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¿Qué y cómo aprenden
                    nuestros adolescentes?

                                                Fascículo


                                                  1
                                   Número y operaciones
                                    Cambio y relaciones
                                               VII CICLO
              Tercero, cuarto y quinto grados de Educación Secundaria




    Hoy el Perú tiene un compromiso: mejorar los aprendizajes
       Todos podemos aprender, nadie se queda atrás
                Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes   1
TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
    Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja
    Lima, Perú
    Teléfono 615-5800
    www.minedu.gob.pe

    Versión 1.0
    Tiraje: 51 800 ejemplares

    Emma Patricia Salas O’Brien
    Ministra de Educación

    José Martín Vegas Torres
    Viceministro de Gestión Pedagógica

    Equipo coordinador de las Rutas del Aprendizaje:
    Ana Patricia Andrade Pacora, Directora General de Educación Básica Regular
    Neky Vanetty Molinero Nano, Directora de Educación Inicial
    Flor Aidee Pablo Medina, Directora de Educación Primaria
    Darío Abelardo Ugarte Pareja, Director de Educación Secundaria

    Asesor general de las Rutas del Aprendizaje:
    Luis Alfredo Guerrero Ortiz

    Equipo pedagógico:
    Róger Saavedra Salas
    Pedro David Collanqui Díaz
    Daniel José Arroyo Guzmán
    Holger Saavedra Salas, asesor
    Antonieta de Ferro, asesora

    Agradecimientos:
    Agradecemos la colaboración del equipo de especialistas de IPEBA y UMC por su participación en la
    revisión del documento.

    Corrección de estilo: Jorge Coaguila Quispe
    Diseño gráfico y diagramación: Haydé Pumacayo Condori
    Ilustraciones: Haydé Pumacayo Condori
    Equipo editor: Juan Enrique Corvera Ormeño, Carmen Rosa León Ezcurra, Luis Fernando Ortiz Zevallos

    Impreso por:
    Corporación Gráfica Navarrete S.A.
    Carretera Central 759 Km 2 Santa Anita – Lima 43
    RUC 20347258611

    Distribuido gratuitamente por el Ministerio de Educación. Prohibida su venta.

    Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N.º 2013-01775

    Impreso en el Perú / Printed in Peru



2                                                      Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
Estimada (o) docente:

        Queremos saludarte y reiterar el aprecio que tenemos por tu labor. Es por ello
        que en el Ministerio de Educación estamos haciendo esfuerzos para comenzar
        a mejorar tus condiciones laborales y de ejercicio profesional. Esta publicación
        es una muestra de ello.

        Te presentamos las «Rutas del Aprendizaje», un material que proporciona
        orientaciones para apoyar tu trabajo pedagógico en el aula. Esperamos que
        sean útiles para que puedas seguir desarrollando tu creatividad pedagógica.
        Somos conscientes que tú eres uno de los principales actores para que todos
        los estudiantes puedan aprender y que nuestra responsabilidad es respaldarte
        en esa importante misión.

        Esta es una primera versión, a través del estudio y uso que hagas de ellas,
        así como de tus aportes y sugerencias, podremos mejorarlas para contribuir
        cada vez mejor en tu trabajo pedagógico. Te animamos entonces a caminar
        por las rutas del aprendizaje. Nosotros ponemos a tu disposición el portal
        de Perú Educa para que nos envíes tus comentarios, aportes y creaciones;
        nos comprometemos a reconocer tus aportes, realizar seguimiento y
        sistematizarlos. A partir de ello, mejorar el apoyo del Ministerio de Educación
        a la labor de los maestros y maestras del Perú.

        Sabemos de tu compromiso para hacer posible que cambiemos la educación
        y cambiemos todos en el país. Tú eres parte del equipo de la transformación,
        junto al director y con los padres y madres de familia, eres parte de la gran
        Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes.

        Te invitamos, a ser protagonista en este movimiento ciudadano y a compartir
        el compromiso de lograr que todos los niños, niñas y adolescentes puedan
        aprender y nadie se quede atrás.

                                                                  Patricia Salas O’Brien
                                                                 Ministra de Educación


TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
                                                                                           3
4   Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
Índice




       Introducción	7

       I.	  ¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática? 	      9
       II.	 ¿Qué aprenden nuestros adolescentes? 	15
       III.	¿Cómo podemos facilitar estos aprendizajes?	21
       	    3.1 Desarrollando escenarios de aprendizaje	                21
       	    3.2 Articulando la progresión del conocimiento matemático
             	 en el VII ciclo de la EBR	                               22
       	 3.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerando
               	 los indicadores propuestos	                            25
       	 3.4 Reconociendo escenarios, herramientas y condiciones
             	 didácticas para desarrollar las capacidades matemáticas	 27
       	 3.5 Promoviendo tareas matemáticas articuladas 	               33
       	 3.6 Resolviendo problemas	                                     34
       	 3.7 Fases de la resolución de problemas	                       35
       	 3.8 Promoviendo el trabajo cooperativo 	                       36
       IV.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto al
       	 número real?	37
       	 4.1 Algunas situaciones de aprendizaje	                        38
       	 4.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades
             	 vinculadas a números reales	                             50
       V.	 ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a las
       	 funciones cuadráticas?	61
       	 5.1 Algunas situaciones de aprendizaje	                        62
       	 5.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades
             	 vinculadas a las funciones cuadráticas	                  77
       VI.	 ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a
       	 sucesiones con números reales y programación lineal?	89
       	 6.1 Algunas situaciones de aprendizaje	                        90
       Bibliografía	99


TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS                                 55
6   Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
Introducción




El Proyecto Educativo Nacional establece, en su segundo objetivo estratégico, la necesidad de
transformar las instituciones de Educación Básica de manera tal que asegure una educación
pertinente y de calidad, en la que todos los niños, niñas y adolescentes puedan realizar
sus potencialidades como persona y aportar al desarrollo social. Es en este marco que el
Ministerio de Educación, como una de sus políticas priorizadas, busca asegurar que: Todos y
todas logran aprendizajes de calidad con énfasis en comunicación, matemática, ciudadanía,
ciencia, tecnología y productividad.

En el ámbito de la matemática, nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias y
capacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana. Es decir, como un medio
para comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta
a situaciones concretas, haciendo uso de conceptos, procedimientos y herramientas
matemáticas.

Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo, que llega hoy a tus manos,
como parte de las rutas de aprendizaje, y busca ser una herramienta para que nuestros
estudiantes puedan aprender. En él se formulan seis capacidades matemáticas que permiten
hacer más visible el desarrollo de la competencia matemática y trabajarla de forma integral.
Se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir de
una situación problemática, se desarrollan las seis capacidades matemáticas, en forma
simultánea, configurando el desarrollo de la competencia.

En este fascículo encontrarás:

•	 Algunas creencias que aún tenemos los docentes en nuestras prácticas educativas y que,
   con espíritu innovador, tenemos que corregir.

•	 Los estándares de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término de los ciclos
   VI y VII de la Educación Básica Regular, en dos dominios: número y operaciones, cambio y
   relaciones.




TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS                                                    77
•	   Las competencias y capacidades cuyo desarrollo permitirá alcanzar esos estándares de
         aprendizaje, con mayor énfasis en el primer dominio.

    •	   Orientaciones respecto de cómo facilitar el desarrollo de las competencias y capacidades
         matemáticas vinculadas a los dominios de número y operaciones, cambio y relaciones.

    Esperamos que este fascículo contribuya en tu labor cotidiana. Por nuestra parte estaremos
    muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolo en las próximas ediciones, de
    manera que sea lo más pertinente y útil para el logro de los aprendizajes a los que nuestros
    estudiantes tienen derecho.




8                                                 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
I. 	 ¿Qué entendemos por enseñar y
	 aprender en Matemática?




Nuestras creencias, es decir, nuestra visión particular de las matemáticas, influyen sobre lo
que hacemos en clase y sobre cómo aprenden nuestros estudiantes.

A continuación, presentamos dos situaciones de enseñanza que te permitirán reflexionar y
mejorar tu práctica pedagógica.

Creencia: Las ecuaciones se aprenden resolviendo muchos ejercicios y
solo después se emplean para resolver problemas.
  Roberto y Luisa son profesores de Matemática del mismo grado en una institución educativa.
  Veamos cuáles son sus experiencias de enseñanza de las ecuaciones cuadráticas:

          Profesor Roberto, quiero
          comentarle algo.
          Tengo serias dificultades con                              ¿Podría ser por su forma
          los estudiantes del tercer grado                           de enseñar? ¿Cómo está
          D, pues no tienen interés                                  desarrollando la sesión?
          en aprender ecuaciones
          cuadráticas.




    Tal como he aprendido cuando
    estaba en el colegio: muestro la forma
    general de la ecuación cuadrática y
    resuelvo un ejercicio como ejemplo.                     Yo parto de una situación problemática
    Luego dejo cinco ejercicios para                        que se puede resolver con una ecuación
    resolver en clase en forma individual                   cuadrática. Durante la resolución del
    y al final les planteo un problema de                   problema, los estudiantes obtienen una
    aplicación. ¿Y usted cómo enseña?                       ecuación cuadrática y desconocen su
                                                            solución. Justo hoy tengo clases con la
                                                            otra sección; le invito a que observe mi
                                                            sesión.




TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
                                                                                                       9
Jóvenes, hoy resolveremos un problema aplicando                      Los veo
      lo que han aprendido de ecuaciones. Escribiré el                     preocupados. ¿Qué
      enunciado del problema en la pizarra. Mientras                       dificultades tienen?            Profe, este problema no lo
      tanto, formen grupos de tres, elijan con quiénes
                                                                                                           podremos resolver. Sale
      desean trabajar.
                                                                                                           una ecuación cuadrática
                          El alcalde del distrito de San Pablo dona                                        y usted enseñó solo
                                                                                                  El alcalde del distrito de San Pablo dona
                          10 800 m2 de gras natural para cubrir el                                10 800 m de gras natural para cubrir el
                                                                                                            2

                          campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m                                            ecuaciones lineales.
                                                                                                  campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m
                          más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las                               más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las
                          dimensiones del campo deportivo para que                                dimensiones del campo deportivo para que
                          pueda usarse todo el gras donado?                                       pueda usarse todo el gras donado?




     Bien, muchacho, justo esperaba                                          Salen dos soluciones,
     escuchar eso. Es cierto lo                                              profe. Una es positiva y
     que dices, pero todos saben                                             otra negativa: 90 y -120.
     factorizar polinomios.
                                                                                                            ¿La medida puede ser
                             El alcalde del distrito de San Pablo dona                                      un número negativo?
                             10 800 m2 de gras natural para cubrir el
                             campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m
                             más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las
                             dimensiones del campo deportivo para que
                             pueda usarse todo el gras donado?




                                                                                           No, profe, entonces la
       Ahora, ¿qué valores                                                                 solución de la ecuación
       han obtenido?                                                                       es 90; es decir, el ancho
                                                                                           mediría 90 metros y el
                                                                                           largo 120 metros.

           Entonces los 10 800 m2 de césped donado                          Profesor, yo tengo otra
           por el alcalde alcanzarán para cubrir el                         pregunta: ¿hay otras
           campo deportivo con las dimensiones que                          aplicaciones de las ecuaciones
           han calculado.                                                   de segundo grado?




               Profesor, tengo una
               pregunta: ¿es la única forma                              Jóvenes, hay otras formas de resolver las ecuaciones
                                                                         de segundo grado, como también existen muchas
               de resolver la ecuación
                                                                         aplicaciones, pero el tiempo nos ha ganado. La próxima
               cuadrática?                                               clase desarrollaremos otras aplicaciones y otras formas
                                                                         de resolver estas ecuaciones.



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Lo felicito por su clase,
  profesor Roberto. Hasta                                          Gracias, profesora Luisa,
  ahora pensaba que solo se                                        formular un problema de
  podía enseñar a resolver                                         aplicación de ecuaciones
  problemas de aplicación                                          cuadráticas lleva tiempo.
  de ecuaciones cuadráticas                                        Por ello, al igual que muchos
  después de haber enseñado                                        docentes, elegimos lo más
  todos los algoritmos de                                          sencillo y rápido: resolver
  su resolución. Además,                                           ejercicios mecánicamente sin
  usted me ha demostrado                                           que estos aporten a la solución
  que pueden aprender                                              de un problema; pero así los
  estos algoritmos en el                                           estudiantes pierden interés por
  contexto de la resolución de                                     la matemática.
  problemas.




¿Cuáles son las creencias que tienen los docentes respecto a la enseñanza
de ecuaciones?
El informe pedagógico de los resultados de la evaluación nacional de estudiantes de Educación
Secundaria evidencia deficiencias en el desarrollo de aprendizajes en Matemática. Los
estudiantes tienen serias dificultades para hacer tareas tan elementales como la aplicación
de algoritmos algebraicos, como el cálculo del conjunto solución de ecuaciones (EN 2004-
UMC). Solo el 2,9 % de los estudiantes evaluados está en capacidad de describir en términos
matemáticos una situación de la vida real; por ejemplo, en situaciones como las descritas
anteriormente, se observa que para lograr desarrollar esta capacidad es necesario promover
situaciones de aprendizaje como Roberto.

Estos resultados se explican en parte porque los profesores resuelven ejercicios algorítmicos
sin relacionarlos con el contexto de la vida diaria de sus estudiantes, tal como muestra la
experiencia de Luisa. Tales prácticas pedagógicas reducen el interés de los estudiantes y son
pocos los docentes que consiguen motivarlos mediante actividades más significativas como
las planteadas por Roberto.

¿Por qué es importante contextualizar los contenidos matemáticos a partir
de la resolución de problemas?
La competencia no encierra en sí misma los conocimientos, la capacidad o la actitud para
aprender; requiere de la movilización de estos contenidos y de su contextualización (Perrenoud,
1999). Necesitamos, pues, promover el uso de los conocimientos, más que memorizarlos o
aplicarlos mecánicamente. Y esto se logra centrando la actividad de la clase en la resolución
de problemas contextualizados. Además, los datos del contexto del problema que se quiere
resolver demandan que se empleen operaciones mentales complejas.

El desarrollo de conceptos matemáticos necesita partir de las situaciones relacionadas con
la vida de los estudiantes, en los contextos donde se desenvuelven. En el relato anterior, el
recubrimiento del campo de fútbol con gras natural responde a los intereses de los estudiantes.
                        “MATEMÁTICA ES MÁS QUE RESOLVER ECUACIONES”


TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
                                                                                                     11
Creencia: Se usan materiales concretos para enseñar matemática
     solo en primaria o inicial; en secundaria no es necesario.
      Enseñaré primero
      recordando la definición           En esta unidad
      de la potenciación y               enseñaremos la notación
      luego las propiedades              científica y empezaré                         Muy bien, recuerden que tenemos
         a n =a × ... × a                recordando la potenciación                    que pensar en actividades o tareas
                  n                      con exponente negativo                        que permitan a los estudiantes
         24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
                                         en Q.                                         desarrollar sus capacidades para
                                                                                       resolver problemas.




                                     Ese tema es fácil,
                                     voy a refrescar a mis
      Yo voy a iniciar
                                     estudiantes con la               Los estudiantes al usar hojas A4
      con la técnica
                                     siguiente operación:             para la técnica del doblado de papel
      del doblado de
                                       3(−2)4 + 5(4 − 9)4 =           reconocen también la utilidad de la
      papel.
                                                                      “notación científica”.


                                   Muchachos, hoy les tengo un
                                   desafío. ¿Doblando una hoja                 Saquen una hoja y procedan a
                                   de papel A4 podemos llegar a                doblar en partes iguales tantas veces
                                   la Luna?                                    como sea necesario hasta alcanzar
                                                                               la distancia a la Luna.



         Me parece interesante
         trabajar con hojas. Pero
         creo difícil conseguirlo.                                                              Profesora, ¿cuánto mide
                                                                                                el grosor de una hoja de
                                                                                                papel A4?




           Claro, tendríamos                                                          Creo que podemos averiguarlo a
           que dividirlo entre                                                        partir de la medida del grosor de
           100. A ver, ¿cuánto                                                        un paquete de 100 hojas de papel
           sale?                                                                      tamaño A4.




12                                                                    Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
Profesora, sale 0,01 cm, que
  sería igual a 0,1 mm, y esto
  sería 10-4 metros.                                                              El segundo doblez
                                     Ah, entonces el primer
                                                                                  generaría cuatro partes; el
                                     doblez generaría dos
                                                                                  grosor sería 4•10-4 metros.
                                     partes: el grosor sería
                                     2•10-4 metros.




                                                               El tercer doblez generaría
                                                               ocho partes, el grosor sería
                                                               8•10-4 metros.
                                                                                       Entonces el cuarto doblez
                                                                                       generaría un grosor de
                                                                                       16•10-4 metros.

                  Si llamamos ‘n’ al número de veces que
                  doblamos un papel, ¿cómo podemos               ¿Cuál sería el grosor después de
                  conocer el tamaño que obtenemos al             14 dobleces? y ¿después de 19
                  doblar ‘n’ veces un papel?                     dobleces?
                  Mediante: Grosor = 2n•10-4 metros


                                                                                     Profesora, la distancia
                                                                                     de la Tierra a la Luna es
                                                                                     aproximadamente 384 400 km,
   Tras 14 dobleces, el espesor                                                      equivalentes a
   sería 214 •10-4 = 16 384 •10-4                                                    384 400 000 metros.
   = 1,6384 metros, algo más de                                                      Entonces ¿cuántos dobleces
   metro y medio.                                                                    podemos hacer?




                       Tras 19 dobleces, el grosor
                       o la altura sería 219 •10-4                      Necesitamos más de 43 dobleces,
                       = 524 288 •10-4 = 52,4288                        es decir, 243 •10-4, que es
                       metros, algo más de                              equivalente a 380 000 kilómetros
                       cincuenta y dos metros.                          o 380 000 000 metros.




TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
                                                                                                                   13
¿Cuáles son las concepciones que tienen los docentes respecto a los
     materiales concretos en esta historieta?
     	 La situación muestra las creencias que tienen algunos docentes respecto a las palabras
       ‘material concreto’ y ‘problema’; se piensa que no pueden estar planteadas juntas en la
       actividad de aprendizaje. Cuando se alude al uso de ‘materiales concretos’ en las sesiones
       de matemática en secundaria, existe el prejuicio de considerarla una actividad infantil
       y carente de seriedad para los estudiantes, hasta a veces se considera una pérdida de
       tiempo.
     	 Si observamos a los estudiantes, reconocemos en ellos reacciones diferentes cuando se
       les propone un problema mediante el uso de ‘material concreto’. Para algunos estudiantes
       hablar de un problema matemático trae consigo una serie de creencias; por ejemplo, creen
       que los problemas tienen que resolverse únicamente mediante el uso del lápiz y papel. Por
       otro lado, hay docentes que no consideran el uso del ‘material concreto’ en secundaria, y
       más bien creen que es pertinente solo para construir nociones básicas en niveles anteriores.
     	   El empleo de materiales educativos concretos diversos en matemática no solo despierta la
         curiosidad del estudiante, sino que también provee de significados conceptuales para el
         aprendizaje. Pero son solo un medio para conseguir algo y no un fin en sí mismos, por lo
         que debemos darles el justo valor y el tiempo apropiado. Por ello, sugerimos propiciar el
         aprendizaje de las matemáticas mediante el uso de materiales concretos.

     ¿Por qué es importante usar material educativo concreto en el proceso de
     enseñanza y aprendizaje de la matemática en el nivel secundario?
     Siempre que se piense en desarrollar las capacidades matemáticas para resolver problemas,
     el proceso óptimo de enseñanza y aprendizaje debería incluir la manipulación de distintos
     materiales, ya que solo mediante una enseñanza diversificada, rica en recursos y estrategias
     para abordar un mismo aprendizaje, conseguiremos que se construyan significados y atribuyan
     sentido al aprendizaje escolar. Después de este trabajo manipulativo con materiales concretos
     se puede pasar a utilizar, progresivamente, recursos más elaborados de ‘representación
     matemática’, por ejemplo: calculadoras gráficas, hojas de cálculo, instrumentos de medición
     e inclusive simuladores virtuales.
     Entre las ventajas que aportan los materiales didácticos concretos en la formación matemática
     de los estudiantes se pueden mencionar las siguientes:
     	   Proporcionan información y guían el aprendizaje, es decir, aportan una base concreta para
         el pensamiento conceptual y contribuyen a construir significados (Ogalde, C. y Bardavid, N.,
         2007).
     	   Desarrollan la continuidad de pensamiento, hacen que el aprendizaje sea más duradero y
         brindan una experiencia real que estimula la creatividad de los estudiantes.
     	   Despiertan el interés de los estudiantes, facilitan la evaluación de los aprendizajes mediante
         la técnica de observación sistemática y promueven la comunicación entre los estudiantes.

                      “MATEMÁTICA ES MÁS QUE REALIZAR CÁLCULOS NUMÉRICOS”


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II.	 ¿Qué aprenden nuestros adolescentes?




El fin de la educación es lograr que los estudiantes desarrollen competencias, las cuales
son definidas como un saber actuar en un contexto particular, en función de un objetivo o
la solución de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de la
situación y a la finalidad de nuestra acción. Para tal fin, se selecciona o se ponen en acción las
diversas capacidades y recursos del entorno.

En este fascículo se trabajan dos competencias matemáticas relacionadas con:

   Resolución de situaciones problemáticas en número y operaciones
   Resolución de situaciones problemáticas en cambio y relaciones

Competencia, capacidades e indicadores en número y operaciones
En número y operaciones se desarrolla la siguiente competencia:


  Resuelve situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la
  construcción del significado y el uso de los números y sus operaciones, empleando
  diversas estrategias de solución, justificando y valorando sus procedimientos y resultados.

El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VII ciclo es:

   Interpreta el número irracional como un decimal infinito y sin periodo. Argumenta por qué los
   números racionales pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Interpreta y representa
   cantidades y magnitudes mediante la notación científica. Registra medidas en magnitudes de
   masa, tiempo y temperatura según distintos niveles de exactitud requeridos, y distingue cuando
   es apropiado realizar una medición estimada o una exacta. Resuelve y formula situaciones
   problemáticas de diversos contextos referidas a determinar tasa de interés, relacionar hasta
   tres magnitudes proporcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qué las
   usó. Relaciona diferentes fuentes de información. Interpreta las relaciones entre las distintas
   operaciones (Mapa de Progreso de Matemática: Número y operaciones).

En este fascículo, un indicador se relaciona con más de una capacidad. Por lo tanto, para dar
cuenta del logro de las capacidades matemáticas, se requiere hacer una lectura del conjunto
de indicadores.


TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
                                                                                                     15
16
                                                                                                                                NÚMERO Y OPERACIONES - VII CICLO
                                                            CAPACIDADES
                                                                                                                                              INDICADORES
                                                             GENERALES
                                                                                    TERCER GRADO DE SECUNDARIA                         CUARTO GRADO DE SECUNDARIA                     QUINTO GRADO DE SECUNDARIA
                                                                             Construcción del significado y uso de              Construcción del significado y uso                 Construcción del significado y uso
                                                                             los números racionales e irracionales en           de números reales en situaciones                   de números reales en situaciones
                                                          Matematiza         situaciones problemáticas con cantidades,          problemáticas con cantidades continuas,            problemáticas con cantidades,
                                                          situaciones        grandes y pequeñas                                 grandes y pequeñas                                 continuas grandes y pequeñas
                                                          que involucran     •	 Describe situaciones de medidas en diversos •	 Propone situaciones de medida con                   •	 Modela información de cantidades
                                                          cantidades y          contextos para expresar números racionales     múltiplos y submúltiplos de unidades de                continuas y discretas de su entorno,  
                                                          magnitudes            en su notación decimal, científica e           magnitudes para expresar números reales                usando intervalos de números reales.
                                                          en diversos           intervalos.                                    mediante notación científica.                       •	 Plantea situaciones de productos y
                                                          contextos.         •	 Describe las estrategias utilizadas con las     •	 Ordena datos en esquemas de organización           cocientes de magnitudes que dan
                                                                                operaciones en intervalos para resolver            que expresan números reales.                       otras magnitudes para expresar
                                                                                situaciones problemáticas.                      •	 Utiliza las formas gráficas y simbólicas de        números reales mediante notación
                                                                             •	 Expresa los números racionales mediante            intervalos para representar información.           científica.
                                                                                notación científica.                            •	 Expresa situaciones de medida de                •	 Explica procedimientos deductivos al
                                                          Representa                                                                                                                  resolver situaciones comerciales de
                                                                             •	 Ordena datos en esquemas de organización           temperaturas, índices financieros, tallas,
                                                          situaciones                                                                                                                 aumentos y descuentos sucesivos y
                                                                                que representan los números racionales y           etc., que implican el uso de los números
                                                          que involucran                                                                                                              financieras de interés compuesto.
                                                                                sus operaciones con intervalos.                    reales mediante intervalos en su forma
                                                          cantidades y
                                                                             •	 Formula estrategias de estimación de               gráfica y simbólica.                            •	 Describe las estrategias de
                                                          magnitudes                                                                                                                  estimación de medidas o cantidades
                                                          en diversos           medidas o cantidades para ordenar números •	 Aplica variadas estrategias con números
                                                                                racionales en la recta real.                 reales, intervalos y proporciones de hasta               para ordenar números reales en la
                                                          contextos.                                                                                                                  recta real.
                                                                             •	 Aplica variadas estrategias con números      dos magnitudes e interés compuesto.
                                                                               racionales, intervalos y proporciones de         •	 Utiliza intervalos y expresiones de notación    •	 Formula estrategias de estimación de
                                                                               hasta dos magnitudes e interés compuesto.           científica con números reales.                     medidas o cantidades para ordenar
                                                                                                                                                                                      números racionales e irracionales en
                                                                             •	 Usa los símbolos de =, >, <, ≤, ≥, corchetes,   •	 Explica la utilidad de la notación científica
                                                                                                                                                                                      la recta real.
                                                          Comunica              unión, intersección, para comparar y               y los intervalos.
                                                                                ordenar dos o más cantidades.                                                                      •	 Explica las condiciones de densidad y
                                                          situaciones                                                           •	 Explica las condiciones de densidad de
                                                                                                                                                                                      completitud de los números reales en
                                                          que involucran     •	 Utiliza construcciones con regla o                 los números reales expresados en la recta
                                                                                                                                                                                      la recta numérica.
                                                          cantidades y          compás para ubicar números racionales e            numérica.
                                                          magnitudes            irracionales en la recta real.                  •	 Explica las distinciones entre los números
                                                          en diversos        •	 Explica la existencia de los números               racionales e irracionales.
                                                          contextos.            irracionales como decimales no periódicos
                                                                                a partir de situaciones de medidas de
                                                                                longitudes y áreas de algunas figuras.




Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
                                                                                geométricas planas
Construcción del significado y uso de las         Construcción del significado y uso de              Construcción del significado y uso
                                                                   operaciones con números racionales e              las operaciones con números reales en              de las operaciones con números
                                                                   irracionales en situaciones problemáticas         situaciones problemáticas con cantidades           reales en situaciones problemáticas
                                                                   con cantidades continuas, grandes y               continuas, grandes y pequeñas                      con cantidades continuas, grandes y
                                                                   pequeñas                                          •	 Describe procedimientos deductivos al           pequeñas
                                                                   •	 Formula estrategias de estimación de              resolver situaciones de interés compuesto       •	 Relaciona los números reales y sus
                                               Elabora estrategias    medidas o cantidades para ordenar números         hasta con tres magnitudes en procesos de           operaciones como un medio para
                                               haciendo uso de        irracionales en la recta real.                    situaciones comerciales, financieras y otras.      resolver situaciones financieras y
                                               los números y       •	 Aplica operaciones con números, intervalos     •	 Describe situaciones científicas con               comerciales sobre tasas, intereses y
                                               sus operaciones        y proporciones con racionales para resolver       cantidades muy grandes y muy pequeñas              aumentos o descuentos sucesivos.
                                               para resolver          situaciones financieras y comerciales.            (por ejemplo, en la nanotecnología o las        •	 Relaciona las propiedades de
                                               problemas.          •	 Describe las estrategias utilizadas con las       distancias estelares).                             las operaciones en los números
                                                                      operaciones y proporciones con racionales      •	 Usa las diferentes representaciones gráficas       reales para resolver problemas de
                                                                      para resolver situaciones de porcentajes,         o simbólicas para representar y operar con         enunciado verbal y simbólico con
                                                                      interés y de ganancias y pérdidas.                intervalos.                                        números reales.
                                                                   •	 Usa los porcentajes e interés simple en la     •	 Explica estrategias de resolución de            •	 Propone estrategias para resolver
                                                                      resolución problemas de textos discontinuos.      problemas simulados y reales de varias             operaciones de varias etapas




TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
                                                                                                                        etapas aplicando las propiedades de las            respetando la jerarquía de
                                               Utiliza expresiones •	 Justifica el uso de las operaciones con                                                              las operaciones, aplicando las
                                                                      racionales expresados en notaciones               operaciones aditivas multiplicativas y
                                               simbólicas,                                                              potencias con números reales.                      propiedades de las operaciones con
                                                                      fraccionarias, decimales y científicas para                                                          números reales.
                                               técnicas y
                                                                      resolver situaciones de contextos variados.    •	 Elabora estrategias para encontrar números
                                               formales de los                                                          reales entre dos números dados.                 •	 Formula variadas estrategias
                                               números y las       •	 Explica la imposibilidad de representar los                                                          heurísticas (ensayo y error, hacer
                                                                      irracionales en decimales periódicos puros,    •	 Formula estrategias de estimación de               una lista sistemática, empezar por el
                                               operaciones en
                                                                      mixtos y no periódicos para extender los          medidas para ordenar números reales en la          final, establecer subtemas, suponer
                                               la resolución de       números racionales a los irracionales.            recta real.
                                               problemas.                                                                                                                  el problema resuelto) para resolver
                                                                   •	 Elabora estrategias heurísticas (ensayo        •	 Aplica variadas estrategias heurísticas            problemas con los números reales.
                                                                      error, hacer una lista sistemática, empezar       (ensayo y error, hacer una lista sistemática,   •	 Usa los números reales y sus
                                                                      por el final, establecer subtemas, suponer        empezar por el final, establecer subtemas,         operaciones para resolver situaciones
                                                                      el problema resuelto) .                           suponer el problema resuelto) para                 financieras y comerciales sobre tasas
                                                                   •	 Usa los símbolos de intervalos, como              resolver situaciones laborales, financieras,       e interés compuesto, aumentos o
                                                                      corchetes, desigualdades o gráficas sobre la      etc, sobre proporciones de hasta tres              descuentos simples y sucesivos.
                                               Argumenta el uso       recta, para resolver operaciones de unión,        magnitudes e interés compuesto.
                                                                                                                                                                        •	 Demuestra conjeturas planteadas a
                                               de los números y       intersección, diferencia y complemento de      •	 Aplica operaciones y proporciones con              partir de la resolución del problema
                                               sus operaciones en     conjuntos de números reales.                      números reales para resolver situaciones           para situaciones financieras y
                                               la resolución de    •	 Aplica las propiedades de las operaciones         financieras, comerciales y otras sobre             comerciales sobre tasas e interés
                                               problemas.             aditivas, multiplicativas y potencias con         porcentajes e interés compuesto.                   compuesto, aumentos o descuentos
                                                                      racionales e irracionales.                     •	 Usa los símbolos de la representación de           simples y sucesivos.
                                                                   •	 Explica estrategias de resolución de              intervalos sobre la recta para resolver
                                                                      problemas.                                        operaciones de unión, intersección,
                                                                                                                        diferencia y complemento de números
                                                                   •	 Utiliza la potenciación y la radicación como      reales.
                                                                      operaciones inversas para calcular las
                                                                      raíces de números naturales que expresan
                                                                      números irracionales.




              17
Competencia, capacidades e indicadores en cambio y relaciones

     En cambio y relaciones se desarrolla la siguiente competencia:

        Resolver situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la
        construcción del significado y el uso de los patrones, igualdades, desigualdades,
        relaciones y funciones, utilizando diversas estrategias de solución y justificando sus
        procedimientos y resultados.




                                                                                    En la figura adjunta se
                                                                                    esquematiza la competencia
                                                                                    matemática en cambio y
                                                                                    relaciones. En ella confluyen las
                                                                                    seis capacidades matemáticas
                                                                                    generales que se movilizan
                               MATEMÁTICA                                           de manera sistémica con los
                                                                                    conocimientos de patrones,
                                                                                    ecuaciones e inecuaciones,
                                                                                    relaciones      y       funciones
                                                                                    para     resolver     situaciones
                                                                                    problemáticas de la vida
                                                                                    cotidiana.


          Adaptación: Modelo de competencia matemática de Mogens Niss, 2011.


     El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VII ciclo es:


       Generaliza y verifica la regla de formación de progresiones geométricas, sucesiones crecientes
       y decrecientes con números racionales e irracionales, las utiliza para representar el cambio en
       los términos de la sucesión. Representa las condiciones planteadas en una situación mediante
       ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones lineales con una variable;
       usa identidades algebraicas y técnicas de simplificación, comprueba equivalencias y argumenta
       los procedimientos seguidos. Modela situaciones de cambio mediante funciones cuadráticas, las
       describe y representa con expresiones algebraicas, en tablas o en el plano cartesiano. Conjetura
       cuándo una relación entre dos magnitudes puede tener un comportamiento lineal o cuadrático;
       formula, comprueba y argumenta sus conclusiones (Mapa de Progreso de Matemática: Cambio
       y relaciones).

     En este fascículo, un indicador se relaciona con más de una capacidad. Por lo tanto, para dar
     cuenta del logro de las capacidades matemáticas, se requiere hacer una lectura del conjunto
     de indicadores.


18                                                                 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
CAMBIO Y RELACIONES - VII CICLO
                                               CAPACIDADES
                                                                                                                                     INDICADORES
                                                GENERALES
                                                                       TERCERO GRADO DE SECUNDARIA                         CUARTO GRADO DE SECUNDARIA                          QUINTO GRADO DE SECUNDARIA
                                                                Construcción del significado y uso de sucesiones       Construcción del significado y uso de            Construcción del significado y uso de
                                                                crecientes y decrecientes en situaciones               sucesiones crecientes y decrecientes en          sucesiones crecientes y decrecientes en
                                                                problemáticas de regularidad                           situaciones problemáticas de regularidad         situaciones problemáticas de regularidad
                                                 Matematiza
                                                                •	 Elabora modelos usando la progresión geométrica     •	 Elabora modelos usando la progresión          •	 Plantea modelos de una sucesión creciente o
                                                 situaciones       a partir de regularidades reales o simuladas.          geométrica a partir de regularidades reales      decreciente a partir de regularidades reales o
                                               que involucran   •	 Ordena datos en esquemas para organizar                o simuladas.                                     simuladas.
                                               regularidades,      regularidades mediante progresiones                 •	 Ordena datos en esquemas para organizar       •	 Ordena datos en esquemas para organizar
                                                equivalencias      geométricas.                                           regularidades mediante progresiones              regularidades mediante sucesiones crecientes y
                                                  y cambios     •	 Manifiesta acuerdos consensuados para resolución       geométricas.                                     decrecientes.
                                                 en diversos       de problemas que implican progresiones              •	 Interviene y opina presentando ejemplos y     •	 Interviene y opina presentando ejemplos y
                                                 contextos.        geométricas con números racionales.                    contraejemplos sobre los resultados de un        contraejemplos sobre los resultados de un
                                                                •	 Utiliza expresiones algebraicas para determinar        modelo de progresión geométrica.                 modelo de sucesión creciente y decreciente.




TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
                                                                   la suma de los términos de la progresión            •	 Elabora estrategias heurísticas para          •	 Elabora estrategias heurísticas para resolver
                                                                   geométrica.                                            resolver problemas que involucran                problemas que involucran sucesiones
                                                                •	 Elabora estrategias heurísticas para resolver          progresiones geométricas.                        crecientes y decrecientes.
                                                                   problemas que involucran progresiones               •	 Utiliza expresiones algebraicas para          •	 Utiliza expresiones algebraicas para generalizar
                                                                   geométricas.                                           generalizar progresiones geométricas.            sucesiones crecientes y decrecientes.
                                                 Representa     •	 Verifica la regla de formación y la suma de         •	 Verifica la regla de formación y la suma de   •	 Justifica procedimientos y posibles resultados
                                               situaciones de      los términos de progresiones geométricas con           los términos de progresiones geométricas         a partir de una regla que genera sucesiones
                                               regularidades,      números racionales.                                    con números reales.                              crecientes y decrecientes con números reales.
                                               equivalencias    Construcción del significado y uso de ecuaciones       Construcción del significado y uso de            Construcción del significado y uso de sistema
                                                  y cambios     cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales con      inecuaciones cuadráticas y sistema de            de inecuaciones lineales con dos variables en
                                                 en diversos    dos variables en situaciones problemáticas de          ecuaciones lineales con tres variables en        situaciones problemáticas y de optimización
                                                 contextos.     equivalencia                                           situaciones problemáticas de equivalencia        •	 Diseña modelos de situaciones reales o
                                                                •	 Elabora modelos de situaciones reales o             •	 Plantea modelos de situaciones reales            simuladas mediante sistemas de inecuaciones
                                                                   simuladas mediante ecuaciones cuadráticas,             o simuladas mediante inecuaciones                lineales de dos variables con coeficientes
                                                                   sistemas de ecuaciones lineales con dos                cuadráticas con coeficientes racionales.         reales.
                                                                   variables.                                          •	 Modela situaciones de contextos reales        •	 Elabora modelos de situaciones que requieren
                                                                •	 Ordena datos en esquemas para establecer               o simulados mediante desigualdades               de optimización mediante el uso de la
                                                                   equivalencias mediante ecuaciones cuadráticas          cuadráticas con coeficientes reales.             programación lineal.
                                                  Comunica         y sistemas de ecuaciones lineales con dos           •	 Ordena datos en esquemas para establecer      •	 Ordena datos en esquemas para establecer
                                               situaciones de      variables.                                             equivalencias mediante inecuaciones              equivalencias mediante sistemas de
                                               regularidades,   •	 Ubica en el plano cartesiano el conjunto solución      cuadráticas.                                     inecuaciones lineales.
                                               equivalencias       de ecuaciones cuadráticas.                          •	 Ubica en la recta real el conjunto solución   •	 Grafica en el plano cartesiano las regiones
                                                  y cambios     •	 Interviene y opina respecto al proceso de              de inecuaciones cuadráticas.                     que expresan todos los posibles valores que
                                                                   resolución de problemas que implican usar           •	 Describe en forma oral o escrita las             pueden asumir las variables de un sistema de
                                                 en diversos
                                                                   ecuaciones cuadráticas y sistema de ecuaciones         estrategias empleadas en la resolución de        inecuaciones.
                                                 contextos.        lineales con dos variables.                            problemas que involucran inecuaciones         •	 Resume intervenciones respecto al proceso
                                                                •	 Elabora estrategias heurísticas para resolver          cuadráticas y sistema de ecuaciones              de resolución de problemas que implican usar
                                                                   problemas que involucran ecuaciones                    lineales con dos y tres incógnitas.              métodos de optimización lineal.
                                                                   cuadráticas y sistema de ecuaciones lineales
                                                                   con dos variables.




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                                                                              •	 Emplea métodos de resolución (reducción,            •	 Elabora estrategias heurísticas para resolver          •	 Elabora estrategias heurísticas para
                                                                                 sustitución, gráfico, igualación) para resolver        problemas que involucran inecuaciones                     resolver problemas que involucran
                                                                                 problemas que involucran sistema de ecuaciones         cuadráticas y sistema de ecuaciones lineales con          sistemas de inecuaciones lineales con
                                                                                 lineales con dos variables.                            tres variables.                                           dos variables.
                                                                              •	 Utiliza operaciones aditivas y multiplicativas de   •	 Emplea métodos de resolución (reducción,               •	 Emplea métodos de resolución para
                                                          Elabora estrategias    expresiones algebraicas para resolver situaciones      sustitución, gráfico, igualación) para resolver           resolver problemas que involucran
                                                             haciendo uso        problemáticas que implican sistemas de                 problemas que involucran sistema de ecuaciones            sistemas de inecuaciones lineales con
                                                                                 ecuaciones lineales con dos variables.                 lineales con tres variables.                              dos variables.
                                                             de patrones,
                                                                              •	 Utiliza el sistema de coordenadas cartesianas       •	 Usa el método de intervalos y de puntos críticos       •	 Utiliza el sistema de coordenadas
                                                               relaciones
                                                                                 para resolver problemas que implican sistemas de       para encontrar las soluciones de inecuaciones             cartesianas para resolver problemas
                                                              y funciones                                                               cuadráticas.                                              que implican sistema de inecuaciones
                                                                                 ecuaciones lineales de dos variables.
                                                             para resolver                                                           •	 Utiliza gráficos de rectas en el sistema de               lineales de tres variables.
                                                                              •	 Utiliza factorización, productos y cocientes
                                                              problemas.         notables para simplificar expresiones algebraicas      coordenadas cartesianas para resolver problemas        •	 Justifica mediante procedimientos
                                                                                 y comprobar equivalencias.                             que implican sistema de ecuaciones lineales de            gráficos o algebraicos el uso de
                                                                              •	 Justifica mediante procedimientos algebraicos o        tres variables.                                           métodos de optimización lineal de dos
                                                                                 gráficos que la ecuación cuadrática de la forma     •	 Justifica mediante procedimientos gráficos o              variables para resolver problemas.
                                                                                 ax² + bx + c = 0, o sus expresiones equivalentes,      algebraicos que la inecuación cuadrática de            Construcción del significado y uso de
                                                                                 modela una situación problemática dada.                la forma ax² + bx + c < 0, o sus expresiones           función exponencial en situaciones
                                                                                                                                        equivalentes, modela la situación problemática         problemáticas de cambio
                                                          Utiliza expresiones Construcción del significado y uso de funciones           dada.
                                                                              cuadráticas en situaciones problemáticas de                                                                      •	 Diseña situaciones de cambio reales
                                                              simbólicas,                                                            Construcción del significado y uso de funciones              o simuladas mediante funciones
                                                                              cambio
                                                               técnicas y                                                            cuadráticas en situaciones problemáticas de                  exponenciales.
                                                                              •	 Elabora modelos a partir de situaciones de          cambio
                                                              formales de        cambio usando las funciones cuadráticas con                                                                   •	 Grafica en el plano cartesiano diversos
                                                               patrones,         coeficientes naturales y enteros.                   •	 Diseña modelos de situaciones de cambio                   valores a partir de la organización
                                                              relaciones y                                                              mediante funciones cuadráticas con coeficientes           de datos para resolver problemas
                                                                              •	 Ordena datos en esquemas para organizar                naturales y enteros.
                                                            funciones en la      situaciones de cambio mediante funciones                                                                         de cambio que impliquen funciones
                                                             resolución de       cuadráticas.                                        •	 Ordena datos en esquemas para organizar                   exponenciales.
                                                                                                                                        situaciones de cambio mediante funciones               •	 Ordena datos en esquemas para
                                                              problemas.      •	 Grafica en el plano cartesiano diversos valores a      cuadráticas.
                                                                                 partir de la organización de datos para resolver                                                                 organizar situaciones de cambio
                                                                                 problemas de cambio que impliquen funciones         •	 Describe procedimientos deductivos en la                  mediante funciones exponenciales.
                                                                                 cuadráticas.                                           resolución de problemas que implican usar              •	 Resume intervenciones respecto al
                                                                                                                                        funciones cuadráticas                                     proceso de resolución de problemas
                                                                              •	 Interviene y opina respecto al proceso de
                                                                                 resolución de problemas que implican usar           •	 Grafica en el plano cartesiano diversos valores a         que involucran modelos exponenciales.
                                                                                 funciones cuadráticas.                                 partir de la organización de datos para resolver       •	 Elabora estrategias heurísticas para
                                                             Argumenta el                                                               problemas de cambio que impliquen funciones               resolver problemas que involucran
                                                                              •	 Elabora estrategias heurísticas para resolver          cuadráticas.
                                                           uso de patrones,      problemas que involucran funciones cuadráticas.                                                                  funciones exponenciales.
                                                               relaciones                                                            •	 Elabora estrategias heurísticas para resolver          •	 Utiliza la gráfica de la función
                                                                              •	 Utiliza la gráfica de la función cuadrática para       problemas que involucran funciones cuadráticas
                                                              y funciones        determinar los valores máximos y mínimos y los                                                                   exponencial en el plano cartesiano
                                                                                 puntos de intersección con los ejes coordenados     •	 Utiliza la gráfica de la función cuadrática para          para determinar las relaciones entre
                                                             para resolver
                                                                                 para determinar la solución de la ecuación             determinar los valores máximos y mínimos y los            valores de variables de situaciones
                                                              problemas.                                                                puntos de intersección con los ejes coordenados           modeladas por esta función.
                                                                                 cuadrática implicada en el problema.
                                                                                                                                        para determinar la solución de la ecuación             •	 Justifica mediante procedimientos
                                                                              •	 Justifica mediante procedimientos gráficos o           cuadrática implicada en el problema.
                                                                                 algebraicos que la función cuadrática de la                                                                      gráficos o algebraicos que la función
                                                                                 forma f(x) = ax² + bx + c, o sus expresiones        •	 Justifica mediante procedimientos gráficos o              exponencial de la forma y = ax, o sus
                                                                                 equivalentes, modela la situación problemática         algebraicos que la función cuadrática de la forma         expresiones equivalentes, modelan la




Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
                                                                                 dada.                                                  f(x) = ax² + bx + c, o sus expresiones equivalentes,      situación problemática dada.
                                                                                                                                        modela la situación problemática dada.
III.	 ¿Cómo podemos facilitar estos
	      aprendizajes?



En esta sección desarrollaremos algunas actividades que nos                       Sesión
                                                                                laboratorio
ayudarán a mejorar nuestro trabajo como docentes para que                       matemático
nuestros estudiantes logren sus aprendizajes.

3.1	Desarrollando escenarios de aprendizaje

La competencia matemática de resolución de problemas se
desarrolla mediante la movilización sistémica de capacidades,   Proyecto
                                                                                Sesión
                                                                                 taller
conocimientos y actitudes. Esta movilización es apropiada solo matemático     matemático
cuando está contextualizada. Por ello, se han seleccionado tres
contextos o escenarios en los que comúnmente se organizan y
desarrollan las actividades de aprendizaje. A estos escenarios
los llamaremos: Sesión laboratorio matemático, Sesión taller matemático y Proyecto
matemático.
Además de ser complementarios entre sí, una característica fundamental de estos escenarios
es que deben recrear situaciones en las que la competencia matemática tenga sentido.
A continuación, describimos cada uno de estos escenarios de aprendizaje:
a)	Sesión laboratorio matemático
Escenario donde el estudiante, a partir de actividades vivenciales, lúdicas y de experimentación,
llega a construir conceptos y propiedades matemáticas. En este escenario el estudiante
busca regularidades para generalizar el conocimiento matemático, profundiza o moviliza los
conocimientos aprendidos o construye nuevos aprendizajes para resolver problemas.
b)	Sesión taller matemático
Escenario donde el estudiante usa aquellos aprendizajes que ha ido desarrollando en un
periodo de sesiones de aprendizaje. El estudiante despliega diversos recursos (técnicos,
procedimentales y cognitivos) con la intención de resolver situaciones problemáticas usando
diversas estrategias de solución.
c)	Proyecto matemático
Escenario que tiene por finalidad contribuir con la solución de un problema social, económico,
productivo o científico de interés de los estudiantes, de la institución educativa o de su
comunidad. Para esto, requieren usar sus capacidades y conocimientos matemáticos. El
producto es la contribución de la clase con la solución del problema.



TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
                                                                                                    21
3.2	Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VII
     	   ciclo de la EBR

     La competencia de resolución de          desarrollo de los conocimientos en torno a número y
     problemas promueve el desarrollo                               operaciones
     de las capacidades y conocimientos                                              VI            VII
                                                                   CICLOS Y
     matemáticos de número y sus                                   GRADOS
                                                                                   CICLO         CICLO
                                              CONSTRUCCIÓN
     operaciones.        Los    estudiantes   DEL SIGNIFICADO Y                    2.º     3.º   4.º     5.º
                                              USO DE CONOCIMIENTOS
     adquieren y construyen estos
     conocimientos en forma progresiva.       Porcentajes como la expresión
                                              de parte-todo
     En primaria y en el primer grado
     de secundaria se enfatiza en los         Número racional como
                                              expresión fraccionaria, decimal
     números naturales. En secundaria se      y porcentual para expresar
                                              cantidades continuas y discretas
     inicia con el estudio de los números
     enteros y racionales, y se culmina con   Propiedades de los números
                                              racionales
     la construcción de los números reales.
     Por ello, en los espacios pedagógicos    Potenciación con base
                                              fraccionaria y exponente entero
     se establecen conexiones entre estos
     conocimientos.                           Potenciación y radicación como
                                              operaciones inversas

     Hoy estos conocimientos adquieren        Operaciones con los números
     importancia debido a la gran             racionales

     cantidad de información que              Representación, comparación y  
                                              orden en los números racionales
     recibimos en tablas, expresiones         a partir de cantidades continuas
     porcentuales,     infografías    con
                                              Irracionales en situaciones
     datos numéricos, etc. Por ello, es       geométricas
     significativo usar adecuadamente
                                              Irracionales en la recta numérica
     estos conocimientos matemáticos          (recta real)
     en diversos contextos. Por ejemplo,
                                              Notación científica en situaciones
     usar la notación científica de los       de medición de longitud, masa y
     números se realiza en mediciones de      tiempo
     magnitudes grandes, como la menor        Notación científica en situaciones
     distancia entre la Tierra y Marte        de medición de superficie y
                                              volumen
     (102 × 109 m) o magnitudes muy
     pequeñas, como las que se realizan       Notación científica  en
                                              situaciones que involucran
     en la nanotecnología cuando estudia      magnitudes físicas y químicas
     partículas tan pequeñas como los         Interés simple en contextos
     átomos y moléculas (100 × 10-9 m).       financieros

                                              Interés simple y compuesto en
     De la misma manera los conoci-           contextos financieros
     mientos de patrones, ecuaciones          Densidad de los números reales
     y funciones están mutuamente
                                              Operaciones con números reales
     relacionados y son adquiridos en
     forma progresiva desde la infancia,      Relaciones entre los sistemas
     donde se desarrollan las nociones        numéricos

     básicas, y a través de los diferentes    Completitud de los números
                                              reales
     niveles de la Educación Básica.


22                                                 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
En el último grado de primaria y en             desarrollo de los conocimientos en torno a CAMBIO Y
los primeros años de secundaria,                                      RELACIONES
se enfatiza en el estudio de los                                                      VI            VII
                                                                         CICLOS Y   CICLO         CICLO
patrones, y al finalizar la secundaria,        CONSTRUCCIÓN              GRADOS
se estudian sucesiones en los                  DEL SIGNIFICADO Y                    2.º     3.º   4.º     5.º
                                               USO DE CONOCIMIENTOS
números reales. Las ecuaciones
                                               Patrones geométricos de
se estudian prioritariamente en los            traslación, rotación y reflexión
grados intermedios, mientras que las
                                               La regla de formación de
funciones se formalizan al finalizar el        progresiones aritméticas y de la
sexto ciclo y se profundizan en los            suma de los términos a partir de
                                               regularidades
últimos grados.
                                               La regla de formación de
                                               progresiones geométricas y de la
Todos estos conocimientos se                   suma de los términos a partir de
aprenden usándose en la solución de            regularidades
situaciones problemáticas cercanas             Modelos de una progresión
a la vida de los estudiantes, ya sean          geométrica

reales o simuladas.                            Sucesiones crecientes y
                                               decrecientes
A continuación, daremos una                    Ecuaciones lineales en situaciones
explicación de cómo progresan                  de equivalencia
estos conocimientos en la Educación
                                               Inecuaciones lineales en
Básica Regular con la intención de             situaciones de desigualdad
mostrar el progreso que tienen los
                                               Sistemas de ecuaciones lineales
estudiantes en el desarrollo de su             con dos variables en situaciones
competencia matemática.                        de igualdad

                                               Ecuaciones cuadráticas en
Uno de los temas centrales del                 situaciones de igualdad y
                                               determinación de máximos y
estudio de la matemática se refiere            mínimos
a los patrones. Los estudiantes
                                               Sistemas de ecuaciones lineales
necesitan reconocer, describir y               con tres variables en situaciones
generalizar    patrones.   También             de igualdad

requieren desarrollar capacidades              Inecuaciones cuadráticas en
para construir modelos matemáticos             situaciones de desigualdad

que simulen el comportamiento de               Sistema de inecuaciones con dos
los fenómenos del mundo real que               variables (programación lineal)
                                               en situaciones de optimización
muestren patrones observables.
En los primeros años de su vida,               Situaciones de proporcionalidad
                                               directa e inversa
los niños identifican patrones en
movimientos, sonidos y formas.                 Modelación de situaciones de
                                               cambio mediante la función
En sus primeras experiencias con               lineal y lineal afín
su entorno, identifican patrones
                                               Modelación de situaciones de
en objetos concretos y situaciones             cambio mediante funciones
mediante la observación y la                   cuadráticas
manipulación. Luego, al finalizar              Modelación de situaciones de
los estudios de la primaria y en la            cambio mediante funciones
                                               exponenciales
secundaria, usan la abstracción y


TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
                                                                                                                23
comprenden regularidades en los conjuntos numéricos. Al iniciar sus estudios escolares, los
     estudiantes emplean tablas, gráficos y descripciones verbales para representar patrones. Los
     estudiantes comprueban cómo cambian los patrones en las actividades vivenciales y en las
     tareas propuestas. Esto facilita la comprensión del concepto de variable como una cantidad
     que cambia y que asume diferentes valores. Esta experiencia continúa hasta la educación
     secundaria; sin embargo, en este nivel los estudiantes llegan a generalizar y usar expresiones
     algebraicas de forma fluida.

     Las igualdades y desigualdades es otro de los aprendizajes más importantes que necesitan
     construir los estudiantes en la Educación Básica. Los estudiantes buscan diferentes maneras
     de usar los números para expresar cantidades iguales o equivalentes y las relaciones entre
     estas. Las variables se introducen como cantidades desconocidas en las ecuaciones y se
     desarrollan técnicas para resolverlas. Desde los inicios de la escolaridad, los niños construyen
     nociones de equivalencia de expresiones aditivas. Al finalizar la educación primaria son
     capaces de representar las condiciones de una situación problemática mediante ecuaciones
     lineales. En los primeros grados de secundaria experimentan situaciones reales o simuladas
     para profundizar la comprensión de las igualdades y desigualdades. En los últimos grados
     formulan modelos mediante ecuaciones e inecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones
     e inecuaciones lineales para resolver situaciones problemáticas.

     En cuanto a las relaciones y funciones, los estudiantes deben comprender, establecer y usar
     relaciones entre:

     a) cantidades y magnitudes,
     b) las formas de representación de estas relaciones y
     c) el análisis de las situaciones de cambio.

     Estos tres aprendizajes están relacionados con los aprendizajes descritos anteriormente, los
     cuales les sirven de fundamento. Por ejemplo, tener experiencias sistemáticas con patrones
     ayuda a entender la idea de función. Y para resolver situaciones que implican funciones se
     necesita del manejo de ecuaciones para comprender las relaciones y hallar la solución.

     Cuando los estudiantes entienden que pueden representar situaciones usando la matemática
     –ya sea en la educación inicial, primaria o los primeros grados de secundaria–, adquieren
     nociones elementales de la modelización matemática que llegan a formalizarse hacia los
     últimos grados de la secundaria.




24                                                  Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
3.3	Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los
    indicadores propuestos

A continuación, presentamos un modelo para la organización de una unidad de aprendizaje
y una sesión de aprendizaje, tomando como recurso la matriz de indicadores, correspondien-
te al cuarto grado de Secundaria.

                                             Unidad de aprendizaje
     Capacidades                                                                                  Escenarios y
                                         Indicadores                                                                      Tiempo
      generales                                                                                   actividades
     Matematiza       	 Diseña modelos de situaciones                                      Proyecto matemático:         Sesión de 2
     situaciones         de cambio usando funciones                                        Funciones cuadráticas que     semanas
     de cambio           cuadráticas.                                                      abaratan costos de viaje
     en diversos                                                                           de promoción.
     contextos.       	 Ordena datos en esquemas
                         para resolver problemas                                           	 Constituir ocho equipos
     Representa          de situaciones de cambio                                            de trabajo de cinco
     situaciones         que implican funciones                                              estudiantes para
     de cambio           cuadráticas.                                                        desarrollar las tareas por
     en diversos                                                                             comisiones.
     contextos.       	 Interviene y opina respecto
                         al proceso de resolución de                                       	 Realizar el estudio
     Comunica            problemas que implican usar                                         de costos de pasajes
     situaciones         funciones cuadráticas.                                              para transportar a los
     de cambio                                                                               estudiantes a la ciudad
     en diversos      	 Elabora estrategias heurísticas                                      de Cusco, ida y vuelta.
     contextos.          para resolver problemas
                         que involucran funciones                                          	 Evaluar todas las ofertas
     Elabora             cuadráticas.                                                        propuestas por las
     diversas                                                                                empresas de transporte
     estrategias      	 Establece relaciones de                                              con la finalidad de
     para resolver       dependencia entre magnitudes                                        abaratar costos.
     problemas.          para resolver problemas
                         que involucran funciones                                          	 Si amerita, proponer a
     Utiliza             cuadráticas.                                                        la junta directiva de la
     expresiones                                                                             otra promoción incluirlos
     simbólicas y     	 Justifica mediante ejemplos                                          en la excursión.
     formales de         que la función cuadrática de
                                       y = ax 2 + bx + c
                         la forma                         , o                              	 En caso de aceptar la
     relaciones                                                                              oferta de la empresa
     y funciones         sus expresiones equivalentes,
                         modela una situación                                                de transportes Cruz
     para resolver                                                                           Azul, calcular el
     problemas.          problemática.
                                                                                             número de estudiantes
     Argumenta        	 Justifica mediante                                                   adicionales que viajen
     el uso de           procedimientos gráficos que la                                      con la promoción,
     relaciones          función cuadrática de la forma                                      de manera que no se
     y funciones         y = ax 2 + bx + c
                                                 , o sus                                     supere el monto máximo
     para resolver       expresiones equivalentes,                                           asignado para solventar
     problemas           modela la situación                                                 el costo de pasajes
     de diversos         problemática dada.                                                  con el presupuesto a
     contextos.                                                                              recaudarse.
                                                                                           Sesión taller matemático
                                                                                           Funciones cuadráticas         Sesión de
                                                                                           que previenen el             90 minutos
                                                                                           envenenamiento.
                                                                                           Sesión laboratorio               Dos
                                                                                           matemático                   sesiones de
                                                                                           Haciendo cohetes             90 minutos
                                                                                           interespaciales.




TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
                                                                                                                                      25
Para la presentación de las actividades, es pertinente mostrarlas de forma global; deben
     permitir el aprendizaje autónomo de los estudiantes, evitando de esta forma un proceso
     rígido, secuencial y directivo en el desarrollo de los aprendizajes. Tales actividades son: de
     indagación y experimentación; de registro de experiencias, datos y prácticas; de reflexión, y
     de resolución de situaciones problemáticas.

     Pudiéndose ser otras que el docente considere para el desarrollo de las capacidades y
     competencia matemática.

                                   Sesión taller matemático
                                                                                          Actividades de
            Sesión        Capacidades                  Indicadores                         enseñanza y
                                                                                           aprendizaje
       Funciones         	 Matematiza      	 Elabora modelos de                       	 Actividades para
       cuadráticas que     situaciones       situaciones de cambio usando               comprender el
       previenen el        de cambio         funciones cuadráticas.                     problema
       envenenamiento      en diversos     	 Ordena datos en esquemas                 	 Actividades para
                           contextos.        (tablas de doble entrada,                  elaborar el plan
                         	 Representa        plano cartesiano) para                   	 Actividades para
                           situaciones       resolver problemas de                      ejecutar el plan
                           de cambio         situaciones de cambio
                                                                                      	 Actividades para
                           en diversos       que implican funciones
                                                                                        la reflexión y
                           contextos.        cuadráticas.
                                                                                        metacognición
                         	 Comunica        	 Interviene y opina respecto
                           situaciones       al proceso de resolución de
                           de cambio         problemas que implican usar
                           en diversos       funciones cuadráticas.
                           contextos.      	 Elabora estrategias
                         	 Elabora           heurísticas para resolver
                           diversas          problemas que involucran
                           estrategias       funciones cuadráticas.
                           para resolver   	 Establece relaciones
                           problemas.        de dependencia entre
                         	 Utiliza           magnitudes para resolver
                           expresiones       problemas que involucran
                           simbólicas y      funciones cuadráticas.
                           formales de     	 Justifica mediante ejemplos
                           relaciones        que la función cuadrática de
                           y funciones                 y = ax 2 + bx + c
                                             la forma                           , o
                           para resolver     sus expresiones equivalentes,
                           problemas.        modela una situación
                         	 Argumenta         problemática.
                           el uso de       	 Justifica mediante
                           relaciones        procedimientos gráficos que
                           y funciones       la función cuadrática de la
                           para resolver             y = ax 2 + bx + c
                                             forma                          , o
                           problemas         sus expresiones equivalentes,
                           de diversos       modela la situación
                           contextos.        problemática dada.




26                                                    Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
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  • 1. ¿Qué y cómo aprenden nuestros adolescentes? Fascículo 1 Número y operaciones Cambio y relaciones VII CICLO Tercero, cuarto y quinto grados de Educación Secundaria Hoy el Perú tiene un compromiso: mejorar los aprendizajes Todos podemos aprender, nadie se queda atrás Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes 1 TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
  • 2. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja Lima, Perú Teléfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Versión 1.0 Tiraje: 51 800 ejemplares Emma Patricia Salas O’Brien Ministra de Educación José Martín Vegas Torres Viceministro de Gestión Pedagógica Equipo coordinador de las Rutas del Aprendizaje: Ana Patricia Andrade Pacora, Directora General de Educación Básica Regular Neky Vanetty Molinero Nano, Directora de Educación Inicial Flor Aidee Pablo Medina, Directora de Educación Primaria Darío Abelardo Ugarte Pareja, Director de Educación Secundaria Asesor general de las Rutas del Aprendizaje: Luis Alfredo Guerrero Ortiz Equipo pedagógico: Róger Saavedra Salas Pedro David Collanqui Díaz Daniel José Arroyo Guzmán Holger Saavedra Salas, asesor Antonieta de Ferro, asesora Agradecimientos: Agradecemos la colaboración del equipo de especialistas de IPEBA y UMC por su participación en la revisión del documento. Corrección de estilo: Jorge Coaguila Quispe Diseño gráfico y diagramación: Haydé Pumacayo Condori Ilustraciones: Haydé Pumacayo Condori Equipo editor: Juan Enrique Corvera Ormeño, Carmen Rosa León Ezcurra, Luis Fernando Ortiz Zevallos Impreso por: Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 Km 2 Santa Anita – Lima 43 RUC 20347258611 Distribuido gratuitamente por el Ministerio de Educación. Prohibida su venta. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N.º 2013-01775 Impreso en el Perú / Printed in Peru 2 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  • 3. Estimada (o) docente: Queremos saludarte y reiterar el aprecio que tenemos por tu labor. Es por ello que en el Ministerio de Educación estamos haciendo esfuerzos para comenzar a mejorar tus condiciones laborales y de ejercicio profesional. Esta publicación es una muestra de ello. Te presentamos las «Rutas del Aprendizaje», un material que proporciona orientaciones para apoyar tu trabajo pedagógico en el aula. Esperamos que sean útiles para que puedas seguir desarrollando tu creatividad pedagógica. Somos conscientes que tú eres uno de los principales actores para que todos los estudiantes puedan aprender y que nuestra responsabilidad es respaldarte en esa importante misión. Esta es una primera versión, a través del estudio y uso que hagas de ellas, así como de tus aportes y sugerencias, podremos mejorarlas para contribuir cada vez mejor en tu trabajo pedagógico. Te animamos entonces a caminar por las rutas del aprendizaje. Nosotros ponemos a tu disposición el portal de Perú Educa para que nos envíes tus comentarios, aportes y creaciones; nos comprometemos a reconocer tus aportes, realizar seguimiento y sistematizarlos. A partir de ello, mejorar el apoyo del Ministerio de Educación a la labor de los maestros y maestras del Perú. Sabemos de tu compromiso para hacer posible que cambiemos la educación y cambiemos todos en el país. Tú eres parte del equipo de la transformación, junto al director y con los padres y madres de familia, eres parte de la gran Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes. Te invitamos, a ser protagonista en este movimiento ciudadano y a compartir el compromiso de lograr que todos los niños, niñas y adolescentes puedan aprender y nadie se quede atrás. Patricia Salas O’Brien Ministra de Educación TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 3
  • 4. 4 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  • 5. Índice Introducción 7 I. ¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática? 9 II. ¿Qué aprenden nuestros adolescentes? 15 III. ¿Cómo podemos facilitar estos aprendizajes? 21 3.1 Desarrollando escenarios de aprendizaje 21 3.2 Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VII ciclo de la EBR 22 3.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestos 25 3.4 Reconociendo escenarios, herramientas y condiciones didácticas para desarrollar las capacidades matemáticas 27 3.5 Promoviendo tareas matemáticas articuladas 33 3.6 Resolviendo problemas 34 3.7 Fases de la resolución de problemas 35 3.8 Promoviendo el trabajo cooperativo 36 IV. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto al número real? 37 4.1 Algunas situaciones de aprendizaje 38 4.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a números reales 50 V. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a las funciones cuadráticas? 61 5.1 Algunas situaciones de aprendizaje 62 5.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a las funciones cuadráticas 77 VI. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a sucesiones con números reales y programación lineal? 89 6.1 Algunas situaciones de aprendizaje 90 Bibliografía 99 TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 55
  • 6. 6 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  • 7. Introducción El Proyecto Educativo Nacional establece, en su segundo objetivo estratégico, la necesidad de transformar las instituciones de Educación Básica de manera tal que asegure una educación pertinente y de calidad, en la que todos los niños, niñas y adolescentes puedan realizar sus potencialidades como persona y aportar al desarrollo social. Es en este marco que el Ministerio de Educación, como una de sus políticas priorizadas, busca asegurar que: Todos y todas logran aprendizajes de calidad con énfasis en comunicación, matemática, ciudadanía, ciencia, tecnología y productividad. En el ámbito de la matemática, nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias y capacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana. Es decir, como un medio para comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas, haciendo uso de conceptos, procedimientos y herramientas matemáticas. Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo, que llega hoy a tus manos, como parte de las rutas de aprendizaje, y busca ser una herramienta para que nuestros estudiantes puedan aprender. En él se formulan seis capacidades matemáticas que permiten hacer más visible el desarrollo de la competencia matemática y trabajarla de forma integral. Se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir de una situación problemática, se desarrollan las seis capacidades matemáticas, en forma simultánea, configurando el desarrollo de la competencia. En este fascículo encontrarás: • Algunas creencias que aún tenemos los docentes en nuestras prácticas educativas y que, con espíritu innovador, tenemos que corregir. • Los estándares de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término de los ciclos VI y VII de la Educación Básica Regular, en dos dominios: número y operaciones, cambio y relaciones. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 77
  • 8. Las competencias y capacidades cuyo desarrollo permitirá alcanzar esos estándares de aprendizaje, con mayor énfasis en el primer dominio. • Orientaciones respecto de cómo facilitar el desarrollo de las competencias y capacidades matemáticas vinculadas a los dominios de número y operaciones, cambio y relaciones. Esperamos que este fascículo contribuya en tu labor cotidiana. Por nuestra parte estaremos muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolo en las próximas ediciones, de manera que sea lo más pertinente y útil para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho. 8 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  • 9. I. ¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática? Nuestras creencias, es decir, nuestra visión particular de las matemáticas, influyen sobre lo que hacemos en clase y sobre cómo aprenden nuestros estudiantes. A continuación, presentamos dos situaciones de enseñanza que te permitirán reflexionar y mejorar tu práctica pedagógica. Creencia: Las ecuaciones se aprenden resolviendo muchos ejercicios y solo después se emplean para resolver problemas. Roberto y Luisa son profesores de Matemática del mismo grado en una institución educativa. Veamos cuáles son sus experiencias de enseñanza de las ecuaciones cuadráticas: Profesor Roberto, quiero comentarle algo. Tengo serias dificultades con ¿Podría ser por su forma los estudiantes del tercer grado de enseñar? ¿Cómo está D, pues no tienen interés desarrollando la sesión? en aprender ecuaciones cuadráticas. Tal como he aprendido cuando estaba en el colegio: muestro la forma general de la ecuación cuadrática y resuelvo un ejercicio como ejemplo. Yo parto de una situación problemática Luego dejo cinco ejercicios para que se puede resolver con una ecuación resolver en clase en forma individual cuadrática. Durante la resolución del y al final les planteo un problema de problema, los estudiantes obtienen una aplicación. ¿Y usted cómo enseña? ecuación cuadrática y desconocen su solución. Justo hoy tengo clases con la otra sección; le invito a que observe mi sesión. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 9
  • 10. Jóvenes, hoy resolveremos un problema aplicando Los veo lo que han aprendido de ecuaciones. Escribiré el preocupados. ¿Qué enunciado del problema en la pizarra. Mientras dificultades tienen? Profe, este problema no lo tanto, formen grupos de tres, elijan con quiénes podremos resolver. Sale desean trabajar. una ecuación cuadrática El alcalde del distrito de San Pablo dona y usted enseñó solo El alcalde del distrito de San Pablo dona 10 800 m2 de gras natural para cubrir el 10 800 m de gras natural para cubrir el 2 campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m ecuaciones lineales. campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del campo deportivo para que dimensiones del campo deportivo para que pueda usarse todo el gras donado? pueda usarse todo el gras donado? Bien, muchacho, justo esperaba Salen dos soluciones, escuchar eso. Es cierto lo profe. Una es positiva y que dices, pero todos saben otra negativa: 90 y -120. factorizar polinomios. ¿La medida puede ser El alcalde del distrito de San Pablo dona un número negativo? 10 800 m2 de gras natural para cubrir el campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del campo deportivo para que pueda usarse todo el gras donado? No, profe, entonces la Ahora, ¿qué valores solución de la ecuación han obtenido? es 90; es decir, el ancho mediría 90 metros y el largo 120 metros. Entonces los 10 800 m2 de césped donado Profesor, yo tengo otra por el alcalde alcanzarán para cubrir el pregunta: ¿hay otras campo deportivo con las dimensiones que aplicaciones de las ecuaciones han calculado. de segundo grado? Profesor, tengo una pregunta: ¿es la única forma Jóvenes, hay otras formas de resolver las ecuaciones de segundo grado, como también existen muchas de resolver la ecuación aplicaciones, pero el tiempo nos ha ganado. La próxima cuadrática? clase desarrollaremos otras aplicaciones y otras formas de resolver estas ecuaciones. 10 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  • 11. Lo felicito por su clase, profesor Roberto. Hasta Gracias, profesora Luisa, ahora pensaba que solo se formular un problema de podía enseñar a resolver aplicación de ecuaciones problemas de aplicación cuadráticas lleva tiempo. de ecuaciones cuadráticas Por ello, al igual que muchos después de haber enseñado docentes, elegimos lo más todos los algoritmos de sencillo y rápido: resolver su resolución. Además, ejercicios mecánicamente sin usted me ha demostrado que estos aporten a la solución que pueden aprender de un problema; pero así los estos algoritmos en el estudiantes pierden interés por contexto de la resolución de la matemática. problemas. ¿Cuáles son las creencias que tienen los docentes respecto a la enseñanza de ecuaciones? El informe pedagógico de los resultados de la evaluación nacional de estudiantes de Educación Secundaria evidencia deficiencias en el desarrollo de aprendizajes en Matemática. Los estudiantes tienen serias dificultades para hacer tareas tan elementales como la aplicación de algoritmos algebraicos, como el cálculo del conjunto solución de ecuaciones (EN 2004- UMC). Solo el 2,9 % de los estudiantes evaluados está en capacidad de describir en términos matemáticos una situación de la vida real; por ejemplo, en situaciones como las descritas anteriormente, se observa que para lograr desarrollar esta capacidad es necesario promover situaciones de aprendizaje como Roberto. Estos resultados se explican en parte porque los profesores resuelven ejercicios algorítmicos sin relacionarlos con el contexto de la vida diaria de sus estudiantes, tal como muestra la experiencia de Luisa. Tales prácticas pedagógicas reducen el interés de los estudiantes y son pocos los docentes que consiguen motivarlos mediante actividades más significativas como las planteadas por Roberto. ¿Por qué es importante contextualizar los contenidos matemáticos a partir de la resolución de problemas? La competencia no encierra en sí misma los conocimientos, la capacidad o la actitud para aprender; requiere de la movilización de estos contenidos y de su contextualización (Perrenoud, 1999). Necesitamos, pues, promover el uso de los conocimientos, más que memorizarlos o aplicarlos mecánicamente. Y esto se logra centrando la actividad de la clase en la resolución de problemas contextualizados. Además, los datos del contexto del problema que se quiere resolver demandan que se empleen operaciones mentales complejas. El desarrollo de conceptos matemáticos necesita partir de las situaciones relacionadas con la vida de los estudiantes, en los contextos donde se desenvuelven. En el relato anterior, el recubrimiento del campo de fútbol con gras natural responde a los intereses de los estudiantes. “MATEMÁTICA ES MÁS QUE RESOLVER ECUACIONES” TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 11
  • 12. Creencia: Se usan materiales concretos para enseñar matemática solo en primaria o inicial; en secundaria no es necesario. Enseñaré primero recordando la definición En esta unidad de la potenciación y enseñaremos la notación luego las propiedades científica y empezaré Muy bien, recuerden que tenemos a n =a × ... × a recordando la potenciación que pensar en actividades o tareas n con exponente negativo que permitan a los estudiantes 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 en Q. desarrollar sus capacidades para resolver problemas. Ese tema es fácil, voy a refrescar a mis Yo voy a iniciar estudiantes con la Los estudiantes al usar hojas A4 con la técnica siguiente operación: para la técnica del doblado de papel del doblado de 3(−2)4 + 5(4 − 9)4 = reconocen también la utilidad de la papel. “notación científica”. Muchachos, hoy les tengo un desafío. ¿Doblando una hoja Saquen una hoja y procedan a de papel A4 podemos llegar a doblar en partes iguales tantas veces la Luna? como sea necesario hasta alcanzar la distancia a la Luna. Me parece interesante trabajar con hojas. Pero creo difícil conseguirlo. Profesora, ¿cuánto mide el grosor de una hoja de papel A4? Claro, tendríamos Creo que podemos averiguarlo a que dividirlo entre partir de la medida del grosor de 100. A ver, ¿cuánto un paquete de 100 hojas de papel sale? tamaño A4. 12 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  • 13. Profesora, sale 0,01 cm, que sería igual a 0,1 mm, y esto sería 10-4 metros. El segundo doblez Ah, entonces el primer generaría cuatro partes; el doblez generaría dos grosor sería 4•10-4 metros. partes: el grosor sería 2•10-4 metros. El tercer doblez generaría ocho partes, el grosor sería 8•10-4 metros. Entonces el cuarto doblez generaría un grosor de 16•10-4 metros. Si llamamos ‘n’ al número de veces que doblamos un papel, ¿cómo podemos ¿Cuál sería el grosor después de conocer el tamaño que obtenemos al 14 dobleces? y ¿después de 19 doblar ‘n’ veces un papel? dobleces? Mediante: Grosor = 2n•10-4 metros Profesora, la distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente 384 400 km, Tras 14 dobleces, el espesor equivalentes a sería 214 •10-4 = 16 384 •10-4 384 400 000 metros. = 1,6384 metros, algo más de Entonces ¿cuántos dobleces metro y medio. podemos hacer? Tras 19 dobleces, el grosor o la altura sería 219 •10-4 Necesitamos más de 43 dobleces, = 524 288 •10-4 = 52,4288 es decir, 243 •10-4, que es metros, algo más de equivalente a 380 000 kilómetros cincuenta y dos metros. o 380 000 000 metros. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 13
  • 14. ¿Cuáles son las concepciones que tienen los docentes respecto a los materiales concretos en esta historieta? La situación muestra las creencias que tienen algunos docentes respecto a las palabras ‘material concreto’ y ‘problema’; se piensa que no pueden estar planteadas juntas en la actividad de aprendizaje. Cuando se alude al uso de ‘materiales concretos’ en las sesiones de matemática en secundaria, existe el prejuicio de considerarla una actividad infantil y carente de seriedad para los estudiantes, hasta a veces se considera una pérdida de tiempo. Si observamos a los estudiantes, reconocemos en ellos reacciones diferentes cuando se les propone un problema mediante el uso de ‘material concreto’. Para algunos estudiantes hablar de un problema matemático trae consigo una serie de creencias; por ejemplo, creen que los problemas tienen que resolverse únicamente mediante el uso del lápiz y papel. Por otro lado, hay docentes que no consideran el uso del ‘material concreto’ en secundaria, y más bien creen que es pertinente solo para construir nociones básicas en niveles anteriores. El empleo de materiales educativos concretos diversos en matemática no solo despierta la curiosidad del estudiante, sino que también provee de significados conceptuales para el aprendizaje. Pero son solo un medio para conseguir algo y no un fin en sí mismos, por lo que debemos darles el justo valor y el tiempo apropiado. Por ello, sugerimos propiciar el aprendizaje de las matemáticas mediante el uso de materiales concretos. ¿Por qué es importante usar material educativo concreto en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática en el nivel secundario? Siempre que se piense en desarrollar las capacidades matemáticas para resolver problemas, el proceso óptimo de enseñanza y aprendizaje debería incluir la manipulación de distintos materiales, ya que solo mediante una enseñanza diversificada, rica en recursos y estrategias para abordar un mismo aprendizaje, conseguiremos que se construyan significados y atribuyan sentido al aprendizaje escolar. Después de este trabajo manipulativo con materiales concretos se puede pasar a utilizar, progresivamente, recursos más elaborados de ‘representación matemática’, por ejemplo: calculadoras gráficas, hojas de cálculo, instrumentos de medición e inclusive simuladores virtuales. Entre las ventajas que aportan los materiales didácticos concretos en la formación matemática de los estudiantes se pueden mencionar las siguientes: Proporcionan información y guían el aprendizaje, es decir, aportan una base concreta para el pensamiento conceptual y contribuyen a construir significados (Ogalde, C. y Bardavid, N., 2007). Desarrollan la continuidad de pensamiento, hacen que el aprendizaje sea más duradero y brindan una experiencia real que estimula la creatividad de los estudiantes. Despiertan el interés de los estudiantes, facilitan la evaluación de los aprendizajes mediante la técnica de observación sistemática y promueven la comunicación entre los estudiantes. “MATEMÁTICA ES MÁS QUE REALIZAR CÁLCULOS NUMÉRICOS” 14 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  • 15. II. ¿Qué aprenden nuestros adolescentes? El fin de la educación es lograr que los estudiantes desarrollen competencias, las cuales son definidas como un saber actuar en un contexto particular, en función de un objetivo o la solución de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de la situación y a la finalidad de nuestra acción. Para tal fin, se selecciona o se ponen en acción las diversas capacidades y recursos del entorno. En este fascículo se trabajan dos competencias matemáticas relacionadas con: Resolución de situaciones problemáticas en número y operaciones Resolución de situaciones problemáticas en cambio y relaciones Competencia, capacidades e indicadores en número y operaciones En número y operaciones se desarrolla la siguiente competencia: Resuelve situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la construcción del significado y el uso de los números y sus operaciones, empleando diversas estrategias de solución, justificando y valorando sus procedimientos y resultados. El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VII ciclo es: Interpreta el número irracional como un decimal infinito y sin periodo. Argumenta por qué los números racionales pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Interpreta y representa cantidades y magnitudes mediante la notación científica. Registra medidas en magnitudes de masa, tiempo y temperatura según distintos niveles de exactitud requeridos, y distingue cuando es apropiado realizar una medición estimada o una exacta. Resuelve y formula situaciones problemáticas de diversos contextos referidas a determinar tasa de interés, relacionar hasta tres magnitudes proporcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qué las usó. Relaciona diferentes fuentes de información. Interpreta las relaciones entre las distintas operaciones (Mapa de Progreso de Matemática: Número y operaciones). En este fascículo, un indicador se relaciona con más de una capacidad. Por lo tanto, para dar cuenta del logro de las capacidades matemáticas, se requiere hacer una lectura del conjunto de indicadores. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 15
  • 16. 16 NÚMERO Y OPERACIONES - VII CICLO CAPACIDADES INDICADORES GENERALES TERCER GRADO DE SECUNDARIA CUARTO GRADO DE SECUNDARIA QUINTO GRADO DE SECUNDARIA Construcción del significado y uso de Construcción del significado y uso Construcción del significado y uso los números racionales e irracionales en de números reales en situaciones de números reales en situaciones Matematiza situaciones problemáticas con cantidades, problemáticas con cantidades continuas, problemáticas con cantidades, situaciones grandes y pequeñas grandes y pequeñas continuas grandes y pequeñas que involucran • Describe situaciones de medidas en diversos • Propone situaciones de medida con • Modela información de cantidades cantidades y contextos para expresar números racionales múltiplos y submúltiplos de unidades de continuas y discretas de su entorno, magnitudes en su notación decimal, científica e magnitudes para expresar números reales usando intervalos de números reales. en diversos intervalos. mediante notación científica. • Plantea situaciones de productos y contextos. • Describe las estrategias utilizadas con las • Ordena datos en esquemas de organización cocientes de magnitudes que dan operaciones en intervalos para resolver que expresan números reales. otras magnitudes para expresar situaciones problemáticas. • Utiliza las formas gráficas y simbólicas de números reales mediante notación • Expresa los números racionales mediante intervalos para representar información. científica. notación científica. • Expresa situaciones de medida de • Explica procedimientos deductivos al Representa resolver situaciones comerciales de • Ordena datos en esquemas de organización temperaturas, índices financieros, tallas, situaciones aumentos y descuentos sucesivos y que representan los números racionales y etc., que implican el uso de los números que involucran financieras de interés compuesto. sus operaciones con intervalos. reales mediante intervalos en su forma cantidades y • Formula estrategias de estimación de gráfica y simbólica. • Describe las estrategias de magnitudes estimación de medidas o cantidades en diversos medidas o cantidades para ordenar números • Aplica variadas estrategias con números racionales en la recta real. reales, intervalos y proporciones de hasta para ordenar números reales en la contextos. recta real. • Aplica variadas estrategias con números dos magnitudes e interés compuesto. racionales, intervalos y proporciones de • Utiliza intervalos y expresiones de notación • Formula estrategias de estimación de hasta dos magnitudes e interés compuesto. científica con números reales. medidas o cantidades para ordenar números racionales e irracionales en • Usa los símbolos de =, >, <, ≤, ≥, corchetes, • Explica la utilidad de la notación científica la recta real. Comunica unión, intersección, para comparar y y los intervalos. ordenar dos o más cantidades. • Explica las condiciones de densidad y situaciones • Explica las condiciones de densidad de completitud de los números reales en que involucran • Utiliza construcciones con regla o los números reales expresados en la recta la recta numérica. cantidades y compás para ubicar números racionales e numérica. magnitudes irracionales en la recta real. • Explica las distinciones entre los números en diversos • Explica la existencia de los números racionales e irracionales. contextos. irracionales como decimales no periódicos a partir de situaciones de medidas de longitudes y áreas de algunas figuras. Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes geométricas planas
  • 17. Construcción del significado y uso de las Construcción del significado y uso de Construcción del significado y uso operaciones con números racionales e las operaciones con números reales en de las operaciones con números irracionales en situaciones problemáticas situaciones problemáticas con cantidades reales en situaciones problemáticas con cantidades continuas, grandes y continuas, grandes y pequeñas con cantidades continuas, grandes y pequeñas • Describe procedimientos deductivos al pequeñas • Formula estrategias de estimación de resolver situaciones de interés compuesto • Relaciona los números reales y sus Elabora estrategias medidas o cantidades para ordenar números hasta con tres magnitudes en procesos de operaciones como un medio para haciendo uso de irracionales en la recta real. situaciones comerciales, financieras y otras. resolver situaciones financieras y los números y • Aplica operaciones con números, intervalos • Describe situaciones científicas con comerciales sobre tasas, intereses y sus operaciones y proporciones con racionales para resolver cantidades muy grandes y muy pequeñas aumentos o descuentos sucesivos. para resolver situaciones financieras y comerciales. (por ejemplo, en la nanotecnología o las • Relaciona las propiedades de problemas. • Describe las estrategias utilizadas con las distancias estelares). las operaciones en los números operaciones y proporciones con racionales • Usa las diferentes representaciones gráficas reales para resolver problemas de para resolver situaciones de porcentajes, o simbólicas para representar y operar con enunciado verbal y simbólico con interés y de ganancias y pérdidas. intervalos. números reales. • Usa los porcentajes e interés simple en la • Explica estrategias de resolución de • Propone estrategias para resolver resolución problemas de textos discontinuos. problemas simulados y reales de varias operaciones de varias etapas TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS etapas aplicando las propiedades de las respetando la jerarquía de Utiliza expresiones • Justifica el uso de las operaciones con las operaciones, aplicando las racionales expresados en notaciones operaciones aditivas multiplicativas y simbólicas, potencias con números reales. propiedades de las operaciones con fraccionarias, decimales y científicas para números reales. técnicas y resolver situaciones de contextos variados. • Elabora estrategias para encontrar números formales de los reales entre dos números dados. • Formula variadas estrategias números y las • Explica la imposibilidad de representar los heurísticas (ensayo y error, hacer irracionales en decimales periódicos puros, • Formula estrategias de estimación de una lista sistemática, empezar por el operaciones en mixtos y no periódicos para extender los medidas para ordenar números reales en la final, establecer subtemas, suponer la resolución de números racionales a los irracionales. recta real. problemas. el problema resuelto) para resolver • Elabora estrategias heurísticas (ensayo • Aplica variadas estrategias heurísticas problemas con los números reales. error, hacer una lista sistemática, empezar (ensayo y error, hacer una lista sistemática, • Usa los números reales y sus por el final, establecer subtemas, suponer empezar por el final, establecer subtemas, operaciones para resolver situaciones el problema resuelto) . suponer el problema resuelto) para financieras y comerciales sobre tasas • Usa los símbolos de intervalos, como resolver situaciones laborales, financieras, e interés compuesto, aumentos o corchetes, desigualdades o gráficas sobre la etc, sobre proporciones de hasta tres descuentos simples y sucesivos. Argumenta el uso recta, para resolver operaciones de unión, magnitudes e interés compuesto. • Demuestra conjeturas planteadas a de los números y intersección, diferencia y complemento de • Aplica operaciones y proporciones con partir de la resolución del problema sus operaciones en conjuntos de números reales. números reales para resolver situaciones para situaciones financieras y la resolución de • Aplica las propiedades de las operaciones financieras, comerciales y otras sobre comerciales sobre tasas e interés problemas. aditivas, multiplicativas y potencias con porcentajes e interés compuesto. compuesto, aumentos o descuentos racionales e irracionales. • Usa los símbolos de la representación de simples y sucesivos. • Explica estrategias de resolución de intervalos sobre la recta para resolver problemas. operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento de números • Utiliza la potenciación y la radicación como reales. operaciones inversas para calcular las raíces de números naturales que expresan números irracionales. 17
  • 18. Competencia, capacidades e indicadores en cambio y relaciones En cambio y relaciones se desarrolla la siguiente competencia: Resolver situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la construcción del significado y el uso de los patrones, igualdades, desigualdades, relaciones y funciones, utilizando diversas estrategias de solución y justificando sus procedimientos y resultados. En la figura adjunta se esquematiza la competencia matemática en cambio y relaciones. En ella confluyen las seis capacidades matemáticas generales que se movilizan MATEMÁTICA de manera sistémica con los conocimientos de patrones, ecuaciones e inecuaciones, relaciones y funciones para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana. Adaptación: Modelo de competencia matemática de Mogens Niss, 2011. El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VII ciclo es: Generaliza y verifica la regla de formación de progresiones geométricas, sucesiones crecientes y decrecientes con números racionales e irracionales, las utiliza para representar el cambio en los términos de la sucesión. Representa las condiciones planteadas en una situación mediante ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones lineales con una variable; usa identidades algebraicas y técnicas de simplificación, comprueba equivalencias y argumenta los procedimientos seguidos. Modela situaciones de cambio mediante funciones cuadráticas, las describe y representa con expresiones algebraicas, en tablas o en el plano cartesiano. Conjetura cuándo una relación entre dos magnitudes puede tener un comportamiento lineal o cuadrático; formula, comprueba y argumenta sus conclusiones (Mapa de Progreso de Matemática: Cambio y relaciones). En este fascículo, un indicador se relaciona con más de una capacidad. Por lo tanto, para dar cuenta del logro de las capacidades matemáticas, se requiere hacer una lectura del conjunto de indicadores. 18 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  • 19. CAMBIO Y RELACIONES - VII CICLO CAPACIDADES INDICADORES GENERALES TERCERO GRADO DE SECUNDARIA CUARTO GRADO DE SECUNDARIA QUINTO GRADO DE SECUNDARIA Construcción del significado y uso de sucesiones Construcción del significado y uso de Construcción del significado y uso de crecientes y decrecientes en situaciones sucesiones crecientes y decrecientes en sucesiones crecientes y decrecientes en problemáticas de regularidad situaciones problemáticas de regularidad situaciones problemáticas de regularidad Matematiza • Elabora modelos usando la progresión geométrica • Elabora modelos usando la progresión • Plantea modelos de una sucesión creciente o situaciones a partir de regularidades reales o simuladas. geométrica a partir de regularidades reales decreciente a partir de regularidades reales o que involucran • Ordena datos en esquemas para organizar o simuladas. simuladas. regularidades, regularidades mediante progresiones • Ordena datos en esquemas para organizar • Ordena datos en esquemas para organizar equivalencias geométricas. regularidades mediante progresiones regularidades mediante sucesiones crecientes y y cambios • Manifiesta acuerdos consensuados para resolución geométricas. decrecientes. en diversos de problemas que implican progresiones • Interviene y opina presentando ejemplos y • Interviene y opina presentando ejemplos y contextos. geométricas con números racionales. contraejemplos sobre los resultados de un contraejemplos sobre los resultados de un • Utiliza expresiones algebraicas para determinar modelo de progresión geométrica. modelo de sucesión creciente y decreciente. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS la suma de los términos de la progresión • Elabora estrategias heurísticas para • Elabora estrategias heurísticas para resolver geométrica. resolver problemas que involucran problemas que involucran sucesiones • Elabora estrategias heurísticas para resolver progresiones geométricas. crecientes y decrecientes. problemas que involucran progresiones • Utiliza expresiones algebraicas para • Utiliza expresiones algebraicas para generalizar geométricas. generalizar progresiones geométricas. sucesiones crecientes y decrecientes. Representa • Verifica la regla de formación y la suma de • Verifica la regla de formación y la suma de • Justifica procedimientos y posibles resultados situaciones de los términos de progresiones geométricas con los términos de progresiones geométricas a partir de una regla que genera sucesiones regularidades, números racionales. con números reales. crecientes y decrecientes con números reales. equivalencias Construcción del significado y uso de ecuaciones Construcción del significado y uso de Construcción del significado y uso de sistema y cambios cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales con inecuaciones cuadráticas y sistema de de inecuaciones lineales con dos variables en en diversos dos variables en situaciones problemáticas de ecuaciones lineales con tres variables en situaciones problemáticas y de optimización contextos. equivalencia situaciones problemáticas de equivalencia • Diseña modelos de situaciones reales o • Elabora modelos de situaciones reales o • Plantea modelos de situaciones reales simuladas mediante sistemas de inecuaciones simuladas mediante ecuaciones cuadráticas, o simuladas mediante inecuaciones lineales de dos variables con coeficientes sistemas de ecuaciones lineales con dos cuadráticas con coeficientes racionales. reales. variables. • Modela situaciones de contextos reales • Elabora modelos de situaciones que requieren • Ordena datos en esquemas para establecer o simulados mediante desigualdades de optimización mediante el uso de la equivalencias mediante ecuaciones cuadráticas cuadráticas con coeficientes reales. programación lineal. Comunica y sistemas de ecuaciones lineales con dos • Ordena datos en esquemas para establecer • Ordena datos en esquemas para establecer situaciones de variables. equivalencias mediante inecuaciones equivalencias mediante sistemas de regularidades, • Ubica en el plano cartesiano el conjunto solución cuadráticas. inecuaciones lineales. equivalencias de ecuaciones cuadráticas. • Ubica en la recta real el conjunto solución • Grafica en el plano cartesiano las regiones y cambios • Interviene y opina respecto al proceso de de inecuaciones cuadráticas. que expresan todos los posibles valores que resolución de problemas que implican usar • Describe en forma oral o escrita las pueden asumir las variables de un sistema de en diversos ecuaciones cuadráticas y sistema de ecuaciones estrategias empleadas en la resolución de inecuaciones. contextos. lineales con dos variables. problemas que involucran inecuaciones • Resume intervenciones respecto al proceso • Elabora estrategias heurísticas para resolver cuadráticas y sistema de ecuaciones de resolución de problemas que implican usar problemas que involucran ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas. métodos de optimización lineal. cuadráticas y sistema de ecuaciones lineales con dos variables. 19
  • 20. 20 • Emplea métodos de resolución (reducción, • Elabora estrategias heurísticas para resolver • Elabora estrategias heurísticas para sustitución, gráfico, igualación) para resolver problemas que involucran inecuaciones resolver problemas que involucran problemas que involucran sistema de ecuaciones cuadráticas y sistema de ecuaciones lineales con sistemas de inecuaciones lineales con lineales con dos variables. tres variables. dos variables. • Utiliza operaciones aditivas y multiplicativas de • Emplea métodos de resolución (reducción, • Emplea métodos de resolución para Elabora estrategias expresiones algebraicas para resolver situaciones sustitución, gráfico, igualación) para resolver resolver problemas que involucran haciendo uso problemáticas que implican sistemas de problemas que involucran sistema de ecuaciones sistemas de inecuaciones lineales con ecuaciones lineales con dos variables. lineales con tres variables. dos variables. de patrones, • Utiliza el sistema de coordenadas cartesianas • Usa el método de intervalos y de puntos críticos • Utiliza el sistema de coordenadas relaciones para resolver problemas que implican sistemas de para encontrar las soluciones de inecuaciones cartesianas para resolver problemas y funciones cuadráticas. que implican sistema de inecuaciones ecuaciones lineales de dos variables. para resolver • Utiliza gráficos de rectas en el sistema de lineales de tres variables. • Utiliza factorización, productos y cocientes problemas. notables para simplificar expresiones algebraicas coordenadas cartesianas para resolver problemas • Justifica mediante procedimientos y comprobar equivalencias. que implican sistema de ecuaciones lineales de gráficos o algebraicos el uso de • Justifica mediante procedimientos algebraicos o tres variables. métodos de optimización lineal de dos gráficos que la ecuación cuadrática de la forma • Justifica mediante procedimientos gráficos o variables para resolver problemas. ax² + bx + c = 0, o sus expresiones equivalentes, algebraicos que la inecuación cuadrática de Construcción del significado y uso de modela una situación problemática dada. la forma ax² + bx + c < 0, o sus expresiones función exponencial en situaciones equivalentes, modela la situación problemática problemáticas de cambio Utiliza expresiones Construcción del significado y uso de funciones dada. cuadráticas en situaciones problemáticas de • Diseña situaciones de cambio reales simbólicas, Construcción del significado y uso de funciones o simuladas mediante funciones cambio técnicas y cuadráticas en situaciones problemáticas de exponenciales. • Elabora modelos a partir de situaciones de cambio formales de cambio usando las funciones cuadráticas con • Grafica en el plano cartesiano diversos patrones, coeficientes naturales y enteros. • Diseña modelos de situaciones de cambio valores a partir de la organización relaciones y mediante funciones cuadráticas con coeficientes de datos para resolver problemas • Ordena datos en esquemas para organizar naturales y enteros. funciones en la situaciones de cambio mediante funciones de cambio que impliquen funciones resolución de cuadráticas. • Ordena datos en esquemas para organizar exponenciales. situaciones de cambio mediante funciones • Ordena datos en esquemas para problemas. • Grafica en el plano cartesiano diversos valores a cuadráticas. partir de la organización de datos para resolver organizar situaciones de cambio problemas de cambio que impliquen funciones • Describe procedimientos deductivos en la mediante funciones exponenciales. cuadráticas. resolución de problemas que implican usar • Resume intervenciones respecto al funciones cuadráticas proceso de resolución de problemas • Interviene y opina respecto al proceso de resolución de problemas que implican usar • Grafica en el plano cartesiano diversos valores a que involucran modelos exponenciales. funciones cuadráticas. partir de la organización de datos para resolver • Elabora estrategias heurísticas para Argumenta el problemas de cambio que impliquen funciones resolver problemas que involucran • Elabora estrategias heurísticas para resolver cuadráticas. uso de patrones, problemas que involucran funciones cuadráticas. funciones exponenciales. relaciones • Elabora estrategias heurísticas para resolver • Utiliza la gráfica de la función • Utiliza la gráfica de la función cuadrática para problemas que involucran funciones cuadráticas y funciones determinar los valores máximos y mínimos y los exponencial en el plano cartesiano puntos de intersección con los ejes coordenados • Utiliza la gráfica de la función cuadrática para para determinar las relaciones entre para resolver para determinar la solución de la ecuación determinar los valores máximos y mínimos y los valores de variables de situaciones problemas. puntos de intersección con los ejes coordenados modeladas por esta función. cuadrática implicada en el problema. para determinar la solución de la ecuación • Justifica mediante procedimientos • Justifica mediante procedimientos gráficos o cuadrática implicada en el problema. algebraicos que la función cuadrática de la gráficos o algebraicos que la función forma f(x) = ax² + bx + c, o sus expresiones • Justifica mediante procedimientos gráficos o exponencial de la forma y = ax, o sus equivalentes, modela la situación problemática algebraicos que la función cuadrática de la forma expresiones equivalentes, modelan la Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes dada. f(x) = ax² + bx + c, o sus expresiones equivalentes, situación problemática dada. modela la situación problemática dada.
  • 21. III. ¿Cómo podemos facilitar estos aprendizajes? En esta sección desarrollaremos algunas actividades que nos Sesión laboratorio ayudarán a mejorar nuestro trabajo como docentes para que matemático nuestros estudiantes logren sus aprendizajes. 3.1 Desarrollando escenarios de aprendizaje La competencia matemática de resolución de problemas se desarrolla mediante la movilización sistémica de capacidades, Proyecto Sesión taller conocimientos y actitudes. Esta movilización es apropiada solo matemático matemático cuando está contextualizada. Por ello, se han seleccionado tres contextos o escenarios en los que comúnmente se organizan y desarrollan las actividades de aprendizaje. A estos escenarios los llamaremos: Sesión laboratorio matemático, Sesión taller matemático y Proyecto matemático. Además de ser complementarios entre sí, una característica fundamental de estos escenarios es que deben recrear situaciones en las que la competencia matemática tenga sentido. A continuación, describimos cada uno de estos escenarios de aprendizaje: a) Sesión laboratorio matemático Escenario donde el estudiante, a partir de actividades vivenciales, lúdicas y de experimentación, llega a construir conceptos y propiedades matemáticas. En este escenario el estudiante busca regularidades para generalizar el conocimiento matemático, profundiza o moviliza los conocimientos aprendidos o construye nuevos aprendizajes para resolver problemas. b) Sesión taller matemático Escenario donde el estudiante usa aquellos aprendizajes que ha ido desarrollando en un periodo de sesiones de aprendizaje. El estudiante despliega diversos recursos (técnicos, procedimentales y cognitivos) con la intención de resolver situaciones problemáticas usando diversas estrategias de solución. c) Proyecto matemático Escenario que tiene por finalidad contribuir con la solución de un problema social, económico, productivo o científico de interés de los estudiantes, de la institución educativa o de su comunidad. Para esto, requieren usar sus capacidades y conocimientos matemáticos. El producto es la contribución de la clase con la solución del problema. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 21
  • 22. 3.2 Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VII ciclo de la EBR La competencia de resolución de desarrollo de los conocimientos en torno a número y problemas promueve el desarrollo operaciones de las capacidades y conocimientos VI VII CICLOS Y matemáticos de número y sus GRADOS CICLO CICLO CONSTRUCCIÓN operaciones. Los estudiantes DEL SIGNIFICADO Y 2.º 3.º 4.º 5.º USO DE CONOCIMIENTOS adquieren y construyen estos conocimientos en forma progresiva. Porcentajes como la expresión de parte-todo En primaria y en el primer grado de secundaria se enfatiza en los Número racional como expresión fraccionaria, decimal números naturales. En secundaria se y porcentual para expresar cantidades continuas y discretas inicia con el estudio de los números enteros y racionales, y se culmina con Propiedades de los números racionales la construcción de los números reales. Por ello, en los espacios pedagógicos Potenciación con base fraccionaria y exponente entero se establecen conexiones entre estos conocimientos. Potenciación y radicación como operaciones inversas Hoy estos conocimientos adquieren Operaciones con los números importancia debido a la gran racionales cantidad de información que Representación, comparación y orden en los números racionales recibimos en tablas, expresiones a partir de cantidades continuas porcentuales, infografías con Irracionales en situaciones datos numéricos, etc. Por ello, es geométricas significativo usar adecuadamente Irracionales en la recta numérica estos conocimientos matemáticos (recta real) en diversos contextos. Por ejemplo, Notación científica en situaciones usar la notación científica de los de medición de longitud, masa y números se realiza en mediciones de tiempo magnitudes grandes, como la menor Notación científica en situaciones distancia entre la Tierra y Marte de medición de superficie y volumen (102 × 109 m) o magnitudes muy pequeñas, como las que se realizan Notación científica en situaciones que involucran en la nanotecnología cuando estudia magnitudes físicas y químicas partículas tan pequeñas como los Interés simple en contextos átomos y moléculas (100 × 10-9 m). financieros Interés simple y compuesto en De la misma manera los conoci- contextos financieros mientos de patrones, ecuaciones Densidad de los números reales y funciones están mutuamente Operaciones con números reales relacionados y son adquiridos en forma progresiva desde la infancia, Relaciones entre los sistemas donde se desarrollan las nociones numéricos básicas, y a través de los diferentes Completitud de los números reales niveles de la Educación Básica. 22 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  • 23. En el último grado de primaria y en desarrollo de los conocimientos en torno a CAMBIO Y los primeros años de secundaria, RELACIONES se enfatiza en el estudio de los VI VII CICLOS Y CICLO CICLO patrones, y al finalizar la secundaria, CONSTRUCCIÓN GRADOS se estudian sucesiones en los DEL SIGNIFICADO Y 2.º 3.º 4.º 5.º USO DE CONOCIMIENTOS números reales. Las ecuaciones Patrones geométricos de se estudian prioritariamente en los traslación, rotación y reflexión grados intermedios, mientras que las La regla de formación de funciones se formalizan al finalizar el progresiones aritméticas y de la sexto ciclo y se profundizan en los suma de los términos a partir de regularidades últimos grados. La regla de formación de progresiones geométricas y de la Todos estos conocimientos se suma de los términos a partir de aprenden usándose en la solución de regularidades situaciones problemáticas cercanas Modelos de una progresión a la vida de los estudiantes, ya sean geométrica reales o simuladas. Sucesiones crecientes y decrecientes A continuación, daremos una Ecuaciones lineales en situaciones explicación de cómo progresan de equivalencia estos conocimientos en la Educación Inecuaciones lineales en Básica Regular con la intención de situaciones de desigualdad mostrar el progreso que tienen los Sistemas de ecuaciones lineales estudiantes en el desarrollo de su con dos variables en situaciones competencia matemática. de igualdad Ecuaciones cuadráticas en Uno de los temas centrales del situaciones de igualdad y determinación de máximos y estudio de la matemática se refiere mínimos a los patrones. Los estudiantes Sistemas de ecuaciones lineales necesitan reconocer, describir y con tres variables en situaciones generalizar patrones. También de igualdad requieren desarrollar capacidades Inecuaciones cuadráticas en para construir modelos matemáticos situaciones de desigualdad que simulen el comportamiento de Sistema de inecuaciones con dos los fenómenos del mundo real que variables (programación lineal) en situaciones de optimización muestren patrones observables. En los primeros años de su vida, Situaciones de proporcionalidad directa e inversa los niños identifican patrones en movimientos, sonidos y formas. Modelación de situaciones de cambio mediante la función En sus primeras experiencias con lineal y lineal afín su entorno, identifican patrones Modelación de situaciones de en objetos concretos y situaciones cambio mediante funciones mediante la observación y la cuadráticas manipulación. Luego, al finalizar Modelación de situaciones de los estudios de la primaria y en la cambio mediante funciones exponenciales secundaria, usan la abstracción y TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 23
  • 24. comprenden regularidades en los conjuntos numéricos. Al iniciar sus estudios escolares, los estudiantes emplean tablas, gráficos y descripciones verbales para representar patrones. Los estudiantes comprueban cómo cambian los patrones en las actividades vivenciales y en las tareas propuestas. Esto facilita la comprensión del concepto de variable como una cantidad que cambia y que asume diferentes valores. Esta experiencia continúa hasta la educación secundaria; sin embargo, en este nivel los estudiantes llegan a generalizar y usar expresiones algebraicas de forma fluida. Las igualdades y desigualdades es otro de los aprendizajes más importantes que necesitan construir los estudiantes en la Educación Básica. Los estudiantes buscan diferentes maneras de usar los números para expresar cantidades iguales o equivalentes y las relaciones entre estas. Las variables se introducen como cantidades desconocidas en las ecuaciones y se desarrollan técnicas para resolverlas. Desde los inicios de la escolaridad, los niños construyen nociones de equivalencia de expresiones aditivas. Al finalizar la educación primaria son capaces de representar las condiciones de una situación problemática mediante ecuaciones lineales. En los primeros grados de secundaria experimentan situaciones reales o simuladas para profundizar la comprensión de las igualdades y desigualdades. En los últimos grados formulan modelos mediante ecuaciones e inecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales para resolver situaciones problemáticas. En cuanto a las relaciones y funciones, los estudiantes deben comprender, establecer y usar relaciones entre: a) cantidades y magnitudes, b) las formas de representación de estas relaciones y c) el análisis de las situaciones de cambio. Estos tres aprendizajes están relacionados con los aprendizajes descritos anteriormente, los cuales les sirven de fundamento. Por ejemplo, tener experiencias sistemáticas con patrones ayuda a entender la idea de función. Y para resolver situaciones que implican funciones se necesita del manejo de ecuaciones para comprender las relaciones y hallar la solución. Cuando los estudiantes entienden que pueden representar situaciones usando la matemática –ya sea en la educación inicial, primaria o los primeros grados de secundaria–, adquieren nociones elementales de la modelización matemática que llegan a formalizarse hacia los últimos grados de la secundaria. 24 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  • 25. 3.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestos A continuación, presentamos un modelo para la organización de una unidad de aprendizaje y una sesión de aprendizaje, tomando como recurso la matriz de indicadores, correspondien- te al cuarto grado de Secundaria. Unidad de aprendizaje Capacidades Escenarios y Indicadores Tiempo generales actividades Matematiza Diseña modelos de situaciones Proyecto matemático: Sesión de 2 situaciones de cambio usando funciones Funciones cuadráticas que semanas de cambio cuadráticas. abaratan costos de viaje en diversos de promoción. contextos. Ordena datos en esquemas para resolver problemas Constituir ocho equipos Representa de situaciones de cambio de trabajo de cinco situaciones que implican funciones estudiantes para de cambio cuadráticas. desarrollar las tareas por en diversos comisiones. contextos. Interviene y opina respecto al proceso de resolución de Realizar el estudio Comunica problemas que implican usar de costos de pasajes situaciones funciones cuadráticas. para transportar a los de cambio estudiantes a la ciudad en diversos Elabora estrategias heurísticas de Cusco, ida y vuelta. contextos. para resolver problemas que involucran funciones Evaluar todas las ofertas Elabora cuadráticas. propuestas por las diversas empresas de transporte estrategias Establece relaciones de con la finalidad de para resolver dependencia entre magnitudes abaratar costos. problemas. para resolver problemas que involucran funciones Si amerita, proponer a Utiliza cuadráticas. la junta directiva de la expresiones otra promoción incluirlos simbólicas y Justifica mediante ejemplos en la excursión. formales de que la función cuadrática de y = ax 2 + bx + c la forma , o En caso de aceptar la relaciones oferta de la empresa y funciones sus expresiones equivalentes, modela una situación de transportes Cruz para resolver Azul, calcular el problemas. problemática. número de estudiantes Argumenta Justifica mediante adicionales que viajen el uso de procedimientos gráficos que la con la promoción, relaciones función cuadrática de la forma de manera que no se y funciones y = ax 2 + bx + c , o sus supere el monto máximo para resolver expresiones equivalentes, asignado para solventar problemas modela la situación el costo de pasajes de diversos problemática dada. con el presupuesto a contextos. recaudarse. Sesión taller matemático Funciones cuadráticas Sesión de que previenen el 90 minutos envenenamiento. Sesión laboratorio Dos matemático sesiones de Haciendo cohetes 90 minutos interespaciales. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 25
  • 26. Para la presentación de las actividades, es pertinente mostrarlas de forma global; deben permitir el aprendizaje autónomo de los estudiantes, evitando de esta forma un proceso rígido, secuencial y directivo en el desarrollo de los aprendizajes. Tales actividades son: de indagación y experimentación; de registro de experiencias, datos y prácticas; de reflexión, y de resolución de situaciones problemáticas. Pudiéndose ser otras que el docente considere para el desarrollo de las capacidades y competencia matemática. Sesión taller matemático Actividades de Sesión Capacidades Indicadores enseñanza y aprendizaje Funciones Matematiza Elabora modelos de Actividades para cuadráticas que situaciones situaciones de cambio usando comprender el previenen el de cambio funciones cuadráticas. problema envenenamiento en diversos Ordena datos en esquemas Actividades para contextos. (tablas de doble entrada, elaborar el plan Representa plano cartesiano) para Actividades para situaciones resolver problemas de ejecutar el plan de cambio situaciones de cambio Actividades para en diversos que implican funciones la reflexión y contextos. cuadráticas. metacognición Comunica Interviene y opina respecto situaciones al proceso de resolución de de cambio problemas que implican usar en diversos funciones cuadráticas. contextos. Elabora estrategias Elabora heurísticas para resolver diversas problemas que involucran estrategias funciones cuadráticas. para resolver Establece relaciones problemas. de dependencia entre Utiliza magnitudes para resolver expresiones problemas que involucran simbólicas y funciones cuadráticas. formales de Justifica mediante ejemplos relaciones que la función cuadrática de y funciones y = ax 2 + bx + c la forma , o para resolver sus expresiones equivalentes, problemas. modela una situación Argumenta problemática. el uso de Justifica mediante relaciones procedimientos gráficos que y funciones la función cuadrática de la para resolver y = ax 2 + bx + c forma , o problemas sus expresiones equivalentes, de diversos modela la situación contextos. problemática dada. 26 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes