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  1. 1. IDEeSpaLrAtamBAenHtoÍAd.eMatemáti as Curso2012-13 Cu1daoeddeMernaBotaed mheáiletljiee rraa stio Iios SMFMruaaasnaIFn seiaasrb nSoeaelnmFVdepairlneaBrárearnubdPbieéaízrnVeoDzáíÁzaqzlvuaerzezdelosCorales
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  3. 3. Índi egeneral 11111....1234.....TrigoFERMnó aeourzdmmaoi dnueieaoltsasnrstedírasteirgyiágononsginosuomtlemoémstérat.irs i.a tasr..isg.Ro..neloa..m ..iéo..tnre..i so..esn..t...re...e...la...s................................................................................................... 55757 122...2125....Ve toEPRrlreeosesodslpuuea n t ioóioenelvsdp eea latltaonrrrioáian.lgd.uel.olso.s..v..e ..to..re..s..li..br..es..e..n..e..lp..l..an..o................................................................. 1111119 3333....31234.....GeomEPAÁr enpoutlgibrau íl aleaio mosianoaynenssaedvsldiaísedtrtiieal aanadlo roiseeas nvst.eae ..tlo...pr...elsa...n....o........................................................................................................................................ 1111135335 4444....41234.....Fun FFFCiouuuonnnnne iiiseooopnnnrteeeeosssadlirpereaors alfiiu odnninóeo amnivlóaeian lsearsis..ab....le........re....a....l.....F....am........il....ia....s....d....e....fu....n.... i....o....ne....s............................................................................ 1111177888 44444.....56789..... FFFFFuuuuunnnnn iiiiiooooónnnnneeeevssssateealroxnitrpgrgoooaennzbnoeosensomrl auéil.attrol..ei s...ays...l....og....a....rít....m....i ....a....s................................................................................................................................................. 1122290190 55..5612....LÁílmgeibCOteroparderreedase pfiuoofnnnued nsie .oniCn oienoasme.isnpCvoesorin saitóinn.u..id..a..d.................................................................. 22223534 777...7123....IntroFCDduoeunn nt iiioni ónuióneidnsaadddleery idávdealr ediruvaiavlsodabad.ilii..fdea..rde..n... i...a...l....D...e...ri...va...d...a...s........................................................................... 33331112 8888....81234.....Apli CRRMauee o printvrooaeantsttoeeuannsrnítaagda..e ePniEóutlxneantstrygoerdmsnáeodorr esimaviranadelldeae.atfxuis.vinóo. nsi.on...e...s............................................................................................................................ 3444457788 3
  4. 4. AAAAAA.....12345......Solu SSSSSioooooolllllnuuuuu aiiiiiroooooinnnnnoaaaaarrrrriiiiiooooodddddeeeeelllllttttteeeeemmmmmaaaaa12345:::::FTVÁGurelegi noget moobinorreeonatsmredíseaeenrtaerfeuníaalnalepl .síiltoa.id nne.aeosv.ean...riea...lb...plel...arn...eoa...l.....F....am....i....li....a....de....f....un.... ....io....ne....s.................................. 555756112570 AAA...678... SSSooollluuu iiiooonnnaaarrriiiooodddeeelllttteeemmmaaa678:::ILAníptmrlioi tdaeu di oe niófeunsnda eilo lnaáesls .dueCloroivdnaitfdienaruesind a.iad.l...D..er..iv..a..da..s................................... 788260 4
  5. 5. TTermigaon1ometría 1.11..aE)xMpreesadriednarasdidanees:ángulos 75◦ b)120◦ )240◦ d)345◦ e)330◦ f)210◦ 2.aE)xpresaengradoslossiguientesángulos: 7π 3.Expresalossiguientesángulos, omosumadeunnúmeroenterodevueltasyunángulomenroard.de )900◦ d)7200◦ 4.Expresalossiguientesángulos omosumadeunnúmeroenterodevueltasyunángulomenorde 2πa):10πrad. b)60πrad. 6 my uyoraádn.gulo d)145entral ores- 6.Siunar omide◦ ◦ 2 rad. b)20π 9 rad. )π 5 rad. d)1 rad. e)3π 4 rad. f)7π 2 360◦a).720◦ b) −3000◦ ) − aodmeidsue2ámng.uHloalaerntsrualá nogrurleosp 13π 4 eonntdriaeln toe,reexspproensdadieonteen, 1.28..aD)iRbuajazloosnsiegsuietnrteisgáonnguolomsidéetnrtii 5.Hap)oanl1ldairrealnadt.leonesg:ituddeunarb )o0d,e54 irra du.nferen ia uyo r)ad4i4omide22 3 7.eEgxrnapdrueonssaayd oiern eunrnagfderiraaednnoe dssiea?yrdaeendi1or6a,md¾i aduneáelrsa.edsiloa,munedaird aansd.oeRlseenlao, eilo noseensoyenlattraengeenltleadselosmismos: 60◦ b)315◦ )120◦ 9.aC)al ulalasdemásrazonestrigonométri assabiendoque: sen x = ,yquetg α 011.Hala ,halalasrestantesrazonestrigonométri as. sen x,cos x ytg x,sabiendoquecosec x = 2 yπ 12.Dada 1 2 . x πcotg α = y0 x π 2 b)tg x = 2 yπ x 3π 2 10.Sabiendoquecos α = − 1 2 2 1 2 ycos α 0,determinaelvalordelsenα5 .
  6. 6. 13.Ca)ompruebalassiguientesidentidadestrigonométri as: sec2 α + cosec2 α = sec2 α cosec2 α b)(sen α + cos α)2 = 1 + 2 tg α cos2 α )cos α + tg α 1 + cotg2 α e)cos2 α = 14.aE)studiasisonverdaderasofalsaslasigualdades: )cos α tg α b)cotg2 α 1 + cotg2 α tg x + cotg x = sec x · cosec x cotg2 x − cos2 x = cotg2 x · cos2 x 1 − sen x = cotg α + sec α d)sen2 α = 1 tg x cos2 x e) tg x + tg y 1 − tg2 x 15.Sai)mpli )= cos x d)sen4 x − sen2 x cos2 x √1 − sen a · √1 + sen a cotg x cos4 x − cos2 x sen2 x · cos x 1 + sen x d)1 + tg2 x cotg x = 16.aSi)mpli cotg x + cotg y √1 − cos a · √1 + cos a = tg x · tg y f) sen x · cos x cos2 x − sen2 x = tg x alasexpresionestrigonométri assiguientes: (1 − cos x)(1 + cos x) sen x b)cos4 x(1 + sen x) (1 − sen2 x)2 alassiguientesexpresiones: sen a 18.¾Esposiblequeexistaunángulo 1 tg a queveriquesimultáneamenteque. −1, 11α sen α = b) cos2 x 19.SRiazonaturespuesta. 1 − sen x 20.Determinaenqué a) ,¾podemosasegurarqueuadrantepuedeestar omprensdoindoiguales?Razonaturespuesta. y: ? cotg α = cotg βα β xsen x = )sec2 x + cos2 x sec2 x − cos2 x d) cosec a 1 + cotg2 a e)sen3 α + sen α · cos2 α f)cos3 x + cos2 x · sen x + cos x · sen2 x + sen3 x 17.Sicos α = −1, 11a) ,¾ uáldeestasarma ioneses ierta? α esunángulonegativo. b)α ) estáenelter er uadrante α esunángulomayorque2π. d)Esimposiblequeel osenodeunángulosea 21.Cade)all e)f)g)d)h)3 5 cotg x = 0,75 sec x = 2 cosec x = √2 sen x = 0,8 cos x = 0,28 ycos α = 2 5 b)asdelossiguientesángulos,rela ionándolas onlasdeunángulo 2 3 240◦ 330◦ b)cos x = 3 4 )tg x = 4 3 purliamrelras uraadzorannestet:rigonométri ) −240◦ d)600◦ e)930◦ f)1140◦ g) −1830◦ h)135◦ 22.aH)alalasrazonestrigonométri asdelossiguientesángulos: 135◦ b)270◦ )11πrad d)π 23.aH)alasin rad 6 al uladora: sen(−120◦) b)cos(−30◦) )tg 240◦ d)cos 135◦ e)sec 300◦ f)cotg 405◦ 6
  7. 7. 24.Sai)tg x = 3/4 yx estáenelter er uadrante, al ula: tg(90◦ − x) b)tg(180◦ − x) )tg(270◦ − x) d)tg(−x) e)tg(90◦ + x) f)tg(180◦ + x) g)tg(270◦ + x) h)1.325..SieFndóormulastrigonométri as tg(720◦ + x) sen x = 0, 6 ysen y = 0, 4sabiendoqueelángulo , al ulalasrazonestrigonométri asdelosángulosqueseindi an, x a) b)radianesyqueelánguloesobtuso. π y 2 x + y x − y )2x d)2y e)x 2 f)y 2 26.Usandolasfórmulasdelángulomitad, al ulalasrazonestrigonométri asde22, 5◦2278..CtTrraia l anussfldaoerumlnoaasefsnóurmpmrauonldaduop sta.orsalealssseingouideentleasssuummaasdeytdreifseráenng uialossy,elnuefguon, ióanl udlealasussravzaol.onreess,trsiignon aolm ué-- laa)dora: sen 75◦ + sen 15◦ b)sen 75◦ − sen 15◦ )cos 75◦ + cos 15◦ d)cos 75◦ − cos 15◦ e)tg 75◦ + tg 15◦ f)tg 75◦ − tg 15◦ 29.Sabiendoquesen x = 0, 2,halaelsen 3x 30.Transformaenprodu tosen 105◦ − sen 15◦ 31.Cal ula y al ulaluegosuvalor. cos 105◦ + cos 15◦ 32.aT)ransformaensumas: sinusartablasni al uladora. sen 40◦ cos 70◦ b)sen 70◦ cos 40◦ )cos 100◦ cos 30◦ d)sen x sen 2x sen 3x 33.aSi)mpli a: cos 70◦ − cos 10◦ sen 70◦ + sen 10◦ cotg 30◦ b)cos 3x − cos x tg x 34.aC)ompruebasison e))d)sen 3x − sen x tg2 α(cos2 α − 1) + tg2 α = 0 sen2 x − sen2 y = sen(x + y) sen(x − y) sen2 iertaslassiguientesidentidades: tg α − cotg α tg α + cotg α = 1 − 2 cos2 α b)1 − tg2 α = cos 2α 1 + tg2 α x 1 = − cos2 x = tg b 2 4 cos2(x/2) b)os −sen x = 1 cos x = −1/2 f)cos(a + b) − cos(a − b) sen(a + b) + sen(a − b) 1.435..Ra)eEsu eluveal asiosingueiesntyeses iusat ieonmesatrsigotnroimgéotrni oasm:étri )sen x = cos x 7
  8. 8. 36.Ra)esuelvelassiguientese ua ionestrigonométri as: 2/3 sen x + 7 sen x = 23/6 b)2 sen2 x = sen 2x )(1 + tg2 x) cos x = 1 d)tg x = 2 sen2 x e)sen 2x = −√3 cos x f)cos 2x + cos x = 0 g)sen 3x − cos x = −sen x h)sen 3x = sen x − sen 2x i)cos 2x + sen x = 4 sen2 x j)8 tg2(x/2) = 1 + sec x k)6 cos2 x + cos 2x = 5 l)sen 2x = cos x m)cos x · sen x = 1/2 n)sen2 x − cos2 x = 1/2 ñ)cos 2x = 1 + 4 sen x o)4 sen(x/2) + 2 cos x = 3 p)cotg x + = 2 q)cos 2x − cos 6x = sen 5x + sen 3x 37.Ra)esuelvelassiguientese ua iones: cos2 x )sen x 1 + cos x b)= sen x tg 2x = −tg x sen x + cos2 x = g)e)f)= 2 cos 2x = 2 − 3 sen2 x sen x + 2 = 3 cos 2x sen(π − x) = cos i)− sen2 x ñ)m)k)2 2 5 h)4 j) o)l)n)cos 4x + cos 2x = 0 38.Ra)esuelvelossiguientessistemas,dandolassolu 3 sen 2x · cos x = 2 sen3 x cos x + sen2(x/2) = 1 sen x + sen 5x = sen 4x + sen 2x 3 sen x − cos2 x = −3 cos 5x − cos x = 0 sen x + 2 cos 2x = 1/2 cos 2x + 5 cos x + 3 = 0 d)cotg x + tg x cotg x − tg x 2 3π 2 − x ionesse  nor2rxes+posnedni4exnt+essaelnp3rxim=er0 uadrante: √3 2 e)  sen2 x + cos2 y = 3 4 cos2 x − sen2 y = 1 4 b)( sen2 x + y = 2 cos2 x + y = 1 ) cosec x · sec y = −1 g)(  cos(x + y) = 1 2 sen(x − y) = 1 2 d)  sen x + sen y = 3 2 cos 1 2 (x − y) =  sen x · cos y = √2 π x − y = 2 f)  sen x cos y = 1 2 sen x + sen y = sen 30◦ cos x + cos y = 1 + cos 30◦ h) 1 2 8  sen x + sen y = 3 2 sen x − sen y = −
  9. 9. 1.539..AR30emsoetlruos dieólnpieddeeutnraiá hnimgeunelaosdefábri asevelapuntadeésta,bajounángulode68◦40.D Coaomls uu nilrae sulaensfadelrteeunr aiadseslea a hnitmesentieean.e(nSodleu riaódni:os746, 2m5my)8 m.Elánguloqueformansusdostangentes. 30◦41.7dL,ea7s2dmia)gonalesde.uCnapl auralalellaogdrisatmano miaidqeune6hayy8e nmtr,erleosspde otsiv aenmternosted,eylafosr mira nunafle roernt aiarsse.(uSnoláun gióunlo: 60◦.Cal 43.Dospuntos 42.Untúnel medidas ulaelperímetroyelárea.(Solu hadeatravesarunamontaña.Parahalarsulongitudsetomandesdeelpuntom,myión:perímetro:.Haladi myárea:mlas ) 2(√13 + √37) 12√3 2 AB C AC = 1250BC = 1700ACB = 132◦halongitud.(Solu ión:2.701,17m) A yB distan24km.DesdeA ángulode selanzaunmisil uyatraye toriare tilineaformaun 30◦ onlare taAB.DesdeB formaunángulode selanzaunantimisil onunatraye toriare tilineaque 45◦ iadeA ydeB 44.P(Saorlau iaóln :ul1a7r,5l7akamn yhu1r2a,42km) seprodu setomanlasmedidas: onlare deunrío,seeligeunpuntom,ta.¾Aquédistan yqueestáenlamismaorilaque.¾Cuálesladistan irálainter ep ión? y ABAB C A AC = 67BAC = 99◦ ACB = 20◦iaentreA yB45.(USnolpua sióilnlo:2d6e,21m0m)delargoyqueformaunángulode ? 25◦ ptournrteo.Cmaáls uallatolaesaldtueradeésta,sabiendoquedesdeelini io odnellapahsoirliozoenltáanl,g uolonddue eeleavlap iieóndedeunsua 82◦46.Elángulodeeleva iónde?u(nSaolup eiñóan:m6i0d,e26m) 47◦pendientein linada .Despuésde aminar1000mha iaelasubiendouna 32◦ respe todelahorizontal,suángulodeeleva iónesde77◦47.dUenala poeluñman aonesrteáspsiet utaodaalspolbarneouhnoaripzoeñntaa.lDdeesdlaepurnimpuernatoobserva ión.(Solu ión1..03H4a,l3lma)laaltura C deeleva iónde lapartesuperiorseve onunángulo 55◦.SituándoseenunpuntoDtransformaen ,40mmás er a,seobservaquedi hoángulose 80◦ yeldelabasedela 49.Eadleltluperudapiqit 48.(Dseoslud eiólan:az5o3t,e0a3mde)unedi urieeo.ed(leSloauldnuo aiiólnunfme:r3nio2or,9sd6eemel)na io,sevela puieznatrrraa,ay3émlldaevleabpaijzoarurna,álnogsuolojodsedelalumnoes.táHnalalalalamalitsumraa alede12mdean olumnavaleho,.ba¾jCouuánláensglualoadlteuradela olumna? 50.pEilzáanrgau?lo(Saogluud 60◦laalturadelparalelogramoysuárea.(solu oióqnu:e1,f7o3rmm)anlosladosdeunparalelogramoesde ión: ,yelosmiden9y20 .¾Cuáleslaalturadela 20◦30◦60◦m.Hala h = 51. NDaoosssas saibtsuaaajodmeuo iade16mdelpi.e¾dQeuuéndaisttoarnr nsaeámnnpguounltoi edanesetniluonqoubestdái sutalo2e0nktmredelelausnqaueyn1o5skimmpdiedelamoetdriar,lyaddiesstda)en ei,aehlaáyngeunltoredelasel eavasa mysió?n(Sdoelusu iópnu:n1t0o,2m6áksma)ltoesdem52.Aladistan 53.e2HDs.ae5dsl7lde0aemlau.nHalbatualrra éilasqeuoeblsaesrvseapnalraas. 9√3 S = 90√3 22 30◦36◦aoladseaelltamuitrdoaerd,reep.ol(arsomrlauod naitóran,ñ:laa1,1ds,ia6sbt2amienn) diaoaqulae eilmáangduelounqauemfoornmtaañala,dvaisnudaol uonnreelsuhlotraidzoondtee. 29◦54.mLaidsesoCmabr.lroa(sSs?odl¾euC Muióáanlr:íea1s.y2la4C6amaltru)lorsamanidgeunla,rressopber etievlahmoerniztoen2te,2?5(mSoylu2 ,i4ómn:.1M,7a6rmíaymide1,65m¾Cuánto 36◦9 )
  10. 10. 55.Desdeelpuntomediodeladistan ia superioresson entredostoresA yB,losángulosdeeleva ióndesusextremos 30◦ y60◦ respe tivamente.SiA tieneunaalturade40m,halalaalturadeB 56.dDiesstdane iaieretnotrpeulnatsotdorerlessu.e(lSooslue vióene:l1p2u0nmtoym1á3s8,a5lmto)deunatoreformandounángulode yla 30◦ lahorizontal.Sinosa er amos75mha iaelpiedelatore,esteángulomide on 60◦57.duLenalajaungt aohdrurorera.sd(iSetuoulaund o ióaenmn:p6uo5nmdpe)ufnúttobodleelsadbea5n0dmalyatlearadleqlauepoesrttáeraía270mm.d¾Bealajolíqnueaéádnegfuo.lnoHdvaoel?lal(aSlapooluarl ttieuórrníaa: 7◦52′14′′58.Emledalitaínmtee)turonadeviusunaalvqióunefroergmisatraun10á9n5gmulodedaeltitud.Elpilotovelatorede ontroldelaeropuerto 81◦ 60.(DinSodosil 59.vDueesldaeeulnavbióanr uoa bnióseunrn:va2a,dd7o2isr6teasmn ?o(Sseolvue ilóan:di7sktamn) iaentredosislasb aojnoluanváerntgi ualol.d¾eAquédistan iadelaeropuerto 28◦alsatéliteyalotroobserdviasttaonritoesfo2r4m8kamn,usneáon ililaasa)lasislasde3,2y5,1milasrespe yguuplaonddeelseguimientodeunsatélite.Lasdire tivamente.Hala.lLaodsisatpaanr aitaoesndtereaambobradso. A B 61.qDduieseltaifnnos 62.tUonrae .h(iSmoleun rtmiiataudnteollaassalthvéoilsistupeaitlaeasl eiaóna:r7o0j0a,4u1n3ams)ombrade24m.sobrelafaldadeu.nCaa haadalyaa7ot2bo0srmerrevyyataoalrlaioht?oosr(prsieotladule lyiópnea:srq3du4e3e,112840mm.yD3e1sd5e,2e2l1imns)titutosem.id¾eCeuláálnegsullao desdel ydedesde62◦ oulilnaalaqudeisttiaenn A 74◦ eiaundaelinh Bolisnpait aiólnadlae iones 76◦onlahorizontal.Sabiendoqueenesemomentoelángulodeeleva ióndelsolesde49◦63.oáDlanpeguasudeltsleuotrasloa.daEdelestdtoloeasdp eráhenusimignóunealno deasaens.tloia(lnSapodalour tdeieóin1n:4fe30r1mi,o3rq6umye)dhealyaepnaurtneasduepelarisoorrdilelalsa daenutnilardíoo,quunethoapyógernafloa.vHoerailllollaas 80◦ y40◦ 64.oHpauleasteal.á(rSeoalud eióunn:1p1e9n,t2ámgo)noregulardrees1p0em tidvaemlaednot.e.(sHolaul aiólna:a9l0t,u8r2amdela 65.dUenalasesf 10◦ aa lhearadadsefboormmabeurnosáqnugeulmoi doen1e0lms,ueselohdaejadoenunpuntodela antiladodelaorila 2al)le.Siseapoyasobreuna 45◦ ysiseapoyasobrelaotraformaunángulode 30◦66.(H psaiaoetlle.luddaH erilaaóuallnn,la:dosi1alsa5batl,ai7eapnn3nu 67.oDtorsatboarjroesuinguáanlgeuslodidsteandeepnrterseiósnid1kem.Desdelaparrteesspuep md inaho;tuo7dqr,ueam0le7ádpmaseumalnyalbtto5oo msamdle)leedál.sio¾ta Arilootosqsuoddéniesatlalatnutreoanrtrsreeedaseli ya1tne3l5zea0 mo moynunldoii s ahá aniogenuse losaslaedlraepuosobnbsteorervm aaá disóanafltado ehsddaeedalea?l 25◦ 36◦ teirviaomrdenetue.n(aSdoelue lilóans:s1e38v6e,5lamb)asedela 5◦68.Para al ularelan hodeunrío,semidió.¾uQnuaédiaslttaunr aiatienenlastores?(Solu ión:87,5m) AB = 20elpunto malolargodesuorila,tomándose A dire tamenteopuestoaunárbolC,situadoalotrolado.DesdeB semidióABC = 61◦69.¾aLClolsualádalodeomssládasealuannr ghtoruiráyanegdlueállorremíao?idde(eSlnot1rlui4á nimógn,u:1lo63. 6m(mS)oylu18 i ómn:re1s2pme) tivamente.Halalaaltura orespondiente. 70.Sedirigenvisualesadosobjetosina esiblesA yB desdedospuntosC yD semiplanodelosdosquedeterminanlare taquepasapor situadosenunmismo A yB.LospuntosC yD si562m.Semidenlosángulos distanentre ACB = 62◦,BCD = 41◦,ADB = 60◦ yADC = 34◦distan ia .Halala AB.(Solu ión:705,7m) 10
  11. 11. TVeem tao2resenelplano 2.11..PaEralloessvpe ato reisove torialdelosve toreslibresenelplano ~u = (1, 2) y~v = (3, 5) a) hala: 2~u + 3~v b) )3(~u − 2~v) 2.Seanlosve tores~u = (2, 4) y~v = (3,−3)a)Dibújalos b)Hala : 2~u,1 ~v. 3.Dadoslosve tores~u = (3, 4) y~v = (−3, 4)a) .Hala: −~u y −~v4.Ea)studia −~u + 4~v uálesdelossiguientesparesdeve yb)toressonlinealmen.tedependientesopropor yionales: (15, 12) (10, 8) (1,−1) (1, 3) esunabasede2 6.Halalas oordenadasdelve tor . V2(3,−2) ~u, −~u y~u − 1 3 −~u y −~v. b)Representagrá amente~u, ~v)(5, 12) y(1, 10) 5.Estudiasi omo ombina iónlinealdelosve tores(1,−1) y(2, 5)7.Dadoslosve tores . ~v1 = (1, 3) y~v2 = (2,−5),halarunve 8.SCioemndporobarelresultado. ,y,halarlas tortalque:. {(1,−1), (1, 2)} omponentesdelve torsabiendoque: ~v (~v2+~v1)+~v = ~v2−(~v1+~v2)~u = (3, 5)~v = (−7,−2) w ~= (0, 5)~x ~u+~x=~w+(-~v)2.2. Produ .toes alar 9.Dadoslosve tores~u = (1, 2) y~v = (2,−3)a)Elprodu toes alar ,referidosalabase anóni a, al ula: ~u · ~v)Elánguloqueforman . b)Losmódulosdeambosve tores. ~u y~vd)Unve torenladire iónysentidode~u e)¾Son queseaunitario. ~u y~v ortogonales?En aso ontrario,bus aunve tor ualquieraortogonala~u10.Dadoslosve tores . ~a(−1, 4) y~b(2,−3)a)Produ toes alar .Sepide: b)Módulode~a )Ánguloqueforman d)Proye iónde~a sobre~b 11.Halar~u · ~v sabiendoque |~u| = 2, |~v| = 2 yqueelánguloqueforma(d~u, ~v) = 60◦12.Cal ular . ~u · ~v a) enlossiguientes asos: ~u = (0, 1) y~v = (6,−2) b)~u = (−2, 3) y~v = (3, 2) )~u = (√2,√27) y~v = (√8,√3) d)~u = (1, 1) ~v = (3,−2) 11
  12. 12. 13.Aa)veriguarsilossiguientesparesdeve toressonperpendi ulares: (1, 2) y(1, 5) b)(2, 0) y(0, 1) )(−1, 5) y(5, 1) d)(v1, v2) y(−v2, v1) 14.Dadoelve tor~u = (4,−7),en uentradosve toresquetenganlamismadire iónque~u 15.uHnailtlaaruions.ve torquetengalamismadire iónque ysean ~a(4,−3)16.Halaunve torperpendi ularalve tor ,módulo2ydistintosentido. ~a(1, 3) 17.Normalizaelve tor yquetengamódulo2. ~v(1,√2)18.Cal ular . a paraqueelprodu toes alarde~x(a, 1) por~y(2,−3)19.Hala ,sealaunidad. h,sabiendoqueelmódulodelve tor~x(h, 3) 20.¾Quémodi a iónsufreelmódulodeunve tor es5. ~v sisemultipli ansus omponentesporunes alar k21.H?alalas oordenadasdelve tor~x sabiendoque~v · ~x = 0 y~w · ~x = 2,siendo~v(2,−3) y~w(−1, 0)22.Hala . h paraqueelve 23.Hala ,sabiendoquetory seaortogonal on. ~v(3, h) w(−~1, 4)m~x(m, 5) |~x| = 1324.Determinaelvalorde . b,paraquelosve tores~x(3, b)e~y(2,−1) formenunángulode45◦25.Dadoslosve tores . ~u(3, 5) y~v(a,−1),halaelvalordea,paraqueelve tor~v dire iónqueelve tor tengalamisma ~u +~v26.Unve tor . ~x,demódulo3,formaunángulode60◦ 28.Halalos 27.Halalalongituddelaproye osenosdire toresdelve ióndelve tor tor . onelve sobreeltor. .Halasus omponentes. 29.Halaunve tor uyoprodu toes alar on sea9y ~a(−√3, 1)~a(5,−2) ~b(3, 4)~a(0,−7)~a(−3, 1) on~b(7, 2) 30.Hala sea5. x paraqueelprodu 31.Dadoslosve 32.aH)alPlaaralelos tores ytoes alardelosve .Halaparba)qPueerpseeannd:i toresysea . ~a(2x, 5) ~b(3, 2) −8~a(x, 1) ~b(12,−5)x ulares x paraqueseanperpendi 33.Demuestraquesi ysonunitarios,severi ulareslosve toresy.Hala . ~u(2, x) ~v(3, 2)~a ~b tor~v,talque,~a · ~v = 1 y~v⊥~b36.Haladosve tores . ~x e~y de oordenadasenterasyque umplan:|~u , +~v| , y ~x · ~y = 2|~x| = √5|~y| = 5 a:(~a +~b)⊥(~a −~b)34.Si . 35.Dadoslosve , tores yyysonperpendi .Halaunve ulares.Hala . |~u| = 3|~v| = √7 ~u ~v ~a(2, 1) ~b(6, 2)38.Dosve tores ysontalesque |~u −~v| ulaelmódulode. ~v~a ~b ~x · ~z = −4,siendo~z(1, 6)37.Sean . ~u y~v dosve torestalesque |~u| = 9 y(~u +~v) · (~u −~v) = 17.Cal |~a| = 10, |~b| = 10√3 y |~a +~b| = 20ve tores .Halaelánguloqueformanlos ~a y~b. 12
  13. 13. TGeemoam3etríaanalíti aenelplano 3.11..Csae)agAlm )upelnaltiol asdae toeimrompnionneaedsnotedesned yealldooassv aev soteo. retso uryeosorigenyextremosedan,así 2.Siendoelpuntomediodelsegmentod)b)yyomoelpuntomediodel A = 1,−√(2,−1) B = (4, 7) 2,√P = ((√0,−2,−√5) Q = (3,−4) A = (2) B = (−2) P = 3) Q = (−√3,√2) M = (2, 3) AB 3.Dadaslas oordenadasdelospuntosmediosdelosladosdeuntriángulo on,halalas ,oordenadasde,. y B = (−1, 8)AABCM(2, 4)N(1, 1) 4.Dadoelsegmentodeextremos ,halalas oordenadasde,yy. , P(2, 0)AB CA(3, 5) B(6, 15)al ulalas oordenadasdelospuntosC,D yE quedividealsegmentoAB 3.2. E ua ionesdelaenre4 patratesiguales. 5.Cal ulalase ua ionesve torial,paramétri a, ontinuaygeneraldelare tadenidaporelpunto a) yelve tordedire iónenlossiguientes A ~v asos: A(0, 2), ~v = (4, 3) b)A(2, 7), ~v = (−1, 2) )A(5,−4), ~v = (2,−2) d)A(0, 3), ~v = (2, 0) e)A(−1/2, π), ~v = (0,−2) f)A(0, 0), ~v = (−1/3, 1/2) 6.Cal ulalae ua iónexplí itadeunare tadelaquese ono eunpuntoA ylapendientem aa)sossiguientes: enlos A(1, 3), m = 2 b)A(4,−3), m = 0 )A(0, 3), m = 1/3 7.Halalae ua ióngeneraldelare tadenidaporlospuntosA yB a) enlossiguientes asos: A(2, 0) yB(0, 3) b)A(1,−2) yB(3,−2) )A(1,−1) yB(−1, 1) 8.Halalae ua ióndelare taquepasaporelpunto(0, 2) yformaunángulode30◦ onelejeOY 9.Ha)alaunve tordire toryunonormalalasre tasdee ua iones: . 2x − 5y + 10 = 0 b) = y − 4 10.Ceal)apl asos,lase ua ionesdelare taperpendi ularyparalelapor y = −2x + 6; P(1, 1) b)2x − 4y + 5 = 0; P(0, 3) 11.Dadoelpuntoylare x = 1 − 2λ y = 3λ ; P(0, 0) A(−1. − 3) )d)x + 2 y = 4x − 8 3 uunltao,eqnue asdeainudnio ad:elossiguientes )x − 2 = y + 4 3 tar : x + 2y − 1 = 0a)E ua ióndelare taquepasapor .Hala: A yesparalelaarb)E ua ióndelare taquepasapor . A yesperpendi ularar12.Compruebasilasdiagonalesdel uadriláterodevérti es . A(2, 1),B(4, 2),C(4,−3) yD(−2,−4) ortanenelpuntomedio. 13 se
  14. 14. 13.Dadoeltriángulodevérti esA(2, 3),B(4, 7) yC(7,−1).HalalospuntosmediosdelosladosAB yBC.Halalae 14.Halarlae di a)Perpendi ua ión b)Perpendi hare tarespe ua ióndelare ularaleje todeladree taquepasaporelpunto?latareq uteapqauseaupnoerestospuntosmedios.¾Cuáleslaposi yyes: iónrelativade A C(5, 4) OX. OY 15.Halarlae ua ióndelamediat.rizdelsegmentodeterminadoporlospuntosA = (−1, 3) yB = (3, 5)16.Dadoelhazdere tas . y − 3 = m(x − 1)a)Laquepasaporelpunto ,halardeentrelasmismas: (5, 1)b)Laqueesparalelaa . 5x − 4y + 8 = 0)Lae ua ióngeneraldelaqueesperp.endi ularax − 3y + 1 = 017.Halalaperpendi ularalare ta . 2x + y + 4 = 0 quetieneporordenadaenelorigenn = 518.Halar . a paraquelasre tasr : ax − y + 1 = 0 yr′ : 3x + ay + 5 = 0 19.E osrttued iaualnadpoolsoi hióanyar:elativade adaunodelossiguientesparesdesreea tnaspeyrp eanl dui laurlaerlesp.untode 20.Halarelpuntodeinterse ióndelasre tas: r : y = −x + 10 s : y = x − 7 21.Halarlae ua r ióndelare : x − 3y + 5 s : 2x − 6y + taquepasaporelpuntointerse = 0 9 = 0 iónde: r′ : x − 2y = 1 r : 3x + 2y − 12 = 0 s : x − y + 7 = 0 r : x + 2y − 3 = 0 s : 2x + 4y − 6 = 0 r : x − 3 = 0 s : x + 2 = 0 r : y = 2x − 5 s : y = x + 4 22.Halarlae siendoelánguloqueformaelejeua ióngeneraldelare r : taquepasaporelpuntodeinters.e x y positivo = 2 + λ = −2λ ondi hare tadeióndelasre tas: y − 2 OX 45◦ r : 5x − 2y + 4 = 0 23.Halarelpiedelaperpendi  x s : − 3 = 24.Halarelsimétri yesparalelaalaquetienepore odelpunto ulara ua iónrespe 3 . trazadadesdeelpunto. r : x + 2y + 4 = 0 s : 3x − + 5 = 0 y = 6r : x + y − 3 = 0 (3, 2)A = (4, 0) 26.Lase 25.Lae las oordenadasde ua ióndelamediatrizdeunsegmento ionesdedos.re ua tassontodelare taab )))LLLaaasssrrreee tttaaasssssseeeaaannn ppoaeirrnpa leiendladesni .tuelsa.res. y es.Halaelvalorde.Siendo. paraque: halar d)Lasegundare tapaseporelpuntor : x + y + 1 = 027.Dadaslasre tas yAB . m : 2x .Hala+ y ulapreasraquesean: − 2 = 0A = (−2, 1) a)Paralelas B3x − 5y + 2 = 0 b)Perpendi 6x + my = 1m (6, 5)r : 2x + y − 1 = 0 r′ : 3x + 14 ay + 5 = 0a
  15. 15. 3.328..CaÁl unlageulláongsulyofodrmisatdaosnp orialassre tasr : x − y + 5 = 0 yr′ : −x − y + 1 = 029.Cal ulaelánguloformadosporlasre tas . r : 5x + 4y − 1 = 0 ys : x = 1 − 2λ y = 3 + λ 30.Cal ulaelánguloformadosporlasre tasr : x − 3y + 1 = 0 ys : 32.Hala 31.Halaparaquelare paraquelare taformeunángulode onlare ta. x = 1 + λ y = 2 − 2λ k 2x + ky + 4 = 0 45◦ x + 4y − 1 = 0k ta3x+ky +2 = 0 formeunángulode60◦ 33.aaCb)asl iuslaa.ladistan iadelorigende oordenadasalossiguientespun toons:elsentidonegativodelejede P(3, 4) b)Q(8,−6) )S(√3,−1) 34.aC)al ulaladistan iaentrelossiguientesparesdepuntos: A(5, 3) yB(−3, 8) b)P(√3,√2) yQ(√2,−√3) )R(5, 2) yS(−3,−7) 35.aC)lasi alossiguientestriángulos, uyosvérti esson: O(0, 0);A(2, 4);B(4, 2) b)P(5,−2);Q(1,−7);R(−1,−2) )A(−1, 7);B(−1, 2);C(−5, 2) 36.Halaladistan iadelpuntoA(3, 5) alare ta3x + 4y − 1 = 037.Halaladistan iaentrelasre tas . r : ys : 6x − 4y + 1 = 0 38.Halaladistan iaentrelasre tasparalelasr : 2x + y = 0 ys : x = 2 + t y = 1 − 2t 3.439..ElPlardoobdelseigmuaalsdevuanrtiraiádngousloisós elestieneporextremosA(−1,−1) yB(4, 0).Elvérti pertene ealare ta.Determinalas x 2 eC x − 2y + 8 = 0= 40.Uelnárteraiádneglutloriáisnógsu otrovérti e, ,estásobrelare leole.stieneporporbaseelsegmentoqueunelospuntos oordenadasde,lalongituddelaalturayyel y Chc A(1,−2) B(6, 3) Cy − 1 3 41.Elparalelogramo tienelosvérti ta.Halalas oordenadasde. 3x − y + 8 = 0CABCD esA(−1, 1),B(0,−1)yC(3, 2).Halalas oordenadasde D 42.Haylasueláráerae.adel uadriláteroformadoporelejeOX ylasre tasy − 1 = 0,x + 2y − 6 = 0 y x + 2y − 2 = 043.Determinasob.relare ta3x − 5y + 25 = 0 unpuntoquedistelomismodeA(3, 4) ydeB(7, 8)44.Determinalae ua ióndellugargeométri odelospuntosdelplano uyadistan iaalare ta.r : 3x − 2y + 4 = 0 45.Dosvérti esopueesst2o.s¾dQeuuéngroumrab oosnosntitluoysepduin thooslugar? A(3, 5) yC(2, 1).Elvérti 46.¾Cuáleslae deabs isa.Cal ua ulalas ióndeunare oordenadasdel taqueformaunángulo.deuartovérti e epertene ealeje B D45◦ onlapartepositivadelejeOX 47.dHiastlaa4lauen iduaad ieósnddeelolarigree ntadequ oeopradseannaddoasp?orelpunto y (2,−3) forma onlare ta2x + 5y + 1 = 0 unángulode45◦. 15
  16. 16. 48.Dadoeltriángulodevérti 49.Haab l)))laLSLluaaaolleoor nntuogga ii tteuuinóddtnrddodeeeyssluubassamrttirr eeeedssniatamrtlroteiu.dzriaadnse.aless50.Halalamediatrizdelsegmento.deextremosánguloqueforma s.,ey,o paol rulloas:puntosA(7,−7)B(1. −5)C(3,1)51.Lare ta oneleje esmediatrizdelsegmentoegmentodtermyin.Siendoad. .Halalas oordenadasde yyel A(1,−2) B(3, 0) OXA(1, 3) B(5,−1)2x + y − 5 = 0 ABA(−1, 2)B52.Ha.laladistan iaentreelorigende oordenadasyelpiedelaperpendi ulartrazadadesdeelpunto 53.Halaelpuntodelare alare tata . (2, 5) x + 2y − 1 = 0r : 55.Halalas 54.Halalae ua oordenadasdelospuntossituadossobrelare ióndelare taparalelaa quediste2delorigen. quediste2delpunto ta quedistendelare . x = 2t y = 1 + t 2x − y − 1 = 0 (1,−3)x + 2y − 3 = 0 ta 4x − 3y + 9 = 0 56.Halaladistan ia2duenlidbaadrei se.ntrodeltriánguloA(2, 3),B(1,−5) yC(−3,−1) alladoBC57.Cal ulaeláreadeltriángulo uyosladosestánenelejedeabs isasyenlasre tas . x − y = 0 y 3x + 5y − 24 = 058.Halalae ua ión.deunare taquepaseporelpuntoP(−1, 0) untriángulodeárea yforme onlosejesde oordenadas 3 2 u259.Halaladistan iadelpun.toP(3, 0) asusimétri orespe todelare tax − y + 1 = 060.Dadoeltriángulo . ABC onA(0, 0),B(7, 0) yC(2, 6)ab )))CCCooommorppdrreuuneeabbdaaasqquudeeelleabstadárinis teaanlnitn rieoaa,deoonrstt.ore eenltbroaryi e nirt ruony .eSenletorporit.doe :entroesdoblequeladistan iaentre 61.Halaellabae riu ae nitórnodyeelun iar ruen taenstarbo.iendoquelaperpendi ulartrazadadesdeelorigenaelatiene 62.Dadalare a unidadesdelongitudyque,di ta yelpuntohare taforma ,halaelpuntoonelejedeabs deisasunángulodetalqueseaperpendi . √2 45◦r : y = x − 2 A(1, 0)X r A−−→X ular r′ : y = 4x − 363.Lasre tas . ax − y − 4 = 0 yx − y + b = 0 puntosquedistanentresí5unidades.Halasonperpendi ularesy ortanalejedeabs isasendos a yb. 16
  17. 17. TFeumna i4onesrealesdevariablereal. Familiasdefun iones 4.11..DeClaosnsi gueiepntteosgdráe afsu,n¾ uáiólesndeelasno orespondenaunafun ión? PSfragrepla ements a) b) ) d) e) f) g) h) i) 1 1 1 1 1 1 2.Seanlasfun ionesf(x) yg(x)a)Dominioeimagen .Indb)i ade adaunadeelas: f(2) yf(0) 1 1 ),y1 PSfragrepla ementsg(0)g(2) g(3) f(x) 1 17 g(x) 1
  18. 18. 4.23..eaRj)eeFps:ruesnen tiaolnasessigupieontleisnróe mtasi, aals ulandodominio, onjuntoimagenypuntosde ortes onlos y = −5 b)y = 0 e))d)y = y = 3x y = − h)y = 4x − 3 4.Ra)epresentalassiguientesparábolas al ulandodominio,imagen,vérti eypuntosde ortes. y = x2 b)y = x2 − 4 5.Raep)resentalassiguientesfun e)f)g))5 2 h)d)y = x2 − 3x y = x2 − 4x + 1 y = −x2 + 9 y = x2 − 3x + 2 y = −x2 + 3x − 2 y = −x2 − 9 1 b)2 )paraparaparaiones: 6.Representagrá a) amentelafun iónyapartirdeelarepresenta: f(x) = x2 − 2x x ∈ [−2, b)3] f(x) = −2x + 1 x ∈ (0,+∞) f(x) = −5 x ∈ [4, 7) f(x) = 2x2 f(x) = 2x2 + 3 f(x) = 2x2 − 4 f)g)x 3 x y = −5x + 3 y = − − 2 )f(x) = 2(x + 1)2 d)f(x) = 2(x − 3)2 e)f(x) = −2x2 f)f(x) = −2x2 + 2 4.37..aaRs)eFínptruoestneans :tiaognráes amraen teiolansasilgeusientesfun iones, al ulandodominio,imagen,puntosde ortesy f(x) = 1 x b)f(x) = 2 x − 2 )f(x) = − 1 x + 3 d)f(x) = d)2x + 1 x − 1 x3 − 3x2 + x f(x) = e)f(x) = x + 1 x + 3 f)f(x) = − x x + 2 8.Ca)al ulaeldominiodelassiguientesfun iones: f(x) = g)1 (x − 2)(x − 3) f(x) = x3 + x2 + 4x + 4 4.49.. aRo)eFnpruloessneen 2x2 − 5x amirernate + 2 liaosnsigaulieenstesfun b)iones, al ulandodominio,imagenypuntosde ortes f(x) = √x f(x) = −√x b)f(x) = 2x x2 + x + 1 )f(x) = 7x − 1 x2 − 1 x2 − 2x e)f(x) = 2x x2 − 2x + 1 f)f(x) = 1 3x x3 − x2 − 6x h)f(x) = 2x2 − 3x x4 − 5x2 + 4 i)f(x) = x3 − 1 jteiaso:gnráes )f(x) = √x + 7 d)f(x) = √2x + 4 e)f(x) = x + √x f)f(x) = √3 x g)f(x) = √3 x + 1 h)f(x) = 3 − √x − 2 i)18 f(x) = 2 + √x
  19. 19. 10.aC)al ulaeldominiodelassiguientesfun iones: f(x) = √x + 3 b)f(x) = √4 9 − 4x2 )f(x) = √x2 + x + 1 d)f(x) = √2x2 − 5x + 2 e)f(x) = √x − 1 + √5 − x f)f(x) = √x3 − 4x g)f(x) = √2x + 5 h)f(x) = √x2 − 2x + 1 i)f(x) = √5x − 2 j)f(x) = m)s x − 3 x + 3 f(x) = 4.511..R oeFrptreuessn ntiaolognsráeejes x eon x + sa,mameontntreootloaznsoíasisgyuaie 1 notteas ifóunn: x + 6 k)f(x) = s x − 1 2 − x l)f(x) = s √x √− 3 x2 − 4 a)ionesy al ulasudominio, onjuntoimagen,puntosde f(x) = n)f(x) = s x + 2 x − 7 ñ)f(x) = s x2 + 3x 2x − 3 six 0 3 x ∈ [0, 1] 2x + 3 six 1 e)f(x) =   1 six ≤ 1 x 1 x ≤ 3 −x + 6 si3 x ≤ 6 0 6 x b)f(x) =   g)si si3 x −1 1 − 2x −1 ≤ x 1 3x − 1 x ≥ 1 f(x) = 0 six 0 x 0 x ≤ 2 0 six ≥ 3 )f(x) = i)sisi−x x 0 0 0 ≤ x ≤ 1 1 − x x 1 f(x) = 0 six ∈ Z x x6∈ Z d)f(x) =     sisi5x − 2 x ≤ 1 −2 x = 2 1 x x 2 2 f)f(x) =   4.612..Reas)etFpurudeisanene si−x + 3 0 x 3 x − 3 x 3   1 x si1 − x2 x 1 six 0 x2 + x six ≤ 0 h)f(x) =     x2 − 1 si x −1 0 −1 ≤ x ≤ 1 j)f(x) =   −x − 3 si x −3 x + 3 −3 x 0 ltiadóognmráinv ioaa,mlroeen roterarliadbsossyoigpluuuientntotoessdfeun o irotnese:s,ha iendoeldesglose omofun ionesatrozosy f(x) = |x − 2| d)b))f(x) = |2x + 4| f(x) = |x| + x f(x) = |3x| g)e)f)f(x) = x + |x − 1| f(x) = x − |x| f(x) = |1 − x2| 13.Rfau)enp h)i)f(x) = |x2 − x − 2| f(x) = |x − 3| + |x + 2| rieósnensitnavgarálor aambseonlutetoe:lvalorabsolutodelassiguientesfun b)iones,representandopreviamentela f(x) = |x2 − 5x + 6| f(x) = |x − 3| )f(x) = |x2 − 4| 19
  20. 20. 14.aSe)alafun ióndadaporsugrá b)a, al ula: f(x) y = |f(x)| y = −f(x) )y = f(x) + 2 d)y = f(x − 2) PSfragrepla ements 1 4.715..aC)aFl uulna eliodonmeinsioedxeplasosnigeunien tieaslfuens ioynesloygreaprreístémntail asagsrá amente: f(x) = log3 x b)f(x) = log3 |x| )f(x) = |log3 x| d)f(x) = log3 x2 e)f(x) = 2 + log3 x f)f(x) = log3(x + 2) g)f(x) = 2 + log3(x + 2) h)f(x) = 3x i)f(x) = 2 + 3x j)f(x) = 3x−1 k)f(x) = 3x−1 − 2 l)f(x) = −3x 16.Ca)al ulaeldominiodelassiguientesfun iones: f(x) = log2(x − 1) b)f(x) = ln d)e)) x + 1 f(x) = log(x2 − 5x) x − 1 2x f(x) = log3(x2 + x − 6) f(x) = 1 − ln x f)f(x) = ln x √x − 3 g)y = log(x2 − 4) h)y = log(x2 − 6x + 8) i)y = log 1 − x 1 + x j)y = log 1 − x2 x + 3 k)y = log |4x2 − 9| l)y = log3(x − 1) 3x − 9 4.817..aR)eFpruesnen tiaognráes amtrenigteolansosimguiéenttresi b)fuans ioneseindi asisonperiódi )asyqueperiodotienen: f(x) = 1 + sen x f(x) = −cos x f(x) = sen 18.aH)alaeldominiodelassiguientesfun d)e)f) π x + 2 f(x) = cos 2x f(x) = 2 cos x f(x) = | cos x| iones: f(x) = sen 1 x b)f(x) = tg(2x − 3) )f(x) = d)2 sen x 1 f(x) = sen x + cos x e)f(x) = √cos x f)f(x) = 1 + tg 2x 20
  21. 21. g)f(x) = 2 sen(2x) + 1 h)f(x) = log(sen x) i)f(x) = 1 4.919..aH)aFluanel dioomnineiosdeelnasgsigeunieentreaslfun iones: sen x − 1 f(x) = x2 + 3x + 3 b)f(x) = 4 d)f(x) = j)g)h)k)x − 4 m)n)x + 2 i)l)x − 1 x + 3 2f(x) = ex−4 f(x) = e(x+3)/(x−2) f(x) = |x2 − 2| f(x) = log(x2 − 16) f(x) = log√x2 − 25 f(x) = x2 · e1/x f(x) = log(x2 − 3x + 2) f(x) = ln )f(x) = 3x − 1 o)x + 3 x2 − 8 20.Determinaeldominioyelre oridodelassiguientesfun p)q)ñ) iones: f(x) = √x + 1 + √5 − x f(x) = cos x2 f(x) = e(2x+3)/x f(x) = sec 2x e)f(x) = √x2 − 1 f)f(x) = s x2 − 1 x2 − 4 a) b) ) d) e) f) g) h) i) 1 1 PSfragrepla ements 1 1 1 1 1 1 21
  22. 22. 21. aRo)erptreess eonntalogsráeje sa,mmeonnteotloansíasigyuaie b)notteas ifóunn: ionesy al ulasudominio, onjuntoimagen,puntosde f(x) = −2x f(x) = −4 )f(x) = x2 − 2x d)f(x) = −x2 + 6x − 8 e)f(x) = f)f(x) = 2 + √x − 3 g)f(x) = |2x + 3| h)f(x) = |2x| − x i)f(x) = E(x) 22. aRo)erptreess ionesy al ulasudominio, onjuntoimagen,puntosde y = 2x−1 b)y = 3x−2 − 4 x + 2 x − 2 23. aRo)erptreess si2x x 0 x − 1 x 0 eonntalogsráeje sa,mmeonnteotloansíasigyuaie notteas ifóunn: )y = 1 + 2x d)y = 2−x e)y = log2(x + 3) f)y = 1 + log3(x + 5) g)y = log2(x + 1) h)y = 3 + log2 x i)f(x) = eonntalogsráeje sa,mmeonnteotloansíasigyuaie notteas ifóunn: ionesy al ulasudominio, onjuntoimagen,puntosde f(x) = 1/x six ≥ 1 √x x 1 e)f(x) = 24.Delassiguientesgrá as.¾ uáles orespondenaunafun ión?Deelasindi si asudominioyre orido. |x| x 2 −x + 4 2 ≤ x ≤ 5 x + 2 six 1 1/x x ≥ 1 b)f(x) =   1 x − 1 si1 x ≤ 3 √x − 3 six 3 )f(x) =   2x + 1 six 0 1 x = 0 1 + x2 six 0 d)f(x) =   x2 − 1 six 2 3 2 x ≤ 4 −2x + 10 si4 x ≤ 5 f)f(x) = PSfragrepla ements a) b) ) d) 1 1 1 1 22
  23. 23. TÁelmgeab5radefun iones 5.11..AOpaprteirrdae laiosnfuen sio.nCesomposi ión f(x) = x + 1 yg(x) = ionesysus (f + g)(x) b)(f · g)(x) 4.Dadaslasfun iones 2 − x 3x − 6 , al ulaysudominio. (f · g)(x) f(x) = rae)spe tivosdominios: realizalassiguientesopera )(f/g)(x) 2.Sif(x) = √x + 1 yg(x) = x + 1,averigua(f/g)(x) 3.Dadaslasfun iones ysudominio. f(x) = , al ula(f +g)(x),(f −g)(x) yf/g)(x) 5.yDasduassdloamsifnuino si.onesf(x) = √x + 3 yg(x) = √25 − x2, 6.Hala.ysusdominios. yysudominio,siendo: √x + 1 2x al ula,,,(f + g)(x)(f − g)(x)f/g)(x)f · g g ◦ ff + g yg(x) = √x + 1 − 2 x + 1 3 + x x2 − 3x yg(x) = 3x − 5 x2 − 4x + 3 7.Dadaslasfun iones: six ≥ 2 f(x) = 8.Dadaslasfun Cal ulayiosnuesdominio. six 2 f + g f(x) =   −x2 + 1 six ≤ 0 1 − x 2 six 0 y g(x) =   2x + 1 si x −2 2 −2 ≤ x 2 1 5 − x f(x) = √x − 1 y g(x) = ompuesta ong 9.Hala ysudominio. (f ◦g)(3) siendof(x) =   x + 1 si x −1 2 + x y al ulag◦f yf ◦g 10.dAompairntiiors.delossiguientesparesdefun ioneshala y,así −1 ≤ x ≤ 2 1 5 y+ x a) ,indi omosusrespe tivos g ◦ f f ◦ gandosusdominios. f(x) = 2x2 + x − 3 yg(x) = 2 − x 11.Siyx + 1 , b)yf(x) = √x2 + 1 g(x) = 3 f(x) = 2x−x2 g(x) = √x − 2yg(x) = √2x − 1, al ulaf al ulag ◦ f yf ◦ g 12.saEe)xopbressearvlaa?s¾sEigsuiseinemtepsrfeunp oisoinbeles 3 − x2 x + oommpoo 1 b)noemrpfuonsi iioónnesd?efuyn, aiosín eos,miondsiu sanredsopées ttaivsoúsldtiommaisn:ios.¾Qué h(x) = 5√x + 5 h(x) = √x2 + 3 yg(x) = x − 1 2 1 x + 1 )h(x) = 5x4 + 2x2 + 6 23
  24. 24. 14.Dadaslasfun 13.Dadaslasfun iones iones,determinarparaque. f(x) = 3x − 7 g(x) = 2x + kk f ◦ g = g ◦ f1 f(x) = ioaresipnovndeerns x2 − 1 iaainversarespe todela omposi ióndelassiguientesfun- f(x) = yg(x) = √x + 2,es ribelos riteriosydominiosdelasfun iones: 15.Halalasfun a) ),,iones ,yompuestas ,y. ysiendo: b)y5.216..C ai)aoCln f · gf(f(euoslaryrssieuesdspopmooisnnibidole:e,lna yd)yf/gg ◦ ff ◦ gg ◦ g f ◦ fg ◦ f f ◦ g x) = x2 g(x) = ln x f(x) = ex g(x) = ln(x + 1) x) = log2 x g(x) = (√2)x f(x) = 2x g(x) = log4 x 1 − 3x 6 b)f(x) = 3 − x 4 + 5x )f(x) = 7 − x x d)f(x) = −3x2 + 27 e)f(x) = x2 − 2x f)f(x) = √3 x − 2 17.aH)alalainversadelassiguientesfun ionesysudominio: f(x) = log2(x + 1) b)f(x) = 2x+1 )f(x) = ln√x − 1 d)f(x) = ex2−1 e)f(x) = 2 + 3x f)f(x) = 2 · 3x−1 g)y = log2 3x − 1 h)y = 3x+2 i)y = 2 + log3 x j)y = 1 − 2x+3 k)y = 5 18.Dadaslasfun ionesf(x) = log2(x2 − 3),g(x) = 1 + 2x yh(x) = log3(2x − 3)a) ,hala: (g ◦ f)(x) b)(g ◦ h)(x) 19.Halala a) e)omposi ióndef)log4(x − 1) yenlossiguientes 2 g))d)h)(f ◦ g)(x) (h ◦ g)(x) (h ◦ f)(x) (f ◦ h)(x) (f ◦ g−1)(x) (h ◦ g−1)(x) f g l)y = 1 − log3 x 5 m)y = 4 − 3 log(x2 + 4) 20.Ha)alala asos: b)f(x) = cos 2x; g(x) = arc cos x f(x) = sen 2x; g(x) = arc cos x oresponden iainversadelasfun iones: f(x) = sen x 2 b)f(x) = √1 − sen x )f(x) = cos(x + 1) d)f(x) = arc sen x2 21.Dadaslasfun ionesf yg.Cal ula(f+g)(x),(f−g)(x),f/g)(x),1/f,f−1,g−1 yg◦fsau)sdominios: ,espe i ando f(x) = e)2 2 , g(x) = x x − 3 , g(x) = x2 + 3 f(x) = x2 − 4, g(x) = b)f(x) = 24 1 x + 2 1 x + 1 , g(x) = x2 − 5 )f(x) = √x, g(x) = 1 √x d)f(x) = x − 1 x + 1 x + 1 1 − x f)f(x) = 2 x − 2 , g(x) =
  25. 25. TLeímmait6edefun iones.Continuidad 1.aC)al ulalossiguienteslímites: l´ım x→2 (3x2 − x + 5) b) l´ım (x2 + 1) e)l´ım x + 1 x − 2 g)l´ım i)(3x − 1) x→+∞ x3 + x2 + 2 l´ım ) l´ım x→−∞ (−x2 + 5x + 7) d) l´ım k)x→−∞ 3x4 x3 + x2 l´ım m)x→∞ x3 + 5x2 + 3x − 9 x3 + 7x2 + 15x + 9 l´ım 2x + 1 x − 2 f)l´ım x→2+ ñ)x→2 l´ım 1 2x − 4 h)l´ım x→2 x3 − 6x2 + x + 14 p)x→1 x4 − 1 x2 − 1 l´ım x3 − 6x2 + 6 x4 − x3 + x − 1 j)l´ım x→0 r)x→5 3x3 − 4 l´ım x2 − 25 x2 − 5x l)l´ım x→−3 t)x→1 l´ım x4 − 6x2 + 8x − 3 x4 − 2x3 + 2x − 1 n)l´ım x→2 x − 2 x2 − 4 − x2 − 4 x − 2 2.Ca)al x→∞ x2 − 6x + 8 x2 − 2 o) l´ım x→−∞ x→∞ x5 − 1 x7 − 1 q)l´ım x→∞ 2x3 − 3x + 5 x→2 s x2 + x − 6 x2 − 3x + 2 s)l´ım d)l´ım x→2 x − 2 x + 3 · 1 x2 − 5x + 6 e) x→∞ √x + 8 − √2x + 7 √x + 3 − √3x + 1 l´ım x2 + 4 1 − x · x + 3 x2 u)l´ım f)l´ım x→0 x5 − 7x3 + 2x2 3x4 + 6x2 ulalossiguienteslímites: l´ım x→0 g)x 1 − √x + 1 l´ım b)l´ım 3.Ca)al x→3 (√x + 3 − √x + 2) √x + 1 − 2 x − 3 ) l´ım x→+∞ p x2 + 1 − x x→1 x→+∞ p x2 + 1 − p x2 − 1 x→∞ p x3 − x2 + 1 − p x3 − x ( e)x→∞ √4x2 − 7 − √4x + 1 √2x + 5 − √x + 7 l´ım p x2 − 2 − x) h)l´ım x→∞ ulalossiguienteslímites: l´ım x→∞ 2√x2 + x + 3 √3 x3 − 1 4x2 − 4x b)l´ım 25 x→∞ √2x + 1 − √x + 1 √x2 + 4 − √x + 4 √4x4 + 2 + 3√x2 + x √2x2 − x + 1 + √x4 − 1 )l´ım x→∞ x√x2 − 1 + x2 √x4 − 4 + 2 d)l´ım x→2 x→1 √x2 − 1 − √x − 1 √x + 3 − √2x + 2 f)l´ım x→0
  26. 26. 4.aC)al ulalossiguienteslímites: l´ım x→±∞ e) 4x + 1 x l´ım g)2x x−1 l´ım x b)l´ım x→∞ 4x + 1 2x2 x2 )l´ım x→∞ x − 2 x + 1 2x d)l´ım i) x→∞ x+5 l´ım x2 + 1 x2 − 2 5.aC)al x→∞ x s x + 1 x − 1 !x f)l´ım x→1 2 x + 1 1 d)x→∞ l´ım 2x + 1 2x − 3 1−x h) l´ım x→+∞ 3x + 2 x + 1 6.aC)al x→+∞ log x2 3x + 1 5x − 3 x+3 j)l´ım x→∞ ln x + 1 x ulalossiguienteslímites: l´ım log1/2(x) + log2 x→+∞ f(x) f) l´ım 1 k)Lase ua ionesdelasasíntotas g)x h)i)j)f(x) f(0) f(−1) Dom(f) Im(f) b)l´ım x→0+ log1/2(x) + log2 1 x )l´ım x→0 ln x2 + x x x→1+ log1/2(x − 1) + 2x + 1 x + 1 e)l´ım x→∞ ln x + 1 x x f)l´ım x→1 ula: l´ım x→−∞ f(x) b)l´ım x→−2 f(x) )l´ım x→−1 f(x) d)l´ım x→0 f(x) e)l´ım x→2 x→+∞ 1 7.Ca)al ularlossiguienteslímitesenlospuntosenqueseindi an: f(x) = 8.Hala enx = 0 l´ım x + 1 six ≥ 0 −x + 1 x 0 enx = 0 b)f(x) =   x2 six 2 0 x = 2 x + 2 six 2 enx = 2 )f(x) =   2 six 3 x − 1 3 ≤ x 5 −x − 3 six ≥ 5 enx = 3 yx = 5 d)f(x) =   x2 + 1 x + 2 six ≥ 0 3x + 2 six 0 x→1 f(x),l´ım x→2 f(x),l´ım x→+∞ f(x) yl´ım x→−∞ f(x),siendo:f(x) =   3x − 5 six ≤ 1 x2 − 1 x2 − 3x six 1 26
  27. 27. 9.Halal´ım six ≥ 1 10.Halak Paraquel´ım 3 7 11.Cal ulalasasíntotasdelassiguientesfun iones aas)íntota: yestudialaposi x→0 ióndelagrá a onrespe toala f(x) = f(x),l´ım x→1 f(x),l´ım x→+∞ f(x) yl´ım x→−∞ f(x),siendo:f(x) =   x2 − 1 2x − 2 six 1 √x + 1 2 x→2 x3 − 4x2 − x + 4 3x3 + kx2 + 2x − 2 = − 2x2 − 8 x2 + x − 6 b)f(x) = x x2 − 4 )f(x) = x3 + x2 + x + 1 −x2 + x + 2 d)f(x) = arctan x e)f(x) = 1 ),tamente re y ienteen1 + ex y(−∞, 1) Rec(f) = (−∞, 4] f(x) 0∀x 2f(x) ≤ 0∀x 2 6∃ l´ım f)f(x) = 3 x − e−x g)f(x) = 2x2 x2 − 4 h)f(x) = 2x 13.Clasi alospuntosdondesondis ontinuaslasfun x2 + 2x iones: + 1 f(x) i)f(x) = 3 ex 12.Raep)resentagrá amentefun ionesquesatisfaganlassiguientes ondi iones: l´ım x→2 f(x) = −2,f(2) = 5,Dom(f) = R yRec(f) = (−2,+∞) b)l´ım a) x→1 b) 14.Sedenelafun iónporlaexpresión:f(x) = f(x) = 4,f estri x→2 1 1 PSfragrepla ements   0 six ∈ Z siamenteyde ir 1 x /∈ Z f(x) = 15.eDnadqauélapufunnt oisónesdis ontinua. .Representarlagrá oodnetinf.uaenalgúnp.uSnetop?ide: x = 2 lafun x2 − 4 x − 2 a b)))ED¾Enosmdinisi iónnoestádenida.¾Esposibledenirf enx = 2 16.Sealarefsuunlt aiónntesea ontinuaentodalare tareal? demodoquelafun ión f(x) = x2 − 3 six 2 x − 1 2 ≤ x ≤ 4 2x + 3 si4 x a)Cal ulareldominiode . fb)Cal ular . l´ım   x→3 f(x),l´ım x→2 f(x) yl´ım x→4 f(x).27
  28. 28. 17.Est)udLioa laali zoanltoisnupiudnatdosdedeladfius no niótinn:uidad. 2 six ≤ 0 x + 2 0 ≤ x 3 x2 − 9 six 3 18.aER)setpurdeisaénltaa laongtriánu idamadendtee.lassiguientesfun f(x) = iones lasi andolasdis ontinuidades: f(x) =   e) sie1/x x6= 0 0 x = 0 f(x) = x + 1 six ≥ 0 x − 1 x 0 b)f(x) =   3 − x2 2 six ≤ 1 1 x six 1 )f(x) =   x + 1 six 3 x2 3 ≤ x 4 0 six 4 d)f(x) =   ex 1 − ex six 0 x2 + 1 six ≥ 0 f)f(x) = ( |3 − x| six ≤ 5 ln e2 six 5 19.Lafun iónf(x) = x2 − 1 x − 1 noestádenidaenx = 1.Halak demodoquelafun ión f(x) =   x2 − 1 x − 1 six6= 1 k six = 1 sea ontinua. 20.Ídemparalafun iónf(x) = ontinuaenx = 122.qCuaél tuilpaordelevdailso rondteinuidadpresentaendi ar a yb a) paraquelassiguientesfun   x2 + 3x x − 1 six 1 k six = 1 2x + 3 x 1 21.Probarquelafun iónf(x) = x2 − 1 23.Coan)struyegrá x2 + 7x − 8 sieax x ≤ 0 x2 + bx + c x 0 ,parax6= 1,f(1) = 34,noes hopunto. ,eindi ionessean ontinuas? f(x) = x + 1 six ≤ 1 3 − ax2 x 1 b)f(x) = x2 + ax six ≤ 2 a − x2 x 2 )f(x) = b) f(x) = 2; f−1(0) = {0, 2} Dom(f) = R − {0, 2}; Rec(f) = [−∞, 0) ∪ {1} ∪ (3,+∞); l´ım eax six ≤ 0 x + 2a x 0 d)f(x) = asque umplanlassiguientes ondi iones: Dom(f) = R; Rec(f) = [−1,+∞); l´ım f(x) = 1 24.aE)studiala ontinuidaddelassiguientesfun f(x) = 3; l´ım x→−∞ iones lasi x→+∞ andolasdis ontinuidades: f(x) = f(x) = +∞; f(3) = 3; l´ım x→3 28 f(x) = 0; x→−∞ 2x2 − 5x + 2 l´ım x→+∞ f(x) = 1 l´ım x→0 f(x) = ∞; l´ım x→2− f(x) = 3; l´ım x→2+ x + 1 x2 + 1 b)f(x) = |x| x )f(x) = 3x + 5
  29. 29. d)f(x) = √x − 5 e)f(x) = x3 + 5x − 3 f)f(x) = |x − 1| + |x − 4| g)f(x) = j)k)h)i)1 f(x) = ln(1 cos x) f(x) = ln(1 + ex) 2 − ln x − f(x) = sen(x2 + 2) f(x) = arctan 1 x l)f(x) = cos(sen x2) 29
  30. 30. SÁulmgeabradelímites Produ l´ım f(to x) L L x→a +∞ −∞ +∞ l´ım g(x) M x→a ±∞ +∞ −∞ −∞ l´ım (f(x) + g(x)) L +M L ±∞ = ±∞ +∞+∞ = +∞ −∞−∞ = −∞ ∞−∞ =? x→a Co liente ´ım f(x) L L= 60 ∞ 0 x→a l´ım g(x) M x→a ∞ ∞ ∞ l´ım (f(x) · g(x)) L ·M L ·∞ = ∞ ∞·∞ = ∞ 0 ·∞ =? x→a Poten l´ım f(x) L L6= 0 L x→a ∞ 0 ∞ l´ım g(x) M6= 0 0 ∞ M 0 x→a ∞ f(ia x) L L L 0 l´ım = ∞ = 0 ∞ = ∞ =? x→a g(x) M 0 ∞ M 0 ∞∞ =? l´ım x→a f(x) L L6= 0, 1 L6= 0, 1 0 l´ım x→a g(x) M +∞ −∞ M6= 0 l´ım x→a f(x)g(x) LM L+∞ = +∞ siL 1 0 0 L 1 L−∞ = 0 siL 1 +∞ 0 L 1 0M = 0 siM 0 +∞ M 0 l´ım x→a f(x) 0 0 +∞ +∞ +∞ l´ım x→a g(x) +∞ −∞ M +∞ −∞ l´ım x→a f(x)g(x) 0+∞ = 0 0−∞ = +∞ (+∞)M = +∞ siM 0 0 M 0 (+∞)+∞ = +∞ (+∞)−∞ = 0 l´ım x→a f(x) 0 +∞ 1 l´ım x→a g(x) 0 0 ∞ l´ım x→a f(x)g(x) 00 =? (+∞)0 =? 1∞ =? 30
  31. 31. ITnetmraod7u iónal ál ulodiferen ial. Derivadas 7.11..ApDli eandnoil aidóenni dióenddeedreriivvaaddaadeunafun iónenunpunto, al ulaladerivadaenx = 3 lafun ión para f(x) = 5x2 − x + 22.Cal ula,laderivadade . f(x) = x2 enx = 33.Demuestra,apli andoladeni ióndederiv.ada,quesif(x) = x3,enton esf′(2) = 124.faCu)anl iuolnaemseednialonstepluandtoesnqiu eiósnedienddie raivna:dadeunafun b)iónenunpunto,lasderivadasde.lassiguientes f(x) = −3; f′(2) f(x) = − )f(x) = 3x2 − 2x + 2; f′(−1) d)f(x) = (2x − 1)2; f′(2) e)f(x) = √x + 3; f′(6) f)f(x) = 7.25..Ea)sCtfu(doxi)na=tl|axi|n g)ountiidnuaiddadyyddereivraibviblai)dbadildiedlaasdsiguientesfun h)5 ; f′(1) x ; f′(0) f(x) = ln(x + 1); f′(1) f(x) = ln x; f′(2) iones: 2 f(x) = √3 x x2 + 1 d))f(x) = x|x| f(x) = −x2 six 0 x2 0 ≤ x ≤ 3 6x six 3 6.Doa,)iesnis oansodnereigvaatbivleos,ldais fuuánn itoonveaslesingulaiesndteesrivenadlaosslpautnertaolsesq.ueseindi an.Daelvalordeladerivada f(x) = x2 − 2x six ≤ 1 x − 2 x 1 e)f(x) =   3x − 1 six 2 x2 − x + 3 x ≥ 2 b)enx = 2 f(x) = x2 − 1 six ≤ 1 2x − 2 x 1 enx = 1 )f(x) = 3x − 2 six ≤ 1 x2 x 1 enx = 1 d)f(x) = |x2 − x − 6| enx = −2 yx = 3 7.Cal ulaa yb a) paraquelafun iónseaderivableentodo: R f(x) = ax2 + b si x ≤ 2 x2 − bx − 4 si x 2 b)f(x) = 31 ax + 5 si x ≤ 2 bx2 + x − 1 si x 2
  32. 32. ) ax + 4 si x ≤ 1 bx2 + x − 3 si x 1 d) a/x si x 1 x2 + bx si x ≤ 1 e) 2ax + 4 si x ≤ 2 b/x si x 2 8.Estudialaderivabilidaddelafun iónf : R −→ R denidapor: 2x + a si0 ≤ x 1 x2 + b 1 ≤ x 3 6x + c six ≥ 3 a)Estudiasies ontinuaen7.310..Ca)abFl) f(x) = uuElnast luaidsoiafunsnie eisosnddeesreidvreairbvivleaadpdaasaradseesloassvsaipglaourriaeens.te,y. [0,b)+∞)a=s:1b = 2 c = 3f(x) = x4 f(x) = x−2   x 1 − |x| six6= −1 yx6= 1 0 six = −1 ox = 1 9.Sealafun iónf : [0,+∞) −→ R denidapor: f(x) =   )f(x) = √3 x2 d)f(x) = 2x4 − 3x3 + x2 − 7 e)f(x) = 6x3 + 5x2 − 1 f)f(x) = 5x4 + 2x2 − 5x g)f(x) = m)o)n)k)ñ)l)1 x5 2 + 5 3 x−3 f(x) = (x2 − 1)(x3 + 3x) f(x) = (x3 + 1)(x + 2) f(x) = (x2 − 3)(x2 + x − 1) f(x) = (2x3 + 3)x−2 f(x) = x−4(x + 2) f(x) = x3 − 8x h)f(x) = 3x−2 + 1 x i)f(x) = 1 x2 + x−3 + 2x−1 j)f(x) = 4x−4 + 2x−2 + 1 3 x3 − 3 5 p)f(x) = 1 x2 − 2x + 1 q)f(x) = x2 − 2 x3 + 3x2 r)f(x) = g)2x + 1 2x − 1 h)i) −2 f(x) = (x2 − 3)5 f(x) = (e2x + 3)4 f(x) = s)f(x) = x3 x − 3 t)f(x) = x2 − 1 x + 4 11.Ca)al ulalasfun ionesderivadasdelassiguientesfun iones: f(x) = x · 4x b)f(x) = sen x + cos x )f(x) = sen x + 2ex d)f(x) = 3x · ln x e)f(x) = (2x3 + x)4 f)f(x) = j)o)m)k)n)p)q)ñ)l) 1 x−2 + x ex x f(x) = x2 · 2x · a2x f(x) = sen 4x f(x) = sen4 x f(x) = sen x4 f(x) = tg 2x2 f(x) = ln(cos 2x) f(x) = arc tg√x f(x) = ecos x f(x) = ln 12.Ca)al r)t)1 − x 1 + x f(x) = f(x) = ln(tg(1 − 2x) )r 32 f(x) = (sen x)x ulalasfun r ionesderivadasutilizandoladeriva iónlogarítmi a: 1 + sen x b)1 − sen x f(x) = xx f(x) = (√x)√x s)f(x) = ln cos x2 2
  33. 33. d)f(x) = (ln x)lnx e)f(x) = (√x)tg x f)f(x) = (tg x)√x g)f(x) = (cos x)sen 2x h)f(x) = 14.aO)bténlasderivadasn-ésimasdelassiguientesfun ) 1 x + d)x f(x) = sen 3x f 10)(x) f(x) = ln(x + 2) f 5)(x) x i)f(x) =

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