1. Funções Polinomiais: uma visão analítica
Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de uma
função é determinar o número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros.
(Recorde que zero de uma função f é uma solução da equação
).
O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da
matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para
o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI,
matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de
equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito
complicadas e por isso são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo:
o
o
o
Qual é o maior número de zeros que uma função polinomial pode ter?
Qual é o menor número de zeros que uma função polinomial pode ter?
Como podemos encontrar todos os zeros de um polinômio, isto é, como
podemos encontrar todas as raízes de uma equação polinomial?
ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este problema
foi completamente resolvido.
Nesta seção vamos tentar responder a estas perguntas refazendo o caminho percorrido
por famosos matemáticos desde o século XVI.
Pela experiência adquirida no estudo das equações de primeiro e segundo grau é
razoável supor que o número de raízes de um polinômio está relacionado ao seu grau.
Sabemos, por exemplo, que a equação
tem uma única raiz igual a zero. Na
verdade, esta equação tem duas raizes idênticas, ambas iguais a zero. Esta equação pode
ser escrita como
. Esta forma (fatorada) de escrever a equação
permite perceber, claramente, que a mesma possui duas raízes iguais. O mesmo se dá
com a equação
que apresenta duas raizes idênticas e iguais a 1.
Podemos encontrar facimente, muitos exemplos de equações de segundo grau que não
têm nenhuma raiz real. Considere, por exemplo, a equação
. Ao
tentarmos encontrar as raizes desta equação, chegaremos a
, que não tem
solução real. No entanto, como já vimos, se admitirmos que as raízes podem pertencer

2. ao conjunto dos números complexos, esta equação tem duas raízes complexas conjugas,
= i . Da mesma maneira que no exemplo
=ie
a saber,
anterior, esta equação pode ser escrita na forma fatorada como
.
No caso geral mais geral de uma equação de segundo grau, temos que a equação
pode sempre ser escrita na forma y = a (x x1) (x  x2) ,
onde
e
são as duas raízes da equação, que como já vimos pelos exemplos
acima, podem ser distintas, repetidas, isto é, iguais, ou mesmo complexas.
Este fato pode ser generalizado para equações polinomiais de qualquer grau. De um
modo geral, sempre que
sempre que
for um zero complexo de um polinômio P(x), isto é
for uma raiz complexa da equação
, temos que (
) é um fator de P(x). Este fato foi estabelecido por René Descartes na sua obra
"Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la verité dans les
sciences" (Discurso do método para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas
ciências), publicada em 1637. Suas conclusões podem ser resumidas no teorema do
fator, enunciado a seguir:
Teorema do Fator
Um número
da forma (
é um zero de um polinômio P se e somente se
tem um fator
).
O exemplo a seguir mostra como o teorema do fator pode ser usado para nos ajudar na
tarefa de encontrar as raízes de um polinômio de grau maior do que dois.
Exemplo
Ache os zeros da função polinomial
.

3. Solução
A figura ao lado, mostra o
gráfico da função p. Os zeros
reais de p correspondem aos
pontos onde o seu gráfico
intercepta o eixo x. Uma dessas
interseções parece estar
localizada perto do ponto (3,0).
Um cálculo rápido nos permite
confirmar este palpite. De fato,
como
(
) + 2 (3) + 3 = 0. Assim, x
= 3 é um zero da função p e,
consequentemente, (x  3) é um
fator de p(x). Assim, dividindo
p(x) por (x 3), obtemos
. Esta forma fatorada permite
concluir que os outros zeros de
p(x) devem ser soluções da
equação
.
Usando a fórmula de Bhaskara
para resolver esta última
equação, obtemos
e
que são os
outros dois zeros de p.

4. Agora é com você!
Use o quadro ao lado para traçar o gráfico de cada uma das funções dadas e use
zooms sucessivos para estimar o valor de um dos zeros da função. Comprove o seu
palpite e, então, use o teorema do fator e a fórmula de Bhaskara para achar os outros
zeros.
(a)
(b)
(c)
Conclusões
Seja r um número complexo. Para a função polinomial y = f(x) as seguintes afirmações
são equivalentes:
1) x = r é uma solução ou raiz da equação f(x) = 0.
2) x = r é um zero da função y = f(x)
3) ( x  r ) é um fator de f(x) ou, equivalentemente, f(x) é divisível por (x
 r)
4) Se r é real, (r,0) é um ponto de interseção do gráfico da função f com o
eixo x.
O Teorema do fator responde a primeira das perguntas formuladas no início desta seção.
Como um polinômio de grau n tem, no máximo, n fatores do primeiro grau, decorre
imediatamente, deste teorema que uma função polinomial de grau n tem no máximo n
zeros.
Este fato foi primeiro estabelecido no início do século XVII pelo matemático alemão
Peter Rothe e, mais tarde, por Descartes e Albert Girard (1593-1632), ambos
matemáticos franceses. Girard e Descartes reconheceram a natureza dos zeros de um
polinômio porque eles estavam entre os primeiros matemáticos a admitir a possibilidade
de trabalhar com números complexos.
Multiplicidade das
Raízes
Nós agora poderíamos começar a indagar se um polinômio de grau n tem sempre n
zeros. A resposta depende da maneira como contamos estes zeros. Se admitirmos
somente zeros reais a resposta é não pois, como já vimos, uma equação do tipo
não possui raízes reais. Embora esta equação não tenha raízes reais, ela

5. tem duas raízes complexas. Isto sugere que, talvez, um polinômio de grau n tenha
sempre n raízes complexas. Será verdade? A resposta ainda depende da maneira como
contamos estes zeros. Se cada zero puder ser contado somente uma vez a resposta ainda
é negativa. Considere, por exemplo, o polinômio
=
. Como mostra a sua forma fatorada, este polinômio tem
duas raízes distintas x = 1 e x = 8. Embora a função deste exemplo tenha somente dois
zeros distintos, tem 3 fatores de primeiro grau: dois fatores iguais a (x 1) e um fator
igual a (x  8). Neste caso, dizemos que p(x) tem um duplo zero, ou um zero de
multiplicidade 2, em x = 1, correspondente ao fator repetido
De um modo geral se k é um inteiro positivo e x =
.
é um zero da função f(x)
correspondente ao fator
então
é um zero simples de f ,se k = 1 e um
zero de multiplicidade k, se k 1. O número k determina a multiplicidade do zero.
No exemplo anterior, o zero x = 1 tem multiplicidade 2 e o zero x = 8, multiplicidade 1.
Voltemos agora a questão de saber se um polinômio de grau n tem sempre n zeros. A
discussão acima sugere que se contarmos os zeros complexos e os zeros repetidos a
resposta é sim. Este resultado é conhecido como o Teorema Fundamental da Álgebra e é
enunciado a seguir.
Teorema
Fundamental da
Álgebra
Todo polinômio P de grau n pode ser escrito na forma fatorada como
....
onde
,...
são as raízes complexas, não necessariamente distintas, de P(x).
Equivalentemente todo polinômio P de grau n tem exatamente n zeros complexos.
(Estes zeros são contados levando-se em conta a sua multiplicidade.)
Zeros Conjugados e Zeros de um

6. polinômio de grau ímpar
Se estivermos interessados somente nos zeros reais de um polinômio, a fatoração do
polinômio poderá conter, além dos fatores de primeiro grau, fatores quadráticos que não
têm raízes reais. Cada um destes fatores quadráticos, como já vimos, admitem duas
raízes complexas conjugadas. (Lembre-se que para equações quadráticas
com coeficientes reais, se o discriminante
é
negativo, as raízes são números complexos e o sinal ± na fórmula de Bhaskara assegura
que estes zeros ocorrem em pares conjugados.) Desse modo, se a + bi é um zero
complexo da função polinômial f(x), então seu conjugado a bi também é um zero de
f(x).
O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau ímpar tem um
número ímpar de zeros (o número de zeros complexos é igual ao grau do polinômio).
Como os zeros complexos ocorrem em pares conjugados, um polinômio de grau ímpar
deve ter, pelo menos, um zero real.
Tanto Descartes quanto Girard enunciaram o teorema mas tanto eles quanto grandes
matemáticos do porte de Newton, Euler, DÁlembert e Lagrange não obtiveram sucesso
em demonstrá-lo. O Teorema Fundamental da Álgebra só foi demonstrado em 1799,
quando Carl Friedrich Gauss conseguiu estabelecer a sua prova na sua Tese de
Doutorado, quando tinha 22 anos.
A última questão que nos resta responder é se é possível encontrar todos os zeros de um
polinômio. O Teorema Fundamental da Álgebra nos diz quantos zeros existem mas não
nos diz como encontrá-los! A tarefa de achar os zeros de uma função polinomial se
torna cada vez mais complexa à medida em que aumenta o grau do polinômio. Nossos
ta-ta-ta-...-ta- ravós já eram capazes de resolver equações de primeiro e de segundo
graus. Métodos de resolução de equações do primeiro grau já eram conhecidos pelos
egípcios em 3500 A.C. A fórmula quadrática foi estabelecida pelos Babilônios, em 1700
A.C. Fórmulas similares para equações de terceiro grau foram publicadas por Girolamo
Cardano (1501-1576), em 1545 em sua "Arte Magna". Este trabalho também continha a
fórmula de Ludovico Ferrari (1522-1565) para a resolução da equação geral de quarto
grau. Cardano rejeitava tanto as raízes imaginárias quanto as raízes negativas por não
encontrar significado físico neste tipo de raízes. Este tipo de soluções continuou a ser
rejeitado até 1732, quando Leonhard Euler (1707-1783) demonstrou que a fórmula de
Cardano poderia ser usada para obter três zeros complexos qualquer que fosse a
equação cúbica considerada. Por cerca de 250 anos após a publicação da Arte Magna, os
matemáticos europeus procuraram em vão por uma fórmula para encontrar os zeros de
um polinômio geral do quinto grau. François Viète (1540-1603), James Gregory (16381675), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) e Euler tentaram e falharam. Gregory
conjecturou que tal fórmula não existia. Em 1824, o matemático norueguês Niels
Henrik Abel (1802-1829), trabalhando em cima do trabalho de Lagrange, provou que
Gregory estava correto. Não há uma fórmula geral para achar os zeros de um polinômio
de grau maior ou igual a cinco. Abel, portanto, respondeu a terceira pergunta que
formulamos no início desta seção.

7. A questão de determinar que equações de grau maior ou igual a cinco podem ser
resolvidas por fórmulas algébricas foi respondida em 1831, pelo matemático francês
Evariste Galois. Embora não possamos calcular analiticamente os zeros de uma grande
classe de funções polinomiais, existem vários métodos numéricos para calcular
aproximações para esses zeros. Já vimos um exemplo de um destes métodos no
Capítulo I, Módulo II. Outro exemplo, pode ser encontrado na Seção Alargando
Horizontes.
Uma das estratégias mais usadas para encontrar os zeros de uma função é por um meio
qualquer (usando o gráfico da função, pedindo inspiração divina, tentando um bom
palpite, etc..) estimar o valor de um ou mais zeros e, então, usar o teorema do fator para
encontrar os zeros restantes. Geralmente, o trabalho de obter um bom palpite pode ser
considravelmente simplificado usando o Teorema das Raízes Racionais, devido a
Descartes.
Teorema das Raízes
Racionais
Se uma função polinomial
+ ... +
com coeficientes inteiros
com p e q inteiros e
divisível por p e
, ...,
tem zeros racionais, isto é, se
na forma irredutível é um zero de f(x) , então
é
é divisível por q.
O Teorema das Raízes Racionais nos permite fazer uma lista de todos os possíveis zeros
racionais de uma dada função polinomial com coeficientes inteiros. Daí, podemos testálos e verificar quais dos possíveis candidatos são realmente zeros da função.
Exemplo
Use o Teorema das Raízes Racionais para achar os zeros do polinômio P(x) = 3x4 +
8x372x2 127x + 50.
Solução

8. Como este é um polinômio de quarto grau, ele tem no máximo quatro raízes reais. Se
é uma raiz racional de P(x) = 0, então os possíveis valores de p são os fatores
inteiros de 50, que são ± 1, 2, 5, 10, 25 e 50. Os possíveis valores de q são os fatores
inteiros de 3, que são ± 1, 3. Assim, os possíveis zeros racionais de P(x) são
x = ± 1, 2, 5, 10, 25, 50, 1/3, 2/3, 5/3, 10/3, 25/3, 50/3.
Após, uma rápida inspeção, podemos concluir que x = 2 é um zero de P(x). Desse
modo, dividindo P(x) por (x + 2) obtemos:
P(x) = (x + 2) (3x3 + 2x2 76x + 25)
Da mesma formas, podemos verificar que x = 1/3 é um outro zero de P, então
P(x) = (x + 2) ( x 1/3) (3x2 + 3x 75)
Os demais zeros são as raízes da equação quadrática 3x2 + 3x 75 = 0 que podem ser
achados, sem dificuldade, usando a fórmula de Bhaskara.
Agora é com você!
Ache os zeros do polinômio x3  x2 17x + 20.