadır

29. 15 F(x) = cx3-2x2+x-5 fonksiyonun daima artan olabilmesi
için c ne olmalıdır?
çözüm
F(x) =3cx2-4x+1 16 < 12c => 4/3 < C
∆ =b2-4ac < 0
(-4)2 -4 . 3c.1 < 0
16-12c < 0

30. 16 F(x) =x2 - 2ax +11 fonksiyonun minimum değerinin 2
olması için a nın pozitif değeri nedir?
çözüm
F’ (x) = 2x - 2a
2x - 2a =0 ==> x = a
bunu f(x) fonksiyonunda yerine yazalım
f(a) = a2 -2a.a+11 =2
-a2= - 9
a2 = 9 ==> a=3