Livro mat financ

NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA
04) 8,5% de R$ 425.000,00
MATEMÁTICA FINANCEIRA
05) 10,2% de R$ 510.000,00
06) 4,7% de R$ 940.000,00
OPERAÇÕES COMERCIAIS
07) Qual a percentagem obtida com a
Porcentagem, taxas de acréscimo, venda por R$ 348,00 de uma máquina de
descontos, taxa de lucro ou margem calcular adquirida ao preço de custo de R$
sobre o preço de custo e sobre o pre- 240,00?
ço de venda
08) O preço de custo de um computa-
Porcentagem dor é de R$ 3.600,00. Desejando obter
um lucro bruto de 60%, qual seria o valor
Porcentagem sobre a venda de venda?

Porcentagem ou percentagem é a 09) Um negociante efetua compra de
relação de determinado valor com ca- mercadorias no valor de R$ 27.000,00.
da 100 unidades. Qual será o seu lucro se aplicar uma taxa
de 90% desse valor e os seus gerais fo-
Se mencionamos DEZ POR CENTO de rem de 20% sobre o preço de venda?
um valor qualquer, estamos dizendo que
de cada 100 partes desse valor tomamos 10) Um vendedor ganhou R$ 2.700,00.
DEZ PARTES. Sendo a comissão de 9%, pergunta-se
qual o valor de compra da mercadoria.
DEZ POR CENTO, que é representado
por 10%, chama-se TAXA DE PERCENTA- Percentagem sobre a compra
GEM. Desta forma, uma fração expressa
com o denominador 100 seria uma per- A percentagem também pode ser
centagem e o numerador seria a taxa de calculada sobre o preço de compra. Neste
porcentagem. caso, 100% é o preço de compra.

Na razão 10/100 a taxa de porcenta- Exemplo:
gem é 10. Lê-se DEZ POR CENTO.
Uma mercadoria adquirida por R$
Calcular 10% de R$ 500,00 750,00 foi vendida com um lucro de R$
150,00. Pergunta-se qual a taxa lucro ou
Pode ser calculado por regra de margem sobre o preço de custo e sobre o
três simples. preço de venda?

Se em R$ 100,00 temos 10 Preço de custo:
em R$ 500,00 teremos x
R$ 750,00 – 100%
500,00 x 10 R$ 150,00 – x
Logo, x será = -------------- = R$ 50,00
100
150, 00 x 100
X= = 20% é lucro sobre o
Principal é o número ou a quantia 750
sobre a qual se calcula a porcentagem. No preço de venda.
exemplo dado, o principal é de R$ 500,00.
Preço de venda:
Exercícios:
R$ 900,00 – 100%
Calcular: R$ 750,00 - x
01) 15% de R$ 30.000,00
02) 25% de R$ 99.000,00 150x100
x= =16,66%
03) 4% de R$ 70.400,00 900
5

Exercícios: Uma impressora vendida por R$ 504,00
teve um desconto de 40%. Qual o valor
01) Determine a porcentagem de lucro anunciado pela loja?
sobre o valor de compra de uma merca-
doria que custou R$ 480,00 e foi vendida 60% – 504,00 (se 60% equivale a R$ 504,00)
por R$ 648,00. 100% - x (100% equivalerá a x)
R. 35%.
Logo:
02) Sabendo que um bem vendido por
1.261,50 custou R$ 870,00,00, determine 100%x504, 00
x= == 840,00 é o preço a-
os percentuais sobre os preços de custo e 60
de venda. nunciado pela loja, sem desconto.
R. 45% e 31%.
Exercícios:
03) A venda de um automóvel por R$
12.650,00 ensejou um lucro de 10% so- 01) O preço de um automóvel é de R$
bre o preço de custo. Determine o custo. 24.000,00, mas, se pago a vista, o valor é
R. R$ 11.500,00 reduzido para R$ 21.120,00. Qual a per-
centagem de desconto?
04) Tendo ganho R$ 330,00 na venda de R. 12%
um computador por 2.530,00, qual foi a
porcentagem sobre o preço de compra? 02) Ao pagar R$ 607,20 por uma merca-
R. 15% doria que valia 660,00, qual foi o descon-
to obtido?
05) Uma venda por R$ 6.250,00 ensejou R. 8%
um lucro de 20% sobre esse valor. Calcu-
le a porcentagem sobre o preço de com- 03) Um bem vendido por 1.107,00 custou
pra. 820,00. Qual o percentual de acréscimo?
R. 25% R. 35%

Venda com desconto 04) Ao pagar uma conta de R$ 1.450,00,
desembolsei R$ 1.580,50. Qual foi a mora
Uma mercadoria que constava na cobrada pelo atraso?
vitrine por R$ 480,00 teve um desconto R. 9%
de 20%.
Pergunta-se quais os valores do desconto 05) Um bem que valia R$ 360,00 foi ad-
e da venda? quirido por R$ 400,00. Qual o valor do
ágio?
100,00 – 20% (se em 100 o desconto é R. 11%
de 20)
480,00 - x (em 480,00 o desconto será de Taxa de porcentagem
x)
Considere o seguinte anúncio de jornal: “
480, 00 x 20 Vendem-se tênis: desconto de 50%”.
x= =R$ 96,00 (foi o valor do
100
desconto) Observe que neste anúncio aparece a ex-
pressão 50%, que se lê cinqüenta por
480,00 – 96,00 = 384,00 (foi o valor de cento, e pode ser indicada por 50 em 100
venda) 50
ou . A expressão “50% de desconto”
100
Exemplo: pode ser entendida como um desconto de
$ 50,00 em cada $ 100,00 do preço de
uma mercadoria.

6

Expressão Leitura Significado O cálculo da taxa de porcentagem pode
“18% não 18 por Em cada 100 ser realizado utilizando-se uma regra de
votaram” cento não eleitores 18 não três simples. Vejamos algumas situações
votaram votaram. onde esse cálculo é utilizado.
“ 40% não 40 por Em cada 100
vieram” cento não pessoas 40 não 1º situação
vieram vieram Depositando-se $60,00 numa caderneta
de poupança, ao final de um mês obtêm-
As expressões 18% e 40% podem ser in- se $75,00. Vamos calcular a taxa de por-
dicadas na forma de fração, por 18 e centagem desse rendimento:
40 , respectivamente. Como essa frações
possuem denominadores iguais a 100, $ 60,00 é a quantia principal do
são denominadas frações centesimais. problema ;
Os numerais 40% e 18% são taxas cen- $ 15,00 é o rendimento obtido no
tesimais ou taxas de porcentagens, período.
pois expressam a razão que existe uma
grandeza e 100 elementos do universo Organizamos uma regra de três simples,
dessa grandeza . onde:
$ 60,00 correspondem a 100% investi-
Escreva as frações seguintes na for- dos;
ma de taxa de centesimal: $ 15,00 correspondem a x% do que foi
investido.
15
a) . Essa regra de três simples é direta:
100
$ 60 100
37 ↓ ↓
b) . $15 x
100

70 60 100 100.15
c) . = ⇔Χ= ⇔ X = 25
100 15 Χ 60

81 portanto, a taxa de rendimento foi de
d) . 25%.
100
Exercícios
3
e) .
100 1. Calcule:

4 a) 20% de 1 000 pessoas,
f) .
25 b) 70% de 80 cavalos.
c) 9% de 10 000 doentes com dengue.
Escreva cada taxa de porcentagem na d) 40% de 90 pregos.
forma de fração centesimal: e) 7,5% de 200 ovos.
f) 0,45% de 2 000 laranjas.
a) 18%
b) 52% 1. Resolva os seguistes problemas:
c) 4% a) A quantia de $ 945,00 é igual a quan-
d) 35% tos por cento de $ 4 500,00?
e) 10%
f) 100% b) E uma classe de 50 alunos, comparece-
ram 35. Qual a taxa percentual de ausên-
Cálculo da taxa de porcentagem cia?

7

c) Num exame de 110 questões, um aluno Conjunto de entradas e saídas, dispos-
errou 10%. Quantas questões ele acer- tas ao longo do tempo, geralmente repre-
tou? sentado por um diagrama, também cha-
mado de horizonte financeiro, constituído
d) Obtive 14% de desconto numa compra por um eixo horizontal, que representa a
de $ 24.000,00. Quanto paguei? linha do tempo, tendo acima as entradas
e abaixo as saídas, e vice-versa.
e) O preço marcado de um produto era $
2.500,00. Paguei apenas $ 2.000,00, pois Cálculo do número de dias
obtive um abatimento. Qual foi a taxa de
porcentagem do desconto? Ano comercial são os juros calculados com
uma taxa diária a partir de 360 dias.
f) Economizei $ 840,00 ao obter um des-
conto de 12% na compra de uma roupa. Ano civil são os juros calculados com uma
Qual era o preço marcado inicialmente taxa diária a partir de 365dias.
nessa roupa?
Juros Exatos ou Regra do Banqueiro
g) Gastei 20% de meu salário em uma
mercadoria que me custou $ 5.000,00. São os juros calculados com uma taxa
Qual o valor do meu salário? diária a partir de um ano civil (365dias).

CONCEITOS BÁSICOS Observação

Por convenção, usam-se sempre os
Juros, principal, montante, taxas de juros comercias, a não ser quando é ex-
juros, fluxo de caixa, contagem de plícito o contrário.
dias, anos comercial e civil, regra do
banqueiro Tempo Exato.
Juros. Quando se considera o número exato
de dias contados no calendário.
Custo do capital durante determinado
período de tempo. Tempo Aproximado.
Taxa de Juros. Quando se considera qualquer mês
Unidade de medida do juro que cor- como tendo 30 dias.
responde à remuneração paga pelo uso do
capital, durante um determinado período Taxas Proporcionais ou Nominais.
de tempo. Indica a periodicidade dos ju-
ros. Duas taxas se dizem proporcionais,
quando há uma proporção entre as gran-
Observação. dezas em que se expressam e as dura-
ções dos períodos de tempo a que se refe-
Em nosso curso usaremos a taxa uni- rem.
tária para que o cálculo fique simplificado,
quando estivermos utilizando fórmulas Como a proporção existente, neste ca-
para realizar os cálculos. so, é inversa, temos:
Montante. Calcular a taxa anual correspondente a
2,5% ao mês.
Capital empregado mais o valor acu-
mulado dos juros.
→ i1.n1 = i2. n2 → 2,5 . 12 = i . 1 → i
Fluxo de Caixa. = 30% a.a.

8

Juros simples Como são grandezas diretamente
proporcionais em relação à grandeza do
Considere a seguinte situação: juro, podemos escrever:

“ A importância de $ 100.000,00 foi em- 100 . 1 . 1 = 1 .
prestado por um Banco ao cliente Epami- C I t j
nondas da Silva. O Banco cobrará do cli-
ente 10% e juros mensal. Quanto será J=Cit
cobrado? 100

Vamos denominar e convencionar Vamos calcular o juros pago por uma pes-
uma representação para cada dado do soa que tomou emprestada quantia de $
problema: 50 000,00, durante 8 meses, a uma taxa
de 1,2% ao mês:
O dinheiro emprestado,
$100.000,00, chama-se quantia Dados
principal. Representa-se por C. C = $ 50.000,00 j=Cit
I = 1,2% ao mês 100
A retribuição periódica pela cessão t = 8 meses j = 50.000 . 1,2 . 8
do dinheiro, eu corresponde à j=? 100
quantia que será cobrada pelo Ban- j = 4.800
co, é o aluguel que se paga em ca-
da período. Recebe o nome de juro foram pagos $ 4.800,00 de juro.
e representa-se por j.
Vamos, agora , determinar a quantia que
A taxa de juro, 10% é a taxa que deve ser aplicada por uma pessoa a uma
funciona como o aluguel que o cli- taxa de 6% ao ano, para que após 2 anos
ente pata por 100 unidades de di- receba $ 18.000,00 de juro.
nheiro que o Banco lhe empresta;
representa-se por i. Dados

A referência de tempo. Um mês em C=? j=C i t
que o dinheiro ficou aplicado, re- I = 6% ao ano 100
presenta-se por t. t = 2 anos 18.000 = C . 6 . 2
j = $ 18.000,00 100
Problemas desse tipo podem ser resolvi- 12 . C = 1. 800.000
dos utilizando-se uma regra de três. Va- C = 18.000.000
mos estabelecer um problema genérico e 12
obter uma formula que permite obter a C = 150.000
solução de problemas semelhantes. A quantia que deve ser aplicada é de
$150.000,00.
“Quem aplica $ 100,00 à taxa de 1% ao
período (ano, ou mês, ou dia etc.) recebe Exercício
no fim do período $ 1,00 de juros. Se a-
plicasse um capital C à taxa i ao período, 1. Resolva os seguintes problemas :
então receberia o juros j”. a) Qual o juro sobre $ 25.000,00 à taxa
de 1% ao mês, em 16 meses?
Monta-se uma regra de três compos-
ta: b) A que taxa foi depositado o capital de
$15.000,00 que em 4 anos produziu $
Capital taxa tempo juro 6.000,00 de juros?
↓ 100 ↓ 1 ↓1 ↓1
c) Qual o capital que, aplicado a 3% ao
C i t j mês , produz $ 6.000,00 de juro em 10
meses?
9

d) Uma pessoa toma emprestado de um Fórmula tradicional para cálculo dos
Banco $ 54.000,00 e após 6 meses e 15 juros
dias devolve $60.000,00. A que taxa foi Cit
j=
tomado o empréstimo? 100

e) Uma pessoa empregou $ 50.000,00 . Fórmula Atual
Sabendo-se que após 10 meses ela irá
receber $ 100.000,00 calcule a que taxa j = Cin (sempre i/100)
de juro foi empregado este dinheiro.
MONTANTE (NOS JUROS SIMPLES)
f) Qual o capital que aplicado a 8% ao
mês, num período de 6 meses, produz $ M=C+J
24.000,00 de juro?
Não tendo o valor dos juros, utilizar a sua
g) A que taxa foi empregado o capital de fórmula
$25.000,00, sabendo
M = C + Cin
h) Uma pessoa toma emprestado $
10.000,00 durante 5 meses. Qual a taxa Coloca-se C em evidência
de juro que essa pessoa pagou, sabendo-
se que ela devolveu $ 15.000,00? M C Cin
---- = --- + ----- (Simplificando C:C= 1 e
JUROS SIMPLES C C C Cin:C = in)

Cálculo dos juros, do principal, da ta-
xa, do prazo e do montante. M
--- = 1 + in (C dividindo para o outro
Como já vimos anteriormente, Juro C lado multiplicando)
é a remuneração paga por um capital em-
prestado, calculado sobre determinada
taxa e período. Logo, a formula do montante nos ju-
Nos juros simples, a remuneração ros simples :
sempre é calculada sobre o principal ou
valor emprestado. M = C(1 + in)

Exemplo: Exemplo 1:
Um capital de R$ 1.000,00, em-
prestado durante 5 anos a 10%a.a. Quanto receberá quem aplicar R$
100.000,00, à taxa de juros simples de
5%a.m., durante um mês?
PERÍODO SALDO JUROS MONTANTE
INICIAL
M = 100.000,00 (1+0,05.1) = 105.000,00
0 1.000,00 0 1.000,00
Obedecendo a hierarquia das ope-
1 1.000,00 100,00 1.100,00 rações, primeiro elimina-se os parêntesis.
Para tanto, dentro deles, em primeiro lu-
2 1.100,00 100,00 1.200,00 gar efetuamos a multiplicação de 0,05 por
3 1.200,00 100,00 1.300,00 1 = 0,05. Após, soma-se ao número UM e
o resultado é multiplicado pelos
4 1.300,00 100,00 1.400,00 100.000,00.

5 1.400,00 100,00 1.500,00 Exemplo 2:
(prazo da operação diferente do prazo da
taxa)

10

Qual será o montante de um capital M
de R$ 100.000,00, aplicado à taxa de ju- --- = 1 + in
ros de 5%a.m. durante 45 dias? C
45
M = 100.000, 00(1 + 0, 05. )107.500, 00 Inverte-se:
30
(0,05 x 45 : 30 + 1) x 100.000,00 =
107.500,00 M
1 + in = ---
Cálculo com prazo fracionário: C

Qual o montante produzido pelo M
capital de R$ 5.000,00, à taxa de 2%a.m. in= ---- - 1
e prazo de 45 dias? C

Com taxa mensal o prazo é dividido por Logo:
30: M
---- - 1
M = 5.000,00 (1 + 0,02.45/30) = C
R$ 5.150,00 i = ---------
n
Com taxa anual o prazo é dividido por
360. Utilizando os dados do problema an-
terior:
M = 2.000,00 (1 + 0,18 . 60/360)
= 2.060,00 107.500,00
-------------- - 1
CAPITAL 100.000
i = ------------------- = 0,05
Se M = C(1+in) 45/30

M Se 1 equivale a 0,05
--- = C 100 equivalerá a x
(1 + in)
100 x 0,05
Ou, invertendo a ordem Logo: x = ------------- = 5% a.m.
1
M
C = ------- PRAZO
(1 + in)
Utilizando os dados do problema
Qual o capital que, aplicado durante anterior.
45 dias, à taxa de juros simples de
5%a.m., gerou um montante de R$ 107.500,00
107.500,00? -------------- - 1
100.000,00
107.500,00 n = -------------------- = 1,5 mês
C = --------------------- = 100.000,00 0,05
(1 + 0,05 . 45/30)
Se 1 mês tem 30 dias
1,5 meses terá x dias
TAXA
1,5 x 30
Se M = C(1 + in) Logo: x = ------------ = 45 dias
1

11

Exercícios: dos não inteiros; utilização de tabelas
para cálculos.
01) Uma aplicação, com taxa de
31,5%a.a., em dois anos e meio acusou São aqueles calculados sobre o
um saldo de R$ 53.625,00. Qual o capital montante anterior.
inicial? R. R$ 30.000,00.
Exemplo:
02) Um montante de R$ 11.115,00 foi
formado à taxa de 7%a.a., em dois anos. O capital de R$ 100,00, a juros
Quais os juros? R. 1.365,00 compostos de 10%a.a., montará a quanto
ao final de 4 anos?
03) À taxa de juros de 8,5% e prazo de
dois anos e seis meses foi formado um Ano Capital Juros Montante
montante de R$ 13.337,50. De quanto inicial anuais
foram os juros? R. 2.337,50. 0 - - 100,00
1 100,00 10,00 110,00
04) Tendo recebido 821,84 após 91 dias 2 110,00 11,00 121,00
de aplicação, à taxa de 0,9% a.m., calcu- 3 121,00 12,10 133,10
lar os juros. R. 21,84 4 133,10 13,31 146,41

05) Tendo pago 675,50 após 13 meses Pela fórmula dos juros simples temos:
de ter efetuado uma compra por 500,00,
qual foi a taxa praticada? R. 2,7% a.m. j = Cin

06) Resgatei a importância de R$ Logo, a fórmula dos juros sim-
1.388,80 após decorridos 3 meses da ples fica:
venda de um carro por R$ 1.240,00. Qual
a taxa anual cobrada? 48% a. a. j = M – C (isolando M, fica)

07) Quanto tempo será necessário para - M = - C – j (para que a incógnita
que R$ 4.000,00 seja transformado em “M” não fique negativa, substituímos o
R$ 4.375,00, a taxa de 45% a.a.? R. 75 sinal de todos. Logo:
dias.
M=C+j
08) Na aquisição de um bem por R$
6.000,00, determinar qual o montante Substituindo "j" pela sua fórmula,
após 180 dias e taxa de 7,%a.t. R. temos:
6.900,00.
M = C + C.i.n
09) Sendo os juros de R$ 345,60, o ca-
pital inicial de R$ 12.000,00 e o prazo de Colocando C em evidência:
72 dias, determine a taxa mensal. R.
1,2% M = C(1 + in)

10) Apliquei R$ 2.400,00 ao prazo de Como "n" será sempre um = 1, que
45 dias e taxa de 2,7%a.m. Qual o mon- é o período de capitalização, o "n" pode
tante da operação? ser eliminado da fórmula, porque qualquer
número multiplicado por "1" = ao próprio
JUROS COMPOSTOS número.

Cálculo dos juros, do principal, da ta- M = C(1 + i)
xa, do prazo e do montante; conven-
ções linear e exponencial para perío-

12

Exemplo: Logo, os juros serão: 5.107,89 – 4.000,00
= 1.107,89
Quanto receberei, se aplicar R$
100,00, à taxa de juros compostos de Exemplo
10%a.a., durante três anos?
Qual o prazo necessário para que um de-
M = 100 (1 + 0,1)(1 + 0,1)(1 + 0,1) pósito de 3.000,00, a taxa de 8%a.a.,
produza um montante de R$ 5.025,00?
M = 100 (1,1)(1,1)(1,1)
M 5.025,00
Ou --- = ------------ = 1,675
a 3.000,00
M = 100(1,1)3 = 133,10
Na Tábua II, o número 1,675 não existe
A fórmula básica, no montante pe- na coluna de 8%. Esse número está com-
los juros compostos, então, é: preendido entre os números 6 e 7.
1,5868743 corresponde a 6 anos
M = C(1+i)n = 133,10 e 1,7138243 corresponde a 7 anos
0,1269500 corresponde a 1 ano
EXEMPLOS COM PRAZO FRACIONÁRIO 0,0881257 corresponde a x

Exemplo x=1,675 – 1,5868743 =0,0881257

Sendo o capital inicial de R$
4.000,00, determine os juros compostos 0,0881257 x 1 / 0,12695 = 0,6941764
ao final de 4 anos, à taxa de 6,3%a.a.
0,6941764 x 360 / 1 = 249,9 dias
249,9 dias / 30 = 8,33 meses
Para efetuarmos este cálculo,
necessitamos recorrer à Tábua Financeira 0,33 x 30 / 1 = 9,9 (ou 10 dias)
de Juros Compostos, utilizando 7 casas
decimais. Se 1 ano tem 360 dias

A taxa de 6,3% não existe na tá- 0,6941764 do ano terá x dias
bua. Ela está compreendida entre 6% e
7% para 4 anos. (Tábua II) 1 mês tem 30 dias
0,33 meses terá x dias
6% ... 1,262.4770
e 7% ... 1.310.7960 Logo a resposta será: 6 anos, 8 meses e
1% ... 0,048.3190 10 dias.

Para acharmos o valor de 0,3%, para ser Exercícios: (as respostas serão apro-
acrescentado aos 6%, efetuamos uma ximadas)
regra de três:
1) Quanto receberei ao final de 32 dias se
1% - 0.048.3190 aplicar R$ 200,00, à taxa de 2,4%a.a.? R.
0,3% - x 205,00.

X = 0,048319 x 0,3/1 = 0,01449570 2) Por quanto tempo um capital de R$
50.000,00 ficou depositado , a juros de
5% a. a., gerando um montante de R$
Então, o número correspondente a 6,3% é 65.000,00? R. 5a 4m 13d
1,2624770 + 0,01449570 = 1,2769727
3) A que taxa devo aplicar R$ 60.000,00 a
O montante será: 4.000 x 1,2769727 = juros compostos para, aos 10 anos rece-
5.107,89
13

ber o montante de 120.000,00? R 7,174% A taxa “i” (desconto racional) também é
a.a. conhecida como “taxa efetiva” da opera-
ção.
4) Uma aplicação de R$ 20.000,00, a taxa
de juros compostos de 5%a.a, sem mo- Neste tipo de operação DC = DR
vimento durante 9 anos terá um montan-
te de quanto? R$ 31.026,60 Diferença entre os descontos:

5) Qual o tempo necessário para um capi- D C = DR ⋅ (1 + i ⋅ n)
tal qualquer duplicar à taxa de juros com-
postos de 8% a.a.? R 9a 2d.
Neste tipo de operação i = d.
6) Determine qual o capital deverei aplicar
QUESTÃO DE CONCURSO (RESOLVI-
à taxa de juros compostos de 6%a.a. pa-
DA)
ra, ao final de 6 anos, chegar a um mon-
tante de R$ 17.765,00. R. 25.200,00.
01) TFC/2001 (ESAF) - Um indivíduo ob-
teve um desconto de 10% sobre o valor
7) A que taxa devo emprestar R$
de face de um título ao resgatá-lo um mês
50.000,00 à taxa de juros compostos, pa-
antes do seu vencimento em um banco.
ra, em 5 anos, possuir um montante de
Como esta operação representou um em-
R$ 85.000,00.
préstimo realizado pelo banco, obtenha a
taxa de juros simples em que o banco a-
8) Tendo aplicado R$ 42.500,00 e recebi-
plicou os seus recursos nessa operação.
do R$ 36.726,60, à taxa de juros compos-
a) 9% ao mês
tos de 5%a.a., qual foi o prazo da opera-
b) 10% ao mês
ção? R 3 anos.
c) 11,11% ao mês
d) 12,12% ao mês
9) Efetuei uma aplicação de R$ 30.000,00
e) 15% ao mês
à taxa de juros compostos de 7%a.a. e
prazo de 4 anos e 2 meses. Determine o
Solução:
montante. R 39.782,70.
Se a taxa de DESCONTO é d = 10%,
quer-se calcular a taxa de juros equiva-
10) Tendo recebido R$ 80.000,00, à taxa
lente para o prazo n = 1 mês. Usando a
de juros compostos de 7,45%a.a. e 4 a-
fórmula:
nos de prazo, qual foi o capital aplicado?
R. 60.000,00.
d
i=
TAXAS 1 − d. n

Equivalência entre taxas de desconto Substituindo-se os dados...
0,1 0,1 1
i= = = ≅ 0,111... ou 11,11% a.m.
Nas operações de desconto COMERCIAL, 1 − 0,1 0,9 9
haverá sempre uma taxa implícita de ju-
ros, também chamada de “taxa efetiva” Resposta: letra c.
da operação.
Podemos encontrar a relação entre a taxa CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL
de desconto e a taxa efetiva (ou taxa im-
plícita de juros) através das fórmulas a- As convenções são utilizadas quando é
baixo: pedido no problema a resolução através
de uma das convenções e é dado o tempo
i d fracionado, por exemplo: 2 meses e 5 dias
d= ou i =
(1 + i ⋅ n) (1 − d ⋅ n) ou 258 anos e 2 meses....
LINEAR-> Para resolvermos esse tipo de
problema usa-se a fórmula M = C ( 1 + i )

14

t' x ( 1 + i t''), onde t' é a parte inteira e e efetiva é a taxa ajustada ao prazo cor-
t'' é a fração. respondente.
Obs: O termo linear refere-se ao fator ( 1
+ it'') que nada mais é do que uma função Por exemplo:
linear ou de 1º grau. Um Banco informa que cobra 5% de juros
ao mês. Entretanto, sua operação será
Vamos exemplificar: liquidada em 35 dias.

Se o tempo dado é 5 anos e 6 meses, a O cálculo que o Banco efetua é demons-
taxa de juros é 10% a.a. e o capital é trado a seguir:
R$35.600,00 , então:
M= 35.600 [1 + (10 ÷ 100)]5 x [ 1 + (10 Taxa nominal = 5,00% a.m.
÷ 100) x (6 ÷ 12)]
M = 35.600 (1,6105) x (1,05) = Taxa efetiva
R$60.200,49.

EXPONENCIAL
A diferença da linear é que se utiliza a
seguinte fórmula:
M = C ( 1 + i ) t' + t'' Substituindo:{[(((5/100)+1) ^ (35/30))]–
1}*100 = 5,86%
Obs: O termo exponencial refere-se ao
fator (1 + i) t' + t'' que é uma função ex- Note que agora a taxa representa os juros
ponencial. cobrados pelo período. Diz-se então que a
*Considerando os mesmos dados do pro- taxa é 5,86 % efetiva ou pelo período.
blema anterior teremos:
M = 35.600 [ 1 + (10 ÷ 100) ] 5 + (6 ÷ Taxas Proporcionais
12)
M = 35.600 ( 1,6891 ) = R$60.131,96 Taxas Proporcionais são taxas de juros
simples, cuja razão possui a mesma cons-
TAXAS tante de proporcionalidade que os respec-
tivos tempos a que se referem.

Nominal e efetiva; proporcionais en-
i1 n1
tre si; equivalentes entre si em juros =
simples e em juros compostos; taxa i2 n2
over; utilização de tabelas para cálcu-
los. Exemplo:
As taxas de 6% ao ano e 3% ao semestre
Taxa Nominal e Efetiva são proporcionais, pois:
6% 12 meses
Para que você guarde a diferença entre a =
3% 6 meses
taxa de juros nominal e efetiva ai vai uma
dica: Taxas Equivalentes

Sempre que o prazo de capitalização for o Taxas Equivalentes são aquelas que,
mesmo que o prazo a que a taxa se refere quando aplicadas ao mesmo capital, du-
teremos uma taxa de juros efetiva. rante o mesmo intervalo de tempo, pro-
duzirão o mesmo montante.
Já se o prazo de capitalização for diferente
do prazo a que a taxa se refere teremos Em juros simples não há distinção entre
uma taxa de juros nominal. taxas proporcionais e equivalentes, pois
significam a mesma coisa.
Taxa nominal é a expressão dos juros não
considerando o prazo pelo qual ele incidirá
15

Ex.: Aplicando-se, a juros simples, o capi- QUESTÕES DE CONCURSOS (RESOL-
tal de R$ 100,00 (ou outro qualquer) a VIDAS)
uma taxa de 24% a.a., durante um ano
teremos o mesmo montante se o capital 01) BB/1998 (FCC) - Qual a taxa semes-
for aplicado à taxa de 2% a.m., durante tral equivalente à taxa de 25% ao ano?
12 meses. a) 11,8% b) 11,7% c) 11,6% d)
11,5% e) 11,4%
Em juros compostos, a equivalência se dá Solução: Um problema simples de conver-
pela fórmula do juro composto: são de taxas efetivas. Basta aplicarmos a
fórmula:
(1 + i1 ) = (1 + i2 ) (1 + i1)n1 = (1 + i2 )n2
n' n"

onde: i1 e i 2 ão as taxas a serem relacio- Relacionando “ano” com “semestre”, te-
nadas; n’ e n” são os prazos, em unidades mos:
compatíveis de tempo. n1 = 2 (pois há dois semestre em um a-
no)
Taxa Nominal n2 = 1

Taxa Nominal é, na verdade, uma taxa de (1 + i1)2 = (1 + 0,25)1
juros simples, cuja capitalização ocorre
em período diferente do período de refe- Como a incógnita do problema é “i1”, de-
rência da taxa. veremos extrair a raiz quadrada do se-
gundo membro:
Exemplo: taxa de 24% ao ano com capi-
talização mensal. 1 + i1 = 125
,

Para convertermos uma taxa nominal em É óbvio que, sem usarmos calculadora
efetiva, utilizamos o critério da proporcio- eletrônica, é necessário termos uma tabe-
nalidade. la financeira (que normalmente é forneci-
da com provas que envolvem cálculos de
Taxa Efetiva juros compostos).
Mas, e no caso de não haver tabela na
Taxa Efetiva é aquela cujo período de ca- prova? Teremos um pouquinho mais de
pitalização coincide com o período da pró- trabalho: iremos representar o 1,25 por
pria taxa. Normalmente, costuma-se omi- 125
tir o período de capitalização em uma taxa sua fração decimal: 100 . A seguir, iremos
efetiva. decompor o 125 em fatores primos (en-
contramos 53). E 100 = 102. Substituindo
Exemplo: taxa de 2% ao mês com capi- na equação:
talização mensal, ou, simplesmente, 2% 52 ⋅ 5 5
ao mês. 1 + i1 = 2
⇒ 1 + i1 = . 5
10 10
Taxa Real
Nesse ponto, é útil lembrar dos valores
aproximados das seguintes raízes:
Taxa Real é aquela efetivamente paga em
uma operação qualquer, após descontar- 2 = 1,414; 3 = 1,732; 5 = 2,236
mos a inflação.
Ficamos, então, com:
1 + i ap 1 + i1 =
1
. 5 ⇒ 1 + i1 =
2,236
⇒ 1 + i1 = 1118 ⇒ i1 = 0,118
,
1 + ir = 2 2
1 + ii
Sempre que calculamos a taxa, ela será
dada na forma “unitária”. Para obtermos a
onde: ir é a taxa real; i ap é a taxa apa- taxa “percentual”, basta multiplicarmos o
rente e i i é a taxa de inflação.
16

resultado encontrado por 100. Desse mo- mais próximas forem as taxas envolvidas
do, a taxa será: no cálculo. Também faz-se necessário que
i1 = 11,8% as taxas envolvidas no cálculo não sejam
muito grandes. Para taxas elevadas ou
Resposta: letra a para diferenças muito grandes entre as
taxas esse raciocínio não funciona!
02) BB/1999 (CESPE-UnB) - O valor de
um aluguel era de R$ 400,00 no dia 1º de Resposta: letra a.
julho de 1999 e foi reajustado para R$
410,00 no dia 1º de agosto de 1999. Con- 03) BB/1998 (FCC) - Um investidor dispu-
siderando que a inflação registrada no nha de R$ 300.000,00 para aplicar. Divi-
mês de julho foi de 1%, é correto afirmar diu esta aplicação em duas partes. Uma
que a taxa real de juros utilizada no rea- parte foi aplicada no banco alfa, à taxa de
juste do valor desse aluguel foi 8% ao mês, e a outra parte no banco Be-
a) inferior a 1,5% b) igual a 1,5% ta, à taxa de 6% ao mês, ambas em juros
c) superior a 1,5% e inferior a 2,0%. compostos. O prazo de ambas as aplica-
d) igual a 2,0% e) superior a ções foi de 1 mês. Se, após este prazo, os
2,0% valores resgatados forem iguais nos dois
bancos, os valores de aplicação, em reais,
Solução: em cada banco, foram, respectivamente:
Calculamos a variação percentual no valor a) 152.598,13 e 147.401,87
do aluguel por meio de uma regra de três b) 151.598,13 e 148.401,87
simples: c) 150.598,13 e 149.401,87
d) 149.598,13 e 150.401,87
400  100% e) 148.598,13 e 151.401,87
10  x
Solução: Aplicamos a fórmula do Montan-
10 × 100
X= = 2,5% . te nas duas aplicações. M = C. (1 + i)
n
400
Agora devemos "deflacionar” este valor, Como os Montantes das duas aplicações
ou seja, procuramos aqui a "taxa real": deverão ser iguais:
C1. (1 + 0,08) = C2 . (1 + 0,06)
1 1
[equação 1] e
1 + i ap
1 + ir = C 1 + C 2 = 300000 [equação 2]. Isolando-se
1 + ii
uma das variáveis da equação 1 e substi-
tuindo-se na segunda, vem:
onde: ir = taxa real; iap = taxa 1,08 × C1 108 × C 1
,
“aparente"; ii = taxa de inflação. C2 = ⇒ C1 + = 300000 ⇒
Lembrando de colocar todas as taxas na 1,06 106
,
forma "unitária" antes de substituirmos na 106 × C 1 + 108 × C 1 = 300000 × 106 ⇒
, , ,
fórmula acima, obteremos: 2,14 x C1 = 318000 ⇒ C1 = 148.598,13 ⇒
C2 = 300000 - 148598,13 = 151.401,87
1 + 0,025 1,025
1 + ir = = = 1,01485 ⇒
1 + 0,01 1,01 Resposta: letra e
ir = 1,01485 − 1 ⇒ ir = 1,485%
04) CEF/1998 (FCC) - Um capital de R$
2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal
Observação: O candidato não precisava de 2%, num regime de capitalização com-
realizar o cálculo acima (é um pouco tra- posta. Após um período de 2 meses, os
balhoso...). Basta saber que, ao “deflacio- juros resultantes dessa aplicação serão
narmos” uma taxa, ela será menor do a) R$ 98,00
que a diferença entre elas, ou seja: 2,5% b) R$ 101,00
- 1% = 1,5%. Devemos, então, encontrar c) R$ 110,00
um valor inferior a 1,5%. d) R$ 114,00
A taxa resultante será tanto mais próxima e) R$ 121,00
da diferença simples entre elas, quanto
17

montante de CR$ 126.023,60 no prazo
Solução: de:
C = 2.500,00; i = 2% a.m.; n = 2 meses; Observação: Se necessário, utilize a tabe-
J = ? (Capitalização Composta) la seguinte:
A fórmula do Montante no regime de capi- n 1,26n
talização composta é: M = C. (1 + i) 1 1,26000
n

2 1,58760
Entretanto, o problema solicita que se cal-
3 2,00038
cule os Juros. Não há uma fórmula especí-
4 2,52047
fica para o cálculo direto dos juros em ca-
5 3,17580
pitalização composta. Podemos deduzi-la,
associando a fórmula acima a: M = C + J. 6 4,00150
Mas não há muita utilidade nisto. Calcula- 7 5,04190
remos, então, separadamente o valor do 8 6,35279
montante com a primeira fórmula, e, pos- 9 8,00451
teriormente, o valor dos juros com a a) 2 meses
segunda... b) 2 meses e meio
M = 2500 . (1 + 0,02)2 ⇒ M = 2500 . c) 3 meses
1,022 ⇒ M = 2500 . 1,0404 ⇒ M = d) 4 meses
2601. e) 6 meses
M = C + J ⇒ J = M - C ⇒ J = 2601 - 2500
⇒ J=101 Solução:
Resposta: letra b Fórmula para cálculo do Montante a juros
compostos: M = C.(1 + i) n . Substituindo-se
05) CEF/1998 (FCC) - Pretendendo guar- os dados do problema na fórmula (C =
dar uma certa quantia para as festas de 50000; M = 126033,60; i = 26% a.m.):
fim de ano, uma pessoa depositou R$ LEMBRE-SE de que a TAXA deve estar na
2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em forma UNITÁRIA para ser substituída na
05/09/97. Se o banco pagou juros com- fórmula!
postos à taxa de 10% ao trimestre, em 126023,60 = 50000.(1 + 0,26) n ⇒
05/12/97 essa pessoa tinha um total de
126023,60
(126) = 50000 ⇒ (126) = 2,520472 .
n n
a) R$ 5 320,00 , ,
b) R$ 5 480,00
c) R$ 5 620,00 Agora, buscamos este valor (ou o MAIS
d) R$ 5 680,00 PRÓXIMO dele possível) na tabela dada.
e) R$ 5 720,00 Assim procedendo, encontramos o valor
de “n”: n = 4
Solução: Resposta: letra d.
Dados:
C1 = 2000 n1 = 2 trimestres TESTES PROPOSTOS:
C2 = 3000 n2 = 1 trimestre
i = 10% ao trimestre 01) A aplicação de R$ 5.000 à taxa de
Utilizando a fórmula do montante no re- juros compostos de 20% a.m. irá gerar,
gime de juros compostos (ver problema após 4 meses, o montante de:
anterior), para os dois depósitos, vem: a) R$ 10.358,00
M = 2000 . (1,1)2 + 3000 . (1,1)1 ⇒ M = b) R$ 10.368,00
2000 . 1,21 + 3000 . 1,1 ⇒ M = 2420 + c) R$ 10.378,00
3300 ⇒ d) R$ 10.388,00
M = 5720 e) R$ 10.398,00
Resposta: letra e
02) Um investidor aplicou a quantia de R$
06) PMPA/1993 (PMPA) - Um capital de 20.000,00 à taxa de juros compostos de
CR$ 50.000,00, aplicado a juros compos- 10% a.m. Que montante este capital irá
tos, à taxa de 26% ao mês, produzirá um gerar após 3 meses?
a) R$ 26.420,00
18

b) R$ 26.520,00 Qual o desconto comercial simples à
c) R$ 26.620,00 mesma taxa de 10% ao mês?
d) R$ 26.720,00 a) CR$ 313,84
e) R$ 26.820,00 b) CR$ 285,31
c) CR$ 281,26
03) Um capital de US$ 2,000.00, aplicado d) CR$ 259,37
à taxa de 5% a.m., em 1 ano produz um e) CR$ 251,81
montante de:
Dado: (1,05)12 = 1,79586 08) AFTN/1985 (ESAF) - Um capital de
a) US$ 3.291,72 Cr$ 100.000 foi depositado por um prazo
b) US$ 3.391,72 de 4 trimestres à taxa de juros de 10% ao
c) US$ 3.491,72 trimestre, com correção monetária trimes-
d) US$ 3.591,72 tral igual à inflação. Admitamos que as
e) US$ 3.691,72 taxas de inflação trimestrais observadas
foram de 10%, 15%, 20% e 25% respec-
04) A aplicação de um capital de Cz$ tivamente. A disponibilidade do depositan-
10.000,00, no regime de juros compostos, te ao final do terceiro trimestre é de, a-
pelo período de três meses, a uma taxa proximadamente:
de 10% ao mês, resulta, no final do ter- a) Cr$ 123.065
ceiro mês, num montante acumulado: b) Cr$ 153.065
a) de Cz$ 3.000,00 c) Cr$ 202.045
b) de Cz$ 13.000,00 d) Cr$ 212.045
c) inferior a Cz$ 13.000,00 e) Cr$ 222.045
d) superior a Cz$ 13.000,00
e) menor do que aquele obtido por juros 09) AFCE/1995 (ESAF) - Para que se ob-
simples tenha R$ 242,00 ao final de seis meses, a
uma taxa de juros de 40% a.a., capitali-
05) Um investidor aplicou a quantia de zados trimestralmente(*), deve-se inves-
CR$ 100.000,00 à taxa de juros compos- tir hoje a quantia de:
tos de 10% a.m. Que montante este capi- a) R$ 171,43
tal irá gerar após 4 meses? b) R$ 172,86
a) CR$ 140.410,00 c) R$ 190,00
b) CR$ 142.410,00 d) R$ 200,00
c) CR$ 144.410,00 e) R$ 220,00
d) CR$ 146.410,00 (*) Ver o capítulo sobre taxas, a seguir.
e) CR$ 148.410,00
10) BB/1998 (CESGRANRIO) - Um inves-
06) A caderneta de poupança remunera tidor dispunha de R$ 300.000,00 para a-
seus aplicadores à taxa nominal de 6% plicar. Dividiu esta aplicação em duas par-
a.a., capitalizada mensalmente, no regime tes. Uma parte foi aplicada no banco alfa,
de juros compostos. Qual é o valor do juro à taxa de 8% ao mês, e a outra parte no
obtido pelo capital de R$ 80.000,00 du- banco Beta, à taxa de 6% ao mês, ambas
rante 2 meses? em juros compostos. O prazo de ambas as
a) R$ 801,00 aplicações foi de 1 mês. Se, após este
b) R$ 802,00 prazo, os valores resgatados forem iguais
c) R$ 803,00 nos dois bancos, os valores de aplicação,
d) R$ 804,00 em reais, em cada banco, foram, respec-
e)R$ 805,00 tivamente:
a) 152.598,13 e 147.401,87
07) AFC/1993 (ESAF) - Um título de valor b) 151.598,13 e 148.401,87
inicial CR$ 1.000,00 vencível em um ano c) 150.598,13 e 149.401,87
com capitalização mensal a uma taxa de d) 149.598,13 e 150.401,87
juros de 10% ao mês, deverá ser resga- e) 148.598,13 e 151.401,87
tado um mês antes do seu vencimento.

19

11) BB/1998 (CESGRANRIO) - Um aplica- b) superior a R$ 200.000,00 e inferior a
dor aplica R$ 10.000,00 em um CDB do R$ 205.000,00.
Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e c) superior a R$ 205.000,00 e inferior a
uma taxa prefixada de 3% ao mês. Consi- R$ 210.000,00.
derando o Imposto de Renda de 20% no d) superior a R$ 210.000,00 e inferior a
resgate, o valor líquido a ser resgatado R$ 215.000,00.
pelo aplicador, em reais, e a taxa de ren- e) superior a R$ 215.000,00.
tabilidade efetiva da aplicação são, res-
pectivamente: 15) PMPA/1993 (PMPA) - Um capital de
a) 10.300,00 e 2,40% CR$ 50.000,00, aplicado a juros compos-
b) 10.240,00 e 2,45% tos, à taxa de 26% ao mês, produzirá um
c) 10.240,00 e 2,40% montante de CR$ 126.023,60 no prazo
d) 10.240,00 e 2,35% de:
e) 10.200,00 e 2,35% Observação: Se necessário, utilize a tabe-
la seguinte:
12) CEF/1998 (FCC) - Um capital de R$
2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal n 1,26n
de 2%, num regime de capitalização com- 1 1,26000
posta. Após um período de 2 meses, os 2 1,58760
juros resultantes dessa aplicação serão 3 2,00038
a) R$ 98,00 4 2,52047
b) R$ 101,00 5 3,17580
c) R$ 110,00 6 4,00150
d) R$ 114,00
7 5,04190
e) R$ 121,00
8 6,35279
9 8,00451
13) CEF/1998 (FCC) - Pretendendo guar-
dar uma certa quantia para as festas de
fim de ano, uma pessoa depositou R$ a) 2 meses
2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em b) 2 meses e meio
05/09/97. Se o banco pagou juros com- c) 3 meses
postos à taxa de 10% ao trimestre, em d) 4 meses
05/12/97 essa pessoa tinha um total de e) 6 meses
a) R$ 5 320,00
b) R$ 5 480,00 16) PMPA/1993 (PMPA) - Urna inflação
c) R$ 5 620,00 mensal de 26% acarreta uma inflação a-
d) R$ 5 680,00 cumulada no semestre, aproximadamen-
e) R$ 5 720,00 te, igual a:
Observação: Se necessário, utilize a tabe-
14) BB/1999 (CESPE-UnB) - Na tabela la da questão anterior.
abaixo, que apresenta três opções de um a) 156%
plano de previdência privada com inves- b) 200%
timentos mensais iguais por um período c) 250%
de 10 anos, a uma mesma taxa de juros, d) 300%
capitalizados mensalmente, o valor de x e) 400%
será
17) TCDF/1994 (CESPE-UnB) - No Brasil,
Valor (em reais) as cadernetas de poupança pagam, além
investido men- a receber após da correção monetária, juros compostos à
salmente 10 anos taxa nominal de 6% a.a., com capitaliza-
200,00 41.856,00 ção mensal. A taxa efetiva bimestral é,
500,00 104.640,00 então, de:
1.000,00 X a) 1,00025%
b) 1,0025%
a) inferior a R$ 200.000,00. c) 1,025%
20

d) 1,25%
e) 12,5% 23) TCDF/1995 (CESPE-UnB) - A renda
nacional de um país cresceu 110% em um
18) BACEN/1994 (ESAF) - A taxa de 30% ano, em termos nominais. Nesse mesmo
ao trimestre, com capitalização mensal, período, a taxa de inflação foi de 100%. O
corresponde a uma taxa efetiva bimestral crescimento da renda real foi então de:
de: a) 5%
a) 20% b) 10%
b) 21% c) 15%
c) 22% d) 105%
d) 23% e) 110%
e) 24%
Gabarito
19) AFTN/1991 (ESAF) - Uma aplicação é
realizada no dia primeiro de um mês, ren- 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8-
dendo uma taxa de 1% ao dia útil, com b c d d d b a c
capitalização diária. Considerando que o 9- 10 11 12 13 14 15 16
referido mês possui 18 dias úteis, no fim d -e -c -c -e -c -d -d
do mês o montante será o capital inicial 17 18 19 20 21 22 23
aplicado mais: -b -b -b -b -d -e -a
a) 20,324%
b) 19,6147% OVER
c) 19,196%
d) 18,174% A taxa de “Over Night”, mais comumente
e) 18% chamada de taxa de “over”, é a taxa de
juros de um dia útil, multiplicada por 30
20) TCU/1992 (ESAF) - Um certo tipo de (convenção de mercado, pois um mês tem
aplicação duplica o valor da aplicação a 23 dias úteis). É uma forma de expressar
cada dois meses. Essa aplicação renderá a taxa de juros muito usada no mercado
700% de juros em: financeiro, mais especificamente no mer-
a) 5 meses e meio cado aberto (open market)
b) 6 meses
c) 3 meses e meio Muitos produtos do mercado tem sua
d) 5 meses rentabilidade ou custo expresso na taxa
e) 3 meses de OVER (exemplo, CDI, HOT MONEY).

21) AFTN/1996 (ESAF) - A taxa de 40% Toda taxa nominal “over’ deve informar
ao bimestre, com capitalização mensal, é o número de dias úteis que os juros
equivalente a uma taxa trimestral de: serão capitalizados de forma que se possa
a) 60,0% apurar a taxa efetiva do período.
b) 66,6%
c) 68,9% Exemplo
d) 72,8%
e) 84,4% Suponha que a taxa “over” em determi-
nado momento esteja definida em 5,4%
22) AFTN/1996 (ESAF) - Uma empresa a.m.. No período de referência da taxa,
aplica $ 300 à taxa de juros compostos de estão previstos 22 dias úteis.
4% ao mês por 10 meses. A taxa que
mais se aproxima da taxa proporcional Qual a taxa efetiva do período?
mensal dessa operação é:
a) 4,60% Solução
b) 4,40% Como a taxa “over” é geralmente
c) 5,00% definida por juros simples (taxa nominal),
d) 5,20% a taxa diária atinge:
e) 4,80%
21

5, 4 % Por ser nominal, e definida men-
i= = 0 ,18 %
30 ao dia salmente, a taxa “over” é obtida
pelo produto da taxa descapitaliza-
da pelo número de dias corridos do
taxa nominal mês.
Aplicando-se esses procedimentos na ilus-
Sabendo que no período de refe- tração, tem-se:
rência dessa taxa existem 22 dias úteis, a
taxa efetiva é obtida pela capacitação i = 4,04% ao mês
composta, ou seja: du = 22 dias úteis
1

i = (1 + 0,0018) 22
– 1 = 4,04% i = (1,0404) 22 − 1 = 0,18% ao dia útil
a.m.
OVER = 0,18% x 30 = 5,4% a.m.
Em outras palavras, pode-se con-
cluir que 4,04% representam a taxa efeti- A formula de cálculo da taxa “over”, dada
va para 22 dias úteis, ou mesmo para os uma taxa efetiva de juros, pode ser de-
30 dias corridos do mês. senvolvida da seguinte forma:

Em resumo, os procedimentos de  1

apurar a taxa efetiva dada uma taxa no- over = (1 + i ) du − 1 x30
 
minal de juros “over” são os seguintes:
Substituindo os valores ilustrativos acima,
Dividir a taxa de “over” geralmente men-
chega-se aos 5,4% a.m., ou seja:
sal, pelo número de dias corridos no perí-
odo para se obter a taxa nominal diária;
 1

over = (1,0404 ) 22 − 1 x30
Capitalizar a taxa diária pelo número de   = 5,4% a.m.
dias úteis previsto na operação.
DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES
A expressão básica de cálculo da taxa efe-
tiva é:
du Taxa de desconto, cálculo do valor do
 over  desconto e cálculo do valor descon-
i (efetiva ) = 1 +  −1
 30  tado (valor presente); taxa efetiva ou
implícita em juros compostos da
sendo: “over” a taxa nominal mensal “o- operação de desconto bancário
ver”, du o número de dias úteis previsto simples; utilização de tabelas para
no prazo da operação. cálculos.
Por outro lado, muitas vezes é inte- É a operação de crédito em que são
ressante transformar uma taxa efetiva em negociados títulos mediante o abatimen-
taxa de “over”. No exemplo acima, foi de- to, no ato, de um percentual.
finida uma taxa nominal “over” de 5,4%
a.m. para um período com 22 dias úteis. VALOR NOMINAL é o valor ex-
Com isso, calculou-se a taxa efetiva de presso no título.
4,04% a.m..
VALOR ATUAL é o Valor Nominal
Se fosse dada a taxa efetiva para menos o desconto.
se transformar em “over”, o procedimento
de cálculo seria o inverso, ou seja: VALOR LÍQUIDO é o valor efeti-
vamente pago ao emitente do título.
Descapitalizar exponencialmente a
taxa efetiva para cada dia útil pre- A fórmula básica do desconto é
visto na operação;
d = VN . i . n
22


VALOR ATUAL = VALOR NOMI- Utilizando os dados do proble-
NAL– DESCONTO ma anterior:

VA = VN - d
97,60
Substituindo o "d" pela sua 1 - ---------
fórmula: 100,00
i = ------------- = 2%a.m.
VA = VN - VN.i.n 36/30

Colocando VN em evidência, che- PRAZO
ga-se à fórmula básica do Valor Atual:
VA
VA = VN (1 − in ) 1−
n= VN
i
Exemplo
Utilizando os dados do problema an-
Qual o Valor Atual de títulos que terior:
perfazem o total de R$ 100,00, desconta-
dos à taxa de 2%a.m. e prazo de 30 di- 97,60
as? 1 - ------
100,00
VA = 100,00 (1 - 0,02.1) n = ------------ = 1,2 meses (visto a taxa ser
0,02 mensal)
VA = 100,00 (0,98) = 98,00
Exemplo com prazo fracionário 1,2 meses terá x dias
X = 30 x 1,2 / 1 = 36 dias
Qual o Valor Atual dos títulos que
perfazem o total de R$ 100,00, desconta- Sendo o prazo médio dos títulos de 24
dos à taxa de 2%a.m. e prazo de 36 di- dias, o somatório dos seus valores R$
as? 1.050,00 e a taxa de 1,4%a.m., qual será
VA = 100,00 (1 - 0,02 . 36/30) o Valor Atual?

VALOR NOMINAL VA = 1.050 (1 - 0,014 . 24/30) =
1.038,24
VA
VN = Por quanto tempo serão descontados títu-
(1 − in )
los que perfazem R$ 5.540,00, desconta-
dos à taxa de 2,2%a.m., se o Valor Atual
for de R$ 5.401,87?
Utilizando os dados do exemplo
anterior:
5.401,86
1 - ------------
5.540,00
97,60
n = ----------------- = 1,1334099
VN = --------------------- = 100,00
0,022
(1 - 0,02 . 36/30)
TAXA 1,1334099 terá x dias

VA 1,1334099 x 30 = 34 dias
1−
i= VN Desconto Simples
n
23

Desconto Comercial ou “por fora”
Fórmula: DC = N ⋅ d ⋅ n
Denomina-se Desconto Comercial
6
Simples de um título de crédito aos juros DC = 5000 ⋅ ⋅ 2 = 600
simples calculados sobre seu valor Nomi- 100
nal. DC = 600
Resposta: R$ 600,00
Fórmulas
2) Calcular o valor atual comercial
DC = N ⋅ d ⋅ n de um título cujo valor nominal é R$
1.200,00 à taxa de 15% a.a., descontado
8 meses antes do vencimento.
onde: DC é o desconto; N é o va-
lor nominal do título, d é a taxa de des- Solução:
conto e n é o prazo de antecipação do Dados: N = 1200
título n = 8 meses
i = 15% a.a.
AC = N − DC AC = ?

onde: AC é o valor atual comerci- Temos taxa ao ano e prazo em
al; N é o valor nominal do título, DC é o meses → iremos converter o prazo para
desconto comercial. “ano”, por meio de uma regra de três
simples:
Por uma simples manipulação al-
gébrica, podemos “reunir” as duas fórmu-
las acima: 1 ano  12 meses
x  8 meses
AC = N ⋅ (1 − d ⋅ n )
8 2
x= = ano
12 3
LEMBRE-SE das observações feitas
no capítulo de juros simples (elas
Podemos realizar os cálculos de
valem para qualquer problema de
duas formas: (1) calculamos o valor do
Matemática Financeira):
desconto, e, a seguir, o valor atual (sub-
1. Taxa e o prazo devem estar
traindo o desconto do valor nominal do
SEMPRE na mesma referência
título); (2) calculamos o valor atual dire-
de tempo
tamente pela fórmula (6.2.3).
2. A taxa deve estar na forma U-
Utilizaremos o procedimento dado
NITÁRIA.
em (1):

Exemplos:
Fórmulas: DC = N ⋅ d ⋅ n e
1) Qual é o desconto comercial (ou
bancário) sobre um título de R$ 5.000,00, AC = N − DC
resgatado 2 meses antes do seu venci- 15 2
mento à taxa de 6% a.m.? DC = 1200 ⋅ ⋅ = 120
100 3
Solução:
AC = 1200- 120 = 1080
Dados: N = 5000
Resposta: R$ 1.080,00
n = 2 meses
i = 6% ao mês
3) Uma promissória foi descontada
DC = ?
à taxa de 45% a.a., 1 mês e 12 dias antes
de seu vencimento. Qual o valor nominal
Temos taxa e prazo em meses →
desse título se o desconto comercial foi de
não é necessário fazer transformações de
R$ 105,00.
unidades!
24

Solução: conto; n é o prazo de antecipação. Te-
mos: N = 10000; n = 3 meses; d = 4%
Dados: DC = 105 ao mês.
n = 1 mês 12 dias 4
i = 45% a.a. DC = 10000 × × 3 = 1200
100
N=? Resposta: letra c.

O prazo de antecipação não está TESTES PROPOSTOS:
compatível, em unidade de tempo, com a 01) Uma duplicata foi descontada por fo-
taxa. Temos aqui: n = (30 + 12) dias, ou ra, 3 meses e 10 dias antes do seu ven-
n = 42 dias. Por meio de uma regra de cimento, à taxa de 10% a.m., produzindo
três, passaremos esse prazo para “ano”: um desconto de R$ 40,00. O valor nomi-
nal da duplicata era (R$):
1 ano  360 dias a) 120 b) 100 c) 90
x  42 dias d) 110 e) 80

42 7 02) Um título com valor de face de R$
x= = ano
360 60 240,00 foi descontado a 4,5% a.m., 6
meses antes de seu vencimento. Qual o
Fórmula: DC = N ⋅ d ⋅ n valor do desconto? (R$)
a) 63,60 b) 64,80 c) 62,00
d) 65,60 e) 65,00
45 7 3 7
105 = N ⋅ ⋅ ⇒ 105 = N ⋅ ⋅ ⇒
100 60 100 4 03) Uma duplicata foi resgatada em
21 105 ⋅ 400 16/09/99, quando seu vencimento estava
105 = N ⋅ ⇒N= ⇒ N = 2000
400 21 marcado para 10/11/99. O desconto foi de
R$ 440,00 e a taxa foi de 6% a.m. O valor
Resposta: R$ 2.000,00 nominal da duplicata é (R$):
a) 2000 b) 2500 c) 3000
QUESTÃO DE CONCURSO (RESOLVI- d) 4000 e) 3500
DA)1
04) Um título com vencimento em
01) TFC/2001 (ESAF) - Um título de valor 04/08/01 foi descontado em 12/05/01, a
nominal de R$ 10.000,00, a vencer exa- uma taxa de 5% a.m. O valor nominal do
tamente dentro de 3 meses, será resgata- título era R$ 3.500,00. Nestas condições,
do hoje, por meio de um desconto comer- seu valor atual é (R$):
cial simples a uma taxa de 4% ao mês. O a) 2830 b) 2960 c) 3200
desconto obtido é de d) 3000 e) 3010
a) R$ 400,00
b) R$ 800,00 05) Uma duplicata foi descontada 1 mês e
c) R$ 1.200,00 18 dias antes do vencimento, à taxa de
d) R$ 2.000,00 4,5% a.m. O valor líquido foi de R$
e) R$ 4.000,00 203,00. Então, o valor de face da duplica-
ta era de (R$):
Solução: a) 220,00 b) 219,65 c) 199,50
Um problema de aplicação direta da fór- d) 210,00 e) 218,75
mula do Desconto Comercial Simples:
DC = N .d .n , onde: 06) Em 25/07/99, descontou-se em um
banco uma duplicata de R$ 600,00, cujo
DC é o desconto comercial simples; N é o vencimento era para 23/10/99. A taxa da
valor nominal do título; d é a taxa de des- operação foi de 48% a.a. Nesta condições,
qual foi o valor líquido do título? (R$)
1 a) 480,00
Teste extraído do livro: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO
LÓGICO - 500 questões de concursos resolvidas e comen- b) 528,00
tadas, de autoria do prof. Milton Araújo.
25

c) 400,00 13) Utilizando o desconto bancário, o va-
d) 426,00 lor que deve ser pago por um título com
e) 540,00 vencimento daqui a 6 meses, se o seu
07) Jaime descontou duas duplicatas em valor nominal for de $ 295,00 e com taxa
um banco, à uma taxa de 15% a.a. A de 36% ao ano, é de:
primeira venceria em 9 meses e a segun- a) 240,00 b) 275,00 c) 188,00
da em 5 meses e 10 dias, sendo essa úl- d) 241,90 e) 250,00
tima de valor nominal 50% superior à
primeira. O total dos descontos foi de R$ Gabarito
382,50. Qual era o valor nominal do título
que produziu o maior desconto? (R$) 1- 2- 3- 4 5 6 7 8 9 10
a) 1.500 b) 2.000 c) 1.200 b b d - - - - - - -c
d) 2.400 e) 1.800 e e b e b c
11 12 13
08) Um título de R$ 5.000,00 foi descon- -c -a -d
tado por R$ 3.000,00, à uma taxa de
120% a.m. Qual foi o prazo de antecipa- Desconto Racional ou “por dentro”
ção?
a) 8 dias O Desconto Racional Simples é calculado
b) 10 dias sobre seu valor Atual.
c) 12 dias
d) 9 dias Fórmulas
e) 11 dias N ⋅i ⋅n
DR =
09) Uma promissória de R$ 200,00 foi
(1 + i ⋅ n )
descontada por R$ 120,00, 4 meses antes
do seu vencimento. A taxa mensal da o- onde: DR é o desconto; N é o valor nomi-
peração é: nal do título, i é a taxa de juros e n é o
a) 12% b) 15% c) 10% prazo de antecipação do título
d) 18% e) 20%
AR = N − DR
10) João descontou 2 duplicatas em um
banco. A primeira, de R$ 560,00, com onde: AR é o valor atual racional; N é o
vencimento para 35 dias e a segunda, de valor nominal do título, DR é o desconto
R$ 450,00, para vencimento em 40 dias. racional.
O valor atual da primeira superou o da
segunda em R$ 109,60. A taxa de descon- Por uma simples manipulação algébrica,
to foi de: podemos “reunir” as duas fórmulas acima:
a) 15% a.a. b) 18% a.a. c) 9% a.a.
d) 24% a.a. e) 12% a.a. N
AR =
11) Um título de valor nominal R$ (1 + i ⋅ n )
12.000,00 sofre um desconto à taxa de
6% a.a., 120 dias antes do vencimento. LEMBRE-SE das observações feitas no
Qual o valor do desconto? (R$) capítulo de juros simples):
a) 260 b) 300 c) 240 1. Taxa e o prazo devem estar SEM-
d) 850 e) 680 PRE na mesma referência de tempo
2. A taxa deve estar na forma UNITÁ-
12) Qual o valor atual de uma duplicata RIA.
que sofre um desconto por fora de R$
500,00, a 50 dias de seu vencimento, à
Exemplos:
taxa de 3% ao mês? (R$)
1) Qual é o desconto sobre um título de
a) 9.500 b) 9.600 c) 10.500
R$ 1.500,00, resgatado 9 meses antes do
d) 12.000 e) 10.000
seu vencimento à taxa de juros 6% a.a.?

26

Solução: Observe que a taxa dada foi de Taxa Implícita de Juros do Desconto
JUROS, o que nos leva a calcular o Des- Bancário
conto RACIONAL.
Dados: N = 1500
n = 9 meses Um título é descontado num banco
i = 6% a.a. três meses antes de seu vencimento. A
DR = ? taxa de desconto definida pelo banco é de
Temos taxa ao ano e prazo em meses → 3,3 % ao mês. Sendo de R$ 25.000,00 o
por meio de uma regra de três, encon- valor nominal desse título, e sabendo-se
tramos n = 3/4 ano. que o banco trabalha com o sistema de
desconto por fora, pede-se calcular a taxa
N ⋅i ⋅n implícita de juros simples desta operação.
Fórmula: DR =
(1 + i ⋅ n ) O desconto simples, racional ou comercial
são aplicados somente aos títulos de cur-
1500 ⋅ 0, 06 ⋅ 0, 75 to prazo, geralmente inferiores a 1 ano.
DR = = 64,59
(1 + 0, 06 ⋅ 0, 75 ) Quando os vencimentos têm prazos lon-
Resposta: DR = R$ 64,59 gos, não é conveniente transacionar com
esses tipos de descontos, porque podem
2) Calcular o valor atual racional de uma conduzir a resultados que ferem o bom
dívida de R$ 1.500,00 à taxa de 6% a.a., senso. Observe o exemplo:
vencível em 9 meses.
Solução: Exemplo
Dados: N = 1500 Calcular o desconto comercial de um títu-
n = 9 meses (0,75 ano) lo de R$ 100.0000,00 com resgate para
i = 6% a.a. 5 anos, à taxa de 36% ao ano.
AR = ?
SOLUÇÃO
Temos taxa ao ano e prazo em meses →
iremos converter o prazo para “ano”, por Fórmula: d = N i n
meio de uma regra de três simples: N = R$ 100.000,00 i = 36% a.a. = 0,36
a.a. n= 5 anos
d = 100.000 . 0,36 . 5 = 180.000
1 ano  12 meses
x  9 meses ANUIDADES (SÉRIE DE PAGA-
MENTOS IGUAIS)
9 3
x= = = 0, 75 ano
12 4 Postecipadas, antecipadas e diferidas;
cálculo do valor atual, da prestação e
N da taxa de juros; utilização de tabelas
Fórmula: AR = para cálculos.
(1 + i ⋅ n ) Anuidades ou rendas certas é o nome
que se dá aos pagamentos sucessivos
1500 tanto a nível de financiamentos quan-
AR = ≅ 1435, 41
(1 + 0, 06 ⋅ 0, 75) to de investimentos.

Se a renda possui um número finito de
Resposta: R$ 1.435,41
termos será chamada de temporária caso
contrário é chamada de permanente. Ape-
Observação: Associa-se o Desconto
sar da opinião de alguns mutuários da
Comercial à taxa de desconto, enquan-
Caixa Econômica , o financiamento da ca-
to que o Desconto Racional está ligado
sa própria é temporária, apesar de ter um
à taxa de juros.
termo de conclusão bem longo.

27

Se os termos da renda certa forem iguais São aquelas na qual o primeiro pagamen-
é chamada de renda certa de termo cons- to é feito após um determinado período.
tante ou renda certa uniforme; senão é Exemplo: promoções do tipo, compre hoje
uma renda certa de termo variável. Quan- e pague daqui a x dias
do o período entre as datas corresponden-
tes aos termos tiverem o mesmo intervalo A diferença entre esses e os casos de
de tempo , diz-se que a renda certa é pe- Renda Certa , é que nesse útimo você cal-
riódica ; caso contrário é não periódica. cula quanto teve de juros , sobre uma ba-
se de cálculo fixa, podendo a mesma ser
Exemplo: dividida em n parcelas; no caso dos Juros
Compostos e Descontos Compostos, a ba-
Um financiamento de casa própria é um se de cáculo varia por período.
caso de renda certa temporária, de termo
variável (sujeito à variação da TR) e peri- Calculando Valor Atual em casos de
ódica. Rendas Certas

Um financiamento de eletrodoméstico é Para se calcular o Valor Atual num caso de
um caso de renda certa temporária, de Rendas Certas, a fórmula a ser utilizada
termo constante (você sabe quanto paga- depende de ser postecipada , antecipada
rá de juros) e periódica. ou diferida. Assim , se for:

Já a caderneta de poupança pode se con- Postecipada a fórmula é : V=T.an¬i
siderar como um caso de renda certa per-
pétua (pelo menos enquanto o dinheiro Antecipada a fórmula é : V=T+T.an-1¬i
estiver à disposição para aplicação ), de
termo variável e periódica. Bico, como Diferida a fórmula é : V=T.an¬i/(1+i)m
pode ver. E já que é bico, mais algumas
definições: m é sempre uma unidade menor do que a
se deseja calcular, ou seja, se a venda é
As rendas periódicas podem ser divi- diferida de 3 meses, m será 2 .
didas em :
Para saber o valor de an¬i , você pode:
Postecipadas
-usar as tabelas
Antecipadas
-calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i(1 +
Diferidas i)n.

As Postecipadas Tabelas de Fatores

São aquelas na qual o pagamento no fim As tabelas abaixo relacionadas estão dis-
de cada período e não na origem. Exem- poníveis para valores de i de 1 a 10% e
plo: pagamento de fatura de cartão de de n de 1 a 10.
crédito

As Antecipadas

São aquelas na qual os pagamentos são
feitos no início de cada período respectivo.
Exemplo: financiamentos com pagamento
à vista

As Diferidas

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