Optimización de costos de transporte

1
Unidad 2
Programación Lineal Aplicaciones

2
El objetivo general es encontrar el mejor plan de distribución, es decir, la cantidad que se debe enviar por cada una de las rutas desde los puntos de suministro hasta los puntos de demanda. El “mejor plan” es aquel que minimiza los costos totales de envío, produzca la mayor ganancia u optimice algún objetivo corporativo. Se debe contar con:
i)Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. ii) Costo de transporte unitario de mercadería desde cada fuente a cada destino.
2.1 Modelo de Transporte

3
También es necesario satisfacer ciertas restricciones:
1. No enviar más de la capacidad especificada desde cada punto de suministro (oferta).
2. Enviar bienes solamente por las rutas válidas.
3. Cumplir (o exceder) los requerimientos de bienes en los puntos de demanda.

4
Esquemáticamente se podría ver como se muestra en la siguiente figura
Destinos
Fuentes
1
1
2
2
n
m
s2
sm
d2
s1
d1
dn
.
.
.
.
.
.
Xij: cantidad transportada desde la fuente i al destino j
C11, X11
Cmn, Xmn
Cij: Costo del transporte unitario desde la fuente i al destino j
donde
Gráficamente: Para m fuentes y n destinos

5
Modelo general de PL que representa al modelo de Transporte
x o
x d
x s
Z c x
ij
j
m
i
ij
i
n
j
ij
m
i
n
j
ij ij
1
1
1 1
j=1,2,...,n
i=1,2,...,m
El modelo implica que al menos la oferta debe ser igual a la demanda
para toda i y j
minimizar
s a

6
Modelo general de PL que representa al modelo de Transporte
Modelo de transporte equilibrado: Oferta = Demanda
i
n
j
ij x S
1
j=1, 2, 3,....,n
j
m
i
ij x D
1
i=1, 2, 3,....,m
0 ij x para toda i y j

Solución del Modelo de Transporte

8
Algoritmos Específicos
2.1.1 Regla de la esquina noroeste (MEN)
2.1.2 Método por aproximación de Vogel (MAV)
2.1.3 Método del costo mínimo (MCM)
2.1.4 Método del paso secuencial y
2.1.5 DIMO (método de distribución modificada)

9
Descripción de los algoritmos
La regla de la esquina noroeste, el método de aproximación de Vogel y el método del costo mínimo son alternativas para encontrar una solución inicial factible.
El método del escalón y el DIMO son alternativas para proceder de una solución inicial factible a la óptima.
Por tanto, el primer paso es encontrar una solución inicial factible, que por definición es cualquier distribución de ofertas que satisfaga todas las demandas

10
Descripción de los algoritmos
Una vez obtenida una solución básica factible, el algoritmo procede paso a paso para encontrar un mejor valor para la función objetivo.
La solución óptima es una solución factible de costo mínimo
Para aplicar los algoritmos, primero hay que construir una tabla de transporte.

11
Tabla Inicial
Destinos
Origen 1 2 3 4 n Ofertas
1 C11 C12 C13 C14 .... C1n
2 C21 C22 C23 C24 .... C2n
3 C31 C32 C33 C34 .... C3n
... .... ..... .... .... ....
m Cm1 Cm2 Cm3 Cm4 .... Cmn
Demanda

12
Tabla Inicial del Ejemplo
Plantas
Puertos 1 2 3 4 Oferta
1 12 13 4 6
500
2 6 4 10 11
700
3 10 9 12 4
800
Demanda 400 900 200 500 2000

13
2.1.1 Regla de la esquina Noroeste
Se inicia el proceso desde la esquina izquierda superior
Se ubican tantas unidades como sea posible en la ruta
Cantidad de Unidades = Mínimo(disponibilidad, demanda)
Las siguientes asignaciones se hacen o bien recorriendo hacia la derecha o bien hacia abajo.
Las demandas se satisfacen recorriendo sucesivamente de izquierda a derecha y las ofertas se destinan recorriendo de arriba hacia abajo.

14
Primera asignación
Plantas
1 12 13 4 6
400 100 500
2 6 4 10 11
700
3 10 9 12 4
800
Demanda 0 400 900 200 500 2000

15
Hasta cuarta asignación
Plantas
1 12 13 4 6
400 100 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
100 700 800
Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

16
Esquina Noroeste: Solución final factible
Plantas
1 12 13 4 6
400 100 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
100 200 500 0 800
Demanda 0 400 0 900 200 500 2000
Valor FO: 400*12+100*13+700*4+100*9+200*12+500*4= $14.200

17
2.1.2 Método de aproximación de Vogel (MAV)
MAV usa información de costos mediante el concepto de costo de oportunidad para determinar una solución inicial factible.
Seleccionar en una fila la ruta más barata y la que le sigue. Hacer su diferencia (penalidad), que es el costo adicional por enviar una unidad desde el origen actual al segundo destino y no al primero.
En nuestro caso, para el puerto1, C13 y C14; Penalidad = 6 - 4
MAV asigna un costo de penalidad por no usar la mejor ruta en esta fila.

18
2.1.2 Método de aproximación de Vogel
Lo anterior se repite para cada fila y cada columna, esto es, determinar todas las penalidades
Los pasos iterativos de MAV son los siguientes:
1. Identificar la fila o columna con la máxima penalidad.
2.Colocar la máxima asignación posible a la ruta no usada que tenga menor costo en la fila o columna seleccionada en el punto 1 (los empates se resuelven arbitrariamente)
3. Reajustar la oferta y demanda en vista de esta asignación.
4. Eliminar la columna en la que haya quedado una demanda 0 (o la fila con oferta 0), de consideraciones posteriores.
5. Calcular los nuevos costos de penalidad.

19
El MAV continúa aplicando este proceso en forma sucesiva hasta que se haya obtenido una solución factible.
Los resultados obtenidos se muestran en las siguientes tablas

20
Plantas
Puertos 1 2 3 4 Oferta Penalidades
1 12 13 4 6 2
500
2 6 4 10 11 2
700
3 10 9 12 4 5
800
Demanda 400 900 200 500 2000
Penalidades 4 5 6 2
Calculadas todas las penalidades, la mayor
corresponde a la columna 3 (penalidad = 6)
Paso 1: Identificar máxima penalidad (fila o columna)
Paso 0: Cálculo de penalidades

21
Paso 2: Asignación de unidades (MIN(oferta,demanda))
Paso 3:Reajuste de oferta y demanda
Plantas
1 12 13 4 6
200 300 500
2 6 4 10 11
700
3 10 9 12 4
800
Demanda 400 900 0 200 500 2000

22
Paso 4: Eliminar columna (fila) con demanda (oferta) 0
Plantas
1 12 13 4 6
200 300 500
2 6 4 10 11
700
3 10 9 12 4
800
Demanda 400 900 0 200 500 2000

23
Paso 5: Calcular los nuevos costos de penalidad
Plantas
Puertos 1 2 3 4 Oferta Penalidades
1 12 13 4 6 6
200 300 500
2 6 4 10 11 2
700
3 10 9 12 4 5
800
Demanda 400 900 0 200 500 2000
Penalidades 4 5 2

24
Repitiendo los pasos anteriores, finalmente se llega a la siguiente
solución
Plantas
1 12 13 4 6
200 300 300 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
400 200 200 600 800
Demanda 400 900 0 200 200 500 2000
¿Es solución factible? ¿m + n - 1 = 6? SI
Costo: 200*4+300*6+700*4+400*10+200*9+200*4 = $12.000

25
2.1.3. Método del Costo Mínimo
1.Dada una tabla de transporte
2.Asignar la mayor cantidad de unidades a la variable (ruta) con el menor costo unitario de toda la tabla.
3.Tachar la fila o columna satisfecha.
4.Ajustar oferta y demanda de todas las filas y columnas
5.Si hay más de una fila o columna no tachada repetir los puntos 2, 3 y 4
Algoritmo
Fundamento
Asignar la mayor cantidad de unidades a una ruta disponible de costo mínimo

26
2.1.3. Método del Costo Mínimo (cont.)
Ejemplo: Aplicar MCM a la tabla de transporte
Plantas
1 12 13 4 6
500
2 6 4 10 11
700
3 10 9 12 4
800
Demanda 400 900 200 500 2000
Unidades a asignar = MIN(200,400) = 200
Paso 2 Existen tres rutas costo mínimo. Elijamos la 1_3

27
Paso 3: Tachar fila o columna (columna 3)
Plantas
1 12 13 4 6
200 300 500
2 6 4 10 11
700
3 10 9 12 4
800
Demanda 400 900 0 200 500 2000
Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a paso 2
Ajustar ofertas y demandas (fila 1 y columna 3)
Paso 5
Paso 4

28
Paso 4: Tachar ajustar fila 3 y columna 4
Plantas
1 12 13 4 6
200 300 500
2 6 4 10 11
700
3 10 9 12 4
500 300 800
Demanda 400 900 0 200 0 500 2000
Paso 5 Aún quedan más de una fila o columna sin tachar. Ir a paso 2
Paso 2: Ruta de costo menor -> 3_4 (ó 2_2)
Unidades = MIN(500,800) = 500
Paso 3: Tachar columna 4

29
1 12 13 4 6
200 300 500
2 6 4 10 0
700 0 700
3 10 9 12 4
500 300 800
Demanda 400 200 900 0 200 0 500 2000
Paso 2: Ruta de costo menor -> 2_2
Unidades = MIN(700,900) = 300
Paso 3: Tachar fila2

30
1 12 13 4 6
200 300 500
2 6 4 10 0
700 0 700
3 10 9 12 4 100
200 500 300 800
Demanda 400 200 900 0 200 0 500 2000
Unidades = MIN(200,300) = 200
Paso 3: Tachar columna 2

31
1 12 13 4 6
200 300 500
2 6 4 10 0
700 0 700
3 10 9 12 4 100 0
100 200 500 300 800
Demanda 300 400 200 900 0 200 0 500 2000
Unidades = MIN(400,100) = 100
Paso 3: Tachar fila 3

32
1 12 13 4 6 0
300 200 300 500
2 6 4 10 0
700 0 700
3 10 9 12 4 100 0
100 200 500 300 800
Demanda 300 400 200 900 0 200 0 500 2000
Paso 5 Queda sólo una fila sin tachar. Terminar
Unidades = MIN(300,300) = 300
Paso 3: Tachar fila 1 ó columna 1 (sólo una de ellas)

33
Comparación de los resultados
¿Es solución factible? ¿m + n - 1 = 6? SI
Costo: 300*12+200*4+700*4+100*10+200*9+500*4 = $12.000
Método Rutas Costo MEN 6 $14.200 MAV 6 $12.000 MCM 6 $12.000
Los tres métodos entregan soluciones básicas factibles, pero ninguno asegura que la solución sea óptima.
Conclusión

34
2.1.4. Método de Pasos Secuenciales
Este método comienza con una solución inicial factible.
En cada paso se intenta enviar artículos por una ruta que no se haya usado en la solución factible actual, en tanto se elimina una ruta usada actualmente.
En cada cambio de ruta debe cumplirse que:
1. La solución siga siendo factible y
2. Que mejore el valor de la función objetivo
El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutas que mejoren el valor de la función.
Fundamento

35
2.1.4. Método de pasos secuenciales (cont..)
Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM) para crear una trayectoria única del paso secuencial. Usar estas trayectorias para calcular el costo marginal de introducir a la solución cada ruta no usada.
Si todos los costos marginales son iguales o mayores que cero, terminar; se tendrá la solución óptima. Si no, elegir la celda que tenga el costo marginal más negativo (empates se resuelven arbitrariamente)
Usando la trayectoria del paso secuencial, determine el máximo número de artículos que se pueden asignar a la ruta elegida en el punto 2 y ajustar la distribución adecuadamente.
Regrese al paso 1
Algoritmo
1
2
3
4

36
a) Ponga un signo + en la celda de interés no ocupada b) Ponga un signo - en una celda usada de la misma fila c) Ponga un + en una celda usada de la misma columna El proceso continúa alternando los signos + y - tanto en las filas como en las columnas hasta que se obtenga una sucesión de celdas (trayectoria) que satisfagan dos condiciones 1. Hay un signo + en la celda desocupada original de interés, y 2. Cualquier fila o columna que tenga un signo + debe tener también un signo - y viceversa.
Algoritmo
Paso 1

37
Algoritmo Paso 1
Plantas
1 12 13 4 6
400 100 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
100 200 500 0 800
Demanda 0 400 0 900 200 500 2000
Solución básica factible obtenida aplicando el método de la Esquina Noroeste

38
Algoritmo Paso 1
Plantas
1 12 13 4 6
400 100 - + 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
100 + 200 - 500 0 800
Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000
Trayectoria 1: +C13-C12+C32-C33

39
Algoritmo Paso 1
Plantas
1 12 13 4 6
400 100 - + 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
100 + 200 - 500 0 800
Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000
1: +(4)-(13)+(9)-(12)= -12 2: +(6)-(13)+(9)-(4) = -2
3: +(6)-(4)+(13)-(12)= 3 4: +(10)-(4)+(9)-(12) = 3
5: +(11)-(4)+(9)-(4) = 12 6: +(10)-(9)+(13)-(12)= 2
Costos de las Trayectorias

40
Algoritmo
Paso 2
1: +(4)-(13)+(9)-(12)= -12 2: +(6)-(13)+(9)-(4) = -2 3: +(6)-(4)+(13)-(12)= 3 4: +(10)-(4)+(9)-(12) = 3 5: +(11)-(4)+(9)-(4) = 2 6: +(10)-(9)+(13)-(12)= 2
La solución factible NO es óptima !! Se selecciona la trayectoria 1 (costo marginal más negativo)

41
Algoritmo Paso 3 (Generación de la nueva tabla)
¿Cuántas unidades se pueden asignar a la ruta elegida?
Acción Ruta Unidades disponibles en
celdas decrecientes
Aumentar 1 unidad 1_3
Disminuir 1 unidad 1_2 100
Aumentar 1 unidad 3_2
Disminuir 1 unidad 3_3 200

42
Algoritmo
Plantas
1 12 13 4 6
400 - 100 + 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
200 + 100 - 500 0 800
Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000
Paso 3 (Generación de la nueva tabla)
Costo: $13.000

43
Algoritmo Paso 4
Volver al Paso 1:
Para cada trayectoria evaluar costo marginal
Plantas
1 12 13 4 6
400 100 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
200 100 500 0 800
Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

44
Algoritmo Paso 2: Elección de CMg menor
Plantas
1 12 13 4 6
400 +12 100 +10 100 500
2 6 4 10 11
-9 700 +3 +12 0 700
3 10 9 12 4
-10 200 100 500 0 800
Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000
La celda más negativa es c 31 (-10) y la trayectoria es:
C31 – C33 + C13 – C11

45
¿Cuántas unidades se pueden asignar a la ruta elegida?
Acción Ruta Unidades disponibles en
celdas decrecientes
Aumentar 1 unidad 31
Disminuir 1 unidad 33 100
Aumentar 1 nidad 13
Disminuir 1 unidad 11 400

46
Costo: $12.000
Plantas
1 12 13 4 6
300 200 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
100 200 500 0 800
Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

47
Algoritmo Paso 4
Volver al Paso 1:
Para cada trayectoria evaluar costo marginal
Plantas
1 12 13 4 6
300 200 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
100 200 500 0 800
Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

48
Algoritmo Paso 2: Determinar costos marginales
Todas rutas son no negativas (positivas o cero)
Solución factible óptima!!! $12.000
Compare esta solución con la obtenida con MAV y MCM ¿ ...?
Plantas
1 12 13 4 6
300 +2 200 0 100 500
2 6 4 10 11
+1 700 +13 +12 0 700
3 10 9 12 4
100 200 +10 500 0 800
Demanda 0 400 0 900 0 200 0 500 2000

49
2.1.5. Método de Distribución Modificada (DIMO)
Algoritmo
1. Usar la solución actual (NE, MAV o MCM) y las siguientes operaciones (a) y (b) para determinar el costo marginal de enviar material para cada una de las rutas no usadas.
Asociar a cada fila un índice ui y a cada columna un índice vj
a) Hacer u1 = 0. Encuéntrese los índices de las filas u2, ..., um y los índices de las columnas v1, ...., vn tales que cij = ui + vj para cada celda usada.
b) Sea eij = cij - (ui+vj) para cada celda no usada; eij será el costo marginal de introducir la celda (ruta) i, j a la solución.
Los pasos 2 a 4 son los mismos que en el método secuencial.

50
Aplicar el algoritmo al problema en estudio y comparar resultados obtenidos con los métodos anteriores Comentar resultados ¿Qué explica que existan dos soluciones óptimas factibles?

51
Aplicación
Costo por
Ruta en uso motor ($) Ecuación
11 12 u1 + v1 = 12
12 13 u1 + v2 = 13
22 4 u2 + v2 = 4
32 9 u3 + v2 = 9
33 12 u3 + v3 = 12
34 4 u3 + v4 = 4
Plantas
1 12 13 4 6
400 100 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
100 200 500 700 800
Demanda 0 400 0 900 200 500 2000
Paso 0: Asociar índices
ui
vj

52
Paso1.a) Solucionar la ecuación
Existen 6 ecuaciones y siete variables entonces se hace u1 = 0 (puede ser cualquiera) y se determina el resto de los índices
v1 = 12 v2 = 13 u2 = - 9 u3 = -4 v3 = 16 v4 = 8
Paso 1.b) Calcular los costos marginales para cada celda no usada.
eij = cij - (ui + vj)

53
Costos marginales para las celdas no usadas.
1) e13 = c13 - (u1 + v3)= 4 - (0 + 16) = -12
2) e14 = c14 - (u1 + v4)= 6 - (0 + 8) = -2
3) e21 = c21 - (u2 + v1)= 6 - (-9 + 13) = 2
4) e23 = c23 - (u2 + v3)= 10 - (-9 + 16) = 3
5) e24 = c24 - (u2 + v4)= 11 - (-9 + 8) = 12
6) e31 = c31 - (u3 + v1)= 10 - (-4 + 12) = 2

54
Plantas
1 12 13 4 6
400 100 -12 -2 100 500
2 6 4 10 11
2 700 3 12 0 700
3 10 9 12 4
2 100 200 500 700 800
Demanda 0 400 0 900 200 500 2000
Paso 2: Prueba de Optimalidad.
Hay costos negativos por lo tanto no es óptima
La ruta de reasignación es: +C13 -C33 +C32 -C12 (más negativo, -12)

55
Paso 3: Asignación de unidades a la ruta elegida.
Unidades disponibles a mover:
Disminuir 1 unidad C12 100
Plantas
1 12 13 4 6
400 100 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
200 100 500 700 800
Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

56
Vuelta al Paso 1:
Costo por
11 12 u1 + v1 = 12
13 4 u1 + v3 = 4
22 4 u2 + v2 = 4
32 9 u3 + v2 = 9
33 12 u3 + v3 = 12
34 4 u3 + v4 = 4
Se hacer u1 = 0 y se determina el resto de los índices
v1 = 12 v2 = 1 v3 = 4 v4 = -4 u2 = 3 u3 = 8
Paso 1.b) Calcular los costos marginales para cada
celda no usada. eij = cij - (ui + vj)

57
1) e12 = c12 - (u1 + v2)= 13 - (0 + 1) = 12
2) e14 = c14 - (u1 + v4)= 6 - (0 - 4) = 10
3) e21 = c21 - (u2 + v1)= 6 - (3 + 12) = -9
4) e23 = c23 - (u2 + v3)= 10 - (3 + 4) = 3
5) e24 = c24 - (u2 + v4)= 11 - (3 - 4) = 12
6) e31 = c31 - (u3 + v1)= 10 - (8 + 12) = -10

58
Hay costos negativos por lo tanto no es óptima
La ruta de reasignación es: +C31 -C33 +C13 -C11
Plantas
1 - 12 13 + 4 6
400 19 100 1 100 500
2 6 4 10 11
0 700 3 12 0 700
3 + 10 9 - 12 4
-1 200 100 500 700 800
Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

59
Paso 3: Asignación de unidades a la ruta elegida.
Unidades disponibles a mover:
Plantas
1 12 13 4 6
300 200 100 500
2 6 4 10 11
700 0 700
3 10 9 12 4
100 200 500 700 800
Demanda 0 400 0 900 200 500 2000

60
Vuelta al Paso 1:
u1 = 0 y se determina el resto de los índices
v1 = 12 v2 = 11 v3 = 4 v4 = 6 u2 = - 7 u3 = -2
Paso 1.b) Calcular los costos marginales para cada
celda no usada. eij = cij - (ui + vj)
Costo por
11 12 u1 + v1 = 12
13 4 u1 + v3 = 4
22 4 u2 + v2 = 4
31 10 u3 + v1 = 10
32 9 u3 + v2 = 9
34 4 u3 + v4 = 4

61
1) e12 = c12 - (u1 + v2)= 13 - (0 + 11) = 2 2) e14 = c14 - (u1 + v4)= 6 - (0 + 6) = 0 3) e21 = c21 - (u2 + v1)= 6 - (-7 + 12) = 1 4) e23 = c23 - (u2 + v3)= 10 - (-7 + 4) = 13 5) e24 = c24 - (u2 + v4)= 11 - (-7 + 6) = 12 6) e33 = c33 - (u3 + v3)= 12 - (-2 + 4) = 10

62
No hay costos negativos por lo tanto es óptima
VO = 300*12+200*4+700*4+100*10+200*9+500*4=$12.000
Plantas
1 12 13 4 6
300 0 200 0 100 500
2 6 4 10 11
1 700 13 12 0 700
3 10 9 12 4
100 200 10 500 700 800
Demanda 0 400 0 900 200 500 2000
Ver Transporte RPG Equilibrio

63
2.1.6. Modelo de Transporte: Situaciones Especiales
1. Solución en problemas de maximización de transporte 2. El caso en que la oferta excede a la demanda. 3. Eliminación de rutas inaceptables. 4. Degeneración en problemas de transporte. 5. Propiedades especiales del modelo de transporte

64
1. Solución en problemas de maximización de transporte.
a)Se utilizan los beneficios marginales en lugar de los costos. Se asignará unidades a la celda que tenga el mayor valor marginal y el procedimiento concluirá cuando todas las rutas tengan valores marginales negativos. b) Convertir la tabla de beneficios en una tabla de costo: Se busca el beneficio mayor, en cada celda se le resta al mayor el beneficio de la celda. Ejemplo:

65
Tabla de beneficios
14 19 12
17 19 15
16 20 11
6 1 8
3 1 5
4 0 9
2
3
Destinos
Fuentes
1 2 3
1
Destinos
1 2 3
Fuentes
1
2
3
Mayor = 20
Tabla de costo

66
2. El caso en que la oferta excede a la demanda.
Se utiliza un destino ficticio en la tabla de transporte. Se considera como nulo el costo de enviar una unidad a dicho destino desde cada una de las fuentes (orígenes).
Si la demanda es mayor que la oferta el problema no tiene solución factible, sin embargo el administrador podría abastecer toda la demanda que sea posible a un costo mínimo.
Se utiliza un origen ficticio. El costo de abastecer cualquier destino desde dicho origen será cero. Sin embargo podría haber un cargo por orden no cubierta.
Ver Transporte RPG (O>D) y (O<D

67
3. Eliminación de rutas inaceptables.
Se asocia a una ruta no aceptable un costo lo suficientemente alto para que no sea atrayente la ruta en cuestión. El costo M
Por ejemplo: producir en abril para vender en febrero del mismo año.
4. Degeneración en problemas de transporte.
Se dice que un problema se degenera cuando hay menos de m + n - 1 rutas ocupadas. Esto puede ocurrir cuando simultáneamente se satisface una demanda y se agota una oferta.
Ver Transporte RPG (inaceptable)

68
5. Propiedades especiales del modelo de transporte
Todo problema de transporte es posible resolverlo mediante algoritmos que usan sólo la adición y la sustracción.
Si todas las ofertas y demandas tienen valores enteros en un problema de transporte, los valores óptimos de las variables de decisión serán también enteros.

69
Ejercicios
Suponer que se tienen tres fábricas M1, M2 y M3 que producen 39, 48 y 33 toneladas respectivamente, de un cierto producto que debe llevarse a cuatro destinos, D1, D2, D3 y D4, los cuales requieren 40, 37, 18 y 25 toneladas.
Los costos están dados por la siguiente tabla:
1
D1
D2
D3
D4
M1
2
3
1
2
M2
1
4
7
6
M3
8
9
4
5

70
Planificación de la producción:
2
Periodo Capacidad de Producción
Máxima (unidades)
Demanda a
satisfacer
Costo de
Producción ($)
Costo de
Almacenaje ($)
1 1200 900 15 1.2
2 800 800 18 1.4
3 1100 1000 17 1.1
4 900 700 20 1.5
¿Cuánto hay que producir en cada periodo para satisfacer la
demanda al mínimo costo (tanto de producción como de
almacenaje)?.
Supuesto: No existe inventario inicial ni final.
Plantear el problema usando el modelo de transporte.
Encuentre las respuestas usando Solver.

71
Situación:
Asignar m trabajos (o trabajadores) a n máquinas.
Un trabajo i (=1, 2, 3 ,...,m) cuando se asigna a la máquina j (=1,2,....,n) incurre en un costo cij.
El objetivo es asignar los trabajos a las máquinas uno a uno al menor costo.
La formulación de este problema puede considerarse como un caso especial del modelo de transporte.
2.2 Modelo de Asignación

72
Descripción
Los trabajos representan las “fuentes” y las máquinas los “destinos”
La oferta disponible en cada fuente es 1 como también lo es la demanda en cada destino.
cij es el costo de transportar (asignar) el trabajo i a la máquina j
El costo puede representar también características de competencia de cada trabajador

73
Descripción
En el caso que un trabajo no deba ser asignado (porque no cumple con los requisitos) a una máquina (actividad) en particular, este costo debe tener un valor alto (M)
En el caso de existir desequilibrio, esto es, más trabajos que máquinas o más máquinas que trabajos, hay que equilibrar con máquinas o trabajos figurados (ficticios), logrando de esta forma que m = n

74
Expresión matemática del modelo
0, si el i-ésimo trabajo no se asigna a la j-ésima máquina
1, si el i-ésimo trabajo se asigna a la j-ésima máquina
Xij =
Máquina 1 2 ….. n
C11
C12
…..
C1n
C21
C22
…..
C2n
…..
…..
…..
…..
Cn1
Cn2
…..
Cnn
1
2
…..
n
Trabajo
1
1
…..
1
1 1 ….. 1

75
Por lo tanto el modelo está dado por:
minimizar z =
n
i
n
j
ij ij c x
1 1
sujeto a 1
1
n
j
ij x i=1,2, ...,n
1
1
n
i
ij x j=1,2,..n
xij = 0 ó bien 1

76
Ejemplo:
La gerencia general de RPG (ejemplo de transporte) con sede en Bruselas, este año, como parte de su auditoría anual, decidió que cada uno de sus cuatro vicepresidentes visite e inspeccione cada una de sus plantas de ensamblaje durante las primeras dos semanas de junio. Las plantas están ubicadas en Leipzig (Alemania), Nancy (Francia, Lieja (Bélgica) y Tilburgo (Holanda).
Para decidir a que vicepresidente enviar a una planta determinada, se asignaron puntos (costos) a cada uno de ellos de acuerdo a su experiencia, habilidades lenguísticas, tiempo que durará la inspección y otros. Estos datos se muestran en la siguiente tabla:

77
Ejemplo
PLANTA
Leipzig (1) Nancy(2) Lieja (3) Tilburgo(4)
Finanzas (F) (1) 24 10 21 11
Mercadotecnia(M) (2) 14 22 10 15
Operaciones (O) (3) 15 17 20 19
Personal(P) (4) 11 19 14 13
Plantear el modelo de PL

78
Ejemplo: Modelo de PL
MIN Z = 24 X11 + 10 X12 + ... + 14 X43 + 13 X44
sujeto a:
a) Oferta X11 + X12 + X13 + X14 = 1
X21 + X22 + X23 + X24 = 1
X31 + X32 + X33 + X34 = 1
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
b) Demanda X11 + X21 + X31 + X41 = 1
X12 + X22 + X32 + X42 = 1
X13 + X23 + X33 + X43 = 1
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
c) No negatividad Xij >= 0 i=1,...,4, j=1,....,4

79
Métodos de Solución
Existen varias formas de obtener la solución:
a) Listar todas las alternativas posibles con sus costos y seleccionar la de menor costo (algoritmo exhaustivo)
b) Método Húngaro: método iterativo
a) Listar todas las alternativas:
¿Cuántas alternativas posibles existen?
- El primer trabajo se puede asignar de n formas formas posibles
- El segundo de n-1 formas
- El último sólo de 1 forma
En total existen n! formas de hacer la asignación completa

80
Método Húngaro:
Paso 0: Construir la matriz de asignación
Para obtener la solución óptima cada nueva matriz de asignación debe satisfacer:
Propiedad 1: Todos los números son no negativos
Propiedad 2: Cada fila y cada columna tiene al menos una celda con
un valor cero
Paso 1:
a) Reducción de filas: Restar el costo menor de cada fila a la fila correspondiente y/o
b) Reducción de columnas: Restar el costo menor de cada columna a la columna correspondiente
Con esto se crea una nueva matriz con las propiedades 1 y 2

81
Método Húngaro:
Paso 2: Determinar si la matriz es reducida (Prueba de Optimalidad).
Trazar el menor número de líneas rectas sobre las filas y columnas para cubrir todos los ceros.
Si el número de rectas es igual al número de filas o columnas se dice que esta matriz es reducida.
Si la matriz no es reducida pasar al paso 3, sino pasar al paso 4

82
Método Húngaro:
Paso 3: Movimiento
De todas las celdas no cruzadas identifique una con el menor valor y haga lo siguiente:
a) Restar el valor a cada celda no cruzada
b) Sumar el valor a cada celda de intersección de rectas
Volver al paso 2

83
Método Húngaro:
Paso 4: Solución óptima (Asignación)
Primero se asigna a las que tengan sólo una alternativa, se van marcando y así sucesivamente
Determinar el costo: Se suman todos los costos correspondientes a las asignaciones (o sumar todos los pi y qj).
¿Qué valor se obtiene al sumar todos los valores que se restaron en las reducciones de filas y columnas?

84
Ejemplo: Aplique el método Húngaro al ejemplo
1 2 3 4 pi
F 24 10 21 11
M 14 22 10 15
O 15 17 20 19
P 11 19 14 13
qj
Paso 0: Matriz de Asignación
Nota: En negrita los menores de cada fila

85
Paso 1: Reducción de filas y columnas
1 2 3 4 pi
F 14 0 11 1 10
M 4 12 0 5 10
O 0 2 5 4 15
P 0 8 3 2 11
qj 1
1 2 3 4 pi
F 14 0 11 0 10
M 4 12 0 4 10
O 0 2 5 3 15
P 0 8 3 1 11
qj 1

86
Paso 2: Determinar si la matriz es reducida
1 2 3 4 pi
F 14 0 11 0 10
M 4 12 0 4 10
O 0 2 5 3 15
P 0 8 3 1 11
qj 1
No es reducida: sólo tres rectas (para ser reducida deben ser 4)
Ir al paso 3

87
Paso 3: Movimiento (Seleccionar el menor: restar a las
no tachadas, sumar a las intersecciones)
1 2 3 4 pi
F 14 0 11 0 10
M 4 12 0 4 10
O 0 2 5 3 15
P 0 8 3 1 11
qj 1
1 2 3 4 pi
F 15 0 12 0 10
M 4 11 0 3 10
O 0 1 5 2 15
P 0 7 3 0 11
qj 1 + 1
Volver al paso 2 !!

88
Iteración paso 2:
1 2 3 4 pi
F 15 0 12 0 10
M 4 11 0 3 10
O 0 1 5 2 15
P 0 7 3 0 11
qj 1 + 1
Se tachan todos los ceros con cuatro rectas, por tanto es óptima
Ir al paso 4 !!

89
Paso 4: Asignación
1 2 3 4 pi
F 15 0 12 0 10
M 4 11 0 3 10
O 0 1 5 2 15
P 0 7 3 0 11
qj 1 + 1
Costo = c12 + c23 + c31 +c44
= 10+10+15+13 = 48
i j Costo p q
=10 + 10 + 15 + 11 + 1 + 1 = 48
Ver Asignación RPG

90
Modelo de Asignación: Otras consideraciones
El modelo de asignación de RPG es un modelo de minimización en el cual el número de vicepresidentes es igual al número de plantas, y todas las asignaciones posibles son aceptables.
Consideremos ahora modelos tipo asignación donde no todas las condiciones anteriores se cumplen. En particular se considerarán situaciones en las que:
1Hay una desigualdad entre el número de “personas” por asignar y el número de “destinos” que requieren personas asignadas.
2Hay un modelo de maximización
3Existen asignaciones inaceptables

91
1. Ofertas y demandas desiguales
a) Oferta mayor que la demanda
Suponer que el presidente de RPG quiere auditar a la planta de Tilburgo, por tanto tendrá que decidir cual de los cuatro vicepresidentes debe asignar a cada una de las tres plantas restantes.
Solución: Se elimina la restricción que requería un vicepresidente para Tilburgo. El resultado de este cambio es que la holgura para uno de los cuatro vicepresidentes será 1 en la nueva solución óptima
Ver Asignación RPG (O>D)

92
1. Ofertas y demandas desiguales
b) Demanda mayor que la oferta Suponer que el vicepresidente de Personal tiene que viajar a Illinois durante la primer semana de junio, por lo tanto no puede participar en la auditoría en Europa. Solución: Se agrega un vicepresidente ficticio (igual al modelo de transporte) para obtener una solución factible, pero es claro que una de las plantas quedará sin auditar.

93
2. Hay un modelo de maximización
La respuesta de asignación es un beneficio y no un costo
Ejemplo: Suponga que RPG tiene que asignar vendedores a sus territorios de venta.
Existen cuatro personas bien capacitadas listas para ser asignadas y tres territorios requieren un nuevo vendedor. Uno de los vendedores no será asignado.
En este caso la asignación de un vendedor cualquiera a un territorio se mide por el incremento marginal esperado en la contribución de dicha asignación a las ganancias.

94
2. Hay un modelo de maximización
La matriz de ganancia es la siguiente
Contribución del
Vendedora
Territorio
1
Territorio
2
Territorio
3
A $ 40 $ 30 $ 20
B $ 18 $ 28 $ 22
C $ 12 $ 16 $ 20
D $ 25 $ 24 $ 27
Ver Asignación Vendedores RPG

95
3. Situaciones con asignaciones inaceptables
Ejemplo: Suponga que el presidente de RPG no tiene el menor deseo de que el vicepresidente de Operaciones realice una auditoría a la Planta Nancy.
Solución: Asignar un costo arbitrariamente alto a esta “ruta”, de tal modo que al restar de él cualquier número finito se obtiene siempre un valor mayor que otros números relevantes
Ver Asignación RPG inaceptable

96
2.3 Modelo de Transbordo
Este modelo permite que las unidades no vayan directamente desde un origen a un destino, sino que pasen por nodos intermedios o transitorios.
Cada origen, punto intermedio y destino final se representan como nodos y se conectan a través de arcos dirigidos
Restricción en cada nodo transitorio:
suma flujos entrantes = suma flujos saliente
También se puede representar por medio de una matriz donde un mij = 1 cuando existe un enlace directo entre el nodo i y el nodo j; y mij = 0 cuando no hay enlace directo entre estos nodos

97
Modelo de Transbordo: Algoritmo
Inicialización: Encuentre un plan de embarque factible que satisfaga todas las restricciones de suministro y demanda, al mismo tiempo que mantiene un equilibrio en todos los nodos de transbordo.
Prueba de Optimalidad: Pruebe el plan de embarque actual para ver si es óptimo, es decir, si es el plan que incurre en los costos totales mínimos. Si es así, deténgase con la solución óptima, sino vaya al paso 3.
Movimientos: Use el hecho de que el plan de embarque actual no es óptimo para crear un nuevo plan de embarque factible con menos costo total que el actual. Vaya al paso 2.
1 2 3

98
Consideraciones:
•Los pasos del algoritmo son análogos a los del algoritmo de pasos sucesivos (escalón).
•Tanto los nodos origen como los destinos pueden ser a su vez nodos de transbordo.
•Al igual que el modelo de transporte, puede haber desequilibrio, en ese caso se agregan fuentes o destinos ficticios con costo cero.
•El numero total del sistema está dado por el total de la oferta o de la demanda.
•A cada nodo de transbordo se asigna un suministro (demanda) igual a su suministro (demanda) original (cero, si no coincide originalmente con un destino) más el total de unidades del sistema. Esto permite que todas las unidades puedan pasar por un empalme dado.

99
Ejemplo 1:
Determínese un programa de embarque que cubra todas las demandas a un costo mínimo total para los datos correspondientes al siguiente grafo (costo en $).
3
4
2
4
3
7
2
1
3
5
2
4
6
+95
-30
+70
+15
-30
-45
8

100
Solución
•Los sitios 1 y 2 son orígenes
•Los sitios 5 y 6 son destinos
•El sitio 3 es origen y empalme
•El sitio 4 es destino y empalme
•La oferta es mayor que la demanda por tanto se requiere un destino ficticio que demande 75 unidades
•Agregar 180 unidades a cada empalme (oferta y demanda)
•El costo de las unidades que van de un empalme (como origen) a él mismo (como destino) y de cualquier origen al sitio ficticio es cero.
•A las rutas no permitidas se les asocia un valor relativamente alto (por 1.000)

101
La tabla inicial es:
3456FOferta1953100081000027027100010000319503440418010000100020Demanda180210304575 Orígenes Destinos

102
La tabla final es:
3 4 5 6 F Oferta
1 20 75 95
3 1000 8 1000 0
2 70 70
2 7 1000 1000 0
3 90 30 30 45 195
0 3 4 4 0
4 180 180
1000 0 1000 2 0
Demanda 180 210 30 45 75
Destinos
Orígenes
Costo = 20*3+75*0+70*2+90*0+30*3+30*4+45*4+180*0=$590

103
Ejemplo 2:
Una corporación necesita transportar 70 unidades de un producto, del sitio 1 a los sitios 2 y 3 en cantidades de 45 y 25 unidades, respectivamente. Las tarifas cij (en miles de pesos por unidad) de carga aérea entre los sitios comunicados por carguero se dan en la tabla, en la cual las líneas punteadas indica que no hay servicio disponible. Determínese un programa de embarque que asigne el número requerido de artículos a cada destino, a un costo mínimo de transporte. Ningún embarque requiere de vuelo directo, se permiten los envíos empleando puntos intermedios.
1
2
3
4
1
....
38
56
34
2
38
...
27
...
3
56
27
...
19
4
34
...
19
...

104
Ejemplo 3:
1
2
3
4
5
7
6
8
9
10
11
100
200
150
120
80
70
110
2
3
4
4
4
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
Nodos de transbordo

105
Planteamiento del modelo PL :
Plantear el modelo de PL para el ejemplo mostrado en el grafo anterior.

106
2.4. Modelos de Redes
2.4.1 Teoría de Grafos
2.4.2 Modelo de la Ruta más corta
2.4.3 Modelo del Árbol Expandido Mínimo
2.4.4 Problema del Flujo Máximo

107
2.4.1 Introducción a la Teoría de Grafos
Grafo no dirigido: Un grafo no dirigido G consiste en un conjunto V de vértices (o nodos) y un conjunto E de lados (ramas o enlaces) tales que cada lado e ε E está asociado a un par no ordenado de vértices v y w. Si un lado e está asociado a un único par de vértices v y w, entonces e= (v,w) o e=(w,v). Grafo dirigido: Un grafo dirigido (o digrafo) G consiste en un conjunto V de vértices (o nodos) y un conjunto E de lados (o ramas) tales que cada lado e ε E está asociado a un par ordenado de vértices. Si un lado e está asociado a un par ordenado único de vértices v y w, se escribe e = (v,w).

108
Se dice que un lado e = (v,w) de un grafo (dirigido o no dirigido) es incidente en v y w. Se dice que los vértices v y w son incidentes en e y también son vértices adyacentes.
Si G es un grafo (dirigido o no dirigido) con un conjunto de vértices V y un conjunto de lados E, se escribe G = (V,E)
Nodo (Vértice):
Un círculo de una red utilizada para representar una planta, almacén o tienda.
Nodo de Suministro:
Nodo desde le cual los productos se van a enviar.

109
Nodo de demanda:
Nodo que va a recibir los productos para cumplir con una demanda conocida.
Nodo de transbordo:
Nodo que recibe productos desde otros nodos para su distribución.
Arco (enlace):
Línea de una red que conecta un par de nodos. Se le utiliza para representar una ruta válida desde el nodo origen al nodo de distribución.

110
Arco dirigido:
Indica el sentido de movimiento de los productos.
Camino:
Una secuencia de nodos en una red unidos por arcos (dirigidos o no dirigidos)
Trayectoria (lazo):
Es un camino cerrado (ciclo) donde el primer nodo es a su vez el último.

111
Representación Matricial
i) Matriz de Adyacencia
ii) Matriz de costo (beneficio)
Representación de un grafo:
Un grafo se puede representar matemáticamente como:
a) Una matriz
b) Una lista enlazada
c) Árbol

112
2.4.1 Introducción a la Teoría de Grafos (cont.)
Matriz de Adyacencia:
Para un grafo G, es una matriz A de dimensión NxN, donde A[i,j] es verdadero (1) si, y sólo si, existe un arco que vaya del vértice i al vértice j. En ausencia de arco directo se representa generalmente por 0.
Ejemplo: Dado el siguiente grafo encontrar su matriz de adyacencia

113
2
3
4
1
1
2
3
4
1
1
1
2
1
3
1
4
1

114
Matriz de Costo:
Para un grafo G etiquetado, es una matriz C de dimensión NxN, donde A[i,j] es el costo (valor de la etiqueta) si, y sólo si, existe un arco que vaya del vértice i al vértice j. En ausencia de arco directo se representa generalmente por infinito (costo extremadamente alto, para la simulación se hace uso de un valor fuera de contexto).
Ejemplo: Dado el siguiente grafo encontrar su matriz de costo

115
2
3
4
1
1
2
3
4
1
10
15
2
12
3
20
4
5
10
15
20
12
5

116
Para un grafo no dirigido, tanto la matriz de adyacencia como la matriz de costo son simétricas, esto es:
A[i,j] = A[j,i]
ó
C[i,j] = C[j,i]

117
Ejemplo Introductorio
Seymour Miles es el gerente de distribución de Zigwell. Zigwell distribuye sus motores oruga en cinco estados del medio oeste. Por lo regular, Seymour Miles tiene 10 aparatos E-9 in situ en lo que designaremos como local 1. Estos tractores deben ser enviados a los dos locales de construcción más importantes designados como 3 y 4. Se necesitan tres E-9 en el local 3 y siete en el local 4. Debido a itinerarios arreglados con anterioridad, relativos a la disponibilidad de conductores, los tractores solo pueden ser distribuidos de acuerdo con las rutas alternativas que se muestran en el grafo de la figura.
La figura tiene un número +10 en el nodo 1, esto significa que hay 10 aparatos E-9 disponibles (oferta). Los indicadores -3 y -7 asociados a los locales 3 y 4, respectivamente, denotan los requerimientos (demandas) de éstos.

118
1
2
4
5
3
c12
c34
c24
c25
c54
u43
c53
c23
+10
-3
-7
Rutas alternativas para el destino 3
1-2-3, 1-2-4-3, 1-2-5-4-3, 1-2-5-3
u12
u23
u34
c43
u53
c54
u25
u24

119
Los costos cij son unitarios. Por ejemplo el costo de recorrer el arco (5,3) es c53 por cada tractor.
Debido a los acuerdos sostenidos con los conductores, Zigwell debe cambiarlos en cada local que se encuentre sobre la ruta. Las limitaciones en la disponibilidad de conductores ocasionan que haya una cota superior en el número de tractores que pueden recorrer cualquier arco dado.
Por ejemplo: u53 es la cota superior o capacidad en el arco (5,3).
El problema de Sygmour consiste en encontrar un plan de embarque que satisfaga la demanda y las restricciones de capacidad a costo mínimo.

120
El problema en particular se conoce como modelo de transbordo con capacidades.
Expresar el problema como un PL
a) Variables de decisión
xij = número total de E-9 que se enviarán a través del arco (i,j).
= flujo del nodo i al nodo j

121
b) Función Objetivo
MIN Z =C12X12+C23X23+C24X24+C25X25+C34X34+C43X43+C53X53+C54X54
x c todos los ar (i,j) de la red ij ij 0 , cos
c) Restricciones
s a
+ X12 = 10
- X12+X23+X24+X25 = 0
-X23 -X43 -X53 +X34 = -3
-X24 +X43 -X34 -X54 = -7
-X25 +X53 +X54 = 0
Balance
de
flujo

122
Matriz Incidencia nodo-arco
a
r
c
o
Nodo
(1,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(4,3)
(5,3)
(3,4)
(5,4)
LD
1
+1
0
0
0
0
0
0
0
10
2
-1
+1
+1
+1
0
0
0
0
0
3
0
-1
0
0
-1
-1
+1
0
-3
4
0
0
-1
0
+1
0
-1
-1
-7
5
0
0
0
-1
0
+1
0
+1
0

123
Formulación General del Modelo de Transbordo con Capacidades
Xij denotan el flujo del nodo i al nodo j a lo largo del arco que
conecta esos nodos.
Lj representa la oferta en el nodo j
ij ij ij c x
s.a.
minimice
x x L j n k jk k kj j , 1,2,....,
x c todos los ar (i,j) de la red ij ij 0 , cos

124
Resolver para las siguientes capacidades y costos
Capacidad
dea Sitio 1 Sitio 2 Sitio 3 Sitio 4 Sitio 5
Sitio 1 10
Sitio 2 4 3 3
Sitio 3 2
Sitio 4 4
Sitio 5 3 5
Costo Unitario
dea Sitio 1 Sitio 2 Sitio 3 Sitio 4 Sitio 5
Sitio 1 $100
Sitio 2 $45 $50 $20
Sitio 3 $60
Sitio 4 $85
Sitio 5 $10 $55
Ver transbordo con capacidades

125
Se pueden dar dos casos para representar la red:
Como grafo no dirigido
Como grafo dirigido
Situaciones:
a
b
Cualquiera que sea el caso corresponde a grafos ponderados (con peso)

126
Considerénse todos los nodos que estén directamente conectados con el origen. Etiquetarlos con la distancia al origen y su nodo predecesor. Etiquetas temporales, [distancia, nodo].
De entre todos los nodos con etiquetas temporales, escoger el que tenga la distancia menor y se marca como permanente. Si todos están con etiquetas permanentes se va al paso cuatro.
a) Algoritmo: Grafo no dirigido
1
2

127
2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GND)
Todo nodo que no tenga etiqueta permanente, tendrá etiqueta temporal o estará sin etiqueta. Sea L el último nodo con etiqueta permanente. Considerénse todas las etiquetas de los vecinos de L (directamente conectados a L mediante un arco). Para cada uno de estos nodos calcúlese la suma de su distancia a L. Si el nodo en cuestión no está etiquetado, asígnese una etiqueta temporal que conste de esta distancia y de L como predecesor. Si el nodo en cuestión ya tiene etiqueta temporal, cámbiese sólo si la distancia recién calculada es menor que la componente de distancia de la etiqueta actual. En este caso, la etiqueta contendrá esta distancia y a L como predecesor. Regresar al paso 2
3
Algoritmo:

128
Las etiquetas permanentes indican la distancia más corta entre el nodo origen a cada nodo de la red. También indican el nodo predecesor en la ruta más corta hacia cada nodo. Para encontrar el camino más corto de un nodo dado, comiéncese en él y retroceda al nodo anterior. Continuar con el recorrido hasta llegar al origen.
Algoritmo:
4

129
Ejemplo: Para el siguiente grafo encontrar la distancia más corta desde el nodo H al resto de los nodos.
H
1
2
3
4
5
6
7
8
4
1
1
1
1
2
2
7
6
3
3
3

130
Solución:
H
1
2
3
4
5
6
7
8
4
1
1
1
1
2
2
7
6
3
3
3
(8,H)
(4,H)
(5,1)
(6,3)
(8,2)
(6,3)
(9,4)
(9,7)
ó
1:Ver ejemplo 1 Ruta mas corta
2: Hacer problema 19 guía 2 (Ejemplo 2 Ruta mas corta

131
A
7
1
3
B
C
D
E
F
G
1
4
2
10
8
10
5
7
4
3
Para su práctica y ejercitación neuronal

132
2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GD)
Es una técnica exhaustiva, esto es, prueba todas las alternativas posibles.
Opera a partir de un conjunto S de vértices cuya distancia más corta desde el origen ya es conocida. Inicialmente S contiene sólo el nodo de origen. En cada paso se agrega algún vértice restante v a S, cuya distancia desde el origen es la más corta posible.
Para cada paso del algoritmo, se utiliza una matriz D para registrar la longitud del camino más corto a cada vértice.
b) Algoritmo de Dijkstra

133
2.4.2 Modelo de la Ruta más corta (GD) Algoritmo de Dijkstra
INICIO 0) V = {1, 2, 3, 4, ..., n} 1) S = {1} // nodo 1 se supone que es el origen 2) Para i=2 Hasta n Hacer 3) Di = C1i 4) Para i=1 Hasta n-1 Hacer 5) Elegir un vértice w en V-S tal que Dw sea un mínimo 6) agregar w a S 7) Para cada vértice v en V-S Hacer SI ((Dw+Cwv)<Dv) //Pv = w Dv = Dw+Cwv
8)//Dv=mínimo(Dv,Dw+Cwv) FIN

134
Ejemplo: Aplicar el algoritmo al siguiente grafo dirigido
10
100
60
50
30
10
2
1
3
4
5
20

135
Inicial
0) V = {1, 2, 3, 4, 5}
1) S = {1}
2)
3) D2 = 10, D3 = inf, D4=30, D5 = 100
4) Iterar 4 veces
5) Seleccionar nodo con distancia más corta de V-S,
En el ejemplo es el nodo 2
IteraciónSwD2D3D4D5Inicial{1}--10inf30100

136
6) Agregar el nodo 2 a S : S = {1,2}
7) Iterar |V-S|, (V-S = {3,4,5})
D3=mínimo(D3,D2+C23) =mínimo(inf,10+50) = 60
D4=mínimo(D4,D2+C24) =mínimo(30,10+inf) = 30
D5=mínimo(D5,D2+C25) =mínimo(100,10+inf) = 100
IteraciónSwD2D3D4D5Inicial{1}--10inf301001{1,2}2106030100

137
2a Iteración
V-S = {3,4,5}
5) w = 4
6) S = {1,2,4}
7) Iterar |V-S| V-S = {3,5}
D3=mínimo(D3,D4+C43) =mínimo(60,30+20) = 50
IteraciónSwD2D3D4D5Inicial{1}--10inf301001{1,2}21060301002{1,2,4}410503090

138
3a Iteración
V-S = {3,5}
5) w = 3
6) S = {1,2,4,3}
7) Iterar |V-S| (V-S = {5})
IteraciónSwD2D3D4D5Inicial{1}--10inf301001{1,2}21060301002{1,2,4}4105030903{1,2,4,3}310503060

139
4a Iteración
V-S = {5}
5) w = 5
6) S = {1,2,4,3,5}
7) Iterar |V-S| (V-S = {})
Iteración S w D2 D3 D4 D5
Inicial {1} -- 10 inf 30 100
1 {1,2} 2 10 60 30 100
2 {1,2,4} 4 10 50 30 90
3 {1,2,4,3} 3 10 50 30 60
4 {1,2,4,3,5} 5 10 50 30 60
Tabla Final

140
¿Cuál es el camino?
Para conocer el camino hay que incluir otra matriz P de vértices, tal que Pv contenga el vértice inmediato anterior a v en el camino más corto.
Se asigna a Pv valor inicial 1 para todo v 1
La matriz P se actualiza después de la línea 8.
Si Dw + Cwv < Dv en la línea 8, después se hace Pv = w
Al término de la corrida del algoritmo, el camino a cada vértice puede encontrarse regresando por los vértices predecesores de la matriz P

141
¿Cuál es el camino?
Para el ejemplo, la matriz P debe tener los valores
P2 =1, P3 = 4, P4 = 1, P5 = 3
Para encontrar el camino más corto del vértice 1 al 5, se siguen los predecesores en orden inverso.
3 es el predecesor de 5

142
Problema de los caminos más cortos entre todos los pares de nodos
Para visualizar el problema se emplea un grafo dirigido G = (V,A) en el que cada arco v w tiene un costo no negativo Cv,w. El problema consiste en encontrar el camino de longitud más corta (menor costo) entre v y w para cada par ordenado de vértices (v,w).
Algoritmo de Floyd
Se utiliza una matriz A, donde Aij = Cij para toda i j, si no existe camino directo entre i y j se supone que Cij = inf. Cada elemento de la diagonal se hace cero.

143
Después se hacen n iteraciones en la matriz A.
Al final de la k-ésima iteración Aij tendrá por valor la longitud más pequeña de cualquier camino que vaya desde el vértice i hasta el vértice j y que no pase por un vértice mayor que k. Esto es, i y j, los vértice extremos del camino, pueden ser cualquier vértice, pero todo vértice intermedio debe ser menor o igual a k.
En la k-ésima iteración se aplica la siguiente fórmula para calcular A
k-1Aij
kAij = min
k-1Aik + k-1Akj

144
Para calcular Aij, se compara k-1Aij, el costo de ir de i a j sin pasar por k o cualquier otro nodo con numeración mayor, con k-1Aik + k-1Akj, el costo de ir primero de i a k y después de k a j, sin pasar a través de un vértice mayor que k. Si el paso por el vértice k produce un camino más económico que el de k-1Aij, se elige ese costo para kAij.
k-1Aij
i
k
j

145
Algoritmo de Floyd // Se supone que se cuenta con la matriz de costo C
0) INICIO
1) Desde i = 1 Hasta N
2) Desde j = 1 Hasta N
3) Aij Cij
4) Desde i = 1 Has ta N
5) Aii = 0
6) Desde k = 1 Hasta N
9) SI (Aik + Akj < Aij)
10) Aij = Aik + Akj
11) FIN

146
Recuperación de caminos para el Algoritmo de Floyd
Cuando es de interés conocer el camino más corto entre dos vértices, hay que consignarlo en una matriz P, donde Pij tiene el vértice k que permitió a Floyd encontrar el valor menor de Aij. Si Pij es cero, el camino de i a j es directo.

147
Algoritmo de Floyd Modificado
0) INICIO
3) Aij Cij
3) Pij 0
4) Desde i = 1 Has ta N
5) Aii = 0
6) Desde k = 1 Hasta N
9) SI (Aik + Akj < Aij)
10) Aij Aik + Akj
10) Pij k
11) FIN

148
Ejemplo: Aplique Floyd al grafo ponderado mostrado en la figura
1
2
3
2
8
3
2
5

149
Solución:
Tabla Inicial
Nodos 1 2 3
1 0 8 5
2 3 0 inf
3 inf 2 0
0Aij

150
Solución:
Después de la primera iteración
1Aij
Nodos123108523083inf20

151
Solución:
Después de la segunda iteración
2Aij
Nodos123108523083520

152
Solución:
Después de la tercera iteración
3Aij
Nodos123107523083520

153
2.4.3 Modelo de árbol extensión mínima
Un árbol es un grafo que tiene sus n nodos (vértices) conectados (conexo) con n-1 arcos (aristas), no existiendo ciclos (caminos cerrados)
Definición 1
Definición 2
Un árbol de expansión de costo mínimo es aquel en que todos los enlaces tienen longitudes (costos) mínimas

154
Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima.
Método Gráfico
Se selecciona un nodo cualquiera y se conecta al nodo más cercano a éste.
Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos
Empates se deciden en forma arbitraria. Los empates indican que existen soluciones alternativas para la construcción.
1 2 Nota:

155
H
1
2
3
4
5
6
7
8
4
1
1
1
1
2
2
7
6
3
3
3
Ejemplo: Encontrar el AEM para el siguiente grafo

156
H
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
Solución :
2
2
4

157
Algoritmo tabular
Paso Acción
0 Se construye la tabla de costos de enlaces
1 Se comienza arbitrariamente con cualquier nodo. Se designa a este nodo como conectado y se pone una marca al lado de la fila correspondiente al nodo. Se tacha el índice de la columna que corresponde a él.
2 Considerando todas las filas marcadas, buscar el mínimo en las columnas cuyo índice aún no haya sido tachado encerrándolo en un círculo. Designándose de esta manera el nuevo nodo conectado. Se tacha el índice de la columna y pone una marca en la fila correspondiente a este nodo. Se repite este paso hasta que todos los nodos estén conectados.
3 Los nodos encerrados en círculo identifican el árbol.

158
Aplicación Algoritmo tabular
Nodo H 1 2 3 4 5 6 7
H 4 7 8
1 4 6 1
2 6 1 2
3 1 1 1
4 7 1 3 3 2
5 2 3 3
6 3 3 1
7 8 2 1
Tabla inicial

159
Inicio: Nodo H
Nodo H 1 2 3 4 5 6 7
* H 4 7 8
* 1 4 6 1
2 6 1 2
3 1 1 1
4 7 1 3 3 2
5 2 3 3
6 3 3 1
7 8 2 1
a)
b)

160
Nodo 1
Nodo H 1 2 3 4 5 6 7
* H 4 7 8
* 1 4 6 1
2 6 1 2
* 3 1 1 1
4 7 1 3 3 2
5 2 3 3
6 3 3 1
7 8 2 1
a)
b)
c)

161
Nodo H 1 2 3 4 5 6 7
* H 4 7 8
* 1 4 6 1
* 2 6 1 2
* 3 1 1 1
* 4 7 1 3 3 2
* 5 2 3 3
* 6 3 3 1
* 7 8 2 1
Tabla final
a)
b)
c)

162
H
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
Arbol de expansión mínima :
2
2
4

163
2.4.4 Problema del Flujo Máximo
En este problema hay un solo nodo fuente (nodo de entrada) y un solo nodo destino (nodo de salida), y el resto son nodos de transbordo. El problema consiste en encontrar la máxima cantidad de flujo total (petróleo, gas, efectivo, mensajes, tránsito, etc.) en una unidad de tiempo.
La cantidad de flujo por unidad de tiempo en cada arco está limitada por las restricciones de capacidad.
Este problema se puede representar como una red dirigida y conexa.
Descripción

164
Para cada nodo interno debe cumplirse que:
flujo que sale del nodo = flujo que entra al nodo
En términos formales, siendo 1 la fuente y n el
destino el problema consiste en:
MAX f
f si i = 1
sujeto a si i = n
0 en otro caso
0 xij uij, para todos (i,j) de la red
xij : flujo por unidad de tiempo por el arco (i,j)
uij : capacidad del arco (i,j)
f : flujo total a través de la red
Descripción
x x f
j
ji
j
ij

165
Considérese la i-ésima restricción, para algún valor fijo de i, La suma se considera sobre toda j para la cual el arco (i,j) con i fijo, pertenezca a la red. Entonces, será el flujo total que sale del nodo i. En forma semejante, la suma se considera sobre toda j para la cual exista el arco (j,i) en la red, (i fijo). De modo que es el flujo que entra al nodo i
Descripción
jijxjjixjijx

166
Antes de hacer la presentación formal del algoritmo, revisemos el siguiente ejemplo.
Algoritmo
6
6
6
2
4
4
3
2
1
6
1
2
3
4
5

167
Grafo inicial: Inicialización delos flujos en cada nodo
Algoritmo
Consideremos un camino desde el nodo 1 al nodo 6
Ejemplo: 1-2-5-6
4
0
0
0
0
0
0
0
0
6
4
1
6
2
3
2
6
0
2
3
4
5
6
1

168
Se dice que la cantidad de flujo a lo largo de dicho recorrido es factible si:
No excede la capacidad de ningún arco del camino
Con excepción de los nodos 1 y 6, el flujo en cada nodo debe satisfacer la condición de conservación
1
2
La cantidad máxima que puede fluir desde la fuente a lo largo de un camino es igual a la menor de las capacidades de los arcos de dicho camino
Al asignar un flujo a un arco nos atendremos a las reglas:
1
2
Se reduce la capacidad en la dirección del flujo (cantidad de flujo)
Se aumenta la capacidad en sentido opuesto (cantidad de flujo)

169
Ejemplo: Considerar el arco 1-2
Asignar dos unidades a este arco: Aplicando las reglas 1 y 2 se tiene
Se generó una capacidad ficticia en la dirección 2-1
Enviar una unidad de 2 a 1
1
2
(2 )
2
2
1
2
4
0
1
2
(1 )
1
3

170
Algoritmo
Inicializar cada nodo del grafo con capacidades uij en la dirección del flujo y cero en la dirección opuesta.
Encontrar cualquier camino de la fuente a destino que tenga capacidad de flujo positiva, si no los hay, se habrá encontrado la solución óptima.
Sea cmin la capacidad mínima de flujo entre los arcos seleccionados en el paso 1, se aumenta el flujo existente a través de la red al enviar un flujo adicional cmin para todos los arcos del camino.
Para todos los arcos del camino, disminúyanse las capacidades en la dirección del flujo y auméntese las capacidades en la dirección opuesta en cmin. Volver al paso 1
Inicial
1
2
3

171
Aplicar el algoritmo al grafo del ejemplo:
4
0
0
0
0
0
0
0
0
6
4
1
6
2
3
2
6
0
2
3
4
5
6
1
Paso Inicial

172
Iteración 1:
4
0
0
0
0
0
0
0
0
6
4
1
6
2
3
2
6
0
2
3
4
5
6
1
Elegir arbitrariamente el camino 1-3-5-6
cmin = MIN(6,4,2)=2; actualizando la red se tiene
4
2
2
2
0
2
2
2

173
Iteración 2:
4
0
0
0
0
0
0
0
0
6
4
1
2
2
3
2
2
0
2
3
4
5
6
1
4
2
0
2
2
6
Elegir arbitrariamente el camino 1-2-4-6
cmin = MIN(4,6,6)=4; actualizando la red se tiene
4
0
6
4
6
4
2
6
2
2

174
Iteración 3:
4
0
0
0
0
0
2
0
0
6
4
1
0
2
1
2
0
0
2
3
4
5
6
1
2
4
0
2
2
8
Elegir arbitrariamente el camino 1-3-2-4-6
cmin = MIN(4,3,2,2)=2; actualizando la red se tiene
4
0
6
4
6
6
2
8
2
2
4
2
3
0
2
6
2
4
6
6

175
Cálculo de la cantidad de flujo en cada arco
Se determina comparando la capacidad inicial de cada arco con la capacidad inicial. Para cada arco la regla es:
Si la capacidad final es menor que la capacidad inicial, calcular la diferencia. Esta es la cantidad del flujo a través del arco.
Ejemplo: Arco 3-5
Inicial
Final
2
2
3
5
0
4
3
5
Final < inicial entonces el flujo es 4-2=2

176
Aplicando la regla anterior a todos los arcos se tiene el siguiente grafo:
6
6
6
2
4
2
8
2
8
4
1
2
3
4
5

177
Unidad 3 Administración de Proyectos PERT y CPM

178
3 Administración de Proyectos (PERT y CPM)
1. ¿Cuándo sería lo más pronto que el proyecto pudiera estar terminado?
2. Para cumplir con este tiempo de conclusión, ¿qué tareas son críticas, en el sentido de que un retraso en cualquiera de esas tareas provoca un retraso en la conclusión del proyecto?
3. Es posible acelerar ciertas tareas para terminar todo el proyecto más pronto?. Si es así, ¿qué tareas serán éstas y cuál sería el costo adicional?
Todo proyecto debe ser comprobado y controlado, dado que éste tiene involucrado numerosas tareas interrelacionadas.
A través de algunas técnicas se puede responder a preguntas como:

179
Técnica de Evaluación de Proyectos (PERT, Program Evaluation and Review Technique): Método utilizado para administrar proyectos en que los tiempos requeridos para terminar las tareas individuales son inciertos (probabilísticos).
Método de la Ruta Crítica (CPM, Critical Path Method): Método utilizado para administrar proyectos en que los tiempos requeridos para terminar las tareas individuales se conocen con relativa certeza (determinísticos).

180
3.1 Desarrollo de la Red de Proyectos
1. Identifique las tareas individuales que componen el proyecto
2. Obtenga una estimación del tiempo de conclusión de cada tarea.
3. Identifique las relaciones entre las tareas. ¿Qué tareas deben concluirse antes de que otras puedan iniciarse?
4. Dibuje un diagrama de red de proyecto para reflejar la información de los pasos 1 y 3
Para determinar el tiempo de conclusión de un proyecto puede usar los siguientes pasos:

181
Ejemplo:
Traslado de las oficinas de una ciudad a otra
El directorio ha fijado un plazo máximo de 22 semanas para la mudanza
ActividadDescripciónPrdecesoras inmediatasTiempoRecursosAElegir local de oficinas- BCrear el plan financiero y de - CDeterminar requerimientos de personalBDDiseño de localA, CEConstruir el interiorDFElegir personal a mudarCGContratar nuevos empleadosFHMudar registros, personal clave, etc. FIHacer arreglos finacieros de la organizaciónBJEntrenar personal nuevoH, E, G

182
Construcción del diagrama de Red:
1
2
3
4
A
B
C
¿Cómo agregamos la actividad D?. Sus predecesoras inmediatas son A y C, además C es predecesora directa de F

183
Actividades Ficticias (figurada):
Es una actividad artificial que no requiere tiempo y que se incluye en una red de proyecto para asegurar la relación de precedencia correcta entre ciertas tareas.
Generalmente se representan por líneas segmentadas.
Se usan sólo para reflejar las relaciones de precedencia adecuadas
2
4
A
C

184
Volviendo al ejemplo: Agregando el resto de las actividades a la red finalmente se tiene
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

185
Siguiendo con el ejemplo: G y H tienen como predecesora inmediata F, además ambas son predecesoras de J, agregar actividad ficticia.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
9
Red Final
Fic

186
Ruta Crítica: Dar cumplimiento al plazo límite
Se requiere de las estimaciones de tiempo de cada actividad (supuestos)
ActividadDescripciónPrdecesoras inmediatasTiempoRecursosAElegir local de oficinas-3BCrear el plan financiero y de organización-5CDeterminar requerimientos de personalB3DDiseño de localA, C4EConstruir el interiorD8FElegir personal a mudarC2GContratar nuevos empleadosF4HMudar registros, personal clave, etc. F2IHacer arreglos finacieros de la organizaciónB5JEntrenar personal nuevoH, E, G3

187
Retomando el ejemplo: Agregando los tiempos a las actividades
1
2
3
4
5
6
7
9
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
(3)
(5)
(3)
(4)
(8)
(2)
(4)
(2)
(5)
(3)
8
Fic

188
Cálculo de la ruta crítica: Tiempo de término del proyecto
Definiciones
Tiempo de inicio más inmediato: El tiempo más cercano en que una tarea posiblemente pueda iniciarse (TI)
Tiempo de término más breve: El tiempo más corto en el que una tarea posiblemente pueda concluir (TT)

189
Reglas a cumplir:
Dado que en el proyecto existen tareas predecesoras es necesario conocer cuando termina una y cuando empieza la otra:
Regla
1.Para calcular el TI de una tarea se debe conocer los TT de cada tarea predecesora inmediata
2.El TI más inmediato de una tarea de la que se conocen los tiempos de término más breves de todas sus tareas predecesoras inmediatas es el máximo de todos esos tiempos de término más breves.
3.Tiempo de término más breve = (tiempo de inicio más inmediato) + (tiempo de tarea(t))

190
Pasos para determinar los TI y TT más inmediatos:
Paso
0
1
Identificar el nodo de inicio de la red del proyecto
Calcule y escriba en cada arco saliente
a) TI más cercano, esto es, 0
b) El TT más breve de acuerdo a la regla 3
TT más breve = (TI más inmediato) + (t)
= 0 + t
Seleccionar cualquier nodo donde todos los arcos entrantes han sido etiquetados con sus TI y TT

191
Pasos para determinar los TI y TT más inmediatos:
Paso
2
Para el nodo seleccionado en el paso 1 calcule y registre en cada arco saliente a) El TI más breve de acuerdo a la regla 2 TI más breve = MAXIMO(TT de los arcos entrantes) b) El TT más breve de acuerdo a la regla 3 TT más breve = TI más inmediato + t

192
Cálculo de TI y TT:
1
2
3
4
5
6
7
9
D[8,12]
8
Fic

193
Identificación de las tareas críticas:
Para identificar las tareas críticas hay que realizar un recorrido hacia atrás hasta el inicio del proyecto, analizando cada tarea.
1. Último Tiempo de término: Lo más tarde que puede concluirse una tarea, en tanto permita que el proyecto se complete lo más pronto posible
2. Último tiempo de inicio: Lo más tarde que pueda iniciarse una tarea, pero finalizando dentro de su tiempo de término.
3. Tarea sucesora: Una tarea para la que la tarea de interés es una predecesora

194
Para calcular el último tiempo de término (UTT) de una tarea particular, debe conocer los últimos tiempos de inicio (UTI) de cada tarea sucesora inmediata.
Respecto a una tarea de la que se conocen los últimos tiempos de inicio de todas sus tareas sucesoras inmediatas, el último tiempo de término (UTT) de esa tarea es el mínimo de los últimos tiempos de inicio de todas las tareas sucesoras inmediatas
UTI = UTT- t
Regla 4
5
6

195
Identificación de las tareas críticas: Pasos para calcular los últimos tiempos de inicio y término
0
1
2
3
Identificar el final del proyecto. Calcular y escribir en cada arco entrante:
a) Último tiempo de término del proyecto
b) Último tiempo de inicio (Regla 6): UTI=UTT-t
Seleccione un nodo, cuyos arcos salientes hayan sido etiquetados todos con sus UTI y UTT
Para el nodo seleccionado (paso 1) calcule y escriba lo siguiente
a) UTT= MIN(UTI arcos salientes), (regla 5)
b) UTI=UTT - t (regla 6)
Repetir pasos 1 y 2 hasta cubrir toda la red del proyecto

196
Identificación de las tareas críticas: Cálculo de UTT y UTI para cada actividad
Iteración 2
Actividad ficticia
UTT = 20
UTI = 20-0 = 20
Actividad I
UTT = 23
UTI = 23-5 = 18
Nodo 7 Actividad E
UTT = 20
UTI = 20-8 = 12
UTT = 20 UTI = 20-2 = 18
Iteración 1
Actividad H
Nodo 9 Actividad J
UTT = 23
UTI = 23-3 = 20

197
1
2
3
4
5
6
7
9
8
Identificación de las tareas críticas: Cálculo de UTT y UTI para cada actividad . Finalmente se tiene
D[8,12]
[8,12]
[5,8]
Fic

198
Holgura:
Es la cantidad de tiempo que puede demorar una actividad sin afectar la fecha de término del proyecto.
El valor de la holgura para cada actividad está dada por:
holgura = TI - UTI = TT - UTT
Ejemplo:
Actividad C: TI = 5, UTI = 5, TT = 8, UTT = 8
Holgura = 5 - 5 = 8 - 8 = 0
Actividad I: TI = 5, UTI = 18, TT = 10, UTT = 23
La actividad C tiene holgura 0, por tanto no puede retrasarse, en cambio la actividad I tiene 13 semanas de holgura que permite retrasar su inicio.

199
Resumen de los tiempos de las actividades del proyecto:
Actividad Tiempo Inicio Término Inicio Término Holgura
A 3 0 3 5 8 5
B 5 0 5 0 5 0
C 3 5 8 5 8 0
D 4 8 12 8 12 0
E 8 12 20 12 20 0
F 2 8 10 14 16 6
G 4 10 14 16 20 6
H 2 10 12 18 20 8
I 5 5 10 18 23 13
J 3 20 23 20 23 0
Tiempo más próximo de: Tiempo más lejano de:
Tiempo de ejecución del proyecto: 23 semanas

200
Actividad crítica es aquella que tiene holgura cero
Ruta crítica es una secuencia de tareas (actividades) críticas que conecta el principio del proyecto con el fin
En nuestro ejemplo:
Actividades críticas: B, C, D, E y J
Ruta crítica: Nodos 1-3-2-5-7-9
Actividades B-C-D-E-J

201
Formas de Reducir la duración del proyecto:
1. Análisis Estratégico
Aquí el analista se pregunta: “¿Este proyecto tiene que desarrollarse en la forma programada actualmente?”. En concreto, “¿Todas las actividades de la ruta crítica tienen que realizarse en el orden especificado?”. ¿Podemos hacer arreglos para efectuar algunas de estas actividades en forma distinta de cómo aparecen en la ruta crítica?.
2. Enfoque Táctico
El analista presupone que el diagrama en curso es adecuado y trabaja para reducir el tiempo de ciertas actividades de la ruta crítica asignando mayores recursos. Por ejemplo tiempo, aumento de mano de obra, etc.

202
Para el ejemplo en estudio, el directorio estimó un tiempo máximo de 22 semanas para realizar el proyecto, y según el estudio se ha determinado que se requieren 23 semanas, ¿Cómo soluciona Ud. el problema?. Realice distintos supuestos válidos para su solución. ¿Es única?.

203
Formas de Reducir la duración del proyecto: Alternativa de solución
Realizados algunos estudios los responsables de la mudanza, se dan cuenta que la actividad J (entrenamiento de los nuevos empleados) debe realizarse en el nuevo edificio (después de completar la actividad E) y después de que el personal clave y de registros se haya mudado (al completar la actividad H). Estos requerimientos se podrían cambiar:
• Realizar J independientemente de H
• El entrenamiento realizarlo en otras dependencias a un costo reducido y que estén listos para cuando se termine la construcción. Esto requiere agregar otra actividad: Garantizar recursos de entrenamiento, actividad K

204
Con los cambios anteriores, es posible que la red redefinida tenga una nueva ruta crítica con un tiempo menor, aunque todavía insatisfactorio (mayor a las 22 semanas establecidas).

205
Diagrama de red para el proyecto redefinido
1
2
3
4
5
6
7
9
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
(3)
(5)
(3)
(4)
(8)
(2)
(4)
(2)
(5)
(3)
8
K
(3)
Fic

206
Actualización de los tiempos para el proyecto redefinido
Actividad Tiempo Inicio Término Inicio Término Holgura
A 3 0 3 5 8 5
B 5 0 5 0 5 0
C 3 5 8 5 8 0
D 4 8 12 8 12 0
E 8 12 20 12 20 0
F 2 8 10 11 13 3
G 4 10 14 13 17 3
H 2 10 12 18 20 8
I 5 5 10 15 20 10
J 3 14 17 17 20 3
K 3 10 13 14 17 4
Tiempo más próximo de: Tiempo más lejano de:
Actividades ruta crítica: B-C-D-E
Duración del proyecto: 20 semanas

207
3.3 PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades
Hasta ahora hemos trabajado asumiendo que los tiempos de duración de las actividades eran determinísticos, en consecuencia TI, TT, UTI y UTT también fueron deducidos como deterministas. Como este supuesto no siempre es correcto, PERT emplea una fórmula especial para estimar los tiempos de las actividades.
PERT requiere de alguien que conozca bien una actividad en cuestión, para producir tres estimaciones del tiempo de ésta.

208
PERT: Variabilidad en los tiempos de Actividades
1. Tiempo optimista (denotado por a): el tiempo mínimo. Todo tiene que marchar a la perfección.
2. Tiempo más probable (denotado por m): el tiempo que se necesita en circunstancias ordinarias.
3. Tiempo pesimista (denotado por b): el tiempo máximo. Situación que se da en el peor caso.

209
Ejemplo: Para la actividad E (8 semanas). Al examinar en detalle el proyecto de construcción del interior se llegó a las siguientes estimaciones: a = 4 m = 7 b = 16 Para estimar el valor esperado y la desviación estándar de los tiempos de la actividad, se asume que el tiempo de la actividad es una variable aleatoria que tiene una distribución de probabilidad unimodal beta.

210
4 7 8 16
a m b
Estimación del tiempo esperado
de actividad o tiempo promedio 6
a 4m b
te
Estimación de la desviación
estándar del tiempo de la actividad 6
b a
Distribución beta

211
Estimación de tiempo
Actividadambtedesv estvarianzaA1,03,05,03,00,6670,444B3,04,59,05,01,0001,000C2,03,04,03,00,3330,111D2,04,06,04,00,6670,444E4,07,016,08,02,0004,000 F1,01,55,02,00,6670,444G2,53,57,54,00,8330,694H1,02,03,02,00,3330,111I4,05,06,05,00,3330,111J1,53,04,53,00,5000,250K1,03,05,03,00,6670,444

212
Cálculo del tiempo esperado de finalización de proyectos
Una vez determinado el tiempo promedio de cada actividad, se puede calcular el tiempo de finalización más temprano esperado para el proyecto completo.
Se determinan los tiempos de inicio y de término más cercano, como también los tiempos de término y de inicio más lejano. Con estos tiempos se determina la holgura en cada actividad, para finalmente determinar la ruta crítica, exactamente igual como se hizo para tiempo determinista.

213
Probabilidad de concluir el proyecto a tiempo
El análisis procede de la siguiente forma:
1. Sea T el tiempo total que durarán las actividades de la ruta crítica.
2. Encuéntrese la probabilidad de que el valor de T resulte menor o igual que cualquier valor específico de interés. Para el ejemplo en estudio buscaríamos T 22 semanas.
Una buena aproximación de esta probabilidad se encuentra aceptando dos supuestos:
a) Los tiempos de actividad son variables aleatorias independientes.
b) La variable T tiene una distribución aproximadamente normal.

214
La meta es encontrar P{T 22}, donde T es el tiempo a lo largo
de la ruta crítica.
Estadísticas de la ruta crítica:
2 2
2
2
1 ... T n
Desviación estándar
i
: i
Desviación estándar de i-ésima actividad
de la ruta crítica
T : es el tiempo esperado (promedio)

215
Estimación de terminación del proyecto
Uso de la tabla de distribución normal, entonces debemos calcular Z para llegar a determinar la probabilidad.
xZ

216
Cálculos caso en estudio
Ruta crítica: B- C- D y E T = 20 (tiempo esperado, promedio calculado, ) x = 22 (tiempo exigido)
357,2555,54444,0111,012222222TTTEDCBT

217
Cálculos caso en estudio
Z = 0,8485
En la tabla de Z
P(Z 0,8485) = 0,80
357,22022Z

218
Matriz de Encadenamiento
Una matriz de encadenamiento, es una matriz de NxN (N es la cantidad de actividades) donde cada celda se marca con una X si la actividad de la fila requiere que esté terminada la actividad de la columna. Esta matriz ayuda a la construcción de la red CPM
Para el ejemplo en estudio es:
ABCDEFGHIJABCXDXXFXGXHXIXJXXX

219
3.4 CPM: TRUEQUE ENTRE TIEMPO Y COSTO
CPM considera que el tiempo extra (costo) puede reducir el tiempo de término de una actividad, y en consecuencia reducir el tiempo total del proyecto
Compra de tiempo:
CPM usa dos estimaciones: tiempo y costo normal, a lo que se agregará tiempo y costo intensivo
Se asume que estas estimaciones son lineales:
Tiempo
Esfuerzo normal
Esfuerzo intensivo

220
Debido a las estimaciones de CPM se puede obtener dos redes extremas:
1. Red de costo normal
2. Red de costo intensivo
¿Todas las actividades deben realizarse en forma intensiva?
3. Red de tiempo mínimo—costo mínimo
CPM: Trueque entre el costo y el tiempo
Red de tiempo mínimo – costo mínimo

221
1.Comenzar con la red normal e ir reduciendo los tiempos de término hasta un mínimo.
2.Comenzar con la red de todo intensivo y “desintensificar” actividades para reducir el costo sin afectar el tiempo total.
3.Comenzar con la ruta crítica de la red de todo intensivo con un tiempo mínimo, pero con todas la demás actividades normales. Después reducir las otras trayectorias como sea necesario.
¿Todos son igualmente eficaces?
Enfoques para encontrar red de tiempo mínimo – costo mínimo

222
Enfoque: Red normal y reducción de tiempos
Proyecto: Construcción de una casa
ActividadPrecedenciaNormalIntensivoNormalIntensivoCostoA (1,2)ninguna431.400 2.000 600 B (2,3)A211.500 2.000 500 C (2,4)A311.500 2.500 1.000 D (2,7)A11600 600 -- Fic(3,4)00------ E (4,5)B, C321.300 2.000 700 F (4,6)B, C21300 500 200 G (5,7)E21800 1.200 400 H (6,7)F21600 1.000 400 Tiempo (semanas)Costo (miles $)

223
Paso 1: Red del proyecto
2
3
6
5
7
E(3)
G(2)
H(2)
D(1)
1
F(2)
4
C(3)
Si consideramos la convención actividad-flecha, el grafo del proyecto es:
B(2)
A(4)

224
Paso 2: Tiempos de Inicio y de Término, holgura y ruta crítica
2
3
6
5
7
H(2)[9,11]
[10,12]
1
F(2)[7,9]
4
C(3)[4,7]
En el grafo se muestran los tiempos de inicio y de término más próximos y los más lejanos, y la ruta crítica. El tiempo mínimo para la ruta crítica es de 12 semanas a un costo normal de $8.000.
A(4)[0,4]
0 0 0
0 12 12
D(1)[4,5]
[8,10]
[4,7]
[0,4]
[11,12]

225
Paso 2: Tabla de tiempos próximos y lejanos
Tiempo Tiempo más próximo de: Tiempo más lejano de:
Actividad Normal Inicio Término Inicio Término Holgura
A (1,2) 4 0 4 4 4 0
B (2,3) 2 4 6 5 7 1
C (2,4) 3 4 7 4 7 0
D (2,7) 1 4 5 1 12 7
E (4,5) 3 7 10 7 10 0
F (4,6) 2 7 9 8 10 1
G (5,7) 2 10 12 10 12 0
H (6,7) 2 9 11 10 12 1
Actividades
críticas

226
Paso 3: “Intensificar” actividades ruta crítica
a)Actividad A: de 4 a 3 semanas ( 600)
b)Actividad C: de 3 a 1 semana (1.000)
c)Actividad E: de 3 a 2 semanas ( 700)
d)Actividad G: de 2 a 1 semana ( 400)
¿Es posible hacer estas reducciones?

227
Reducción de Actividades ruta crítica
2
3
6
5
7
H(2)[9,11]
1
F(2)[7,9]
4
C(3 1)
La ruta crítica disminuyó a 7 semanas, ¿seguirá manteniéndose como tal?. No Hay que ver si es posible reducir las actividades paralelas a la ruta crítica inicial, sólo hasta igualar tiempos.
A(4 3)
0
0 0
0
D(1)[4,5]

228
Paso 4: “Intensificar” actividades que no están en la ruta crítica (“paralelas”)
a)Actividad B (paralela a C): de 2 a 1 semana (500)
b)¿Actividad F o H? (¿o ambas?). En este caso sólo F: de 2 a 1 semana (200)
c)Actividad D: No requiere reducción

229
Paso 4: Resumen de las reducciones
CostoActividadAcciónAdicionalNormalTotalA (1,2)1 semana6001.400 2.000 B (2,3)1 semana5001.500 2.000 C (2,4)2 semanas10001.500 2.500 D (2,7)-----600 600 E (4,5)1 semana7001.300 2.000 F (4,6)1 semana200300 500 G (5,7)1 semana400800 1.200 H (6,7)-----600 600 $ 8.000$ 11.400

230
Grafo final
2
3
6
5
7
H(2)[5,7]
[5,7]
1
F(1)[4,5]
4
C(1)[3,4]
En el grafo se muestran los tiempos de inicio y de término más próximos y los más lejanos, y la ruta crítica. El tiempo mínimo para la ruta crítica es de 7 semanas a un costo normal de $11.400.
A(3)[0,3]
0 0 0
0
7 7
D(1)[3,4]
[4,5]
[3,4]
[0,3]
[6,7]

231
¿Qué sucede si un proyecto lleva más tiempo del especificado? ¿Conviene hacer más “intensivo” el proyecto o pagar la penalización por atraso? Ejemplo: Suponga que en el proyecto de la casa hay una penalización de $450 por cada semana de tiempo extra después de ocho semanas. ¿Cuál es la red óptima?.
Solución: Reducir la red en una semana cada vez e ir comparando si los costos por intensificar son menores a los costos por penalización. Se termina cuando los costos de penalización son mayor a los costos de intensificar.
Red óptima

232
1.Reducir una semana (de 12 a 11 semanas) De la red normal analizar ruta crítica Actividades Incremento de Costo A 600 C 500 E 700 G 400 Conclusión: Intensificar 1 semana la actividad G (400<450).
2.Intentar reducir una segunda semana (de 11 a 10) Todos los costos incrementales de la ruta son mayores a la penalización. Intentar por las vías paralelas. No hay rutas alternativas cuya reducción implique un costo menor al de penalización.
Red óptima

233
Solución
2
3
6
5
7
H(2)
1
F(2)
4
C(3)
Grafo resultante
A(4)
D(1)
Conviene hacer intensivo el proyecto hasta la semana 11 y pagar las penalizaciones por las semanas de atraso
Costo total = Costo intensivo + costo penalización
= (8.000 + 400) + 3*450 = $9.650

234
Ejemplo
a)Dibuje la red. Con los tiempos normales de las actividades, encuéntrese la duración total del proyecto y la ruta crítica.
b)Supóngase que el proyecto se debe completar en un tiempo mínimo. ¿Cuál es el menor costo para el proyecto, es decir, cuál es la red de tiempo mínimo—costo mínimo?
c)¿Cuál es el costo mínimo para terminar el proyecto en 17 meses?
d)El departamento de comercialización dice que cada mes que el proyecto se pase de 15 meses le cuesta a la firma $5.000. ¿Cuál es el costo y duración óptimo del proyecto?
Suponga que un proyecto de investigación tiene las siguientes estimaciones:
ActividadNormalIntensivoNormalIntensivoA (1,2)8420.000 30.000 B (1,3)9618.000 27.000 C (2,3)3212.000 17.000 D (2,4)10725.000 34.000 E(3,4)6415.000 23.000 Tiempo (meses)Costo (miles $)

235
Modelo de PL para CPM (Tiempo mínimo—costo mínimo)
a)Identificación de Variables de decisión Están relacionadas directamente con el tiempo a reducir en cada tarea Yi: Tiempo (horas, días, ..) a reducir de la i-ésima actividad YA: Número de semanas en las cuales acortar la actividad A b) Función Objetivo El objetivo es minimizar los recursos adicionales totales requeridos para satisfacer el tiempo de término del proyecto. Para el ejemplo en estudio, en la tabla de especificaciones agregamos dos columnas: Tiempo máximo a reducir por tarea y el costo adicional por semana intensiva

236
Por lo tanto la función es: MIN Z = 600YA+500YB+500YC+700YE+200YF+400YG+400YH
ActividadPrecedenciaNormalIntensivoNormalIntensivoA (1,2)ninguna431.400 2.000 1600B (2,3)A211.500 2.000 1500C (2,4)A311.500 2.500 2500D (2,7)A11600 600 0-- Fic(3,4)00----0-- E (4,5)B, C321.300 2.000 1700F (4,6)B, C21300 500 1200G (5,7)E21800 1.200 1400H (6,7)F21600 1.000 1400Tiempo (semanas)Costo (miles $)Reducción máximaCosto por semana

237
c) Identificación de las restricciones Para el ejemplo, se pueden agrupar en dos grupos
1.La cantidad máxima de tiempo en el cual se puede acortar cada actividad.
2.El tiempo de término del proyecto (en este caso 12 semanas) Para el grupo 1, lo que se necesita son las cotas superiores sobre las variables de decisión (YA, YB, YC, YE, YF, YG, YH) dada por la columna “Reducción máxima) de la tabla anterior.

238
Restricciones de Límite 0<=YA<= 1 (límite de A) 0<=YB<= 1 (límite de B) 0<=YC<= 2 (límite de C) 0<=YD<= 0 (límite de D) 0<=YE<= 1 (límite de E) 0<=YF<= 1 (límite de F) 0<=YG<= 1 (límite de G) 0<=YH<= 1 (límite de H)

239
Restricciones del grupo 2 están en función de nuevas variables que expresan cuando las actividades que salen de un determinado evento pueden comenzar. Requiere conocer cuando terminan todas las actividades que llegan al evento. Dependen de Yi X1 : tiempo en que todas las actividades que salen del evento 1 pueden comenzar X2 : tiempo en que todas las actividades que salen del evento 2 pueden comenzar ...... X7 : tiempo en que todas las actividades que salen del evento 7 pueden comenzar Además el proyecto debe comenzar en el tiempo 1 y terminar a lo más en 12 semanas X1 = 0 X7 12

240
2
3
6
5
7
E(3)
G(2)
H(2)
D(1)
1
F(2)
4
C(3)
Asociando las variables a la red tenemos:
(2-YB)
A(4)
B(2)
(4-YA)
(3-YC)
(2-YF)
(1-YD)
(2-YH)
(3-YE)
(2-YG)
(0)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7

241
Nodo 2 Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 2 tiempo de terminación de todas las tareas que entran al nodo 2 Tiempo de inicio de las tareas B, C y D (tiempo de terminación de la tarea A + (tiempo acortado de la tarea A) X2 X1 + (4-YA) Nodo 3 Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 3 tiempo de terminación de todas las tareas que entran al nodo 3 Tiempo de inicio de la tarea Ficticia (tiempo de terminación de la tarea B + (tiempo acortado de la tarea B) X3 X2 + (2-YB)

242
Nodo 4
Tiempo de inicio de las tareas que salen del nodo 4 tiempo de terminación de todas las tareas que entran al nodo 4.
Hay dos arcos que entran al nodo, las actividades E y F deben comenzar sólo cuando las tareas que entran (C y la ficticia) hayan terminado. Dando origen así a dos restricciones (una por cada actividad)
Restricción de la actividad C
Tiempo de inicio de las tareas E y F tiempo de terminación de la tarea C
Tiempo de inicio de las tareas E y F (tiempo de terminación de la tarea C + (tiempo acortado de la tarea C)
X4 X2 + (3-Yc) (tarea C)

243
Nodo 4 Restricción de la actividad Ficticia Tiempo de inicio de las tareas E y F tiempo de terminación de la tarea figurada Tiempo de inicio de las tareas E y F (tiempo de terminación de la tarea Figurada + (tiempo acortado de la tarea Figurada) X4 X3 + 0 (tarea Figurada) Aplicando sistemáticamente el procedimiento y se escribe una restricción para cada actividad se obtienen las siguientes restricciones para los nodos 5 al 7

244
Nodo 5 X5 X4 + (3-YE) (actividad E) Nodo 6 X6 X4 + (2-YF) (actividad F) Nodo 7 X7 X5 + (2-YG) (actividad G) X7 X6 + (2-YH) (actividad H)

245
MIN Z = 600YA+500YB+500YC+700YE+200YF+400YG+400YH Sujeto a:
Restricciones de Límite
0<=YA<= 1 (límite de A)
0<=YB<= 1 (límite de B)
0<=YC<= 2 (límite de C)
0<=YD<= 0 (límite de D)
0<=YE<= 1 (límite de E)
0<=YF<= 1 (límite de F)
0<=YG<= 1 (límite de G)
0<=YH<= 1 (límite de H)

246
X1 = 0 X7 12 X2 X1 + (4-YA) (tarea C) X3 X2 + (2-YB) (tarea B) X4 X2 + (3-Yc) (tarea C) X4 X3 + 0 (tarea Figurada) X5 X4 + (3-YE) (actividad E) X6 X4 + (2-YF) (actividad F) X7 X5 + (2-YG) (actividad G) X7 X6 + (2-YH) (actividad H) X1, ..., X7 0

247
Para su entretención
Ejercicios:
a)Existen 7 trayectorias en esta red. Encuéntrense todas. b) Con tiempos normales, encuéntrese la longitud de cada trayectoria. ¿Cuál es la ruta crítica? c) ¿Cuál es el costo mínimo intensivo para reducir el proyecto a 39 días? ¿a 38 días? ¿a 37 días? d) Encuéntrese la red de tiempo mínimo—costo mínimo.
La complejidad de las redes CPM está más afectada por las interrelaciones que el número de nodos. Por ejemplo, considérese el proyecto siguiente:
ActividadNormalIntensivoNormalIntensivoA (1,2)8710.000 12.000 B (1,3)151012.000 17.000 C (1,4)12613.000 14.000 D (2,3)997.000 7.000 E (2,5)1192.000 4.000 F (3,6)985.000 7.000 G (4,3)9714.000 16.000 H (4,7)13128.000 10.000 I (5,6)756.000 10.000 J (5,8)15119.000 10.000 K (6,8)1053.000 8.000 L (7,6)437.000 8.000 M (7,8)1295.000 6.000

Optimización de costos de transporte

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (16)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Optimización de costos de transporte

Similar a Optimización de costos de transporte (20)

Más de Maybeth Ponce

Más de Maybeth Ponce (17)

Último

Último (20)

Optimización de costos de transporte