Importancia de estar asegurado por el monto correcto
Portafolios eficientes y asignacion optima de activos mariano muruzabal
1. Portafolios Eficientes y Asignación Óptima de Activos con Fondos de
Inversión de la República Argentina
Por Mariano Muruzábal
Universidad del CEMA
Buenos Aires, Argentina
2010
Abstract
En el presente trabajo se presenta una aplicación práctica de un problema de
optimización de portafolios de inversión utilizando activos representativos de la
República Argentina. A lo largo del mismo se brinda una descripción detallada del
marco conceptual que se utilizó para determinar la correcta asignación de activos,
mostrándose en cada caso los supuestos (y sus validaciones) más importantes y las
instancias necesarias para obtener los mejores portafolios.
Los resultados obtenidos muestran los “insights” más importantes de la teoría
moderna de administración de portafolios, sobre todo en las relaciones existentes
entre riesgo y retornos, en relación al comportamiento de los activos, y la forma en la
cual estos se combinan para formar un portafolio óptimo ajustado a las preferencias
de un inversor representativo.
2. Contenido
1. Introducción .................................................................................................................................... 3
2. Selección de Clases de Activos ........................................................................................................ 4
3. Definición del Conjunto de Oportunidades de Inversión................................................................ 5
3.1 Medidas de Riesgo y Retorno.................................................................................................. 10
3.2 Estructura de Correlaciones .................................................................................................... 12
4. Análisis Estadístico de los Retornos .............................................................................................. 13
5. Especificación del Modelo de Trabajo........................................................................................... 17
5.1 Retorno y Varianza del Portafolio ........................................................................................... 17
6. Estimación Frontera de Eficiencia ................................................................................................. 18
7. Especificación de la Función Objetivo ........................................................................................... 22
8. Selección del Portfolio Óptimo ..................................................................................................... 22
8.1 Reformulación de la Función Objetivo .................................................................................... 27
9. Conclusiones.................................................................................................................................. 30
10. Bibliografía .................................................................................................................................. 31
2
3. 1. Introducción
En el presente trabajo se mostrará el proceso de estimación del grado de exposición a
determinadas clases de activos que debe tener un portafolio óptimo, utilizando para ello Fondos
Comunes de Inversión de la República Argentina.
Se entiende por asignación óptima al proceso de estimación de aquellos ponderadores que nos
indicarán cómo debe estar compuesto un portafolio óptimo a partir de un determinado conjunto
de oportunidades de inversión, de manera de cumplir con determinados objetivos de riesgo y
retorno.
Estos últimos “objetivos” serán fijados previamente al armado del portafolio al no surgir de un
proceso de optimización sino del perfil de riesgo y de los objetivos de rentabilidad fijados por
nuestro inversor representativo. Será en función de estas expectativas de retorno y de la
capacidad para tomar riesgos las variables que condicionarán la selección final de los activos que
integrarán nuestro portafolio.
En el presente trabajo se mostrará todo este proceso a través de un marco conceptual consistente
para la correcta asignación de activos. En este sentido, se utilizará un esquema de media-varianza
incluyendo una función objetivo particular y una serie de restricciones que reflejarán la situación
particular de nuestro inversor representativo.
A pesar de la naturaleza estática de la optimización, al final del trabajo se intentará aplicar una
estrategia de asignación dinámica donde los cambios en la composición del portafolio respondan a
las variaciones en el nivel de tolerancia al riesgo, en el cambio del horizonte de inversión, o a
medida que surjan oportunidades de inversión que mejoren el perfil de riesgo-retorno, y por ende,
la performance del portafolio.
Una vez introducida la clase de activos con los cuales se trabajará, se describirán los supuestos
considerados en cuanto al comportamiento de los retornos, y se detallará la forma funcional del
modelo a utilizar.
Además de estimarse la frontera de eficiencia, se correrán diversos ejercicios de optimización para
identificar los mejores portafolios atendiendo circunstancias particulares y considerando diversas
restricciones.
2. Selección de Clases de Activos
Tradicionalmente, la asignación estratégica se realiza a partir de 3 (tres) clases “tradicionales” de
activos, a saber: (i) renta variable, (ii) renta fija, y (iii) cash, que representan nuestro conjunto de
oportunidades de inversión. Realizaremos nuestro análisis utilizando esta clase de activos.
3
4. En primer lugar, porque para incluir clases de activos “no tradicionales” deberíamos brindar un
marco conceptual que nos permita justificar por qué esos activos forman una nueva “clase”.
En segundo lugar, porque la relevancia de cada clase de activo podrá variar de acuerdo al tipo de
inversor. Utilizar activos tradicionales nos evita justificar la inclusión de nuevas clases de activos.
En tercer lugar, es difícil considerar clases de activos no tradicionales (a los tres ya mencionados)
debido a múltiples factores como: pocos vehículos de inversión, series históricas imperfectas
(alcance y homogeneidad), la falta de modelos de “pricing” específicos y aceptados
universalmente, y una menor certeza en cuanto al entendimiento de la fuente de retornos en
comparación con las clases de activos tradicionales. Por estos motivos nos concentraremos en
estas últimas.
Antes de comenzar, vamos a definir de manera general a una “clase” como aquellos activos
(financieros o no) que exhiben ciertos rasgos comunes o patrones de comportamiento similares
que permiten agruparlos dentro de un mismo grupo o categoría.
La conformación de nuestro portafolio debería incluir (preferentemente) activos (individuales o
representativos) que pertenezcan a distintas “clases”, ya sea que estas se definan en función de
rasgos comunes como ser la relación riesgo-retorno, estilo, maturity, o la semejanza en su
estructura de correlaciones.
No atender este criterio de selección puede derivar en la inclusión de activos con características
similares, y por ende, altamente correlacionados, lo cual impactará negativamente en la
performance del portafolio al no ofrecer la suficiente diversificación.
Considerar la mayor cantidad de grupos de activos amplía el conjunto de oportunidades de
inversión. Esto es siempre beneficioso ya que nos brinda mayores posibilidades de diversificar
nuestro riesgo, y por ende, mejorar la performance del portafolio.
En este sentido trabajaremos con una cartera compuesta por 5 (cinco) activos representativos con
características distintivas que los diferencien entre sí y que permitan una correcta diversificación
del riesgo.
3. Definición del Conjunto de Oportunidades de Inversión
En este apartado describiremos cada uno de los Fondos de Inversión que utilizaremos como
proxies para cada clase de activo, a partir de los cuales conformaremos nuestro portafolio óptimo.
Dado que trabajaremos con un esquema de media-varianza se detallarán los principales tres
conjuntos de inputs requeridos por nuestro modelo, a saber: (i) Retornos, (ii) Volatilidades (desvío
4
5. estándar), y (iii) estructura de correlaciones. Estos indicadores nos ayudarán a su vez para medir
su performance relativa y los patrones de riesgo-retorno para cada caso.
Clase de Activo Activo Proxy Rango de la Serie
Money Market FIMA Ahorro Pesos 28/11/2006-11/08/2010
FIMA Renta Pesos 28/11/2006-11/08/2010
Renta Fija FIMA Nuevo Renta Dólares 28/11/2006-11/08/2010
FIMA Renta Latinoamericana 28/11/2006-11/08/2010
Renta Variable FIMA PB Acciones 28/11/2006-11/08/2010
Fuente: Fondos FIMA en www.fondosfima.com.ar
Nota: Para todas las series en pesos se consideró el efecto tipo de cambio para poder compararlas con las
series en dólares. Los rendimientos de cada serie son netos de honorarios de administración.
Nota: cada serie tiene una frecuencia diaria.
FIMA Ahorro Pesos
Se trata de un fondo denominado en pesos argentinos compuesto por títulos emitidos por el BCRA
de corto plazo (Lebac/Nobac), fideicomisos financieros y certificados a plazo fijo, entre otros. La
política de inversión prioriza la preservación del capital y la estabilidad de los retornos.
Composición FIMA Ahorro Pesos
Obligaciones Negociables 9%
Tit. BCRA Tasa Fija 38%
Tit. BCRA Badlar 2%
Cuotas FCI 6%
Fideicomiso Financiero 8%
Tit. Públicos 1%
Plazo Fijo 17%
Letras Ciudad de Bs.As. 13%
Letras Prov. Bs.As. 6%
5
6. FIMA Renta Pesos
Se trata de un fondo denominado en pesos compuesto por Títulos públicos y privados de corto
plazo, con una vida promedio de 1 año aproximadamente.
Composición FIMA Renta Pesos
Tit. BCRA Tasa Fija 31%
Tit. Públicos en Pesos 43%
Letras Prov. Bs.As. 6%
Disp. y Otros 3%
Obliaciones Negociables 3%
Tit. Publicos en Dolares 7%
Fideicomiso Financiero y Ons 7%
6
7. FIMA Nuevo Renta Dólares
Se trata de un fondo denominado en dólares compuesto por bonos locales (en dólares) de
mediano y largo plazo.
Composición FIMA Nuevo Renta Dólares
Bonos Cortos Dólares 55%
Bonos Largos Dólares 26%
Obligaciones Negociables 6%
Bonos Cupón PBI 3%
Disp. Y Otros 10%
7
8. FIMA Renta Latinoamericana
Se trata de un fondo denominado en dólares compuesto por Títulos públicos latinoamericanos,
principalmente de Brasil, Chile y Argentina. La política de inversión busca mantener una cartera
diversificada con activos con mínima rotación, baja volatilidad y adecuada calificación crediticia.
Composición FIMA Renta Latinoamericana
Argentina 51%
Brasil 41%
Chile 8%
8
9. FIMA PB Acciones
Se trata de un fondo denominado en pesos compuesto por acciones del panel Merval de la Bolsa
de Comercio de Buenos Aires. La política de inversión consiste en seguir el índice de referencia
incluyendo activos con baja rotación y buena performance en sus indicadores, atendiendo a su vez
la diversificación del riesgo.
Composición FIMA PB Acciones
Bancos 34%
Servicios 6%
Petroleras 10%
Comunicaciones 11%
Petroquímicas 1%
Construcción 0,40%
Textiles 0,40%
Alimenticias 0,20%
Disp. y Otros 2%
9
10. 3.1 Medidas de Riesgo y Retorno
Tal cual se muestra en el siguiente cuadro los fondos han mostrado una performance bastante
dispar a lo largo de toda la serie (28/11/2006-11/08/2010).
El Fondo FIMA Ahorro en Pesos tal cual era de esperar (ver su política de inversión) mostró baja
volatilidad con retornos en dólares atractivos (6,51%) teniendo en cuenta el riesgo del fondo.
Llama la atención el Fondo FIMA Renta Pesos que a pesar de estar conformado por títulos de corto
plazo ha logrado un retorno importante (19,81%) pero manteniendo una volatilidad cercana a la
observada por títulos soberanos de adecuada calidad crediticia (FIMA Renta Latinoamericana).
La mayor sorpresa la encontramos en el Fondo FIMA PB Acciones que ha mostrado la mayor
volatilidad pero con retornos prácticamente nulos. Este hecho se debe a la notable caída que tuvo
el fondo durante el año 2008, no logrando recuperar en los años posteriores las pérdidas de dicho
año. Esto lo ubica como el peor fondo, considerando las performances observadas durante toda la
serie temporal.
10
12. El gráfico anterior muestra que hay tres Fondos que tienen retornos anuales bastante cercanos
entre sí, aunque muestran distintos niveles de riesgo. Como vamos a ver más adelante, este
patrón de comportamiento influirá en la asignación de activos. Vemos claramente que el Fondo
FIMA Renta Pesos ofrece una buena relación riesgo retorno, al menos comparándolo con el resto
de los Fondos. De la misma manera, queda claro que el Fondo FIMA PB Acciones ha mostrado la
peor performance relativa al no compensar con retornos su enorme volatilidad.
3.2 Estructura de Correlaciones
Fima Ahorro Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB
Correlations Pesos Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones
Fima Ahorro Pesos 1,0000 0,5049 0,1756 0,2041 0,2372
Fima Renta Pesos 0,5049 1,0000 0,6674 0,5599 0,4315
Fima Nuevo Renta Dolares 0,1756 0,6674 1,0000 0,7425 0,3874
Fima Renta Latinoamericana 0,2041 0,5599 0,7425 1,0000 0,3869
Fima PB Acciones 0,2372 0,4315 0,3874 0,3869 1,0000
El cuadro anterior muestra la variación conjunta (medida a través de una relación lineal) de los
retornos de los distintos fondos. La menor correlación se observa entre el Fondo FIMA Ahorro en
Pesos y el FIMA Nueva Renta en Dólares. Combinar estos dos fondos nos ayudará a diversificar el
riesgo de nuestro portafolio.
La mayor correlación la observamos entre el fondo FIMA Nuevo Renta Dólares y el FIMA Renta
Latinoamericana. Algo esperable ya que ambos fondos tienen en común un gran porcentaje de
títulos soberanos locales denominados en dólares. Seguramente, que si el fondo FIMA Renta
Latinoamericana hubiera reducido su exposición a los bonos locales se podría haber reducido esta
correlación, lo cual nos permitiría mejorar la diversificación de riesgo.
12
13. 4. Análisis Estadístico de los Retornos
Las estimaciones de la sección anterior se obtuvieron a partir de la utilización de medidas de
retornos continuos (continuosly compounded return o CCR), los cuales se pueden expresar de la
siguiente manera:
P (t)
X i (t) = ln i
Pi (t − 1)
X i (t) → N (α i ;σ i2 )
La utilización de retornos continuos (CCR) facilita el trabajo a nivel de activos individuales, y bajo
un ambiente de multi-períodos, ya que el CCR acumulado durante un período de inversión (T) es
equivalente a la sumatoria de los CCR de cada sub-período.
Cuando dichos retornos continuos se distribuyen normalmente de acuerdo a la última ecuación, el
valor esperado a lo largo de un horizonte de inversión viene dado por:
T
E[ Ri (T )] = ∑α i = T α i
i =1
Para obtener una forma funcional conocida para la varianza, además del supuesto de normalidad,
debemos asumir la ausencia de auto-correlación en los retornos. Cuando esto se cumple podemos
simplemente sumar las varianzas de cada sub-período sin tener que preocuparnos de las
covarianzas (que serán igual a cero bajo nuestro supuesto). En este caso, la varianza y el desvío
estándar de los CCR a lo largo de un horizonte de inversión vendrán dadas por:
T
Var[ Ri (T )] = ∑σ i2 = Tσ i2
i =1
STD = T 1/ 2σ i
Donde Ri (T ) equivale al retorno (continuo) de un activo individual acumulado a lo largo del
horizonte de inversión (T). Esto no es más que la sumatoria de los CCR de cada sub-período. Como
dijimos, de ahí la ventaja de utilizar los retornos en su forma continua.
Los supuestos de normalidad y de ausencia de auto-correlación nos permiten trabajar con formas
funcionales manejables para la media y la varianza (sobre todo para esta última), lo cual facilita los
cálculos.
13
14. En casi todas las series de retornos utilizadas se observa que los retornos máximos y mínimos son
casi similares (en valores absolutos). Esto nos indica que la distribución de los retornos es casi
simétrica, al igual que ocurre con una distribución de probabilidad normal. Si observamos el
histograma de cada serie vemos una forma muy parecida a la de esta última distribución.
500 400
Series: AHORROPESOS Series: RENTAPESOS
Sample 1 909 Sample 1 909
400 Observations 909 Observations 909
300
Mean 0.000178 Mean 0.000544
300 Median 0.000200 Median 0.000600
Maximum 0.021200 200 Maximum 0.039700
Minimum -0.021100 Minimum -0.060500
200 Std. Dev. 0.002400 Std. Dev. 0.006985
Skewness 0.010003 Skewness -1.096425
Kurtosis 21.19958 100 Kurtosis 16.92855
100
Jarque-Bera 12545.15 Jarque-Bera 7530.046
Probability 0.000000 Probability 0.000000
0 0
-0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 -0.06 -0.04 -0.02 -0.00 0.02 0.04
400 500
Series: NUEVORENTADOL Series: RENTALATAM
Sample 1 909 Sample 1 909
Observations 909 400 Observations 909
300
Mean 0.000241 Mean 0.000187
Median 0.000200 300 Median 0.000200
Maximum 0.140900 Maximum 0.061400
200
Minimum -0.148700 Minimum -0.066500
Std. Dev. 0.015080 200 Std. Dev. 0.006826
Skewness -1.432445 Skewness -0.112826
100 Kurtosis 35.03834 Kurtosis 32.74241
100
Jarque-Bera 39187.86 Jarque-Bera 33506.58
Probability 0.000000 Probability 0.000000
0
0
-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15
-0.050 -0.025 -0.000 0.025 0.050
280
Series: PBACCIONES
240 Sample 1 909
Observations 909
200
Mean 1.10e-06
160 Median 0.001400
Maximum 0.112300
Minimum -0.120000
120
Std. Dev. 0.020633
Skewness -0.558905
80
Kurtosis 8.385041
40 Jarque-Bera 1145.649
Probability 0.000000
0
-0.10 -0.05 -0.00 0.05 0.10
No obstante, y tal cual se observa en cada una de las series, el estadístico de Jarque-Bera no nos
permite aceptar la hipótesis de normalidad. Si bien las distribuciones de cada serie de retornos
tienen una forma parecida a la normal, hay desviaciones con respecto a la asimetría y la kurtosis
(cero y tres, respectivamente) de esta última distribución.
El problema con nuestras series proviene del hecho de que en la mayoría de los casos, las
distribuciones de retornos no son exactamente simétricas, al tiempo que las medidas de
14
15. apuntalamiento de dichas curvas son sensiblemente mayores a las de la distribución normal. De
manera adicional, se observan que hay retornos en los extremos de dichas distribuciones. Los
resultados estadísticos indican que estas desviaciones son estadísticamente significativas.
A pesar de esto, se puede demostrar1 que la utilización de distribuciones alternativas con mayor
grado de ajuste a este tipo de series financieras nos arroja portafolios similares a aquellos que
obtenemos al utilizar una distribución normal. A partir de estos hallazgos podemos concluir que
asumir el supuesto de normalidad no termina siendo tan restrictivo al no generar desvíos
significativos en la composición del portafolio.
El otro aspecto analizado surgió al considerar las series, no ya a nivel de retornos, sino a nivel de
los valores de cada activo representativo. En este sentido, se observó que en todos los casos las
series presentaron raíces unitarias, dándonos la idea de que la trayectoria de precios tiene en
todos los casos una tendencia estocástica.
Estos resultados son alentadores para nuestro análisis ya que permiten afirmar que los valores de
nuestros activos se comportan como un “random walk”. Cuando esto ocurre, podemos afirmar
que nuestras variables aleatorias siguen un proceso estocástico en donde las varianzas de los
cambios de dichas variables a lo largo del tiempo son aditivas. Esto es justamente lo que hemos
supuesto para obtener nuestras formas funcionales para la varianza.
Se muestra a continuación los resultados estadísticos obtenidos a partir del Test de Dickey-Fuller2.
Null Hypothesis: AHORROPESOSNIVEL has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 8 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.784455 0.2034
Test critical values: 1% level -3.968279
5% level -3.414815
10% level -3.129575
Null Hypothesis: RENTAPESOSNIVEL has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
1
Ver Stewart, Piros y Hessler (2010), pp.166-168.
2
Al utilizar el Test de Dickey-Fuller Aumentado también se obtuvieron los resultados a nivel de las primeras
diferencias. Solo que en este último caso lo que se testea es si el valor del coeficiente que acompaña a la
variable desfasada es significativamente distinto de cero. En todos los casos se verificó que las series son no
estacionarias validando los resultados obtenidos anteriormente.
15
16. Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.917002 0.9523
Test critical values: 1% level -3.968200
5% level -3.414777
10% level -3.129552
Null Hypothesis: NUEVORENTADOLNIVEL has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.801236 0.9640
Test critical values: 1% level -3.968211
5% level -3.414782
10% level -3.129555
Null Hypothesis: RENTALATAMNIVEL has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.506934 0.8269
Test critical values: 1% level -3.968211
5% level -3.414782
10% level -3.129555
Null Hypothesis: PBACCIONESNIVEL has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.932969 0.9505
Test critical values: 1% level -3.968188
5% level -3.414771
10% level -3.129549
16
17. 5. Especificación del Modelo de Trabajo
La conformación del portafolio óptimo se reduce en última instancia a estimar cuál es la mejor
combinación de activos que permitirá al inversor representativo alcanzar los mayores niveles de
retorno atendiendo sus preferencias de riesgo, y las demás condiciones impuestas por el inversor.
Este problema no es otro que el de maximizar “alguna” función objetivo sujeta a determinadas
restricciones, como puede ser el nivel de tolerancia al riesgo del inversor. A su vez, dicha función
deberá capturar la idea de que los retornos son algo “bueno” y el riesgo algo “malo”.
A tal fin se seguirá un enfoque de “Media-Varianza” a la Markowitz utilizando la función objetivo
recomendada por Stewart, Piros y Heisler (2010). La representación de esta función viene dada
por una función de utilidad basada en la riqueza monetaria (W) introduciendo a su vez un
coeficiente de aversión que penaliza la toma de riesgo.
Wγ
U (W ) =
γ
A su vez, podemos definir el coeficiente de aversión al riesgo como (1-γ) donde γ<1. Este último
parámetro por lo general asume valores negativos, de forma tal que cuanto más negativo es
mayor será el nivel de aversión al riesgo de nuestro inversor representativo.
5.1 Retorno y Varianza del Portafolio
Habíamos visto que los retornos en su forma continua se podían obtener de la siguiente manera:
P (t )
X i (t ) = ln i
Pi (t − 1)
La medida de “gross return” (GR) está relacionada con la medida de retorno en su forma contínua
(CCR) de la siguiente manera:
Pi (t )
GR = = exp [ X i (t )]
Pi (t − 1)
A partir de la “inequidad de Jensen” que nos indica que “el logaritmo de un valor esperado es
mayor que el valor esperado de un logaritmo” (y el CCR lo es) podemos establecer una relación
entre los valores esperados de GR y CCR de la siguiente manera:
ln(E[exp X i (t)]) = E [ X i (t)] + 1 / 2 var [ X i (t )]
17
18. En su forma resumida: µi = α i + 1 / 2 σ i2
{ { {
ln( E [ GR ]) E [ X i (t )] var[ X i (t )]
Con esta información podemos estimar el “gross return” de nuestro portafolio, recordando que la
ventaja de utilizar GR en lugar de CCR venía del hecho de que para el caso de un portafolio el GR
se podía computar como el promedio ponderado de los GR de los activos individuales.
T T
GRW = ∑ ωi (α i + 1 / 2σ i2 ) = ∑ ωi µi = µW
i =1 i =1
El cálculo de la varianza del portafolio es más complejo ya que no solo hay que tener en cuenta la
varianza al nivel de cada activo individual sino también la estructura de covarianzas entre todos los
activos que componen el portafolio.
T T
σ W T = [∑∑ ωiω jσ i j ]T
2
i =1 j =1
6. Estimación Frontera de Eficiencia
Antes de seleccionar el portafolio que mejor se ajuste a las preferencias de nuestro inversor
representativo, estimaremos lo que se conoce como “frontera de eficiencia”. Esta curva nos
indicará cuál es el conjunto de portafolios eficientes a partir del cual debemos seleccionar nuestro
portafolio objetivo (que conoceremos recién cuando podamos representar las preferencias del
inversor).
La construcción de dicha frontera se hace con el objetivo de identificar aquellos puntos que
mantienen le mejor relación riesgo-retorno. En cada punto de dicha curva estaremos maximizando
el retorno esperado para cada nivel de riesgo. Cualquier otro punto que no esté ubicado sobre
dicha frontera no será un punto óptimo, ya que siempre podremos encontrar otro punto con
mayor retorno para ese nivel de riesgo particular3.
3
El problema de estimar la mejor combinación de activos para obtener el menor riesgo para cada
nivel de retorno se puede expresar formalmente de la siguiente manera:
Min σW
seleccionando ωi
sujeto a ∑ω
i =1,n
i =1
µW = µ target
18
19. Detallamos a continuación la frontera de eficiencia para nuestro conjunto de activos, habilitando
la posibilidad de realizar ventas en corto (short-sales):
Los ponderadores óptimos para cada tramo de la curva se detallan en el siguiente cuadro.
Aprovechamos para aclarar que el hecho de habilitar operaciones de short-selling nos permiten
vender en descubierto cualquiera de los activos disponibles para lograr posiciones sobre-
compradas.
La posibilidad de short-sellings aparece bajo la forma de ponderadores con signo negativo.
Target ω Portfolio
Fima Ahorro Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB
µ µ σ
Pesos Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones
0,20 0,1941 1,0513 -0,2205 0,0550 -0,0799 20,00% 10,91%
0,15 0,4666 0,6602 -0,1486 0,0796 -0,0577 15,00% 7,93%
0,14 0,5298 0,5694 -0,1320 0,0853 -0,0526 13,84% 7,29%
0,12 0,6301 0,4255 -0,1055 0,0943 -0,0444 12,00% 6,33%
0,09 0,7936 0,1909 -0,0624 0,1091 -0,0311 9,00% 5,03%
0,06 0,9571 -0,0438 -0,0193 0,1238 -0,0178 6,00% 4,34%
0,05 0,9849 -0,0837 -0,0120 0,1263 -0,0155 5,49% 4,30%
MVP 1,0064 -0,1145 -0,0063 0,1283 -0,0138 5,10% 4,29%
-0,03 1,4476 -0,7477 0,1100 0,1680 0,0221 -3,00% 6,94%
El punto de menor varianza (σ=4,29%) divide a la frontera en dos regiones bien definidas:
(i) µMVP ≥ µtarget donde la frontera tiene pendiente positiva, y
19
20. (ii) µMVP p µtarget donde la frontera tiene pendiente negativa
El punto µ MVP indica el retorno del portafolio de mínima varianza. Es claro que nuestro inversor
representativo, al buscar siempre la posición óptima (prefiere “más” a “menos”) se ubicará en la
primera región de la frontera de eficiencia. Si esto no ocurriera, y nuestro inversor insistiera en
ubicarse en el tramo (ii) de la curva, encontraríamos que para cualquier nivel de riesgo de dicho
tramo existe un punto que arroja un mayor retorno. Ese punto está ubicado justamente en la
región (i). Por esta razón lo denominamos como el tramo eficiente de la curva.
Si nuestro inversor representativo no pudiera realizar ventas en corto (short-selling) los
ponderadores deberían cumplir con una restricción adicional que refleje esta situación (ω≥0). En
este caso la frontera de eficiencia tendría la siguiente forma:
Target ω>0 Portfolio
Fima Ahorro Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB
µ µ σ
Pesos Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones
0,20 0,0499 0,9501 0,0000 0,0000 0,0000 20,00% 12,79%
0,15 0,4048 0,5952 0,0000 0,0000 0,0000 15,00% 9,02%
0,14 0,4871 0,5129 0,0000 0,0000 0,0000 13,84% 8,20%
0,12 0,6177 0,3823 0,0000 0,0000 0,0000 12,00% 6,97%
0,09 0,8305 0,1695 0,0000 0,0000 0,0000 9,00% 5,32%
0,06 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 6,61% 4,58%
0,05 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 6,61% 4,58%
MVP 0,9472 0,0000 0,0000 0,0528 0,0000 6,68% 4,53%
En este último cuadro podemos ver que a medida que exigimos mayores niveles de retorno
también incorporamos mayores niveles de riesgo. En este caso, esto implica reducir nuestra
exposición al Fondo FIMA Ahorro Pesos que es el que tiene menor nivel de volatilidad para
20
21. incrementar nuestra exposición al Fondo FIMA Renta Pesos que exhibe mayores retornos, pero
también mayores niveles de riesgo.
El hecho que no tengamos exposición al resto de los fondos se debe a que el modelo de Media-
Varianza es extremadamente sensible a los inputs y a los perfiles de riesgo-retorno. De ahí que sea
frecuente que nos arroje soluciones de esquina (corner solutions) como ocurre cuando nos pide
que nos mantengamos 100% en el Fondo Ahorro Pesos.
Comparando ambos cuadros surgen algunos puntos para tener en cuenta.
En primer lugar, observamos que cuando el inversor puede hacer short-selling logra alcanzar
retornos del 20% a un menor riesgo que en el escenario donde las ventas en corto están
prohibidas (10,91% vs 12,79% respectivamente). Esto ocurre porque en el primer caso no
acotamos el rango de valores de los ponderadores (como sí ocurre en el segundo caso). Por lo
tanto, cuando el inversor puede hacer short-selling tiene a su disposición mayores posibilidades de
combinar las clases de activos. Esto significa mayores posibilidades de diversificar el portafolio. El
resultado de esta mayor diversificación se traduce en la posibilidad de conseguir el mismo nivel de
retorno a un menor riesgo.
En segundo lugar, vemos que cuando no es posible el short-selling ((ω≥0) el polígono de media
varianza se encuentra acotado. Esto no ocurre en el primer caso, donde el polígono de media
varianza mantiene su tramo inferior. ¿A qué se debe esto?
La razón la encontramos en el hecho de que el short-selling permite obtener financiamiento
adicional para sobre-comprarnos en algunos activos, y mantener así una posición apalancada.
Cuando hacemos este tipo de operaciones podemos alcanzar retornos superiores incluso al de los
activos de mayor retorno, siempre y cuando estemos vendidos en el activo de menor retorno y
sobre-comprados en el activo de mayor retorno. Los retornos excedentes surgirán de la posición
apalancada.
Con esta lógica podemos explicar el surgimiento del tramo inferior de la frontera de eficiencia,
aunque tenemos que recordar que dicho tramo no será óptimo ya que para cada nivel de riesgo
de dicho tramo existirá un punto de mayor retorno (ubicado en el tramo (i) tal cual se explicó
anteriormente).
La única manera de obtener retornos decrecientes a medida que incrementamos nuestro riesgo es
a través de la venta de los activos de mayor retorno y sobre-invirtiendo en los activos de menor
retorno. Claro está que esta no será una estrategia de inversión seguida por un inversor
optimizador, pero al menos nos sirve para mostrar que la aparición de dicho tramo es factible, al
menos aritméticamente.
21
22. 7. Especificación de la Función Objetivo
Si en nuestra función de utilidad original utilizamos al GR de nuestro portafolio como medida de
riqueza (W), entonces nuestro inversor representativo estará interesado en maximizar la siguiente
expresión:
W γ
Max E[U (W )] = Max = Max E {(1 / γ )exp[γ RW (T )]}
γ
Como nos interesa maximizar este valor esperado (es decir, la riqueza acumulada por nuestro
portafolio a lo largo de T), y dado que el factor exponencial se puede suprimir sin modificar el
resultado de la optimización, maximizar la ecuación anterior (teniendo en cuenta a su vez que R(T)
se distribuye normalmente) es equivalente a maximizar esta otra expresión4:
1
Max [ µW − 1/ 2(1 − γ )σ W ]T = Max (µW − λσ W )T , donde λ = (1 − γ )
2 2
2
Esta será nuestra función objetivo simplificada, que representa a una función de utilidad que está
afectada de manera positiva por el “gross return” de nuestro portafolio y de manera negativa por
la varianza del mismo, y en donde la varianza está precedida por un parámetro que refleja el nivel
de aversión al riesgo de nuestro inversor representativo. Así, cuanto mayor sea este coeficiente de
aversión al riesgo (λ) mayor impacto sufrirá la función de utilidad por cada unidad de riesgo
introducida en el portafolio5.
8. Selección del Portfolio Óptimo
Una vez estimada la frontera de eficiencia y habiendo definido la función objetivo que nuestro
inversor representativo intentará maximizar, nos resta únicamente especificar las preferencias de
nuestro inversor para poder estimar el portafolio óptimo que mejor se ajuste a su perfil.
Las preferencias de nuestro inversor estarán representadas por curvas de indiferencia, las cuales
nos darán una idea de cuál es su nivel de aversión al riesgo (λ), y por ende, cuál debería ser la
combinación de activos que permita atender dichas preferencias.
La ubicación del portafolio óptimo surgirá de la tangencia entre dichas curvas de indiferencias y la
frontera de eficiencia.
4
Ver Stewart, Piros, y Heisler (2010), pp. 65-66.
5
La forma funcional elegida para nuestro modelo nos indica puntualmente que el trade-off entre retorno y
riesgo, estará fijado por la magnitud del parámetro (λ).
22
23. Formalmente nuestro problema se puede plantear de forma tal que, definida las preferencias de
riesgo del inversor (λ), este último seleccionará aquella combinación de activos (ω) que le permita
maximizar la función de utilidad objetivo planteada respetando las restricciones impuestas6.
Max (µW − λσ W )
2
seleccionando ωi
sujeto a ∑ω
i =1, n
i =1
donde µW = ∑ ωi µi
i =1, n
σW = [ ∑ ∑ωω σ σ i j i j ρi , j ]1/ 2
i =1,n j =1, n
Recordamos que a medida que se incrementa la aversión al riesgo de nuestro inversor, este
buscará asignar una mayor proporción de su portafolio a activos de menor riesgo, pero siempre a
costa de sacrificar retorno. Vamos a mostrar estas relaciones para dos niveles de aversión al riesgo
(λ=7 y λ=12 respectivamente):
6
Dado que nuestro inversor puede hacer operaciones de “short-selling” la única restricción que enfrenta es
la de mantenerse totalmente invertido. Es decir, que no guardará saldos monetarios sin invertir. A su vez, si
observamos detenidamente la función objetivo que intentaremos maximizar vemos que el factor de escala T
ha desaparecido. En realidad, no ha desaparecido, simplemente hemos considerado un horizonte de
inversión de un período (T=1).
23
25. Fima
Target Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB Portfolio
Ahorro U
Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones
λ Pesos µ σ
3,00 -99,85% 276,28% -53,49% -5,25% -17,68% 41,88% 25,13% 0,2294
4,00 -49,73% 204,35% -40,27% -0,73% -13,61% 32,69% 19,06% 0,1815
5,00 -19,66% 161,19% -32,34% 1,98% -11,16% 27,17% 15,46% 0,1521
6,00 0,39% 132,41% -27,06% 3,79% -9,53% 23,49% 13,10% 0,1319
7,00 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 20,86% 11,45% 0,1169
8,00 25,45% 96,45% -20,45% 6,05% -7,49% 18,89% 10,23% 0,1052
9,00 33,81% 84,46% -18,25% 6,80% -6,81% 17,36% 9,30% 0,0957
10,00 40,49% 74,87% -16,49% 7,40% -6,27% 16,13% 8,58% 0,0877
12,00 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 14,29% 7,53% 0,0748
15,00 60,54% 46,09% -11,20% 9,21% -4,64% 12,45% 6,55% 0,0601
18,00 67,22% 36,50% -9,44% 9,81% -4,10% 11,23% 5,96% 0,0484
El cuadro anterior es bastante ilustrativo del trade-off existente entre riesgo y retorno, y nos
muestra a su vez cómo ante cambios en los niveles de aversión el riesgo el inversor modifica la
composición de su portafolio. La menor volatilidad se consigue siempre sacrificando retornos.
En este sentido vemos que a medida que la aversión al riesgo aumenta, nuestro inversor empieza
a reducir su exposición al Fondo FIMA Renta Pesos (que tiene el mayor retorno esperado) y
comienza a incrementar su exposición al Fondo FIMA Ahorro pesos (que es el fondo con menor
volatilidad). Dado que este último Fondo también tiene el menor retorno, a medida que
incrementamos su participación en el portafolio reducimos la rentabilidad obtenida.
Otro aspecto a tener en cuenta es que en todos los casos nuestro inversor se mantiene vendido en
los Fondos FIMA Nuevo Renta Dolares y FIMA PB Acciones. Esto ocurre porque estos Fondos
tienen la peor relación de riesgo/retorno. Al no haber impuesto restricciones a las ventas cortas
nuestro programa de optimización aprovecha para vender estos Fondos y sobre-comprar el Fondo
FIMA Renta Pesos, que es el que muestra la mejor relación riesgo/retorno. Pero nuevamente, a
medida que el inversor empieza a penalizar (de manera creciente) la toma de riesgo se observa
cómo incrementa de manera simultánea su exposición al Fondo menos riesgoso. Verificamos así
que la asignación de activos se realiza respetando la lógica impuesta por nuestro modelo.
Veamos ahora qué ocurre para cada nivel de riesgo si extendemos el horizonte de inversión.
λ=7
Fima Ahorro Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB
T µω σω U
Pesos Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones
1 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 20,86% 11,45% 0,1169
2 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 41,72% 16,19% 0,4675
3 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 62,58% 19,83% 1,0519
4 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 83,44% 22,90% 1,8700
5 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 104,31% 25,60% 2,9218
25
26. 10 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 208,61% 36,20% 11,6874
15 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 312,92% 44,34% 26,2966
λ=12
Fima Ahorro Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB
T µω σω U
Pesos Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones
1 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 14,29% 7,53% 0,0748
2 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 28,58% 10,65% 0,2992
3 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 42,88% 13,05% 0,6733
4 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 57,17% 15,07% 1,1969
5 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 71,46% 16,85% 1,8702
10 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 142,92% 23,82% 7,4808
15 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 214,38% 29,18% 16,8319
Es interesante lo que ha ocurrido. En primer lugar, vemos que la composición del portafolio no se
modifica cuando extendemos el horizonte de inversión. Esto ocurre porque en todos los casos lo
que se intenta maximizar es la utilidad total, es decir, la utilidad al final del horizonte de inversión.
Para ello, nuestro programa de optimización considera las medidas de retorno y varianza totales, y
no por sub-período7. Es decir, el período de inversión sigue siendo uno solo, aunque se alargue en
cada caso la extensión del mismo.
En segundo lugar, podemos ver que el retorno se incrementa de manera proporcional al horizonte
de inversión, mientras que la volatilidad se incrementa de manera proporcional a la raíz cuadrada
del horizonte de inversión.
λ=7
T
Retorno T=1 (Retorno T=1)*T Volatilidad T=1 (Volatilidad T=1)*(T^0,5)
1 20,86% 20,86% 11,45% 11,45%
2 20,86% 41,72% 11,45% 16,19%
3 20,86% 62,58% 11,45% 19,83%
4 20,86% 83,44% 11,45% 22,90%
5 20,86% 104,31% 11,45% 25,60%
10 20,86% 208,61% 11,45% 36,20%
15 20,86% 312,92% 11,45% 44,34%
7
Podríamos explicar estos resultados asumiendo que las oportunidades de inversión se han mantenido
constantes.
26
27. λ=12
T
Retorno T=1 (Retorno T=1)*T Volatilidad T=1 (Volatilidad T=1)*(T^0,5)
1 14,29% 14,29% 7,53% 7,53%
2 14,29% 28,58% 7,53% 10,65%
3 14,29% 42,88% 7,53% 13,05%
4 14,29% 57,17% 7,53% 15,07%
5 14,29% 71,46% 7,53% 16,85%
10 14,29% 142,92% 7,53% 23,82%
15 14,29% 214,38% 7,53% 29,18%
8.1 Reformulación de la Función Objetivo
Nuestra función objetivo simplificada maximizaba la utilidad total de nuestro inversor al final del
horizonte de inversión. Por tal motivo, también considerábamos medidas de retorno y varianza
“totales”. De ahí, que dicha función objetivo tuviera como un “factor de escala” a la variable T.
27
28. Si en lugar de medidas “acumuladas” al final del horizonte utilizamos medidas de media y varianza
por cada sub-período, automáticamente hacemos que la asignación de activos se vea afectada por
el horizonte de inversión.
Dividiendo cada una de nuestras variables originales por el horizonte de inversión (T), llegamos a
medidas de media y varianza “por período”, las cuales toman la siguiente forma respectivamente:
(1 / T )(µW − 1 / 2σ W )T = µW − 1 / 2σ W
2 2
(1 / T )2 (σ W T ) = σ W / T
2 2
Utilizando estas medidas para la media y varianza nuestra función objetivo se puede re-expresar
de la siguiente manera:
1 γ 2
[ µW − (1 − )σ W ]
2 T
Como vemos, ahora nuestra función objetivo se ve afectada por el paso del tiempo, ya que el
coeficiente de aversión al riesgo tenderá asintóticamente a (1/2) a medida que T tienda a infinito.
De esta manera, a medida que extendamos el horizonte de inversión, nuestro inversor aceptará
mantener portafolios más riesgosos.
Con esta reformulación, la asignación óptima de activos estará influenciada por el paso del
tiempo. A medida que este se modifique tendremos que re-balancear nuestro portafolio para
atender el hecho de que el paso del tiempo modifica el nivel de aversión al riesgo de nuestro
inversor representativo.
Observando nuevamente nuestra última función objetivo, podemos formalizar la relación entre el
coeficiente de aversión al riesgo y el paso del tiempo de la siguiente manera:
λ (T)=φ [1-γ F (t)] donde F(t)=1/T
El parámetro φ no es más que el valor que asumirá λ cuando T tienda a infinito, es decir, que
consideramos a φ como el nivel de aversión al riesgo de largo plazo. Encontramos entonces una
forma de modelizar como afecta el paso del tiempo a nuestro coeficiente de aversión al riesgo, y
consecuentemente a la conformación de nuestro portafolio.
Asumiendo (arbitrariamente) un valor para φ=5, tenemos:
28
29. F(T) λ
T
1/T λ=φ(1-γ(1/Τ))
20 0,0500 5,7500
19 0,0526 5,7895
18 0,0556 5,8333
17 0,0588 5,8824
16 0,0625 5,9375
15 0,0667 6,0000
14 0,0714 6,0714
13 0,0769 6,1538
12 0,0833 6,2500
11 0,0909 6,3636
10 0,1000 6,5000
9 0,1111 6,6667
8 0,1250 6,8750
7 0,1429 7,1429
6 0,1667 7,5000
5 0,2000 8,0000
4 0,2500 8,7500
3 0,3333 10,0000
2 0,5000 12,5000
1 1,0000 20,0000
ω
T λ E[µ]-λσ2 µω σω2 σω
Fima Ahorro PesosFima Renta Pesos Nuevo Renta Dolares Latinoamericana PB
Fima Fima Renta Fima Acciones
20 5,7500 -0,0397 1,3867 -0,2821 0,0339 -0,0989 0,1363 24,29% 1,85% 13,61%
19 5,7895 -0,0325 1,3764 -0,2802 0,0346 -0,0983 0,1356 24,16% 1,83% 13,53%
18 5,8333 -0,0247 1,3652 -0,2781 0,0353 -0,0976 0,1348 24,01% 1,81% 13,44%
17 5,8824 -0,0161 1,3529 -0,2759 0,0361 -0,0969 0,1339 23,86% 1,78% 13,34%
16 5,9375 -0,0066 1,3393 -0,2734 0,0369 -0,0962 0,1329 23,68% 1,75% 13,23%
15 6,0000 0,0039 1,3241 -0,2706 0,0379 -0,0953 0,1319 23,49% 1,72% 13,10%
14 6,0714 0,0157 1,3072 -0,2675 0,0389 -0,0944 0,1306 23,27% 1,68% 12,97%
13 6,1538 0,0290 1,2882 -0,2640 0,0401 -0,0933 0,1293 23,03% 1,64% 12,81%
12 6,2500 0,0440 1,2666 -0,2600 0,0415 -0,0921 0,1277 22,75% 1,60% 12,64%
11 6,3636 0,0612 1,2419 -0,2555 0,0430 -0,0907 0,1259 22,44% 1,55% 12,44%
10 6,5000 0,0810 1,2135 -0,2503 0,0448 -0,0890 0,1239 22,07% 1,49% 12,21%
9 6,6667 0,1042 1,1803 -0,2442 0,0469 -0,0872 0,1214 21,65% 1,43% 11,94%
8 6,8750 0,1315 1,1410 -0,2370 0,0494 -0,0849 0,1185 21,15% 1,35% 11,63%
7 7,1429 0,1643 1,0939 -0,2283 0,0523 -0,0823 0,1150 20,55% 1,27% 11,25%
6 7,5000 0,2044 1,0364 -0,2177 0,0559 -0,0790 0,1107 19,81% 1,17% 10,80%
5 8,0000 0,2545 0,9645 -0,2045 0,0605 -0,0749 0,1052 18,89% 1,05% 10,23%
4 8,7500 0,3190 0,8720 -0,1875 0,0663 -0,0697 0,0979 17,71% 0,91% 9,51%
3 10,0000 0,4049 0,7487 -0,1649 0,0740 -0,0627 0,0877 16,13% 0,74% 8,58%
2 12,5000 0,5252 0,5760 -0,1332 0,0849 -0,0529 0,0720 13,92% 0,54% 7,33%
1 20,0000 0,7056 0,3171 -0,0856 0,1011 -0,0383 0,0417 10,61% 0,32% 5,68%
-
El cuadro anterior muestra la forma en la cual se va modificando la asignación de activos a medida
que pasa el tiempo y nos acercamos a nuestro horizonte de inversión. Las primeras dos columnas
capturan la relación entre el paso del tiempo y la aversión del inversor a tomar mayor riesgo, la
cual fue formalizada al principio de esta sección.
29
30. En sintonía con los resultados obtenidos en las secciones anteriores, y teniendo en cuenta las
particularidades de cada activo representativo, podemos ver cómo al inicio del período de
inversión el nivel de aversión al riesgo es mucho mas bajo, lo cual incentiva a incluir activos más
riesgosos. Esto lo podemos ver en la forma en la cual se asignan los activos. Al no haber impuesto
restricciones a las ventas cortas nuestro programa de optimización realiza ventas en corto de los
Fondos FIMA PB Acciones, FIMA Nuevo Renta Dolares, y FIMA Ahorro Pesos para sobre-
posicionarse en el Fondo FIMA Renta Pesos, que es el fondo de mayor retorno.
Lo interesante es notar como a medida que nos acercamos a nuestro horizonte de inversión el
coeficiente de aversión al riesgo se va incrementando, lo cual nos indica que el inversor está
penalizando de manera creciente la toma de riesgo. Para atender esta situación, nuestro
portafolio va reduciendo su exposición al Fondo FIMA Renta Pesos al tiempo que incrementa
fuertemente la exposición al Fondo FIMA Ahorro Pesos, que es el fondo con menor riesgo.
Pero tal cual vimos durante todo el trabajo, el trade-off entre riesgo y retorno se observa
nuevamente en las últimas columnas, donde a medida que nos acercamos al horizonte reducimos
el riesgo del portafolio, pero siempre al costo de reducir el retorno del mismo.
9. Conclusiones
En el presente trabajo hemos detallado una forma funcional y operativa para asignar activos de
manera racional. Para ello utilizamos un modelo de media-varianza, el cual nos brindó la
posibilidad de construir portafolios eficientes a partir de “inputs” que se obtuvieron fácilmente al
analizar el comportamiento de cada serie de activos.
Nuestro esquema de trabajo asumió inversores optimizadores, y algunos supuestos en cuanto al
comportamiento de los retornos que nos permitió simplificar el análisis. En este sentido se
probaron estadísticamente los dos supuestos más importantes.
El haber estimado las fronteras de eficiencia, analizando qué ocurría cuando habilitábamos las
ventas en corto nos permitió mostrar que en este último caso existía la posibilidad de obtener
mayores retornos a un menor riesgo. Esto ocurría porque las operaciones de short-selling
aumentaban las posibilidades de diversificación en comparación a cuando estas operaciones no
estaban permitidas.
En el caso en el que no permitíamos el short-selling pudimos ver una de las limitaciones del
esquema de media-varianza, que proviene del hecho de arrojarnos posiciones de esquina. Dada la
sensibilidad del modelo a los “inputs”, esto nos puede llevar a rebalanceos bruscos del portafolio.
Un problema potencial de nuestro análisis es que al utilizar series históricas para estimar variables
como los retornos, varianzas y covarianzas esperadas, corremos el riesgo de extrapolar tendencias
alcistas (o bajistas) que no siempre se mantienen en el futuro. Esta tendencia de mirar al futuro
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31. por el espejo retrovisor puede llevarnos a sobre-posicionarnos en determinados activos que no
cumplirán ex-post con las preferencias de riesgo manifestadas por los inversores. Este es un riesgo
que corrimos en nuestro análisis para simplificar la estimación de los “inputs”.
Los resultados de la optimización nos permitieron observar la lógica de un esquema de media-
varianza sujeto a determinadas restricciones, como ser el nivel de aversión al riesgo del inversor o
el requerimiento de mantenerse 100% invertido.
Vimos también que a medida que incrementábamos la aversión al riesgo de nuestro inversor, este
asignaba una mayor proporción de su portafolio a activos de menor riesgo, pero siempre a costa
de sacrificar retorno. Este trade-off se incluyó explícitamente en nuestro modelo de trabajo,
cumpliéndose en todos los resultados obtenidos.
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