2. Oscilador Harmônico
Simples
𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕
Para este modelo, iremos supor
que a mola não possuí massa e a
Força Restauradora é
𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 diretamente proporcional à
posição em relação ao ponto de
equilíbrio
𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕
𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕 = −𝒌𝒙
𝑭 𝒓𝒆𝒔𝒕
3. Segunda Lei de Newton
𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑚 2 = −𝑘𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
Força Resultante Força Restauradora
7. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘
𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
• Duas constatações óbvias
• Esta é uma equação diferencial
• A solução dela é uma função x(t) que satisfaça a equação
anterior
8. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘
𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
• Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t),
obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante
• Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!
9. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘
𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
• Ela nos diz que se derivarmos duas vezes essa função x(t),
obteremos essa mesma função multiplicada por uma constante
• Qual a função que ao ser derivada, fica sempre muito parecida ?!
• 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡
• λ é alguma constante
10. 𝑑 2 𝑥(𝑡) 𝑘
𝑑𝑡 2 = − 𝑚 𝑥(𝑡)
• Vamos colocar essa possível solução na equação diferencial e ver o
que acontece
• 𝑥 𝑡 = 𝑒 λ𝑡
26. 2
𝑘
(λ + ) = 0
𝑚
• Resolvendo essa equação do segundo
grau, obtemos como raízes
𝑘
𝑘 −𝑖 t
λ = −𝑖 𝑥1 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚
𝑚
E
𝑘 𝑘
λ= 𝑖 𝑖 t
𝑚 𝑥2 𝑡 = 𝑐2 𝑒 𝑚
27. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a
soma das soluções independentes
𝑘 𝑘
−𝑖 t 𝑖 t
𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚
28. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a
soma das soluções independentes
𝑘 𝑘
−𝑖 t 𝑖 t
𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚
• Usando a fórmula de Euller
𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
29. • Pelo princípio da superposição, a solução geral é a
soma das soluções independentes
𝑘 𝑘
−𝑖 t 𝑖 t
𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑚 + 𝑐2 𝑒 𝑚
• Usando a fórmula de Euller
𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑥
• Reorganizando tudo, chegamos em....