4.2.3 Método de Romberg
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porcentual verdadero contra el
número de segmentos en la
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cálculo) para alcanzar niveles altos de exactitud. Como una
consecuencia de estos inconvenientes, la regla trapezoidal de
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Extrapolación de Richardson
Este método usa dos cálculos de la integral para efectuar un tercer
cálculo más exacto.
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Ahora recuérdese que el error de la regla trapezoidal de segmentos
múltiples se representa por la ecuación (13.13) [con n ...
Este cálculo tiene el importante efecto de quitar el término /'' de los
cálculos. Al hacerlo, se ha hecho posible utilizar...
la cual, puede resolverse
Por lo tanto, se ha desarrollado una expresión que calcula el error
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Se demuestra (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta esti-
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EJEMPLO 14.1
Corrección de errores en la regla trapezoidal
Enunciado del problema: en el capítulo anterior (ejemplo 13.1 y...
Utilícese esta información junto con la ecuación (14.5) para calcular
mejores estimaciones de la integral
Solución: los cá...
De la misma manera, los cálculos de dos y cuatro segmentos se
combinan y se obtiene
que representa un error de
La ecuación...
Estas dos estimaciones mejoradas, pueden a la vez, combinarse
para obtener todavía una mejor estimación de 0{h6). Para el ...
EJEMPLO 14.2
Corrección del error de órdenes mayores de dos en la estimación de
integrales
Enunciado del problema: en el e...
la cual es la respuesta correcta a nueve cifras significativas que son
las obtenidas en este ejemplo.
Algoritmo de la inte...
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  1. 1. 4.2.3 Método de Romberg Para una función analítica (opuesta a la forma tabular), las ecuaciones de error [Ec. (13.13) y (13.19)] indican que aumentando el número n de segmentos se genera una apro- ximación más exacta a la integral. Esta observación la comprueba la figura 14.1, que es una gráfica del error real contra n para la integral de f(x) = 0.2 + 25x - 200x2 = 675x3 - 900x4 + 400x5. Nótese cómo el error decrece a medida que n crece. Sin embargo nótese también que para valores muy grandes de n, el error empieza a crecer ya que los errores de redondeo empiezan a dominar. También obsérvese que se necesita un número muy grande de segmentos (y por lo tanto, esfuerzo de
  2. 2. Valor absoluto del error relativo porcentual verdadero contra el número de segmentos en la determinación de la integral f(x) = 0.2 + 25x — 200x2 + 675x3 — 900x4 + 400x5, evaluada de a = 0 a b = 0.8 usando la regla trapezoidal de segmentos múltiples y la regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples. Nótese que ambos resultados indican que para un número considerable de segmentos, los errores de redondeo limitan la precisión.
  3. 3. cálculo) para alcanzar niveles altos de exactitud. Como una consecuencia de estos inconvenientes, la regla trapezoidal de segmentos múltiples y las reglas de Simpson algunas veces son inadecuadas en problemas donde se necesita gran eficiencia y pocos errores. La integración de Romberg es un método diseñado para evitar estos inconvenientes. Es muy similar a los métodos analizados en el capítulo 13, en el sentido de que está basado en la aplicación sucesiva de la regla trapezoidal. Sin embargo, mediante manipulaciones matemáticas, se obtienen mejores resultados con menos esfuerzo.
  4. 4. Extrapolación de Richardson Este método usa dos cálculos de la integral para efectuar un tercer cálculo más exacto. El cálculo y el error asociado con la regla trapezoidal de segmentos múltiples se representa generalmente como: en donde I es el valor exacto de la integral, I(h) es la aproximación de la integral usando la regla trapezoidal con n segmentos y con tamaño de paso h = (b — a)/n y E(h) es el error de truncamiento. Si se obtienen dos aproximaciones por separado usando tamaños de paso h1 y h2 y se tiene el valor exacto del error, entonces
  5. 5. Ahora recuérdese que el error de la regla trapezoidal de segmentos múltiples se representa por la ecuación (13.13) [con n = (b — a)/h]: [14.1] [14.2] Si se supone que /'' es una constante que depende del tamaño del paso, entonces la ecuación (14.2) se usa en la determinación del promedio de los dos errores, que es: [14.3]
  6. 6. Este cálculo tiene el importante efecto de quitar el término /'' de los cálculos. Al hacerlo, se ha hecho posible utilizar la información relacionada con la ecuación (14.2) sin conocimiento previo de la segunda derivada de la función. Para hacerlo, se reordena la ecuación (14.3) para obtener: la cual se puede sustituir en la ecuación (14.1)
  7. 7. la cual, puede resolverse Por lo tanto, se ha desarrollado una expresión que calcula el error de truncamiento en términos del valor de la integral y el tamaño de paso. Esta estimación se sustituye en obteniendo una estimación mejorada de la integral: [14.4]
  8. 8. Se demuestra (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta esti- mación es 0(h4). Por lo tanto, se han combinado dos estimaciones de la regla trapezoidal de 0(h2) en la obtención de una nueva estimación de 0(h4). En el caso especial en que el intervalo se divide en dos partes (h2 = h/2), la ecuación se transforma a: o, reordenando términos, [14.5]
  9. 9. EJEMPLO 14.1 Corrección de errores en la regla trapezoidal Enunciado del problema: en el capítulo anterior (ejemplo 13.1 y el cuadro 13.1) la aplicación de la regla trapezoidal de segmentos múltiples lleva a los siguientes resultados: Segmentos h Integral evr% 1 0.8 0.172 8 89.5 2 0.4 1.068 8 34.9 4 0.2 1.484 8 9.5
  10. 10. Utilícese esta información junto con la ecuación (14.5) para calcular mejores estimaciones de la integral Solución: los cálculos con uno y dos segmentos se combinan y se obtiene El error en la integral mejorada es que es superior a la aproximación en que se basó.
  11. 11. De la misma manera, los cálculos de dos y cuatro segmentos se combinan y se obtiene que representa un error de La ecuación 14.4 proporciona una forma de combinar dos aplicaciones de la regla trapezoidal con error 0(h2) y calcular una estimación de 0(h4). Este planteamiento es un subconjunto de un método más general que combina integrales para obtener mejores estimaciones. Por ejemplo, en el ejemplo 14.1, se calcularon dos integrales mejoradas de 0(ri4) en base a tres estimaciones de reglas trapezoidales.
  12. 12. Estas dos estimaciones mejoradas, pueden a la vez, combinarse para obtener todavía una mejor estimación de 0{h6). Para el caso especial en que las estimaciones mediante regla trapezoidal original se basen en divisiones sucesivas a la mitad del intervalo, la ecuación usada con 0(h6) de exactitud es: [14.6] en donde Im y J, son las estimaciones más y menos exactas, respectivamente. De manera similar, dos resultados de 0(h6) se combinan para calcular una integral que es 0(hs) usando [14.7]
  13. 13. EJEMPLO 14.2 Corrección del error de órdenes mayores de dos en la estimación de integrales Enunciado del problema: en el ejemplo 14.1 se usa la extrapolación de Richardson para calcular dos estimaciones de la integral de 0(h4). Utilícense la ecuación (14.6) y combínense estas estimaciones para calcular una integral con 0(h6). Solución: las dos aproximaciones de 0(fi4) obtenidas en el ejemplo 14.1 fueron 1.367 466 67 y 1.623 466 67. Estos valores se sustituyen en la ecuación (14.6) y se obtiene
  14. 14. la cual es la respuesta correcta a nueve cifras significativas que son las obtenidas en este ejemplo. Algoritmo de la integración de Romberg Nótese que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación [Ec. (14.5), (14.6) y (14.7)] suman 1. Por lo tanto, representan factores de peso que, a medida que la exactitud aumenta, coloca progresivamente pesos mayores en la estimación de la integral. Estos planteamientos pueden expresarse en una forma general, que se adapta muy bien a las implementaciones mediante computadora:

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