1. Calcul des int´grales multiples
e
Abdesselam BOUARICH
Universit´ Sultan Moulay Slimane
e
Facult´ des sciences de Beni Mellal
e
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
60
50
60
40
50
30
40
30
20
20
10
10
0
0

2. 2

3. Table des mati`res
e
1 Int´grales doubles
e
1.1 D´finitions et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . .
e
ee
1.1.1 Construction de l’int´grale double . . . . .
e
1.1.2 Propri´t´s alg´briques de l’int´grale double
ee
e
e
1.2 M´thodes de calcul d’une int´grale double . . . . .
e
e
1.2.1 Th´or`me de Fibini . . . . . . . . . . . . .
e e
1.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . .
1.2.3 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . .
1.3 Int´grales doubles g´n´ralis´es . . . . . . . . . . . .
e
e e
e
1.3.1 Cas d’une fonction positive . . . . . . . . .
1.3.2 Cas d’une fonction de signe quelconque . .
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5
6
6
8
9
9
12
14
17
17
20
2 Int´grales de surfaces
e
2.1 G´om´trie affine des surfaces classiques de R3 . . . . . . . . . . .
e e
2.1.1 Surfaces d´finies par une ´quation implicite F(x, y, z) = 0
e
e
2.1.2 Surfaces param´triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.1.3 Surfaces de r´volution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.2 D´finition et propri´t´s des int´grales de surfaces . . . . . . . . .
e
ee
e
2.3 Flux d’un champ de vecteurs ` travers une surface orientable . .
a
2.3.1 Surfaces orientables dans l’espace R3 . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21
22
22
23
24
28
32
32
33
35
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39
40
41
41
43
45
47
3 Int´grales triples
e
3.1 D´finition et propri´t´s . . . . . . . . . .
e
ee
3.2 M´thodes de calcul d’une int´grale triple
e
e
3.2.1 Formule de Fubini . . . . . . . .
3.2.2 Changement de variables . . . .
3.2.3 Th´or`me d’Ostrigradski-Gauss .
e e
3.3 Int´grales triples g´n´ralis´es . . . . . .
e
e e
e
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4. 4
`
TABLE DES MATIERES

5. Chapitre 1
Int´grales doubles
e
Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de :
e
1. savoir calculer une int´grale double en utilisant la formule
e
de Fubini ;
2. savoir effectuer un changement de variables au sein d’une
int´grale double ;
e
3. savoir appliquer la formule de Green-Riemann ;
4. comprendre que les int´grales doubles g´n´ralis´es
e
e e
e
convergent si elles sont absolument convergente.

6. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
6
Dans ce chapitre, on se propose d’´tablir des formules avec lesquelles on sera en mesure de
e
calculer l’aire d’un domaine plan ou le volume d’un domaine de l’espace R3 qui est limit´ par le
e
graphe d’une fonction born´e f (x, y). Les formules qu’on va ´tablir seront appel´es int´grales
e
e
e
e
doubles car, comme on va le voir ; elles seront exprim´ par deux int´grales simples it´r´es qui
e
e
ee
portent la fonction f (x, y) et sur son domaine de d´finition.
e
1.1
D´finitions et propri´t´s
e
e e
1.1.1
Construction de l’int´grale double
e
D´finition 1. On appelle domaine ´l´mentaire du plan R2 toute partie D ⊂ R2 d´finie par
e
ee
e
comme suit,
D = {(x, y) ∈ R2 /a x b et f1 (x) y f2 (x)}
o` f1 , f2 : [a, b] → R sont deux fonctions continues.
u
Quand, une partie born´e ferm´e D ′ ⊂ R2 est r´union finie de domaines ´l´mentaires on
e
e
e
ee
l’appellera compacte ´l´mentaire.
ee
a
b
Figure 1.1 – Compacts ´l´mentaires du plan R2
ee
Consid´rons un domaine ´l´mentaire D = {(x, y) ∈ R2 /a x b et f1 (x) y f2 (x)}
e
ee
et f : D → R une fonction born´e. On d´signe par [c, d] le segment obtenu en projetant le
e
e
domaine D sur l’axe Oy. Ensuite, partageons les deux segments [a, b] et [c, d] respectivement
en m et n portions,
a = x1 < x2 < · · · < xm = b
et
c = y0 < y1 < · · · < yn = d.
Il est clair que si pour tout couple d’indices 0
i
m et 0
j
n on pose Ri,j =
[xi , xi+1 ]×[yj , yj+1 ] on d´finit ainsi une subdivision du domaine ´l´mentaire D qui sera d´sign´e
e
ee
e
e
par, Π(D) = {(xi , yj ) ∈ R2 /0 i m, 0 j n}.
Enfin, notons que puisque la fonction f : D → R est born´e les deux nombres r´els suivants
e
e
sont donc finis,
mi,j = inf{f (x, y)/(x, y) ∈ Ri,j }
et
Mi,j = sup{f (x, y)/(x, y) ∈ Ri,j }.
D´finition 2. Les deux nombres r´els suivants s’appellent respectivement : somme de Darboux
e
e
inf´rieure et somme de Darboux sup´rieure.
e
e

7. ´
´ ´
1.1. DEFINITIONS ET PROPRIETES
7
et
S(f, Π(D)) =
Ri,j ⊂D
(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )Mi,j
(1.2)
Figure 1.2 – Volume limit´ par D et le graphe de f (x, y)
e
Maintenant, puisqu’on sait que le nombre r´el (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )Mi,j (resp. (xi+1 −
e
xi )(yj+1 − yj )Mi,j ) mesure le volume du parall`l´pipde de base Ri,j et de hauteur Mi,j (resp.
ee
mi,j ) ; ceci nous permet d’interpr´ter la somme de Darboux sup´rieure S(f, Π(D)) comme une
e
e
3 qui est limit´e par le domaine ´l´mentaire
mesure par exc`s du volume de la domine V ⊂ R
e
e
ee
D et le graphe de la fonction born´e f . De mˆme, on peut interpr´ter la somme de Darboux
e
e
e
inf´rieure σ(f, Π(D)) peut ˆtre interpr´ter comme une mesure par d´faut du domaine V.
e
e
e
e
D´finition 3. On garde les notations introduites ci-dessus. Dans chaque rectangle Ri,j de la
e
e
subdivision Π(D) on fixe un point ζi,j ∈ Ri,j ∩ D. Le nombre r´el,
i=m−1 j=n−1
R(f, Π(D), ζi,j ) =
i=0
j=0
f (ζi,j )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )
(1.3)
s’appelle somme de Riemann associ´e ` la fonction born´e f et ` la subdivision Π(D) munie
e a
e
a
des points ζi,j ∈ Ri,j ∩ D.
On v´rifie facilement que les trois sommes d´finies ci-dessus satisfont aux propri´t´s suie
e
ee
vantes :
1. Pour toute subdivision Π(D) d’un domaine ´l´mentaire D ⊆ [a, b] × [c, d] et pour tout
ee
choix de points ζi,j ∈ Ri,j ∩ D on a la double in´galit´,
e
e
σ(f, Π(D))
R(f, Π(D), ζi,j )
S(f, Π(D)).
(1.4)
2. La somme inf´rieure de Darboux σ(f, Π(D)) augmente au fur et ` mesure que la subdie
a
vision Π(D) devient fine.
3. Tandis que la somme sup´rieure de Darboux S(f, Π(D)) d´munie au fur et ` mesure que
e
e
a
la subdivision Π(D) devient fine.
ee
e
D´finition 4. Soit D ⊂ R3 un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction born´e.
e
1. On dira que la fonction f est int´grable au sens de Darboux sur le domaine D si ses
e
sommes de Darboux inf´rieure et sup´rieure sont ´gales,
e
e
e
sup{σ(f, Π(D))/Π(D)} = inf{S(f, Π(D))/Π(D)}.
2. On dira que la fonction f est int´grable au sens de Riemann sur le domaine D si la
e
somme de Riemann R(f, Π(D), ζi,j ) admet une limite finie quand xi+1 − xi et yj+1 − yj
tendent vers z´ro.
e
3. Si f : D → R est int´gralble au sens de Riemann ou au sens de Darboux on notera les
e
trois limits ´gales,
e
lim
xi+1 −xi →0
yj+1 −yj →0
par le symbole
R(f, Π(D), zi,j ) = sup{σ(f, Π(D))/Π(D)} = inf{S(f, Π(D))/Π(D)}
f (x, y)dxdy qui se lit int´grale double de la fonction f sur le doe

8. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
8
ee
Th´or`me 1. Soit D ⊂ R2 un compact ´l´mentaire. Alors toute fonction continue f : D → R
e e
est int´grable au sens de Riemann.
e
D´monstration. Admise.
e
Pour achever ce paragraphe consacr´ ` la construction de l’int´grale double d’une fonction
ea
e
born´e f : D → R, notons qu’on a les faits suivants :
e
1. Si on prend f (x, y) = 1 alors par construction de l’int´grale double on d´duit que l’aire
e
e
du domaine D est donn´e par,
e
Aire(D) =
2. L’int´grale double
e
D
dxdy
(1.5)
D
f (x, y)dxdy mesure le volume alg´brique du domaine V ⊂ R3
e
limit´ par le domaine ´l´mentaire D et par le graphe de la fonction born´e f .
e
ee
e
3. Si par exemple le domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 d´signe une plaque m´tallique dont la
ee
e
e
densit´ de masse (resp. temperature) est donn´e en chaque point (x, y) ∈ D par une
e
e
fonction born´e f (x, y), alors ; interpr´ter l’int´grale double
e
e
e
f (x, y)dxdy mesure la
D
masse totale (resp. temperature moyenne) de la plaque m´tallique D.
e
1.1.2
Propri´t´s alg´briques de l’int´grale double
e e
e
e
Dans ce paragraphe, nous donnerons quelques propri´t´s de nature alg´brique de l’int´grale
ee
e
e
double. Ces propri´t´s se d´montrent facilement ` partir des sommes de Darboux et de Rieee
e
a
mann.
Proposition 1. L’int´grale double au sens de Riemann d’une fonction born´e sur un compact
e
e
´l´mentaire v´rifie les propri´t´s suivantes :
ee
e
ee
1. L’int´grale double est lin´aire :
e
e
2 un domaine ´l´mentaire et f, g : D → R deux fonctions int´grales. Alors
Soient D ⊂ R
ee
e
pour tous r´els λ et µ on a,
e
(λf (x, y) + µg(x, y))dxdy = λ
f (x, y)dxdy + µ
D
D
g(x, y)dxdy
D
2. L’int´grale double est additif :
e
Soient D1 et D2 sont deux domaines ´l´mentaires de R2 dont l’intersection D1 ∩ D2 est
ee
vide ou ´gale ` une courbe plane. Alors pour toute fonction int´grable f : D1 ∪ D2 → R
e
a
e
on a,
f (x, y)dxdy =
D1 ∪D2
f (x, y)dxdy +
D1
f (x, y)dxdy
D2
3. L’int´grale double est croissante :
e
– Si pour tout (x, y) ∈ mathcalD on a f (x, y)
0 alors,
f (x, y)dxdy
0;
D
– Si la fonction f (x, y) est positive sur le domaine D alors pour tout sous domaine
´l´mentaire D ′ ⊂ D on a,
ee
f (x, y)dxdy
D′
f (x, y)dxdy.
D
– Si f, g : D → R sont deux fonctions int´grables telles que f (x, y)
e
g(x, y) sur le

9. ´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE
9
Proposition 2. Soit D un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction born´e int´grable.
ee
e
e
Alors on a l’in´galit´ :
e
e
|
D
f (x, y)dxdy |
| f (x, y) | dxdy
D
En particulier, si Aire(D) = 0 alors on a
1.2
sup{| f (x, y) | /(x, y) ∈ D}Aire(D)
f (x, y)dxdy = 0.
D
M´thodes de calcul d’une int´grale double
e
e
Cette section sera enti`rement consacr´e aux m´thodes de calcul des int´grales doubles. Pour
e
e
e
e
assurer une bien assimilation des m´thodes que nous avons ´tudier ci-dessous, nous les avons
e
e
suivi par des exemples de calcul d’illustration.
1.2.1
Th´or`me de Fibini
e e
Th´or`me 2. Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et f : D → R une fonction continue. Si
e e
ee
le domaine D est d´fini par,
e
{(x, y) ∈ R2 /a
x
b, f1 (x)
y
f2 (x)} = {(x, y) ∈ R2 /c
y
d, g1 (y)
x
g2 (y)}
alors l’int´grable double de la fonction f (x, y) est ´gale `,
e
e
a
b
f (x, y)dxdy =
f2 (x)
(
a
D
d
f (x, y)dy)dx =
f1 (x)
g2 (y)
(
c
f (x, y)dx)dy
g1 (y)
D´monstration. Id´e de la d´monstration :
e
e
e
Puisque la fonction f (x, y) est continue son int´grale double
e
f (x, y)dxdy peut ˆtre donc
e
D
approch´e par la somme de Riemann associ´e ` une subdivision Π(D) et un choix de points
e
e a
ζi,j ∈ Ri,j ∩ D :
i=m−1 j=n−1
R(f, Π(D), zi,j ) =
i=0
f (ζi,j )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )
j=0
i=m−1 j=n−1
=
[
i=0
f (ζi,j )(yj+1 − yj )](xi+1 − xi )
j=0
e
e
Intuitivement, si dans un premier temps on fait tendre yj+1 − yj vers z´ro dans la quantit´
mise entre crochet tout en laissant xi+1 − xi fixe on obtient une int´grale simple de type
e
f (x, y)dy dont les bornes d´pendent naturellement de la variable x. Ainsi, si par suite on
e
fait tendre xi+1 − xi vers z´ro on obtient une int´grale double ´gale ` l’it´ration de deux
e
e
e
a
e
int´grales simples de la forme,
e
[
f (x, y)dy]dx.
Corollaire 1. Sur un rectangle D = [a, b] × [c, d] l’int´grale double d’une fonction continue
e
b
f (x, y) est donn´e par,
e
f (x, y)dxdy =
D
d
(
a
d
f (x, y)dy)dx =
c
f (x, y)dx)dy.
c
En particulier, si f (x, y) = F(x)G(y) alors on a
a
b
f (x, y)dxdy = (
D
Exemple 1. 1) Calculons l’int´grale double
e
b
(
d
F(x)dx)(
a
G(y)dy).
c
(x2 + y 2 )dxdy o` D d´signe le triangle limit´
u
e
e

10. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
10
1−x
x
x−1
Figure 1.3 – Triangle
Pour calculer l’int´grale double donn´e nous allons appliquer la formule de Fubini. Pour cela
e
e
nous allons d´finir le triangle D analytiquement par les in´galit´s (voir figure) :
e
e
e
D = {(x, y) ∈ R2 /0
1
(x2 + y 2 )dxdy =
D
x
1−x
(
0
1, x − 1
y
1 − x}
(x2 + y 2 )dy)dx
x−1
1
y 3 1−x
] dx
3 x−1
0
1
1
1
=
(2x2 − 2x3 + (1 − x)3 − (1 − x)3 )dx
3
3
0
2 3 1 4
1
1
1
= [ x − x − (1 − x)4 + (1 − x)4 ]1 =
0
3
2
12
12
3
=
[x2 y +
2) Calculons l’aire du domaine circulaire D limit´ par les deux cercles d’´quations analytiques
e
e
(voir figure) : x2 + y 2 = R2 et (x − R)2 + y 2 = R2 .
Figure 1.4 – Intersection de deux disques
Pour calculer l’aire du domaine D nous allons appliquer la formule de Fubini ` l’int´grale
a
e
double,

11. ´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE
11
Observons que si on d´finit le domaine d’int´gration D en fonction des coordonn´es cart´e
e
e
e
siennes x et y par les in´galit´s,
e
e
√
√
3R
3R
2
D = {(x, y) ∈ R / −
y
et R − R2 − y 2 x
R2 − y 2 }
2
2
alors grˆce ` la formule de Fubini on peut ´crire,
a a
e
√
√
R2 −y 2
3R/2
Aire(D) =
=
dxdy =
D
√
3R/2
(2
√
− 3R/2
dy
√
− 3R/2
R−
√
dx
R2 −y 2
R2 − y 2 − R)dy.
Pour calculer l’int´grale simple pr´c´dente nous allons effectuer le changement de variable
e
e e
y = R sin(t) avec t ∈ [−π/3, π/3] :
π/3
Aire(D) =
−π/3
= R2
(2R cos(t) − R)R cos(t)dt
π/3
−π/3
(1 + cos(2t) − cos(t))dt = R2 [t +
√
π
3
= R [2 −
].
3
2
1
π/3
sin(2t) − sin(t)]−π/3
2
2
Exercice 1. Soit D ⊂ R2 une partie born´e ferm´e non vide et f : D → R une fonction
e
e
f (x, y)dxdy, dans les
int´grable. Indiquer les bornes d’int´gration de l’int´grale double,
e
e
e
D
cas suivants :
ı) D1 = {(x, y) ∈ R2 /x a, y b, x + y 1 + a + b} ;
ıı) D2 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ax, x2 + y 2 ay} ;
ııı) D3 = {(x, y) ∈ R2 /y x2 , 1 − x2 y}.
Exercice 2. D´crire g´om´triquement le domaine d’int´gration D des int´grales doubles done
e e
e
e
n´es ci-dessous, ensuite, changer l’ordre de leurs bornes d’int´gration.
e
e
√
3
dx
0
25−x2
a
f (x, y)dy,
0
dx
−a
−x+a
√
1
f (x, y)dy,
x+a
dy
y
2
f (x, y)dx,
y2
0
y+2
dy
f (x, y)dx
y2
−1
Exercice 3. Calculer l’aire du domaine plan limit´ par les courbes donn´es :
e
e
a) y = 4x − x2 , y = x.
b) y 2 = 2x, x2 = 6y.
c) y = x3 − 2x, y6x − x3 .
Exercice 4. Calculer les int´grales doubles suivantes :
e
a)
D
b)
D
c)
D
dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /ax2
u
y
dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2
u
bx2 ,
c
x
y
d
} avec 0 < a < b et 0 < c < d.
x
1, x2 + y 2 − 2y
0, x
0, y
0}.
x2 − y 2 dxdy o` D est le tringle de sommets O = (0, 0), A = (1, 1) et B = (1, −1).
u

12. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
12
1.2.2
Changement de variables
Dans ce paragraphe, ´tant donn´ un compact ´l´mentaire D et une fonction continue f :
e
e
ee
D → R ; on se propose d’´tudier l’influence du changement de variables dans la d´finition
e
e
g´om´trique du domaine D sur l’expression de l’int´grale double
e e
e
f (x, y)dxdy.
D
Th´or`me 3 (Formule du changement de variables). Soient D ′ et D deux domaines ´l´mene e
ee
taires du plan R2 . Soit T : D ′ → D une application bijective de classe C 1 dont les composantes
sont d´sign´es par (x(u, v), y(u, v)) = T(u, v).
e
e
Si le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application T(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) est non
e
nul sur le domaine D alors pour toute fonction continue, f : D → R, on a la formule suivante
dite de changement de variables :
f (x, y)dxdy =
D′
D
f (x(u, v), y(u, v)) |
D(x, y)
| dudv
D(u, v)
(1.6)
∂x ∂y ∂x ∂y
D(x, y)
=
−
d´signe le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application
e
e
D(u, v)
∂u ∂v
∂v ∂u
diff´rentiable T(u, v) = (x, y).
e
o`
u
D´monstration. Dans cette d´monstration, pour guider notre imagination nous travaillerons
e
e
avec la figure suivante :
Figure 1.5 – Changement de variables
Pour calculer l’int´grale double
e
D
f (x, y)dxdy nous allons subdiviser le domaine D en
utilisant la famille des courbes Ci = T(ui , v) et C′ = T(u, vj ) (Voir la figure), et puis ; nous
j
allons consid´rer la somme de Riemann associ´e ` la fonction f et aux donn´es ci-dessus :
e
e a
e
i=m−1 j=n−1
f (ζi,j )Aire(T(Ri,j ))
i=0
j=0
e
o` Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ] ⊂ D ′ . Rappelons que la somme de Riemann tend vers l’int´grale
u
double de la fonction f (x, y) sur D.
Notons que puisque l’application T : D ′ → D est bijective donc on peut trouver des points
ηi,j ∈ D ′ tels que T(ηi,j ) = ζi,j . D’autre part, observons que si on approche l’aire du domaine
∂T
∂T
T(Ri,j ) par la norme du produit vectoriel
(ui , vj ) ∧
(ui , vj ),
∂u
∂v
ı
∂x
(ui , vj )
∂u
∂x
(ui , vj )
∂v
on peut alors
suivante,

∂y
(ui , vj )
∂u
∂y
(ui , vj )
∂v
approcher
k
0
=|
∂x
∂y
∂x
∂y
D(x, y)
(ui , vj ) (ui , vj )− (ui , vj ) (ui , vj ) |=|
(ui , vj ) |
∂u
∂v
∂v
∂u
D(u, v)
0
la somme de Riemann pr´c´dente de la fonction f par l’expression
e e
i=m−1 j=n−1
i=0
j=0
f ◦ T(ηi,j ) |
D(x, y)
(ui , vj ) | (ui+1 − ui )(vj+1 − vj ).
D(u, v)
Ainsi, si on fait tendre les ui+1 − ui et vj+1 − vj vers z´ro on la formule du changement de
e

13. ´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE
13
Corollaire 2. Si T(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) r´alise un changement de variables de D ′ sur D,
e
alors, pour toute fonction continue f : D ′ → D on a la formule de changement de variables en
coordonn´es polaires :
e
f (x, y)dxdy =
f (r cos(θ), r sin(θ))rdrdθ
(1.7)
D′
D
Exemple 2. 1) Calculons l’int´grale double
e
D
(1 − x2 − y 2 )dxdy o` D d´signe le domaine
u
e
limit´ par le quart du cercle de ration r = 1 centr´ en (0, 0) et les demies droites x
e
e
en passant en coordonn´es polaires : x = r cos(θ) et y = r sin(θ).
e
0 et y
0
Notons qu’en coordonn´es polaires la fonction f (x, y) prend la forme 1 − r 2 tandis que le
e
π
domaine d’int´gration D devient D ′ = {(r, θ)/0 r 1, 0 θ
e
2 . Ainsi, avec ces notations
on applique la formule du changement de variables ` l’int´grale double donn´e on obtient :
a
e
e
D
(1 − x2 − y 2 )dxdy =
D′
(1 − r 2 )rdrdθ
π/2
=
1
(
0
=
0
π/2 2
r
[
0
=
2) Calculons l’int´grale double
e
D
2
π
.
8
(1 − r 2 )rdr)dθ
−
r4 1
] dθ
4 0
x2 + y 2 dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /r 2
u
x2 + y 2
R2 }.
En passant en coordonn´es polaires x = ρ cos(θ) et y = ρ sin(θ) on obtient :
e
2π
R
R3 − r 3
)
3
D
0
r
Exercice 5. Calculer les int´grales doubles suivantes en utilisant un changement de variables.
e
x2 + y 2 dxdy =
a)
D
b)
(
ρ2 dr)dθ = 2π(
(x2 + y 2 )dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2
u
x}.
dxdy o` D est le domaine limit´ par la lemniscate de Bernoulli : (
u
e
D
90
x2 y 2 2 x2
y2
+ 2) = 2 − 2.
a2
b
k
h
2
60
120
1.5
150
30
1
0.5
180
0
210
330
240
300
270
Figure 1.6 – Lemniscate de Bernoulli : (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2
c)
D
d)
y
dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 a2 , x 0, y 0}.
u
+ x2
x−y
cos(
)dxdy o` D = {(x, y) ∈ R2 /x + y
u
1, x
0, y
1} (Indication : poser
a2

14. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
14
1.2.3
Formule de Green-Riemann
Dans ce paragraphe, nous allons d´montrer la formule de Green-Riemann qui relie les int´e
e
grales double sur un domaine D ` une int´grales curviligne d’une forme diff´rentielle de degr´ un
a
e
e
e
le long du bord orient´ du domaine D. Avant qu’on d´montre la formule de Green-Riemann
e
e
nous allons d’abord pr´ciser le sens g´om´trique de l’adjectif : orient´.
e
e e
e
D´finition 5. Un domaine plan ( ou surface plane) D ⊂ R2 est dit orient´ positivement
e
e
s’il reste du cˆt´ gauche d’un promeneur P qui se d´place dans le sens trigonom´trique le long
oe
e
e
du bord ∂D (fronti`re) du domaine D (Voir figure).
e
x
y
?
y
-
D1
?
-
6
D2
?
6x
-
y
6x
?
6
-
Figure 1.7 – Domaines de R2 orient´s positivement
e
Notons que si en particulier la fronti`re d’un domaine D est constitu´e que par une seule
e
e
composante alors pour orienter D positivement il suffit qu’on parcourt sa fronti`re ∂D dans le
e
sens trigonom´trique.
e
Th´or`me 4. Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire dont le bord ∂D est orient´ positivement.
e e
ee
e
Si ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy est une forme diff´rentielle d´finie sur le domaine D et de classe
e
e
C 1 alors on a la formule de Green-Riemann :
(P(x, y)dx + Q(x, y)dy) =
∂D
(
D
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y))dxdy
∂x
∂y
(1.8)
D´monstration. Supposons que le domaine ´l´mentaire D est d´fini par les in´galit´s suivantes,
e
ee
e
e
e
D = {(x, y) ∈ R2 /a
x
b, f1 (x)
f2 (x)} = {(x, y) ∈ R2 /c
y
y
d, g1 (y)
x
g2 (y)}
et parcourant sa fronti`re ∂D dans le sens trigonom´trique pour l’orienter positivement (Voir
e
e
la figure).
Sous les hypoth`ses pr´c´dentes calculons l’int´grale double
e
e e
e
D
En effet, si on applique la formule de Fubini on peut ´crire :
e
D
∂Q
(x, y)dxdy =
∂x
d
g2 (y)
(
c
g1 (y)
∂Q
(x, y))dx)dy
∂x
∂Q
(x, y)dxdy.
∂x

15. ´
´
1.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE DOUBLE
15
B
x
y
y
?
6 x
-
A
Figure 1.8 – Orientation positive du domaine ´l´mentaire D
ee
d
=
c
d
Q(g2 (y), y)dy −
Q(x, y)dy +
=
C2
(Q(g1 (y), y)dy
c
Q(x, y)dy =
Q(x, y).dy
∂D
C1
De mˆme la mˆme fa¸on, si on applique la formule de Fubini a l’int´grale double
e
e
c
`
e
on v´rifie ais´ment qu’on a,
e
e
D
∂P
(x, y)dxdy = −
∂y
D
∂P
(x, y)dxdy
∂y
P(x, y)dx.
∂D
La formule de Green-Riemann s’obtient finalement par soustraction des deux int´grales
e
∂Q
∂P
doubles pr´c´dentes,
e e
(P(x, y)dx + Q(x, y)dy) =
(
(x, y) −
(x, y))dxdy.
∂y
∂D
D ∂x
Corollaire 3. Si ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy d´signe une forme diff´rentielle de classe C 1 et
e
e
ferm´e sur le domaine ´l´mentaire D alors son int´grale curviligne
e
ee
e
ω = 0.
∂D
Corollaire 4. L’aire d’un compact ´l´mentaire D ⊂ R2 est donn´e par la formule,
ee
e
Aire(D) =
1
2
D
(xdy − ydx).
(1.9)
D´monstration. Il suffit qu’on applique la formule de Green-Riemann ` la forme diff´rentielle
e
a
e
1
ω = (xdy − ydx) sur le domaine D orient´ positivement.
e
2
Exemple 3. 1) Appliquons la formule de Green-Riemann pour calculer l’int´grale curviligne
e
de la forme diff´rentielle suivante,
e
ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = Log(
2+y
x(3y + 7)
)dx +
dy
2
1+x
2+y
le long du cercle de rayon R = 1 centr´ au point (0, 0) orient´ positivement.
e
e

16. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
16
nous permet d’´crire,
e
∂Q ∂P
−
)dxdy
∂y
D ∂x
3y + 7
1
(
−
)dxdy
y+2
D y+2
ω =
(
∂D
=
=
3dxdy = 3Aire(D) = 3π
D
2) Calculons l’aire du domaine D limit´ par le folium C de Descate qui est d´fini par le syst`me
e
e
e
param´trique,
e
1 − t2 1 − t2
,t
)
o`
u
|t| 1
(x(t), y(t)) = (
1 + t2 1 + t2
Observons que les ´quations param´triques de la courbe C impliquent qu’on a
e
e
1
1
1
y = tx =⇒ ω = (xdy − ydx) = (x(tdx + xdt) − txdx) = x2 dt
2
2
2
Aire(D) =
=
1
2
1
2
C
(xdy − ydx)
1
(x(t))2 dt =
−1
1
2
1
(
−1
1 − t2 2
) dt.
1 + t2
Maintenant, si dans l’int´grale simple pr´c´dente on effectue le changement de variable,
e
e e
tg(θ) = t, on obtient :
Aire(D) =
1
2
π/4
−π
(1 − tg(θ)2 )2
π
dθ = 2 − .
1 + tg(θ)2
2
Exercice 6. Calculer les int´grales suivantes en utilisant la formule de Green-Riemann.
e
a)
C
b)
(2x3 − y 3 )dx + (x3 + y 3 )dy o` C d´signe le cercle d’´quation, x2 + y 2 = 2x.
u
e
e
x2 + y 2 dx + y(x + log(x +
C
x2 + y 2 ))dy o` C d´signe l’ellipse d’´quation,
u
e
e
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Exercice 7. Calculer l’aire du domaine D limit´ par la courbe C d´finie ci-dessus.
e
e
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
b) C est l’hypocyclo¨de d’´quation x2/3 + y 2/3 = a2/3 (Voir la figure).
ı
e
a) C est l’ellipse :
Figure 1.9 – L’hypocyclo¨ : x = 2 cos(t) + cos(2t), y = 2 sin(t) − sin(2t), t ∈ [0, 2π].
ıde
c) C est la lemniscate de Bernoulli d’´quation : (
e
x2
+
y2
)2 =
x2
−
y2
.

17. ´
´ ´
´
1.3. INTEGRALES DOUBLES GENERALISEES
90
17
2
60
120
1.5
150
30
1
0.5
180
0
210
330
240
300
270
Figure 1.10 – Lemniscate de Bernoulli : r 2 = a2 cos(2θ), θ ∈ [0, 2π]
1.3
Int´grales doubles g´n´ralis´es
e
e e
e
Dans cette section, nous allons ´tendre la d´finition de l’int´grale double aux deux cas suie
e
e
vants :
1) D ⊂ R2 est un domaine born´ et f : D → R est continue mais non born´e.
e
e
2) D ⊂ R2 est un domaine non born´ et f : D → R est continue et born´e.
e
e
1.3.1
Cas d’une fonction positive
D´finition 6. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R+ une fonction positive. On dira
e
que f est localement int´grable si pour tout compact ´l´mentaire K ⊂ D l’int´grale double
e
ee
e
f (x, y)dxdy est un nombre r´el fini.
e
K
Puisque on sait que les fonctions continues sont int´grables au sens de Riemann sur les
e
compacts ´l´mentaires du plan R2 elles sont donc localement int´grables au-dessus de tous les
ee
e
ouvert de R2 .
D´finition 7. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R+ une fonction positive localee
ment int´grable. S’il existe une famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 ⊂ D
e
ee
telle que,
1. D =
2.
Kn ,
n 0
lim
n→+∞
f (x, y)dxdy existe dans R,
Kn
on dira que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y)dxdy := lim
n→+∞
D
Une int´grale double g´n´ralis´e non convergente est dite divergente.
e
e e
e
f (x, y)dxdy converge.
Kn
Th´or`me 5. Soit D ⊂ R2 un ouvert vide et f : D → R+ une fonction positive localement
e e
int´grable. La nature de l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
f (x, y)dxdy ne d´pend pas du choix de la
e
D
famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 telle que D =
ee
D´monstration. Admise.
e
Kn .
n 0

18. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
18
1. L’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y)dxdy converge.
D
e
2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
Kn = D telle que la suite num´rique
e
n 0
f (x, y)dxdy soit major´e.
e
Kn
D´monstration. 1) implique 2) Est vraie parce que toute suite num´rique convergente est
e
e
born´e.
e
2) implique 1) En effet, puisque la fonction est positive f (x, y) 0 donc si on l’int`gre sur les
e
compacts ´l´mentaires Kn+1 = Kn ∪ (Kn+1 − Kn ) on obtient les in´galit´s :
ee
e
e
un+1 =
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy +
Kn+1
f (x, y)dxdy
Kn
un + 0
Kn+1 −Kn
qui montrent que la suite num´rique un =
e
f (x, y)dxdy est croissante. Ainsi, comme on
Kn
sait que la suite un est major´e dans R elle est donc convergete.
e
Th´or`me 6 (Crit`re de comparaison). Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide ; et soient f, g : D →
e e
e
R+ deux fonctions positives et localement int´grables telles que 0 f (x, y) g(x, y), ∀(x, y) ∈
e
D. Alors on a les propositions :
1. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
converge.
g(x, y)dxdy converge alors l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
D
2. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y)dxdy diverge alors l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
D
diverge.
x
f (x, y)dxdy
D
Exemple 4. 1) Montrons que l’int´grale double g´n´ralis´e,
e
e e
e
maine D = {(x, y)/0
f (x, y)dxdy
D
1, y 2
D
x}.
dxdy
, converge sur le dox + y2
Kn
1
n
1
Figure 1.11 – Suite croissante de compacts ´l´mentaires de D
ee
1
Consid´rons la suite de compacts Kn = {(x, y)/0
e
y
1,
y2
x} et int´grons la
e
n
1
fonction f (x, y) =
sur les Kn en appliquant la formule de Fubini :
x + y2
1
√
x
1

19. ´
´ ´
´
1.3. INTEGRALES DOUBLES GENERALISEES
19
e
Ainsi, si maintenant on fait tendre l’entier n vers +∞ dans la suite num´rique un on d´duit
e
dxdy
π
que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
converge vers .
2
2
D x+y
2) Etudions la nature de convergence de l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
R2
dxdy
selon
(1 + x2 + y 2 )α
les valeurs du nombre r´el α.
e
Notons que si on consid`re la suite des disques Dn = {(x, y)/x2 + y 2
e
passage en coordonn´es polaires que :
e
un =
Dn
2π
dxdy
(1 + x2 + y 2 )α
n2 } on obtient apr`s
e
n
rdr
)dθ
2 α
0
0 (1 + r )

π
1

n2
dt
(
− 1), si α = 1
= π
=
−α + 1 (1 + n2 )α−1
α

(1 + t)
0
Log(n2 + 1), si α = 1
=
(
Ainsi, si on passe ` la limite sur l’entier n dans la suite num´rique un on d´duit alors que
a
e
e
dxdy
l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
converge si et seulement si le r´el α 1.
e
2
2 α
R2 (1 + x + y )
+∞
3) D´montrons que l’int´grale simple g´n´ralis´e I =
e
e
e e
e
2
e−t dt est convergente. Ensuite,
0
calculons sa valeur exacte.
+∞
a) L’int´grale g´n´ralis´e simple I =
e
e e
e
2
e−t dt converge parce que pour tout r´el t 1 nous
e
0
avons les in´galit´s :
e
e
2
1 t t2 =⇒ e−t e−t
+∞
=⇒
+∞
2
e−t dt
1
n
e−t = lim
n→+∞ 1
1
e−t dt = lim (−e−n + e−1 ) = e−1
n→+∞
+∞
b) Pour calculer la valeur exacte de l’int´grale double g´n´ralis´e I =
e
e e
e
2
e−t dt nous allons
0
−x2 −y 2
´tudier l’int´grale double g´n´ralis´e K =
e
e
e e
e
e
dxdy.
R+ ×R+
En effet, si on consid`re la suite de compacts Kn = {( x, y)/x
e
obtient ` passage en coordonn´es polaires,
a
e
e−x
2 −y 2
π/2
dxdy =
Kn
n
(
0
2
re−r dr)dθ =
0
π
2
(1 − e−n ) =⇒
4
0, x2 + y 2
0, y
e−x
2 −y 2
n2 } on
dxdy =
R+ ×R+
π
4
D’autre part, si on consid`re le suite des compacts Ln = [0, n] × [0, n] on obtient la suite
e
num´rique :
e
e−x
un =
2 −y 2
n
dxdy =
Kn
n
(
0
2
n
2
e−x e−y dx)dy = (
0
2
e−x dx)2
0
dont la limite est ´gale `,
e
a
2
2
+∞
2
π
+∞
2
√
π

20. ´
CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES
20
1.3.2
Cas d’une fonction de signe quelconque
D´finition 8. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R une fonction dont la valeur absolue
e
| f (x, y) | est localement int´grable. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
dira que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
D
| f (x, y) | dxdy converge on
f (x, y)dxdy convergente absolument.
D
Proposition 4. Soit D ⊂ R2 un ouvert non vide et f : D → R une fonction localement
int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes :
e
e
1. L’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y)dxdy converge.
D
2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
e
Kn = D telle que la suite num´rique
e
Kn
n 0
| f (x, y) | dxdy soit born´e (major´e).
e
e
Autrement dit, l’int´grale double g´n´ralis´e d’une fonction fonction localement int´grable de
e
e e
e
e
signe quelconque converge si et seulement si elle converge absolument.
Exemple 5. 1) Montrons que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
R2
ment convergente.
sin(x + y)dxdy
est absolu(1 + x2 + y 2 )2
| sin(x + y) |
1
, et puisqu’on sait que l’int´e
2 + y 2 )2
2 + y 2 )2
(1 + x
(1 + x
dxdy
est convergente (voir l’exemple pr´c´dent) on en
e e
grale double g´n´ralis´e
e e
e
2
2 2
R2 (1 + x + y )
sin(x + y)dxdy
d´duit donc que l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
converge absolument.
2
2 2
2 (1 + x + y )
R
En effet, puisque nous avons
sin(x2 + y 2 )dxdy est divergente.
2) Montrons que l’int´grale g´n´ralis´e
e
e e
e
R2
En effet, si on int`gre la fonction sin(x2 + y 2 ) sur la suite de compacts Rn = [−n, n] × [−n, n]
e
on obtient la suite num´rique,
e
2
un =
2
n
sin(x +y )dxdy = 2(
Rn
n
2
sin(x )dx)(
−n
n2
2
cos(y )dy) = 2
0
−n
sin(t)
√ dt)
t
n2
0
cos(t)
√ dt),
t
qui, d’apr`s le th´or`me d’Abel (voir Cours M122), converge vers un r´el fini.
e
e e
e
Par contre, si on int`gre la fonction sin(x2 + y 2 ) sur la suite de disques Dn de centre (0, 0)
e
et de rayon r = n on obtient ainsi une suite de nombres qui diverge :
2π
sin(x2 + y 2 )dxdy =
vn =
Dn
n
(
0
0
sin(r 2 )rdr)dθ = π(1 − cos(n2 ))
Exercice 8. Trouver la nature des int´grales doubles g´n´ralis´es suivantes :
e
e e
e
a)
Log(
D
b)
D
c)
D
x2 + y 2 )dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2
1}.
1
dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 1} et a 0.
+ y 2 )a
1
dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 /0 x 1, 0 y 2 x}.
xα + y 2
(x2
sin(x2 + y 2 )e−x
Exercice 9. Montrer que l’int´grale double g´n´ralis´e
e
e e
e
R+ ×R+
2 −y 2
dxdy est

21. Chapitre 2
Int´grales de surfaces
e
Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de :
e
1. vous familiariser avec la g´om´trie affine des surfaces
e e
3;
classiques de l’espace R
2. savoir calculer le plan tangent et d´terminer la droite
e
normale d’une surface ;
3. savoir calculer l’´l´ment d’aire d’une surface donn´e soit
ee
e
par equation implicite ou param´trique ;
e
4. savoir calculer l’int´grale de surface et le flux d’champ de
e
vecteurs ` travers une surface orient´e ;
a
e
5. savoir appliquer la formule de Stokes.

22. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
22
G´om´trie affine des surfaces classiques de R3
e e
2.1
2.1.1
Surfaces d´finies par une ´quation implicite F(x, y, z) = 0
e
e
D´finition 9. Soit F : R3 → R une fonction de classe C k , k
e
1.
1. Le sous-ensemble Σ(F) = {(x, y, z) ∈ R3 /F(x, y, z) = 0} s’appelle surface de classe C k
d´finie par l’´quation implicite F(x, y, z) = 0.
e
e
2. On dira que le point (a, b, c) ∈ Σ(F) est r´gulier si le vecteur gradient gradF(a, b, c) = 0.
e
Un point (a, b, c) ∈ Σ(F) non r´gulier (i.e. gradF(a, b, c) = 0) est dit singulier. Quand
e
la surface Σ(F) ne poss`de aucun point singulier on dira qu’elle est r´guli`re.
e
e
e
3. En un point r´gulier M = (a, b, c) ∈ Σ(F) on d´finit le plan tangent ` Σ(F) par l’´quae
e
a
e
tion affine,
(x − a)
∂F
∂F
∂F
(a, b, c) + (y − b) (a, b, c) + (z − c) (a, b, c) = 0.
∂x
∂y
∂z
(2.1)
L’ensemble des solutions de cette ´quation forme un sous-espace vectoriel de dimension
e
deux ; il se note par TM Σ(F).
4. En un point r´gulier M = (a, b, c) ∈ Σ(F) on d´finit le vecteur normal unitaire au plan
e
e
tangent TM Σ(F) par l’expression,
nM =
gradF(a, b, c)
.
// gradF(a, b, c) //
(2.2)
Exemple 6. Montrons que le sous-ensemble Σ = {(x, y, z) ∈ R3 /z(x2 + y 2 + xy + 1) = x + y}
est une surface de classe C ∞ r´guli`re et calculons son plans tangent au point O = (0, 0, 0).
e
e
1) Suppose qu’au point M = (x, y, z) ∈ Σ on un vecteur gradient gradF(x, y, z) = 0. Avec
∂F
= x2 + y 2 + xy + 1 = 0, poss`de au-moins une
e
cette hypoth`se on d´duit que l’´quation,
e
e
e
∂z
2 + y 2 + xy + 1 d’ind´termin´ x ´gal `
solution r´el malgr´ que le discriminant du trinˆme x
e
e
o
e
e e
a
3 − 4 0. Donc la surface Σ n’a pas de points singuliers.
∆x = −3y
2) Le plan tangent affine ` Σ au point O = (0, 0, 0) a pour ´quation,
a
e
x
∂F
∂F
∂F
(0, 0, 0) + y
(0, 0, 0) + z
(0, 0, 0) = 0 =⇒ −x − y + z = 0.
∂x
∂y
∂z
−1 −1 1
Notons que le vecteur unitaire normal au plan tangent TO Σ est ´gal `, nO = ( √ , √ , √ ).
e
a
3
3 3
2) Dans cet exemple, on se propose de chercher tous les points singuliers de la surface de classe
C ∞ d´finie par,
e
Σ = {(x, y, z) ∈ R3 /(x2 + y 2 )z = z 2 − 2x − 2y − 3}.
a) Supposons que le point (x, y, z) ∈ Σ est singulier. Donc, (x, y, z) par d´finition solution du
e
syst`me d’´quations :
e
e


2xz + 2
= 0

 1 − z3 = 0
2yz + 2
= 0 =⇒
yz + 1 = 0 =⇒ (x, y, z) = (−1, −1, 1) ∈ Σ
 2

2 − 2z = 0
x +y
xz + 1 = 0

23. ´
´
2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3
23
b) Au point A = (1, −1, −1) ∈ Σ donnons l’expression du plan tangent et d´terminons les
e
coordonn´es du vecteur unitairte normal ` Σ.
e
a
Puisque le point A = (−1, −1, 1) il est donc r´gulier. Le plan affine tangent de la surface Σ
e
au point A = (1, −1, −1) ∈ Σ a pour expression :
∂F
∂F
∂F
(1, −1, −1) + (y + 1) (1, −1, −1) + (z + 1) (1, −1, −1) = 0 =⇒ y + z + 2 = 0
∂x
∂y
∂z
√ √
2
2
Le vecteur unitaire normal ` Σ au point A = (1, −1, −1) est ´gal `, nA = (0,
a
e
a
,
).
8
8
(x − 1)
2.1.2
Surfaces param´triques
e
D´finition 10. Soit U ⊂ R2 un ouvert non vide et F : U → R3 une application de classe
e
C k , k 1.
1. Le sous-ensemble Σ(ϕ) = {ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ R3 /(u, v) ∈ U} s’appelle
surface param´trique de classe C k .
e
∂ϕ
∂ϕ
2. Si au point M = ϕ(u0 , v0 ) = (a, b, c) ∈ Σ(ϕ) la famille des vecteurs { (u0 , v0 ),
(u0 , v0 )}
∂u
∂v
est libre on dira que M = (a, b, c) est un point r´gulier sur Σ. Un point ϕ(u0 , v0 ) =
e
∂ϕ
∂ϕ
(a, b, c) ∈ Σ(ϕ) non r´gulier (i.e.
e
(u0 , v0 ) ∧
(u0 , v0 ) = 0) sera dit singulier.
∂u
∂v
3. On d´finit le plan tangent affine de la surface param´trique Σ(ϕ) en un point r´gulier
e
e
e
e
M = ϕ(u0 , v0 ) = (a, b, c) ∈ Σ(ϕ) par l’´quation analytique :
x−a
∂x(u0 , v0 )
∂u
∂x(u0 , v0 )
∂v
y−b
∂y(u0 , v0 )
∂u
∂y(u0 , v0 )
∂v
z−c
∂z(u0 , v0 )
∂u
∂z(u0 , v0 )
∂v
=0
(2.3)
et on le note par TM Σ(ϕ).
4. Un vecteur normal ` Σ(ϕ) au point r´gulier M = ϕ(u0 , v0 ) est donn´ par le produit
a
e
e
∂ϕ(u0 , v0 ) ∂ϕ(u0 , v0 )
vectoriel NM =
∧
= 0.
∂u
∂v
Exemple 7. 1) Montrons que la surface Σ d´finie par la param´trisation,
e
e
ϕ(u, v) = ((7 + 5 cos(u)) cos(v), (7 + 5 cos(u)) sin(v), 5 sin(u))
pour
0
u, v
est r´guli`re.
e
e
En effet, pour tout couple (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] le produit vectoriel,
∂ϕ(u, v) ∂ϕ(u, v)
∧
∂u
∂v
=
ı

k
−5 sin(u) cos(v)
−5 sin(u) sin(v)
5 cos(u)
−(7 + 5 cos(u)) sin(v) (7 + 5 cos(u)) cos(v)
0
= 5(7 + 5 cos(u))[cos(u) cos(v)ı + cos(u) sin(v) − sin(u)k]
est non nul car sa norme est ´gale ` 5(7 + 5 cos(u))
e
a
10 0.
2) a) Cherchons les points singuliers de la surface Σ′ d´finie par la param´trisation,
e
e
2π

24. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
24
Notons que si le point ψ(u, v) ∈ Σ′ singulier on obtient un produit vectoriel nul,
∂ψ(u, v) ∂ψ(u, v)
∧
=
∂u
∂v
ı

k
3u2 3u2 2v
3v 2 −3v 2 2u
= 6(u3 + v 3 )ı − 6(u3 − v 3 ) − 18u2 v 2 k = 0.
Ainsi, puisque les ´quations u3 +v 3 = 0 et u3 −v 3 = 0 ont une seule solution (0, 0) on conclut
e
donc que le point ψ(0, 0) = (0, 0, 0) est l’unique point singulier de la surface Σ′ .
e
b) Le plan tangent de la surface Σ′ au point M = ψ(1, 0) = (1, 1, 0) a pour ´quation,
x−1 y−1 z
3
3
0
0
0
2
= 0 =⇒ x − y = 0,
√
√
2
2
dont le vecteur unitaire normal au point M = (1, 1, 0) est ´gal ` n = (
e
a
,−
, 0).
2
2
2.1.3
Surfaces de r´volution
e
D´finition 11. Soit Σ ⊂ R3 une surface de classe C k d´finit par une ´quation implicite ou
e
e
e
par un syst`me d’´quations param´triques ; et soit ∆ ⊂ R3 une droite. On dira que Σ est une
e
e
e
surface de r´volution d’axe ∆ si elle est stable par toutes les rotations R : R3 → R3 d’axe ∆.
e
C’est-`-dire, si M ∈ Σ alors le cercle Γ(M) qui passe par le point M d’axe ∆ est enti`rement
a
e
contenu dans Σ (Voir figure).
∆
Γ(M)
R
(0, y, f (y)) = M
θR
Figure 2.1 – Surface de r´volution d’axe ∆
e
1. Le cercle Γ(M) s’appelle parall`le de la surface de r´volution Σ.
e
e
2. Le plan Π qui passe par l’axe de rotation ∆ s’appelle plan m´ridien.
e
3. L’intersection du plan m´ridien Π avec la surface Σ s’appellent courbes m´ridiennes :
e
e
C = Π ∩ Σ.
Ci-dessous, nous allons exploiter la stabilit´ d’une surface de r´volution par rotation pour
e
e
la param´trer ou la d´finir par une ´quation implicite cart´sienne. Pour simplifier nous allons
e
e
e
e
supposer que l’axe de r´volution de la surface donn´e est ´gal ` ∆ = Oz. Cette hypoth`se est
e
e
e
a
e

25. ´
´
2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3
25
La courbe m´ridienne C est d´finie par l’´quation cart´sienne, f (x) = z
e
e
e
e
Observons que si on fixe un point M = (x, 0, f (x)) ∈ C alors en lui appliquant la rotation
d’angle θ ∈ [0, 2π] d’axe Oz on obtient un nouveau point M′ qui appartient ` la surface de
a
r´volution Σ(C, Oz) dont les coordonn´es param´triques sont ´gales ` :
e
e
e
e
a

 X = x cos(θ)
Y = x sin(θ)

Z =
f (x)
avec x ∈ Dom(f ) et θ ∈ [0, 2π].
En effet, le syst`me des ´quations param´triques pr´c´dent d´finit compl`tement la surface
e
e
e
e e
e
e
de r´volution Σ(C, Oz) engendr´e par rotation du graphe de la fonction f (x) = z autour de
e
e
l’axe ∆ = Oz.
Notons que les ´quations param´triques de la surface de r´volution Σ(C, Oz) nous permet de
e
e
e
voir que l’´quation implicite cart´sienne de Σ(C, Oz) est donn´e par :
e
e
e
X2 + Y2 = x2
et
f (x) = z =⇒ f ( X2 + Y2 ) = Z.
Figure 2.2 – Surface de r´volution d’axe Oz
e
La courbe m´ridienne C est d´finie par une ´quation implicite, g(x, z) = 0
e
e
e
Soit C une courbe contenue dans le plan Oxz d´finie par par l’´quation implicite, g(x, z) = 0,
e
e
k avec k
o` g est une fonction de classe C
u
1. Fixons un point M = (x, 0, z) ∈ C et appliquons
sur lui une rotation d’axe Oz et d’angle θ. Ceci produit donc un point Mθ = (X, Y, Z) qui
appartient ` la surface de r´volution Σ(C, Oz) dont la projection sur le plan Oxy d´finit un
a
e
e
point (X, Y, 0) = (x cos(θ), x sin(θ), 0) (Voir la figure). Ainsi, si on remarque que Z = z car la
rotation est d’axe Oz et que x2 = X2 + Y2 ; l’´quation implicite g(x, z) = 0 implique que les
e
√
point Mθ = (X, Y, Z) est solution l’´quation, g( X2 + Y2 , Z) = 0.
e
(x, 0, z) = M
∆
Mθ = (X, Y, Z)
θR
Figure 2.3 – Surface de r´volution d’axe ∆
e

26. 26
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
Conclusion : La surface de r´volution d’axe ∆ = Oz engendr´e par rotation de la courbe C
e
e
a
` pour ´quation implicite cart´sienne, g( x2 + y 2 , z) = 0.
e
e
Exemple 8. Soient a 0, c 0 et r 0 des nombres r´els fix´s tels que r min(a, c). La
e
e
surface de r´volution d’axe Oz engendr´e par le cercle C centr´ au point (a, 0, c) de rayon r
e
e
e
s’appelle tore. Son ´quation implicite est donc donn´e en fonction des coordonn´es cart´si`nne
e
e
e
e e
2 + y 2 − a)2 + (z − c)2 = r 2 .
par, ( x
La courbe m´ridienne C est d´finie par une ´quation param´trique, ρ(t) = (x(t), 0, z(t))
e
e
e
e
Avec les mˆmes id´es que ci-dessus, on v´rifie facilement que la surface de r´volution d’axe Oz
e
e
e
e
engendr´e par la courbe parm´tr´e C, Σ(C, Oz), peut ˆtre d´finie par le syst`me des ´quations
e
e e
e
e
e
e
param´triques :
e

 X = x(t) cos(θ)
Y = x(t) sin(θ)

Z =
z(t)
avec t ∈ Dom(ρ) et θ ∈ [0, 2π].
Exemple 9. Soient a 0, c 0 et r 0 des nombres r´els fix´s tels que r min(a, c).
e
e
Si on param´trise le cercle C d’´quation (x − a)2 + (z − c)2 = r 2 par x = r cos(t) + a et
e
e
z = r sin(t) + c on en d´duit que le tore r´gulier engendr´ par C peut ˆtre param´trer par le
e
e
e
e
e
syst`me des ´quations suivantes :
e
e

 x(t, s) = (r cos(t) + a) cos(s)
y(t, s) = (r cos(t) + a) sin(s)

z(t, s) =
r sin(t) + c
Exercice 10. Trouver les ´quations param´triques (resp. cart´siennes) d’une surface de r´voe
e
e
e
lution autour de l’axe Oy et Ox.
Pour finir ce paragraphe consacr´e aux surfaces nous donnerons les ´quations implicites
e
e
cart´si`nnes et implicites de certaines surfaces classique de l’espace R3 .
e e
Exemple 10. A) Sph`re : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
e
Puisque la sph`re centr´e en (a, b, c) et de rayon R peut ˆtre obtenue ` partir de la r´volution
e
e
e
a
e
du cercle (x − a)2 + (z − c)2 = R2 autour de l’axe Oz on d´duit donc, de ce qui pr´c`de, que
e
e e
l’´quation cart´sienne de la sph`re est donn´e par, (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .
e
e
e
e
Notons que si on d´finit le cercle m´ridien d’´quation (x−a)2 +(z−c)2 = R2 par les ´quations
e
e
e
e
param´triques,
e

 x(t) = R cos(t) + a
y(t) =
b

z(t) = R sin(t) + c
on en d´duit que la sph`re centr´e en (a, b, c) et de rayon est param´tr´e par le syst`me d’equae
e
e
e e
e
tions :

 x(t, s) = R cos(t) cos(s) + a
y(t, s) = R cos(t) sin(s) + b

z(t, s) =
R sin(t) + c

27. ´
´
2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R3
27
Figure 2.4 – La sph`re S2 de l’espace R3
e
B) Ellipso¨ de r´volution :
ıde
e
x2 + y 2 z 2
+ 2 =1
a2
b
L’ellipso¨de de r´volution d’axe Oz est une surface de l’espace R3 qui s’obtient par rotation
ı
e
d’une ellipse contenue dans le plan Oxz par rotation autour de l’axe Oz.
x2 z 2
Ainsi, si par exemple ; si on fait tourner l’ellipse d’´quation cart´si`nne 2 + 2 = 1 autour
e
e e
a
b
de l’axe Oz on obtient une ellipso¨de de r´volution dont l’´quation cart´sienne est donn´e par :
ı
e
e
e
e
x2 + y 2 z 2
+ 2 = 1.
a2
b
C) Hyperbolo¨ de r´volution :
ıde
e
x2 + y 2 z 2
− 2 =1
a2
b
L’hyperbolo¨de de r´volution est une surface de l’espace R3 qui s’obtient par rotation d’une
ı
e
hyperbole contenue dans le plan Oxz autour de l’axe Oz.
Par cons´quent, si on fait tourner l’hyperbole d’´quation cart´si`nne
e
e
e e
donc une hyperbolo¨de d’´quation cart´sienne :
ı
e
e
x2 + y 2 z 2
− 2 = 1.
a2
b
x2 z 2
− 2 = 1 elle g´n`re
e e
a2
b
Figure 2.5 – Hyperbol¨ : x2 + y 2 = z 2 + 1
ıde
Pour trouver les ´quations param´triques de l’hyperbolo¨de de r´volution il suffit qu’on pae
e
ı
e
2 − z 2 = 1, par les ´quations x(t) = ach(t), y(t) = 0 et
ram´trise l’hyperbole du plan Oxz, x
e
e
z(t) = b sh(t) :

 x(t, s) = ach(t) cos(s)
y(t, s) = ach(t) sin(s)

z(t, s) =
bsh(t)
D) Parabolo¨ de r´volution ` une seule nappe : z = a(x2 + y 2 )
ıde
e
a

28. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
28
Par exemple, si on consid`re la parabole z = ax2 alors par rotation autour de l’axe Oz on
e
obtient une parabolo¨de de r´volution dont l’´quation cart´si`nne est donn´e par, z = a(x2 +y 2 ).
ı
e
e
e e
e
Figure 2.6 – Parabolo¨ : x2 + y 2 = z
ıde
Notons que si on param´trise la parabole z = ax2 par les ´quations x(t) = t, y(t) = 0 et
e
e
z(t) = at2 on d´duit alors que la parabolo¨de de r´volution peut ˆtre param´tr´e par le syst`me
e
ı
e
e
e e
e
d’´quations :
e

 x(t, s) = t cos(s)
y(t, s) = t sin(s)

z(t, s) =
at2
E) Prabolo¨ de r´volution ` deux nappes :
ıde
e
a
x2 + y 2 z 2
− 2 = −1
a2
b
La parabolo¨de de r´volution ` deux nappes s’obtient par rotation de l’hyperbole ` deux
ı
e
a
a
z 2 x2
branches 2 − 2 = 1 autour de l’axe Oz.
b
a
F) Cˆne de r´volution : z = a
o
e
x2 + y 2 + b
La rotation d’une droite z = ax + b autour de l’axe Oz d´finit une surface appel´e cˆne de
e
e o
2 + y 2 + b.
r´volution. Son ´quation cart´sienne est donn´e par, z = a x
e
e
e
e
Figure 2.7 – Cone de r´volution : a(x2 + y 2 ) = z 2
e
2.2
D´finition et propri´t´s des int´grales de surfaces
e
e e
e
Dans cette section, ´tant donn´e une surface Σ ⊂ R3 de classe C 1 ; on se propose de trouver
e
e
une formule qui nous permet de calculer son aire ou sa masse quand la densit´ de masse est
e
une fonction ρ(x, y, z) continue sur Σ.
1) Cas du graphe d’une fonction
Soit Σ ⊂ R3 une surface de classe C 1 d´finit comme le graphe d’une fonction f : D → R dont
e
le domaine de d´finition est un compact ´l´mentaire d´fini par,
e
ee
e
D = {(x, y) ∈ R2 /a
x
b, f1 (x)
y
f2 (x)}
Calculons l’aire de la surface Σ :
Figure 2.8 – Subdivison d’une surface

29. ´
´ ´
´
2.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES INTEGRALES DE SURFACES
29
Partageons le domaine ´l´mentaire D en petits rectangles Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ] ⊂ D et
ee
d´signons par Σi,j le graphe de la fonction f au-dessus de du rectangle Ri,j . Avec ces notations,
e
il est clair que le nombre r´el positif,
e
i=m−1 j=n−1
R(Σ, n, m) =
i=0
j=0
Aire(Σi,j )
nous donne une mesure approch´e de la surface Σ. Donc, pour obtenir la valeur exacte de l’aire
e
de la surface Σ il suffit qu fait tendre l’aire des rectangles Ri,j tend vers z´ro.
e
Pour donner au suite de nombres r´els R(Σ, n, m) une expression explicite, nous allons ape
procher l’aire de la portion de surface Σi,j par l’aire du parall´logramme dont les cˆt´s sont
e
oe
´gales aux vecteurs tangents ` la surface Σ au point (ui , vj , f (ui , vj )) donn´s par :
e
a
e
Ui,j = (ui+1 − ui )(1, 0,
∂f
(ui , vj ))
∂x
et
Vi,j = (vj+1 − vj )(0, 1,
∂f
(ui , vj )).
∂y
Autrement dit, nous allons poser Aire(Σi,j ) =// Ui,j ∧Vi,j // pour avoir la nouvelle l’expression,
i=m−1 j=n−1
R(Σ, n, m) =
i=0
j=0
// Ui,j ∧ Vi,j //
i=m−1 j=n−1
1+(
=
i=0
j=0
∂f
∂f
(ui , vj ))2 + ( (ui , vj ))2 (ui+1 − ui )(vj+1 − vj )
∂x
∂y
qui donne une mesure approch´e de l’aire de la surface Σ. En effet, si on fait tend les quantit´s
e
e
ui+1 − ui et vj+1 − vj simultan´ment vers z´ro on obtient l’int´grale double suivante dont la
e
e
e
valeurs est ´gale ` la mesure exacte de l’aire de la surface Σ :
e
a
1+(
D
∂f 2
∂f
) + ( )2 dxdy = Aire(Σ)
∂x
∂y
(2.4)
D´finition 12. Soient D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et Σ ⊂ R3 une surface d´finit par le
e
ee
e
1.
graphe d’une fonction f : D → R de classe C
1. On d´finit le vecteur infinit´simal de la surface Σ autour du point M = (x, y, f (x, y)) par
e
e
l’expression :
dS = (
∂f
∂f
ı+
 + k)dxdyn(x, y, z).
∂x
∂y
(2.5)
o` n(x, y, z) d´signe le vecteur normal unitaire ` Σ calcul´ au point (x, y, f (x, y)) ∈ Σ.
u
e
a
e
2. On d´finit l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point M = (x, y, f (x, y)) ∈ Σ par
e
ee
e
l’expression :
dσ =
1+(
∂f 2
∂f
) + ( )2 dxdy =// dS // .
∂x
∂y
(2.6)
3. On d´finit l’int´grale de surface d’une fonction continue ρ : Σ → R par la formule,
e
e
∂f
∂f

30. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
30
2) Cas d’une surface param´tr´e
e e
Comme au paragraphe pr´c´dent, consid´rons un domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 et une surface
e e
e
ee
Σ ⊂ R3 de classe C 1 d´finit par le syst`me d’´quations param´triques :
e
e
e
e
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
(u, v) ∈ D ⊂ R2
Notons que pour trouver la mesure approch´e de l’aire de la surface param´trique Σ il suffit
e
e
qu’on subdivise le domaine ´l´mentaire D en petits rectangles Ri,j = [ui , ui+1 ] × [vj , vj+1 ],
ee
et puis ; on approche l’aires des portions de surfaces Σi,j = r(Ri,j ) par la norme du produit
vectoriel suivant :
∂r
∂r
(ui , vj ) ∧ (vj+1 − vj ) (ui , vj ) //
∂u
∂v
∂r
∂r
= //
(ui , vj ) // · //
(ui , vj ) // sin(ϕi,j )(ui+1 − ui )(vj+1 − vj )
∂u
∂v
Aire(Σi,j ) = // (ui+1 − ui )
o` ϕi,j est la mesure de l’angle d´finit par les deux vecteurs
u
e
a
` la surface Σ au point r(ui , vj ).
∂r
∂r
(ui , vj ) et
(ui , vj ) tangents
∂u
∂v
Observons qu’avec ces notations se si on pose,
E(u, v) =//
∂r
(u, v) //2 ,
∂u
F(u, v) =//
∂r 2
// (u, v),
∂v
G(u, v) =
∂r
∂r
(u, v),
(u, v) ,
∂u
∂v
on pourra alors r´crire l’aire de la portion de surface Σi,j sous la forme suivante :
e
∂r
∂r
(ui , vj ) ∧
(ui , vj ) //2 = E(ui , vj )F(ui , vj )(sin(ϕi,j ))2
∂u
∂v
= E(ui , vj )F(ui , vj )(1 − (cos(ϕi,j ))2 ) = E(ui , vj )F(ui , vj ) − G(ui , vj )2 .
Aire(Σi,j )2 = //
Finalement, si on consid`re la suite de nombres r´els d´finis par l’expression :
e
e
e
i=n−1 j=m−1
R(Σ, n, m) =
i=0
j=0
Aire(Σi,j )
i=n−1 j=m−1
=
i=0
j=0
E(ui , vj )F(ui , vj ) − G(ui , vj )2
en faisant tendre les quantit´s ui+1 − ui et vj+1 − vj vers z´ro ; on obtient la formule
e
e
Aire(Σ) =
D
E(u, v)F(u, v) − G(u, v)2 dudv
(2.8)
qui donne la mesure exacte de l’aire de la surface param´trique Σ.
e
D´finition 13. Soit Σ ⊂ R3 une surface param´tr´e par l’application r : D → R3 de classe
e
e e
1.
C
1. On d´finit le vecteur infinit´simal de surface Σ autour du point M = r(u, v) par l’exprese
e
sion :

31. ´
´ ´
´
2.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES INTEGRALES DE SURFACES
31
2. On d´finit l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point M = r(u, v) ∈ Σ par l’exe
ee
e
pression :
EF − G2 dudv =// dS //
dσ =
(2.10)
∂r 2
∂r ∂r
∂r 2
// , F = //
// et G =
,
.
∂u
∂v
∂u ∂v
3. On d´finit l’int´grale de surface d’une fonction continue ρ : Σ → R par la formule,
e
e
o` E = //
u
ρ(x, y, z)dσ =
Σ
ρ(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
D
EF − G2 dudv
(2.11)
Avant qu’on d´veloppe des exemples de calcul des int´grales de surfaces d´finies ci-dessus on
e
e
e
donnera d’abord par deux remarques :
1) Notons que si Σ d´signe une surface d´finie comme le graphe d’une fonction de classe C 1 , en
e
e
posant r(x, y) = (x, y, f (x, y)) lorsque (x, y) ∈ D ; on d´finit ainsi un param´trage de la surface
e
e
Σ dont l’´l´ment infinit´simal de surface autour du point r(x, y) ∈ Σ est donn´ par,
ee
e
e
ı
dσ =

1 0
0 1
k
∂f
∂x
∂f
∂y
dxdy =// (
∂f ∂f
,
, 1) // dxdy =
∂x ∂y
1+(
∂f 2
∂f
) + ( )2 dxdy.
∂x
∂y
Ainsi, en cons´quence de ce calcul ; on d´duit que l’´l´ment infinit´simal de surface dσ ne
e
e
ee
e
d´pend pas de la repr´sentation de la surface Σ comme graphe d’une fonction ou par un syst`me
e
e
e
d’´quations param´triques.
e
e
2) Du fait que l’int´grale de surface se calcule moyennant une int´grale double elle est donc
e
e
lin´aire et additive :
e
Lin´arit´ :
e
e
(af (x, y, z) + bg(x, y, z))dσ = a
f (x, y, z)dσ + b
g(x, y, z)dσ.
Σ
Σ
Additivit´ :
e
f dσ =
f dσ +
Σ1 ∪Σ2
Σ1
Σ2
Σ
f dσ si l’intersection Σ1 ∩ Σ2 est une courbe.
Exemple 11. 1) Calculons l’aire du parabolo¨de Σ = {(x, y, z)/z = x2 + y 2 , 0
ı
Puisque la surface Σ est ´gale
e
du domaine D = {(x, y)/x2 + y 2
par,
ı
dσ = 1
0
z
h}.
au graphe de la fonction f (x, y) = x2 + y 2 d´finie au-dessus
e
h}, son ´l´ment infinit´simal de surface dσ est donc donn´
ee
e
e
 k
0 2x
1 2y
dxdy =
4x2 + 4y 2 + 1dxdy.
L’aire de la surface Σ est maintenant donn´e par l’int´grale :
e
e
√
Aire(Σ) =
4x2 + 4y 2 + 1dxdy = 2π
dσ =
Σ
D
h
4r 2 + 1rdr =
0
2π
(4h + 1)3/2 .
3
2) Calculons l’aire de la sph`re S(O, R) de rayon R 0 centr´e ` l’origine param´tr´e par
e
e a
e e
l’application

32. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
32
Avec ces donn´es on voit que l’´l´ment infinit´simal de surface de la sph`re est ´gale ` :
e
ee
e
e
e
a
dσ =
ı

k
−R sin(θ) cos(ϕ) R cos(θ) cos(ϕ)
0
−R cos(θ) sin(ϕ) −R sin(θ) sin(ϕ) R cos(ϕ)
dθdϕ = R2 cos(ϕ)dθdϕ.
2π
Donc, l’aire de la sph`re S(O, R) est : Aire(S(O, R)) =
e
√
3) Calculons l’int´grale de surface
e
π/2
(
0
R2 cos(ϕ)dϕ)dθ = 4πR2 .
−π/2
4z + 1dσ ´tendue sur la parabolo¨de :
e
ı
Σ
Σ = {(x, y, z)/z = x2 + y 2
h}.
Rappelons que dans l’exemple 1), nous avons d´montr´ que l’´l´ment infinit´simal de la
e
e
ee
e
e
e
e
surface Σ est ´gale `, dσ = 4x2 + 4y 2 + 1dxdy. Par cons´quent, l’int´grale de surface donn´e
e
a
est donc ´gale `,
e
a
√
4z + 1dσ =
4(x2 + y 2 ) + 1 4x2 + 4y 2 + 1dxdy
x2 +y 2
Σ
√
= 2π
h
h
(4r 2 + 1)rdr = π(2h2 + h).
0
Exercice 11. Calculer les int´grales de surfaces suivantes :
e
ı)
Σ1
dσ = Aire(Σ1 ) o` Σ1 = {(x, y, z)/az = xy, x2 + y 2
u
ıı)
Σ2
a2 }.
(x2 + y 2 )dσ o` Σ2 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 }.
u
ııı)
Σ3
ıv)
Σ4
1 + z 2 dσ o` Σ3 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = a2 , −a
u
xydσ o` Σ4 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 , x
u
z
0, y
a}.
0, z
0}.
Exercice 12. Calculer l’aire de la portion Σ d´coup´e par le cylindre d’´quation x2 + y 2 = 2z
e
e
e
sur l’h´misph`re sup´rieure centr´ ` l’origine et de rayon R 0.
e
e
e
ea
2.3
2.3.1
Flux d’un champ de vecteurs ` travers une surface oriena
table
Surfaces orientables dans l’espace R3
D´finition 14. Soit Σ ⊂ R3 une surface r´guli`re de classe C 1 .
e
e
e
1. On dira que la surface Σ est orientable si elle est impossible de trouver une courbe ferm´e
e
Γ de classe C 1 contenue dans Σ le long de laquelle on pourra d´placer continˆment un
e
u
vecteur normal N ` Σ depuis un point A ∈ Γ et le ramener sur son oppos´ −N au mˆme
a
e
e
point A.
2. Soit Σ ⊂ R3 une surface orientable et M ∈ Σ. Un vecteur normal N ` Σ au point M est
a
a
e
e
dit sortant s’il compl`te tout rep`re (v1 , v2 ) tangent ` Σ orient´ positivement (mˆme
e
e
orientation que le plan standard Oxy) en un rep`re (v1 , v2 , N) de l’epace R3 qui a la
e
mˆme orientation que le rep`re canonique Oxyz. En d’autres termes, si le produit mixte
e
e

33. `
2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE33
3. Nous dirons qu’une surface r´guli`re est orient´e positivement quand elle est munie
e
e
e
d’un champ de vecteurs normaux sortants.
Exemple 12. 1) Le plan, le cylindre et la sph`re sont orientables. Sur ces surfaces on remarque
e
que toute normale ∆ qui perce ces surfaces d´finit une face externe (sens positive) et une face
e
interne (sens n´gatif ) (Voir la figure).
e
Figure 2.9 – Orientation du plan, du cylindre et de la sph`re dans R3 non rientable
e
2) Observons qu si on consid`re un rectangle R = [a, b] × [c, d] contenu dans le plan Oxy, en le
e
tordant suivant deux cˆt´s oppos´es ; alors en collant ses deux autres cˆt´s oppos´es on obtient
oe
e
oe
e
une surface qui s’appelle bande de M¨bius.
o
La bande de M¨bius n’est pas orientable. Parce que, comme il est indiquer sur la figure, sur
o
la bande de M¨bius on a trac´ une courbe Γ suivant laquelle on a ramen´ un vecteur normal
o
e
e
e
n0 sur son oppos´ n4 = −n0 .
Figure 2.10 – La bande de M¨bius : surfaces de R3 non rientable
o
En analysant les exemples de surfaces trait´es ci-dessus, on d´duit que pour voir est-ce qu’une
e
e
surface donn´e Σ ⊂ R3 est orientable ou non , il suffit alors qu’on examine le nombre de faces
e
de la surface donn´e. Ainsi, si la surface poss`de deux faces on d´duit qu’elle est orientable
e
e
e
mais s’il poss`de qu’une seule face on d´duit qu’elle est non orientable.
e
e
2.3.2
Flux d’un champ de vecteurs
D´finition 15. Soit U ⊂ R3 un ouvert non vide, X = (P, Q, R) un champ de vecteurs de classe
e
C k sur un ouvert U ⊂ R3 et Σ ⊂ U une surface de classe C k r´guli`re et orient´e positivement.
e
e
e
On d´finit le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers la surface Σ ⊂ U par l’int´grale
e
a
e
de surface suivante :
Φ=
Σ
X · dS =
Σ
X · ndσ
(2.12)
o` n d´signe le champ de vecteurs normaux unitaires sortants de la surface Σ.
u
e
Exemple 13. 1) Calculons le flux sortant du champ de vecteur X(x, y, z) = (x, y, z) ∈ R3 `
a
travers le tetra`dre Σ limit´ par les plans : x = 0, y = 0, z = 0 et x + y + z = 1.
e
e
Figure 2.11 – Le th´trai`re unit´ de R3
e
e
e

34. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
34
Puisque le th´tradi`re Σ admet quatre faces ∆xy , ∆xz , ∆yz et ∆ ; le flux sortant du champ de
e
e
vecteurs X est donc ´gal ` la somme des flux sortants ` travers les quatre faces du th´trai`re
e
a
a
e
e
Σ (voir figure) :
Σ
X · dS =
∆xy
X · dS +
∆xz
X · dS +
∆yz
X · dS +
∆
X · dS.
a) Flux sortant ` travers les faces ∆xy , ∆zy et ∆xz .
a
Puisque le vecteur normal unitaire sortant de la surface ∆xy est ´gal ` −k et comme l’´l´ment
e a
ee
e
e
infinit´simal de surface de ∆xy est donn´ par dS = −kdxdy , on d´duit donc que le flux sortant
e
du champ de vecteurs X ` travers ∆xy est donn´ par,
a
e
∆xy
X · dS =
x+y 1,z=0
−zdxdy = 0
parce que sur
∆xy , z = 0.
De la mˆme fa¸on, on montre que le flux sortant du champ X ` travers les faces ∆xz et ∆zy
e
c
a
sont donn´s par :
e
∆yz
X · dS =
y+z 1,x=0
−xdxdy = 0
X · dS =
,
∆xz
b) Flux ` travers la face ∆ d’´quation x + y + z = 1, x
a
e
0, y
x+z 1,y=0
0 et z
−ydxdy = 0
0.
En param´trisant la face ∆ par ϕ(x, y) = (x, y, 1−x−y) on voit que son ´l´ment infinit´simal
e
ee
e
de surface est ´gal `,
e
a
ı  k
1 0 −1 dxdy = (ı +  + k)dxdy =⇒ X · dS = (x + y + z)dxdy = dxdy.
0 1 −1
dS =
Ainsi, en cons´quence de ci qui pr´c`de, on conclut que le flux ` travers la face ∆ du tetra`dre
e
e e
a
e
Σ est ´gal `,
e
a
1
∆
X · dS =
(x + y + z)dxdy =
x+y 1
1−x
(
0
0
1
dy)dx = .
2
c) Le flux total sortant du champ de vecteur X ` travers le tetra`dre Σ est donc ´gal `,
a
e
e
a
Σ
X · dS =
∆xy
X · dS +
∆xz
X · dS +
∆yz
X · dS +
1
X · dS = .
2
∆
2) Calculons le flux sortant du champ de vecteur X = (x, y, z) ` travers l’h´misph`re sup´rieure
a
e
e
e
Σ centr´e ` l’origine (0, 0, 0) et de rayon R.
e a
Pour identifier l’´l´ment infinit´simal de surface associ´ ` Σ nous allons la param´triser par
ee
e
ea
e
l’application ϕ(x, y) = (x, y, R2 − x2 − y 2 ) avec x2 + y 2 R2 .
dS =
ı 
1 0 −
k
x
R2 − x2 − y 2
dxdy = (
x
ı+
y
 + k)dxdy.

35. `
2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE35
R2 − x2 − y 2 on en d´duit que le
e
Ainsi, puisque sur l’h´misph`re sup´rieure on a z =
e
e
e
produit scalaire (flux infinit´simal) :
e
X · dS = (
x2 + y 2
R2 − x2 − y 2
R2
+ z)dxdy =
R2 − x2 − y 2
dxdy.
Le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers l’h´misph`re sup´rieure est donc ´gal `,
a
e
e
e
e
a
Σ
dxdy
X · dS = R2
x2 +y 2 R2
R2
−
x2
−
y2
2π
= R2
R
(
0
0
√
rdr
)dθ = 2πR3
R2 − r 2
3) Soit ω 0 un nombre r´el fix´. Calculons le flux sortant du champ de vecteurs X = ω k
e
e
a
` travers la surface Σ limit´e par le cylindre Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = R2 , 0 z
e
h} et les
2 + y2
2 } et D = {(x, y, h)/x2 + y 2
2 }.
disques D1 = {(x, y, 0)/x
R
R
2
Par additivit´ de l’int´grale de surface, on voit que le flux total du champ de vecteur X = ω k
e
e
est ´gal `,
e
a
Φ=
Σ
X · dS =
Σ1
X · dS +
D1
X · dS +
D2
X · dS.
Ainsi, puisque sur les disques horizontaux D1 et D2 le vecteur de surface infinit´simal est
e
donn´ respectivement par dS1 = −kdxdy et dS2 = kdxdy on aura donc,
e






X · dS1 =
− ωdxdy
X · dS1 = −2πR2 ω


D1
x2 +y 2 R2
D1
=⇒




X · dS2 =
ωdxdy
X · dS2 = 2πR2 ω


x2 +y 2 R2
D2
0
D2
Enfin, en param´trisant le cylindre Σ1 par l’application ϕ(r, θ) = (R cos(θ), R sin(θ), z) avec
e
z h et 0 θ π ; on voit que le vecteur infinit´simal de surface de Σ1 est donn´ par,
e
e
dS =
∂ϕ ∂ϕ
∧
dθdz = (R cos(θ)ı + R sin(θ))dθdz.
∂θ
∂z
Mais, comme le champ de vecteurs X = ω k est orthogonal au vecteur de surface dS =
(R cos(θ)ı + R sin(θ))dθdz on en d´duit donc que le flux du champ de vecteurs X = ω k `
e
a
travers le cylindre Σ1 est nul.
Conclusion, le flux total du champ de vecteurs X ` travers la surface Σ est :
a
Σ
0 − 2πωR2 + 2πωR2 = 0.
X · dS =
Exercice 13. Calculer le flux sortant du champ de vecteurs X ` travers la surface indiqu´e.
a
e
ı) X1 = zxı + zy + y k et Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = 1, 0 z h}.
ıı) X2 = yı + z + xk et Σ2 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = z 2 , 0 z a}.
ııı) X3 = xı + y + z k et Σ3 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 }.
ıv) X4 = x3/2 ı + y 3/2  + z 3/2 k et Σ4 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 , x
2.3.3
0, y
0, z
0}.
Formule de Stokes
Th´or`me 7. Soit A = Pı + Q + Rk un champ de vecteurs de classe C 1 d´finit sur un ouvert
e e
e
non vide U ⊂ R3 . Si on d´signe par ω = Pdx + Qdy + Rdz la forme diff´rentielle associ´e au
e
e
e
champ de vecteurs A alors pour toute surface orientable Σ ⊂ U de classe C 1 et ayant un bord
∂Σ = Γ non vide orient´ positivement on a,
e

36. ´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES
36
Autrement dit, la circulation d’un champ de vecteur A de classe C 1 le long d’une courbe ferm´e Γ est ´gale au flux sortant du champ rotationnel Rot(A) ` travers toute surface orientable
e
e
a
Σ dont le bord ∂Σ = Γ.
D´monstration. Dans cette preuve, on suppose que la surface Σ est param´tr´e par l’application
e
e e
2 sur un domaine ´l´mentaire D de bord C ′ .
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) de classe C
ee
Notons qu’avec ces notations, puisque le couple (u, v) parcourt le bord ∂D = C ′ alors le
point r(u, v) parcourt la courbe C = ∂Σ on d´duit donc que l’int´grale curviligne de la forme
e
e
diff´rentielle ω peut s’´crire sous la forme :
e
e
ω =
C
=
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
+Q
+ R )du + (P
+Q
+ R )dv
∂u
∂u
∂u
∂v
∂v
∂v
C′
∂r
∂r
A◦r·
du + A ◦ r ·
dv.
∂u
∂v
′
C
(P
∂r
∂r
Ainsi, si maintenant on pose U = A ◦ r ·
et V = A ◦ r ·
la formule de Green-Riemann
∂u
∂v
permet de transformer la derni`re int´grale curviligne comme suit :
e
e
C′
A◦r·
∂r
∂r
du + A ◦ r ·
dv =
∂u
∂v
=
=
=
Udu + Vdv
C′
∂V ∂U
−
)dudv
∂v
D ∂u
∂A ◦ r ∂r ∂A ◦ r ∂r
(
·
−
·
)dudv
∂u
∂v
∂v
∂u
D
∂r ∂r
Rot(A ◦ r) · (
∧
)dudv.
∂u ∂v
D
(
∂r ∂r
∧
)dudv
∂u ∂v
est ´gal au vecteur infinit´simal dS associ´ ` la surface Σ ; on obtient la formule de Stokes,
e
e
e a
Finalement, en remarquant que dans l’int´grale double pr´c´dente le vecteur (
e
e e
ω=
C
C
A · dr =
Σ
Rot(A) · dS.
Corollaire 5. Soit X = Pı+Q+Rk un champ de vecteurs de classe C 1 sur un ouvert U ⊂ R3 .
Pour tout couple de surfaces orientables Σ1 et Σ2 contenues dans l’ouvert U et qui ont le mˆme
e
bord Γ = ∂Σ1 = ∂Σ2 on a,
Σ1
Rot(X) · dS =
Σ2
Rot(X) · dS =
Pdx + Qdy + Rdz.
C
Corollaire 6. Soit ω = Pdx+Qdy +Rdz est une forme diff´rentielle de classe C 1 sur un ouvert
e
U ⊂ R3 . Si ω est ferm´e alors pour toute courbe ferm´e C qui borde une surface orientable
e
e
Σ ⊂ U (i.e. C = ∂Σ) on a,
ω = 0.
C
Exemple 14. Calculons l’int´grale curviligne de la forme diff´rentielle,
e
e
ω = (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz,
le long de la courbe ferm´e C d´finie comme l’intersection du plan x + y + z = 1 et le cylindre
e
e
2 + y 2 = 2x.
x
Pour calculer l’int´grale curviligne
e
ω nous allons appliquer au champ de vecteurs,
C

37. `
2.3. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE37
et ` la surface orientable Σ d´coup´e par le cylindre x2 + y 2 = 2x sur le plan x + y + z = 1.
a
e
e
Notons bien que le bord ∂Σ = C.
Si on applique la formule de Stokes ` ces donn´es on obtient :
a
e
ω =
C
C
=
=
A · dr =
2
√
3
2
√
3
∆
Rot(A)
Σ
[(y − z)ı + (y − x) + (x − y)k] · [ı +  + k]dxdy
0dxdy = 0
∆
o` ∆ d´signe la projection de la surface Σ sur le plan Oxy.
u
e
Exercice 14. V´rifier le th´or`me de Stokes pour le champ de vecteurs X d´fini sur une
e
e e
e
surface orientable Σ dont le bord ∂Σ = C = ∅.
ı) X1 = 2yı + 3x − z 2 k et Σ1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = 1, z 0}.
ıı) X2 = (y − z)ı + (x3 + yz) − 3xy 2 k et Σ2 = {(x, y, z)/x + y = 1, 0 x, 0 y, 0 z 1}.
Exercice 15. En utilisant la formule de Stokes, calculer l’int´grale curviligne de la forme
e
diff´rentielle,
e
ω = (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz,
le long de la courbe ferm´e C d´finie comme l’intersection de la sph`re x2 + y 2 + z 2 = 4y et le
e
e
e
2 + y 2 = 2y.
cylindre x

38. 38
´
CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES

39. Chapitre 3
Int´grales triples
e
Objectifs : L’´tude de ce chapitre doit vous permettre de :
e
1. savoir calculer une int´grale triple en utilisant la formule
e
de Fubini ou en effectuant un changement de variables ;
2. savoir calculer le volume d’un domaine plonger dans l’espace R3 ;
3. savoir appliquer la formule de Gauss-Ostrogradski ;
4. comprendre qu’une int´grale triple g´n´ralis´e converge
e
e e
e
si et seulement si elle converge absolument.

40. ´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES
40
3.1
D´finition et propri´t´s
e
e e
Soit V ⊂ R3 un domaine born´ et ferm´ (i.e. compact) d´finit par l’expression,
e
e
e
V = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, f1 (x, y)
z
f2 (x, y)},
o` D ⊂ R2 d´signe un domaine ´l´mentaire et f1 , f2 : D → R deux fonctions continues.
u
e
ee
Dans ce paragraphe, on se propose de calculer la masse total d’un solide dont la forme
g´om´trique est donn´e par le domaine V et dont la densit´ de masse est une fonction continue
e e
e
e
f : V → R.
Notons que si on proj`te le domaine V sur les trois axes de l’espace R3 on obtient trois
e
segments [a1 , b1 ] ⊂ Ox, [a2 , b2 ] ⊂ Oy et [a3 , b3 ] ⊂ Oz tels que V ⊂ [a1 , a2 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ].
Notons aussi que si on partage respectivement les derniers trois segments en m, n et k segments
d’extr´mit´s :
e e
x0 = a1 x1 · · · xm = b1 , y0 = a2 y1 · · · yn = b2 , et z0 = a3 z1 · · · zk = b3
on peut alors d´finir des parall´l´pip`de Pi,j,k = [xi , xi+1 ] × [yj , yj+1 ] × [zl , zl+1 ] ∩ V dont la
e
ee e
r´union recouvre le domaine V.
e
Figure 3.1 – Subdivision d’un domaine V ⊂ R3
Enfin, observons que si dans chaque parall´l´pip`de Pi,j,k on choisit un point ζi,j,l on peut
ee e
alors d´finir une somme de Riemann par l’expression,
e
i=m−1 j=n−1 i=k−1
R(f, n, m, k, ζi,j,l ) =
i=0
j=0
l=0
f (ζi,j,l )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl )
que l’on peut interpr´ter comme la mesure approch´e de la masse totale du solide V.
e
e
D´finition 16. Soit V ⊂ R3 un domaine ´l´mentaire et f : V → R une fonction continue.
e
ee
1. On dira que la fonction f est int´grable sur le domaine V si la somme de Riemann qui
e
lui est associ´e,
e
i=m−1 j=n−1 i=k−1
R(f, Π(V), ζi,j,l ) =
i=0
j=0
l=0
f (ζi,j,l )(xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl ),
(3.1)
admet une limite finie lorsque vi,j,l = (xi+1 − xi )(yj+1 − yj )(zl+1 − zl ) (i.e volume du
parall´l´pip`de ´l´mentaire Pi,j,l ) tend vers z´ro. La limite de la somme de Riemann,
ee e ee
e
quand elle existe, elle s’appelle int´grale triple de la fonction f (x, y, z) sur le domaine V
e
et elle se note,
lim R(f, m, n, k, ζi,j,l ) =
vi,j,l →0
f (x, y, z)dxdydz.
(3.2)
V
2. L’int´grale triple de la fonction constante f (x, y, z) = 1 s’appelle volume alg´brique du
e
e
domaine V et se note par,

41. ´
´
3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE
41
L’int´grale triple d’une fonction continue au-dessus d’un domaine ´l´mentaire satisfait aux
e
ee
propri´t´s alg`briques suivantes :
ee
e
Lin´arit´ : Pour tout couple de fonctions continues f et g sur un compact ´l´mentaire V, et
e
e
ee
pour tout couple de nombres r´els a et b on a,
e
(af (x, y, z) + bg(x, y, z))dxdydz = a
f (x, y, z)dxdydz + b
V
V
g(x, y, z)dxdydz.
V
Additivit´ : Si V1 et V2 sont deux compacts ´l´mentaires de l’espace R3 tels que V1 ∩ V2 = ∅
e
ee
ou V1 ∩ V2 = Σ est une surface alors on a,
f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dxdydz +
V1 ∪V2
V1
f (x, y, z)dxdydz.
V2
Positivit´ : Si V est un compact ´l´mentaire et f : V → R est une fonction continue positive
e
ee
f (x, y, z)dxdydz
alors on a,
V
g : V → R v´rifient l’in´galit´ f
e
e
e
0. Plus g´n´ralement, si deux fonctions continues f et
e e
g alors on a,
f (x, y, z)dxdydz
g(x, y, z)dxdydz.
V
3.2
3.2.1
V
M´thodes de calcul d’une int´grale triple
e
e
Formule de Fubini
Th´or`me 8 (Formule de Fubini). Soit D ⊂ R2 un domaine ´l´mentaire et ϕ1 , ϕ2 : D → R
e e
ee
deux fonctions continues ; et soit V ⊂ un compact ´l´mentaire d´finit analytiquement par,
ee
e
V = {(x, y, z)/(x, y) ∈ D, ϕ1 (x, y)
z
ϕ2 (x, y)}.
L’int´grale triple d’une fonction continue f : V → R est ´gale ` :
e
e
a
ϕ2 (x,y)
f (x, y, z)dxdydz =
V
(
f (x, y, z)dz)dxdy
(3.4)
ϕ1 (x,y)
D
Notons que si le domaine d’int´gration est d´fini par l’expression analytique,
e
e
V = {(x, y, z)R3 /(y, z) ∈ D ′ , φ1 (y, z)
x
φ2 (y, z)},
alors l’int´grale triple d’une fonction fonction continue f : V → R est donn´e par la formule
e
e
de Fubini :
φ2 (y,z)
f (x, y, z)dxdydz =
V′
(
f (x, y, z)dx)dydz.
(3.5)
φ1 (y,z)
D′
De mˆme, quand le domaine d’int´gration est d´fini par l’expression analytique,
e
e
e
V” = {(x, y, z)/(x, z) ∈ D”, ψ1 (x, z)
y
ψ2 (x, z)},
la formule de Fubini s’´crit sous la forme :
e
ψ2 (x,z)
f (x, y, z)dxdydz =
(
f (x, y, z)dy)dxdz.
(3.6)

42. ´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES
42
Figure 3.2 – Le domaine V limit´ par z = x2 + y 2 et z = 4 − 3(x3 + y 2 )
e
Exemple 15. 1) Calculons le volume du domaine ´l´mentaire V ⊂ R3 qui est limit´ par les
ee
e
deux parabolo¨des de r´volution d´finies par les ´quations : z = x2 + y 2 et z = 4 − 3(x2 + y 2 ).
ı
e
e
e
Notons que le domaine V est limit´ par le graphe des deux fonctions ϕ1 (x, y) = x2 + y 2 et
e
ϕ2 (x, y) = 4 − 3(x2 + y 2 ) d´finies au-dessus du domaine ´l´mentaire D ⊂ R2 qui est ´gale `
e
ee
e
a
2 est limit´ par la
la projection du domaine V sur le plan Oxy. En effet, le domaine D ⊂ R
e
projection de la courbe C intersection des graphes des fonctions ϕ1 et ϕ2 . D’o` D = {(x, y) ∈
u
R2 /x2 + y 2 1} et V = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) ∈ D, x2 + y 2 z 4 − 3(x2 + y 2 )}.
Maintenant, si on applique la formule de Fubini ` la description analytique du domaine D
a
on obtient :
4−3(x2 +y 2 )
Volume(V) =
dxdydz =
(
V
dz)dxdy
x2 +y 2
D
=
D
2π
=
(4 − 4(x2 + y 2 ))dxdy
1
(
0
2) Calculons l’int´grale triple
e
0
(4 − 4r 2 )rdr)dθ = 2π.
zdxdydz ´tendue sur le domaine V limit´ par l’h´misph`re
e
e
e
e
V
sup´rieure de centre O = (0, 0, 0) et de rayon R 0.
e
Figure 3.3 – L’h´misph`re pleine V limit´ par x2 + y 2 + z 2
e
e
e
R2 et x
0
e
e
Puisque le domaine d’int´gration V ⊂ R3 peut ˆtre d´fini analytiquement par l’expression :
e
V = {(x, y, z) ∈ R3 /0
R2 − x2 + y 2 , ∀(x, y) ∈ D}
z
avec D = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 R2 } d´signe la projection du domaine V sur le plan Oxy, en
e
appliquant la formule de Fubini on peut ´crire :
e
√ 2 2 2
zdxdydz =
R −y −x
(
y 2 +x2 R2
V
=
y 2 +x2 R2
2π
R
=
(
0
0
xdx)dxdy
0
1 2
(R − y 2 − x2 )dydz
2
1 2
R4 π
(R − r 2 )rdr)dθ =
.
2
4
Exercice 16. Calculer les int´grales triples suivantes :
e
a)
V
zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x
0, y
0, z
0, z
1 − y2, x + y
1}.

43. ´
´
3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE
c)
V
d)
V
1
zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x
(1 + x + y + z)3
zdxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2
0, y
43
0, z
R2 , x2 + y 2 + z 2
0, x + y + z
1}.
2Rz}.
Exercice 17. a) Calculer l’int´grale triple des fonctions x2 , y 2 , z 2 , xy, xz et zy au-dessus de
e
la boule ferm´e B = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 1}.
e
b) En d´duire que pour tout triplet de nombres r´els (a, b, c) l’int´grale de la fonction f (x, y, z) =
e
e
e
4 2
2
2
(a + b + c ).
(ax + by + cz)2 est ´gale `
e
a
15
Exercice 18. a) Calculer l’int´grale triple des fonctions xy, xz et zy au-dessus du domaine
e
x2 y 2 z 2
V = {(x, y, z) ∈ R3 / 2 + 2 + 2
1, x 0, y 0, z 0}.
a
b
c
b) En d´duire que l’int´grale triple de la fonction g(x, y, z) = xy +yz+zx au-dessus du domaine
e
e
abc
V est ´gale `
e
a
(ab + bc + ca).
15
3.2.2
Changement de variables
Th´or`me 9 (Formule de changement de variables). Soient U1 et U2 deux ouverts non vides
e e
dans l’espace R3 ; et soit T : U1 → U2 une application bijective de classe C 1 dont l’application
inverse T−1 : U2 → U1 de T est de classe C 1 (i.e. T est un changement de variables) alors
pour tout compact ´l´mentaire V′ ⊂ U1 et pour toute fonction continue f : U1 → U2 on a la
ee
formule,
f (x, y, z)dxdydz =
T(V′ )
V′
f ◦ T(u, v, w) |
D(x, y, z)
| dudvdw.
D(u, v, w)
(3.7)
Corollaire 7 (coordonn´es cylindriques). Si T(r, θ, z) = (r cos(θ), r sin(θ), z) d´signe le syse
e
t`me de coordonn´es cylindriques d´fini sur le domaine V′ alors on a,
e
e
e
f (x, y, z)dxdydz =
f (r cos(θ), r sin(θ), z)rdrdzdθ.
T(V′ )
V′
Corollaire 8 (Coordonn´es sph´riques). Si T(r, θ, ϕ) = (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ))
e
e
d´signe le syst`me de coordonn´es sph´riques d´fini sur le domaine V′ alors on a,
e
e
e
e
e
f (r cos(θ) cos(ϕ), r sin(θ) cos(ϕ), r sin(ϕ))r 2 cos(ϕ)drdϕdθ.
f (x, y, z)dxdydz =
T(V′ )
V′
Exemple 16. 1) Calculons le volume de la boule ferm´e be rayon R 0 centr´e ` l’origine,
e
e a
V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2
R2 }.
Pour calculer le volume du domaine V nous allons donc passer en coordonn´es sph´riques :
e
e
R
Volume(V) =
dxdydz =
V
2) Calculons l’int´grale triple
e
2π
(
0
π/2
(
0
−π/2
r 2 cos(ϕ)dϕ)dθ)dr =
4πR3
.
3
x2 + y 2 dxdydz ´tendu sur le cylindre V = {(x, y, z)/x2 +
e

44. ´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES
44
Pour calculer l’int´grale triple donn´e nous allons passer en coordonn´es cylindriques :
e
e
e
R
x2 + y 2 dxdydz =
V
2π
(
0
h
(
0
2πR3
.
3
r 2 dz)dθ)dr =
0
3) Pour tout triplet de nombres r´els a 0, b 0, c 0 et d 0 calculons l’int´grale triple,
e
e
I(a, b, c) =
V
xa y b z c (1 − x − y − z)d dxdydz,
´tendu sur le t´tra`dre V = {(x, y, z)/x
e
e e
0, y
0, z
0, x + y + z
1} en effectuant
le changement de variables T(x, y, z) = (X, Y, Z) dont les composantes sont d´finies par les
e
relations,
X = x + y + z,
XY = y + z
et
XYZ = z.
A partir des relations qui d´finissent les composantes X, Y et Z de l’application T on v´rifie
e
e
−1 a pour composantes :
facilement que l’application inverse T
x = X(1 − Y),
y = XY(1 − Z)
et
z = XYZ.
De mˆme, on v´rifie que l’application T transforme le t´tra`dre V en un cube V′ = [0, 1] ×
e
e
e e
[0, 1] × [0, 1] = T(V).
Figure 3.4 – Transformation d’un t´tra`dre en cube
e e
Ainsi, puisque le d´terminant de la matrice jacobienne de la transformation T−1 est ´gal `,
e
e
a
D(x, y, z)
=
D(X, Y, Z)
1−Y
−X
0
Y(1 − Z) X(1 − Z) −XY
YZ
XZ
XY
1−Y
−1
0
= X2 Y Y(1 − Z) 1 − Z −1
YZ
Z
1
1 − Y −1 0
Y
1 0
YZ
Z 1
= X2 Y
= X2 Y,
donc en appliquant la formule du changement de variables on obtient :
I(a, b, c) =
V
xa y b z c (1 − x − y − z)d dxdydz
[X(1 − Y)]a [XY(1 − Z)]b [XYZ]c [1 − X]d [X2 Y]dXdYdZ
=
V′
1
1
1
=
0
0
1
=
0
0
Xa+b+c+2 Yb+c+1 Zc (1 − Y)a (1 − Z)b (1 − X)d dXdYdZ
Xa+b+c+2 (1 − X)d dX
1
0
Yb+c+1 (1 − Y)a dY
1
0
Zc (1 − Z)b dZ.
Notons par exemple, si on prend a = b = c = d = 1 on obtient
1
I(1, 1, 1) =
X5 (1 − X)dX
1
Y3 (1 − Y)dY
1
Z(1 − Z)dZ =
1
.

45. ´
´
3.2. METHODES DE CALCUL D’UNE INTEGRALE TRIPLE
45
Exercice 19. Calculer les int´grales suivantes en effectuant un changement de variables convee
nable.
a)
x2 + y 2 + z 2 dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 z}.
u
V
1
dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2
u
(x2 + y 2 + z 2 + a2 )2
V
2Rz} et a 0.
b)
V
(z + 2)(x2 + y 2 + 1)dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2
u
V
z cos(x2 + y 2 )dxdydz o` V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2
u
c)
d)
1, 0
1, z
R2 , x2 + y 2 + z 2
z
2}.
0}.
Exercice 20. a) Calculer le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application
e
T(s, t, u) = (x, y, z) = (s1/4 t1/4 u1/2 , s1/4 t1/2 u1/4 , s1/2 t1/4 u1/4 ).
b) En d´duire que l’application r´alise un changement de variables.
e
e
b) Montrer que l’application inverse T−1 transforme le domaine V = {(x, y, z) ∈ R3 /x4 + y 4 +
z4
3xyz, x 0, y
0, z
0} en un domaine V′ = {(s, t, u) ∈ R3 /s + t + u 3, s 0, t
0, u 0}.
c) Calculer alors le volume du domaine V.
Exercice 21. Soit a 0 un r´el. Calculer le volume du domaine
e
Va = {(x, y, z) ∈ R3 /x5 + y 5 + z 5
a2 xyz, x
0, y
0, z
0}
en consid´rant l’application, T(s, t, u) = (x, y, z) = (s1/5 t1/5 u3/5 , s1/5 t3/5 u1/5 , s3/5 t1/5 u1/5 ).
e
Exercice 22. Soit a 0, b 0, c 0 et α 0 des nombres r´els.
e
1) Calculer le d´terminant de la matrice jacobienne de l’application,
e
T(r, θ, ϕ) = (x, y, z) = (ar(cos(θ) cos(ϕ))α , br(sin(θ) cos(ϕ))α , cr(sin(ϕ))α ).
π π
, [×]0, 2π[.
2 2
3) En utilisant le syst`me de coordonn´es d´finit par l’application T ; calculer le volume des
e
e
e
domaines :
x
y
z
1. V1 = {(x, y, z) ∈ R3 /( )3 + ( )3 + ( )3 1}.
a
b
c
3 /( x )2/3 + ( y )2/3 + ( z )2/3
2. V2 = {(x, y, z) ∈ R
1}.
a
b
c
2) En d´duire que T r´alise un syst`me de coordonn´es sur R∗ ×] −
e
e
e
e
+
3.2.3
Th´or`me d’Ostrigradski-Gauss
e e
Th´or`me 10 (Formule d’Ostrigradski-Gauss). Soit X = Pı + Q + Rk un champ de vecteurs
e e
de classe C 1 d´finit sur un ouvert non vide U ⊂ R3 . Si V ⊂ U est un domaine ´l´mentaire dont
e
ee
le bord (fronti`re) ∂V = Σ est une surface ferm´e orientable alors le flux sortant du champ de
e
e
vecteurs X ` travers la surface Σ = ∂V est ´gal ` l’int´grale triple de la divergence du champ
a
e
a
e
X au-dessus du domaine V :
Σ
X · dS =
Div(X)dxdydz.
V
(3.8)

46. ´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES
46
Corollaire 9. Si un champ de vecteurs X a une divergence nulle, Div(X) = 0, alors son flux
sortant ` travers toute surface ferm´e orientable est nul.
a
e
Corollaire 10. Le flux sortant d’un champ de vecteurs rotatinnel X = Rot(A) est nul `
a
travers toute surface ferm´e orientable :
e
Σ
Rot(A) · dS = 0.
Exemple 17. 1) Calculons le flux du champ de vecteurs X = (z 2 − x)ı − xy + 3z k ` travers
a
la surface ferm´e Σ limit´e par les surfaces d’´quations cart´siennes :
e
e
e
e
z = 4 − y2,
x = 0,
x = 3,
et
z = 0.
Figure 3.5 – Cylindre parabolique
Pour calculer le flux demand´ nous allons appliquer la formule de Gauss-Ostrogradski.
e
x
3, 0
z
4 − y 2 } dont le
Consid´rons le sous-ensemble V = {(x, y, z) ∈ R3 /0
e
bord est ´gal ` la surface ferm´e orientable Σ = ∂V, et puis ; appliquons la formule de Gausse
a
e
Ostrogradski aux donn´es V, Σ et X :
e
Σ
X · dS =
Div(X)dxdydz
V
=
V
(2 − x)dxdydz
3
0
(
0
3
=
0
2
(
0
4−y 2
2
(
=
0
(2 − x)dz)dy)dx
9
8
(2 − x)(4 − y 2 )dy))dx = (6 − )(8 − ) = 8.
2
3
2) Soit Σ une surface orientable contenue dans le demi-espace sup´rieur de R3 et qui s’appuis
e
2 × {0} centr´ ` l’origine et de rayon R 0.
sur le cercle C ⊂ R
ea
Montrons que le flux du champ de vecteurs X = (y 2 + z 2 )ı + (x2 + z 2 ) + (x2 + y 2 )k ` travers
a
π
une surface Σ est ´gal ` .
e
a
2
Figure 3.6 – Flux
Observons que si on consid`re le disque D centr´ ` l’origine et de rayon R 0 alors en
e
e a
posant Σ′ = Σ ∪ D on obtient une surface ferm´e orientable qui bord un domaine V. Et, ainsi
e
puisque la divergence du champ de vecteurs X est nulle ; la formule de Gauss-Ostrogradski
permet d’´crire :
e
Σ∪D
X · dS =
Σ
X · dS +
D
X · dS =
Div(X) = 0.
V
D’o`,
u
2π
R
πR4

47. ´
´ ´
´
3.3. INTEGRALES TRIPLES GENERALISEES
47
Exercice 23. Calculer le flux sortant du champ de vecteurs X = xz 2 ı+(x2 y−z 3 )+(2xy+y 2 z)k
a
` travers la sph`re centr´e ` l’origine et de rayon R 0,
e
e a
a) en appliquant la d´finition du flux ;
e
b) en appliquant le th´or`me de Gauss-Ostrogradski.
e e
Exercice 24. V´rifier la formule de Gauss-Ostrogradski aux donn´es suivantes :
e
e
a) V1 = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 1, z 0} et X1 = (x2 + y 2 )ı + (y 2 + z 2 ) + (z 2 + x2 )k.
b) V2 = {(x, y, z) ∈ R3 /x + y + z 1, x 0, y 0, z 0} et X1 = xyı + yz + zx)k.
Exercice 25. En utilisant la formule de Gauss-Ostrogradski montrer que le flux du champ de
vecteurs,
1
X= 2
(xı + y + z k),
2 + z 2 )3/2
(x + y
a
` travers la sph`re Σ centr´e ` l’origine O = (0, 0, 0) et de rayon R 0 est ´gal ` 4π.
e
e a
e
a
3.3
Int´grales triples g´n´ralis´es
e
e e
e
D´finition 17. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction positive. On dit
e
que f est localement int´grable si son int´grale triple existe sur tout compact ´l´mentaire
e
e
ee
K ⊂ V,
K
f (x, y, z)dxdydz ∈ R.
Puisque les fonctions continues sont int´grables sur les compacts ´l´mentaires de R3 ; elles
e
ee
3.
sont donc localement int´grables sur tout ouvert de R
e
D´finition 18. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction positive locae
lement int´grable. S’il existe une famille croissante Kn ⊂ Kn+1 ⊂ V de compacts ´l´mentaires
e
ee
telle que
1. V =
2.
Kn ;
n 0
lim
n→+∞
f (x, y, z)dxdydz existe dans R
Kn
nous dirons que l’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y, z)dxdydz := lim
n→+∞
V
converge. Une int´grale triple g´n´ralis´e non convergente est dite divergente.
e
e e
e
f (x, y, z)dxdydz
Kn
Th´or`me 11. Soit V ⊂ R2 un ouvert vide et f : V → R+ une fonction positive localement
e e
int´grable. La nature de l’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e
e e
e
f (x, y, z)dxdydz ne d´pend pas du
e
V
choix de la famille croissante de compacts ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 telle que V =
ee
Kn .
n 0
D´monstration. Admise.
e
Proposition 5. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R+ une fonction localement
int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes :
e
e
1. L’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y, z)dxdydz converge.
D
2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
e

48. ´
CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES
48
D´monstration. Mˆme d´monstration que pour les int´grales g´n´ralis´es triples.
e
e
e
e
e e
e
Th´or`me 12. Crit`re de comparaison
e e
e
Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide ; et soient f, g : V → R+ deux fonctions positives et
localement int´grables et telles que 0
e
f (x, y, z)
g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ V. Alors on a les
propositions :
1.
g(x, y, z)dxdydz converge implique
f (x, y, z)dxdydz converge.
V
2.
V
f (x, y, z)dxdydz diverge implique
f (x, y, z)dxdydz diverge.
V
V
+∞
2
e−t dt est convergente.
Exemple 18. D´montrons que l’int´grale simple g´n´ralis´e I =
e
e
e e
e
0
Ensuite, calculons sa valeur exacte.
+∞
a) L’int´grale g´n´ralis´e simple I =
e
e e
e
2
e−t dt converge parce que pour tout r´el t 1 nous
e
0
avons les in´galit´s :
e
e
+∞
2
1 t t2 =⇒ e−t e−t =⇒
+∞
2
e−t dt
1
n
e−t = lim
n→+∞ 1
1
e−t dt = lim (−e−n +e−1 ) = e−1
n→+∞
+∞
b) Pour calculer la valeur exacte de cette int´grale g´n´ralis´e I =
e
e e
e
2
e−t dt nous allons
0
−x2 −y 2 −z 2
´tudier l’int´grale triple g´n´ralis´e K =
e
e
e e
e
e
dxdydz.
(R+ )3
z2
Notons que si on consid`re la suite de compacts Kn = {(x, y, z)/x
e
n2 } on obtient,
e−x
2 −y 2 −z 2
π/2
dxdydz =
Kn
π/2
(
n
(
0
0
0, y
2
r 2 e−r cos(ϕ)dr)dθ)dϕ =
0
π
2
, x2 + y 2 +
0, z
n
2
r 2 e−r dr =
0
π
4
Par cons´quent, en passant ` la limite sur n on d´duit qu’on a
e
a
e
e−x
2 −y 2 −z 2
dxdydz =
(R+ )3
π
4
+∞
2
e−t dt
0
D’autre part, si on consid`re le suite de compacts Ln = [0, n]3 on obtient la suite num´rique :
e
e
e−x
un =
2 −y 2 −z 2
n
dxdydz = (
Ln
n
2
e−x dx)(
0
n
2
e−y dy)(
0
n
2
e−z dz) = (
0
2
e−t dt)3
0
dont la limite quand l’entier n tend vers l’infini est ´gale `,
e
a
−x2 −y 2 −z 2
e
(R+ )3
+∞
dxdydz = (
−t2
e
0
π
dt) =
4
+∞
3
−t2
e
+∞
dt =⇒
0
−t2
e
0
dt =
√
π
2
D´finition 19. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R une fonction dont la valeur abe
solue | f (x, y, z) | est localement int´grable. Si l’int´grale g´n´ralis´e
e
e
e e
e
converge nous dirons que l’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e
D
| f (x, y, z) | dxdydz
f (x, y, z)dxdydz convergente ab-

49. ´
´ ´
´
3.3. INTEGRALES TRIPLES GENERALISEES
49
Proposition 6. Soit V ⊂ R3 un ouvert non vide et f : V → R une fonction localement
int´grable. Alors les propositions suivantes sont ´quivalentes :
e
e
1. L’int´grale triple g´n´ralis´e
e
e e
e
f (x, y, z)dxdydz converge.
V
2. Il existe une suite croissante de compactes ´l´mentaires Kn ⊂ Kn+1 dont la r´union
ee
e
Kn = V et telle que la suite num´rique
e
Kn
n 0
| f (x, y, z) | dxdydz soit born´e
e
(major´e).
e
Exercice 26. D´montrer que les int´grales triples g´n´ralis´es suivantes convergent.
e
e
e e
e
e−x
a)
2 −y 2 −z 2
dxdydz, V = R3 .
V
b)
V
dxdydz, V = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2
le volume de Vn = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2
z 2a , 1
z 2a , z
z
1} (Indication : on pourra calculer
n} avec n ∈ N∗ ).
Figure 3.7 – Surface d’´quation : x2 + y 2 = z 2a avec a = −0.7
e