DETERMINANTES 
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Autora: Mª Soledad Vega Fernández 
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Departamento de Matemáticas 
Contenidos 
• Concepto de determinante. 
• Propiedades de los determinantes. 
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Determinante de una matriz cuadrada de 
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Es un número asociado a la matriz, que se obtiene 
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Determinante de una matriz cuadrada 
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Determinante de una matriz cuadrada 
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DETERMINANTES: PROPIEDADES 
1º: El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de 
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DETERMINANTES: PROPIEDADES 
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CÁLCULO DE DETERMINANTES 
Departamento de Matemáticas
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Departamento de Matemáticas
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Rango de una matriz por menores: Ejemplos 
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  1. 1. DETERMINANTES Departamento de Matemáticas 1 2 0 0 0 3 0 5 0 0 5 7 0 0 0 4 Autora: Mª Soledad Vega Fernández Presentación adaptada al libro de texto Matemáticas II de Anaya Ed. 2003
  2. 2. Departamento de Matemáticas Contenidos • Concepto de determinante. • Propiedades de los determinantes. • Menor complementario. • Adjunto de un elemento. • Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. • Rango de una matriz a partir de sus menores.
  3. 3. Determinante de una matriz cuadrada de dimensión 2 x 2 (orden 2) Es un número asociado a la matriz, que se obtiene de la forma : a a 11 12 a a 21 22 =a11 ·a22 - a12 ·a21 1 3 = - - - = ( 1) · 5 ( 3)·4 7 - - 4 5 Ejemplo: Departamento de Matemáticas
  4. 4. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 (Regla de Sarrus) a a a 11 12 13 A a a a a11 ·a22 ·a33 +a12 ·a23 ·a31 +a13 ·a21 ·a32 -a13 ·a22 ·a31 -a11 ·a23 ·a32 -a12 ·a23 ·a31 21 22 23 a a a Es un número que se obtiene sumando todos los productos de 3 factores, uno de cada fila y uno de cada columna, obtenidos de la siguiente forma: Son positivos los productos: Son negativos los productos: Departamento de Matemáticas a a a 11 12 13 a a a 21 22 23 a a a 31 32 33 A = a a a 11 12 13 a a a 21 22 23 a a a 31 32 33 A = = = 31 32 33
  5. 5. Determinante de una matriz cuadrada de orden n mayor o igual que 4 Es un número que se obtiene sumando todos los productos de n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, afectados de signo + o – siguiendo un criterio relacionado con los subíndices de dichos elementos. Por tanto, cuantos más ceros haya en la matriz, más fácil (y rápido) será el cálculo de su determinante. Departamento de Matemáticas 1 2 0 0 0 3 0 5 0 0 5 7 0 0 0 4 Es más fácil de calcular que: 1 3 4 5 - 1 3 8 15 9 11 13 17 4 7 10 2
  6. 6. Determinante de una matriz cuadrada de orden n mayor o igual que 4 Pero, en general, calcular un determinante de este tipo utilizando la definición sería complicado. Por tanto, utilizando las propiedades, buscaremos la forma de transformarlo en otro que sea más sencillo de calcular. Departamento de Matemáticas
  7. 7. DETERMINANTES: PROPIEDADES 1º: El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta. 2º : Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es 0. 3º : Si en una matriz cuadrada se permutan dos líneas paralelas, su determinante cambia de signo. 4º: Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero. Departamento de Matemáticas det(A) =det (At ) F1 F2 0 =0 F1 F2 F3 = - F2 F1 F3 F1 F1 F3 =0
  8. 8. DETERMINANTES: PROPIEDADES 5º: Si en una matriz cuadrada, multiplicamos todos los elementos de una línea por el mismo número, k, su determinante queda multiplicado por ese número. k ·F1 F2 F3 = k · F1 F2 F3 6º: Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es 0. F1 k ·F1 F3 =0 7º: Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante se descompone en suma de otros dos de la forma: Departamento de Matemáticas a a´ b b´ a ´ b ´ c d a b c d c d = + + +
  9. 9. DETERMINANTES: PROPIEDADES 8º: Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de otras (u otra) paralelas, su determinante no varía. F1 +k ·F2 F2 F3 = F1 F2 F3 9º: Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas, entonces su determinante es 0. Y recíprocamente, si un determinante es 0, tiene una fila (y una columna) que es combinación lineal de otras filas (columnas). F1 F2 a ·F1 +b ·F2 =0 10º: El determinante del producto es igual al producto de los determinantes. det (A · B) = det (A) · det (B) Departamento de Matemáticas
  10. 10. Menor complementario y Adjunto de un elemento ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ æ a a a a 11 12 13 14 a a a a 21 22 13 24 Dada una matriz A = se definen: ø ç ç ç ç ç è a a a a 31 32 33 34 a a a a 41 42 43 44 Menor complementario de aij es el determinante de la matriz que queda al suprimir la fila i y la columna j en las que se encuentra dicho elemento. aij Mij Adjunto de es el menor complementario de afectado del signo + o -, según que la suma i + j sea par o impar. aij Aij M23 =2 1 3 0 - 1 0 0 5 2 3 1 0 4 - 0 - 2 1 0 A= Departamento de Matemáticas ( 1)2 3 2 2 23 = - = - A +
  11. 11. DETERMINANTES: PROPIEDADES 11º: Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea: El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus respectivos adjuntos. a a a a 11 12 13 14 a a a a 21 22 13 24 a a a a 31 32 33 34 a a a a 41 42 43 44 =a31 ·A31 + a32 ·A32 +a33 ·A33 +a34 ·A34 12º: La suma de los productos de los elementos de una línea por los respectivos adjuntos de otra paralela es igual a cero. a a a a 11 12 13 14 a a a a 21 22 13 24 a a a a 31 32 33 34 a a a a 41 42 43 44 Departamento de Matemáticas =a31 ·A11 + a32 ·A12 + a33 ·A13 + a34 ·A14
  12. 12. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea 1 3 5 1 4 5 3 4 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 4 1 3 8 = -1 3+1 ·9· + - 3+2 - + - 3+3 - + - 3+4 - 4 7 10 1 ·17· 1 3 0 4 7 2 1 ·13· 1 8 0 4 10 2 1 ·11· 3 8 0 7 10 2 1 3 4 5 - 1 3 8 0 9 11 13 17 Si utilizamos las propiedad 8ª para “crear ceros”: F 1 + F F 2 1 - 9 1 3 4 5 1 3 8 0 9 11 13 17 F F 3 1 F F Departamento de Matemáticas 1·A11 + 0·A21 +0·A31 +0·A41 = 6 12 5 16 23 28 - - - 5 6 18 - - - 4 7 10 2 = 1 3 4 5 0 6 12 5 - - - 0 16 23 28 - - - = - = - 0 5 6 18 4 4 7 10 2 4 1
  13. 13. CÁLCULO DE DETERMINANTES Departamento de Matemáticas
  14. 14. CÁLCULO DE DETERMINANTES Departamento de Matemáticas
  15. 15. CÁLCULO DE DETERMINANTES Departamento de Matemáticas
  16. 16. CÁLCULO DE DETERMINANTES Departamento de Matemáticas
  17. 17. CÁLCULO DE DETERMINANTES Departamento de Matemáticas
  18. 18. CÁLCULO DE DETERMINANTES Departamento de Matemáticas
  19. 19. Rango de una matriz por menores La condición necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz A, cuadrada, sea cero es que sus filas (o columnas) sean linealmente dependientes. Es decir: La condición n. y s. para que A =0 es que alguna fila pueda ponerse como combinación lineal de las demás. A =0 ÛLas filas (o columnas) de A son l. i. Rango de una matriz A es el mayor orden de sus menores no nulos. Departamento de Matemáticas
  20. 20. Rango de una matriz por menores: Ejemplos b) Departamento de Matemáticas
  21. 21. Rango de una matriz por menores: Ejemplos a) Departamento de Matemáticas
  22. 22. Rango de una matriz por menores: Ejemplos Departamento de Matemáticas
  23. 23. Rango de una matriz por menores: Ejemplos Departamento de Matemáticas
  24. 24. Rango de una matriz por menores: Ejemplos Departamento de Matemáticas cuando

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