ARITMÉTICA DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS ENTEROS. OPERACIONES

1. ARITMÉTICA
Los números enteros
ÍNDICE
1.
Los números enteros.
2.
Operaciones con números enteros.
ANTES DE EMPEZAR.
UN POCO DE HISTÓRICA
Leonard Euler
“Si a 8 le añadimos 4 y restamos 5, obtenemos 7”.
Esta afirmación, matemáticamente la escribimos así:
8+4–5=7
Para llegar a esta expresión tan sencilla, las matemáticas han
tenido que recorrer un largo camino.
Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo III
a. C., en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo IX. En
China se manipulaban números positivos y negativos usando
conjuntos de varillas, rojas para las positivas y negras para las
negativas, efectuando cálculos con extraordinaria destreza. Sin
embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número
negativo pudiera ser solución de un problema.
Corresponde a los Indios la sistematización en el uso de los números positivos y negativos,
que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, estableciendo el cero y la
“famosa” regla de los signos (hacia el año 650 d. C.).
Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente.
Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars
Magna (1545) los estudió exhaustivamente. Jhon Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética
Infinitoum (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes
tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.
Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata
de “demostrar” que (– 1)·( – 1) = + 1; argumentando que el producto tiene que ser + 1 ó – 1 y
que, sabiendo que se cumple (1)·(– 1)= – 1, tendrá que ser: (– 1)·( – 1) = + 1.

2. ARITMÉTICA
Los números enteros
1. LOS NÚMEROS ENTEROS.
NECESIDAD DE NÚMEROS ENTEROS
En la vida real hay situaciones en las que los números naturales no son suficientes.
Por ejemplo: Si tienes 5 € y debes 8 € ¿De cuánto dispones?
Observa en las siguientes imágenes distintas situaciones en las que se necesitan los números
enteros:
TEMPERATURA
CUENTA BANCARIA
ASCENSOR
ALTURA Y PROFUNDIAD
Los números enteros son una
ampliación de los naturales:
Los naturales se consideran
enteros positivos (se escriben con
el signo +).
Los enteros negativos van precedidos del signo –.
El cero es un entero pero no es ni negativo ni positivo.

3. ARITMÉTICA
Los números enteros
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS:
El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z), está formado por:

Los NATURALES (N), que son los positivos: _______ +1, +2, +3, +4,…

El CERO: _______________________________________________ 0

Los correspondientes NEGATIVOS: ____________ – 1, – 2, – 3, – 4,…
El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS, ordenados, ser representan en la RECTA
NUMÉRICA:
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
El VALOR ABSOLUTO de un número entero es la distancia que lo separa del cero en la recta
numérica, y obviamente las distancias siempre son POSITIVAS.
Se expresa escribiéndolo entre barras:

El valor absoluto de – 7 es 7   7  7

El valor absoluto de +4 es 4   4  4
En resumen, el VALOR ABSOLUTO de un Z, es el número natural que resulta al quitarle el
signo.
EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO
El OPUESTO de un número entero es su simétrico del cero en la recta numérica. Es decir, el
mismo número entero pero con el SIGNO CONTRARIO.
Los números 5 y – 5 son opuestos el uno del otro.

4. ARITMÉTICA
Los números enteros
2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS.
SUMA Y RESTA
Para SUMAR (RESTAR) dos números enteros, distinguiremos 2 posibilidades:

a) 5  4  9
Ejemplos:

Ejemplos:
Si tienen el MISMO SIGNO, se SUMAN sus VALORES ABSOLUTOS y se pone
el SIGNO que TENÍAN LOS NÚMEROS.
b)  3  5  8
c) 11  9  20
d)  7  12  19
Si tienen DISTINTO SIGNO, se RESTAN los VALORES ABSOLUTOS y se pone
el SIGNO del MAYOR EN VALOR ABSOLUTO.
a)  5  4  1
b) 3  5  2
c) 11  9  2
d)  7  12  5
SUMA (RESTA) DE TRES O MÁS ENTEROS
Para sumar tres ó más enteros tenemos dos métodos:
1. Agrupar los dos primeros sumandos y sumar al resultado el tercer sumando:
+ 6 – 4 +3 = + 2 + 3 = + 5
En el caso de 4 sumandos se puede agrupar de dos en dos:
+6–4 +3–2= +2 +1 =+3
2. Sumar los positivos por un lado (tener) y los negativos (deber) por el otro y finalmente hallar
el resultado:
deber tener
– 7 + 8 – 5 = – 12
+8 =–4
deber tener
+6–4+3–2=–6
+ 9 = +3
SUMA (RESTA) CON PARÉNTESIS
Son los que conocemos como PARÉNTESIS DE SIGNO, ya que dentro de ellos únicamente
tenemos un número entero, y no una operación. Deberemos quitar el paréntesis, atendiendo a
la siguiente regla, y operar como se indica arriba:
  n º    n º
SIGNOS IGUALES: Más + 
  n º    n º
  nº   nº
SIGNOS DISTINTOS: Menos – 
  nº   nº

5. ARITMÉTICA
Los números enteros
También se puede hacer teniendo en cuenta que el MENOS DELANTE DE UN PARÉNTESIS
CAMBIA EL SIGNO del NÚMERO DE DENTRO, mientras que un MÁS NO CAMBIA EL
INTERIOR DE UN PARÉNTESIS.
Ejemplos:
a)   5   2   7   5  2  7  4
b)   11   3   6  11  3  6  8
MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN
MULTIPLICAMOS y DIVIDIMOS como siempre, pero deberemos aplicar la siguiente REGLA
DE LOS SIGNOS (tanto para la multiplicación como para la división):
MISMO SIGNO: +
DISTINTO SIGNO: –
Ejemplos:
·
a)  5 2  10
b)  12 :  4  3
c)  16 :  8  2
·
d)  12 5  60
OPERACIONES COMBINADAS
EXPRESIONES MATEMÁTICAS en las que tenemos VARIAS OPERACIONES, incluidos
PARÉNTESIS y CORCHETES.
En primer lugar, tendremos que tener claro cual es el orden en las operaciones a realizar. Es lo
que en matemáticas se conoce como: JERAQUÍA DE LAS OPERACIONES
¿Qué hacemos primero y que hacemos en segundo, tercer lugar,…?
PRIMERO las operaciones que están dentro de los PARÉNTESIS y CORCHETES
DESPUÉS las MULTIPLICACIONES y DIVISIONES
POR ÚLTIMO, la SUMAS y RESTAS

6. ARITMÉTICA
Los números enteros
Ejemplo:
4  8   4 2  5 
·
4  8   8  5 
4  8  8  5 
4   5 
45 
1
Ejemplo: