2. PROBLEMA
Un curso tiene 289 alumnos que deben ser distribuidos
en 17 grupos de igual cantidad. El curso es dividido en
varios períodos y al inicio de cada período los grupos
son redistribuidos, siempre de la misma manera. Dos
alumnos que ya a han estado en un mismo grupo, no
deben volver a estar juntos en un grupo. Determine el
número máximo de períodos tal que es posible respetar
estas condiciones.
3. Analicemos primero el caso para 9 alumnos, los cuales
formarán 3 grupos de 3 alumnos.
Para objeto de facilitar la presentación de la resolución, se le
asignará a cada alumno un número de 1 a 9. Al ordenar estos
número en una matriz, se obtiene inmediatamente un solución.
Los grupos serán las columnas de la matriz.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Se debe tener en cuenta que no interesa la cantidad de grupos que
se pueda forma, sino que sea posible formarlos. Es así que partir
por otros grupos es irrelevante para la solución que se busca.
4. Para formar los nuevos grupos, se desplazan los números
marcados con rojo, en todos los lugares posible, de modo
que no queden nuevamente en la misma columna, es
decir, que no formen parte del mismo grupo. Para ello, se
mantendrá la primera fila, los elementos de la segunda fila
se moverán un lugar, y los de la segunda fila se moverán
dos lugares, obteniéndose las siguientes posibilidades:
1 2 3
6 4 5
8 9 7
1 2 3
5 6 4
9 7 8
5. Aquí ya hay 3 soluciones al problema. Sin embargo está
faltando una. Los elementos de una misma fila de la matriz,
nunca han estado en una misma columna, por lo tanto, dan
otra posibilidad de para formar grupos. Luego, tendremos 4
soluciones al problema, las cuales me muestran a
continuación:
7. Veamos que ocurre con el caso de 16 alumnos,
formando 4 grupos de 4 alumnos:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
8. Al mover los elementos de la segunda fila en un lugar, los
elementos de la segunda fila en dos lugares y los de la
tercera fila en tres lugares, ocurre lo siguiente:
Primer Movimiento:
1 2 3 4
8 5 6 7
11 12 9 10
14 15 16 13
Segundo Movimiento:
1 2 3 4
7 8 5 6
9 10 11 12
15 16 13 14
9. Note lo que ocurre con el segundo movimiento. El
primer grupo tiene dos integrantes que ya estaban en un
grupo anterior. Por lo tanto, el procedimiento utilizado
para el caso de 9 alumnos, no es válido para este caso.
Comencemos nuevamente con este caso. Una
posibilidad para el primer grupo es la siguiente:
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16
10. Cambiemos la primera fila y la primera columna entre si,
obteniéndose la matriz:
1 2 3 4
5 6 10 14
9 7 11 15
13 8 12 16
Note que esta matriz no representa otra solución al
problema, pues el segundo grupo tiene dos alumnos que
estaban en el grupo anterior. En la región encerrada en azul,
apliquemos un método similar al utilizado para el caso
anterior; la primera fila se moverá una unidad hacia atrás y
la segunda fila, dos unidades, obteniéndose:
11. 1 2 3 4
5 6 10 14
9 11 15 7
13 16 8 12
Intercambiando ahora las dos zonas encerradas en rojo y
desplazando los números encerrados en azul, tal como se
hizo en el paso anterior, se obtiene una nueva solución:
1 2 3 4
6 5 9 13
10 15 7 11
14 12 16 8
Aquí tenemos una nueva solución al problema.
12. En esta matriz obtenida, se intercambia nuevamente
los números en rojo. Note que los números 6, 10 y
14 deben ubicarse en la única alternativa posible,
para que no se repitan con algún grupo anterior.
Además, las zonas en azul se desplazan tal como se
hizo anteriormente, obteniéndose la siguiente
solución:
1 2 3 4
15 9 13 5
7 14 6 10
11 8 12 16
13. Aplicando la misma metodología, teniendo cuidado
de ubicar los números 15, 7 y 11 en los únicos
lugares posibles, se llega a lo siguiente:
1 2 3 4
8 13 5 9
12 10 14 6
16 7 11 15
Note como el 13 fue desplazándose en los últimos
pasos.
15. Analicemos que ocurre con el caso de 25 alumnos, y
veamos que el procedimiento recién empleado nos
permite llegar a las soluciones. No olvide que, más que
buscar las soluciones, se debe centrar la atención en el
cómo contar las soluciones. Comencemos con la
primera solución:
1 6 11 16 21
2 7 12 17 22
3 8 13 18 23
4 9 14 19 24
5 10 15 20 25
16. Cambiando los elementos en rojo, y desplazando los
números en azul, en uno, dos y tres espacios
respectivamente, se obtiene:
1 2 3 4 5
6 7 12 17 22
11 13 18 23 8
16 24 29 9 14
21 25 10 15 20
Realicemos nuevamente las modificaciones a esta
matriz. Obtendremos:
17. 1 2 3 4 5
7 6 11 16 21
12 18 23 8 13
17 9 14 19 24
22 20 25 10 15
Estos números ya formaban parte de un grupo, por lo
tanto, este procedimiento no nos permitió determinar la
solución al problema. Note que la cantidad de elementos
que se están desplazando es par. ¿Tendrá algo que ver
esto?
Note lo que ocurre con los números 21 y 24.
18. Utilicemos el procedimiento que se utilizó para el caso de 9
alumnos. Recordemos que éste se iniciaba con:
1 6 11 16 21
2 7 12 17 22
3 8 13 18 23
4 9 14 19 24
5 10 15 20 25
Desplazaremos los número en azul, en un lugar la primera
fila, en dos la segunda, y así hasta recorrer todas las
columnas, obteniéndose:
20. Los cuatro movimientos, mas la matriz original nos dan 5
soluciones, pero recuerde que el considerar las filas de la
matriz como grupos, entrega una nueva solución. Por lo tanto,
el problema tendrá 6 soluciones.
Note como en este caso, donde la cantidad de grupos es impar,
bastó con ir desplazando los números de las filas de la matriz,
salvo la primera, una cierta cantidad de veces, a fin de que
todos los elementos de una fila recorran todas las columnas y
que no se junten dos números nuevamente en la misma
columna. Sin embargo, cuando la cantidad de grupos es par,
este procedimiento no funciona, debido a que existirán
elementos que volverán a una posición anterior. Es por ello
que aparecen formas distintas de resolución, dependiendo si la
cantidad de grupos es par o impar. ¿o no dependerá de ello…?
24. Así, los 17 movimientos que puede realizar el alumno
2, representa los 17 grupos con personas distintas que
se pueden realizar, además del grupo que se puede
considerar con las filas de la matriz.
Por lo tanto, durante 18 períodos es posible formar grupos
con las condiciones solicitadas.