semoga bermanfaat :)

1. DETERMINAN
MENGHITUNG DETERMINAN
SIFAT-SIFAT DETERMINAN

2. Menghitung
Determinan
 Perkalian Elementer
 Ekspansi Kofaktor
 Reduksi Baris Matriks
Segitiga

3. •Menghitung Determinan
Dengan Perkalian
Elementer

4. PERMUTASI
Definisi:
Suatu permutasi bilangan bulat {1,2,…,n}
adalah suatu susunan bilangan-bilangan
bulat ini dalam suatu urutan tanpa
penghilangan atau pengulangan
Contoh: 6 permutasi berbeda dari bilangan
bulat {1,2,3} adalah:
{1,2,3} {2,1,3} {3,1,2}
{1,3,2} {2,3,1} {3,2,1}

5. PERMUTASI
Dalam permutasi dikatakan terjadi sebuah inversi/
pembalikan bilamana suatu bilangan bulat yg lebih
besar mendahului yang lebih kecil.
Contoh:
Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut:
(a) (6,5,3,1,4,2) (b) (2,4,1,3) c (1,2,3,4)
Penyelesaian
 Jumlah iversi/pembalikan: 5+4+2+0+1=12
 Jumlah iversi/Pembalikan: 1+2+0=3
 Tidak ada inversi/pembalikan dalam permutasi ini

6. PERMUTASI
Definisi: Suatu permutasi disebut genap jika
total jumlah inversi merupakan suatu
bilangan bulat genap dan disebut ganjil
jika total jumlah inversi merupakan suatu
bilangan bulat ganjil

7. PERMUTASI
Contoh. Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai
permutasi dari {1,2,3} sebagai genap atau ganjil
Permutasi Jumlah Inversi Klasifikasi
(1,2,3) 0 genap
(1,3,2) 1 Ganjil
(2,1,3) 1 Ganjil
(2,3,1) 2 Genap
(3,1,2) 2 Genap
(3,2,1) 3 Ganjil

8. DETERMINAN
A adalah matriks bujursangkar. Determinan
matriks A yang disimbolkan det(A) dapat
didefinisikan sebgai jumlah semua hasil perkalian
elementer bertanda dari matriks A.
Contoh: Daftarkan semua hasil kali bertanda dari
matriks-matriks berikut ini
a11 a12 a13 
a11 a12  a a a 
a. a a 22  b. 
21 22 23 
 21  a31 a32 a33 
 

9. DETERMINAN
Penyelesaian:
Hasil Kali Permutasi Klasifikasi Hasil Kali
Dasar Terkait Dasar
Bertanda
a11a22 (1,2) genap a11a22
a12a21 (2,1) Ganjil -a12a21

10. DETERMINAN
Penyelesaian:
Hasil Kali Permutasi Klasifikasi Hasil Kali
Dasar Terkait Dasar
Bertanda
a11a22a33 (1,2,3) genap a11a22a33
a11a23a32 (1,3,2) Ganjil -a11a23a32
a12a21a33 (2,1,3) Ganjil -a12a21a33
a12a23a31 (2,3,1) Genap a12a23a31
a13a21a32 (3,1,2) Genap a13a21a32
a13a22a31 (3,2,1) Ganjil -a13a22a31

11. DETERMINAN
Sehingga diperoleh:
a11 a12 
a. det   = a11a22 - a12a21
a 21 a 22 
a11 a12 a13 
a a a 
 21 22 23 
b. det a a a  = a11a22a33 +a12a23a31
 31 32 33 
+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33
-a13a22a31

12. DETERMINAN
Dengan menggunakan jembatan keledai (mnemonic)
dapat dihitung:
+ - + + + - - -
a11 a12  a11 a12 a13  a11 a12
a a  a a a  a a
 21 22   21 22 23  21 22
a31 a32 a33  a31 a32
 

13. Contoh :
1 2 3   4 8 12  0 1 4  1 2 3
A = 0 1 4  , A1 =  0 1 4  , A2 = 1 2 3  , A3 =  −2 −3 −2 
       
1 2 1 
  1 2 1 
  1 2 1 
  1 2 1
 
Diperoleh :
det (A) = -2, det( A1) = -8, det( A2) = 2,
det(A3) = -2

14. MENGHITUNG DETERMINAN
DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR

15. Ekspansi kofaktor
Definisi:
Bila A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka minor
elemen aij (disimbolkan dengan Mij) didefinisikan
sebagai determinan dari submatriks yang ada setelah
baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A.
Nilai (-1)i+j Mij ditulis sebagai Cij dan dinamakan sebagai
kofaktor elemen aij.
Jadi, Cij = (-1)i+jMij

16. Ekspansi kofaktor
Contoh: 1 2 1
− 1 3 − 3
Diketahui A =  
2 − 2
 1
1 2 1  1 1
− 1 3 − 3
Maka M32 = det   = det − 1 − 3
 
2 − 2
 1

= (1)(-3) – (1)(-1)
=-3+1 = -2
Jadi, C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)(-2) = 2

17. Ekspansi kofaktor
Teorema:
Apabila diberikan matriks A yang berukuran nxn,
maka determinan matriks A dapat dihitung
dengan menggunakan:
 Expansi kofaktor sepanjang kolom j:
det(A) = a1jC1j + a2jC2j +...+ anjCnj
 Expansi kofaktor sepanjang baris i:
 det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+...+ ainCin

18. Ekspansi kofaktor
Contoh: 1 2 1
− 1 3 − 3
Hitung Determinan matriks A =  
2 − 2
 1

 Penghitungan det. ekspansi kofaktor baris 1:
det (A) = 1 3 − 3 -2 − 1 − 3 +1 − 1 3
−2 1 2 1 2 −2
 Penghitungan det. ekspansi kofaktor kolom 2 ?

19. Matriks Kofaktor
Jika A adalah sembarang matriks nxn dan Cik
adalah kofaktor dari aij, maka matriks kofaktor
dari A adalah: C11 C12 ... C1n 
C C ... C 
 21 22 2n 
. 
 
. 
Cn1 Cn 2 ... Cnn 
 
Matriks Adjoint A yg disimbolkan Adj (A) adalah
Transpose dari matriks kofaktor A

20. REDUKSI BARIS
Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan
mereduksi matriks menggunakan operasi baris
elementer sehingga matriks berada pada bentuk
eselon baris.
Teorema 2.1.
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang
mengandung sebaris bilangan nol, maka
det(A) = 0

21. Teorema:
Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A)
adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama.
Teorema: Misalkan A adalah sebarang matriks n x n.
(e) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris
tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det (A’)
= k det (A)
(f) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila 2 baris
A dipertukarkan, maka det(A’)=-det(A)
(g) Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila
kelipatan 1 baris A ditambahkan pada baris lain,
maka det (A’) = det (A)

22. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan
dari operasi baris elementer tertentu.
Operasi det ( A ) det ( A’ )
(i) |A| k|A|
( ii ) |A| -|A|
( iii ) |A| |A|

23.  det(kA) = kndet(A) n : jumlah baris
ka11 ka12 ka13 a11 a12 a13
ka21 ka22 ka23 = k 3 a21 a22 a23
ka31 ka32 ka33 a31 a32 a33
 det(A+B) ≠ det(A) + det(B)
 det(AB) = det(A).det(B)
 det(A) = det(AT) implikasi : berlaku operasi
kolom

24.  Teorema
Anggap A, B, dan C adalah matriks nxn yang
berbeda hanya pada salah satu barisnya,
katakanlah beris ke –r, dan anggap baris ke-r
dari C bisa diperoleh dengan menambahkan
anggota-anggota yang berpadanan pada
baris ke-r dari A dan B. Maka:
Det ( C ) = det (A) + det ( B )
Hasil yg sama berlaku untuk kolom

25.  Contoh:
1 7 5 1 7 5 1 7 5
2 0 3 =2 0 3+ 2 0 3
1+ 0 4 + 1 7 + 1 1 4 7 0 1 1