Integral lipat dua merupakan generalisasi dari integral satu variabel untuk menghitung luas bawah permukaan dua variabel. Integral lipat dua didefinisikan sebagai batas dari jumlah Riemann ganda yang menjumlahkan luas sub-persegi panjang yang dikalikan nilai fungsi pada titik sampel masing-masing. Titik sampel dipilih untuk mewakili luas sub-persegi panjang. Integral lipat dua dapat digunakan untuk menghitung volume benda pejal di at
4. Tinjauan Ulang Integral
Tentu
Pertama, di tinjau kembali fakta mendasar
tentang integral tentu dari fungsi dengan satu
peubah.Jika didefenisikan untuk
Dimulai dengan memagi interval [a,b] kedalam
m sub-interval dengan lebar yang sama
dan memilih titik sampel dalam
sub-sub interval.
5. Maka bentuk jumlahan Riemann :
…..(1.1)
Dan mengambil limit jumlahan yaitu
untuk mendapatkan integral tentu f
dari a ke b:
…..(1.2)
6. Dalam kasus dimana , jumlah Riemann
dapat diinterpretasikan sebagai jumlah
persegipanjang-persegipanjang dalam gambar
1, dan mempresentasikan luas
dibawah kurva y=f(x) dari a ke b.
8. VOLUME DAN INTEGRAL GANDA
Dalam pengertian yang sama kita perhatikan
sebuah fungsi dengan dua peubah yang
didefenisikan dalam persegipanjang tertutup .
Dengan sebelumnya mengandaikan bahwa
Grafik dari adalah permukaan denganpersamaan
Misalkan adalah benda pejal (solid) yang
terletak diatas R dan dibawah grafik f , yakni :
9.
10. Dari gambar diatas yaitu untuk
mencari volume S :
langkah pertama adalah membagi
persegipanjang R kedalam su-sub
persegipanjang.Membagi interval [a,b]
kedalam m subinterval dengan panjang
yang sama dan membagi [c,d] ke dalam
n subinterval dengan panjang yang sama
13. Dipilih titik sampel (xij*,yij*) dalam
setiap Rij , maka dapat dinyatakan S
adalah sebuah kotak (atau
“kolom”) persegi panjang yang tipis
dengan alas Rij dan tinggi f(xij*,yij*)
yang terletak diatas setiap Rij.
15. Jika mengikuti prosedur ini untuk semua
persegi panjang dan menjumlahkan
volume kotak-kotak yang bersesuaian,
maka didapat aproksimasi volume
keseluruhan dari S :
m n
V ( xij*, yij*) A
i 1 i 1
16. Jumlahan sigma ganda berarti bahwa untuk
setiap subpersegipanjangdi evaluasi f pada titik
terpilih dan mengalikan dengan luas
subpersegipanjang tersebut, dan menjumlahkan
hasilnya.
17. Volume maksimal akan didapat
seiring m dan n semakin besar,
sehingga :
m n
V lim
m,n i 1 i 1
( xij*, yij*) A
18. Integral ganda dari f atas
persegipanjang R adalah :
m n
f ( x, y ) dA lim
m ,n i 1 i 1
( xij*, yij*) A
R
19. Untuk semua bilangan 0 terdapat
bilangan bulat N sedemikian sehingga :
m n
f ( x, y )dA lim
m,n i 1 j 1
( xij*, yij*) A
R
20. Jika f(x,y)≥0 maka volume V dari benda
pejal yang terletak di atas persegipanjang
R dan di bawah permukaan z = f(x,y)
adalah
V f ( x, y )dA
R
21. m n
f ( xij*, yij*) A
i 1 j 1
Jumlahan ini disebut jumlahan
Riemann ganda
22. Contoh
Estimasi volume benda pejal yang terletak
di atas persegi R=[0,2]x[0,2] dan dibawah
paraboloida elliptik z=16-x2-2y2 bagi R
kedalam empat persegi yang sama dan
pilih titik sampel dari sudut kanan atas dari
setiap persegi Rij sketsakan benda pejal
tersebut dan kotak-kotak persegipanjang
pengaproksimasinya.
24. Aproksimasi jumlah Riemann pada volume
dibawah z=16-x2-2y2 menjadi lebih akurat
bilamana m dan n ditingkatkan
(a)m n 4,V 41.5 (b)m n 8,V 44.875 (c)m n 16,V 46.46875
26. 1. Setelah dipaparkan, bagaimana
menurut Anda arti geometris dari
integral lipat dua ?
2. Untuk apa kita memilih titik sampel
(xij*,yij*) dalam setiap Rij ?
3. Bagaimana letak benda yang
diselidiki dalam integral lipat dua ?
4. Bagaimana cara Anda untuk
mendapatkan volume maksimum dari
suatu benda pejal yang tidak rata?
misalnya bola peluru.