persamaan kuadrat

1. Matematika Untuk Kelas X SMA
Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Contoh 1 :
ax2
+ bx + c = 0, a 0, a, b dan c adalah bilangan
real.
Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat
dan Pertidaksamaan
Persamaan Kuadrat
1.1
Menyelesaikan Persamaan KuadratA.
ax2
+ bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Selesaikan x2
– 4 x + 3 = 0
Jawab: x2
– 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2
– 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

2. Matematika Untuk Kelas X SMA
Contoh 2 :
Contoh 3 :
2. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2
= x – 2.
Jawab: (x – 2)2
= x – 2
x2
– 4 x + 4 = x – 2
x2
– 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 atau x – 2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Tentukan penyelesaian dari 2 x2
+ 7 x + 6 = 0.
Jawab: 2 x2
+ 7 x + 6 = 0
2 x2
+ 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = –2 atau
Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan .
Persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan
mengubahnya menjadi (x + p)2
= q.
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2
– 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2
– 6 x + 5 = 0
x2
– 6 x = 5
x2
6 x + = 5 +
x2
– 6 x + 9 = 5 + 32
x2
– 6 x + 9 = 5 + 9
(x – 3)2
= 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

3. Matematika Untuk Kelas X SMA
Contoh 2:
3. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Contoh:
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2
– 8 x + 7 = 0.
Jawab: 2 x2
+ 4 x + 1 = 0
x2
+ 2 x =
x2
+ 2 x + = +
x2
+ 2 x + 1 =
(x + 1)2
=
x + 1 =
x + 1 =
x + 1 =
x = 1 atau x = – +1
Jadi, penyelesaiannya adalah 1 dan – +1
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2
+ b x + c = 0 adalah
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2
+ 7x – 30 = 0.
Jawab: x2
+ 7x – 30 = 0
a = 1 , b = 7 , c = – 30
atau
x1 = 3 atau x2 = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

4. Matematika Untuk Kelas X SMA
1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
a. x2
– 3x + 2 = 0 f. –2x2
+ 8x – 9 = 0
b. 3x2
– 9x = 0 g. –6x2
+ 10x – 9 = 0
c. 6x2
– 13x + 6 = 0 h. x2
– 2x – 1 = 0
d. 5p2
+ 3p + 2 = 0 i. x2
+ x – 506 = 0
e. 9x2
– 3x + 25 = 0 j. x2
– x + = 2
2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian
tentukanlah akar-akarnya!
a. 2x – x(x + 3) = 0
b. (x – 3)2
+ 2(x – 3) – 3 = 0
c. (x – 3) (x + 2) – 2x2
+ 12 = 0
3. Salah satu akar x2
– mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x2
+ (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar
yang lain!
5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang
dengan panjang dan lebar berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2
. Hitunglah
panjang dan lebar kartu nama itu!
Perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 dengan akar-akarnya, b2
– 4ac
disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis
sebagai . Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari
nilai D.
Latihan 1.1
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
B.
D = b2
4ac, Maka apabila:
1. D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real positif dan
berbeda, .
2. D = 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real
sama. .
3. D < 0 maka persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

5. Matematika Untuk Kelas X SMA
Contoh :
1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat
berikut ini:
a. x2
+ 6x + 6 = 0
b. x2
+ 2x + 1 = 0
c. 2x2
+ 5x + 5 = 0
d. –2x2
– 2x – 1 = 0
e. 6t2
– 5t + 1 = 0
f. 4c2
– 4c + 3 = 0
2. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama
(kembar)!
a. 4x2
+ 8px + 1 = 0
b. 4x2
– 4px + (4p – 3) = 0
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar
persamaan kuadrat berikut:
1. x2
+ 5 x + 2 = 0
2. x2
– 10 x + 25 = 0
3. 3 x2
– 4 x + 2 = 0
Jawab :
1. x2
+ 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2
– 4ac = 52
– 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2
+ 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar
real berlainan.
2. x2
– 10 x + 25 = 0
a = 1 , b = -10 , c = 25
D = b2
– 4ac = (-10)2
– 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena D = 0, maka persamaan x2
– 10 x + 25 = 0 mempunyai dua
akar real sama.
3. 3 x2
– 4 x + 2 = 0
a = 3 , b = –4 , c = 2
D = b2
– 4ac = (-4)2
– 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2
– 4 x + 2 = 0 tidak
mempunyai akar real.
Latihan 1.2

6. Matematika Untuk Kelas X SMA
c. px2
– 3px + (2p + 1) = 0
3. Persamaan x2
– 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat
tersebut!
4. Buktikan bahwa persamaan x2
– px – (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real
berlainan!
Jika Persamaan kuadrat ax2
+ bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
Maka:
Contoh:
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
C.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Akar-akar x2
– 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan
persamaan tersebut, hitunglah nilai:
1. x1 + x2 3. x1
2
+ x2
2
2. x1.x2 4. x1
3
+ x2
3
Jawab: x2
– 3 x + 4 = 0
a = 1 , b = –3 , c = 4
1. 2.
3. x1
2
+ x2
2
= (x1 + x2)2
– 2 x1 x2 = (3)2
– 2 . 4 = 1
4. (x1 + x2)3
= x1
3
+ x2
3
= (x1 + x2)3
– 3 x1 x2 (x1 + x2)
= 33
– 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9

7. Matematika Untuk Kelas X SMA
1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar
persamaan berikut:
a. x2
– 5x + 7 = 0 c. 4x2
– 3x = 0
b. 2x2
– 7 = 0 d. bx2
+ ax + c = 0
2. Akar-akar persamaan x2
+ 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan
persamaan itu, hitunglah:
a. p2
+ q2
c. (p – 2q) (q – 2p)
b. (p + 2) (q + 2) d. (x – p)2
+ (x – q)2
= p2
+ q2
3. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2
– (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah
nilai k.
4. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax2
– (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah
nilai a.
5. Akar-akar persamaan x2
+ ax + b = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan hubungan antara a
dan b jika diketahui xi
2
– x1x2 + x2
2
= 5.
Latihan 1.3