Dokumen tersebut membahas tentang produk cartesius, relasi, dan fungsi. Produk cartesius adalah himpunan semua pasangan terurut yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan. Relasi adalah subset dari produk cartesius dua himpunan yang mendefinisikan hubungan antara elemen-elemennya. Ada berbagai jenis relasi seperti relasi refleksif, simetris, transitif. Fungsi adalah relasi khusus antara dua himp

1. FUNGSI DAN RELASI
I. PRODUK CARTESIUS
Pengertian produk cartesius
Defenisi :
jika A dan B adalah sembarang himpunan,maka perkalian himpunan A
dan B (di tulis : A x B,dibaca A kali B) adalah himpunan dari semua
pasangan terurut berbentuk (a,b),yang mana a A dan b B. Perkalian
himpunan ini disebut juga Product Cartesius.
Secara lebih jelas, A x B = {(a,b)/a A,b B}
Secara intuitif,satu pasangan terurut terdiri dari dua elemen misalkan a dan b
yang salah satu diantaranya,umpama dinyatakan sebagai elemen pertama dan
elemen lainnya sebagai elemen kedua maka pasangan itu ditulis sebagai (a,b).
Suatu pasangan terurut dimungkinkan mempunyai elemen pertama dan kedua
yang sama, misal (a,a). Sedang dua pasangan terurut (a.b) dan (c,d) dikatakan
sama jika a = c, b=d.
Contoh
1. ditentukan A ={1,2} dan B={a,b,c} maka A x B adalah ?
jawab : A x B = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
2. jika P = {r,s} maka tentukan P x P ?
jawab : P x P = {(r,r),(r,s),(s,r),(s,s)}
II. RELASI
Defenisi :
jika A dan B adalah himpunan sembarang maka suatu relasi R dari A ke B
adalah sembarang subset dari A x B , termasuk himpunan kosong.

2. Jika R adalah relasi antara A dan B maka suatu pasangan terurut ( a,b) adalah
anggota R yang kemudian disebut a berelasi R dengan B, yang dapat ditulis
sebagai : a R b atau R (a,b) atau (a,b) R atau R : A→B atau cukup R
Jika R adalah relasi antara A dan A yaitu R adalah subset dari A x A , maka R
disebut relasi pada A.
Suatu relasi R terdiri dari 3 unsur yaitu :
1. Suatu himpunan A
2. Suatu himpunan B
3. Suatu fungsi proposisi P(x,y) dimana P(a,b) adalah benar atau salah bagi
setiap pasang terurut (a,b) dari A x B
Contoh :
A = {pria}
B = { Wanita}
Dan P( x,y) = “x suami y”
Maka P (Yohanes,Theresia) = “Yohanes suami Theresia” mempunyai nilai
kebenaran berdasarkan kenyataannya (realitas).
Berdasarkan pengertian di atas, maka jika P (a,b) bernilai benar,dikatakan
“a berelasi dengan b” dan di tulis a R b. Sebaliknya jika P (a,b) tidak bernilai
benar (bernilai salah) maka dikatakan “a tidak berelasi dengan b” dan di tulis a R
b. Dengan demikian maka suatu relasi R membutuhkan adanya suatu P ( x,y ),
himpunan A dan himpunan B. Dikatakan bahwa P ( x,y) mendefinisikan suatu
relasi dari A ke B. Jika A = B dikatakan bhahwa P ( x,y ) mendefinisikan suatu
relasi pada A atau R adalah relasi pada A.

3.  RELASI INVERS
Jika R adalah relasi dari A ke B, yaitu R A x B maka domain D (daerah
asal) dari relasi R adalah himpunan dari semua anggota pertama pasangan
berurutan anggota R, yaitu D = {a / a A, (a,b) R}. Sedang range E (daerah
kawan) dari relasi R terdiri dari semua anggota kedua pasangan berurutan anggota
R, yaitu E = {b / b B, (a,b) R}.
Contoh :
Perhatikan relasi R = {(2,b), (3,b), (5,e), (2,d), (1,d)}. Tentukan :
a. Domain dari R
b. Range dari R
Jawab :
a. Domain dari R adalah {2, 3, 5, 1} (domain R terdiri dari elemen pertama
dari R)
b. Range dari R adalah {b, e, d} ( range R terdiri dari elemen kedua dari R )
Defenisi : Setiap dari R dari himpunan A ke himpunan B mempunyai relasi
invers dari B ke A yang, yaitu:
= {(b,a) / (a,b) R}
Dengan kata lain, relasi invers terdiri dari pasangan terurut yang jika
urutannya dibalik menjadi anggota R.
 MACAM-MACAM RELASI
1. Relasi Refleksif
Defenisi :

4. R adalah pada himpunan A, R A x A. Maka R disebut relasi refleksif
jika dan hanya jika untuk setiap a A, (a.a) (setiap anggota Aberelasi
dirinya sendiri).
2. Relasi Non-refleksif
Defenisi :
R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi non-refleksif jika dan
hanya jika ada a A, (a,a) R ( ada anggota A yang tidak berelasi dengan
dirinya sendiri).
3. Relasi Irrefleksif
Defenisi :
R adalah relasi pada A. R disebut relasi irrefleksif jika dan hanya jika
setiap a A, (a,a) R (setiap anggota a tidak berelasi dengan dirinya
sendiri)
Contoh :
1. Ditentukan H = {a, b, c, d, e} dan R1 = {(a,a), (b,c), (c,c), (d,d), (d,b),
(e,e)}
a. Apakah R1 merupakan relasi refleksif?
b. Jika R2 = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (d,b), (e,e)}, apakah R2 merupakan
relasi refleksif?
c. Apakah R1 merupakan relasi non-refleksif?
d. Apakah R2 merupakan relasi non-refleksif?
e. Jika R3 = {(b,d), (c,a)}, apakah R3 merupakan relasi non-refleksif?
f. Manakah diantara R1,R2,R3 yang merupakan relasi irrefleksif?
Jawab :
a. R1 bukan merupakan relasi refleksif karena (b,b) R1.
b. R2 merupakan relasi refleksif
c. R1 bukan merupakan relasi non-refleksif

5. d. R2 bukan merupakan relasi non-refleksif
e. R3 bukan merupakan relasi non-refleksif
f. R3b yang merupakan relasi irrefleksif
4. Relasi Simetri
Defenisi :
R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi simetri jika dan hanya
jika setiap anggota a, b A, (a,a) R maka (b,a) R (untuk setiap dua
anggota a, b dari A, jika a berelasi dengan b maka b juga berelasi dengan
a).
5. Relasi Non-simetri
Defenisi :
R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi non-simetri jika dan
hanya jika ada dua anggota a, b A, (a, b) R dan (b,a) R (ada dua
anggota a, b dari A sedemikian a berelasi dengan b tetapi b tidak berelasi
dengan a).
6. Relasi Asimetri
Defenisi :
R adalah relasi pada A. R disebut relasi asimetri, jika dan hanya jika
setiap dua anggota a, b A, (a,b) A maka (b,a) A (setiap dua anggota
a, b dari A, jika a berelasi dengan b maka b tidak berelasi dengan a.
7. Relasi Antisimetri
Defenisi :
R adalah relasi pasa A. R disebut relasi antisimetri, jika dan hanya jika
setiap anggota a, b A, (a,b) R dan (b,a) R maka a = b ( setiap dua
anggota a, b dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan a maka
a sama dengan b.
8. Relasi transitif

6. Defenisi :
R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi transitif jika dan hanya
jika setiap tiga anggota a, b, c, , jika (a, b) maka (a,c) . ( jika
setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b, dan b berelasi
dengan c, maka a berelasi dengan c).
Contoh: andaikan W= ( 1,2,3,4 ) dan R = (2,2)(2,3)(1,4)(3,2). Apakah R transitif ?
Jawab: tidak, karena (2,3) dan ( 3,2)
9. Relasi non-transitif
Defenisi :
R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi non-transitis pada A
jika dan hanya jika ada tiga anggota a, b, c, ,sedemikian hingga (a,b)
dan (b, c) dan (c,c )
10. Relasi intransitive
Defenisi :
R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi –intransitis pada A jika
dan hanya jika ada tiga anggota a, b, c, ,jika (a,b) dan (b, c)
maka (a, c)
11. Relasi ekivalen
Defenisi :
R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi ekivalen jika dan hanya
jika:
1. R merupakan relasi refleksif , yaitu untuk setiap a (a,a )
2. R merupakan relasi simetris, yaitu untuk setiap a,b A, (a, b)
maka (b, a)
3. R merupakan relasi transitif , yaitu untuk setiap a,b,c, (a, b )
dan (b, c) maka ( a, c )

7. Contoh:
Ditentukan A adalah sembarang himpunan dan relasi R adalah relasi pada A yang
di defenisiskan sebagai “x= y”.
Apakah R merupakan relasi ekivalen??
Jawab:
Karena untuk setiap anggota dari setiap himpunan berlaku:
a. a =a
b. a =b dan b = a
c. a = b dan b = c maka a = c
maka relasi R merupakan relasi ekivalen
III. FUNGSI
a) Pengertian fungsi
Defenisi :
Suatu himpunan bagian f dari A x B disebut fungsi dari A kedalam B jika
setiap anggota A muncul hanya satu kali sebagai koordinat pertama
pasangan terurut di f.
Jika f menyatakan pemasangan ini ( juga himpunan A x B ) maka ditulis f;A (
baca : f adalah fungsi dari A ke dalam B) anggota yang menjadi pasangan a oleh f
dinyatakan sebagai b= f(a) , yang berarti ( a, b ) € f.
Catatan : f: A B disebut notasi fungsi.
P Q
1
2
3
4
A
B
C
D

8. P = ( 1,2,3,4) = Daerah asal/ domain
Q = ( a,b, c, d ) = daerah kawan / kodomain
Range = adalah daerah hasil = ( a, b, c)
1 dipasangkan dengan a dapat ditulis : 1 a, dibaca 1 dipetakan ke a ( a disebut
bayangan atau pungsi dari 1). Suatu fungsi dapat di beri nama f, g, h, a, atau huruf
kecil lainnya.
Pemetaan atau fungsi dapat dinyatakan dengan 3 cara:
1. Diagram panah
2. Diagaram cartesius
3. Himpunan pasangan berurutan
Contoh:
1. Misalkan Misalkan K = ( a, b, c, d) dan L = ( 1,2,3)
a. Buatlah diagram panah yang menunjukan pemetaan f yang diletakan
dengan , ,
b. Nyatakan f sebagai impunan pasangan berurutan
Jawab:
K L
f = {( a,1 ) ( b, 3) (c, 3)}
A
B
C
1
2
3

9. 2. ditentukan A = { 1,2,3,4} dan B = { 5,6,7 }. Didefenisikan fungsi f : A
sebgai f (1) = 5 , f(2)= 7, f(3) = 5, f(4)= 5
a. nyatakan fungsi f sebagai pasangan berurut
b. tentukan range f
jawab:
a. f = {(1,5),(2,7), (3, 5),(4,5)}
b. range f = {5,7}
3. ditentukan K= { a, b, c, d,e} dan L = { 1,2,3,4}serta fungsi f yang
didefenisikan sebagai diagram panah dibawah ini:
a. tentukan domain
b. tentukan kodmain
c. range
jawab:
a. K= (a, b, c, d, e)
b. L= ( 1,2,3,4)
c. Range = ( 1, 2, 4 )
b) Jenis – jenis fungsi :
1. Fungsi onto ( fungsi subjektif )
Fungsi f : A , disebut fungsi onto apabila setiap anggota B mempunyai
pasangan anggota A daerah hasil saling berimpit dengan daerah kawan.
Contoh: a b
A
B
C
D
e
1
2
3
4
1
2
3
a
b

10. 2. Fungsi satu- satu ( fungsi injektif )
Fungsi f : disebut fungsi satu- satu apabila setiap anggota B mempunyai
pasangan pada anggota A hanya tepat satu saja tidak perlu semua anggota B
mempunyai pasangan di A.
Contoh:
A B
3. Fungsi bijektif ( korespondensi satu- satu)
Fungsi f : A disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi tersebut
merupakan fungsi subjektif dan fungsi injektif.
Contoh: A B
4. Fungsi identitas
A adalah sembarang himpunan. Fungsi f pada A disebut fungsi identitas jika dan
hanya jika f mengawankan setiap anggota A dengan dirinya sendiri . Jelas f :A
dan f dirumuskan sebagai f(x) = x maka f disebut fungsi identitas.
Contoh:
1
2
a
b
c
1
2
3
a
b
c

11. 1. A A
Apakah fungsi f merupakan fungsi identitas
Jawab: iya, karena setiap anggota A dipasabgkan dengan dirinya sendiri
2. A A
Apakah fungsi f merupakan fungsi identitas ?
Jawab: tidak, karena setiap anggota A tidak di pasangkan dengan dirinya sendiri.
5. Fungsi konstan
Fungsi f pada A ke B disebut fungsi konstan jika dan hanya jika anggota B yang
sama menjadi pasangan dari setiap anggota A. dengan kata lain, f : konstan
jika dan hanya jika range f hanya mempunyai satu anggota.
Contoh:
1. Fungsi f diidentifikasikan sebagai diagram panah berikut ini:
A f A
a
b
c
a
b
c
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3

12. Apakah fungsi f merupakan fungsi konstan ?
Jawab: bukan, karena range f mempunyai lebih dari satu anggota.
2. Jika A = ( 1,2,3) dan B= (a,b,c) buatlah diagram panah untuk
fungsi konstan yang dapat dibuat?
Jawab: ada 3 macam fungsi konstan yang dapat dibuat, yaitu:
A B
A B
A B
1
2
3
a
b
c
a
b
c
1
2
3
1
2
3
a
b
c

13. c) Komposisi Fungsi ( Perkalian Fungsi)
Defenisi :
Ditentukan f adalah fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B (
kodomain dari f ) ke C. Maka fungsi { (a,c) atau ada elemen b B
sedemikian hingga ( a,b ) f dan ( b,c ) g } dari A ke C disebut
komposisi fungsi atau perkalian fungsi f dan g dinyatakan sebagai : ( g o f
) atau (gf)
Jelasnya, jika f : A B dan g : B C maka kita mendefinisikan fungsi ( g o f ) :
A C dengan ( g o f ) ( a ) g ( f ( a ) )
Perkalian himpunan f dan g dapat diilustrasikan sebagai diagram berikut ini :
f g
g o f
d) Sifat Asosiatif Perkalian Fungsi
Jika f adalah fungsi dari A ke B, g adalah fungsi dari B ke C dan h adalah fungsi
dari C ke D,maka :
h o ( g o f ) = ( h o g ) o f
Sifat asosiatif perkalian fungsi ini dapat ditunjukkan dengan diagram :
1. Kita bentuk perkalian fungsi g o f : A C, dan kemudian fungsi h o ( g o
f ) : A D
f g h
A B C
A B DC

14. 2. Kita bentuk perkalian fungsi h o g: B D dan kemudian fungsi ( h o g ) :f
A D.
f g h
A B C
h o g
( h o g ) o f
Perkalian fungsi h o ( g o f ) dan ( h o g ) o f adalah fungsi dari A ke D
“ jika f : A B, g : B C dan h : C D maka ( h o g ) o f dan h o ( g o
f )”
e) Invers suatu Fungsi
Ditentukan f adalah fungsi dari A ke B, dan b B. invers dari b yang
dinyatakan dengan f¯¹ (b ) terdiri dari anggota-anggota A yang dipasangkan ke b
oleh f (yaitu anggota a yang mempunyai image b ).
Jelasnya : jika f :A B maka f¯¹ (b) = { x/x A,f(x) =b }
“f¯¹ dapat merupakan himpunan yang mempunyai hanya satu anggota atau bahkan
merupakan himpunan kosong”
Contoh : Fungsi f: A B didefenisikan sebagai diagram panah dibawah ini
f
A B
Tentukan : a. f¯¹ (p)
b. f¯¹ (q)
D
a
b
c
p
q
r

15. c. f¯¹ (r)
Jawab :
a. f¯¹ (p) = Ø, karena tidak ada anggota A yang di pasangkan ke p
b. f¯¹ (q) = {b,c}, karena b dan c bersama-sama mempunyai image q
c. f¯¹(r) = {a}, karena hanya a yang dipasangkan ke p
Misal f :A B dan ditentukan himpunan P sebagai subset B ( P B ). Maka
invers dari P oleh f dinyatakan sebagai f¯¹ (p) merupakan himpunan dari anggota
a yang dipasangkan keanggota tertentu dari P.
Jelasnya : f¯¹ ( P ) = {x / x A, f (x) P}
f) Fungsi Invers
Untuk setiap b B, invers dari b yaitu f¯¹(b) merupakan himpunan yang
terdiri dari hanya satu anggota A, sebab setiap anggota B mempunyai kawan f¯¹
(b) yang tunggal di A. karena itu f¯¹ merupakan fungsi dari B ke A, yang ditulis
f¯¹ : B A, dan f¯¹ ,erupakan fungsi invers dari f. jadi f¯¹ : B A merupakan
fungsi invers f jika dan hanya jika f : A B merupakan fungsi satu-satu dan onto.
Contoh :
1. Jika f : P Q didefinisikan oleh diagram panah
f
P Q
Apakah f mempunyai fungsi inver ?
Jawab :
a
b
c
p
q

16. Karena f(a) = q dan f(c) – q maka f bukan fungsi satu-satu, walaupun
merupakan fungsi onto maka f tidak mempunyai fungsi invers.
2. Ditentukan f : A B didefinisikan oleh diagram panah :
f
A B
Apakah f mempunyai fungsi invers ? buat diagram panahnya.
Jawab : karena f merupakan fungsi satu-satu dan onto maka f mempunyai fungsi
invers, yang diagramnya :
Catatan :
1. Jika f : A B merupakan fungsi satu-satu dan onto, maka fungsi invers f¯¹
: B A ada
Perkalian fungsi ( f¯¹ o f) : A A merupakan fungsi identitas pada A pada
perkalian fungsi ( f o f¯¹) : B B merupakan fungsi identitas pada B
2. Ditentukan f : A B dan g : b A. maka g adalah fungsi invers dari f,
yaitu g = f¯¹ jika
a. Perkalian fungsi (gof) : A A adalah fungsi identitas pada A dan
b. ( f o g ) : B B adalah fungsi identitas pada B.
a
b
c
p
q
r
p
q
r
a
b
c

17. DAFTAR PUSTAKA
Seputro Tirta,Theresia Dra..1989 Pengantar Dasar Matematika (Logika dan Teori
Himpunan).IKIP Surabaya:Jakarta