Algebra Lineal ejercicios

2.182 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
2.182
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
4
Acciones
Compartido
0
Descargas
60
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Algebra Lineal ejercicios

  1. 1. Espacio Vectorial 31.- Se considera R con la suma habitual y con el producto por un escalar que seindica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, (R3, +,·) esespacio vectorial señalando alguna propiedad del producto que no se cumpla:a) λ ( x, y, z ) = ( λ x, λ y, z )b) λ ( x, y, z ) = ( 0, 0, 0 )c) λ ( x, y, z ) = ( 3λx, 3λy, 3λz )2.- Definimos en R2 las operaciones siguientes: ( x, y ) + ( x , y ) = ( x + x , y + y + 1) λ ( x, y ) = ( λ x, λ y + λ − 1)Determinar, para la suma, el elemento neutro y el elemento opuesto de (x, y)Probar que R2 con dichas operaciones es un espacio vectorial.3.- En cada caso, determinar si F es un subespacio vectorial de R3. En casoafirmativo, buscar una base y unas ecuaciones implícitas y paramétricas de F. a) F = { (1, α, β ) ∈ R3 / α, β ∈ R} b) F = { ( 0, α, β ) ∈ R / α, β ∈ R} 3 c) F = { ( x, y, z ) ∈ R / − x + 3y + 2z = 0} 3 d) F = { ( 2α, −β , γ ) ∈ R / α, β, γ ∈ R} 2 3 e) F = {(x,y,z) ∈R3 / x+2y+z = 0, z = y-x } f) F = {(x,y,z) ∈R3 / x, y, z ≥ 0} g) F= {(x,y,z) ∈R3 / máx(x,y,z)<1}4.- Sea A={(2,1,3), (-1,2,3), (-3,1,0), (5,0,3)}. Indicar si son correctas ofalsas las siguientes cuestiones:a) A es libre.b) A es sistema generador de un subespacio vectorial.c) A es una base de R3.d) rango(A)=4.e) El vector (2,1,3) es combinación lineal de los vectores de A.f) El vector (1,1,1) ∈< A > .5.- ¿Qué valores deben tener m y n para que el vector(-3,m,n,2m-n) ∈< {( 1, 0, 0, 0 ) , ( 0,1,1,1) ,(1,1,1,1)} > ? U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 1
  2. 2. Espacio Vectorial6.- Sea Pn(x) el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y degrado menor o igual que n. Demostrar que el polinomio xn y sus n primerasderivadas forman una base de Pn(x) e indicar las coordenadas del polinomio1+x+x2 en esta base.7.- Determinar si los conjuntos siguientes G1 y G2 generan el mismo subespaciovectorial de R3 o subespacios distintos G1={(1,0,-1), (0,1,-1)} y G2 = {(1,1,-2),(2,1,-3), (0,1,-1)}8.- Sea el subespacio vectorial E formado por el conjunto de matrices cuadradas  0 1que permutan con la matriz A    . Y sea el subespacio vectorial  1 0   a b    F=   / a,b, c  R  Se pide:  c  a    a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.b) Una base de E.c) Los subespacios vectoriales E  F y E+F.9.- a) ¿Para qué valores de x los siguientes sistemas de vectores son bases deR3? B1  1, 1, 0  ,  x,1, 0  ,  0,2,3  ; B2   2, x,1 , 1, 0,1 ,  0,1,3  b) Para x = 0, escribir las ecuaciones de cambio de base de B1 a la canónica,de la canónica a B1, de B1 a B2 y de B2 a B1. 10.- Hallar las coordenadas del vector u   x, y, z  en la base B  v1, v2 , v3        donde v1  1,2, 0  , v2   3, 7,1 y v 3   0,2, 1 . ¿Cuál es la matriz decambio de la base B’ a la canónica?11.-a) Probar que los sistemas de vectores G1 y G2 generan el mismo subespaciovectorial F de R4. G1= {(1,2,-1,0), (4,8,-4,-3), (0,1,3,4), (2,5,1,4)} G2= {(1,-2,-13,-1), (1,1,-4,-5), (2,3,-5,-2), (1,1,-4,-1)}b) Hallar la dimensión, una base “escalonada”, unas ecuaciones paramétricas y lasecuaciones cartesianas de F.(Vamos a llamar bases “escalonadas” de F a aquellascuyos vectores se pueden disponer como las filas de una matriz escalonada)2 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  3. 3. Espacio Vectorial 4c) Sea H = {(x, y, z, t) ∈ R tales que x + y + z = 0, x + z -3 t = 0}. Se pide: 1. Hallar la dimensión y una base de H, de F + H y de F ∩ H respectivamente. 2. Unas ecuaciones cartesianas de F + H y de F∩H.d) ¿Es H un subespacio suplementario de F? En caso contrario halla un subespaciosuplementario de F. ⎛1 2 4⎞3 ⎜ ⎟ 0 1 − 2 − 1⎟12.- Sea la matriz A = ⎜ de cambio de base de B a B’, siendo ⎜1 4 7 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 5 8 3⎠ { →B = u1,..., u4 → } { → → } → y B = v1,..., v4 . Escribir u2 en función de los vectores de labase B’. Hallar la matriz de cambio de base de B’ a B.13.- Comprobar que B= {(1,2,1), (1,1,0), (3,1,1)} y B’= {(1,3,1), (0,1,1),(2,1,0)} son bases de R3 y calcular las ecuaciones matriciales de cambio a) de la base B a la base canónica BC b) de la base B’ a BC c) de la base B a B’ d) de la base B’ a B.14.- Se consideran los tres subespacios de R4 siguientes:F = { ( α, β, 0, 0 ) / α, β ∈ R} 1F =< ( 0,1, 0, 0 ) , 2 ( 0, 0,1, 0 ) >F3 =< (1, 0, 0, 0 ) >a) Hallar F + F 1 2b) Hallar F3 + F2c) Las sumas anteriores ¿son sumas directas? Cuando así ocurra, escribir ladescomposición única de cada vector de la suma en suma de dos vectores uno decada subespacio. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 3
  4. 4. Espacio Vectorial15.- Dados los subespacios vectoriales F determinado por las ecuaciones ⎧ x1 = λ 1 ⎪x = λ + λ ⎧ x1 + x2 − x3 = 0 ⎪ 2 ⎪ 1 2cartesianas ⎨ y G por las ecuaciones paramétricas ⎨ x3 = λ 1 + λ 2 ⎩ x1 + x4 − x5 = 0 ⎪x = λ + λ ⎪ 4 1 3 ⎪ x5 = λ 1 + λ 3 ⎩del espacio vectorial R5, se pide: bases de F, G, F+G y F ∩ G .16.- Determinar, en cada caso, si los vectores dados generan y/o libre de R4.a) {(1,1,1,1) , ( 0,1,1,1) , ( 0, 0,1,1) , ( 0, 0, 0,1)}b) {(1, 3, −5, 0 ) , ( −2,1, 0, 0 ) , ( 0,2,1, −1) , (1, −4,5, 0 )}c) {(1, 0, −2,5 ) , ( 2,1, 0, −1) , (1,1,2,1)}17.- Escribir cada uno de los siguientes polinomios como combinación lineal dex + 1, x 2 + x, x2 + 2 .a) x 2 + 3x + 2b) 2x2 − 3x + 1c) x2 + 1d) x18.- Determinar si los conjuntos siguientes G1 y G2 generan el mismo subespaciovectorial de R3 o subespacios distintos a. G1={(1,0,-1), (1,1,0), (0,1,1)} y G2 = {(2,1,-1), (1,2,1)} b. G1={(1,0,-1), (1,1,0), (0,1,1)} y G2 = {(2,1,-1), (1,-1,0)}19.- Si { u, v, w, z} es libre, ¿cuáles de los siguientes conjuntos también lo son? → → → → a) { u − v, v − w, w − u} → → → → → → b) { u + v, v + w, w + u} → → → → → → c) { u − v, v − w, w − z, z − u} → → → → → → → → d) { u + v, v + w, w + z, z + u} → → → → → → → →20.- En V = R3, sea F = { ( x, y, z ) / 2x + y + z = 0} . Buscar un subespaciosuplementario de F.4 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  5. 5. Espacio Vectorial21.- Sean F1 y F2 los siguientes subespacios vectoriales de R5: { →F = x / x1 + ... + x5 = 0 1 }F = {x } → 2 / x1 = ... = x5Analizar si F1 y F2 son subespacios suplementarios de R5 obteniendo la → → → → →descomposición de cualquier vector u ∈ R5 en suma u = u1 + u2 , donde u1 ∈ F y 1→u2 ∈ F . 2 → →22.- En cada caso, encontrar una base de V que contenga a v y/ó w : →a) V = R3, v = (0, 1, 0) → →b) V = R4, v = (1, −1,1, −1) , w = ( 0,1, 0,1) → →c) V = P3, v = x 2 + 1 , w = x2 + x23.- Sea el subespacio vectorial F generado por los siguientes vectores deespacio vectorial R4: u1 = (2, 3,1, 0); u2 = (1, 0,1, 0); u3 = (0, 3, −1, 0) . Se pide:a) Rango de H = {u1; u2 ; u3 } . ¿Qué clase de sistema es H? ¿Existe alguna relaciónde dependencia entre los vectores u1, u2 y u3 ?b) Dimensión y una base F.c) Las coordenadas de los vectores u1, u2 y u3 respecto de la base obtenida en elapartado anterior.d) Unas ecuaciones paramétricas de F.e) Unas ecuaciones cartesianas o implícitas de F.f) A partir de las ecuaciones cartesianas otras ecuaciones paramétricas distintasdel apartado d).g) ¿El vector (1,0,0,0) pertenece o no a F?h) Una base B* del espacio vectorial R4 que contenga a los vectores de una basede F.i) Las ecuaciones del cambio de base de la base B* (del apartado anterior) a labase canónica Bc de R4.j) Las ecuaciones del cambio de la base Bc a la base B*k) La expresión analítica del vector e2 de la base canónica respecto de la baseB*.24.- Si F y G son subespacios de V, demostrar que F ∪ G es subespacio de V si ysolo si F ⊂ G ó G ⊂ F . U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 5
  6. 6. Espacio Vectorial25.- Sea V el espacio vectorial de las funciones reales de variable real. SeaF = {f ∈ V / f es par} y F = {g ∈ V / g es impar} . Demostrar: 1 2a) F1 y F2 son subespacios vectoriales de V. f ( x) + f ( −x) f ( x) − f ( −x)b) V = F ⊕ F (Nota: f ( x ) = 1 2 + ). 2 226.- Consideremos el conjunto R2 formado por todas las parejas (x,y) de númerosreales. Se define en R2 la operación interna (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’) y una de lasoperaciones externas siguientes: a) λ(x,y)=(λx,0) b) λ(x,y)=(λx,λy) c) λ(x,y)=(λ+λx-1,λ+λy-1) d) λ(x,y)=(λy,λy)para λ ∈ R .Decir, para cada uno de los cuatro casos, si se obtiene o no unaestructura de espacio vectorial en R2.27.- Comprobar que el conjunto {(1,1,0), (1,0,2), (0,1,2)} forma una base delespacio R3. Hallar las coordenadas del vector (2,5,10) en dicha base.28.- Demostrar que los vectores (1,0,-2,1), (1,3,2,-2) y (2,3,4,1) sonlinealmente independientes. Construir, a partir de la base canónica, una base quecontenga a estos tres vectores.29.- Encontrar una base del subespacio F de R3 engendrado por los vectores(1,2,3) (-1,5,2) y (1,9,8). ¿Qué valor hay que dar a x para que el vector(x,16,13) sea de este subespacio?30.- Si los números 1,3 y 5 son las coordenadas de un vector v en la base{(1,1,0),(0,1,1), (1,0,1)}, hallar las coordenadas del vector v en la basecanónica.31.- Sean B = { u, v, w} y B = { u , v , w } dos bases de R3, tales queu = u + v + w, v = u + v y w = u + w . Hallar las ecuaciones del cambio de labase B a B’ y de la base B’ a B.6 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  7. 7. Espacio Vectorial32.- Dadas las bases de R3, B={ u1 = (2,1,0), u2 = (-1,0,1), u3 = (0,1,-2)} yB´={ v1 = (0,1,1), v2 = (1,0,0), v3 = (2,0,1)}. a) Hallar la expresión analítica delcambio de base de B a B´, de B´a B y de B´a la base canónica. b) Sia = (1,1,1) respecto de B ¿cuáles son sus coordenadas respecto de B’? c) Sib = v2 − v3 , escribir la expresión de b respecto de B. ⎛ 1 1 1⎞ ⎜ ⎟33.- Sea la matriz A= ⎜ 2 0 2 ⎟ de cambio de base de B a B’, siendo ⎜1 1 4⎟ ⎝ ⎠B={ u1 , u2 , u3 } y B´={ v1 , v2 , v3 }. Escribir el vector u2 en función de los vectores deB’. Hallar la matriz del cambio de base de B’ a B.34.- Consideremos las bases de V3:B1= {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0), e3 = (0, 0,1)} , ⎧ 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫B2 = ⎨ u1=( , , ),u2 =( ,0,- ), u3 =( ,- , ) ⎬. ⎩ 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎭a) Hallar el cambio de base de B1 a B2 b) Hallar el conjunto F de vectores quetienen las mismas coordenadas respecto de B1 y de B2. Demostrar que F essubespacio de V3 y hallar una base de F. ⎛ 1 2 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟35.- a) Hallar el rango de la matriz A= ⎜ 2 5 −3 4 ⎟ . b) Hallar una base del ⎜ 6 17 −7 10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 3 −3 2 ⎠subespacio engendrado por los vectores fila de la matriz A. c) Hallar unasecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas de dicho subespacio.36.- Hallar una base del subespacio vectorial F formado por las matrices de la ⎛ a b⎞forma ⎜ ⎟ . Encontrar un subespacio suplementario de F. ⎝ −b 0 ⎠37.- Sea F el subespacio vectorial F = < (1,-1,0), (0,6,2), (1,5,2), (3,3,2) >.Se pide:a) Una base y unas ecuaciones paramétricas de F.b) Un subespacio G suplementario del subespacio F. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 7
  8. 8. Espacio Vectorial → → → →c) Sea x = (3, −1, −3) . Indicar si x ∈ F ó x ∈ G ó x ∈ F + G . Descomponer el →vector x en suma de dos vectores, uno paralelo y otro perpendicular al vector→u = (1, −1, 0) ∈ F .d) Una base B1 del espacio vectorial F+G. 3 2 2e) Una superficie en R tiene de ecuación 3x +2xy-2xz+3y +2yz+3z2=1.Determinar la ecuación (lo más simplificada posible) de esta superficie, respecto ⎧ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎫de la nueva base: B2 = ⎨ u = ⎜ , 0, ⎟ , v = ⎜ , − , 0 ⎟ , w = ⎜ 0, , − ⎟ ⎬ . ⎩ ⎝2 2⎠ ⎝2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎭f) Ecuaciones del cambio de base de B1 a B2.g) El conjunto H de vectores que tienen las mismas coordenadas respecto de B1 yB2.h) Demostrar que H es un subespacio vectorial del espacio vectorial R3.38.- Se considera el espacio vectorial V = R4. Se pide:a) Determinar si los siguientes conjuntos de vectores generan V: F = { → → → → u1 = (1,1,1,1) , u2 = ( 0,1,1,1) , u3 = ( 0, 0,1,1) , u4 = ( 0, 0, 0,1) } { → → → → H = v1 = (1, 3, −5, 0 ) , v2 = ( −2,1, 0, 0 ) , v3 = ( 0,2,1, −1) , v4 = (1, −4,5, 0 ) }¿Cuál de ellos es, pues, una base de R4, que llamaremos B?b) Sean S = x, y, z { → → → } { y T = u, v, w → → → } donde: → → x = (1,2,5, 3 ) u = ( 2,1, 4, −3 ) → → y = ( 3,1, 5, −6 ) v = ( 3,1, 3, −2 ) → → z = (1,1, 3, 0 ) w = ( 9,2, 3, −1)Sea U =< S > y V =< T > . Hallar la dimensión y una base de cada uno de lossubespacios U, V, U + V y U ∩ V.c) Completar la base de U + V obtenida en el apartado anterior para formar unabase B’ de R4. Escribir las ecuaciones de cambio de base de B a B’ y de B’ a B.39.- a) Demostrar que si los vectores e1, e2 , e3 son base de R3 y el vector u estal que u=λ 1e1 + λ 2 e2 + λ 3 e3 con λ 2 ≠ 0 entonces los vectores e1, u, e3 son basede R3.b) Generalizar el resultado anterior: Si e1, e2 ,..., en son una base de un espaciovectorial V y u=λ 1e1 + λ 2 e2 + ... + λ n en , con λ i ≠ 0 , entonces los vectorese1, e2 ,...ei − 1, u, ei+1,...., en son también base de V.8 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  9. 9. Espacio Vectorial40.- Sea { v1, v2 ,..., vn } una base de un espacio vectorial E. Demostrar que los nvectores de E siguientes:w1 = v1, w2 = v1 + v2 , w3 = v1 + v2 + v3,..., wn = v1 + v2 + ... + vn son base de E.41.- a) Hallar la suma y la intersección de los subespacios vectoriales E y Fdefinidos por los siguientes sistemas generadores: E=<(1,1,1), (1,0,1), (2,6,2)>; F=<(2,0,1), (1,-1,3), (0,2,-5)>b) ¿Son E y F suplementarios?c) Sean B1={(1,1,1), (1,0,1), (0,0,1)} y B2={(2,0,1), (0,1,0), (1,-1,1)} dos basesde R3. Hallar el cambio de base de B1 a B2 y las coordenadas respecto de B1 yde B2 del vector de coordenadas (1,0,0) en la base canónica.42.- En R3 se considera el subespacio vectorial S engendrado por los vectores{(1,0,1), (1,1,0), (1,-1,2)} y el hiperplano H de ecuación {x + y = 0} respecto dela base canónica de R3.Se pide:1. Ecuaciones paramétricas e implícitas de S y de H2. Obtener las bases de S ∩ H y S+H ⎛ 1 1 0⎞ ⎜ ⎟43.- a) Hallar el rango de la matriz A = ⎜ 0 −2 2 ⎟ ⎜ 1 −3 4 ⎟ ⎝ ⎠b) Sea F el subespacio vectorial de .3 engendrado por los vectores fila de lamatriz A. Hallar una base de F.c) Hallar unas ecuaciones paramétricas de F.d) Hallar unas ecuaciones implícitas de F.e) Sea C el subespacio vectorial de .3 engendrado por los vectores columna de lamatriz A. Hallar una base de C.f) Encontrar una relación de dependencia lineal existente entre los vectorescolumna de la matriz A.g) Hallar unas ecuaciones paramétricas de C.h) Hallar unas ecuaciones implícitas de C.i) ¿F y C son hiperplanos distintos?j) Calcular una base y unas ecuaciones paramétricas de F∩C.44.- Sea G el subconjunto de vectores de .4 formado por los vectores{(2,3,2,0), (4,6,4,1), (1,0,1,0), (0,0,0,6)} y sea S el subespacio vectorialgenerado por dichos vectores. Se pide: U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 9
  10. 10. Espacio Vectoriala) Obtener una base de Sb) Ecuaciones paramétricas e implícitas de Sc) Valores de los parámetros a y b para que los vectores (a,a,2,2) y (1,b,1,b)pertenezcan ambos a S.45.- Se consideran en R4 los subespacios vectoriales S = < (1, 1, 1, 1), (1, -1,1, -1)> y T = < (1, 1 ,0, 1), (1, 2, -1, 2), (3, 5, -2, 5)> a) Hallar la dimensión y unas ecuaciones implícitas del subespacio S + T. b) Hallar la dimensión y unas ecuaciones paramétricas del subespacio S ∩ T. { → → →46.- Dadas las bases B1 = u1 = (1,0,0 ) , u2 = (1,1, 0 ) , u3 = (1, 0, −1) }y { → → →B2 = v1 = ( 2,1,0 ) , v2 = ( 3,2, −1) , v3 = ( 0, 0,1) } del espacio vectorial R . Se pide: 3a) Ecuación matricial del cambio de base de B1 a la base B2.b) Ecuación matricial del cambio de base de B2 a la base B1.c) Si el vector tiene coordenadas (1,1,1) respecto de la base B1 ¿cuáles son suscoordenadas respecto de la base B2?47.- Sea el subespacio vectorial F de R4 generado por los siguientes vectores:u1 = (1,1,2, 0 ) ; u2 = ( 2, −1, 0,1) ; u3 = ( 5, −1,2,2 ) . Se pide:a) Una base de F.b) Ecuaciones paramétricas de F.c) Una base B’ de R4 que contenga la base de F obtenida en el apartado a).d) Las ecuaciones del cambio de base de la canónica Bc de R4 a la base B’ (delapartado anterior).48.- En el espacio vectorial real R4, se consideran los siguientes conjuntos devectores:S = { u = ( 2, 3,1, −5 ) , v = ( 0,2, −1, 3) , w = ( 4, 0, 5, −19 ) , t = ( −2,1, −3,11) }T = { p = ( 2,5, 0, −1) , q = ( 2,1,2, −7 ) }Sean F y G los subespacios engendrados por S y T, respectivamente, es decir:F = S y G = T . a) Hallar los rangos de S y de T. b) Hallar a y b para que el vector (2, a, 3, -b) ∈ F .10 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  11. 11. Espacio Vectorial c) Dar unas ecuaciones implícitas de F y de G. d) Calcular la dimensión y una base de cada uno de los subespacios siguientes: F, G, F+G y F ∩ G . ¿Es F+G suma directa? e) Hallar una base B de ℜ4 que contenga a los vectores { u, v, p } . Escribir las ecuaciones de cambio de base de B a la base canónica y de la base canónica a B.49.- Sea A = {(1, 3, -1, 4), (3, 8, -5, 7), (2, 9, 4, 23)}⊂R4. Se pide:a) Estudiar si A es un sistema libre o ligado.b) Si F es el subespacio vectorial de R4 generado por A, hallar a partir de A,una base escalonada BF, unas ecuaciones paramétricas y unas ecuacionescartesianas de F.c) Hallar una base BS de un subespacio S, que sea suplementario de F, tal que BF∪ BS sea una base escalonada de R4.d) Sean B = {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 2, 3)} y B’ = {(-1, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 0,1)} ⊂ R3. Comprobar que B y B’ son bases de R3 y hallar las ecuaciones del cambiode B a B’.50.- Sean los subespacios vectoriales: E = {( α + γ, β + γ, α + β + 2γ ) / α, β, γ ∈ R} ; F = {( x, y, z ) ∈ R 3 / x − y + 2z = 0}Se pide:a) Bases de E, F, E+F y E ∩ F .b) Ecuaciones implícitas de E ∩ F .51.- Sea el vector a = (1,2,3) expresado en la base B= { v1, v2 , v3 } del espaciovectorial R3. Hallar las coordenadas de a en la base B = {u1, u2 , u3 } , sabiendoque: u1 = 3v1 + 2v2 − v3 ⎫ ⎪ u2 = 4v1 + v2 + v3 ⎬ u3 = 2v1 − v2 + v3 ⎭⎪52.- Dado el espacio vectorial R3: a) Hallar una base del subespacio vectorial generado por los vectores:S= {a = ( 2, 4, 0 ) , b = (1,2,1) , c = ( 3,2,1) , d = ( 3, 4,1)} y expresar el vector d endicha base. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 11
  12. 12. Espacio Vectorial b) Encontrar un vector común al subespacio E generado por los vectoresu1 = (1,2, 3) y u2 = (3,2,1) y al subespacio F generado por los vectoresv1 = (1, 0,1) y v2 = ( 3, 4, 3 ) . c) Indicar si los subespacios vectorialesH = {(x, y, z) / 2x + y − z = 0; x + y = 0} yG= {( α − β + 2 γ, β − α − 2γ, α − β + 2γ ) / α, β, γ ∈ R} son iguales. d) Sean B = {u = ( 2,1, 0 ) , v = ( −1, 0,1) , w = ( 0,1, −2 )} yB = {u = ( 0,1,1) , v = ( −1, 0, 0 ) , w = ( 2, 0,1)} . Hallar la matriz del cambio debase de B a B’.53.- a) Dados los subespacios vectoriales de R4 siguientes: ⎧ x = 2λ 1 + λ 2 ⎪y = λ − λ ⎪ 1 2 ⎧2x + y − z = 0 F ≡ ⎨ λ 1, λ 2 ∈ R G ≡ ⎨ ⎪z = λ2 ⎩ x + 2y − t = 0 ⎪ t = −λ 1 − λ 2 ⎩ Se pide calcular sendas bases de F, G, F + G, F ∩ G. b) Dadas las bases de R3 siguientes: B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0, 0)} y B’ = {(2,1,2), (1,0,3), (-1,4,2)} Se pide hallar la ecuación matricial del cambio de la base B a la base B’.54.- Sea G el subconjunto de R4 formado por los vectores {(2,3,2,0), (4,6,4,1),(1,0,1,0), (0,0,0,6)} y sea S el subespacio vectorial generado por dichosvectores. Se pide: a) Obtener una base de S b) Ecuaciones paramétricas e implícitasde S c) Valores de los parámetros a y b para que los vectores (a,a,2,2) y (1,b,1,b) pertenezcan ambos a S.55.- Encontrar los escalares que permiten escribir el vector de R4, (8, 4, 2, 0)como combinación lineal de los vectores (1, 0, 0, 0), (1, 2, 0, 0), (2, 1, 1, 0).56.- Se consideran los vectores a1 =(2,1,0,0), a2 =(1,1,-1,0), a3 =(3,1,1,0) yE =< a1, a2 , a3 > y G = {( x , x , x , x ,) ∈ R / x 1 2 3 4 4 2 = − x3 } subespacios vectoriales 4de R . Se pide: a) Dimensión y bases de E y G. b) Dimensión y una base de unsuplementario de E que se denominará F. c) Ecuaciones implícitas de E. d)Dimensión y una base de E ∩ G . e) Formar una nueva base de R4, B’ formada por12 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  13. 13. Espacio Vectoriallos vectores a1 , a2 y los restantes vectores pertenecientes a G. f) Encontrar lascoordenadas de los vectores a1 y b = 2e1 + 2e2 + 2e3 + 2e4 en la base B’, siendoB = { e1, e2 , e3, e4 } la base canónica.57.- En el espacio vectorial R3 se tienen las siguientes bases:B = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} , B = { (1,1,0), (0,-1,0), (1,0,1)} yB * = {u1, u2 , u3 } . Sean (x, y, z), (x’, y’, z’) y (x*, y*, z*) las coordenadas de unvector en las bases B, B’ y B* respectivamente.a.- Escribir la ecuación matricial del cambio de base de B a B’. ⎧ x = x * + z* ⎪b.- Sabiendo que ⎨ y = y * − z * , dar las coordenadas de los vectores u1, u2 , u3 ⎪ ⎩z = −x + z * *respecto de B y de B’. ⎧ x = α−β ⎪58.- Se considera un subespacio F de ecuaciones ⎨ y = α . ⎪z = β ⎩a.- Obtener una base de F.b.- Si G es el subespacio generado por el sistema {(1,1, − 1) , (1,1,0)} , b.1.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianasdel subespacio G. b.2.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianasdel subespacio F ∩ G .59.- En el espacio vectorial R3 se tienen las siguientes bases:B = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} , B = { (1,0,1), (1,1,0), (0,-1,0) } yB * = {u1, u2 , u3 } . Sean (x, y, z), (x’, y’, z’) y (x*, y*, z*) las coordenadas de unvector en las bases B, B’ y B* respectivamente. a.- Escribir la ecuación matricial del cambio de base de B a B’. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 13
  14. 14. Espacio Vectorial ⎧ x = y + z* * ⎪b.- Sabiendo que ⎨ y = x − z , dar las coordenadas de los vectores u1, u2 , u3 * * ⎪ ⎩z = − y + z * *respecto de B y de B’. ⎧x = α ⎪60.- Se considera un subespacio F de ecuaciones ⎨ y = α − β . ⎪z = β ⎩a.- Obtener una base de F.b.- Si G es el subespacio generado por el sistema {(1,-1, − 1) , (1,2,0)} , b.1.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianasdel subespacio G. b.2.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianasdel subespacio F ∩ G .61.- En un espacio vectorial V, sea la base canónica B = { e1, e2, e3} . Seconsidera el subespacio S1 de ecuación cartesiana en x = y-z.a) Obtener una base de S1 formada por vectores unitarios.b) Si S2 es el subespacio engendrado por el sistema { e1 + e2-e3, e1 + e2 } , hallarunas ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio S2.c) Hallar una base de cada uno de los subespacios vectoriales S1 ∩ S2 y S1+S2.62.- Dado el espacio vectorial R4 consideremos los subespacios: V1 = <(1, 2, 0, 1)> V2 = {( x, y, z, t ) / x-y + z + t = 0, y-z = 0 } ⎧ x1 = λ ⎪x = λ +μ ⎪ 2 V3 = ⎨ ⎪ x3 = γ ⎪ x4 ⎩ = μa) Hallar una base de cada uno de los subespacios anteriores.14 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  15. 15. Espacio Vectorialb) ¿Pertenece el vector v = (2, 4, 0, 2) a V1 ó V2 ó V3? En caso afirmativocalcular sus coordenadas respecto de la base correspondiente obtenida en elapartado a).63.- En R4 consideramos los subespacios vectoriales A = {( x, y, z, t ) ∈ R 4 | x = y = z} , B = {( x, y, z, t ) ∈ R / x 4 = α + β + γ + μ, y = α + β + 2μ, z = γ + μ, t = β + γ } a) Calcular una base y dimensión de A y de B. b) Calcular una base y dimensión de A ∩ B y de A + B . c) Determinar un subespacio F suplementario de A.64.- En el espacio vectorial real de dimensión cuatro. Se dan las basesB = {u1, u2, u3, u4 } y B = { v1, v2, v3, v4 } las cuales están relacionadas por u1 = 2v1 + v3 + 2v4 u2 = v1 + v2 − v3 u3 = 2v1 + v2 − v3 u4 = − v1 + 2v3 + 3v4 41º Se considera el vector x ∈ R cuyas coordenadas respecto de la base B son x = (1, 2, 0, 0 ) . Determinar sus coordenadas respecto de la base B. 42º Se considera el vector y ∈ R cuyas coordenadas respecto de la base B son y = (-1, 2, 0, 1) . Determinar sus coordenadas respecto de la base B. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 15
  16. 16. Espacio Vectorial 31.- Se considera R con la suma habitual y con el producto por un escalar que se indica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, (R3, +,·) es espacio vectorial señalando alguna propiedad del producto que no se cumpla: a) λ ( x, y, z ) = ( λx, λy, z ) b) λ ( x, y, z ) = ( 0, 0, 0 ) c) λ ( x, y, z ) = ( 3λ x, 3λ y, 3λ z )Solución:a) [A6] (λ + μ)a = λa + μa ∀λ, μ ∈ K y ∀a ∈ R 3 .(λ + μ)a = ( λ + μ )( x, y, z ) = ( ( λ + μ ) x, ( λ + μ ) y, z ) = ( ( λx + μx ) , ( λy + μy ) , z )λa + μa = λ ( x, y, z ) + μ ( x, y, z ) = ( λx, λy, z ) + ( μx, μy, z ) = ( ( λx + μx ) , ( λy + μy ) , 2z )( λ + μ ) ≠ λa + μa .No se cumple la condición A6b) [A8] 1. a = a para cualquier a ∈ R 3 .1a = 1( x, y, z ) = ( 0, 0, 0 ) ≠ a1⋅ a ≠ a .No se cumple la condición A8c) [A8] 1. a = a para cualquier a ∈ R 3 .1a = 1( x, y, z ) = ( 3x,3y,3z ) ≠ a1⋅ a ≠ a .No se cumple la condición A816 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  17. 17. Espacio Vectorial2.- Definimos en R2 las operaciones siguientes: ( x, y ) + ( x , y ) = ( x + x , y + y + 1) λ ( x, y ) = ( λx, λy + λ − 1)Determinar, para la suma, el elemento neutro y el elemento opuesto de (x, y)Probar que R2 con dichas operaciones es un espacio vectorial.Solución:Previamente comprobemos que R2 con la suma tiene estructura de grupo abeliano: ( ) ( ) [A1] Asociativa: a + b + c = a + b + c ∀a , b, c ∈ R 2 .Sean a = ( x, y), b = ( x , y), c = ( x , y) ∈ R 2 entonces: ( a+b ) +c= ( (x,y)+(x,y) ) +(x,y)=(x+x,y+y+1)+(x,y)= ( (x+x)+x,(y+y)+y+2 ) a+ ( b+c ) =(x,y)+ ( (x,y)+(x,y) ) =(x,y)+(x+x,y+y+1)= ( x+(x+x),y+(y+y)+2 ) . Por ser R un cuerpo se cumple la asociativa y se tiene que( ) a + b + c = ( x+x+x,y+y+y+2 ) = a + b + c ( ) y se verifica la propiedad asociativa( a + b) + c = a + ( b + c ) [A2] Existencia de elemento neutro: Existe un elemento el vector nulo, que designaremos0 = (0, −1) que verifica que a + 0 = 0 + a = a para cualquier a ∈ R 2 . En efecto: a + 0 = (x, y) + (0, −1) = (x + 0, y − 1 + 1) = (x, y) = a y por otraparte 0 + a = (0, −1) + (x, y) = (0 + x, −1 + y + 1) = (x, y) = a luego a + 0 = 0 + a = a y 0 = (0,0) es elvector nulo. [A3] Existencia de elemento simétrico: Para cualquier a ∈ R 2 existe un único elemento deR2, que designaremos por - a =–(x, y) = (-x, -2-y) tal que a + ( −a ) = ( − a ) + a = 0 . El elemento −a = (− x, − y − 2) es el elemento opuesto del vector a = ( x, y) ∈ R 2 ya quea + (−a) = (x, y) + (− x, − y − 2) = (x − x, y − y − 2 + 1) = (0, −1) = 0 y que(−a) + a = (− x, − y − 2) + (x, y) = (− x + x, − y − 2 + y + 1) = (0, −1) = 0 y se cumplea + ( −a) = ( −a) + a = 0 . [A4] Conmutativa: a + b = b + a ∀a , b ∈ R 2Sean a = ( x, y), b = ( x, y ) ∈ R 2 entonces: a+b=(x,y)+(x,y)=(x+x,y+y+1) ypermutando b+a=(x,y)+(x,y)=(x+x, y+y+1) y por ser conmutativo R a + b = b + a . Por tanto, es (R2,+) un grupo conmutativo. λ(x,y)=(λx, λy+λ-1) Vamos a estudiar las cuatro condiciones: [A5] λ(a + b) = λa + λb λ ∈ K ∀a , b ∈ R 2 En efecto: λ (a + b) = λ ( (x,y)+(x,y) ) =λ (x+x,y+y+1) = U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 17
  18. 18. Espacio Vectorial=(λx+λx,λy+λy+λ +λ-1) = (λx,λy+λ -1)+(λx,λy+λ -1) = λa + λb [A6] (λ + μ)a = λa + μa ∀λ, μ ∈ K y ∀a ∈ R 2 . En este caso:(λ + μ)a = ( λ + μ )( x, y ) = ( ( λ + μ ) x, ( λ + μ ) y + ( λ + μ ) − 1) = ( ( λx + μx ) , ( λ y + μy + λ + μ − 1) ) == ( λx + μx, λy + λ − 1 + μy + μ − 1 + 1) = ( λ x, λy + λ − 1) + ( μx, μy + μ − 1) = λ ( x, y ) + μ ( x, y ) = λ a + μa [A7] λ(μa ) = (λμ )a ∀λ, μ ∈ K y ∀a ∈ R 2 . Ahora:λ ( μa ) = λ ( μ(x, y) ) = λ ( μx, μy + μ − 1) = ( λμx, λμy + λμ − λ + λ − 1) = (λμ)(x, y) = (λμ)a [A8] El elemento unidad del cuerpo K, que designaremos por 1, verifica 1. a = a paracualquier a ∈ R 2 . Por último: 1.a = 1(x, y) = (1x,1y + 1 − 1) = (x, y) = a . Cumple las ocho condiciones y con estas operaciones R2 es un espacio vectorial sobre K.18 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  19. 19. Espacio Vectorial3.- En cada caso, determinar si F es un subespacio vectorial de R3. En casoafirmativo, buscar una base y unas ecuaciones implícitas y paramétricas de F. a) F = { (1, α, β ) ∈ R 3 / α, β ∈ R} b) F = { ( 0, α, β ) ∈ R / α, β ∈ R} 3 c) F = { ( x, y, z ) ∈ R / − x + 3y + 2z = 0} 3 d) F = { ( 2α, −β , γ ) ∈ R / α, β, γ ∈ R} 2 3 e) F = {(x,y,z) ∈R3 / x+2y+z = 0, z = y-x } f) F = {(x,y,z) ∈R3 / x, y, z ≥ 0} g) F= {(x,y,z) ∈R3 / máx(x,y,z)<1}Solución: →a) No es subespacio, pues 0 ∉ F .b) Sí es subespacio; una base es {(0,1,0), (0,0,1)} . ⎧x = 0 ⎪ Ecuaciones paramétricas: ⎨ y = α ; implícitas: x = 0. ⎪z = β ⎩c) Sí es subespacio; una base es {(3,1,0), (2,0,1)} . ⎧x = 3α + 2β ⎪ Ecuaciones paramétricas: ⎨ y = α ; implícitas: -x+3y+2z = 0. ⎪z = β ⎩ →d) No es subespacio; (− 1) x ∉ F , en general. ⎛ x⎞ ⎧x + 2y + z = 0 ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 0⎞e) En este caso, el sistema ⎨ se puede escribir ⎜ ⎟ y =⎜ ⎟ ⎩ z = y-x ⎝ 1 −1 1⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ ⎛ x⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 0⎞abreviadamente AX=0 y el subconjunto F={X/AX=0} siendo A = ⎜ ⎟ ; X = ⎜ y⎟ ;0 = ⎜ ⎟ , ⎝ 1 −1 1⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ z⎠ ⎧ a = X ∈ F ⇒ AX = 0 ⎪entonces ∀λ, μ ∈ K, ∀a, b ∈ F ⇒ λa + μb ∈ F se cumple, puesto que ⎨ y resulta ⎪b = X ∈ F ⇒ AX = 0 ⎩que λa + μb = λX + μX ∈ F ya que A ( λX) + B(μX) = λ( AX) + μ(AX) = λ 0 + μ 0 = 0 + 0 = 0 .Tenemos un subespacio vectorial, por ser un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 19
  20. 20. Espacio Vectorial ⎧ ⎧x=α ⎪y=0 ⎪Para obtener una base resolvemos dicho sistema quedando ⎨ ⇔ ⎨ y = 0 y una base posible ⎪z = − x ⎪z = − α ⎩ ⎩{(1,0,-1)}.f) En este caso: F = {(x,y,z) ∈R3 / x, y, z ≥ 0} basta con considerar un vector (1,0,0) del subconjuntoF y observar que su opuesto (-1)(1,0,0) = (-1,0,0) ya no es un vector del subconjunto F , ya que−1 < 0 y no se cumple x ≥ 0 . Por tanto F no es un subespacio vectorial.g) F = {(x,y,z) ∈R3 / máx(x,y,z)<1} es un caso análogo al anterior, tomando al vector (1/2,0,0) delsubconjunto F y se le multiplica por 3 se obtiene 3(1/2,0,0)=(3/2,0,0) con 3/2>1 y por consiguiente(3 / 2, 0, 0) ∉ F , luego F no es un subespacio vectorial.20 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  21. 21. Espacio Vectorial4.- Sea A={(2,1,3), (-1,2,3), (-3,1,0), (5,0,3)}. Indicar si son correctas ofalsas las siguientes cuestiones:a) A es libre.b) A es sistema generador de un subespacio vectorial.c) A es una base de R3.d) rango (A)=4.e) El vector (2,1,3) es combinación lineal de los vectores de A.f) El vector (1,1,1) ∈< A > .Solución:a) Falso, el sistema A de cuatro vectores de un espacio vectorial de dimensión 3 es siempre ligado,puesto que el mayor número de vectores linealmente independientes es 3.b) Verdadero, cualquier sistema de vectores genera un subespacio vectorial.c) Falso, por no ser libre. ⎛2 1 3⎞ ⎜ ⎟ −1 2 3⎟d) Falso, no hay menores de orden 4; r = ⎜ = 2. ⎜ −3 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝5 0 3⎠e) Verdadero, es uno de los vectores de A. ⎛2 1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 2 3⎟f) Falso, no se puede poner como combinación lineal de los vectores de A, r = ⎜ −3 1 0⎟ = 3 ⎜ ⎟ ⎜5 0 3⎟ ⎜1 1 1⎟ ⎝ ⎠ U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 21
  22. 22. Espacio Vectorial5.- ¿Qué valores deben tener m y n para que el vector(-3,m,n,2m-n) ∈< {(1, 0, 0, 0 ) , ( 0,1,1,1) , (1,1,1,1)} > ?Solución:Es obvio, que (1,1,1,1)=(1,0,0,0)+(0,1,1,1), luego el subespacio generador por los tres vectores es elmismo que el generado por los dos primeros.( −3, m, n, 2m − n ) ∈< {(1, 0, 0, 0 ) , ( 0,1,1,1)} >⇔ ( −3, m, n, 2m − n ) = λ (1, 0, 0, 0 ) + μ ( 0,1,1,1) −3 = λ ⎫ m=μ ⎪ ⎪ ⎬⇒ m =n n =μ ⎪ 2m − n = μ ⎪ ⎭22 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  23. 23. Espacio Vectorial6.- Sea Pn(x) el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y degrado menor o igual que n. Demostrar que el polinomio xn y sus n primerasderivadas forman una base de Pn(x) e indicar las coordenadas del polinomio1+x+x2 en esta base.Solución:Derivando Qn(x)=xn Qn’(x)=nxn -1; Qn’’(x)=n(n-1)xn-2;…; Qnn)(x)=n!Tenemos que {Qn(x), Qn’(x), Qn’’(x),…, Qnn)(x)} que demostrar que es una base de Pn(x).El espacio vectorial Pn(x) = {a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a n x n / a i ∈ R} es de dimensión n+1.Es suficiente con demostrar que cualquier vector se puede poner como combinación lineal de lassucesivas derivadas:Pn (x) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a n x n = λ 0 Q n (x) + λ1Q n (x) + λ 2Q n (x) + ... + λ n Q n n ) (x) =λ 0 x n + λ1nx n −1 + λ 2 n(n − 1)x n − 2 + ... + λ n n! ⇒ λ0 = a n ⎫ ⎪ λ0 = a n ⎫ λ1 = a n −1 ⎪ λ1n = a n −1 ⎪ n ⎪ ⎪ a n −2 ⎪ ⎪ λ 2 n(n − 1) = a n − 2 ⎪ λ 2 = ⎪ ⎬⇒ n(n − 1) ⎬ . ⎪ . ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ . ⎪ λ n n! = a 0 ⎪ ⎭ ⎪ a ⎪ λn = 0 n! ⎭El sistema formado por las sucesivas derivadas es sistema generador de cualquier polinomio y elnúmero de polinomios coinciden con la dimensión, por tanto, forma una base. ( 2x ) + ⎛ ⎞ 2 , entonces (1,1/2,1/2) son las coordenadas respecto de 1 1En particular, 1+x+x 2 =1x 2 + ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠la base {x2,2x,2} U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 23
  24. 24. Espacio Vectorial7.- Determinar si los conjuntos siguientes G1 y G2 generan el mismo subespaciovectorial de R3 o subespacios distintos G1={(1,0,-1), (0,1,-1)} y G2 = {(1,1,-2),(2,1,-3), (0,1,-1)}Solución:Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G1 ⎡ x 1 0 ⎤ ⎢ ⎥#1: DET ⎢ y 0 1 ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎣ z -1 -1 ⎦#2: x + y + z = 0 ⎡ 1 1 -2 ⎤ ⎢ ⎥#3: RANK ⎢ 2 1 -3 ⎥ = 2 ⎢ ⎥ ⎣ 0 1 -1 ⎦Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G2 ⎡ x 1 2 ⎤ ⎢ ⎥#5: DET ⎢ y 1 1 ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎣ z -2 -3 ⎦#6: -x - ·y - ·z = 0Son iguales, luego son subespacios idénticos.24 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  25. 25. Espacio Vectorial8.- Sea el subespacio vectorial E formado por el conjunto de matrices cuadradas ⎛ 0 1⎞que permutan con la matriz A = ⎜ ⎟ . Y sea el subespacio vectorial ⎝ −1 0 ⎠ ⎧⎛ a b ⎞ ⎪ ⎫ ⎪F= ⎨⎜ ⎟ / a,b, c ∈ R ⎬ Se pide: ⎪⎝ c − a ⎠ ⎩ ⎪ ⎭a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.b) Una base de E.c) Los subespacio vectorial E ∩ F y E+F.Solución: ⎧⎛ x y ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ x y ⎞ ⎛ x y ⎞ ⎛ 0 1 ⎞⎫a) E = ⎨⎜ ⎟ ∈ M2 / ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎬ ⎩⎝ z t ⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝ − 1 0 ⎠ ⎭ ⎛⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎞#1: SOLVE⎜⎢ ⎥·⎢ ⎥ = ⎢ ⎥·⎢ ⎥, [x, y, z, t], Real⎟ ⎝⎣ -1 0 ⎦ ⎣ z t ⎦ ⎣ z t ⎦ ⎣ -1 0 ⎦ ⎠#2: x - t = 0 ∧ y + z = 0 ⎛⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎞#3:SOLUTIONS⎜⎢ ⎥·⎢ ⎥ = ⎢ ⎥·⎢ ⎥, [x, y, z, t], Real⎟ ⎝⎣ -1 0 ⎦ ⎣ z t ⎦ ⎣ z t ⎦ ⎣ -1 0 ⎦ ⎠#4: [[@1, @2, -@2, @1]] ⎧⎛ α β ⎞ ⎫ E = ⎨⎜ ⎟ ∈ M 2 / α, β ∈ R ⎬ ⎩⎝ −β α ⎠ ⎭E es un subespacio vectorial ⇔ ∀λ, μ ∈ K, ∀a, b ∈ E ⇒ λa + μb ∈ E ⎛ α β⎞ ⎛ α β⎞En este caso a = ⎜ ⎟∈E y b = ⎜ ⎟ ∈ E , luego ⎝ −β α ⎠ ⎝ −β α ⎠ ⎛ α β⎞ ⎛ α β ⎞ ⎛ λα + μα λβ + μβ ⎞λa + μb = λ ⎜ ⎟ +μ⎜ ⎟ = ⎜ − λβ + μβ λα + μα ⎟ ∈ E ⎝ −β α ⎠ ⎝ −β α ⎠ ⎝ ( ) ⎠Siendo E un subespacio vectorial de dimensión 2. ⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎫b) BE = ⎨⎜ ⎟,⎜ ⎟⎬ ⎩⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎭c) El subespacio intersección, será: ⎛⎡ α β ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎞#5: SOLVE⎜⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, [a, b, c, α, β], Real⎟ ⎝⎣ -β α ⎦ ⎣ c -a ⎦ ⎠#6: a = 0 ∧ b - β = 0 ∧ c + β = 0 ∧ α = 0 ⎛⎡ α β ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎞#7: SOLUTIONS⎜⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, [a, b, c, α, β], Real⎟ ⎝⎣ -β α ⎦ ⎣ c -a ⎦ ⎠#8: [[0, @3, -@3, 0, @3]] ⎧⎛ 0 β ⎞ ⎫E ∩ F = ⎨⎜ ⎟ ∈ M 2 / β ∈ R ⎬ con dim E ∩ F = 1 ⎩⎝ −β 0 ⎠ ⎭Aplicando la fórmula dim(E + F) = dim E + dim F − dim(E ∩ F) = 2 + 3 − 1 = 4E+F es el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden 2. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 25
  26. 26. Espacio Vectorial9.- a) ¿Para qué valores de x los siguientes sistemas de vectores son bases deR3? B1 = {(1, −1, 0 ) , ( x,1, 0 ) , ( 0,2,3 )} ; B2 = {( 2, x,1) , (1, 0,1) , ( 0,1,3 )} b) Para x = 0, escribir las ecuaciones de cambio de base de B1 a la canónica,de la canónica a B1, de B1 a B2 y de B2 a B1.Solución:a1) Para cualquier número real x ≠ -1, en efecto: ⎡ 1 -1 0 ⎤ ⎢ ⎥#1: DET ⎢ x 1 0 ⎥ = 3·x + 3 ⎢ ⎥ ⎣ 0 2 3 ⎦#2: SOLVE(3·x + 3, x, Real)#3: x = -1a2) Para cualquier número real x ≠ -1/3, en efecto: ⎡ 2 x 1 ⎤ ⎢ ⎥#4: DET ⎢ 1 0 1 ⎥ = - 3·x - 1 ⎢ ⎥ ⎣ 0 1 3 ⎦#5: SOLVE(- 3·x - 1, x, Real) 1#6: x = - ⎯ 3b) Cambio de B1 a la canónica: ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ c ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥#7: ⎢ c ⎥ = ⎢ -1 1 2 ⎥·⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎣ 0 0 3 ⎦ ⎢ z ⎥ ⎣ c ⎦ ⎣ 1 ⎦#8: xc = x1 ∧ yc = - x1 + y1 + 2·z1 ∧ zc = 3·zCambio de la canónica a B1: ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 1 0 0 ⎤-1 ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 - ⎯ ⎥#9: ⎢ -1 1 2 ⎥ = ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 3 ⎦ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 0 ⎯ ⎥ ⎣ 3 ⎦ ⎡ x ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ c ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ 1 1 - ⎯ ⎥ ⎢ y ⎥#10: ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 3 ⎥·⎢ c ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ z ⎥ ⎣ 1 ⎦ ⎢ 0 0 ⎯ ⎥ ⎣ c ⎦ ⎣ 3 ⎦26 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  27. 27. Espacio Vectorial 2 zc zc#11: x1 = xc ∧ y1 = xc + yc - ⎯⎯⎯⎯ ∧ z1 = ⎯⎯ 3 3Matriz de paso de B2 a la canónica: ⎡ 2 1 0 ⎤ ⎢ ⎥#12: ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 1 3 ⎦Cambio de B2 a la canónica: ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ c ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ 2 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥#13: ⎢ c ⎥ = ⎢ 0 0 1 ⎥·⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎣ 1 1 3 ⎦ ⎢ z ⎥ ⎣ c ⎦ ⎣ 2 ⎦igualando las ecuaciones matriciales del cambio de base de B1 a Bc y de B2 aBc: ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ c ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 2 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥#14: ⎢ c ⎥ = ⎢ -1 1 2 ⎥·⎢ 1 ⎥ = ⎢ 0 0 1 ⎥·⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎣ 0 0 3 ⎦ ⎢ z ⎥ ⎣ 1 1 3 ⎦ ⎢ z ⎥ ⎣ c ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦del sistema matricial anterior podemos responder al cambio de base de B1 a B2y de B2 a B1, simplemente despejando:Cambio de B1 a B2: ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎡ 2 1 0 ⎤-1 ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ y ⎥#15: ⎢ 0 0 1 ⎥ ·⎢ -1 1 2 ⎥·⎢ 1 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 1 3 ⎦ ⎣ 0 0 3 ⎦ ⎢ z ⎥ ⎢ z ⎥ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 5·x - 6·y - 6·z = y ∧ 2·x - 3·y - 3·z = - x ∧ x - y -#16: 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2·z = - z 1 2Cambio de B2 a B1: ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ 1 0 0 ⎤-1 ⎡ 2 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥#17: ⎢ 1 ⎥ = ⎢ -1 1 2 ⎥ ·⎢ 0 0 1 ⎥·⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎣ 0 0 3 ⎦ ⎣ 1 1 3 ⎦ ⎢ z ⎥ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦ 4·x y x y 2 2 2 2#18: x = 2·x + y ∧ y = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯ - z ∧ z = ⎯⎯ + ⎯⎯ + z 1 2 2 1 3 3 2 1 3 3 2 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 27
  28. 28. Espacio Vectorial 10.- Hallar las coordenadas del vector u   x, y, z  en la base B  v1, v2 , v3        donde v1  1,2, 0  , v2   3, 7,1 y v 3   0,2, 1 . ¿Cuál es la matriz decambio de la base B’ a la canónica?Solución:#1: [x, y, z] = λ·[1, 2, 0] + μ·[-3, -7, 1] + γ·[0, -2, 1]#2: x = λ - 3·μ ∧ y = - 2·γ + 2·λ - 7·μ ∧ z = γ + μ#3:SOLVE([x, y, z] = λ·[1, 2, 0] + μ·[-3, -7, 1] + γ·[0, -2, 1], [λ,μ,γ],Real)#4: λ = 3·(y + 2·z) - 5·x ∧ μ = - 2·x + y + 2·z ∧ γ = 2·x - y - zCambio de B’ a la canónica: ⎡ x ⎤ ⎡ 1 -3 0 ⎤ ⎡ x’ ⎤#5: ⎢ y ⎥ = ⎢ 2 -7 -2 ⎥·⎢ y’ ⎥ ⎣ z ⎦ ⎣ 0 1 1 ⎦ ⎣ z’ ⎦28 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  29. 29. Espacio Vectorial11.-a) Probar que los sistemas de vectores G1 y G2 generan el mismo subespaciovectorial F de R4. G1= {(1,2,-1,0), (4,8,-4,-3), (0,1,3,4), (2,5,1,4)} G2= {(1,-2,-13,-1), (1,1,-4,-5), (2,3,-5,-2), (1,1,-4,-1)}b) Hallar la dimensión, una base “escalonada”, unas ecuaciones paramétricas y lasecuaciones cartesianas de F.(Vamos a llamar bases “escalonadas” de F a aquellascuyos vectores se pueden disponer como las filas de una matriz escalonada)c) Sea H = {(x, y, z, t) ∈ R4 tales que x + y + z = 0, x + z -3 t = 0}. Se pide: 1.- Hallar la dimensión y una base de H, de F + H y de F ∩ Hrespectivamente. 2.- Unas ecuaciones cartesianas de F + H y de F∩H.d) ¿Es H un subespacio suplementario de F? En caso contrario halla un subespaciosuplementario de F.Solución:a) Disponemos los vectores de G1 como los vectores fila de una matriz y aplicamos la reducción porfilas de Gauss y análogamente hacemos para los vectores de G2 Observamos que se obtiene la misma reducción, luego G1 y G2 generan el mismo subespacio F de R4 .b) La dimensión de F es 3 (el número de vectores no nulos obtenidos en la reducción por Gauss) Una base escalonada de F está formada por los vectores no nulos obtenidos en la reducción por Gauss del apartado anterior BF = {(1,0,-7,0), (0,1,3,0), (0,0,0,1)} ⎧x = λ ⎪y = μ ⎪ Unas ecuaciones paramétricas de F son ⎨ , λ, μ ,γ ∈ R ⎪ z = −7λ + 3μ ⎪t = γ ⎩ U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 29
  30. 30. Espacio Vectorial Ecuación cartesiana de F : 7x - 3y + z =0 , ya que todo vector (x, y, z, t) de F depende linealmente de los vectores de BFc) 1. Para hallar una base de H resolvemos el sistema dado por sus ecuaciones cartesianas Por tanto, una base de H es BH = {(1,0,-1,0), (0,1,-1,-1/3)} y su dimensión es 2.Un sistema generador del subespacio F + H está formado por los vectores de BF y de BH. Para hallaruna base de F + H aplicamos la reducción por Gauss a la matriz cuyas filas son los vectores dedichas bases de F y HObservamos que las filas no nulas son los vectores de la base canónica de R4 , luego F + H = R4(dimensión 4) y una base es, por ejemplo, la base canónica {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0),(0,0,0,1)}F∩H es el subespacio formado por los vectores comunes a F y H, luego dichos vectores debenverificar las ecuaciones de F y las de H. Unas ecuaciones paramétricas de F∩H se obtienen alresolver el sistema formado por las ecuaciones de F y HLuego la dimensión de F ∩ H es 1 y una base es {(2, 3, -5, -1)}2. Como F + H = R4 no tiene ecuaciones cartesianas, pues la única condición para que (x, y, z, t)∈ R4 es que x, y, z, t ∈ R ⎧7 x − 3 y + z = 0 ⎪Unas ecuaciones cartesianas de F ∩ H ≡ ⎨ x + y + z = 0 pero podemos hallar más. ⎪ x + z − 3t = 0 ⎩30 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  31. 31. Espacio VectorialPara hallar otras ecuaciones cartesianas de F∩H partimos de que todo vector (x,y,z,t) de F∩H ⎛x y z t ⎞depende linealmente de su base luego rg ⎜ ⎜ 2 3 − 5 − 1⎟ =1, en consecuencia, los menores de ⎟ ⎝ ⎠orden 2 son todos nulos y como dim(F∩H)=1, necesitamos 4-1= 3 ecuaciones cartesianaslinealmente independientes, ⎧3 x − 2 y = 0 x y x z x t ⎪ = 0, = 0, = 0 ⇒ F∩H ≡ ⎨5 x + 2 z = 0 2 3 2 −5 2 −1 ⎪ x + 2t = 0 ⎩d) H no es un suplementario de F porque F∩H ≠ 0{} Todo subespacio suplementario de F tiene dimensión = 4- dimF= 4-3 = 1. Un subespacio S suplementario de F se construye a partir de un vector u ∉F, por ejemplo S = (0,1,1,0) ya que y en consecuencia F + S = R4 y F∩H = 0 {} U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 31
  32. 32. Espacio Vectorial ⎛1 2 34⎞ ⎜ ⎟12.- Sea la matriz A = ⎜0 1 − 2 − 1⎟ de cambio de base de B a B’, siendo ⎜1 4 7 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 5 8 3⎠ { →B = u1,..., u4 → } y B = {v ,..., v } . → 1 → 4 → Escribir u2 en función de los vectores de labase B’. Hallar la matriz de cambio de base de B’ a B.Solución: ⎡ -1 2 3 4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 -2 -1 ⎥#1: A ≔ ⎢ ⎥ ⎢ 1 4 7 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2 5 8 3 ⎦La segunda columna de A son las coordenadas de u2 en la base B, luego: u = 2·v + v + 4·v + 5·v#2: 2 1 2 3 4Matriz de cambio de base de B a B: ⎡ 2 1 13 31 ⎤ ⎢ - ⎯ - ⎯⎯ - ⎯⎯ ⎯⎯ ⎥ ⎢ 5 20 30 60 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 9 1 1 ⎥ ⎢ ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ ⎥ -1 ⎢ 10 20 15 60 ⎥#3: A = ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 1 ⎥ ⎢ 0 - ⎯ ⎯ - ⎯⎯ ⎥ ⎢ 4 6 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 4 11 ⎥ ⎢ ⎯⎯ - ⎯⎯ - ⎯⎯ ⎯⎯ ⎥ ⎣ 10 20 15 60 ⎦32 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  33. 33. Espacio Vectorial13.- Comprobar que B= {(1,2,1), (1,1,0), (3,1,1)} y B’= {(1,3,1), (0,1,1),(2,1,0)} son bases de R3 y calcular las ecuaciones matriciales de cambio:a) de la base B a la base canónica BCb) de la base B’ a BCc) de la base B a B’d) de la base B’ a B.Solución:B= {(1,2,1), (1,1,0), (3,1,1)} y B’= {(1,3,1), (0,1,1), (2,1,0)} son bases de R3 porque ⎛ xc ⎞ ⎛ 1 1 3⎞⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟a) Ecuación de cambio de la base B a la base canónica BC ⎜ y c ⎟ = ⎜ 2 1 1 ⎟⎜ y ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎝ c⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ xc ⎞ ⎛ 1 0 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟b) Ecuación de cambio de la base B’ a la base canónica BC ⎜ y c ⎟ = ⎜ 3 1 1 ⎟⎜ y ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟⎜ z ⎟ ⎝ c⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 1 1 3⎞⎛ x ⎞ ⎛ 1 0 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Luego ⎜ 2 1 1 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ 3 1 1 ⎟⎜ y ⎟ ⇒ ⎜ 1 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟⎜ z ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ −1 −1⎛ x ⎞ ⎛ 1 0 2 ⎞ ⎛ 1 1 3 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 1 3 ⎞ ⎛ 1 0 2 ⎞⎛ x ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ 3 1 1 ⎟ ⎜ 2 1 1 ⎟⎜ y ⎟ y ⎜ y ⎟ = ⎜ 2 1 1 ⎟ ⎜ 3 1 1 ⎟⎜ y ⎟⎜ z ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟⎜ z ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠Operando, tenemos que ⎛1 1 ⎞ ⎜ − 1⎟ ⎛ x ⎞ ⎜ 3 3 ⎟⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ 2 1 ⎜ ⎟c) Ecuación de cambio de la base B a B’ ≡ ⎜ y ⎟ = ⎜ − 2 ⎟⎜ y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 3 3 ⎟⎜ z ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 ⎝ ⎠ ⎜ 2⎟ ⎝3 3 ⎠ ⎛ 4 1⎞ ⎜ 1 − ⎟ ⎛ x⎞ ⎜ 3 3 ⎟⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ 2 4 ⎟⎜ ⎟d) Ecuación de cambio de la base B’ a B ≡ ⎜ y ⎟ ⎜ −1 = ⎜ y⎟ ⎜z⎟ ⎜ 3 3 ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 1 1 ⎟⎝ z ⎠ ⎜− 0 ⎟ ⎝ 3 3 ⎠ U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 33
  34. 34. Espacio Vectorial14.- Se consideran los tres subespacios de R4 siguientes:F = { ( α, β, 0, 0 ) / α, β ∈ R} 1F =< ( 0,1, 0, 0 ) , 2 ( 0, 0,1, 0 ) >F3 =< (1, 0, 0, 0 ) >a) Hallar F + F 1 2b) Hallar F3 + F2c) Las sumas anteriores ¿son sumas directas? Cuando así ocurra, escribir ladescomposición única de cada vector de la suma en suma de dos vectores uno decada subespacio.Solución:a) Bases de F1 , F2 y F3 son: B1 = {(1,0,0,0 ), (0,1,0,0 )}, B 2 = {(0,1,0,0 ), (0,0,1,0 )}, y B 3 = {(1,0,0,0)} ,respectivamente.Una base B12 de F1 + F2 está constituida por los vectores linealmente independientes deB1 ∪ B 2 = {(1,0,0,0 ), (0,1,0,0 ), (0,0,1,0 )}, es decir:B12 = {(1,0,0,0 ), (0,1,0,0 ), (0,0,1,0 )}Por tanto, F1 + F2 = { (α, β, γ ,0 ) / α, β, γ ∈ R }b) Una base B 23 de F2 + F3 está constituida por los vectores linealmente independientes deB 2 ∪ B 3 = {(0,1,0,0 ), (0,0,1,0), (1,0,0,0)} , es decir:B 23 = {(0,1,0,0), (0,0,1,0), (1,0,0,0)}Por tanto, F2 + F3 = { (α, β, γ ,0 ) / α, β, γ ∈ R } = F1 + F2c)F1 + F2 no es suma directa pues B1 ∩ B 2 = {(0,1,0,0 )} ≠ φF2 + F3 sí es suma directa pues B 2 ∩ B 3 = φDescomposición única de un vector de F2 + F3 : (α, β, γ,0) = (0, β, γ,0) + (α,0,0,0)34 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  35. 35. Espacio Vectorial15.- Dados los subespacios vectoriales F determinado por las ecuaciones ⎧ x1 = λ 1 ⎪x = λ + λ ⎧ x1 + x2 − x3 = 0 ⎪ 2 ⎪ 1 2cartesianas ⎨ y G por las ecuaciones paramétricas ⎨ x3 = λ 1 + λ 2 ⎩ x1 + x4 − x5 = 0 ⎪x = λ + λ ⎪ 4 1 3 ⎪ ⎩ x5 = λ 1 + λ 3del espacio vectorial R5, se pide: bases de F, G, F+G y F ∩ G .Solución:a) Una base del subespacio vectorial F debe tener tres vectores de F linealmente independientes,puesto que la dimensión de F es la dimensión del espacio vectorial R5 menos el número deecuaciones linealmente independientes de F. Los tres vectores necesarios son soluciones ⎧ x1 = α ⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎪ x =β ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 2 ⎜x2 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎧x 1 + x 2 − x 3 = 0 ⎪ ⎜ x ⎟ = α⎜ 1 ⎟ + β⎜ 1 ⎟ + γ⎜ 0 ⎟particulares del sistema ⎨ ⇔ ⎨x 3 = α + β ⇔ 3 ⎩x 1 + x 4 − x 5 = 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ x =γ ⎜x4 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎪ 4 ⎜x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎪x 5 = α + γ ⎩ ⎝ 5⎠ ⎝1⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ ⎠ ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ ⎪ ⎪luego una base de F puede ser ⎨⎜ 1 ⎟, ⎜ 1 ⎟, ⎜ 0 ⎟⎬ . ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎩ ⎭b) En el caso del subespacio vectorial G tenemos las ecuaciones paramétricas⎧ x 1 = λ1 ⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎧⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫⎪x = λ + λ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪ 2 1 2 ⎜x2 ⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎪⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎨ x 3 = λ 1 + λ 2 ⇔ ⎜ x 3 ⎟ = λ 1 ⎜1⎟ + λ 2 ⎜ 1 ⎟ + λ 3 ⎜ 0 ⎟ ; una base: ⎨⎜1⎟, ⎜ 1 ⎟, ⎜ 0 ⎟⎬⎪x = λ + λ ⎜x4 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎪⎜1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪⎪ 4 1 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪⎩ x 5 = λ1 + λ 3 ⎝ x5 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1⎠ ⎪⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎩ ⎭c) Una base del subespacio suma sale de la unión de los vectores de cada base quitando los que seancombinación lineal de los restantes, para ello calculamos el rango de la siguiente matriz ⎛1 0 0 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 1 1 0⎟r⎜ 1 1 0 1 1 0 ⎟ = 4 , la matriz que identifica el rango indica los vectores linealmente ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1 1 0 1⎟ ⎜1 0 1 1 0 1⎟ ⎝ ⎠independientes y por lo tanto la base, {(1,0,1,0,1), (0,1,1,0,0), (0,0,0,1,1), (1,1,1,1,1)} . Si queremos escribir U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 35
  36. 36. Espacio Vectoriallas ecuaciones del subespacio F+G, podemos escribir el siguiente determinante 1 0 0 1 x1 0 1 0 1 x2 1 1 0 1 x3 = 0 ⇔ x2 − x3 − x4 + x5 = 0 0 0 1 1 x4 1 0 1 1 x5d) Para obtener las ecuaciones del subespacio vectorial F ∩ G solamente debemos juntar las ⎧x + x 2 − x 3 = 0ecuaciones cartesianas de cada subespacio vectorial F ⎨ 1 y G; de las ecuaciones ⎩x 1 + x 4 − x 5 = 0paramétricas de G obtenemos las ecuaciones x 2 = x 3 ; x 4 = x 5 .Por tanto, x1=0; x 2 = x 3 ; x 4 = x 5 cuya dimensión es 2. ⎧⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ ⎪ ⎪Una base de F ∩ G puede ser ⎨⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬ . ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭36 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  37. 37. Espacio Vectorial16.- Determinar, en cada caso, si los vectores dados generan y/o libre de R4.a) {(1,1,1,1) , ( 0,1,1,1) , ( 0, 0,1,1) , ( 0, 0, 0,1)}b) {(1, 3, −5, 0 ) , ( −2,1, 0, 0 ) , ( 0,2,1, −1) , (1, −4,5, 0 )}c) {(1, 0, −2,5 ) , ( 2,1, 0, −1) , (1,1,2,1)}Solución:a) Sí son un sistema generador (libre con 4 vectores), en efecto: ⎡ 1 1 1 1 ⎤ ⎢ 0 1 1 1 ⎥#14: DET ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1 1 ⎥ ⎣ 0 0 0 1 ⎦#15: 1b) No son un sistema generador, ni libre: ⎡ 1 3 -5 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ -2 1 0 0 ⎥#16: DET ⎢ ⎥ ⎢ 0 2 1 -1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 -4 5 0 ⎦#17: 0c) No son un sistema generador, pues solamente hay tres, pero si es libre: ⎡ 1 0 -2 5 ⎤ ⎢ ⎥#18: RANK ⎢ 2 1 0 -1 ⎥ = 3 ⎢ ⎥ ⎣ 1 1 2 1 ⎦ U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 37
  38. 38. Espacio Vectorial17.- Escribir cada uno de los siguientes polinomios como combinación lineal dex + 1, x 2 + x, x2 + 2 . a) x 2 + 3x + 2 b) 2x 2 − 3x + 1 c) x2 + 1 d) xSolución:a) 2 2 2#18: x + 3·x + 2 = λ·(x + 1) + μ·(x + x) + γ·(x + 2) 2 2#19: x + 3·x + 2 = x ·(γ + μ) + x·(λ + μ) + 2·γ + λ#20: SOLVE([γ + μ = 1, λ + μ = 3, 2·γ + λ = 2], [γ, λ, μ])#21: [γ = 0 ∧ λ = 2 ∧ μ = 1] 2 2 2#22: x + 3·x + 2 = 2·(x + 1) + 1·(x + x) + 0·(x + 2)b) 2 2 2#23: 2·x - 3·x + 1 = λ·(x + 1) + μ·(x + x) + γ·(x + 2) 2 2#24: 2·x - 3·x + 1 = x ·(γ + μ) + x·(λ + μ) + 2·γ + λ#25: SOLVE([γ + μ = 2, λ + μ = -3, 2·γ + λ = 1], [γ, λ, μ])#26: [γ = 2 ∧ λ = -3 ∧ μ = 0] 2 2 2#27: 2·x - 3·x + 1 = (-3)·(x + 1) + 0·(x + x) + 2·(x + 2)c) 2 2 2#28: x + 1 = λ·(x + 1) + μ·(x + x) + γ·(x + 2) 2 2#29: x + 1 = x ·(γ + μ) + x·(λ + μ) + 2·γ + λ#30: SOLVE([γ + μ = 1, λ + μ = 0, 2·γ + λ = 1], [γ, λ, μ]) ⎡ 2 1 1 ⎤#31: ⎢γ = ⎯ ∧ λ = - ⎯ ∧ μ = ⎯⎥ ⎣ 3 3 3 ⎦ 2 ⎛ 1 ⎞ 1 2 2 2#32: x + 1 = ⎜- ⎯⎟·(x + 1) + ⎯·(x + x) + ⎯·(x + 2) ⎝ 3 ⎠ 3 3d) 2 2#33: x = λ·(x + 1) + μ·(x + x) + γ·(x + 2) 2#34: x = x ·(γ + μ) + x·(λ + μ) + 2·γ + λ#35: SOLVE([γ + μ = 0, λ + μ = 1, 2·γ + λ = 0], [γ, λ, μ]) ⎡ 1 2 1 ⎤#36: ⎢γ = - ⎯ ∧ λ = ⎯ ∧ μ = ⎯⎥ ⎣ 3 3 3 ⎦ 2 1 2 ⎛ 1 ⎞ 2#37: x = ⎯·(x + 1) + ⎯·(x + x) + ⎜- ⎯⎟·(x + 2) 3 3 ⎝ 3 ⎠38 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  39. 39. Espacio Vectorial18.- Determinar si los conjuntos siguientes G1 y G2 generan el mismo subespaciovectorial de R3 o subespacios distintos: a) G1={(1,0,-1), (1,1,0), (0,1,1)} y G2 = {(2,1,-1), (1,2,1)} b) G1={(1,0,-1), (1,1,0), (0,1,1)} y G2 = {(2,1,-1), (1,-1,0)}Solución:a) ⎡ 1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥#1: RANK ⎢ 0 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ -1 0 1 ⎦#2: 2Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G1 ⎡ x 1 0 ⎤ ⎢ ⎥#3: DET ⎢ y 1 1 ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎣ z 0 1 ⎦#4: x - y + z = 0Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G2 ⎡ x 2 1 ⎤ ⎢ ⎥#5: DET ⎢ y 1 2 ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎣ z -1 1 ⎦#6: 3·x - 3·y + 3·z = 0Son iguales, luego son subespacios idénticos.b) Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G2 ⎡ x 2 1 ⎤ ⎢ ⎥#7: DET ⎢ y 1 -1 ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎣ z -1 0 ⎦#8: -x - y - 3·z = 0Son ecuaciones distintas. U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 39
  40. 40. Espacio Vectorial19.- Si { u, v, w, z} es libre, ¿cuáles de los siguientes conjuntos también lo son? → → → → a) { u − v, v − w, w − u} → → → → → → b) { u + v, v + w, w + u} → → → → → → c) { u − v, v − w, w − z, z − u} → → → → → → → → d) { u + v, v + w, w + z, z + u} → → → → → → → →Solución: ⎛ → →⎞ ⎛→ → ⎞ ⎛ → →⎞ →a) No es libre: λ1 ⎜ u − v ⎟ + λ 2 ⎜ v − w ⎟ + λ 3 ⎜ w − u ⎟ = 0 ⇒ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧λ 1 − λ 3 = 0 (λ1 − λ 3 ) u + (− λ1 + λ 2 ) v + (− λ 2 + λ 3 ) w = 0 ⇒ ⎪− λ1 + λ 2 = 0 ⇒ λ1 = λ 2 = λ 3 → → → → ⎨ ⎪− λ + λ = 0 ⎩ 2 3 ⎛→ →⎞ ⎛→ → ⎞ ⎛ → →⎞ →b) Sí es libre : λ 1 ⎜ u + v ⎟ + λ 2 ⎜ v + w ⎟ + λ 3 ⎜ w + u ⎟ = 0 ⇒ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧λ 1 + λ 3 = 0(λ1 + λ 3 ) u + (λ1 + λ 2 ) v + (λ 2 + λ 3 ) w = 0 ⇒ ⎪λ1 + λ 2 = 0 ⇒ λ1 = λ 2 = λ 3 = 0 → → → → ⎨ ⎪λ + λ = 0 ⎩ 2 3 ⎛→ →⎞ ⎛→ → ⎞ ⎛ → →⎞ ⎛→ →⎞ →c) No es libre: λ 1 ⎜ u − v ⎟ + λ 2 ⎜ v − w ⎟ + λ 3 ⎜ w − z ⎟ + λ 4 ⎜ z − u ⎟ = 0 ⇒ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → → →(λ 1 − λ 4 ) u + (− λ 1 + λ 2 ) v + (− λ 2 + λ 3 ) w + (− λ 3 + λ 4 ) z = 0 ⇒⎧λ 1 − λ 4 = 0⎪− λ + λ = 0⎪ 1 2⎨ ⇒ λ1 = λ 2 = λ 3 = λ 4⎪− λ 2 + λ 3 = 0⎪− λ 3 + λ 4 = 0⎩ ⎛→ →⎞ ⎛→ → ⎞ ⎛ → →⎞ ⎛→ →⎞ →d) No es libre : λ 1 ⎜ u + v ⎟ + λ 2 ⎜ v + w ⎟ + λ 3 ⎜ w + z ⎟ + λ 4 ⎜ z + u ⎟ = 0 ⇒ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → → →(λ 1 + λ 4 ) u + (λ 1 + λ 2 ) v + (λ 2 + λ 3 ) w + (λ 3 + λ 4 ) z = 0 ⇒⎧λ 1 + λ 4 = 0⎪λ + λ = 0⎪ 1 2⎨ ⇒ λ 1 = −λ 2 = λ 3 = − λ 4⎪λ 2 + λ 3 = 0⎪λ 3 + λ 4 = 0⎩40 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  41. 41. Espacio Vectorial 320.- En V = R , sea F = { ( x, y, z ) / 2x + y + z = 0} . Buscar un subespaciosuplementario de F.Solución:F es un plano vectorial de R3. Un subespacio suplementario de F es cualquierrecta vectorial no contenida en él. Por ejemplo:#1: [x, y, z] = λ·[2, 1, 1] que es ortogonal al plano (de hecho es susubespacio ortogonal) U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 41
  42. 42. Espacio Vectorial21.- Sean F1 y F2 los siguientes subespacios vectoriales de R5: { → F = x / x1 + ... + x5 = 0 1 } { → F = x / x1 = ... = x5 2 }Analizar si F1 y F2 son subespacios suplementarios de R5 obteniendo la → → → → →descomposición de cualquier vector u ∈ R5 en suma u = u1 + u2 , donde u1 ∈ F y 1→u2 ∈ F . 2Solución: → → → Sea u ∈ F1 ∩ F2 ⇒ u = (x 1 ,..., x 5 ) con x1 + ... + x 5 = 0 y x1 = ... = x 5 , es decir, u = (x,..., x ) , → → ⎧→ ⎫con 5x = 0 y, por tanto, u = 0 . Luego, F1 ∩ F2 = ⎨ 0 ⎬ . ⎩ ⎭ F1 + F2 = V . En efecto: → → u ∈ V, u = (x 1 ,..., x 5 ) = (y1 ,..., y 5 ) + (t ,..., t ) = (y1 + t ,..., y 5 + t ) ⇒ ∈F1 ∈F2 x 1 + ... + x 5 x 1 + ... + x 5 = (y1 + t ) + ... + (y 5 + t ) = (y1 + ... + y 5 ) + 5t = 5t ⇒ t = 5 x 1 + ... + x 5 x i = yi + t ⇒ yi = x i − t = x i − , i = 1,...,5 5 Queda demostrado que V = F1 ⊕ F2 , es decir, que F1 y F2 son subespacios suplementarios.42 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
  43. 43. Espacio Vectorial → →22.- En cada caso, encontrar una base de V que contenga a v y/ó w : → a) V = R3, v = (0, 1, 0) → → b) V = R4, v = ( 1, −1,1, −1) , w = ( 0,1, 0,1) → → c) V = P3, v = x 2 + 1 , w = x2 + xSolución:a) B = {(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)} ⎡ 0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥#61: DET ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 1 ⎦#62: -1b) B = {(1,-1,1,-1),(0,1,0,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0)} ⎡ 1 -1 1 -1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0 1 ⎥#63: DET ⎢ ⎥ ⎢ 1 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 1 0 0 ⎦#64: 1c) B = 2 2 3#65: {x + 1, x + x, 1, x } 2 2 3#66: x + 1 = 1 + 0·x + 1·x + 0·x 2 2 3#67: x + x = 0 + 1·x + 1·x + 0·x 2 3#68: 1 = 1 + 0·x + 0·x + 0·x 3 2 3#69: x = 0 + 0·x + 0·x + 1·x ⎡ 1 0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 1 0 ⎥#70: DET ⎢ ⎥ ⎢ 1 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 1 ⎦#71: -1 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 43
  44. 44. Espacio Vectorial23.- Sea el subespacio vectorial F generado por los siguientes vectores deespacio vectorial R4: u1 = (2, 3,1, 0); u2 = (1, 0,1, 0); u3 = (0, 3, −1, 0) . Se pide:a) Rango de H = {u1; u2 ; u3 } . ¿Qué clase de sistema es H? ¿Existe alguna relaciónde dependencia entre los vectores u1, u2 y u3 ?b) Dimensión y una base F.c) Las coordenadas de los vectores u1, u2 y u3 respecto de la base obtenida en elapartado anterior.d) Unas ecuaciones paramétricas de F.e) Unas ecuaciones cartesianas o implícitas de F.f) A partir de las ecuaciones cartesianas otras ecuaciones paramétricas distintasdel apartado d).g) ¿El vector (1,0,0,0) pertenece o no a F?h) Una base B* del espacio vectorial R4 que contenga a los vectores de una basede F.i) Las ecuaciones del cambio de base de la base B* (del apartado anterior) a labase canónica Bc de R4.j) Las ecuaciones del cambio de base Bc a la base B*k) La expresión analítica del vector e2 de la base canónica respecto de la baseB*.Solución:a) El rango del sistema de vectores H se halla como rango de la matriz formada por dichos vectores⎛ 2 3 1 0⎞⎜ ⎟⎜ 1 0 1 0 ⎟ que es 2, entonces r(H)=2⎜ 0 3 −1 0⎟⎝ ⎠El sistema H es ligado y la relación de dependencia existente es u1 = 2 u 2 + u 3 , como se compruebafácilmente.b) Ya que H = {u 1 ; u 2 ; u 3 } es ligado se cumple F =< H >=< u 2 ; u 3 > . Tenemos que BF={ u 2 ; u 3 } esuna base del espacio vectorial F y su dimensión es 2 , el cardinal de cualquier base.c) De la relación u1 = 2 u 2 + u 3 resulta u1 = 2 u 2 + u 3 = (2,1) B F coordenadas respecto de la base BF ypara u 2 = 1 u 2 + 0u 3 = (1,0) B F y u 3 = 0 u 2 + 1u 3 = (0,1) BFd) Veamos, unas ecuaciones paramétricas de V. Como ∀x ∈ F ⊂ R 4 se tiene que x1 = λ ⎫ x 2 = 3μ ⎪⎪x = λu 2 + μu 3 ⇔ (x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = λ(1,0,1,0) + μ(0,3,−1,0 ) ⇔ ⎬, o bien, x 3 = λ − μ⎪ x4 = 0 ⎪⎭44 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.

×