LAS MATEMÁTICAS  Y  EL ARTE BORJA IMAZ Y SERGIO MENENDEZ
INDICE <ul><li>ESCHER Y LAS MATEMÁTICAS. </li></ul><ul><ul><li>Biografía. </li></ul></ul><ul><ul><li>Obra </li></ul></ul><...
ESCHER <ul><li>Biografía. </li></ul><ul><ul><li>Maurits Cornelis Escher (1898-1972), dibujante y grabador holandés que tra...
ESCHER <ul><li>Obra. </li></ul><ul><ul><li>Para los matemáticos la obra de Escher permite mostrar de manera artística algu...
ESCHER <ul><li>Encajar un numero infinito de figuras en un espacio finito. </li></ul><ul><ul><li>Escher  tomaba objetos cu...
ESCHER
LA RAZON AUREA <ul><li>Introducción e Historia </li></ul><ul><ul><li>Durante muchos años, los artistas se preguntaron cual...
LA RAZON AUREA <ul><ul><li>Sin embargo, fue otro griego Euclides el que encontró, geométricamente, como dividir en dos par...
LA RAZON AUREA <ul><li>Euclides   explico de la siguiente manera: </li></ul><ul><ul><li>Tenemos un segmento AB dividido en...
LA RAZON AUREA <ul><li>Demostración: </li></ul><ul><ul><ul><li>Tenemos el segmento de antes: </li></ul></ul></ul><ul><ul><...
LA RAZON AUREA <ul><ul><ul><ul><li>Multiplicamos ambos miembros por a y nos queda: </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><u...
LA RAZON AUREA <ul><li>Representaciones: </li></ul><ul><ul><li>Angulo de oro </li></ul></ul><ul><ul><li>Propiedades. </li>...
LA RAZON AUREA <ul><li>El número áureo en la naturaleza: </li></ul><ul><ul><li>La relación entre la cantidad de abejas mac...
LA RAZON AUREA <ul><li>El número phi en la geometría. </li></ul><ul><ul><li>Relaciones entre las partes de un pentágono. <...
BIBLIOGRAFÍA <ul><li>Número Áureo, Wikipedia. </li></ul><ul><li>Escher y las Matemáticas. </li></ul><ul><li>La Oreja Surre...
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Matematicas y el arte(1)

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Matematicas y el arte(1)

  1. 1. LAS MATEMÁTICAS Y EL ARTE BORJA IMAZ Y SERGIO MENENDEZ
  2. 2. INDICE <ul><li>ESCHER Y LAS MATEMÁTICAS. </li></ul><ul><ul><li>Biografía. </li></ul></ul><ul><ul><li>Obra </li></ul></ul><ul><ul><li>Encajar un numero infinito de figuras en un espacio finito. </li></ul></ul><ul><li>LA RAZON AUREA. </li></ul><ul><ul><li>Introducción e Historia. </li></ul></ul><ul><ul><li>Demostración. </li></ul></ul><ul><ul><li>Representaciones. </li></ul></ul><ul><ul><li>El número phi en la naturaleza. </li></ul></ul><ul><ul><li>El número phi en la geometría. </li></ul></ul><ul><li>BIBLIOGRAFÍA. </li></ul>
  3. 3. ESCHER <ul><li>Biografía. </li></ul><ul><ul><li>Maurits Cornelis Escher (1898-1972), dibujante y grabador holandés que trazó arquitecturas imposibles y juegos geométricos obsesivos. </li></ul></ul><ul><ul><li>Escher estaba decidido a resolver problemas que parecían interesar más a los matemáticos que a los artistas. Tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano al arte. </li></ul></ul><ul><ul><li>El 17 de octubre de 1922, Escher llegó a Granada, visitó la Alhambra y se quedó deslumbrado por los mosaicos y los estucados. </li></ul></ul><ul><ul><li>A partir de 1937, empieza a preocuparse por la simetría, la repetición y por la continuidad entre formas geométricas y formas vivas. </li></ul></ul>
  4. 4. ESCHER <ul><li>Obra. </li></ul><ul><ul><li>Para los matemáticos la obra de Escher permite mostrar de manera artística algunos objetos de su disciplina. </li></ul></ul><ul><ul><li>También es evidente la aportación de Escher a los recubrimientos en el espacio. </li></ul></ul><ul><ul><li>Otros aspecto es el empleo de poliedros en sus dibujos. </li></ul></ul><ul><ul><li>Escher exploró la mutación posible de las formas, la alquimia imaginaria de los cuerpos transformados. </li></ul></ul><ul><ul><li>la aplicación más interesante de las matemáticas en la obra de Escher es su uso de geometrías no euclídeas. </li></ul></ul><ul><ul><li>Trabaja los paisajes urbanos para ofrecer figuraciones extremadamente precisas </li></ul></ul>
  5. 5. ESCHER <ul><li>Encajar un numero infinito de figuras en un espacio finito. </li></ul><ul><ul><li>Escher tomaba objetos cuyas áreas siguiesen la regla: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... </li></ul></ul><ul><ul><li>Si sumáramos todas sus áreas tendríamos la expresión: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +.....=1, que es una serie convergente que suma la unidad. </li></ul></ul>
  6. 6. ESCHER
  7. 7. LA RAZON AUREA <ul><li>Introducción e Historia </li></ul><ul><ul><li>Durante muchos años, los artistas se preguntaron cual era la forma mas perfecta y armoniosa de dividir un objeto en dos partes. </li></ul></ul><ul><ul><li>Al mismo tiempo, querían saber la relación entre las medidas de un objeto para que este sea perfecto. </li></ul></ul><ul><ul><li>Platón observó una forma de dividir un segmento de forma armónica y agradable </li></ul></ul><ul><ul><li>Esto lo llamo La Sección. </li></ul></ul>
  8. 8. LA RAZON AUREA <ul><ul><li>Sin embargo, fue otro griego Euclides el que encontró, geométricamente, como dividir en dos partes un segmento armónicamente. </li></ul></ul><ul><ul><li>Al segmento resultante lo llamo Sección Áurea. </li></ul></ul>
  9. 9. LA RAZON AUREA <ul><li>Euclides explico de la siguiente manera: </li></ul><ul><ul><li>Tenemos un segmento AB dividido en dos partes: AC y CB </li></ul></ul><ul><ul><li>( suponiendo que AC > CB). </li></ul></ul><ul><li>Y enunció el siguiente concepto: </li></ul><ul><ul><li>Un segmento es dividido en dos partes armónicamente cuando la razón entre el segmento y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y menor . </li></ul></ul>B A C AB AC = AC CB
  10. 10. LA RAZON AUREA <ul><li>Demostración: </li></ul><ul><ul><ul><li>Tenemos el segmento de antes: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Donde AC = a, CB = b y AB = a + b. Siendo CB el segmento menor. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Por lo tanto se debe cumplir que: </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Asignamos el valor 1 a el segmento CB : </li></ul></ul></ul></ul>B A C a + b a = a b a + 1 a = a
  11. 11. LA RAZON AUREA <ul><ul><ul><ul><li>Multiplicamos ambos miembros por a y nos queda: </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>a + 1 = a^2 </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Reordenando queda: </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>a^2 – a – 1 = 0 </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Por último, aplicamos la ecuación de segundo grado y cogemos la solución positiva ( ya que la solucion negativa no se puede coger) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li> 1 + 5 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Este numero es el número phi, Φ, o razón aurea. </li></ul></ul></ul></ul>2 = 1,6180339887…
  12. 12. LA RAZON AUREA <ul><li>Representaciones: </li></ul><ul><ul><li>Angulo de oro </li></ul></ul><ul><ul><li>Propiedades. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Φ^2 = Φ + 1 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Φ – 1 = 1/Φ </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Φ^3= Φ + 1/ Φ – 1 </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Fracciones contiguas. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ecuaciones algebraicas. </li></ul></ul><ul><ul><li>Trigonometría. </li></ul></ul><ul><ul><li>Raíces aninadadas. </li></ul></ul><ul><ul><li>Relación con la secuencia de Fibonacci. </li></ul></ul>360/Φ +1 = 137,5…º
  13. 13. LA RAZON AUREA <ul><li>El número áureo en la naturaleza: </li></ul><ul><ul><li>La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra. </li></ul></ul><ul><ul><li>Disposición de los pétalos de las flores. </li></ul></ul><ul><ul><li>Distribución de las hojas de un tallo. </li></ul></ul><ul><ul><li>La relación entre la distancia entre las espirales de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. </li></ul></ul><ul><ul><li>La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco. </li></ul></ul><ul><ul><li>La distancia entre las espirales de una piña </li></ul></ul><ul><ul><li>En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de los girasoles. </li></ul></ul>
  14. 14. LA RAZON AUREA <ul><li>El número phi en la geometría. </li></ul><ul><ul><li>Relaciones entre las partes de un pentágono. </li></ul></ul><ul><ul><li>Relaciones entre las partes de un pentágono estrellado. </li></ul></ul><ul><ul><li>Relaciones entre las partes de un decágono. </li></ul></ul><ul><ul><li>Relaciones entre las partes de un dodecaedro y del icosaedro. </li></ul></ul><ul><ul><li>Rectángulo aúreo de Euclides. </li></ul></ul><ul><ul><li>Rectangulo de Keppler. </li></ul></ul><ul><ul><li>Teorema de Ptolomeo y el pentágono. </li></ul></ul>Rectángulo de Keppler
  15. 15. BIBLIOGRAFÍA <ul><li>Número Áureo, Wikipedia. </li></ul><ul><li>Escher y las Matemáticas. </li></ul><ul><li>La Oreja Surrealista </li></ul>
  16. 16. GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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