1. R´sum´ du cours sur les suites.
e e
1 Suites num´riques r´elles et principe de r´currence
e e e
1.1 Les deux fa¸ons de d´finir une suite num´rique r´elle
c e e e
D´finition. On note n0 un entier naturel (en g´n´ral n0 = 0 ou n0 = 1)
e e e
.
Une suite num´rique r´elle est une application qui associe ` tout entier
e e a
naturel n ≥ n0 un nombre r´el qui est not´ un .
e e
Ce nombre est « le terme de la suite de rang n » et la suite est donc
d´finie « ` partir du rang n0 ».
e a
On peut d´finir une suite de deux fa¸ons compl`tement diff´rentes :
e c e e
– Soit on a un moyen de calculer la valeur de un connaissant le rang n : la
suite est donc d´finie par une fonction f du rang et on note un = f (n) .
e
Ex : un = 2n
– Soit on connaˆ la valeur initiale de la suite un0 et on sait calculer la
ıt
valeur de la suite au rang n + 1 connaissant sa valeur au rang n :
un+1 = f (un ) .
Ex : u0 = 0 et un+1 = un + 2
Les deux exemples d´finissent la mˆme suite qui n’est autre que la suite
e e
des entiers naturels multiples de 2 .
Dans le premier cas la suite est d´finie par une fonction (sous-entendu :
e
du rang) et dans le second, elle est d´finie par une formule de r´currence
e e
On commence par une propri´t´ utile pour compter le nombre de termes
ee
dans une somme.
Propri´t´. Soit a ≤ b deux entiers naturels. Le nombre d’entiers n com-
e e
pris entre a et b est ´gal ` b − a + 1 .
e a
Ex : entre les entiers 15 et 20 (bornes comprises) on a exactement 6
entiers.
1.2 Le principe de r´currence
e
On consid`re une propri´t´ qui d´pend d’un entier naturel n : pour chaque
e ee e
n , la propri´t´ Pn est vraie ou fausse.
ee
1

2. Th´or`me. Si les deux conditions suivantes sont r´unies :
e e e
– Pn0 est vraie
– Pour tout n ≥ n0 , si Pn est vraie , alors Pn+1 est vraie
Alors on peut conclure que la propri´t´ Pn est vraie pour tout n ≥ n0
ee
On en d´duit une formule pour la somme des entiers de 0 ` n .
e a
Propri´t´. Soit n un entier naturel et S = 0 + . . . + n la somme de tous
e e
n(n + 1)
les entiers compris entre 0 et n. On a le r´sultat suivant : S =
e
2
On en d´duit ´galement une formule pour la somme des puissances d’un
e e
nombre r´el .
e
Propri´t´. Soit n un entier naturel , q un nombre r´el et S = 1 + q +
e e e
n
. . .+q la somme de toutes les puissances de q dont l’exposant est compris
entre 0 et n. On a leesultat suivant :
r´
 1 − q n+1 q n+1 − 1

 1−q = si q = 1
q−1

S=



 n+1 si q = 1
2 Rappels de premi`re : suites arithm´tiques et suites
e e
g´om´triques
e e
2.1 Suites arithm´tiques
e
D´finition. Une suite (un ) d´finie ` partir du rang n0 est arithm´tique
e e a e
lorsque pour tout entier naturel n ≥ n0 on a : un+1 = un + r o` le u
nombre r est une constante r´elle appel´e « raison » de la suite.
e e
Remarque. Montrer qu’une suite est arithm´tique revient donc ` montrer
e a
que la diff´rence un+1 − un est constante.
e
Calcul d’un terme en fonction de son rang.
e e ´
Propri´t´. Etant donn´e une suite arithm´tique de raison r d´finie `
e e e a
partir du rang n0 , pour tout entier n ≥ n0 , on peut calculer le terme de
rang n par la formule suivante :
un = un0 + (n − n0 ) · r
2

3. Remarque. On calcule la raison d’une suite arithm´tique dont on connaˆ
e ıt
u n − u n0
deux termes de rangs diff´rents par la formule : r =
e
n − n0
Calcul de la somme de termes cons´cutifs.
e
e e ´
Propri´t´. Etant donn´e une suite arithm´tique de raison r d´finie `
e e e a
partir du rang n0 , on consid`re la somme de ses termes du rang n0 jusqu’`
e a
un rang n ≥ n0 . Cette somme est not´e : e
S = un0 + un0 +1 + . . . + un
Le nombre de termes de cette somme est N = n − n0 + 1 et on a la
formule suivante :
u n + un
S=N· 0
2
Remarque. La somme est donc la moyenne du premier et du dernier terme
multipli´e par le nombre de termes.
e
2.2 Suites g´om´triques
e e
D´finition. Une suite (un ) d´finie ` partir du rang n0 est g´om´trique
e e a e e
lorsque pour tout entier naturel n ≥ n0 on a : un+1 = q · un o` le nombre
u
q est une constante r´elle appel´e « raison » de la suite.
e e
Remarque. Montrer qu’une suite qui ne s’annule pas est g´om´trique re-
e e
un+1
vient donc ` montrer que le quotient
a est constant.
un
Calcul d’un terme en fonction de son rang.
e e ´
Propri´t´. Etant donn´e une suite g´om´trique de raison q d´finie `
e e e e a
partir du rang n0 , pour tout entier n ≥ n0 , on peut calculer le terme de
rang n par la formule suivante :
un = un0 · q n−n0
Calcul de la somme de termes cons´cutifs.
e
e e ´
Propri´t´. Etant donn´e une suite g´om´trique de raison q d´finie `
e e e e a
partir du rang n0 , on consid`re la somme de ses termes du rang n0 jusqu’`
e a
un rang n ≥ n0 . Cette somme est not´e : e
S = un0 + un0 +1 + . . . + un
Le nombre de termes de cette somme est N = n − n0 + 1 et on a la
3

4. formule suivante :
 N
 un · 1 − q si

 0 q=1
 1−q
S=



 u ·N
n0 si q=1
3 Majoration et minoration d’une suite
D´finition. Une suite (un )n≥n0 est « major´e par le r´el M » lorsque
e e e
pour tout n ≥ n0 , on a :
un ≤ M
Remarque. Le r´el M est alors appel´ un « majorant » de la suite. De
e e
plus, lorsqu’une suite est major´e, elle a une infinit´ de majorants.
e e
D´finition. Une suite (un )n≥n0 est « minor´e par le r´el m » lorsque
e e e
pour tout n ≥ n0 , on a :
un ≥ m
Remarque. Le r´el m est alors appel´ un « minorant » de la suite. De
e e
plus, lorsqu’une suite est minor´e, elle a une infinit´ de minorants.
e e
D´finition. Une suite (un )n≥n0 est « born´e » lorsque elle est ` la fois
e e a
major´e et minor´e.
e e
4 Variations
4.1 G´n´ralit´s
e e e
D´finition. Une suite est « croissante » lorsque pour tout n ≥ n0 on a :
e
un ≤ un+1
.
Remarque. Pour montrer qu’une suite n’est pas croissante, il faut montrer
qu’il existe un rang particulier n1 pour lequel on v´rifie un1 > un1 +1 .
e
D´finition. Une suite est « d´croissante » lorsque pour tout n ≥ n0 on
e e
a:
un ≥ un+1
.
4

5. Remarque. Pour montrer qu’une suite n’est pas d´croissante, il faut mon-
e
trer qu’il existe un rang particulier n1 pour lequel on v´rifie un1 < un1 +1 .
e
D´finition. Une suite est « monotone » lorsqu’elle est croissante ou
e
d´croissante.
e
4.2 M´thodes
e
Il y a principalement quatre m´thodes pour ´tudier les variations d’une
e e
suite.
´
Etude du signe de la diff´rence de deux termes cons´cutifs.
e e
Dans tous les cas, on peut calculer la diff´rence un+1 − un et ´tudier son
e e
signe.
Si cette diff´rence est toujouirs positive, la suite est croissante.
e
Si cette diff´rence est toujouirs n´gative, la suite est d´croissante.
e e e
Comparaison du quotient de deux termes cons´cutifs et de 1.
e
Uniquement dans le cas o` on sait que tous les termes de la suite sont
u
un+1
strictement positifs, on peut calculer le quotient et le comparer `a
un
1.
Si ce quotient est toujouirs plus grand que 1, la suite est croissante.
Si ce quotient est toujouirs plus petit que 1 , la suite est d´croissante.
e
´
Etude des variations d’une fonction. Uniquement dans le cas o` la suite
u
est d´finie comme une fonction du rang, c’est-`-dire o` l’on a un = f (n),
e a u
on peut ´tudier les variations de f sur l’intervalle [0, +∞[ : les variations
e
de la suite sont identiques ` celles de la fonction.
a
Raisonnement par r´currence.
e Pour montrer qu’une suite d´finie pour
e
tout entier naturel est croissante, on peut proc´der ainsi :
e
1. On v´rifie u0 ≤ u1
e
2. On suppose que pour un certain entier n, on a un ≤ un+1 et on
montre que cela implique n´cessairement un+1 ≤ un+2
e
3. On peut alors conclure que la suite est croissante.
5

6. 5 Limites
Dans cette section, tous les r´sultats ´nonc´s sont admis.
e e e
5.1 D´finition des limites
e
Une suite peut avoir une limite ´gale ` +∞ ou ` −∞ ou ` un r´el l .
e a a a e
Une suite peut ´galement ne pas avoir de limite.
e
Limite infinie.
D´finition. La suite (un ) tend vers +∞ lorsque pour tout r´el K il existe
e e
un rang n1 ` partir duquel on a un > K.
a
Remarque. Il est ´quivalent de dire que les termes de la suite « sont plus
e
grands que tout r´el ` partir d’un certain rang ».
e a
D´finition. La suite (un ) tend vers −∞ lorsque pour tout r´el K il existe
e e
un rang n1 ` partir duquel on a un < K.
a
Remarque. Il est ´quivalent de dire que les termes de la suite « sont plus
e
petits que tout r´el ` partir d’un certain rang ».
e a
Limite r´elle
e
D´finition. La suite (un ) tend vers 0 lorsque pour tout r´el e > 0 il
e e
existe un rang n1 ` partir duquel on a |un | < e.
a
D´finition. La suite (un ) tend vers le r´el l lorsque pour tout r´el e > 0
e e e
il existe un rang n1 ` partir duquel on a |un − l| < e.
a
Remarque. Il est ´quivalent de dire que la distance des termes de la suite
e
au r´el l « est plus petite que tout r´el strictement positif ` partir d’un
e e a
certain rang ».
Convergence et divergence
D´finition.
e
Une suite est « convergente » lorsqu’elle admet une limite r´elle.
e
Une suite est « divergente » dans le cas contraire, c’est-`-dire lorsque
a
– ou bien elle admet une limite ´gale ` +∞ ou ` −∞
e a a
– ou bien elle n’admet pas de limite
6

7. 5.2 Limites et op´rations
e
Dans les tableaux qui suivent les nombres et sont deux nombres r´els. e
Lorsque le r´sultat est not´ ? ? ? , cela signifie qu’il est « ind´termin´ »
e e e e
, c’est-`-dire varie selon la nature des suites utilis´es.
a e
Somme de deux suites
Si lim un = +∞ −∞ +∞
et lim vn = +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
Alors lim un + vn = + +∞ −∞ +∞ −∞ ? ? ?
Produit de deux suites
Si lim un = = 0 ±∞ 0
et lim vn = ±∞ ±∞ ±∞
Alors lim un · vn = · ±∞ ±∞ ? ? ?
Lorsque le r´sultat est ±∞ , le signe est d´termin´ par la r`gle des signes
e e e e
.
Inverse d’une suite
Si lim un = = 0 ±∞ 0 0+ 0−
1 1
Alors lim = 0 ? ? ? +∞ −∞
un
Par d´finition lim un = 0+ signifie : lim un = 0 et la suite est strictement
e
positive ` partir d’un certain rang.
a
De mˆme, lim un = 0− signifie : lim un = 0 et la suite est strictement
e
n´gative ` partir d’un certain rang.
e a
un 1
Quotient de deux suites. On d´termine la limite de
e = un · par
vn vn
application successive des th´or`mes sur l’inverse d’une suite et sur le
e e
produit de deux suites.
7

8. Cas d’ind´termination.
e C’est le plus important ` m´moriser :
a e
1 ∞ 0
∞−∞ 0·∞
0 ∞ 0
5.3 Suite obtenue par composition d’une suite puis d’une fonc-
tion
Propri´t´. On consid`re la suite vn = f (un ) o` f d´signe une fonction
e e e u e
num´rique r´elle. Si on connaˆt lim un = α et si on connaˆt lim f (x) = β
e e ı ı
x→α
, alors on a : lim vn = β.
Remarque. Dans cet ´nonc´, les symboles α et β d´signent un r´el ou
e e e e
+∞ ou −∞.
5.4 Limites et relation d’ordre
Passage ` la limite dans une in´galit´.
a e e
Propri´t´. On consid`re deux suites (un ) et (vn ) toutes les deux conver-
e e e
gentes respectivement vers les r´els et . Si ` partir d’un certain rang,
e a
on a : un ≤ vn , alors on a :
≤
Remarque. On dit qu’on peut « passer ` la limite » dans l’in´galit´ un ≤
a e e
vn
Calcul d’une limite ` partir d’in´galit´s.
a e e On ne peut pas appliquer les
th´or`mes sur les op´rations dans tous les cas, notamment lorsque l’une
e e e
des deux suites utilis´es n’a pas de limite. Dans cette situation, les
e
r´sultats suivants sont souvent utiles.
e
Propri´t´. Si ` partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn et si lim un =
e e a
+∞, alors on a :
lim vn = +∞
Remarque. On dit aussi que si une suite est minor´e par une suite qui
e
tend vers +∞ , alors elle tend elle-mˆme vers +∞.
e
Propri´t´. Si ` partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn et si lim vn =
e e a
−∞, alors on a :
lim un = −∞
8

9. Remarque. On dit aussi que si une suite est major´e par une suite qui
e
tend vers −∞ , alors elle tend elle-mˆme vers −∞.
e
Propri´t´. Si ` partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn ≤ wn et si
e e a
lim un = lim wn = o` est un r´el, alors on a :
u e
lim vn =
Remarque. Ce r´sultat est appel´ « th´or`me des gendarmes ». On dit
e e e e
aussi que si une suite est encadr´e par deux suites qui tendent vers le
e
mˆme nombre r´el, alors elle tend elle-mˆme vers ce r´el.
e e e e
6 Exemples de suites convergentes
6.1 Convergence de suites g´om´triques
e e
Th´or`me. Soit q un r´el diff´rent de 0 et de 1. On a les r´sultats
e e e e e
suivants :
1. Si q > 1 , alors lim q n = +∞
2. Si −1 < q < 1 , alors lim q n = 0
Remarque. On peut compl´ter ces r´sultats par :
e e
n
• si q = 1 , la suite (q ) est constante et sa limite est 1
• si q = 0 , la suite (q n ) est constante ` partier du rang 1 et sa limite est
a
0
• si q ≤ −1 , la suite (q n ) n’a pas de limite
6.2 Convergence monotone
Le r´sultat suivant qui est admis, est tr`s utile pour montrer qu’une suite
e e
est convergente : il ne permet pas cependant de calculer cette limite.
Th´or`me. Si une suite est croissante et major´e, alors elle est conver-
e e e
gente. De mˆme, si une suite est d´croissante et minor´e, alors elle est
e e e
convergente.
6.3 Suites adjacentes
D´finition. On consid`re deux suites (un ) et (vn ) d´finies ` partir du
e e e a
rang n0 . Elles sont dites « adjacentes » lorsque :
1. (un ) est croissante
9

10. 2. (vn ) est d´croissante
e
3. lim vn − un = 0
Th´or`me. Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent vers le
e e
mˆme nombre r´el.
e e
10