ESTRUCTURAS RETICULADAS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos
y Teoría de Estructuras
A
B
A’’
B’’
A’
B’’
Directriz sin
deformar Directriz
deformada
A
B
A’’
B’’
A’
B’’
Directriz sin
deformar Directriz
deformad...
CONCEPTO DE NUDO EN UNA ESTRUCTURA
FORMADA POR BARRAS
ESTRUCTURAS RETICULADAS
INTRASLACIONALES
CONCEPTO DE ESTRUCTURA INTRASLACIONAL
A
B C
DA
B C
D A
B C
D
P
δ δ
Los nudos no se desplazan, pero las secciones correspon...
A
B
C
D
P
P
A
B
C
A
B CB’ C’
CALCULO DE ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES
a) VIGAS CONTINUAS
P
q M’ M
RA RB RC RD
RE
A
B C
E F
G
Viga
A
P
B1 M1
C1
M1
B2
M2
C2
E1
G
M2
M’ M3
F
M4
E2
P
q M’ M
RA RB RC RD
RE
A
B C
E F
G
Incógnitas: M1, M2, M3 y M4
)()(
)()(
)...
M3
M4
M
034 =−+ MMM
Viga
MM3
M4
M4M3
21
21
21
EEE
CCC
BBB
AA
RRR
RRR
RRR
RR
+=
+=
+=
=
P
q M’ M
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A
B C
E F
G
A
P
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C1
M1
B2
M2
C2
E1
G
M2
M’ ...
B1A M
P
B2 CM
)()( 21
antihoarioantihoario BB θθ =
lEI
blPab
EI
Ml
oantihorari
EI
Ml
EI
ql
oantihorari
B
B
6
)(
3
)(
324
)...
B1A B1A M
ql/2 ql/2 M/l M/l
P
B2 C B2 CM
Pb/l Pa/l M/l M/l
l
M
l
Pa
R
l
M
l
Pb
l
Mql
R
l
Mql
R
C
B
A
−↑=
+++↑=
−↑=
2
2
b) SEMIPÓRTICOS
A
B
C
M
2l
l
A
B2
C
M2
M1
B1
B
M2
M1M
( )
( )
EI
lM
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EI
lM
lEI
lM
horario
horariohorario
B
B
BB
3
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c) PÓRTICOS
l
B
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q
l
EI
Ml
EI
Ml
EI
ql
horario
EI
Ml
horario
horariohorario
B
B
BB
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3
)(
)()(
3
2
1
21
−−=
=
=
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B
A D
C
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/20 B
A D
C
ql/20
ql/2
ql/2
ql/20
ql/2
B ql/20
ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES CON ROTULAS
P=20 kN
2 m 1 m 1 m
A B C D
L L L
P M = P·L
A B C D
6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1...
QQ
P
Q1 Q2
P
Barra 1 Barra 2
Q1+Q2=P
P
P
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M
A
B
B
A
M
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Q1 Q2
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1 reacción vertical en A
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P
M=PL
Q
Q Q
Q
A B C1
C2
D
P
M=PL
Q
Q Q
Q
A B C1
C2
D
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A B C D
Incógnitas:
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A
B1
Q
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M
Q
N
N
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D
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N
A
B1
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D
Q
N
L
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A
B
C
D
M
E
L/8
L
L/4 3L/4
A
B
C
D
M
E
L/8
...
ESTRUCTURAS RETICULADAS
TRASLACIONALES
Veamos con un ejemplo la filosofía que debemos utilizar para
calcular estructuras traslacionales.
F
AB
C D
ESTRUCTURA REAL...
F
AB
C D
ESTRUCTURA REAL
MB
Sean MC y MD los momentos flectores
que aparecen en las secciones en contacto
con los nudos
Si prescindimos de todas las cargas que actúan y suponemos que las
barras estuviesen conectadas mediante articulaciones (r...
La estructura inicial se ha convertido en un mecanismo con un gdl
AB
C D
El movimiento de este mecanismo viene determinado...
El valor de este parámetro (CC* ó DD*) no es conocido a priori, pero si lo
supusiéramos conocido (e idéntico al que se pro...
Pero, claro, en el caso del mecanismo, las secciones en contacto con la rótula que
exista en un nudo giran diferente, cuan...
AB
C DC*
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MB
MC
MD
F
¡Obtendríamos la estructura deformada!
D*
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN8 m
4 m
6 m 2 m
6 m
Veamos un ejemplo:
Deducir las leyes de momentos flectores y esfuerzos cort...
E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN8 m
4 m
6 m 2 m
6 m
2q
2q
2q
2q
E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
¿Podemos simplificar más aún la estructura?
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
F=80 kN
q=20 kN/m 2q
2q
A
B
C C*
B*
a a
M
M
a
B1*
A
F=80 kN
M
C*
B2*
M
q=20 kN/m 2q
2q
=
( ) ( )oantihorarioantihorari **
...
a
B1*
A
F=80 kN
M
C*
B2*
M
q=20 kN/m 2q
2q
( )
EIEIEI
M
oantihorari*
B
24
620
6
406
3
6 3
2
⋅
−
⋅
+=θ
( )
816
880
3
8 2
1
...
E
A
B
C
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
80 kN
VA
VE
Tomando momentos en B
de las fuerzas y momentos
que actúan sobre la barra AB
(...
Ley de momentos flectores
320 kN.m E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
40 kN.m
320 kN.m
Ley de esfuerzos cortantes
80 kN
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
120 kN
40 kN
Ley de esfuerzos axiles
E
A
B
C
D
q=20 kN/m
F=80 kN
160 kN
Movimientos de la sección B:
El desplazamiento horizontal será 0,488 m, el vertical nulo y el giro:
a
B1*
A
F=80 kN
M
( ) ...
Movimientos de la sección D:
El desplazamiento horizontal será 0,488 m.
( )
m,,v
rad,
EIEIEI
horario
D
C
026250201310
0131...
q=20 kN/m
P1=60 kN P2=40 kN
A
B
C
D
E
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m
5 m
En el pórtico de la figura, todas las barras tienen la m...
A
B
C D
E
Estructura con un grado de traslacionalidad
a
a a
B*
C* D*
A
B
C D
E
a
a a
B* C* D*
M2
M1
M3
M2
M1
B2* C1*
A
B
a
B1*M1
q
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C2* D1*
a
M3
E
D2*
P1 P2
EI
LM
EI
LP
EI
LM
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L
a
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EI
LM
oantihorari
B
B
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EI
LM
EI
LP
EI
LM
oantihorari
L
a
EI
qL
EI
LM
oantihorari
B
B
6163
)(
243
)(
2
2
11
3
1
2
1
+−−=
−+=
θ
θ
Ec.1
EI
LM
EI
LP
...
¡La ecuación que falta la obtenemos aplicando las
ecuaciones de la estática!
A
B
a
B1*M1
q
a
M3
E
D2*
VA
HA VE
HE
Suma de ...
Resolviendo el sistema de las cuatro ecuaciones con las 4 incógnitas:
ma
mkNM
mkNM
mkNM
061,0
25,156
25,31
75,93
3
2
1
=
⋅...
q
P1
P2
A
B
C
D
E
106,25 kN.m
31,25 kN.m
43,75 kN.m
156,25 kN.m
Ley de momentos flectores
q
P1
P2
A
B
C
D
E
68,75 kN
31,25 kN
5 kN
55 kN
5 kN
45 kN
31,25 kN
Ley de esfuerzos cortantes
q
P1
P2
A
B
C
D
E
5 kN
31,25 kN
45 kN
Ley de esfuerzos axiles
ESTRUCTURAS RETICULADAS
ATIRANTADAS
AB
C D P
EI
EtAt
L
h/2
AB
C D
=
AB
C D P
AB
F F
F F
∆BA=F.L/ EtAt
P
AB
C D
P
AB
F F
F F
∆BA=F.L/ EtAt
AB
C D
1 1
ESTADO REAL ESTADO FICTICIO
Teorema de reciprocidad:
real
A
ficticio
D
fictic...
real
A
ficticio
D
ficticio
A uuPuF
rrr
⋅−=⋅+⋅− 1
tt
real
A
real
B
real
ABA AE/LFuuu ⋅==−=∆
rrr
tt
real
A AE/LFu ⋅=
r
tt
fi...
AB
C D
1 1
ESTADO FICTICIO
h
h
h
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−= L
h
EI
h
hhhhhLhhh
EI
u ficticio
A
3
2
3
2
2
1
3
2
...
AB
C D
1 1
ESTADO FICTICIO
h
h
h
EI
h
hhh
EI
u ficticio
D
63
1
2
11 3
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅=
r
Pero como B gira:
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛...
tt
ficticio
A
ficticio
D
AE
L
u
uP
F
−
⋅
=
r
r
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−= L
h
EI
h
u ficticio
A
3
22
r
tt AE
L
L
h
EI
h
Lh
EI
h
P
F
−...
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  1. 1. ESTRUCTURAS RETICULADAS Prof. Carlos Navarro Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
  2. 2. A B A’’ B’’ A’ B’’ Directriz sin deformar Directriz deformada A B A’’ B’’ A’ B’’ Directriz sin deformar Directriz deformada En el cálculo estructuras reticuladas suele despreciarse las deformaciones inducidas por los esfuerzos axiles y cortantes. Despreciar el primer tipo de esfuerzo equivale a decir que las barras de la estructura ni se acortan ni se alargan. A’’B’’=AB
  3. 3. CONCEPTO DE NUDO EN UNA ESTRUCTURA FORMADA POR BARRAS
  4. 4. ESTRUCTURAS RETICULADAS INTRASLACIONALES
  5. 5. CONCEPTO DE ESTRUCTURA INTRASLACIONAL A B C DA B C D A B C D P δ δ Los nudos no se desplazan, pero las secciones correspondientes sí giran
  6. 6. A B C D P P A B C A B CB’ C’
  7. 7. CALCULO DE ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES a) VIGAS CONTINUAS P q M’ M RA RB RC RD RE A B C E F G Viga
  8. 8. A P B1 M1 C1 M1 B2 M2 C2 E1 G M2 M’ M3 F M4 E2 P q M’ M RA RB RC RD RE A B C E F G Incógnitas: M1, M2, M3 y M4 )()( )()( )()( 21 21 21 antihoarioantihoario antihoarioantihoario antihoarioantihoario EE CC BB θθ θθ θθ = = = Ecuaciones:
  9. 9. M3 M4 M 034 =−+ MMM Viga MM3 M4 M4M3
  10. 10. 21 21 21 EEE CCC BBB AA RRR RRR RRR RR += += += = P q M’ M RA RB RC RD RE A B C E F G A P B1 M1 C1 M1 B2 M2 C2 E1 G M2 M’ M3 F M4 E2
  11. 11. B1A M P B2 CM )()( 21 antihoarioantihoario BB θθ = lEI blPab EI Ml oantihorari EI Ml EI ql oantihorari B B 6 )( 3 )( 324 )( 2 1 3 + −= −= θ θ 2 2 4 )( 16 l blPabql M + += A B C q l l a b P EJEMPLO:
  12. 12. B1A B1A M ql/2 ql/2 M/l M/l P B2 C B2 CM Pb/l Pa/l M/l M/l l M l Pa R l M l Pb l Mql R l Mql R C B A −↑= +++↑= −↑= 2 2
  13. 13. b) SEMIPÓRTICOS A B C M 2l l A B2 C M2 M1 B1 B M2 M1M ( ) ( ) EI lM horario EI lM lEI lM horario horariohorario B B BB 3 )( 224 2 )( )()( 1 2 2 2 2 1 21 = == = θ θ θθ 21 MMM += MMMM 5 3 5 2 12 ==
  14. 14. c) PÓRTICOS l B A D q l EI Ml EI Ml EI ql horario EI Ml horario horariohorario B B BB 6324 )( 3 )( )()( 3 2 1 21 −−= = = θ θ θθ 20 2ql M = 202 ql X ql Y AA == M B2 C M B1 M XA YA A
  15. 15. B A D C ql2 /20 B A D C ql/20 ql/2 ql/2 ql/20 ql/2 B ql/20
  16. 16. ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES CON ROTULAS P=20 kN 2 m 1 m 1 m A B C D L L L P M = P·L A B C D 6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m 20 kN/m 30 kN 50kN.m 10 kN A B C M D E G F 6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m 20 kN/m 30 kN 50kN.m 10 kN A B C M D E G F L L/4 3L/4 A B C D M E L/8 L L/4 3L/4 A B C D M E L/8
  17. 17. QQ P Q1 Q2 P Barra 1 Barra 2 Q1+Q2=P
  18. 18. P P d M=Pd M A B B A M
  19. 19. 2 m L=1 m L=1 m A C1 C2 DB Q1 Q2 Q1 Q2 P P=20 kN 2 m 1 m 1 m A B C D Incógnitas: 1 reacción vertical en A 1 reacción vertical en B 1 reacción vertical en D 1 momento en el empotramiento D 4 Ecuaciones de la estática: (1) Suma de fuerzas verticales nula (1) Suma de momentos en un punto igual a cero (1) Momentos en la rótula de una de las partes Igual a cero 3 PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1 Ecuación adicional: flecha en C1 igual a flecha en C2
  20. 20. P M=PL Q Q Q Q A B C1 C2 D P M=PL Q Q Q Q A B C1 C2 D L L L P M = P·L A B C D Incógnitas: 1 reacción vertical en A 1 reacción vertical en D 1 momento en el empotramiento A 1 momento en el empotramiento D 4 Ecuaciones de la estática: (1) Suma de fuerzas verticales nula (1) Suma de momentos en un punto igual a cero (1) Momentos en la rótula de una de las partes Igual a cero 3 PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1 Ecuación adicional: flecha en C1 igual a flecha en C2
  21. 21. A B1 Q N B2 C1 M Q N N Q C2 D Q N A B1 Q N B2 C1 M Q N N Q C2 D Q N L L/4 3L/4 A B C D M E L/8 L L/4 3L/4 A B C D M E L/8 Incógnitas: 1 reacción vertical en A 1 reacción horizontal en A 1 reacción vertical en D 1 reacción horizontal en D 1 momento en el empotramiento A 1 momento en el empotramiento D 6 Ecuaciones de la estática: (1) Suma de fuerzas verticales nula (1) Suma de fuerzas horizontales nula (1) Suma de momentos en un punto igual a cero (1) Momentos en una de las rótulas, de una de las partes de la estructura, igual a cero (1) Momentos en otra de las rótulas, de una de las partes de la estructura, igual a cero 5 PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1 Ecuación adicional: desplazamiento horizontal de B1 nulo
  22. 22. ESTRUCTURAS RETICULADAS TRASLACIONALES
  23. 23. Veamos con un ejemplo la filosofía que debemos utilizar para calcular estructuras traslacionales. F AB C D ESTRUCTURA REAL ESTRUCTURA DEFORMADA F AB C DC* D* a a
  24. 24. F AB C D ESTRUCTURA REAL MB Sean MC y MD los momentos flectores que aparecen en las secciones en contacto con los nudos
  25. 25. Si prescindimos de todas las cargas que actúan y suponemos que las barras estuviesen conectadas mediante articulaciones (rótulas) F AB C D AB C D
  26. 26. La estructura inicial se ha convertido en un mecanismo con un gdl AB C D El movimiento de este mecanismo viene determinado por un sólo parámetro, como es el desplazamiento CC*=DD* C* D*
  27. 27. El valor de este parámetro (CC* ó DD*) no es conocido a priori, pero si lo supusiéramos conocido (e idéntico al que se produce en la estructura real “a”) tendríamos perfectamente determinados los desplazamientos de los nudos de la estructura. AB C DC* D* Si, ahora, una vez que el mecanismo se ha movido de manera que el nudo C (y el D) ocupa la posición final que ocuparía en el caso de que estuviésemos considerando la estructura real, no estaríamos añadiendo nuevas coacciones al sistema porque ya se había movido a a
  28. 28. Pero, claro, en el caso del mecanismo, las secciones en contacto con la rótula que exista en un nudo giran diferente, cuando en la estructura real, las secciones de dos barras coincidentes en un nudo, tendrían que girar lo mismo. Si, ahora, colocáramos sobre el mecanismo una vez movido, las cargas que actúan sobre la estructura y, en las secciones en contacto con las rótulas los momentos flectores que, en la realidad, actúan sobre ellas (MB en B, MC en C* y MD en D*):
  29. 29. AB C DC* a a MB MC MD F ¡Obtendríamos la estructura deformada! D*
  30. 30. E A B C D q=20 kN/m F=80 kN8 m 4 m 6 m 2 m 6 m Veamos un ejemplo: Deducir las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantesy axiles y los movimientos De las secciones B y D en la estructura de la figura. La sección de las vigas es rectangular de 30 cm de ancho y 40 cm de canto y el material (hormigón) tiene un módulo de elasticidad de 20 Gpa.
  31. 31. E A B C q=20 kN/m F=80 kN8 m 4 m 6 m 2 m 6 m 2q 2q 2q 2q
  32. 32. E A B C q=20 kN/m F=80 kN 2q 2q ¿Podemos simplificar más aún la estructura? A B C q=20 kN/m F=80 kN 2q 2q
  33. 33. F=80 kN q=20 kN/m 2q 2q A B C C* B* a a M M a B1* A F=80 kN M C* B2* M q=20 kN/m 2q 2q = ( ) ( )oantihorarioantihorari ** BB 21 θθ =
  34. 34. a B1* A F=80 kN M C* B2* M q=20 kN/m 2q 2q ( ) EIEIEI M oantihorari* B 24 620 6 406 3 6 3 2 ⋅ − ⋅ +=θ ( ) 816 880 3 8 2 1 a EIEI M oantihorari* B − ⋅ +−=θ 460 83 14 =+ a EI M
  35. 35. E A B C q=20 kN/m F=80 kN 2q 2q 80 kN VA VE Tomando momentos en B de las fuerzas y momentos que actúan sobre la barra AB (sentido antihorario positivo): mkNM M ⋅−= =⋅+−⋅− 320 0480880 mkN,,EI ⋅=⋅⋅⋅= 320004030 12 1 1020 36 460 83 14 =+ a EI M m,a 4880=
  36. 36. Ley de momentos flectores 320 kN.m E A B C D q=20 kN/m F=80 kN 40 kN.m 320 kN.m
  37. 37. Ley de esfuerzos cortantes 80 kN E A B C D q=20 kN/m F=80 kN 120 kN 40 kN
  38. 38. Ley de esfuerzos axiles E A B C D q=20 kN/m F=80 kN 160 kN
  39. 39. Movimientos de la sección B: El desplazamiento horizontal será 0,488 m, el vertical nulo y el giro: a B1* A F=80 kN M ( ) rad, , EIEI oantihorari* B 02430 8 4880 16 880 3 3208 2 1 −=− ⋅ + ⋅ =θ La sección B gira en sentido horario 0,0243 rad
  40. 40. Movimientos de la sección D: El desplazamiento horizontal será 0,488 m. ( ) m,,v rad, EIEIEI horario D C 026250201310 01310 6 6320 24 620 3 640 2 3 =⋅↑= −= ⋅ − ⋅ − ⋅ =θ El desplazamiento vertical será suma de: a) El obtenido si la sección C del dintel no girara: mm, EI Lq v CD D 251 320008 220 8 44 1 = ⋅ ⋅ = ⋅ ↓= b) El de sólido rígido motivado por en giro de la sección C del dintel: m,,,vD 0250001250026250 =−↑= El giro de D será (suma del de la sección C más el causado por la sobrecarga que actúa sobre la ménsula: ( ) rad, EI ,oantihorariD 01220 6 220 0130 3 = ⋅ −=θ
  41. 41. q=20 kN/m P1=60 kN P2=40 kN A B C D E 2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m 5 m En el pórtico de la figura, todas las barras tienen la misma rigidez EI=40000 kN.m. Cuando actúan las cargas indicadas, determinar: a) Leyes de esfuerzos en la estructura b) Desplazamiento horizontal en C
  42. 42. A B C D E Estructura con un grado de traslacionalidad a a a B* C* D*
  43. 43. A B C D E a a a B* C* D* M2 M1 M3
  44. 44. M2 M1 B2* C1* A B a B1*M1 q M3M2 C2* D1* a M3 E D2* P1 P2 EI LM EI LP EI LM oantihorari L a EI qL EI LM oantihorari B B 6163 )( 243 )( 2 2 11 3 1 2 1 +−−= −+= θ θ Ec.1 EI LM EI LP EI LM oantihorari EI LM EI LM EI LP oantihorari C C 6163 6316 3 2 22 12 2 1 2 1 +−=θ +−=θ )( )( Ec.2 L a EI LM oantihorari EI LM EI LP EI LM oantihorari D D −= −+−= 3 )( 6163 )( 3 2 2 23 2 1 θ θ Ec.3
  45. 45. EI LM EI LP EI LM oantihorari L a EI qL EI LM oantihorari B B 6163 )( 243 )( 2 2 11 3 1 2 1 +−−= −+= θ θ Ec.1 EI LM EI LP EI LM oantihorari EI LM EI LM EI LP oantihorari C C 6163 6316 3 2 22 12 2 1 2 1 +−=θ +−=θ )( )( Ec.2 L a EI LM oantihorari EI LM EI LP EI LM oantihorari D D −= −+−= 3 )( 6163 )( 3 2 2 23 2 1 θ θ Ec.3 ¡3 ecuaciones con cuatro incógnitas! aMMM 321
  46. 46. ¡La ecuación que falta la obtenemos aplicando las ecuaciones de la estática! A B a B1*M1 q a M3 E D2* VA HA VE HE Suma de momentos en B1* igual a cero: Suma de momentos en D2* igual a cero: 0 2 2 1 =−+ LH qL M A 03 =+ LHM E Junto con: qLHH AE −=− 0 2 3 2 2 1 =+−+ MqL qL M Ec. 4
  47. 47. Resolviendo el sistema de las cuatro ecuaciones con las 4 incógnitas: ma mkNM mkNM mkNM 061,0 25,156 25,31 75,93 3 2 1 = ⋅= ⋅= ⋅=
  48. 48. q P1 P2 A B C D E 106,25 kN.m 31,25 kN.m 43,75 kN.m 156,25 kN.m Ley de momentos flectores
  49. 49. q P1 P2 A B C D E 68,75 kN 31,25 kN 5 kN 55 kN 5 kN 45 kN 31,25 kN Ley de esfuerzos cortantes
  50. 50. q P1 P2 A B C D E 5 kN 31,25 kN 45 kN Ley de esfuerzos axiles
  51. 51. ESTRUCTURAS RETICULADAS ATIRANTADAS
  52. 52. AB C D P EI EtAt L h/2
  53. 53. AB C D = AB C D P AB F F F F ∆BA=F.L/ EtAt P
  54. 54. AB C D P AB F F F F ∆BA=F.L/ EtAt AB C D 1 1 ESTADO REAL ESTADO FICTICIO Teorema de reciprocidad: real A ficticio D ficticio A uuPuF rrr ⋅−=⋅+⋅− 1
  55. 55. real A ficticio D ficticio A uuPuF rrr ⋅−=⋅+⋅− 1 tt real A real B real ABA AE/LFuuu ⋅==−=∆ rrr tt real A AE/LFu ⋅= r tt ficticio D ficticio A AE LF uPuF ⋅ −=⋅+⋅− rr tt ficticio A ficticio D AE L u uP F − ⋅ = r r ¡Sólo es preciso resolver el estado ficticio para obtener la fuerza en el tirante!
  56. 56. AB C D 1 1 ESTADO FICTICIO h h h ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−= L h EI h hhhhhLhhh EI u ficticio A 3 2 3 2 2 1 3 2 2 11 2 r ( )hL EI Lh Lhh L hL EI v ficticio A +=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅⋅+⋅⋅↓= 22 1 2 1 ( ) ( )hL EI h hL EI Lh L ficticio B ficticio B +=⇒+=⋅ 22 θθ
  57. 57. AB C D 1 1 ESTADO FICTICIO h h h EI h hhh EI u ficticio D 63 1 2 11 3 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅⋅= r Pero como B gira: ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−=+−= 2326 223 Lh EI h hL EI h EI h u ficticio D r ( )hL EI hficticio B += 2 θ
  58. 58. tt ficticio A ficticio D AE L u uP F − ⋅ = r r ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−= L h EI h u ficticio A 3 22 r tt AE L L h EI h Lh EI h P F −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⋅− = 3 2 23 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= 23 2 Lh EI h u ficticio D r F>0, luego el tirante trabaja a tracción, como habíamos supuesto

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