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Grafos avanzado

  1. 1. Tema: Grafos
  2. 2. Tema 4: Grafos Contenido • Definición de grafo. • Operaciones sobre grafos. • Representación matricial de grafos en un lenguaje de programación. • Grafos (representación enlazada) • Operaciones sobre grafos representados de manera enlazada. • Representación enlazada de grafos en un lenguaje de programación
  3. 3. Objetivos Conozcan las estructuras de datos arbóreas y las formas de trabajar con ellas en la solución de problemas de mediana complejidad
  4. 4. Introducción En ocasiones, incluso, se requiere tener acceso a un nodo determinado a partir de más de un nodo de la estructura. Existen varios caminos entre un nodo y otro. Ejemplo: • Una red hidráulica, • Caminos entre ciudades, • Afinidad entre miembros de un colectivo, entre otros.
  5. 5. Introducción Caminos entre ciudades Ciudad A Ciudad B Ciudad C Ciudad F Ciudad D Ciudad E
  6. 6. Definición de Árbol Un árbol (tree) es un T.D.A. que consta de un conjunto finito T de nodos y una relación R (paternidad) entre los nodos tal que: • Hay un nodo, especialmente designado, llamado la raíz del árbol T. A D E F G CB A D E F G CB
  7. 7. Definición de Árbol • Los nodos restantes, excluyendo la raíz, son particionados en m (m  0) conjuntos disjuntos T1, T2, ..., Tm, cada uno de los cuales es, a su vez, un árbol, llamado subárbol de la raíz del árbol T. A D E F G CB
  8. 8. Definición de Árbol • A los nodos que no son raíces de otros subárboles se les denomina hojas del árbol T, o sea, no tienen sucesores o hijos. A D E F G CB
  9. 9. Grafos Un grafo (en inglés graph) es un T.D.A. que representa un conjunto finito N de nodos, llamados vértices, relacionados entre sí por un conjunto R de arcos. A B D C E Grafo con 5 vértices y 6 arcos. • Vértices del Grafo N ={ A, B, C, D, E } • Arcos del Grafo R={(A, A), (A, B), (A, D), (A, C), (D, C), (C, E)}
  10. 10. Grafos: Aclaraciones •Si el conjunto N es vacío, el grafo será vacío. • Cada arco de un grafo establece una única relación entre dos vértices. • No existe restricción en la relación que establece un arco, o sea, un vértice puede estar relacionado consigo mismo o con otro vértice. • Cada arco se representa a través de un par, donde cada elemento determina uno de los vértices.
  11. 11. Observación Dado que no hay restricciones en cuanto a los arcos de un grafo, todas las estructuras vistas con anterioridad pueden ser consideradas como un grafo. Ejemplo, una lista lineal puede ser vista como un grafo donde cada nodo está relacionado con exactamente un nodo distinto de él.
  12. 12. Clasificación de los Grafos Un grafo es no orientado o no dirigido (en inglés not directed o not oriented graph) si el hecho de que el arco (Nj, Nk) pertenezca a R implica que el arco (Nk, Nj) pertenece a R, para todo j y k. • Es irrelevante el sentido de las saetas en los arcos • Al representarlos, los arcos se grafican sin saeta. • El arco que los relaciona aparece una sola vez en el conjunto R de arcos del grafo. Si el grafo es no orientado, al arco se le llama arista.
  13. 13. Clasificación de los Grafos Un grafo es orientado o dirigido (en inglés: oriented graph o directed graph) si el hecho de que el arco (Nj, Nk) pertenezca a R no implica que el arco (Nk, Nj) pertenece también a R, para todo j y k. • El sentido de las saetas en los arcos es importante. • Es importante la dirección del arco, o sea, el vértice origen del arco y el vértice destino. • El hecho que exista un arco de Nj a Nk no implica que exista de Nk a Nj. Se conocen como digrafos (en inglés: digraph).
  14. 14. A B D C E Grafo No Orientado o No Dirigido Clasificación de los Grafos A B D C E Grafo Orientado o Dirigido
  15. 15. Adyacencia El vértice n es adyacente al m, si existe un arco o arista de m a n. A B D C E Adyacencia: • B es adyacente a A • D es adyacente a A • C es adyacente a A • A es adyacente a A • C es adyacente a D • E es adyacente a C
  16. 16. Incidencia A B D C E Incidencia: • B es incidente al arco (A,B) • (A,B) es incidente a B El vértice n es incidente al arco o arista x, si n es uno de los vértices relacionados con el arco o arista x. Del mismo modo, se dice que el arco o arista x es incidente al vértice n. Así, todos los arcos que llegan o salen de un nodo son incidentes a él .
  17. 17. Sobre el Vértice D: • Grado de Entrada: 3 • Grado de Salida: 2 • Grado del Nodo: 5 A B D C E F Grado de un Vértice
  18. 18. Grado de un Vértice El grado de un vértice n es el número de arcos incidentes a él. En el caso de los grafos orientados, el grado de entrada de un vértice n es el número de arcos que llegan a él y el grado de salida de un vértice n es el número de arcos que salen de él. Por lo tanto, el grado de un vértice es la suma de los grados de entrada y de salida del vértice.
  19. 19. Ponderando arcos y vértices En muchas aplicaciones resulta de interés asignar valores de ponderación, también llamados pesos, a los arcos o a los vértices, obteniéndose así: • Grafos ponderados por los arcos • Grafos ponderados por los vértices
  20. 20. Ejemplo: Grafo ponderado por los arcos Problema del agente viajero Un agente necesita repartir paquetes en diferentes ciudades. Se sabe en qué ciudades el agente debe repartir los paquetes, así como la distancia entre cada ciudad y las otras. El problema consiste en saber cuál es la mejor ruta a seguir por el agente para repartir todos los paquetes.
  21. 21. Ejemplo: Grafo ponderado por los arcos El problema se puede modelar con un grafo, donde: • Las ciudades son vértices. • Los caminos entre las ciudades son arcos. Si para todas las ciudades se cumple que la distancia entre una ciudad origen y una ciudad destino y la distancia de la ciudad destino a la ciudad origen es la misma, entonces, se puede utilizar un grafo no orientado. Podemos ponderar los arcos con la distancia que existe entre las ciudades.
  22. 22. Ejemplo: Grafo ponderado por los arcos El agente debe visitar tres ciudades A, B y C, partiendo de la ciudad A. Entre las ciudades A y B hay 50 km, entre las ciudades B y C hay 20 km y entre las ciudades A y C hay 15 km. El camino más corto es de A a C y de C a B. A B C 50 Km Caminos: A-B-C: 70 Km A-C-B: 35 Km
  23. 23. Ejemplo: Grafo ponderado por los vértices Se tiene una secuencia de actividades, de las que se conoce su duración y se quiere saber, en un momento dado, en qué orden debieran realizarse, de forma tal que se realicen primero las de menor duración. • Las actividades se pueden representar por los vértices de un grafo no orientado. • En cada vértice se puede almacenar la duración de la actividad como factor de ponderación.
  24. 24. Ejemplo: Grafo ponderado por los vértices Resulta más conveniente realizar la actividad A, luego la C y, por último, la B. A 10 B 25 C 20
  25. 25. Camino entre vértices Existe un camino de longitud k desde el vértice A al B, si existe una secuencia de k+1 vértices n1, n2, ..., nk+1, donde n1 = A, nk+1 = B y (ni, ni+1) son adyacentes para todo i entre 1 y k. En un grafo no orientado, al camino se le llama cadena. A B D C E Caminos entre los vértices A y C: Camino de longitud 1: (A,C) Camino de longitud 2: (A,D,C) Camino de longitud 2: (A,A,C) Camino de longitud 3: (A,A,D,C)
  26. 26. Ejemplo: Camino entre nodos ¿Existe un camino de longitud mayor que 1 entre los vértices C y B? • Camino de longitud 3: (C, B, A, B) • Camino de longitud 4: (C, B, A, C, B) A B D C
  27. 27. Camino simple Entre dos vértices existe un camino simple si todos los vértices, excepto posiblemente el primero y el último, son distintos dos a dos. O sea, un camino simple es aquel en el que no se repiten los arcos. Ejemplo: (A, B, D) (A, B, A, C) A B D C
  28. 28. Camino simple Un ciclo, o también circuito, es un camino simple de cualquier longitud de un vértice a sí mismo. Si el ciclo es de longitud 1, entonces se denomina bucle o lazo. Ejemplo: Ciclo: A,D,C,A Bucle: A,A A B D C E
  29. 29. Grafo cíclico y acíclico Si un grafo contiene al menos un ciclo se llama cíclico. Un grafo acíclico es aquel que no tiene ningún circuito o ciclo. A B D C E A B D C Grafo cíclico Grafo acíclico
  30. 30. Operaciones sobre Grafos • Construir un grafo dada la información de sus vértices. (Convenio: se crea inicialmente vacío). • Verificar si un grafo está vacío o no. • Insertar vértices y arcos. • Eliminar vértices y arcos. • Dados dos vértices, determinar si son adyacentes. • Dado un vértice, determinar cuáles vértices son adyacentes a él.
  31. 31. Operaciones sobre Grafos • Dados dos vértices, determinar un camino de longitud k entre ellos. • Dado un arco, determinar vértices incidentes a él. • Determinar si el grafo es cíclico.
  32. 32. Representación matricial de Grafos • La representación matricial permite establecer si hay relación entre cada vértice del grafo y los demás. • Para ello, se utiliza una matriz cuadrada. • Se utiliza un arreglo bidimensional. • Esto significa que la representación matricial es una representación secuencial.
  33. 33. Representación matricial de Grafos A partir de un grafo, siempre es posible definir un orden arbitrario de los vértices. A B C D E 0 1 2 3 4 AB D C E
  34. 34. Matriz de Adyacencia La matriz de adyacencia representa para cada nodo cuáles son sus vértices adyacentes. • Cada fila y cada columna de la matriz se corresponde con un vértice en particular. • Los elementos de la matriz son booleanos • Si el elemento (i, j) es verdadero, existe un arco que va del vértice i al vértice j y, si el elemento (i, j) es falso, no existe arco del vértice i al vértice j. • Si el grafo es no orientado, si existe el arco del vértice i al vértice j existe el arco del vértice j al vértice i.
  35. 35. Representación matricial de Grafos A B C D E 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 01000 10000 11000 00100 011000 1 2 3 4 AB D C E Vértices Matriz de Adyacencia
  36. 36. Implementación en C++ class TVertex { private: void* aInfo; public: TVertex(void* pInfo) : aInfo(pInfo){} void* Info(){return aInfo;} };
  37. 37. Implementación en C++ class TSeqGraph { private: bool** aAdjacent; bool aDirected; int aOrder; TGSeqList* aVertexList; public: TSeqGraph(int, bool); ~TSeqGraph(); TGSeqList* Adjacents(int); bool AreAdjacents(int, int); bool Cyclic(); int Degree(int); … };
  38. 38. Implementación en C++ class TSeqGraph { public: … bool DeleteEdge(int, int); bool DeleteVertex(int); bool Directed() {return aDirected;} bool Empty(){return aVertexList->Empty();} bool InsertEdge(int, int); bool InsertVertex(void*); bool IsEdge(int, int); bool IsPathWithLength(int, int, int); int Order() {return aOrder;} TGSeqList* VertexList(){return aVertexList;} };
  39. 39. Problemas La representación de la matriz de adyacencia de un grafo exige conocer por adelantado la cantidad de vértices del grafo. Esta representación no es suficientemente flexible cuando la cantidad de vértices varía con relativa frecuencia o cuando la estructura del grafo cambia durante la ejecución de la aplicación que lo usa. Esto implica crear la matriz cada vez que se inserte o elimine un nuevo vértice. Problema: Solución costosa en tiempo y recursos.
  40. 40. Representación enlazada de Grafos AB D C E Variante 1: A B C D E C D C D E E D Una lista de vértices y cada uno tiene una lista de los vértices adyacentes a él. Problemas • Es difícil saber cuántos arcos llegan a un vértice. • Se repite la información del vértice • Las listas pueden ser indistintamente secuenciales o enlazadas o una combinación. • El grafo está vacío si no existen vértices.
  41. 41. Representación enlazada de Grafos Variante 2: Representación multienlazada • Cada vértice se representa a través de un nodo que contiene: • Apuntador a su información, • Apuntador a una lista de arcos • Apuntador al siguiente vértice en la lista •Cada arco se representa por un nodo que contiene: • Apuntador al próximo arco de su vértice origen • Apuntador al nodo de su vértice destino
  42. 42. Representación enlazada de Grafos Variante 2: Representación multienlazada AB D C E • El grafo está vacío si no hay vértices. A B C D E c D C D E E
  43. 43. Representación enlazada de Grafos Contador de referencia formar parte de la información de los vértices y mantiene actualizado la cantidad de arcos llegan a él. • Los contadores de referencia facilitan algunas operaciones del grafo: • Al eliminar un vértice se deben decrementar los contadores de referencia de los vértices adyacentes. Si el contador del vértice adyacente se hace cero, se puede eliminar ese vértice si la lista de arcos está vacía.
  44. 44. Implementación en C++ La representación multienlazada de grafos debe considerar si el grafo es ponderado por los vértices o por los arcos. En estos casos habría que agregar a los nodos de vértices y arcos respectivamente el peso o factor de ponderación.
  45. 45. Representación enlazada de Grafos class TVertex { private: void* aInfo; TGLinkedList* aEdgeList; public: TVertex(void* pInfo) : aInfo(pInfo) {aEdgeList = new TGLinkedList();} void* Info() {return aInfo;} void Info(void* pInfo) {aInfo = pInfo;} TGLinkedList* EdgeList(){return aEdgeList;} };
  46. 46. Implementación en C++ class TEdge { private: TVertex* aVertex; public: TEdge(TVertex* pVertex){aVertex = pVertex;} TVertex* Vertex(){return aVertex;} void Vertex(TVertex* pVertex) {aVertex = pVertex;} };
  47. 47. Implementación en C++ class TLinkedGraph { private: bool aDirected; TGLinkedList* aVerticesList; public: TLinkedGraph(bool pDirected); ~TLinkedGraph(); TGLinkedList* Adjacents(int); bool AreAdjacents(int, int); bool Cyclic(); int Degree(int); … };
  48. 48. Implementación en C++ class TLinkedGraph { … bool DeleteEdge(int, int); TVertex* DeleteVertex(int); bool Directed (){return aDirected;} bool Empty(){return aVertexList- >Empty();} int InDegree(int); bool InsertEdge(int, int); bool InsertVertex(void*); TSEdge* IsEdge (int, int); int OutDegree(int); bool Path(int, int, int); bool PathWithLength (int, int, int); TGLinkedList* VerticesList();
  49. 49. Inserción en grafos multienlazados Inserción un arco de V1 a V2: 1-Verificar la existencia de los vértices V1 y V2 2-Hay dos posibilidades: 2.1 De no existir uno o ninguno, no se puede insertar el arco. 2.2 Insertarlos. • Insertar un arco en la lista de arcos de V1 y poner su apuntador al vértice adyacente apuntando al nodo que contiene a V2 en la lista de vértices. • Si tiene contador de referencia incrementar en 1, el contador de referencia del vértice V2.
  50. 50. Eliminación en grafos multienlazados Eliminar el vértice V: 1-Verificar la existencia del vértice V. 2-Para cada arco de V: -Si en el vértice apuntado por ese arco hay contador de referencia, decrementarlo en uno y si éste toma el valor cero, verificar si la lista de arcos está vacía, para eliminarlo. -Eliminar el arco.
  51. 51. Eliminación en grafos multienlazados Eliminar el vértice V: 3-Para cada Vértice excepto V -Buscar si existe algún arco que apunte a V -i existe eliminarlo y si la lista queda vacía, verificar el contador de referencia y si es cero, analizar de acuerdo a la política si se elimina o no. 4-Eliminar el vértice V. 5-Devolver la información del vértice V.

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