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Compuertas LógicasLas compuertas lógicas son dispositivos que operan conaquellos estados lógicos en la lógica positiva y n...
 Inductiva: es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se     puede asegurar que la concl...
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Algebra booleana.laura Alejandra Carrera

  1. 1. Algebra Booleana Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero).Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce unsolo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas yproduce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí sepueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana amenudo emplea los siguientes postulados:  Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.  Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.  Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.  Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.  Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.  Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A. Circuitos en la Algebra Booleana:El uso de circuitos en el diseño y simplificación de relés que se utilizan en los complejoscircuitos q forman las computadoras digitales, permite simplificar las conexiones físicasreduciendo el hardware y consiguientemente el espacio necesario para alojarlo.  Circuitos digitales:La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, dehecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicosde compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuitoelectrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadoresAND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstosoperadores utilizando las compuertas lógicas homónimas. Un hecho interesante es que esposible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es lacompuerta NAND. Para probar que podemos construir cualquier función booleanautilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT),una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como sedijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadoresbooleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas lasdos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir unaLaura Alejandra Carrera Alvarado C.I.21.459.686 Página 1
  2. 2. compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo,NOT (NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren doscompuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitosimplementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que esposible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR,esto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en trespasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y porúltimo se niega la totalidad de la expresión:A OR BA AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorganA AND B.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan(A AND B)..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan(A AND B) = A NAND B.....Definición de OR utilizando NAND.  Circuitos Combínales:Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR,NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una función lógicaindividual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, esmuy importante recordar éste hecho, cada salida representa una función booleana diferente.Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata deun circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se deben iluminarpara representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se debenimplementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas paracada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango de 0 a9. Sea Del bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada función lógica debeproducir un uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal segmento en particulardebe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y1000.En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor de entrada,tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el rango de 0 a 9, los decodificadorespara las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad para desplegar valoresadicionales que corresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sinembargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aquí representada paralos valores numéricos.Laura Alejandra Carrera Alvarado C.I.21.459.686 Página 2
  3. 3. 0 a b c d e f1 b c2 a b d e g3 a b c d g4 b c f g5 a c d f g6 c d e f g7 a b c8 a b c d e f g9 a b c f gLos circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cómputobásico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas otrasaplicaciones más.  Circuitos Secuenciales:Un problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría, todas las funciones desalida en un circuito combinacional dependen del estado actual de los valores de entrada, cualquiercambio en los valores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado retardo depropagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para"recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es el dominio de la lógica secuencial. Una celda dememoria es un circuito electrónico que recuerda un valor de entrada después que dicho valor hadesaparecido. La unidad de memoria más básica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bitsencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordar un grupo de bits,ésto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre deregistro. A partir de aquí es posible implementar diferentes circuitos como registros de corrimiento ycontadores, éstos últimos también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementosmencionados es posible construir un microprocesador completo.Laura Alejandra Carrera Alvarado C.I.21.459.686 Página 3
  4. 4. Compuertas LógicasLas compuertas lógicas son dispositivos que operan conaquellos estados lógicos en la lógica positiva y negativa () yfuncionan igual que una calculadora, de un lado ingresas losdatos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra elresultado.Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y la operación querealiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamada Tabla de Verdad, las básicas son:  Compuerta NOTSe trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; sipones su entrada a 1 (nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo),y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operaciónlógica es igual a invertida.  Compuerta ANDUna compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógicaes un producto entre ambas, no es un producto aritmético, aunque en estecaso coincidan. Observa que su salida será alta si sus dos entradas están anivel alto.  Compuerta ORAl igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operaciónlógica, será una suma entre ambas. Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 =1, el tema es que se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o b*Esdecir, basta que una de ellas sea 1 para que su salida sea también 1.  Compuerta OR-EX o XOREs OR Exclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo quehará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida porb.*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1 Inferencia LógicaEs la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.Unargumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresionesconocidas y de ellas se desprende una conclusión. Una inferencia puede ser: Inductiva,deductiva, transductiva y abductiva.Laura Alejandra Carrera Alvarado C.I.21.459.686 Página 4
  5. 5.  Inductiva: es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se puede asegurar que la conclusión sea verdadera en general.  Deductiva: Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluímos que el día de hoy que está lloviendo hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es. En este caso se encuentran MPP: Modus Ponendo Ponens y MTT: Modus Tollendo Tollens que de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos formas de establecer una inferencia válida. La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en matemáticas y computación para hacer comprobaciones y sacar conclusiones. El tema se discute en forma detallada más delante en INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL.  Transductiva: con el mismo caso del maestro que llega tarde durante los primeros días y concluímos que el lunes siguiente también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos ha mentido y concluímos que lo que nos dice es ese momento es mentira. El anterior sería de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplo de un compañero maestro que la primera vez que impartió matemáticas discretas observó que todos los alumnos estudiaban, concluyó que para el siguiente semestre todos los alumnos iban a estudiar. Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusión es verdadera.  Abductiva: es semejante a la deductiva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más información para poder verificar la validez.Se llama inferencia lógica a la aplicación de una regla de transformación que permite transformaruna fórmula o expresión bien formada (EBF) de un sistema formal en otra EBF como teorema delmismo sistema. Ambas expresiones se relacionan mediante una relación de equivalencia, es decir,que ambas tienen los mismos valores de verdad o, dicho de otra forma, la verdad de una complica laverdad de la otra. Podría transformarse en: YDonde ;Laura Alejandra Carrera Alvarado C.I.21.459.686 Página 5

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