ecuaciones

1. CAPITULO 10
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Introducción
En el capítulo anterior, nuestra atención se ha enfocado en encontrar “soluciones generales” de
ecuaciones diferenciales ordinarias. Además nos interesó principalmente la teoría y aplicación de
ecuaciones lineales de orden n ≤ 2. En este capítulo limitaremos nuestras consideraciones a una
clase especial de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales. Sin embargo, no
haremos ningún intento de encontrar o siquiera de tratar de estudiar el concepto de solución
general de una ecuación de tal clase. El énfasis se pondrá en un procedimiento específico usado
para resolver ciertos problemas de distribuciones de temperaturas y de vibraciones que se
presentan en matemática física. Estos problemas son descritos mediante ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales de segundo orden relativamente simples, sujetas a condiciones adicionales.
Naturalmente, las soluciones de estas ecuaciones, y por lo tanto los problemas físicos, dependen
de la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias asociadas.
El desarrollo del tema a seguir será en el siguiente orden:
• Definición de funciones ortogonales y sus propiedades
• Construcción de las Series de Fourier y sus formas de presentación
• Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables
• Teoría de ecuaciones diferenciales parciales
o Solución analítica
 Variables separables
o Solución numérica
 Elementos finitos
10.1 Funciones ortogonales
Terminología

2. En esta sección y las dos siguientes preparamos el terreno para construir las Series de Fourier que
se trabajara más adelante. La noción de funciones ortogonales es fundamental para toda la
discusión.
La idea es generalizar lo que se ha aprendido en algebra lineal para espacios vectoriales de
dimensión finita y extenderlo a espacios de funciones, por ejemplo, en vectores de R2
definimos el
producto punto entre estos como el producto componente a componente y sumando estos
resultados; de la misma forma definimos un producto punto en funciones multiplicando componente
a componente y sumando los resultados, sin embargo la idea de “sumar” en funciones es integrar.
Nota: Recordemos que en R2
el producto punto nos de una noción de Perpendicularidad, así si
U.V=0 se tiene que los vectores son perpendiculares y en general en Rn
dos vectores cuyo
producto punto sea cero se dicen ortogonales, llevando esta misma definición al caso de las
funciones tenemos
Antes de comenzar formalmente a escribir sobre funciones ortogonales; observemos como
paralelamente a las definiciones hechas en 2
ℜ podemos extenderlas a definiciones en funciones.
DEFINICIÓN 10.1: Definición: Sean ),( 11 vuU y ),( 21 vvV elementos que pertenecen a 2
ℜ ;
definimos producto punto VU. como
221*1 **. vuvuVU += [1]
Definimos norma de U como
2
. UUUU ==
Y así definimos que dos vectores son ortogonales si 0. =VU ;( la interpretación geométrica: es
que los vectores son perpendiculares) de lo cual escribimos las siguientes propiedades:
i-) 0=U si y solo si 0=U
ii-) UcUc .. =
iii-) VUVU +≤+
Podríamos extender estas definiciones a operaciones con funciones de la siguiente manera:
Sean nφφφ ,...,, 21 funciones definidas en el intervalo ππ ≤≤− x , definimos:
Nota: la noción que se trabaja aquí de ortogonal es una generalización de perpendicularidad, sin
embargo, la noción geométrica de esta es espacios vectoriales de dimensión superior se pierde

3. DEFINICIÓN 10.2 Dos funciones mφ y nφ se dicen ortogonales en un intervalo a < x < b si
0)()( 21 =∫ dxxx
b
a
φφ
EJEMPLO
2
1 )( xx =φ y
3
2 )( xx =φ son ortogonales en -1 ≤ x ≤ 1 ya que
1
1
63
1
1
2
2
1
1
1
6
1
)()( −
−−
=⋅=∫∫ xdxxxdxxx φφ [ ] 0)1(1
6
1 6
=−−=
DEFINICIÓN 10.2: Un conjunto de funciones de valores reales,
)(),...,(),( 21 xxx nφφφ
Se dice ortogonal en un intervalo a ≤ x ≤ b si;
{∫
≠=
=≠
b
a
nm
nmnm dxxx ,0
.,0)()( φφ (1)
Al número positivo ∫=
b
a
nn dxxx )()( 22
φφ (2)
Se le llama norma cuadrada y
∫=
b
a
nn dxxx )()( 2
φφ
Es la norma de la función φn(x). Cuando ||φn(x)|| = 1 para n = 0,1,2,…, el conjunto {φn(x)} se dice
ortonormal en el intervalo.
Al igual que en el caso vectorial de 2
ℜ teníamos la norma de un vector que geométricamente
representaba la magnitud de el vector
EJEMPLO
Demuestre que el conjunto 1, cos x, cos 2x,…, Es ortogonal en el intervalo -π ≤ x≤ π.
Solución: Si hacemos la identificación φ0(x) = 1 y φn(x) = cos nx, entonces debemos demostrar que
∫−
=
π
π
φφ ,0)()(0 dxxx n n>0 y que ∫−
=
π
π
φφ ,0)()( dxxx nm m>0, n>0, m≠n. En el
primer caso tenemos:

4. ∫ ∫− −
=
π
π
π
π
φφ dxnxdxxx n cos)()(0
π
π−
= xnsen
n
1
[ ] ,0,0)(
1
>=−−= nnsennxsen
n
π
Y en el segundo caso tenemos:
∫ ∫− −
=
π
π
π
π
φφ dxnxmxdxxx n coscos)()(0
[ ] dxxnmxnm∫−
−++=
π
π
)cos()cos(
2
1
nm
nm
xnmsen
nm
xnmsen
≠=





−
−
+
+
+
=
−
,0
)()(
2
1
π
π
EJEMPLO
Encuentre la norma de cada una de las funciones pertenecientes al conjunto ortogonal dado en el
ejemplo precedente.
Solución: Para φ0(x) = 1, obtenemos de (2)
∫−
==
π
π
πφ .2)(
2
0 dxx
de modo que .2)(
2
0 πφ =x
Para ,0,cos)( >= nnxxnφ se tiene
∫−
=
π
π
φ dxnxxn
22
cos)(