Dokumen tersebut membahas tentang produksi dan konsumsi oleh satu keluarga (Anu) yang hidup terpisah di pulau terluar. Anu memproduksi makanan dari kelapa dan ikan menggunakan tenaga kerja dan peralatan. Fungsi produksinya memiliki hubungan yang sama hanya berbeda kelipatannya. Persoalan maksimisasi dilakukan dengan kendala sumber daya, dan didapatkan bahwa keseimbangan yang efisien dapat dicapai dimana utilitas kon

1. I. Bentuk fungsi produksi sama untuk kedua jenis produk
dan
dan
dan
dan
Karena
dan
Oleh karena itu
, maka
dan
dan
atau
, dan
Pada fungsi produksi satu barang lagi, karena fungsi produksinya sama, maka fungsi
permintaan faktor produksinya dan fungsi produksi dari faktor produksi yang telah
disubstitusi adalah juga sama.

2. . Karena
, maka
. Jadi garis efisiensi produksi adalah
, yang berbentuk linear.
II. Bentuk fungsi produksi berbeda
dan
dan
dan
dan
Karena
dan
Oleh karena itu
, dan
, maka
dan
dan
atau

3. Pada fungsi produksi satu barang lagi, karena fungsi produksinya sama, maka fungsi
permintaan faktor produksinya dan fungsi produksi dari faktor produksi yang telah
disubstitusi adalah juga sama.
. Karena
, maka
. Jadi garis efisiensi produksi adalah
, yang berbentuk linear.
III. Pangkat tidak sama
dan
dan
dan
dan
Karena
dan
, maka
dan

4. Oleh karena itu
dan
atau
, dan
Pada fungsi produksi satu barang lagi, karena fungsi produksinya berbeda, maka fungsi
permintaan faktor produksinya dan fungsi produksi dari faktor produksi yang telah
disubstitusi adalah juga berbeda.
. Karena
, maka

5. . Jadi garis efisiensi produksi adalah
, yang berbentuk linear.
Contoh:
Misalnya di sebuah pulau terluar dan terasing hidup sebuah keluarga Anu. Dia
merupakan produsen sekaligus konsumen. Untuk penghidupan keluarganya dia
mengumpulkan makanan dari kelapa dan ikan. Karena dia produsen dan konsumen,
sehingga tidak memerlukan pasar untuk memfasilitasi keputusan produksi dan
konsumsinya. Untuk mengumpulkan kelapa dan ikan, dia hanya menggunakan tenaga
kerja dan peralatan.
Fungsi produksinya:
dan
dan
Ingat hubungan antara 2 fungsi produksi di atas ─yang mempunyai pangkat sama, dan
yang beda hanya kelipatannya saja ─akan menghasilkan hubungan fungsi linear.
Fungsi utilitas/preferensi Anu adalah U = CF. Persoalan maksimasinya
Maks
U = CF,
dengan kendala
Fungsi lagrannya menjadi

6. Persyaratan turunan pertama
(1)
(2)
(3)
Selesaikan (1) dan (2), diperoleh
F = 2C
(4)
Masukkan (4) pada (3), diperoleh
2C – 400 + 2C = 0, maka
C* = 100
(5)
Masukkan (5) pada (4), diperoleh
F* = 200
(6)
Untuk memperoleh harga relatif antara C dan F, perlu mencari MRTCF dan MRSCF
, jadi
Penggunaan input yang efisien untuk masing-masing produk
(7)
(8)

7. (9)
(10)
Kita dapat memperoleh MRTSC dan MRTSF
Dengan demikian, harga input relatif antara K dan L adalah
Jadi keseimbangan adalah efisien dalam ekonomi di mana tidak mungkin untuk
menghasilkan lebih banyak produk yang satu tanpa mengurangi untuk menghasilkan
produk yang lain, dan keseimbangan itu memaksimalkan utilitas (preferensi) konsumen
tunggal yang hidup di pulau terluar dan terasing.