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Articulo - Modelo matematico de un tubo intercambiador de calor

  1. 1. REVISTA COLOMBIANA DE F´ ISICA, VOL.38, No.2, 2006 ´ MODELO MATEMATICO DE UN TUBO INTERCAMBIADOR DE CALOR D. Bravo-Montenegro 1 , M. L´pez-Ortega 1 o1 Grupo DSC, Programa de Ingenier´a F´sica, Universidad del Cauca, Popay´n, Colombia. ı ı a Recibido xx de Feb.2006; Aceptado xx de Abr.2006; Publicado xx de Jun.2006 RESUMEN El estudio de la transferencia de calor es de vital importancia en los procesos industriales, involucra par´metros que son de dif´ medici´n ya que dependen de la din´mica del a ıcil o a sistema, su geometr´ y de las propiedades f´ ıa ısicas de los materiales que lo constituyen. Bas´ndose en las teor´ de Nusselt se encuentra el modelo matem´tico de un tubo a ıas a intercambiador de calor para obtener el valor promedio del coeficiente de transferencia de calor y el volumen de condensado; estos par´metros se determinan en funci´n de las a o temperaturas del vapor y del tubo. Palabras claves: Din´mica, Intercambiador, Modelo, Transferencia de Calor, Tempera- a tura. ABSTRACT The study of the heat transference is of vital importance in the industrial processes, involves parameters that are of difficult measurement since they depend on the dynamics of the system, his geometry and of the physical properties of the materials that constitute it. Being based on the theories of Nusselt is the mathematical model of a tube heat exchanger to obtain the value average of the coefficient of heat transference and the condensed volume of; these parameters are determined based on the temperatures of the steam and the tube. Keywords: Dynamics, Interchanger, Model, Heat transference, Temperature. 1. Introducci´n o Todo sistema f´ ısico puede ser descrito mediante ecuaciones matem´ticas y/o ecuaciones a diferenciales que rigen su comportamiento, las cuales se pueden utilizar para ejercer control sobre alguna variable determinada queriendo lograr un desempe˜o adecuado o n especificado por el usuario. Existen sistemas demsiado complejos, cuyas ecuaciones des- criptivas son funciones no-lineales y se hace necesario utilizar m´todos num´ricos para su e e soluci´n; al determinar ciertas suposiciones de dise˜ o, los modelos se pueden simplificar o n para un cierto rango de operaci´n. El modelado es entonces, encontrar las relaciones o matem´ticas entre las variables de entrada de salida. a La clave para un buen modelo es determinar las variables de peso en el sistema a modelar, ya que hay variables que son imposibles de eliminar (se˜ ales esp´ rias, por ejemplo: ruido n u t´rmico) estas generan errores en el modelo del sistema en funci´n de la variable medida. e o Se puede tomar el sistema como un todo, al cual le corresponde, en este caso, una funci´no de transferencia1 , o se pueden tomar subsistemas con funciones de transferencia locales, de las cuales se puede obtener la funci´n de transferencia global del sistema. o 2. Balance Energ´tico en un Intercambiador e Primero se debe determinar la relaci´n de energ´ utilizada o cedida por el vapor al area o ıa ´ de contacto para condensar una cierta cantidad de masa de agua. 1 Ya que se trata de un sistema de una entrada una salida 1
  2. 2. REVISTA COLOMBIANA DE F´ ISICA, VOL.38, No.2, 2006 ∆T T2 TT 11 L ∆Q1 ∆Q2 T1 V1 DFigura 1: Nomenclatura para el balance energ´tico del sistema de transferencia de calor edentro del condensador.La cantidad de calor necesaria para vaporizar o condensar una masa m dada de un fluidoa la temperatura de saturaci´n es [1]: o QL = mhf g (1)Aqu´ QL es la cantidad de energ´ [J], m es la masa [kg] y hf g es el calor latente de ı: ıavaporizaci´n [J/kg]. El intercambiador de calor tiene forma cilindrica y asumiendo una odensidad constante, la masa contenida en el tubo se puede expresar como: πLD2 m=ρ 4El vapor que esta dentro del intercambiador de calor est´ en capacidad de entregar calor ahacia el medio externo a trav´s del tubo, a este calor se le conoce como calor cedido por eel vapor, el cual est´ dado por: a Qs = mc∆T (2)Donde: m es la masa de vapor dentro del tubo [kg], c es el calor espec´ ıfico del vapor[J/kgoC] y ∆T es el cambio de temperatura [o C].El sensor de temperatura TT–11 capta la diferencia de temperatura entre el vapor y elmedio a trav´s del vidrio del intercambiador de calor, es decir, nos da directamente el valor ede ∆T . En el area de un tubo condensante ocurren dos fen´menos de transferencia de ´ ocalor, ∆Q1 , el cual describe la transferencia de calor del vapor hacia el tubo (transferenciade calor con cambio de fase) y Q2 , el cual describe la transferencia de calor del tubo haciael medio, en este caso el medio esta compuesto por una corriente de aire con una velocidadv y un flujo de agua el cual humedece la pared del tubo. En la transferencia de calor concambio de fase nos interesa es el espesor del condensado, el cual esta dado por: 1 4µl kl (Tv − Tw ) x 4 δ(x) = g(ρl − ρv ) ρl hf g 2
  3. 3. REVISTA COLOMBIANA DE F´ ISICA, VOL.38, No.2, 2006Asumiendo una distancia x = L constante (largo del tubo del intercambiador de calor),temperatura de vapor Tv =100 o C, nos queda el espesor de la pel´ ıcula de condensado enfunci´n de la temperatura Tw , que es, en nuestro caso, la temperatura ∆T medida por onuestro sensor TT–11: 1 4µl kl (100 − ∆T ) L 4 δ(∆T ) = g(ρl − ρv ) ρl hf gDe esta manera podemos calcular la masa efectiva de condensado. r1 V1 = dA L r2 dA = π(r2 − r1 )2 δ = r2 − r1 m = ρπδ 2 L dA Figura 2: Nomenclatura para el c´lculo de la masa del condensado aComo δ es funci´n de ∆T , se puede tener informaci´n sobre la masa del condensado en o oel tubo intercambiador de calor, el intercambio de calor ∆Q2 se realiza por convecci´n oforzada, haciendo circular una pel´ ıcula de agua con una velocidad vl . La bomba pararecircular el agua tiene un caudal de 35 L/min, y la tuberia seleccionada es de 1 pulgada,por lo que se tiene un valor promedio de velocidad vl = 1,15 [m/s].Se deben resolver las ecuaciones de convecci´n, los c´lculos se simplifican mucho si se o agarantiza que hay un r´gimen laminar en el flujo, este par´metro lo confirma el N´ mero e a ude Reynolds, factor que depende de la velocidad del fluido y en nuestro caso [3]: ρLvl Lvl 0,30 1,15 Re = = = = 342,94 × 103 µ υ 1,006 × 10−6En donde: ρ es la densidad del fluido [kg/m3 ], L es el largo de la placa [m],vl es la veloci-dad del fluido [m/s], µ es la viscosidad del fluido [kg/m s] y υ es la Difusividad moleculardel momentum [m2 /s].Por lo tanto el resultado obtenido est´ contenido dentro del r´gimen laminar, resolviendo2 a elas ecuaciones de momentum, energ´ y de continuidad, teniendo en cuenta el r´gimen ıa elaminar sobre una placa plana, se obtiene el coeficiente de transferencia de calor promedioy de esta manera se puede determinar la cantidad de calor cedido al medio en funci´n ode la velocidad y temperatura del fluido. Podemos ahora calcular la cantidad de calordisipada por el tubo intercambiador de calor hacia un medio de pel´ ıcula de agua. Latemperatura m´xima que alcanza el tubo teniendo un suministro constante de calor es ade 63.53o C, determinado por (2), en contacto con el aire. 2 El desarrollo de estas ecuaciones es mediante el metodo integral 3
  4. 4. REVISTA COLOMBIANA DE F´ ISICA, VOL.38, No.2, 2006Supongamos que en ese instante hacemos circular agua por su superficie a 20o C, cal-culamos el calor disipado por el tubo, para el agua tenemos [2]: k = 0,597 [W/mo C],P r = 7,02 y Re = 342,94 × 103 .Entonces el coeficiente de transferencia de calor con el agua es: k 2 h = 0,664 Re1/2 Pr1/3 = 1481,63 [W/m o C (3) LEl calor disipado por el tubo por lo tanto es: q = 64495 [W/m2 ]Se tiene que, para condensar 1 g/s el vapor cede al tubo una calor de 2225 W/m2 , porlo que el sistema es estable y si se puede considerar dise˜ ar un control de temperatura npara mantener el ∆T constante para un m´ximo rendimiento. aEl proceso de transferencia de calor del tubo condensante al agua hace que esta se calientegradualmente, cambiando la temperatura de referencia y por lo tanto disminuyendo lacapacidad de absorber calor del condensador lo que se traduce en un bajo rendimientoen la obtenci´n de condensado, se necesita un proceso auxiliar de cambio t´rmico entre o eel agua y el medio para asegurar que el agua se mantenga en un r´gimen de temperatura eaceptable para que el sistema funcione de una manera adecuada. Es claro que la transfe-rencia de calor es directamente proporcional al area de contacto, por lo que aumentando ´este factor podemos aumentar la cantidad de calor cedida al medio. Para acelerar el pro-ceso t´rmico se puede utilizar un ventilador axial, con el cual se le imprime velocidad al eaire circundante, lo cual acelera el proceso de transferencia de calor.3. ConclusionesEl modelo de un proceso, es la parte m´s importante para dise˜ ar un sistema de control, a na partir de este es posible obtener la estrategia de control mas sencilla posible que cumplacon los requerimientos de desempe˜ o.nDel modelado del sistema se obtuvo informaci´n acerca de los detalles del proceso (canti- odad de condensado, coeficiente promedio de transferencia de calor), que, de ser necesario,se pueden implementar en la visualizaci´n del sistema. oReferencias[1] Dossat, Roy. Principios de refrigeraci´n. 1a Edici´n. M´xico Continental S.A, 1986. o o e[2] Manrique, Jos´. Transferencia de Calor.2a Edici´n. M´xico Oxford University Press, e o e 2002.[3] Marlekar, B. V. y Desmond, R.M. Transferencia de Calor. 2a Edici´n. M´xico o e Interamericana, 1985.[4] Creus, Antonio. Instrumentaci´n Industrial. 6a Edici´n. M´xico Alfaomega, 2000. o o e[5] Ogata, Katsuhiko. Sistemas de control en tiempo discreto. 2a Edici´n. M´xico Pear- o e son Educaci´n, 1996. o 4

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