Variables aleatorias

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Variables aleatorias

  1. 1. MATEMATICAS 2º Bachillerato MaTEX r=A+lu Proyecto A d B s=B+mv Variables Aleatorias SOCIALES MaTEX Aleatorias Fco Javier Gonz´lez Ortiz a VariablesDirectorio • Tabla de Contenido • Inicio Art´ ıculo Tabla N(0,1) c 2004 gonzaleof@unican.es Doc Doc8 de Junio de 2004 Versi´n 1 o Volver Cerrar
  2. 2. MATEMATICAS 2º Bachillerato Tabla de Contenido A r=A+lu1. Variable Aleatoria Discreta d 1.1. Funci´n de Probabilidad o B s=B+mv 1.2. Funci´n de Distribuci´n o o SOCIALES 1.3. Media o esperanza de una variable aleatoria 1.4. Varianza y desviaci´n t´ o ıpica de una variable aleatoria MaTEX 1.5. Ejercicios Aleatorias2. La Distribuci´n Binomial o Variables • Experiencias binomiales • N´meros combinatorios u 2.1. Distribuci´n Binomial o 2.2. Ejercicios3. Variable Aleatoria Continua 3.1. Funci´n de Distribuci´n o o4. La Distribuci´n Normal o 4.1. La normal N (0; 1) • Manejo de la tabla • Tipificar una variable normal 4.2. Ejercicios Tabla N(0,1)5. Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal o o 5.1. Ejercicios Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests Doc Doc Volver Cerrar
  3. 3. MATEMATICASSecci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o 3 2º Bachillerato r=A+lu1. Variable Aleatoria Discreta ADefinici´n 1.1 Una variable aleatoria discreta X es una funci´n que asigna o o dvalores num´ricos a los sucesos elementales de un espacio muestral e B s=B+mv X : Ω −→ R SOCIALES ωi −→ xiEjemplo 1.1. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X, MaTEX Aleatoriasn´mero de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener cruz, como uel espacio muestral es Ω = {CC, CX, XC, XX} entonces se tiene Variables X : Ω −→ R CC → 2 CX → 1 XC → 1 XX → 0Ejemplo 1.2. Lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 euro ysi sacamos cruz X pagamos 1 euro. ¿ C´mo es la variable aleatoria X que omide la ganancia?. Tabla N(0,1)El espacio muestral es Ω = {C, X} entonces se tiene X : Ω −→ R C → 1 X → −1 Doc Doc Volver Cerrar
  4. 4. MATEMATICASSecci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o 4 2º Bachillerato r=A+lu1.1. Funci´n de Probabilidad o ADefinici´n 1.2 Es la aplicaci´n que asigna a cada valor de la variable aleato- o o dria discreta X la probabilidad de que la variable tome dicho valor B s=B+mv px : X −→ [0, 1] SOCIALES xi −→ P (X = xi )Ejemplo 1.3. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X, MaTEX Aleatoriasn´mero de caras obtenidas. Siendo C obtener cara y X obtener cruz. La ufunci´n de probabilidad de X es o Variables 1 px (2) = P (X = 2) = P (“CC ) = 4 2 px (1) = P (X = 1) = P (“CX, XC ) = 4 1 px (0) = P (X = 0) = P (“XX ) = 4 Es habitual expresar la funci´n de probabilidad en una tabla de la forma o xi 0 1 2 1 2 1 px (xi ) Tabla N(0,1) 4 4 4Observa que se tiene que cumplir n px (xi ) = 1 (1) Doc Doc i=1 Volver Cerrar
  5. 5. MATEMATICASSecci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o 5 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 1.4. Lanzamos una moneda, si sacamos cara C recibimos 1 euro y Asi sacamos crus X pagamos 1 euro. Describir la funci´n de probabilidad de o dla variable aleatoria X que mide la ganancia. B xi 1 −1 s=B+mv SOCIALES px (xi ) 1/2 1/2Ejemplo 1.5. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene o MaTEX Aleatoriasdada por la tabla. Variables xi −2 −1 0 1 2 px (xi ) 0.08 0.32 0.05 a 0.32 Hallar el valor de a, P (X = 1), P (X ≥ 1) y P (X ≤ −1).Soluci´n: o n • Como px (xi ) = 1 ⇒ 0.08 + 0.32 + 0.05 + a + 0.32 = 1; a = 0.23 i=1 • P (X = 1) = px (1) = a = 0.23 • P (X ≥ 1) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0.23 + 0.32 = 0.55 Tabla N(0,1) • P (X ≤ −1) = P (X = −2) + P (X = −1) = 0.08 + 0.32 = 0.4 Doc Doc Volver Cerrar
  6. 6. MATEMATICASSecci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o 6 2º Bachillerato r=A+lu1.2. Funci´n de Distribuci´n o o ADefinici´n 1.3 Es la aplicaci´n FX (xi ) que asigna a cada valor xi de la o o dvariable aleatoria discreta X la probabilidad de que la variable tome valores B s=B+mvmenores o iguales que xi SOCIALES FX (xi ) = P (X ≤ xi ) (2) MaTEXEjemplo 1.6. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene o Aleatoriasdada por la tabla. Variables xi 0 1 2 3 px (xi ) 0.1 0.2 0.4 0.3 Hallar la funci´n de distribuci´n de X. o oSoluci´n: De la definici´n (1.3) se tiene o o FX (0) = P (X ≤ 0) = px (0) = 0.1 FX (1) = P (X ≤ 1) = px (0) + px (1) = 0.3 FX (2) = P (X ≤ 2) = px (0) + px (1) + px (2) = 0.7 FX (3) = P (X ≤ 1) = px (0) + px (1) + px (2) + px (3) = 1 Tabla N(0,1) xi 0 1 2 3 Fx (xi ) 0.1 0.3 0.7 1 Doc Doc Volver Cerrar
  7. 7. MATEMATICASSecci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o 7 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 1.7. La funci´n de probabilidad de la variable aleatoria X viene o Adada por la tabla. d xi 0 1 2 3 B s=B+mv px (xi ) 0.2 0.3 0.1 0.5 SOCIALES Representar la funci´n de probabilidad y la funci´n de distribuci´n de X o o o MaTEXSoluci´n: Juntamos en una tabla la funci´n de probabilidad y la funci´n de o o o Aleatoriasdistribuci´n de X o Variables xi 0 1 2 3 px (xi ) 0.2 0.3 0.1 0.4 FX (xi ) 0.2 0.5 0.6 1 p(x) F(x) 1 1 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 Tabla N(0,1) 0.2 0.2 0.1 0.1 0 1 2 3 X 0 1 2 3 X Doc Doc Volver Cerrar
  8. 8. MATEMATICASSecci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o 8 2º Bachillerato r=A+lu1.3. Media o esperanza de una variable aleatoria ADefinici´n 1.4 Se llama media o esperanza de una variable aleatoria X y o dse representa por µ al valor B s=B+mv n SOCIALES µ = x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · xn · p(xn ) = xi · p(xi ) (3) i=1 MaTEX AleatoriasEjemplo 1.8. Lanzamos dos monedas. Si salen dos caras recibimos 3 eu- Variablesros, si sale una cara recibimos 1 euro y si no sale ninguna cara pagamos 5euros.¿Cu´l es la ganancia media del juego? aSoluci´n: Hallamos la funci´n de probabilidad de la ganancia X en euros: o o xi 3 1 −5 px (xi ) 1/4 1/2 1/4La ganancia media del juego es la media o esperanza de X µ =x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + x3 · p(x3 ) 1 1 1 =3 · + 1 · − 5 · = 0 4 2 4 Tabla N(0,1)Cuando en un juego la ganancia esperada µ = 0 se llama juego justo. Siµ > 0 es un juego con ventaja y si µ < 0 es un juego en desventaja. Doc Doc Volver Cerrar
  9. 9. MATEMATICASSecci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o 9 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 1.9. Hallar la media de la variable aleatoria X, dada por la funci´n o Ade probabilidad. d xi 0 1 2 3 B s=B+mv px (xi ) 0.1 0.2 0.4 0.3 SOCIALESSoluci´n: De la definici´n (1.4) se tiene o o MaTEX µ =x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + x3 · p(x3 ) + x4 · p(x4 ) Aleatorias =0 · 0.1 + 1 · 0.2 + 2 · 0.4 + 3 · 0.3 = 1.9 VariablesEjemplo 1.10. Hallar la media de la variable aleatoria X, dada por lafunci´n de probabilidad. o xi 0 1 2 3 px (xi ) 0.3 0.2 0.1 0.4Soluci´n: De la definici´n (1.4) se tiene o o µ =x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + x3 · p(x3 ) + x4 · p(x4 ) Tabla N(0,1) =0 · 0.3 + 1 · 0.2 + 2 · 0.1 + 3 · 0.4 = 1.6 Doc Doc Volver Cerrar
  10. 10. MATEMATICASSecci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o 10 2º Bachillerato r=A+lu1.4. Varianza y desviaci´n t´ o ıpica de una variable aleatoria ADefinici´n 1.5 Se llama varianza de una variable aleatoria X y se repre- o dsenta por σ 2 al valor B s=B+mv n SOCIALES σ 2 = x2 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · x2 · p(xn ) − µ2 = x2 · p(xi ) − µ2 (4) 1 2 n i=1 i MaTEX AleatoriasA partir de la varianza se define la desviaci´n t´ o ıpica σ como la ra´ cuadrada ızde la varianza. VariablesEjemplo 1.11. Hallar la varianza y la desviaci´n t´ o ıpica de la variable aleato-ria X, dada por la funci´n de probabilidad. o xi 0 1 2 3 px (xi ) 0.1 0.2 0.4 0.3Soluci´n: Primero se calcula la media µ o µ =0 · 0.1 + 1 · 0.2 + 2 · 0.4 + 3 · 0.3 = 1.9De la definici´n (1.5) se tiene o σ 2 =x2 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · x2 · p(xn ) − µ2 1 2 n Tabla N(0,1) =02 · 0.1 + 12 · 0.2 + 22 · 0.4 + 32 · 0.3 − 1.92 = 0.89 √ σ = 0.89 = 0.94 Doc Doc Volver Cerrar
  11. 11. MATEMATICASSecci´n 1: Variable Aleatoria Discreta o 11 2º Bachillerato r=A+lu1.5. Ejercicios AEjercicio 1. La funci´n de probabilidad de una variable aleatoria discreta o dX es. B s=B+mv xi 0 1 2 3 4 SOCIALES px (xi ) 0.1 a b c 0.2 MaTEX Sabiendo que P (X ≤ 2) = 0.75 y que P (X ≥ 2) = 0.75, halla su esperanza Aleatoriasmatem´tica y su desviaci´n t´ a o ıpica. VariablesEjercicio 2. Una persona en un juego recibe 15 cts cuando saca una sotao un caballo y recibe 5 cts si saca un rey o un as de una baraja espa˜ola nde 40 cartas. Si saca cualquier otra carta paga 4 cts . ¿Cu´l es la ganancia aesperada en este juego?Ejercicio 3. Se tienen tres urnas: la A que contiene dos bolas negras y cuatrorojas, la B tres negras y tres rojas; y la C con una negra y cinco rojas. UA = {2 N ; 4 R} UB = {3 N ; 3 R} UC = {1 N ; 5 R}Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella. Si se saca roja se Tabla N(0,1)reciben 3 euros y si se saca negra no se recibe nada. ¿Cu´l es la ganancia aesperada? Doc Doc Volver Cerrar
  12. 12. MATEMATICASSecci´n 2: La Distribuci´n Binomial o o 12 2º Bachillerato r=A+lu2. La Distribuci´n Binomial o A• Experiencias binomiales dToda experiencia aleatoria que presenta dos resultados posibles, uno que fi- B s=B+mvjamos como “´xito” y lo contrario como “fracaso” se suele denominar de tipo e SOCIALESBernouilli. Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Bernouilli: MaTEX • Jugar a cara o cruz. Aleatorias • El nacimiento de un ni˜o (var´n o mujer) n o Variables • Obtener un “4” en el lanzamiento de un dado. • Obtener un n´mero “par” en el lanzamiento de un dado. u • Obtener “copas” al extraer una carta de la baraja espa˜ola. n • La fabricaci´n de una pieza en un factor´ (aceptable o defectuosa). o ıa • El resultado de una operaci´n (´xito o fracaso). o e • El lanzamiento a una canasta (encestar o fallar). • Aprobar o suspender un examen. Tabla N(0,1) Doc Doc Volver Cerrar
  13. 13. MATEMATICASSecci´n 2: La Distribuci´n Binomial o o 13 2º Bachillerato r=A+lu Cuando se realizan n pruebas independientes de tipo Bernouilli decimos Aque es una experiencia aleatoria de tipo Binomial. d B Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Binomial: s=B+mv SOCIALES • Jugar 10 veces a cara o cruz . • Observar 30 nacimientos de un beb´ (ni˜a o ni˜o) e n n MaTEX • Obtener el “4” en el lanzamiento de 15 dados. Aleatorias • Obtener “copas” al extraer una carta 8 veces de la baraja espa˜ola. Variables n • La fabricaci´n de 1000 piezas en un factor´ (aceptable o defectuosa). o ıa • El resultado de 50 operaciones (´xito o fracaso). e • El lanzamiento a una canasta n veces (encestar o fallar). Tabla N(0,1) Doc Doc Volver Cerrar
  14. 14. MATEMATICASSecci´n 2: La Distribuci´n Binomial o o 14 2º Bachillerato r=A+lu• N´meros combinatorios u ALanzamos una moneda 5 veces. Sea el suceso C =“sacar cara” como “´xito”,y e del suceso contrario X como “fracaso”. B ¿ De cu´ntas formas se puede presentar el suceso “sacar dos caras”? a s=B+mv SOCIALES Es como colocar dos C en 5 casillas. La primera C dispone de 5 sitios,luego la segunda dispone de 4 sitios. Eso har´ 5 · 4 = 20 posibilidades. Pero ıa 5·4 MaTEXcomo las caras C son indistinguibles dividimos por 2. Eso hace = 10. Aleatorias 2en efecto Variables  CCXXX XCXCX   CXCXX XCXXC   5·4 5 CXXCX XXCCX = = 10  2 2 CXXXC XXCXC    XCCXX XXXCC  5El n´mero combinatorio u se lee 5 sobre 2 y se calcula de la forma siguiente: 2 5 5·4 = = 10 Tabla N(0,1) 2 2·1Las formas de obtener 3 caras en los cinco lanzamientos corresponde de formaa an´loga a a 5 5·4·3 Doc Doc = = 10 3 3·2·1 Volver Cerrar
  15. 15. MATEMATICASSecci´n 2: La Distribuci´n Binomial o o 15 2º Bachillerato r=A+luLas formas de obtener 4 caras en seis lanzamientos de una moneda ser´ ıa A 6 6·5·4·3 = = 15 d 4 4·3·2·1 B s=B+mvLas formas de aparecer 5 defectuosas en 40 piezas fabricadas ser´ ıa SOCIALES 40 5 = 40 · 39 · 38 · 37 · 36 5·4·3·2·1 = 658008 MaTEX AleatoriasEn general las formas de obtener k ´xitos en n intentos corresponde a e Variables n n · (n − 1) · · · (n − k + 1) = (5) k k!Para extender la f´rmula anterior se toma 0! = 1. oEjercicio 4. Calcula los siguientes n´mero combinatorios u Tabla N(0,1) 4 6 8 10 a) b) c) d) 1 2 3 2 5 7 9 13 e) f) g) h) 0 3 4 2 Doc Doc Volver Cerrar
  16. 16. MATEMATICASSecci´n 2: La Distribuci´n Binomial o o 16 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.1. En el lanzamiento de un dado Considera como “´xito” ele Asuceso E =“sacar un 4” y como fracaso el suceso contrario F con p = P (E) = d1 5 y q = P (F ) = . Queremos hallar la probabilidad de obtener un ´xito en e B6 6 s=B+mvtres dados. Esto puede ocurrir como se muestra en la tabla SOCIALES Dado 1 Dado 2 Dado 3 Probabilidad MaTEX 1 5 5 E F F · · = p q2 Aleatorias 6 6 6 Variables 5 1 5 F E F · · = p q2 6 6 6 5 5 1 F F E · · = p q2 6 6 6 3 p q2 3Como hay formas distintas,la probabilidad de obtener un ´xito en tres e 1intentos es: 3 P (X = 1) = p q2 1 Tabla N(0,1) Si generalizamos el ejemplo anterior obtenemos la distribuci´n bimomial. o Doc Doc Volver Cerrar
  17. 17. MATEMATICASSecci´n 2: La Distribuci´n Binomial o o 17 2º Bachillerato r=A+lu2.1. Distribuci´n Binomial o ADefinici´n 2.1 Una variable aleatoria X se llama binomial si su valor en o digual al n´mero de ´xitos que ocurren en n pruebas independientes,teniendo u e B s=B+mvtodas ellas la misma probabilidad de ´xito, que designamos por p. Su funci´n e o SOCIALESde probabilidad es n k n−k MaTEX P (X = k) = p (1 − p) , para k = 0, 1, . . . , n; (6) Aleatorias k VariablesSi una variable X sigue la distribuci´n binomial de par´metros n y p suele o adesignarse como X ∼ B(n; p)Las constantes n y p son los par´metros de la distribuci´n; obviamente, n 0 a oes un n´mero entero y 0 ≤ p ≤ 1. La probabilidad de obtener fracaso es 1 − p uy se designa con al letra q de forma que p + q = 1. El c´lculo de la media , la varianza y la desviaci´n t´ a o ıpica es algo laboriosoy resulta Tabla N(0,1) µ = n·p σ2 = n · p · q (7) √ σ = n·p·q Doc Doc Volver Cerrar
  18. 18. MATEMATICASSecci´n 2: La Distribuci´n Binomial o o 18 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.2. Tiramos una moneda 6 veces y contamos el n´mero de caras u AX. Hallar la funci´n de probabilidad y representarla. o dSoluci´n: Se tiene que o B s=B+mv SOCIALES 0.35 X es B(n = 6; p = 1/2) p(X=k) 6 0.3 MaTEX P (X = 0) = p0 q 6 = 0.0156 0.25 Aleatorias 0 0.2 Variables 6 P (X = 1) = p1 q 5 = 0.0938 1 0.15 6 0.1 P (X = 2) = p2 q 4 = 0.2344 2 0.05 6 3 3 0 P (X = 3) = p q = 0.3125 0 1 2 3 4 5 6 3 Nº de caras 6 P (X = 4) = p4 q 2 = 0.2344 4 1 µ = np = 10 =5 6 2 P (X = 5) = p5 q 1 = 0.0938 11 Tabla N(0,1) 5 σ 2 = npq = 10 = 2.5 6 22 P (X = 6) = p6 q 0 = 0.0156 6 Doc Doc Volver Cerrar
  19. 19. MATEMATICASSecci´n 2: La Distribuci´n Binomial o o 19 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.3. Se extraen cinco bolas con reemplazamiento de una urna que Atiene 6 bolas blancas y 8 negras. ¿Qu´ es mas probable, sacar 2 rojas o 3 e drojas?. B s=B+mvSoluci´n: Sea ´xito sacar roja, con p = 6/14, o e SOCIALESSe tiene que 6 0.35 0.3 p(X=k) MaTEX X es B(n = 5; p = ) Aleatorias 14 0.25 VariablesProbabilidad de sacar 2 bolas ro- 0.2jas: 2 3 0.15 5 6 8P (X = 2) = 2 14 14 0.1 = 0.3427 0.05Probabilidad de sacar 3 bolas ro- 0 1 2 3 4 5jas: Nº de bolas rojas 3 2 5 6 8P (X = 3) = Tabla N(0,1) 3 14 14 = 0.2570Es m´s probable obtener 2 rojas. a Doc Doc Volver Cerrar
  20. 20. MATEMATICASSecci´n 2: La Distribuci´n Binomial o o 20 2º Bachillerato r=A+lu2.2. Ejercicios AEjercicio 5. La probabilidad de que cierto jugador de baloncesto enceste duna canasta de 3 puntos es 0.3. ¿Cu´l es la probabilidad de que enceste, a B s=B+mvexactamente dos canastas de cinco lanzamientos? SOCIALESEjercicio 6. La probabilidad de que un estudiante que ingresa en la Univer-sidad se licencie en 5 a˜os es de 0.4. Se eligen al azar 10 estudiantes. Calcular n MaTEX Aleatoriasla probabilidad de que: Variables a) ninguno se licencie en 5 a˜os. n b) todos se licencien en 5 a˜os. n c) un unico estudiante se licencie en 5 a˜os. ´ nEjercicio 7. Una m´quina produce 12 piezas defectuosas de cada mil que afabrica. Hallar la probabilidad de que al examinar 40 piezas:: a) s´lo haya una defectuosa. o b) no haya ninguna defectuosa.Ejercicio 8. En un grupo de 20 estudiantes de un instituto se ha comprobado Tabla N(0,1)que cada alumno falta a clase el 4% de los d´ ıas. Calcular la probabilidad deque en un d´ determinado: ıa a) no se registre ninguna falta. b) falten a clase menos de tres estudiantes. Doc Doc Volver Cerrar
  21. 21. MATEMATICASSecci´n 2: La Distribuci´n Binomial o o 21 2º Bachillerato r=A+lu c) falte a clase un unico estudiante. ´ AEjercicio 9. En una determinada ciudad, la probabilidad del nacimiento de duna ni˜a es del 56%. Seleccionamos una familia de cinco hijos. Calcular la n B s=B+mvprobabilidad de que SOCIALES a) tenga exactamente tres ni˜as. b) tenga al menos dos ni˜as. n n MaTEX Aleatorias c) ¿cu´l es el n´mero medio de hijas en las familias con cinco hijos? a u VariablesEjercicio 10. A una fiesta han sido invitadas 8 personas. Cada personapuede acudir o no con independencia de que lo hagan las dem´s. Si la prob- aabilidad de que acuda cada una es 0.85, calcular: a) la probabilidad de asistan todas. b) la probabilidad de asistan m´s de 6 personas. a c) la probabilidad de asista al menos la mitad.Ejercicio 11. Si el 20% de las piezas producidas por una m´quina son defec- atuosas, ¿cu´l es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a a Tabla N(0,1)lo sumo 2 sean defectuosas?Ejercicio 12. La probabilidad de que un esquiador debutante se caiga en lapista es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que se caiga almenos 3 veces. Doc Doc Volver Cerrar
  22. 22. MATEMATICASSecci´n 3: Variable Aleatoria Continua o 22 2º Bachillerato r=A+lu3. Variable Aleatoria Continua ADiremos que una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier dvalor en un intervalo. Por ejemplo, el peso o la altura de una persona. Para B s=B+mvconcretar, consideremos que representamos en un histograma las medida de SOCIALESla alturas X de los chicos de 15 a˜os. Si tomamos m´s y m´s observaciones n a ay haciendo clases cada vez m´s finas, el histograma tender´ a una curva a a MaTEXque describir´ el comportamiento de la variable estudiada, como muestra la a Aleatoriasfigura. Variables Eso hace pensar en una funci´n matem´tica f (x) que modelice la frecuen- o acia relativa de la altura para la poblaci´n de los chicos de 15 a˜os. o n A dicha funci´n f (x) se le llama funci´n de densidad. o o y f (x) Tabla N(0,1) 1.53 1.83 x altura Doc Doc Volver Cerrar
  23. 23. MATEMATICASSecci´n 3: Variable Aleatoria Continua o 23 2º Bachillerato r=A+luDefinici´n 3.1 Una variable aleatoria X se dice que es continua cuando o Atiene asociada una funci´n de densidad f (x) que cumple o d 1. f (x) ≥ 0 para todos los valores donde est´ definida. a B s=B+mv ∞ SOCIALES 2. f (x) dx = 1. (El ´rea bajo la curva es uno) a −∞ La probabilidad se determina con MaTEX Aleatorias b P (a x b) = f (x) dx (8) Variables a que corresponde al ´rea de la regi´n limitada por f (x), el eje x y las rectas a ox=ayx=b y f (x) Tabla N(0,1) a b x P (a x b) Doc Doc Volver Cerrar
  24. 24. MATEMATICASSecci´n 3: Variable Aleatoria Continua o 24 2º Bachillerato r=A+lu3.1. Funci´n de Distribuci´n o o ADefinici´n 3.2 Es la aplicaci´n FX (x) que asigna a cada valor x de la vari- o o dable aleatoria continua X la probabilidad de que la variable tome valores B s=B+mvmenores o iguales que x SOCIALES FX (x) = P (X ≤ x) (9) MaTEXEjemplo 3.1. Hallar la funci´n de distribuci´n de la variable aleatoria con- o o Aleatoriastinua X que tiene por funci´n de densidad. o Variables 2x 0 x 1 f (x) = 0 en el restoSoluci´n: De la definici´n (9) se tiene o o x f(x)F (x) =P (X ≤ x) = 2x dx 2 0 x · 2x =´rea del tri´ngulo gris = a a = x2 2x 2 F (x) = x2 0x1 Tabla N(0,1) x 1 X Doc Doc Volver Cerrar
  25. 25. MATEMATICASSecci´n 3: Variable Aleatoria Continua o 25 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 3.2. La variable aleatoria X del ejemplo anterior tiene como funci´n o Ade distribuci´n o d F (x) = x2 0x1 B s=B+mvHallar las siguientes probabilidades: SOCIALES a) P (x 0.5) b) P (x 0.2) c) P (0.2 x 0.5) d ) P (x 0.5) e) P (x 0.2) f ) P (0.1 x 0.8) MaTEX AleatoriasSoluci´n: o Variables a) P (x 0.5) = F (0.5) = 0.52 = 0.25 b) P (x 0.2) = F (0.2) = 0.22 = 0.04 c) P (0.2 x 0.5) = F (0.5) − F (0.2) = 0.25 − 0.04 = 0.21 d ) P (x 0.5) = 1 − F (0.5) = 1 − 0.25 = 0.75 e) P (x 0.2) = 1 − F (0.2) = 1 − 0.04 = 0.96 f ) P (0.1 x 0.8) = F (0.8) − F (0.1) = 0.64 − 0.01 = 0.63 Para hallar P (a x ≤ b) utilizamos la expresi´n: o Tabla N(0,1) P (a x ≤ b) = FX (b) − FX (a) (10) Doc Doc Volver Cerrar
  26. 26. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 26 2º Bachillerato r=A+lu4. La Distribuci´n Normal o ALa funci´n de distribuci´n normal juega un papel central en la estad´ o o ıstica ya dque, adem´s de sus interesantes propiedades de reproductividad y de aprox- a B s=B+mvimaci´n de otras distribuciones, sirve para modelizar una gran cantidad de o SOCIALESsituaciones pr´cticas. aDefinici´n 4.1 Distribuci´n Normal. Una variable aleatoria X se dice o o MaTEXque tiene una distribuci´n de probabilidades normal con media µ y varianza o Aleatoriasσ 2 y se denomina N (µ, σ 2 ) si su funci´n de densidad es de la forma: o Variables (x − µ)2 1 − f (x) = √ e 2σ 2 , −∞ x ∞. σ 2πLa media y varianza de una variable normal coinciden con los par´metros µ ay σ 2 de la misma.En la figura se muestra lafunci´n de densidad y se oaprecia que es sim´trica re- especto de x = µ y los Tabla N(0,1)puntos de inflexi´n de la ofunci´n de densidad se en- ocuentran a una distancia σ µ−σ µ µ+σ zde la media. Doc Doc Volver Cerrar
  27. 27. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 27 2º Bachillerato r=A+lu En la figura se muestran dos distribuciones normales, con media µ = 0 y Adesviaciones t´ ıpicas σ = 1 y σ = 0.5. Como las dos tienen la misma media dµ = 0, la funci´n roja es mas alargada pues tiene menos variabilidad que la o Bazul. s=B+mv SOCIALES MaTEX Aleatorias Variables Tabla N(0,1) -3 -2 -1 0 1 2 3 Doc Doc Volver Cerrar
  28. 28. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 28 2º Bachillerato r=A+lu4.1. La normal N (0; 1) APrimero estudiaremos la normal t´ ıpica, que tiene media µ = 0 y desviaci´n o dt´ ıpica σ = 1, N (0; 1) y se designa con la letra z. B s=B+mv SOCIALESPara calcular las probabilidades P (Z ≤ z0 ) = Φ(z0 ) MaTEXse dise˜a una tabla que pro- n Φ(z0 ) Aleatoriasporciona las respectivas probabil- Variablesidades. z0 z• Manejo de la tablaA partir de este momento cuando necesites calcular probabilidades con lanormal N (0; 1), pulsa en el icono de la derecha Tabla N(0,1)y luego regresas al lugar donde estabas con el icono de la derecha Volver Tabla N(0,1) Ahora vas a aprender a a manejar la tabla N (0; 1). Doc Doc Volver Cerrar
  29. 29. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 29 2º Bachillerato r=A+luCaso I P (Z ≤ z0 ) y z0 es positivo. A Para calcular P (Z ≤ 1.25) = Φ(1.25), procedemos de la siguiente forma. d Buscamos en la tabla de la N (0; 1) el valor 1.25. En la primera columna B de la tabla se busca el valor 1.2 y en esta fila nos desplazamos hasta la s=B+mv SOCIALES columna con cabecera 0.05, obteniendo el valor 0.8944.Caso II P (Z ≤ −z0 ) y −z0 es negativo. MaTEX Se utiliza por simetr´ la siguiente propiedad ıa Aleatorias P (Z ≤ −z0 ) = Φ(−z0 ) = 1 − Φ(z0 ) Variables Para calcular P (Z ≤ −1.34) = 1 − Φ(1.34), procedemos de la misma forma. Buscamos en la tabla de la N (0; 1) el valor 1.34. En la primera columna de la tabla se busca el valor 1.3 y en esta fila nos desplazamos hasta la columna con cabecera 0.04, obteniendo el valor 0.9099. Luego P (Z ≤ −1.34) = 1 − Φ(1.34) = 1 − 0.9099 = 0, 0901Caso III P (z0 ≤ Z ≤ z1 ) Se calcula Φ(z1 ) y Φ(z0 ) y se restan, por la f´rmula o P (z0 ≤ Z ≤ z1 ) = Φ(z1 ) − Φ(z0 ) Tabla N(0,1) As´ por ejemplo ı P (1.25 ≤ Z ≤ 1.34) = Φ(1.34) − Φ(1.25) = 0.9099 − 0.8944 = 0, 0155 Doc Doc Volver Cerrar
  30. 30. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 30 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 4.1. Si z es normal Nz (0; 1) hallar: A P (z ≤ 0) P (z ≤ 1) P (z ≤ 2) d BSoluci´n: o s=B+mv SOCIALES Utiliza la Tabla N(0,1) MaTEX Aleatorias Variables P (z ≤ 0) = Φ(0) = 0.5 Φ(0) 0 z P (z ≤ 1) = Φ(1) = 0.8413 Φ(1) 1 z P (z ≤ 2) = Φ(2) = 0.97725 Tabla N(0,1) Φ(2) 2 z Doc Doc Volver Cerrar
  31. 31. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 31 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 4.2. Si z es normal Nz (0; 1) hallar: A P (z ≤ −1) P (z 1) P (z 2) d BSoluci´n: o s=B+mv SOCIALES Utiliza la Tabla N(0,1) MaTEX Aleatorias Φ(−1) VariablesP (z ≤ −1) = Φ(−1) = 1−Φ(1) = 0.1587 −1 zP (z 1) = 1 − Φ(1) = 0.1587 Φ(1) 1 zP (z 2) = 1 − Φ(2) = 0.02275 Tabla N(0,1) Φ(2) 2 z Doc Doc Volver Cerrar
  32. 32. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 32 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 4.3. Si z es normal Nz (0; 1) hallar: A P (−1 z 1) P (0 z 2) P (1 z 2) d BSoluci´n: o s=B+mv SOCIALES Utiliza la Tabla N(0,1) MaTEX Aleatorias VariablesP (−1 z 1) =Φ(1) − Φ(−1) =2 Φ(1) − 1 =0, 6826 −1 1 zP (0 z 2) =Φ(2) − Φ(0) = =0.97725 − 0.5 =0, 47725 0 2 z Tabla N(0,1) P (1 z 2) =Φ(2) − Φ(1) =0, 13595 1 2 z Doc Doc Volver Cerrar
  33. 33. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 33 2º Bachillerato Ahora vas a manejar la tabla en forma inversa. Nos dan la probabilidad r=A+lu Ay calculamos el valor de la variable z0 que acumula dicha probabilidad. dEjemplo 4.4. Hallar z0 de la normal Nz (0; 1) en cada caso: B s=B+mv SOCIALES P (z z0 ) = 0.7019 P (z z1 ) = 0.8997 P (z z2 ) = 0.9625Soluci´n: o MaTEX Utiliza la Tabla N(0,1) Aleatorias Variables • Φ(z0 ) = 0.7019, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1) la probabilidad 0.7019, observando su fila 0.5 y su columna 0.03, luego Φ(z0 ) = 0.7019 =⇒ z0 = 0.53 • Φ(z1 ) = 0.8997, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1) la probabilidad 0.8997, observando su fila 1.2 y su columna 0.08, luego Φ(z1 ) = 0.8997 =⇒ z1 = 1.28 • Φ(z2 ) = 0.9625, se busca en la parte central de la tabla normal Nz (0; 1) la probabilidad 0.9625, observando su fila 1.7 y su columna 0.08, luego Tabla N(0,1) Φ(z2 ) = 0.9625 =⇒ z2 = 1.78 Doc Doc Volver Cerrar
  34. 34. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 34 2º Bachillerato r=A+lu• Tipificar una variable normal ACuando tenemos una variable normal N (µ; σ), para calcular las probabil- didades se efect´a un cambio de variable que la convierte en una del tipo u B s=B+mvN (0; 1): SOCIALES X −µ X ∼ N (µ; σ) =⇒ Z = ∼ N (0; 1) σA esta variable se la llama normalizada o tipificada. De esta forma, s´lo es o MaTEX Aleatoriasnecesario disponer de la tabla correspondiente a la N (0, 1) para realizar unc´lculo dado, ya que a Variables x0 − µ PX (X ≤ x0 ) = PZ Z ≤ . σEjemplo 4.5. Si X es normal N (5; 2) hallar P (X 8).Soluci´n: oTipificamos X −5 8−5P (X 8) =P 2 2 Tabla N(0,1) =P (z 1.5) = Φ(1.5) =0.9332 5 8 X Doc Doc Volver Cerrar
  35. 35. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 35 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 4.6. Si X es normal N (5; 2) hallar: Utiliza la Tabla N(0,1) A P (X 8) P (X 2) P (2 X 8) d B s=B+mvSoluci´n: o SOCIALES P (X 8) =P X −5 8−5 MaTEX 2 2 Aleatorias =P (z 1.5) = Φ(1.5) Variables =0.9332 5 8 X X −5 2−5 P (X 2) =P 2 2 =P (z −1.5) =1 − Φ(1.5) = 0.0668 2 5 X 2−5 8−5P (2 X 8) =P z 2 2 =P (−1.5 z 1.5) Tabla N(0,1) =Φ(1.5) − Φ(−1.5) =0.8664 2 5 8 X Doc Doc Volver Cerrar
  36. 36. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 36 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 13. En una distribuci´n normal N (18; 4), hallar las siguientes o Aprobabilidades: d a) P (x 18) B b) P (x 20) s=B+mv SOCIALES c) P (x 16, 5) d) P (x 11) e) P (19 x 23) MaTEX f ) P (11 x 25) Aleatorias Variables Utiliza la Tabla N(0,1)Ejercicio 14. En la distribuci´n normal Nz (0; 1), hallar el valor de z0 en ocada caso a) P (z z0 ) = 0.50 b) P (z z0 ) = 0.8729 Tabla N(0,1) c) P (z z0 ) = 0.3300 d) P (z z0 ) = 0.9015 e) P (z z0 ) = 0.9971 f ) P (z z0 ) = 0.1190 Doc Doc Volver Cerrar
  37. 37. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 37 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 4.7. Si la estatura X de 500 estudiantes es normal de media 172 Acm y desviaci´n t´ o ıpica 5 cm, hallar el n´mero de estudiantes con estatura u d a) entre 170 y 175 cm b) mayor de 180 cm B s=B+mv SOCIALESSoluci´n: oPor comodidad, tipificamos los valores que vamos a usar 170 − 172 175 − 172 180 − 172 MaTEX z1 = = −0.4 z2 = = 0.6 z3 = = 1.6 Aleatorias 5 5 5 Variables P (170 X 175) =P (−0.4 z 0.6) =Φ(0.6) − Φ(−0.4) =0.3811 N = 500 × 0.3811 ≈ 190 estudiantes −0.4 0.6 z P (X 180) =P (z 1.6) =1 − Φ(1.6) Tabla N(0,1) =0.0548 N = 500 × 0.0548 ≈ 27 estudiantes 1.6 z Doc Doc Volver Cerrar
  38. 38. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 38 2º Bachillerato r=A+lu4.2. Ejercicios AEjercicio 15. La temperatura T durante el mes de mayo est´ distribuida de a dforma normal con media 21o y desviaci´n t´ o ıpica 4o . Hallar el n´mero de d´ u ıas B s=B+mvesperados en que haya una temperatura entre 19o y 23o . SOCIALESEjercicio 16. El tiempo en d´ de duraci´n de los focos producidos por una ıas oempresa, es una variable normal de media 780 y desviaci´n t´ o ıpica de 40 d´ıas. MaTEX AleatoriasCalc´lese el porcentaje de focos con una duraci´n superior a 800 d´ u o ıas. VariablesEjercicio 17. Los pesos de los individuos de una poblaci´n se distribuyen onormalmente con media 70 kg y desviaci´n t´ o ıpica 5 kg. Calcular: a) La probabilidad de que el peso de un individuo est´ comprendido entre e 65 y 80 kg. b) La probabilidad de que un individuo pese m´s de 100 kg. aEjercicio 18. En una panader´ se cortan panecillos con un peso que se ıaajusta a una variable normal de media 100 g y desviaci´n t´ o ıpica 9 g. ¿Cu´l aes la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y lamedia? Tabla N(0,1)Ejercicio 19. La distribuci´n de la duraci´n de un embarazo en mujeres o oes aproximadamente normal con media 266 d´ y desviaci´n t´ ıas o ıpica 16 d´ ıas.Calcular: Doc Doc a) La probabilidad de que un embarazo dure m´s de 242 d´ a ıas. Volver Cerrar
  39. 39. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 39 2º Bachillerato r=A+lu b) El 20% de los embarazos duran menos de ¿cu´ntos d´ a ıas? A c) El 50% de los embarazos duran menos de ¿cu´ntos d´ a ıas? d BEjercicio 20. Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas. La du- s=B+mv SOCIALESraci´n de una bombilla sigue una distribuci´n normal con media 302 d´ y o o ıasdesviaci´n t´ o ıpica 40 d´ a ıas. Calcular: a) ¿Cu´ntas bombillas se espera que se fundan antes de 365 d´ ıas? MaTEX Aleatorias b) ¿Cu´ntas bombillas durar´n m´s de 400 d´ a a a ıas? VariablesEjercicio 21. Una compa˜´ de autobuses conoce que el retraso en la llegada nıasigue una ley normal con media 5 minutos, y que el 68.26% de los autobusesllega con un retraso comprendido entre los 2 y los 8 minutos: a) ¿Cu´l es la desviaci´n t´ a o ıpica?. b) ¿Cu´l es la probabilidad de que un autob´s llegue antes de la hora?. a u c) ¿Cu´l es la probabilidad de que un autob´s se retrase de m´s de 10 a u a minutos?.Ejercicio 22. Cierto tipo de bater´ dura un promedio de 3 a˜os, con una ıa n Tabla N(0,1)desviaci´n t´ o ıpica de 0,5 a˜os. Suponiendo que la duraci´n de las bater´ es n o ıasuna variable normal: a) ¿Qu´ porcentaje de bater´ se espera que duren entre 2 y 4 a˜os?. e ıas n b) Si una bater´ lleva funcionando 3 a˜os, ¿ cu´l es la probabilidad de ıa n a Doc Doc que dure menos de 4,5 a˜os? n Volver Cerrar
  40. 40. MATEMATICASSecci´n 4: La Distribuci´n Normal o o 40 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 23. En un examen de matem´ticas, en el que se ha evaluado de a A0 a 20 puntos, el 67% de los alumnos ha obtenido una puntuaci´n igual o o dmenor que 12,2 y el 9% ha obtenido puntuaci´n superior a 16,7. Suponiendo o Bque la distribuci´n de las puntuaciones sea normal, calcular su media y su o s=B+mv SOCIALESdesviaci´n t´ o ıpica.Ejercicio 24. Un estudio de un fabricante de televisores indica que la du- MaTEXraci´n media de un televisor es de 10 a˜os, con una desviaci´n t´ o n o ıpica de Aleatorias0,7 a˜os. Suponiendo que la duraci´n media de los televisores sigue una n o Variablesdistribuci´n normal, o a) Calcula la probabilidad de que un televisor dure m´s de 9 a˜os. a n b) Calcula la probabilidad de que dure entre 9 y 11 Tabla N(0,1) Doc Doc Volver Cerrar
  41. 41. MATEMATICASSecci´n 5: Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal o o o 41 2º Bachillerato r=A+lu5. Aproximaci´n de la distribuci´n binomial por la normal o o ASupongamos que X en una variable aleatoria con distribuci´n de probabil- o didad binomial B(n, p) y que el par´metro n tiende a infinito mientras que a B s=B+mvel par´metro p permanece constante. Entonces, puede demostrarse que la a SOCIALESfunci´n de distribuci´n 1 de la variable aleatoria o o Z= X − np (11) MaTEX np(1 − p) Aleatorias Variablestiende a la funci´n de distribuci´n normal est´ndar. Esto justifica que, si o o anp 5 y np(1 − p) 5, se use la aproximaci´n o x − np FX (x) Φ , para x = 0, 1, . . . , n. (12) np(1 − p) La aproximaci´n (12) puede mejorarse con la llamada correcci´n por con- o otinuidad, de forma que x − np + 0.5 FX (x) Φ , para x = 0, 1, . . . , n. (13) np(1 − p) Tabla N(0,1) 1 Doc Doc Debe notarse que la funci´n de probabilidad binomial no tiende a la funci´n de den- o osidad normal est´ndar. a Volver Cerrar

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