Distribucion Normal

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  • En las gráficas de f(x) y F(x) hay que tener en cuenta que las asíntotas de F(x) son y=0 e y=1 y no x=1 y x=0 y que las asíntotas son horizontales y no verticales.
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  • Al plantear la ecuación de la función distribución, debe tenerse en cuenta que F(X) es la integral definida entre menos infinito y x de f(t)dt debido a que integrar con respecto a X cuando un límite (en este caso el superior) es X se torna confuso ...
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Distribucion Normal

  1. 1. Realizado por: Stalin Coronel Diego Espinoza Revisado por: Mónica Mantilla
  2. 2.  La Distribución Normal fue inventada por: De Moivre  El nombre de Distribución normal fue aplicado por F. Galton en 1889  Conocida también como Distribución Gaussiana
  3. 3. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X se llama normal si su función de densidad es: 1 ( x   ) 2 / 2 2 f ( x)  e , x  (, ) 2 
  4. 4. 1 ( x   ) 2 / 2 2 f ( x)  e , x  (, ) 2  μ σ Promedio= esperanza desviación estándar (valor positivo)
  5. 5.  NOTACIÓN: X ~ N (μ,σ²)
  6. 6.  Función de Distribución: 1 F ( x)  2  x   e  ( x   ) 2 / 2 2 dx
  7. 7.  f(x) Simetría con respecto a x=μ  F(x) Asíntotas en: X=0 y X=1
  8. 8.  Esperanza: E(x)=μ  Varianza: Var(x)=σ²
  9. 9.  Normal - - estándar (N (0,1)) μ=0 σ²=1 Función de densidad Función de distribución 1 x2 / 2  ( x)  e , x  (, ) 2 ( x)  1 2 x   e x2 / 2 dx
  10. 10.  Ley normal x F ( x )      
  11. 11.  Fórmula desarrollada por Derenzo    1  (83 x  351) x  562   exp  , x  0 703 2    165  x       0.5, x  0     1  1 exp  (83x  351) x  562 , x  0   703  2    165  x   
  12. 12. Tabla de probabilidad acumulada para la distribución normal estándar
  13. 13. EJERCICIOS RESUELTOS
  14. 14.  a) El perímetro craneal de los hombres, en una ciudad, es una variable aleatoria de media 60cm y desviación estándar 2cm. Qué porcentaje de los hombres tienen un perímetro craneal entre 57 y 64 cm?   60  2 x F ( x )       Pr(57  x  64)  F (64)  F (57)  64  60   57  60  Pr(57  x  64)         (2)   (1.5) 2  2    Pr(57  x  64)  0.9772  0.0668  0.9104 R= 91%
  15. 15. b) Qué perímetro craneal debe tener un hombre para que el 16.6% de sus paisanos “tenga más cabeza que él”?   60  2  x  F ( x )       Pr( X  x)  0.166 Pr( X  x)  1  Pr( X  x)  1  F ( x)  0.166 F ( x)  1  0.166  0.834  x  60     0.834  2   (0.97)  0.834 x  60  0.97 2 x  61.94cm
  16. 16. c) Y cuánto para que el 35.2% tenga menos?   60  2  x  F ( x )       Pr( X  x)  0.352 Pr( X  x)  F ( x)  0.352  x  60     0.352  2   (0.28)  0.352 x  60  0.38 2 x  59.24cm
  17. 17.  a) Se experimenta con un medicamento que produce variación en el peso de las personas que lo toman. Pruebas de laboratorio han demostrado que al cabo de un mes la variación del peso sigue una distribución Gaussiana de media 2kg y desviación estándar 1.25kg. Determine la probabilidad de que una persona: Haya aumentado al menos un kilogramo 2   1.25 Pr( x  1)  1  Pr( x  1)  1  F (1)  x  F ( x )       1 2  Pr( x  1)     1.25  Pr( x  1)  1   (0.8) Pr( x  1)  1  0.2119  0.7881
  18. 18. b) Haya rebajado de peso 2   1.25 Pr( x  0)  F (0)  x  F ( x)       02 Pr( x  0)     1.25  Pr( x  0)   (1.6) Pr( x  0)  0.0548
  19. 19. c) Haya aumentado menos de 3kg 2   1.25 Pr(0  x  3)  F (3)  F (0)  x  F ( x )        3 2 02 Pr(0  x  3)        1.25   1.25  Pr(0  x  3)   (0.8)   (1.6) Pr(0  x  3)  0.7881  0.0548  0.7333
  20. 20.  En una fábrica de autos un ingeniero está diseñando autobuses pequeños. Sabe que la estatura de la población está normalmente distribuida con media 1.70m y varianza σ², con σ=5 cm. ¿Qué altura mínima deberán tener los autobuses para que no más del 1% de las personas golpee su cabeza con la parte superior del autobús?
  21. 21. Sea X { estatura de las personas } .Denominemos h a la altura mínima para que la probabilidad de que una persona golpee su cabeza con el techo del autobús sea del 1 % .   1.70  5  x  F ( x )       Pr( x  h)  0.01 Pr( x  h)  1  Pr( x  h)  1  F (h)  h  1.70  Pr( x  h)  1    0.05  
  22. 22. Entonces :  h  1.70  0.01  1     0.05   h  1.70     1  0.01  0.99  0.05  h  1.70  2.33 0.05 h  1.70  (0.05 * 2.33) h  1.817 Por lo tanto el ingeniero deberá diseñar el autobús con una altura de 1.82 m
  23. 23.  Se tomaron dos exámenes sobre 100 puntos , en el primero se obtuvo μ1=80 , σ1=4 y en el segundo μ2=65 , σ2=5 .Un estudiante sacó 84 en el primer examen y 75 en el segundo. Comparativamente , ¿en cuál de los exámenes obtuvo mejor resultado?
  24. 24. Para poder hacer una comparación de cómo le fue al estudiante en cada examen determinaremos para cada caso el porcentaje de compañeros que sacaron menor nota que el estudiante : PRIMER EXAMEN :   80  4  x  F ( x )        84  80  Pr( x  84)  F (84)     1  0.8413  4 
  25. 25.  SEGUNDO EXAMEN :   65  5  x  F ( x )        75  65  Pr( x  75)  F (75)     2  0.9772  5  Respuesta : Como en el primer examen el porcentaje de compañeros que obtuvo menor nota es 84.13% y en el segundo 97.72% , tuvo, comparativamente mejor resultado en el segundo examen aunque la media de la nota haya sido menor.
  26. 26. EJERCICIO PROPUESTO 1 Se sabe que el gasto en cigarrillos es, para los fumadores, de $.5 diarios por término medio, y que la desviación estándar es de 0,8 dólares. Suponiendo que el gasto sigue una distribución normal, ¿qué proporción de los fumadores gastan entre 4 y 6,2 dólares diarios?
  27. 27. EJERCICIO PROPUESTO 2 Supongamos que la cantidad de radiación cósmica a la que una persona está expuesta cuando vuela en jet por Estados Unidos es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con una media de 4,35 mrem y una desviación estándar de 0,59 mrem. ¿cuál es la probabilidad de que una persona estará expuesta a más de 5.20 mrem de radiación cósmica en un vuelo como éste?
  28. 28. EJERCICIO PROPUESTO 3 Supongamos que durante los periodos de meditación trascendental la reducción del consumo de oxígeno de una persona es una variable aleatoria que tiene una media de 37.6 cc por minuto y desviación de 4.60c por minuto. Encuentre las probabilidades de que durante un periodo de meditación el consumo de oxígeno de una persona se reducirá por: a) Al menos 44.5 cc por minuto b) Cuando mucho 35.00 cc por minuto c) Cualquier valor entre 30.0 y 40.0 cc por minuto

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