Resistencia de materiales: Estados tensionales

Universidad
Tecnologica
Nacional
Facultad
Regional
Ing. CIVIL
Santa Fe

TEORÍA
RESISTENCIA DE MATERIALES

ESTADOS
TENSIONALES
y β
R ρy
ρ n
σ
τ τzx ϕ α
σz
τxz γ
σy
τzy
ρx
τxy ρ z A
τyz S x
τyx
T σy
z

Profesor Titular:

Ing. Hugo A. Tosone

Marzo de 2010

ESTADOS TENSIONALES

CONTENIDOS

Concepto de tensión en un punto interior de un sólido sometido a carga.
Estado de tensión, clasificación: estado simple, doble y triple.
Estado triple de tensiones.
Componentes de la tensión.
Tensiones en un plano inclinado genérico.
Equilibrio del tetraedro elemental.
Tensiones normal y de corte en el plano inclinado.
Tensiones y planos principales.
Tensión de corte máxima. Tensiones octaédricas.
Estado doble, biaxial o plano.
Tensión normal máxima.
Tensión de corte máxima.
Representación gráfica de Mohr. Procedimiento para dibujarlo.
Círculo de Mohr para tensiones principales.
Ejemplo de aplicación para estado triple de tensiones.

BIBLIOGRAFÍA
E. Fliess Estabilidad II
Ortiz Berrocal. Resistencia de Materiales. Teoría de la Elasticidad.
Beer y Johnston, Jr Mecánica de Materiales. Ed. Mc Graw Hill
Timoshenko S. Resistencia de Materiales, Tomo I.
Feodosiev V. I. Resistencia de Materiales. Editorial MIR
Stiopin P. A. Resistencia de Materiales. Editorial MIR.

RESISTENCIA DE MATERIALES ESTADOS TENSIONALES

ESTADOS TENSIONALES
CONCEPTO DE TENSION P1 P2
π
Sea un cuerpo sólido continuo, isótropo y
homogéneo, solicitado por un sistema de fuerzas
exteriores en equilibrio, en el que se considera al
∆F ∆P
punto interior A y a un plano π, que cortando
imaginariamente al sólido pase por el punto A.
Pi A P3
En los alrededores de A se define una pequeña
superficie de área ∆F. Si la fuerza que actúa sobre
∆F es ∆P, entonces se define “tensión absoluta” ρ
Pn
en el punto A para dicho plano π del siguiente
modo: fig.1
∆P dP
ρ = lím =
∆F → 0 ∆ F dF [1]
Si se cambia la posición del plano π de tal modo que siga conteniendo al punto A, se
obtiene en general otro valor para la tensión ρ.

ESTADO DE TENSIÓN - CLASIFICACIÓN
Al conjunto de tensiones que se obtienen al considerar las infinitas posiciones posibles
del plano π se lo denomina estado de tensión en A .
A los estados de tensión se los clasifica en: simples, dobles y triples.
Estado simple: al estado se lo denomina simple cuando al variar la inclinación de π el
vector ρ se mantiene paralelo a una determinado recta.
Estado doble: al estado se lo denomina doble cuando al variar la inclinación del plano π
el vector ρ se mantiene paralelo a un determinado plano.
Estado triple: al estado se lo denomina triple cuando al variar la inclinación del plano π el
vector ρ se ubica en cualquier posición en el espacio.

COMPONENTES DE LAS TENSIONES y σy
Sea el paralelepípedo elemental de dimensiones dy
dx, dy, dz, ubicado en la vecindad de A. En cada cara τyx
τyz
del paralelepípedo actúan diferentes tensiones ρ que σz τxy
se consideran datos del problema. Cada una de ellas τxz τzy τzx
se puede descomponer en una que sea perpendicular σy σx
a la cara considerada (σ ), y otras dos contenidas en τxy τ zx τzy
τxz x
dicha cara (τ ) que poseen las direcciones de los ejes σz A dx
coordenados como se muestra en la fig. 2. Resultan τyz
las siguientes tensiones que hacen un total de 9 dz τyx
componentes: z σy
σx τ xy τxz fig. 2
σy τ yx τyz
σz τ zx τzy
Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pág. 1

Si se plantean ecuaciones de momento estático con respecto a cada uno de los 3 ejes
coordenados, se puede demostrar que:
τ xy = τ yx τ xz = τ zx τ yz = τ zy
A las tres expresiones resultantes se las conoce como ley de Cauchy
Quedan entonces solamente 6 componentes diferentes de la tensión:
σx σy σz τxy τyz τzx

TENSIONES EN UN PLANO INCLINADO GENERICO
El objetivo es hallar el estado de tensión en A, lo que requiere evaluar ρ para cualquier
posición genérica del plano π.
Se identificará la posición de π por medio de los cosenos directores de su normal “n”.
Si los ángulos que forma “n” con los ejes coordenados son α, β, γ, entonces es:
l = cos α m = cos β n = cos γ

Componentes de la tensión “ρ”
Al vector ρ se lo puede descomponer de dos
maneras: y β
1. En σ y τ (normal y rasante al plano π ) R ρy
2. En ρ x, ρ y, ρ z paralelas a los ejes ρ n
coordenados. τ σ
τzx ϕ α
γ
σz
Si se define a l área del triángulo TRS como τxz
unitaria (área TRS = 1), resulta entonces σy ρx
τzy
Area ATR = l τxy ρz A
τyz S x
Area AST = m
τ yx
T
σy
Area ARS = n z fig. 3
Equilibrio del tetraedro elemental
Partiendo de las tres ecuaciones de proyección sobre los ejes y considerando que:
ρx .1 = ρx ρy .1 = ρy ρz .1 = ρz resulta entonces:
ρx = σx . l + τ xy . m + τ xz . n
ρy = τ yx . l + σy . m + τ yz. . n
ρz = τ zx. l + τ zy . m + σz .. n
Las anteriores expresan la tensión ρ en función de los cosenos directores l, m, n

Tensiones normal y de corte en el plano inclinado
Proyectando las componentes ρ x, ρ y, ρ z sobre la dirección “n” se obtiene σ :



σ = ρx . l + ρy . m + ρz .n
Reemplazando las expresiones de ρ x , ρ y , ρ z resulta:
σ = σx . l 2 + σy . m2 + σz n2 + 2 (τ xy . l . m + τ xz . l . n + τ yz . m . n) [2]
La tensión de corte τ se obtiene del triángulo rectángulo (fig. 3) haciendo:

τ 2 = ρ 2 − σ 2 = ρx + ρ 2 + ρ z − σ 2
2
y
2
[3]
Alternativamente se puede también calcular σ y ρ proyectando al vector ρ sobre la normal
“n” y sobre el plano π respecti vamente:
σ = ρ . cos ϕ [4] τ = ρ .senϕ [5]
lo que exige calcular el ángulo ϕ comprendido entre las direcciones de “ρ ” y “n”.
Designando a los cosenos directores de ρ como: lρ , mρ , nρ, entonce haciendo el producto
escalar de los dos versores resulta:

cosf= l . lρ + mρ . m + nρ . n siendo: lρ = ρx mρ = ρy nρ = ρ z
ρ ρ ρ

con: ρ = ρx + ρ 2 + ρz
2
y
2
y finalmente: senϕ = 1 - cos2ϕ

TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALES
y
Como la tensión ρ varía al cambiar la orientación β
de la normal “n” por cambio de inclinación del plano n
R ρy
π, habrá entonces planos para los cuales ρ será
máxima o mínima. Para esas situaciones ρ tendrá
σi α
la dirección de “n” y no habrá tensión τ (recordar γ
que τ=ρ.sen ϕ).
ρz ρx
Para esos dos planos τ=0 y por la ley de Cauchy A S x
se sabe que son perpendiculares entre sí. Habrá
T
además un tercer plano perpendicular a ambos para
el que, por el mismo motivo, resulta τ=0 y en este z fig. 4
último también existirá solamente tensión normal.
Dicha tensión normal se denomina intermedia.
Hay entonces tres tensiones principales ( 1 > σ2 > σ3) actuando en planos para los
σ
cuales τ=0, siendo σ1 la máxima, σ2 la intermedia y σ3 la mínima.
Denominando genéricamente σi a cada tensión principal, sus cosenos directores serán
los de la normal “n” por coincidir con su dirección y en consecuencia:
ρx = σi . l ρy = σi . m ρz = σI . n
Pero esas mismas componentes de ρ se pueden expresar en función de los datos del
problema del modo visto, o sea:
ρx = σx . l + τ xy . m + τ xz . n
ρy = τ yx . l + σy . m + τ yz . n
ρz = τ zx . l + τ zy . m + σz . n


Por igualación de ambos grupos de ecuaciones, pasando todo a los primeros miembros y
sacando factores comunes se obtiene:
(σx - σi). l + τ xy. m + τ xz . n = 0
τyx . l + (σy - σi). m + τ yz . n = 0
τzx . l + τ zy. m + (σz - σi) . n = 0
En este sistema homogéneo de ecuaciones, para que l, m, n, tengan solución distinta
que la trivial (l = m = n = 0) deberá ser nulo el determinante de la matriz de los
coeficientes, o sea:
(σx - σi) τxy τxz
τyx (σy - σi) τyz = 0
τzx τzy (σz - σi)
Desarrollando y ordenando se obtiene finalmente el siguiente polinomio de tercer grado
en σ i:

σ 3 - σ i2 (σ x + σ y + σ z )
i

+ σ i ( σ x ⋅ σ y + σ y ⋅ σ z + σ z ⋅ σx − τ2 − τ2 − τ2 x )
xy yz z
[6]
− ( σx ⋅ σ y ⋅ σ z + 2. τ xy ⋅ τ yz ⋅ τ zx − τ2 ⋅ σ z − τ2 ⋅ σ x − τ2 x ⋅ σ y ) = 0
xy yz z

Este polinomio brinda siempre 3 raíces reales, cosa que se puede demostrar (ver
Estabilidad II, Enrique Fliess).

Resolviendo dicho polinomio se obtiene n finalmente σ1, σ2, σ3.

Casos particulares: a las seis componentes de la tensión se las puede agrupar en una
matriz de 3 x 3 denominada “tensor” o “matriz de tensiones”:

 σx τxy τxz 
 τyx σy τyz 
 τzx τzy σ 

 z

Si la matriz de tensiones (tensor) es incompleto , por faltar por ejemplo dos tensiones de
corte, entonces se puede desarrollar el determinante por los elementos de una línea y
dejar factorizado el resultado así obtenido, de modo que una de las raíces queda resuelta
inmediatamente. En dicho caso no es necesario resolver un polinomio de tercer grado,
puesto que queda una ecuación de segundo grado a la que se le aplica la conocida
resolvente.

Planos principales
Las tensiones σ1, σ2, σ3 actúan en 3 planos cuyos cosenos directores son:



l1 , m1 , n1 l2 , m2 , n2 l3 , m3 , n3
los que se pretende calcular.
Por ejemplo, para calcular l1 , m1 , n1 del plano donde actúa σ1, debe plantear:
(σx - σ1). l 1 + τ xy. m1 + τ xz . n1 = 0
τyx . l1 + (σy - σ1). m1 + τ yz . n1 = 0
τzx . l1 + τ zy. m1 + (σz - σ1) . n1 = 0
El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema anterior de ecuaciones es:
(σx - σi) τxy τxz
τyx (σy - σi) τyz = 0
τzx τzy (σz - σi)
Denominando ∆1, ∆2, ∆3 a las “menores“ correspondientes al desarrollo por la primera fila
del determinante de la matriz de los coeficientes, ellos son:

(σy -σ1 ) τyz τyx τyz τyx (σy - σ1 )
∆1 = ∆2 = ∆3 = [7]
τzy (σz- σ1 ) τzx (σz- σ1 ) τzx τzy
Dicho desarrollo por los elementos de la primera fila, teniendo en cuenta el signo según la
posición, resulta:

(σx − σ1 ) ⋅ ∆1 − τxy ⋅ ∆2 + τxz ⋅ ∆3 = 0
Comparando esta ecuación con la primera del sistema de 3 ecuaciones, surge que:
l1 m1 n1
=− = =K
∆1 ∆2 ∆3
de donde: l1 = K ⋅ ∆ 1 m 1 = -K ⋅ ∆ 2 n1 = K ⋅∆3
Elevando al cuadrado las 3 expresiones y sumando m. a m. se obtiene:

l1 + m12 + n12 = K 2 .( ∆1 + ∆2 + ∆3 )
2 2 2 2
pero: l 2 + m 12 + n1 = 1
1
2

1
Por lo tanto: K= y entonces:
∆ + ∆2 + ∆3
2
1
2 2

∆1 −∆2 ∆3
l1 = m1 = n1 = [8]
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2

Para calcular l2 , m2 , n2 se reemplaza la tensión principal σ2 en el determinante.
De modo similar se pueden calcular: l3 m3 n3.

Nota: tanto las tensiones principales como así también los planos principales, pueden ser
resueltos calculando los “autovalores” y los “autovectores” de la matriz de tensiones
(tensor). Para los planos principales se obtienen las componentes cartesianas de un
vector normal al plano correspondiente. Las calculadoras programables (manuales)
suelen tener esas dos funciones incorporadas en forma directa.



Tensión de corte máxima
Se puede demostrar que la máxima tensión de corte se produce en el plano bisector de
los dos planos a los que le corresponden la máxima tensión σ1 y la mínima tensión σ3.
Como se conocen las tensiones principales resulta sencillo calcular τmáx.
Cuando se analice el estado tensional doble , se demostrará como se evalúa τ máx.

σ1 − σ3
Utilizando entonces las tensiones extremas σ1, σ3 se obtiene : τ máx = [9]
2
σ1 +σ 3
Para el plano de la máxima tensión de corte, la tensión normal será: σ = [10]
2
En las fig. 5 se muestra un ejemplo cuyo círculo de Mohr se representa en la fig. 6.

σ1 > σ2 > σ3
y
σ3
τ τmáx
σ2
τm
σ1 áx σ1 σ3 σ2 σ1 σ

σ2
x σ
z −τ

fig. 5 σ3 fig. 6

TENSIONES OCTAEDRICAS
Se denominan así a las tensiones σ y τ que ocurren en y // σ2
las caras de un octaedro que se obtiene por medio de
planos que tienen sus 3 cosenos directores iguales en
relación al sistema de ejes coordenados de dirección
σ3
paralela a las tensiones principales σ 1, σ 2 y σ 3 . σ1
Partiendo de un prisma elemental sobre el que actúan x // σ1
solo las tensiones principales σ1, σ2, σ3 como datos del
problema, teniendo en cuenta que las tensiones de corte
son nulas y realizando el correspondiente análisis a partir z // σ3 σ2 fig. 7
de las expresiones de σ y τ con l=m=n se obtiene
finalmente: y
σ1 + σ2 + σ3 -z
σOCT = [11]
3 -x x
1
τOCT = ⋅ 2 ⋅ (σ1 + σ2 + σ3 )2 − 6 ⋅ (σ1 ⋅σ2 + σ2 ⋅ σ3 + σ3 ⋅σ1 )
3 z
-y
1
ó τOCT = ⋅ (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 [12] fig. 8
3


ESTADO TENSIONAL DOBLE, BIAXIAL O PLANO
Se ha definido estado tensional plano a aquel estado
para el cual al variar la posición del plano inclinado que y y

pasa por el punto en estudio, la tensión resultante ρ
τyx
cambia de posición pero se mantiene en un mismo
plano.
τxy
Sea el paralelepípedo elemental en las vecindades de σx σx
un punto “A”, aislado por medio de los planos paralelos a τxy A x
los planos coordenados y solicitado por un estado
z
τyx
tensional plano como el indicado en el croquis (fig. 9) al
que luego se lo secciona con un plano cualquiera
paralelo al eje z, cuya normal forme un ángulo α con el
σy
fig. 9
eje x (fig. 10).
Debido a que se trata de un estado plano en x-y, se y
puede suponer que el prisma triangular tiene un espesor a n
unitario en la dirección del eje z. al
Se denominará:
d ρy no
rm
ρ
ρ: tensión en el plano abcd. τxy α
ρx
ρx, ρy : componentes de ρ según los ejes x e y. σx A b x
Se admite que las tensiones se distribuyen τyx
uniformemente en la totalidad de cada área sobre las e 1
z c
σy
que actúan. Además se conviene que las tensiones de
corte se consideran positivas cuando sus sentidos son
contrarios a los del análisis del estado triple, figs. 9 y 10.
fig. 10
El equilibrio del prisma elemental de caras triangulares
exige que sean nulas las sumas de las dos proyecciones de las fuerzas que actúan sobre
el mismo.
Dichas proyecciones según las direcciones de los ejes y
α n
coordenados x e y son: a
ΣX = 0 ΣY = 0 ρy ρ
τxy
ΣX = ρx ⋅ ab ⋅ 1 − σx ⋅ ab ⋅1⋅ cos α + τyx ⋅ ab ⋅1 ⋅ sen α = 0 α
ρx
σx
ΣY = ρy ⋅ ab ⋅ 1− σy ⋅ ab ⋅1⋅ sen α + τxy ⋅ ab ⋅1⋅ cos α = 0
b x
A
τyx
Operando queda:
ρx = σx ⋅ cos α − τyx ⋅ sen α σy
ρy = σy ⋅ sen α − τxy ⋅ cos α fig. 11
Siendo σ y τ las componentes de la tensión resultante ρ según la dirección normal “n” y
según la dirección paralela al plano abcd, ellas podrán ser calculadas proyectando las
componentes ρ x y ρ y sobre dichas direcciones del siguiente modo:

σ = ρx ⋅ cos α + ρy ⋅ sen α
τ = ρx ⋅ sen α − ρy ⋅ cos α


Sustituyendo las expresiones de ρ x y ρ y se obtiene:
σ = σx ⋅ cos2 α − τxy ⋅ sen α ⋅ cos α + σy ⋅ sen2α − τxy ⋅ sen α ⋅ cos α
τ = σx ⋅ cos α ⋅ sen α − τxy ⋅ sen2 α − σy ⋅ sen α ⋅ cos α + τxy ⋅ cos2 α
operando resulta :
σ = σx ⋅ cos2 α + σy ⋅ sen2 α − 2 τxy ⋅ sen α ⋅ cos α
τ = ( σx − σy ) ⋅ cos α ⋅ sen α + τxy (cos2 α − sen2α)
quedando finalmente:

σ = σx ⋅ cos2 α + σy ⋅ sen2 α − τxy ⋅ sen 2α [13]
(σx − σy )
τ= ⋅ sen 2α + τxy cos 2 α [14]
2
TENSION NORMAL MÁXIMA
Resulta entonces que σ y τ son funciones del ángulo α , es decir, de la posición del
plano p . Para conocer los valores máximo y mínimo, así como la orientación de los
respectivos planos donde ellas ocurren se debe recurrir al concepto matemático de
máximo y mínimo de una función. El ángulo (variable independiente de la función) para el
que ocurre un máximo o un mínimo, se obtiene igualando a cero la primera derivada de la
función con respecto a dicha variable .
Derivando con respecto a α se obtiene:

dσ
= - 2 σx ⋅ sen α ⋅ cos α + 2 σy ⋅ cos α ⋅ sen α − 2 τxy ⋅ cos 2α
dα
dσ
= (σy − σx ) ⋅ 2senα ⋅ cos α − 2 τxy ⋅ cos2α
dα
dσ
= (σy − σx ) ⋅ sen 2α − 2 τxy ⋅ cos2α
dα
Esta derivada se hace cero para un cierto ángulo α 1:

( σy − σx ) ⋅ sen 2α1 − 2 τ xy ⋅ cos 2α1 = 0 [14´ ]

2τxy
Por lo tanto: tg 2α1 = [15]
σy − σx
Existen dos ángulos que satisfacen la expresión [15] que son: (2 α 1) y (2α 1 + π), de
donde que se obtiene (α 1) y (α 1 + π/2) que corresponden a dos pla nos ortogonales entre
sí que son los planos principales en los que se producirán las máximas y mínimas
tensiones normales (tensiones principales).
Multiplicando por “2” a la expresión [14] y comparándola con la [14´], se comprueba que
en los planos principales las tensiones de corte son nulas (τ = 0).



Para hallar los valores de las tensiones principales σ máx y σ min que se identificarán
como: σ1 y σ2 (siendo σ1 ≥ σ2 ) se debe sustituir el valor de los ángulos α 1 y α 1+π/2 en la
expresión [13].
Como el ángulo α 1 está expresado por su tangente en la [15], es necesario recurrir a
las siguientes identidades trigonométricas:

1 + cos 2α tg 2α
cos2α = sen 2α = ±
2 1 + tg2 2α

1 − cos 2α 1
sen2 α = cos 2α = ±
2 1 + tg 2 2α

Operando algebraicamente se obtienen las tensiones principales máxima y mínima
respectivamente (ver también Estabilidad II, E. Fliess, pág. 63):
2
σx +σ y σ x −σ y 
2
σ x +σ y  σ x −σ y 
σ1 = + 

 + τ 2 [16a] σ 2 =
 xy − 

 + τ xy [16b]

2
2  2  2  2 

TENSIONES DE CORTE MAXIMAS
Se pueden obtener de un modo similar partiendo de la expresión [14]:
σx − σy
τ= ⋅ sen 2α + τxy ⋅ cos 2α
2
dτ σx − σy
= 2⋅ ⋅ cos2α − 2 ⋅ τxy ⋅ sen2α
dα 2
( σx − σy ) ⋅ cos2 α2 − 2 ⋅ τxy ⋅ sen 2α2 = 0
2 ⋅ τxy ⋅ sen 2α2 = ( σx − σy ) ⋅ cos2α2
σy − σx
tg 2 α 2 = -
resultando:
2 τ xy [17]

La [7] brinda dos soluciones: 2 α 2 y 2 α 2 + π lo que implica que existen dos planos para
α 2 y α 2 + π/2 en los que ocurren las máximas tensiones de corte. Dichos planos difieren
en π/2 = 90° lo que indica que son perpendiculares entre si.

Como: tg 2α 2 = -1 / tg 2 α1= - ctg 2 α1 entonces 2 α2 = 2 α 1- π/2
o también: α2 = α 1 - π/4
Esto indica que los planos de corte máximo forman un ángulo de 45° con los planos de
las máximas tensiones normales.



Para calcular la magnitud de τmáx. se sustituye α 2 en la expresión [14], utilizando
identidades trigonométricas y operando, con lo que se obtiene finalmente:

 σx − σ y 
2

τmáx = ±   + τxy
2
[18]
 2 

Representación gráfica de Mohr
Retomando las ecuaciones [13] y [14] que eran:

( σx − σy )
τ= ⋅ sen 2α + τxy cos 2α [14]
2
1 + cos 2α 1− cos 2α
y sustituyendo: cos2 α = sen2α = se obtiene:
2 2
σx σy
σ = (1 + cos 2α) + (1 − cos 2α) − τxy ⋅ sen 2 α
2 2 y x
σx + σy σx − σy
σ= + ⋅ cos 2α − τxy ⋅ sen 2α
2 2 r
y
σx + σy σx − σy
σ− = ⋅ cos 2α − τxy ⋅ sen 2α [19] C x
2 2
(σx − σy ) a
τ= ⋅ sen 2α + τxy cos 2α [20]
2
Elevando al cuadrado las [19] y [20] y sumando m. a m. fig. 12
resulta finalmente:

σx + σy   σx − σy 
2 2

 σ−  + τ2 =   + τ xy
2
[21]
 2   2 
Esta es una ecuación del tipo:
(x – a)2 + y2 = r2
que describe una circunferencia en función de los parámetros: σx , σy , τ xy y cuyas variables
son σ y τ.
2
σx + σy  σ x −σ y 
Tiene su centro sobre el eje σ con abscisa a = y radio r = 
  +τ 2
 xy
2  2 
La solución gráfica de Mohr es una representación de las ecuaciones analíticas que
sirve alternativamente como croquis guía a los cálculos numéricos.
Dada la sencillez de las expresiones analíticas el método gráfico no ofrece una ventaja
manifiesta sobre el método analítico, pero su croquis permite una rápida visualización de
las tensiones que ocurren en los diferentes planos que pasan por el punto, como así
también la localización inmediata de los valores máximos y de las direcciones principales.


La circunferencia de Mohr es el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas
representan las tensiones que ocurren en todos los planos inclinados que pasan por un
punto de un sólido cargado. Las abscisas de los puntos de la circunferencia representan
tensiones normales y las ordenadas la tensiones cortantes.

Las convenciones a utilizar serán:
-Tensiones de tracción: se consignan con abscisas positivas.
-Tensiones de compresión: corresponden abscisas negativas.
-Tensiones de corte positivas: se consignan con ordenadas positivas.
-Tensiones de corte negativas: se consignan con ordenadas negativas.
-Los ángulos se consideran positivos para giros en sentido contrario a las agujas del reloj.
-Lo anterior se complementa con el siguiente croquis:

σ
+ + τ
- σ - τ α+
fig. 13
Se puede demostrar que en la construcción de Mohr los ángulos en relación con el
centro de la circunferencia, son de magnitud doble que las magnitudes angulares entre las
secciones planas que pasan por un punto interior del cuerpo cargado.
Además, las dos coordenadas de cada punto de la circunferencia, brinda las tensiones
normal y de corte que ocurren en cada plano que pasa por dicho punto del cuerpo en
estudio.
En consecuencia es posible dibujar el gráfico de Mohr si se conoce estado tensional en
dos planos perpendiculares entre sí, ya que los puntos de la circunferencia,
representativos de las tensiones que ocurren en esos dos planos perpendiculares (90°),
se encontraran posicionados en la circunferencia con una diferencia de 180° (ángulo
doble), lo que implica que son los extremos de un diámetro.

Procedimiento para dibujar el círculo de Mohr

1. Datos: las tensiones σ x , τ xy y τ yx en dos planos perpendiculares.

2. En un sistema cartesiano ortogonal (σ−τ) y con los datos de las tensiones, se ubican
los puntos A y B que constituyen un diámetro.

3. Uniendo A con B se obtiene un diámetro. En su intersección con el eje de abscisas
determina el punto C que es el centro de la circunferencia.

4. Con el centro en C y radio CA ó CB se dibuja la circunferencia.



σy σ2 τ 1 P
2
G
τyx
A
σ1

τxy
τmáx
τxy
σx σx O
σ2 2α1 σ1 σ
α1

τ yx= -τxy
E C
α1
F
τxy
1

τmín
τyx σ1 2

σ2 σy
σy B
σx
fig. 14 -τ
Cada punto de la circunferencia caracteriza al estado tensional en un determinado
plano. En el caso dibujado corresponde al conjunto de los planos paralelos al eje z.
En el gráfico se observa que la máxima tensión normal σ1 = σmáx está representada por
el segmento OF y la mínima σ2 por el segmento OE. La máxima tensión de corte τmáx
está representada por CG.
Para localizar las direcciones de σ1 y σ2 se puede utilizar el punto auxiliar de la
circunferencia denominado foco o polo “P”. Para ubicar el polo P, se traza por el punto A
(ligado a la tensión σx) una paralela a la dirección x; o por B (ligado a la tensión σy) una
paralela a la dirección y; donde intercepten a la circunferencia se obtiene el polo P.
Uniendo el polo P con los puntos F y E se obtienen las direcciones de las tensiones
principales σ1 y σ2 respectivamente, señaladas con los números 1 y 2 en la figura.
σ2
Círculo de Mohr para tensiones principales. σ3
Se considerará el caso tensional espacial cuando en
las caras del prisma elemental actúan las tres tensiones
σ1 σ1
y
principales σ1, σ2 y σ3 de modo que: X
z
σ1 > σ2 > σ3
Las tensiones normales y tangenciales que ocurran en σ3
un plano cualquiera paralelo al eje z, no dependerán de σ2 fig. 15
σ3, sino de las tensiones σ1 y σ2 y se caracterizarán por
una circunferencia de tensiones con diámetro d=σ1−σ2 como la de la fig. 16a:
El mismo análisis se puede efectuar para planos paralelos al eje “y” ó para los planos
paralelos al eje “x”, obteniéndose circunferencias de diámetros σ1−σ3 ó σ2−σ3.



y y y
σ2 σ2 σ2
σ1 σ1 σ1
x x x
σ3 σ3 σ3
z z z
Planos paralelos al eje z Planos paralelos al eje y Planos paralelos al eje x
τ τ τ τ
σ2 σ1 σ3 σ1 σ3 σ2 σ3 σ2 σ1
σ σ σ σ

(a) (b) (c) (d)
fig. 16
Se pueden dibujar las tres círcunferencias de Mohr en una misma representación, fig.
16d; los puntos de cada una de dichas circunferencias representan las tensiones que se
producen en cada uno de los infinitos planos paralelos a cada uno de los ejes
coordenados.
Se puede demostrar que el estado tensional que se produce en planos no paralelos a
ningún eje coordenado, se encuentra representado por los puntos contenidos en la zona
sombrerada limitada por las tres circunferencias, fig. 16d.

Ejemplo de aplicación para Estado tensional triple.
PROBLEMA “MOHRT 260”
En la figura se representa un estado tensional para el que solamente se muestran las
tensiones que actúan en las caras visibles, especificando sus intensidades en kgf/cm2 ,.
Se pide calcular lo siguiente : y 400
1) Tensiones σ y τ para un plano que forme ángulos
iguales con los tres ejes coordenados. 500 100
2) Tensiones principales σ1, σ2 y σ3.
300 800
3) Posición de los planos principales: (l1,m1 ,n1), (l2,m2, n2 ) x
y (l3,m3,n3)
200
4) Tensión de corte máxima.
z
5) Tensiones octaédricas σOCT y σOCT.
Expresar los resultados en en kgf/cm2 y en MPa, usando para la conversión de
unidades la siguiente equivalencia aproximada: 10 kgf/cm2 ≅1 MPa.

RESOLUCIÓN
1) Tensiones σ y τ
Tensión normal σ .
Se sabe que l = m = n, por lo tanto: l 2 +m 2 + n 2 = 1 ⇒ 3 l2 = 1 ⇒ l 2 = 1/3



de donde: l = m = n = 3 = 54,736º
3
Calcularemos a partir de las componentes ortogonales de la tensión “ρ“ en lugar de utilizar
la expresión final de “σ” puesto que dichos valores son necesarios para el cálculo de "τ".
Los signos de las tensiones normales y de corte que son datos del problema, deben
adecuarse de acuerdo al sentido de los correspondientes vectores que las representan.
Para este caso particularmente son todas positivas !.

ρx =σx .l+τxy .m+τxz .n= 3 (σx +τxy +τxz ) = 3 (800 + 100 + 300 )= 692,82 kgf/cm2≅ 69,28 MPa
3 3

ρy = τyx .l+σy .m+τyz .n= 3 (τyx +σy +τyz )= 3 (100 + 400 + 500 )= 577,30 kgf/cm2 ≅ 57,73 MPa
3 3

ρy = τzx .l+τzy .m+σz .n= 3 (τzx +τzy +σz )= 3 (300+ 500 + 200 ) = 577,30 kgf/cm2 ≅ 57,73 MPa
3 3

3
σ = ρx . l + ρy . m + ρz . n = (
? 692,80 + 577,30 + 577,30 )
3

σ = 1066,67 kgf/cm2 ó aproximadamente σ = 106,67 MPa
Tensión de corte τ .
τ2= ρ2-σ2=ρx 2+ρy 2+ρz 2-σ2= 692,802+ 577,302+ 577,30 2 - 1066,67 2= 8673,53 (kg/cm2)2
τ = 93,13 kgf/cm2 ó aproximadamente τ = 9,13 MPa

2) Tensiones Principales
Expresando las componentes ortogonales ρx , ρy , ρz en función de las tensiones
principales (generalizada como σi), como también en función de las tensiones que ocurren
en los planos ortogonales (datos del problema) e igualando se obtiene:
σi . l = σx . l + τxy . m + τxz . n
σi . m = τyx . l + σy . m + τyz . n
σi . n = τzx . l + τzy . m + σz . n
las que se pueden agrupar por factores comunes (cosenos directores) del siguiente modo:
(σx − σi ) . l + τxy . m + τxz . n = 0
τyx . l + ( σy - σi ) . m + τyz . n = 0
τzx . l + τzy . m + ( σz - σi ) . n = 0

Estas expresiones constituyen un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, l, m y n.
Para que tenga solución distinta de la trivial ( l = m = n = 0 ), debe ser nulo el determinante
de la matriz de los coeficientes:

(σ x − σ i ) τ xy τ xz
τ yx (σ y − σi ) τy z =0
τ zx τ zy (σ z − σ i )

desarrollando el determinante y operando algebraicamente se obtiene finalmente un
polinomio de tercer grado, ver fórmula [6] de teoría:



σ 3 - σ i2 ( σ x + σ y + σz )
i
+ σ i (σ x ⋅ σ y + σ y ⋅ σ z + σ z ⋅ σx − τ x y − τ2 z − τ2 )
2
y zx

− ( σ x ⋅ σ y ⋅ σ z + 2 .τ x y ⋅ τ y z ⋅ τ z x − τ x y ⋅ σ z − τ y z ⋅ σ x − τ zx ⋅ σ y ) = 0
2 2 2

Este polinomio tiene tres raíces reales (Fliess, Estabilidad, Tomo II).
Las raíces pueden calcularse de distintas formas, por ejemplo mediante el uso de una
calculadora graficadora en la que se representa y= f(σi), obteniendo una curva como la
representada.
De la representación se puede obtener el valor aproximado de las tres raíces, con los
cuales luego se pueden calcular un valor más exacto mediante el procedimiento de
Newton – Rawson o por prueba y error.
En algunas calculadoras, como la HP48G, se puede aplicar el “solver” de ecuaciones, o
bien pueden emplearse programas de PC, tales como Excel, que cuenta con una
aplicación dentro del menú Herramientas, denominada “Solver”, que permite calcular las
raíces de este tipo de ecuaciones.
También se puede utilizar la solución incorporada en las calculadoras programables, que
se denomina “autovalores” en matemática. Por cualquiera de esos caminos se llega a los
siguientes valore
σ 1=1083,54 kgf/cm2 σ 2=555,64 kgf/cm2 σ 3=-239,18 kgf/cm2 f(σi)
o aproximadamente: -239 1083 σi
σ 1=108,35 MPa σ 2=55,56 MPa σ 3=-23,92 MPa 555

3) Posición de los planos principales
El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones lineales que
define los valores de l, m y n para las direcciones principales es:

σx − σi τ xy τ xz
τ yx σy − σi τ yz = 0
τ zx τ zy σz − σi

Reemplazando σi por la tensión principal σ1 = 1083,5 kgf/cm2 se obtiene:
800 − 1083 .50 100 300 − 283 .50 100 300
100 400 − 1083 .50 500 = 100 − 683 .50 500 =0
300 500 200 − 1083 .50 300 500 − 883 .50

Los “menores complementarios” de los elementos de la primera fila del determinante son:
− 683 .50 500
eliminando la primera fila y la primera columna: ∆ 1 = = 353872
500 − 883 .50

100 500
eliminando la primera fila y la segunda columna: ∆ 2 = = −238350
300 − 883 .50

100 − 683 .50
eliminando la primera fila y la tercera columna: ∆ 3 = = 255050
300 500

1 1 1
además: K = = =
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2
3538722 + ( −28335)2 + 2550502 496934


Resulta entonces:
∆1 353872
l1 = = = 0.712 ⇒ α1 = 44.6º
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2 496934 y
0,479

−∆2 238350
m1 = = = 0.479 ⇒ β1 = 61.3º N1 (l1 ,m1,n1)
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2 496934
0,712
∆3 255050
n1 = = = 0.513 ⇒ γ1 = 59.1º 0,513 x
∆1 + ∆2 + ∆3 496934
2 2 2
z

En este caso los ángulos (versor N1 en la fig.) que definen el plano principal de máxima
son:
α 1 = 44,6º β 1 = 61,3º γ 1 = 59,1º
Mediante la expresión de σ en función de l1, m1 y n1 calculados en el paso anterior, se
pueden verificar que la tensión normal es aproximadamente 1083,54 kgf/cm2.
Para obtener el plano correspondiente a la tensión principal “intermedia” reemplazamos σi
por σ2=555,6 resultando:
800 − 555,6 100 300 244,4 100 300

100 400 − 555,6 500 = 100 −155,6 500 =0
300 500 200 − 555,6 300 500 −355,6

−155,6 500
Eliminando la primera fila y la primera columna resulta : ∆1 = = −194668
500 −355,6

100 500
Eliminando la primera fila y la segunda columna se obtiene: ∆2 = = −185560
300 −355,6

100 −155,6
Eliminando la primera fila y la tercera columna se obtiene: ∆3 = = 96680
300 500
1 1 1
K= = =
∆ +∆ + ∆
2
1
2
2
2
3 (−194668) + (−185560) + 96680
2 2 2 285788 y
0,649
∆1 −194668
l2 = = = −0.68 ⇒ α2 = 132,94º
∆1 + ∆2 + ∆32
2 2 285788 N2 (l 2,m2,n 2)

∆2 −( −185560)
m2 = = = +0.649 ⇒ β2 = 49,5º -0,68
∆ +∆ +∆
2
1
2
2
2
3
285788 x
0,338
∆3 96680 z
n2 = = = 0.338 ⇒ γ2 = 70,2º
∆1 + ∆2 + ∆32
2 2 285788

En este caso, los ángulos (versor N2 en la fig.) que definen el segundo plano principal son:
α 2 = 132,94º β 2 = 49,5º γ 2 = 70,2º
Para la tercera tensión σ3:= - 239,2 kgf/cm2 (la mínima) resulta


800 + 239,2 100 300 1039,2 100 300

100 400 + 239,2 500 = 100 639,2 500 =0
300 500 200 + 239,2 300 500 439,2
639 .20 500
Eliminando la primera fila y la primera columna: ∆ 1 = = 30737
500 439 .20

100 500
Eliminando la primera fila y la segunda columna: ∆ 2 = = − 106080
300 439 .20

100 639 .20
Eliminando la primera fila y la tercera columna: ∆3 = = −141760
300 500

1 1 1
K= = =
∆ +∆ +∆
2
1
2
2
2
3 30737 + (−106080) + ( −141760)
2 2 2 179704

∆1 30737 y N3 (l 3,m3 ,n3)
l3 = = = 0,17 ⇒ α3 = 80,15º
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2 179704
0,59
−∆2 −( −106080)
m3 = = = 0,59 ⇒ β3 = 53,82º
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2 179704
-0,79
∆3 −141760 z
n3 = = = −0,79 ⇒ γ3 = 142,08º x
0,17
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2 179704

En este caso, los ángulos (versor N en la fig.) que definen el plano principal para la
3
tensión mínima son:
α 3 = 80,15º β 3 = 53,82º γ 3 = 142,08°

4) Tensión de corte máxima.
Se parte de un prisma elemental sometido a las tensiones principales recién obtenidas,
referido a un sistema de coordenadas cuyos ejes son paralelos a las direcciones de las
tensiones principales σ1, σ2 y σ3.

En el plano 1-2:
σ1 − σ2 1083 .50 − 555 .60
τmax(1-2) = = = 263,95kgf/cm ≅ 26,39 MPa
2
2 2
Análogamente, para 2-3:
σ1 − σ 3 1083 .50 − ( −239 .20 )
τmax (1-3) = = = 661,35 kgf/cm ≅ 66,14 MPa
2
2 2
En el plano 2-3:
σ 2 − σ 3 555 .60 − ( −239 .20 )
τ max (2-3) = = = 397 .40 kg/cm ≅ 39,74 MPa
2
2 2
Se han realizado los tres cálculos para mostrar los valores de todas las tensiones que
ocurren en planos bisectrices. No obstante ello, como se puede apreciar, es suficiente
calcular la tensión de corte que ocurre en el plano bisectriz de los planos que
corresponden a la máxima y mínima tensión principal, ya que allí ocurre la máxima
tensión de corte en el material. En la figura se muestra dicho plano sombreado.


Resulta entonces:
τmax = τmax (1-3) = 661,35 kgf/cm2 ≅ 66,14 MPa y
σ2
5) Tensiones Octaédricas

En un plano para el cual α=β=γ: en relación con las direcciones σ1
principales:
σ1 + σ2 + σ3 1083,5 + 555,6 + (−239.2)
σ3 x
σOCT = = z
3 3
σ OCT = 466,63 kgf/cm2 ó aproximadamente: σ OCT = 46,66 MPa y // σ2

1
τOCT = ⋅ (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 σ3
3 σ1
x // σ1
1
τOCT = (1083,5 − 555,6)2 + [ 555,6 − ( −239,2) ] + ( −239,2 − 1083,5) 2
2

3
z // σ3 σ2
τ OCT = 543,72 kgf/cm2 ó aproximadamente: τ OCT = 54,37 MPa
y
-z
-x x

z
-y

Este material de apoyo didáctico, cuyos manuscritos originales
fueran preparados por el ex-profesor de la Cátedra “Estabilidad II”,
Ing. Guillermo Pons, fue adaptado, modificado, reordenado y
ampliado y está destinado exclusivamente para el uso interno de la
cátedra “Resistencia de Materiales” de Ingeniería Civil, de la
Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N.

Profesor Titular: Ing. Hugo A. Tosone .
Marzo de 2010


RESUMEN DE FÓRMULAS: “ESTADOS TENSIONALES”

ESTADO TRIPLE
y β y σy
R ρy dy
τ yx
ρ n τyz
σz τxy
τ
σ
τxz τ zy τzx
τzx ϕ α σy
γ
σz τxy τ zx τzy σx
τxz
σy ρx τ xz x
τ zy σz
τ xy ρz A A
τyz
dx
τyz S x τyx
τyx dz
T
σy z σy
z fig. 3 fig. 2
Tensiones normal y de corte en el plano inclinado
σ = σx . l 2 + σy . m2 + σz n2 + 2 (τ xy . l . m + τ xz . l . n + τ yz . m . n) [2]

τ 2 = ρ 2 − σ 2 = ρx + ρ 2 + ρ z − σ 2
2
y
2
[3]
Tensiones Principales
 σx τxy τxz  σx − σi τxy τxz
 
Tensor:  τyx σy τyz ⇒ τyx σy − σi τyz =0
 τzx τzy σz  τzx τzy σz − − σi
 
σ 3 - σ i2 (σ x + σ y + σ z )
i
Polinomio: + σ i ( σ x ⋅ σ y + σ y ⋅ σ z + σ z ⋅ σx − τ22y − τ2 z − τ2 x )
x y z
− ( σx ⋅ σ y ⋅ σ z + 2. τ x y ⋅ τ y z ⋅ τ zx − τ x y ⋅ σ z − τ yz ⋅ σ x − τz x ⋅ σ y ) = 0
2 2

Planos Principales (versor normal)
l 2 + m 12 + n1 = 1
1 2
K= 1
∆ +∆ +∆
2
1
2
2
2
3

(σy -σ1 ) τyz τyx τyz τyx (σy - σ1 )
∆1 = ∆2 = ∆3 = [7]
τzy (σz- σ1 ) τzx (σz- σ1 ) τzx τzy
∆1 −∆2 ∆3
l1 = m1 = n1 = [8]
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2
∆1 + ∆2 + ∆3
2 2 2

σ1 − σ3 σ +σ
Tensión de corte máxima, y normal p/ese plano: τ máx = [9] σ = 1 3 [10]
2 2
Tensiones Octaédricas
σ1 + σ2 + σ3
y // σ2 σOCT = [11]
3
σ3
σ1 1
τOCT = ⋅ (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 [12]
x // σ 1 3

z // σ 3 σ2
fig. 7

ESTADO DOBLE

a
y
n
al
d ρy no
rm
ρ (σx − σy )
τxy α
τ= ⋅ sen 2α + τxy cos 2 α [14]
ρx 2
σx A b x
τyx Tensiones principales
e 1
2τxy
tg 2α1 =
z c
σy [15]
fig. 10
σy − σx
2
σx +σ y σ x −σ y 
2
σ x +σ y  σ x −σ y 
σ1 = + 

 + τ 2 [16a] σ 2 =
 xy − 

 + τ xy [16b]

2
2  2  2  2 
Tensión de corte máxima

σy − σx  σx − σ y 
2
tg 2 α 2 = - τmáx = ±   + τxy
2

2 τ xy [17]
 2 
[18]

Representación gráfica de Mohr τ 2
σy σ2 1 P
G
A
σ1 τyx

τxy
τ máx
σ τxy
+ + τ σx σx σ2 2α1 σ1 σ
α+
- σ
O
C α1

τyx= - τxy
- τ α1
E F
τxy 1

τ mín
τyx σ1 2
fig. 13
σ2 σy σy B
σx
fig. 14 -τ
Círculo de Mohr para tensiones principales.
Es: σ1 > σ2 > σ3
y y y
σ2 σ2 σ2
σ1 σ1 σ1
x x x
σ3 σ3 σ3
z z z
Planos paralelos al eje z Planos paralelos al eje y Planos paralelos al eje x
τ τ τ τ
σ2 σ1 σ3 σ1 σ3 σ2 σ3 σ2 σ1
σ σ σ σ

(a) (b) (c) (d)
fig. 16
Cátedra:
Resistencia de Materiales
Profesor Titular:
Ing. Hugo A. Tosone.
Marzo de 2010

Resistencia de materiales: Estados tensionales

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