BLOQUE 1 BACHILLERATO 
Ejercicio nº 1.- 
Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 
a) log5125 
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b) log 
c)...
 
 
+ -  
 
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Solución: 
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log 4 + log 3 - ln = log + log - ln = + - 0 
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Ejercicio nº 3.-...
( x ) 2 8 
3 - 3 x × 3 + = 
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Hacemos el cambio 3x = y : 
y 2 - 3y + = ® y 2 - y + = 
0 9 27 8 0 
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 
  
 
...
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos 
inecuaciones, es decir: 
{x > 1 y x £ 2} = {x / 1 < x £ 2...
Ejercicio nº 6.- 
Resuelve e interpreta gráficamente la siguiente inecuación: 
x2 - 4 £ 0 
Solución: 
   
= - 
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Logaritmos e inecuaciones 1ºbach ccss (resueltos)

  1. 1. BLOQUE 1 BACHILLERATO Ejercicio nº 1.- Calcula, utilizando la definición de logaritmo: a) log5125 1 1 000 b) log c) log2 2 Solución: a) 125 53 3 5 5 log = log = b) log = log -3 = - 10 3 1 1 000 1 2 1 2 2 log = log = c) 2 2 2 Ejercicio nº 3.- Sabiendo que log 3 = 0,48, calcula (sin utilizar la calculadora) el logaritmo (en base 10) de cada uno de estos números: a) 30 b) 9 c) 5 9 Solución: a) log30 = log (3 ×10) = log 3 + log10 = 0,48 +1= 1,48 b) log 9 = log 32 = 2log 3 = 2×0,48 = 0,96 c) log 5 9 = log 32 5 = log = × = 0,48 0,192 2 5 3 2 5 Ejercicio nº 1.- Teniendo en cuenta la definición de logaritmo, halla el valor de x en cada caso: a) log2x = 5 b) logx 27 = 3 Solución: a) 5 25 32 log2x = ® = x ® x = b) log 27 = 3 ® x3 = 27 ® x = 3 x Ejercicio nº 3.- Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión, utilizando las propiedades de los logaritmos: log4 1 3log2 + log5 + log - 25 Solución: 1 1 3log 2 log 5 log log log 3 log log log + + - = + + - 4 = 25 4 2 5 25 log 8 log 5 log log log = log = - , 0 40 2 5 8 5 25 4 4 1 25 × = + + - = × Ejercicio nº 5.- Halla las soluciones del sistema:    - = x y - = 1 9 log x log y Solución:    = + x y =    = + x y = x y  =   = +    - = x y 9 - = 9 x y x y x y log log x log y 10 9 10 1 9 1 9 + y = 10y ® 9 = 9y ® y = 1 ® x = 10 Hay una solución: x = 10; y = 1 Ejercicio nº 1.- Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
  2. 2.   + -   1 2 log7 343 log2 32 log1 2 Solución: 9 2 1 5 2 3 1 2 log + log - log log 7 log 2 log 1   1 2 2 343 32 1 2 2 5 2 3   7 2 7 = - + =   - + =   Ejercicio nº 3.- Si ln k =0,7, calcula el valor de la siguiente expresión: ( 2 ) 3 10 10 ln k k ln + Solución: + ( 2 )= 3 - + + 2 = 3 10 10 10 10 ln k ln k ln ln lnk k ln 7 1 = lnk + lnk = ln k + ln k = ln k = 3 2 3 1 3 2 7 = × , = , 0 7 1 63 3 Ejercicio nº 5.- Resuelve:    x - 2 y = 0 2 x 2 y 6 + = Solución: (2 ) 2 6 - = y y x y y y x y x y 2 0 2 2 2 2 6 2 2 6    2 + = + = =    + = Hacemos el cambio: 2y = z 2 z  = -   = = - ± ® - ± = - ± + + - = ® = 3 1 5 2 1 25 2 1 1 24 2 2 6 0 z z z z · z = 2 ® 2y = 2 ® y = 1 ® x = 2 · z = -3 ® 2y = -3 ® no válida Hay una solución: x = 2; y = 1 Ejercicio nº 1.- Halla el valor de x en cada caso, utilizando la definición de logaritmo: a) log232 = x b) log3x = 3 Solución: a) 32 2 32 5 2 log = x ® x = ® x = b) 3 33 27 3 log x = ® = x ® x = Ejercicio nº 3.- Sabiendo que log 7 = 0,85, calcula (sin utilizar la calculadora): a) log 700 b) log 49 c) log 3 7 Solución: a) log 700 = log (7 ×100) = log 7 + log 100 = 0,85 + 2 = 2,85 b) log 49 = log 72 = 2log 7 = 2×0,85 = 1,7 c) log 3 7 = log 71 3 = log = × , = , 0 85 0 28 1 3 7 1 3 Ejercicio nº 1.- Halla el valor de la siguiente expresión, utilizando la definición de logaritmo: 16 5 81 1 4 3 log + log - ln
  3. 3. Solución: 14 5 log 4 + log 3 - ln = log + log - ln = + - 0 = 4 5 4 16 81 1 4 3 5 1 2 3 2 4 5 Ejercicio nº 3.- Si sabemos que log k = 0,9, calcula: log ( k ) k 3 - log 100 100 Solución: - log ( k )= log k - log - (log + log k )= k log 100 100 100 100 3 3 = 3log k - log100 - log100 - log k1 2 = 5 = 3log k - 2log100 - log k = log k - 2 log 100 = 2 1 2 5 = × , - × = , - = - , 0 9 2 2 2 25 4 1 75 2 Ejercicio nº 1.- Calcula, utilizando la definición de logaritmo:    + -  1 2 log7 343 log2 32 log1 2 Solución: 9 2 1 5 2 3 1 2 log + log - log log 7 log 2 log 1   1 2 2 343 32 1 2 2 5 2 3   7 2 7 = - + =   - + =   Ejercicio nº 3.- Sabiendo que log 3 = 0,48, calcula (sin utilizar la calculadora) el logaritmo (en base 10) de cada uno de estos números: a) 30 b) 9 c) 5 9 Solución: a) log30 = log (3 ×10) = log 3 + log10 = 0,48 +1= 1,48 b) log 9 = log 32 = 2log 3 = 2×0,48 = 0,96 c) log 5 9 = log 32 5 = log = × = 0,48 0,192 2 5 3 2 5 Ejercicio nº 2 Resuelve las siguientes ecuaciones 1 ( 1) 1 2 - + x x b) 2 1 1 3 3 1 3 3 3 - + - + - + = ® x x x = x x2 - x +1- x -1= -1® x2 - 2x +1= 0 1 2 2 2 4 4 2 = = ± - x = Hay una única solución: x = 1 b) log (x +1)- log (3x - 2) = 1 + x x = ® + 1 = ® + = - 10 1 10(3 2) 1 x 3 2 1 x 3 2 - - x x log 21 29 x +1= 30x - 20 ® 21= 29x ® x = b) 2x-1 + 2x+1 - 3 × 2x + 4 = 0 x 2 + x × - × x + = 2 2 3 2 4 0 2 Hacemos el cambio: 2x = y 2 3 4 0 2 + y - y + = y y + 4y - 6y + 8 = 0 ® - y + 8 = 0 ® y = 8 2 = 8 ® x = 3 x 0 8 b) 32x - 3x+1 + = 9
  4. 4. ( x ) 2 8 3 - 3 x × 3 + = 0 9 Hacemos el cambio 3x = y : y 2 - 3y + = ® y 2 - y + = 0 9 27 8 0 8 9     48 = = 6 = = = ± ® ± = ± - = 8 1 3 18 3 18 27 21 18 27 441 18 27 729 288 18 y y y 3 3 · y = ® x = ® x = = - = - = 1 0,89 log8 log3 log 8 1 8 3 log 8 3 3 8 3 1 1 · y = ® 3 x = ® x = - 1 3 3 Hay dos soluciones: x1 = -1; x2 = 0,89 b) 2ln (x +1)- ln(2x) = ln 2 ( 1) (2 ) 2 2 ln x + - ln x = ln ( ) ( ) 2 1 2 2 + = ® + = 2 1 2 2 x x ln x x ln (x +1)2 = 4x ® x2 + 2x +1= 4x ® x2 - 2x +1= 0 1 2 2 2 4 4 2 = = ± - x = Hay una única solución: x = 1 b) log (x +1)- log (3x - 2) = 1 + x x = ® + 1 = ® + = - 10 1 10(3 2) 1 x 3 2 1 x 3 2 - - x x log 21 29 x +1= 30x - 20 ® 21= 29x ® x = Ejercicio nº 6.- Resuelve e interpreta gráficamente la siguiente inecuación: x2 - 4 £ 0 Solución:    = - = - = ® = ® = ± ® 2 2 2 4 0 2 4 4 x x x x x La parábola y = x2 - 4 corta al eje X en x = -2 y en x = 2. En el intervalo [-2, 2] toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [-2, 2]: Ejercicio nº 6.- Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: ( ) ( )    - - < 3 1 9 0 1 2 x 1 0 x + - £ Solución: 1 - ( 2 - 1 ) < 0 1 - 2 + 1 < 0 - 2 < - 2 > 1 3 ( 1 ) 9 0 3 3 9 0 3 6 2 £    £    + - £    + - £ x x x x x x x x
  5. 5. Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: {x > 1 y x £ 2} = {x / 1 < x £ 2} = (1, 2] Ejercicio nº 6.- Resuelve e interpreta gráficamente: 2x - 3 < 5 Solución: · Resolvemos la inecuación: 2x - 3 < 5 ® 2x < 8 ® x < 4 Soluciones: {x /x < 4 } = ( - ¥, 4) · La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 4, la recta y = 2x - 3 queda por debajo de la recta y = 5; es decir, 2x - 3 < 5: Ejercicio nº 6.- Resuelve el sistema de inecuaciones: ( - ) + £   ( )  3 2 7 4 x - < x 2 1 4 Solución: 3 ( x - 2 ) + 7 £ 4 3 x - 6 + 7 £ 4 3 x 3 £ 1 2 ( 1 ) 4 2 2 4 2 6 3 <    < £    - <    - < x x x x x Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: {x £ 1 y x < 3} = {x / x £ 1} = (- ¥, 1] Ejercicio nº 6.- Resuelve e interpreta gráficamente esta inecuación: -3x + 1 > -5 Solución: · Resolvemos la inecuación: -3x + 1 > -5 ® - 3x > -6 ® 3x < 6 ® x < 2 Soluciones: {x / x < 2 }= ( - ¥, 2) · La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 2, la recta y = -3x + 1, va por encima de la recta y = -5; es decir, -3x +1>-5:
  6. 6. Ejercicio nº 6.- Resuelve e interpreta gráficamente la siguiente inecuación: x2 - 4 £ 0 Solución:    = - = - = ® = ® = ± ® 2 2 2 4 0 2 4 4 x x x x x La parábola y = x2 - 4 corta al eje X en x = -2 y en x = 2. En el intervalo [-2, 2] toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [-2, 2]:

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